SOP om klotoider og rutschebaner i Matematik A og Fysik A

Side 1

2015

Klotoider og Rutschebaner

STUDIERRETNINGSPROJEKT

[navn fjernet] – 3.A – MATEMATIK A – FYSIK A

Side 2

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 1 af 19

Indholdsfortegnelse

Abstract ............................................................................................................................................................. 1 Indledning .......................................................................................................................................................... 2 Kurveformer i et rutschebane-loop ................................................................................................................... 2 Eksempel........................................................................................................................................................ 3 Matematikken bag klotoiden ............................................................................................................................ 5 Bevis for krumningen..................................................................................................................................... 6 Eksempel på brug af krumningsformlen: .................................................................................................... 11 Kraftpåvirkningen i et klotoide loop ................................................................................................................ 13 Klotoider anvendt andre steder ...................................................................................................................... 17 Konklusion ....................................................................................................................................................... 18 Litteraturliste ................................................................................................................................................... 19 Abstract

The project is about rollercoasters and clothoids, specifically the use of clothoids to construct safe

rollercoaster loops. The clothoid is a vector function which curvature goes from zero towards 1/ra-

dius of the curvature circle; this makes the clothoid an excellent tool for constructing rollercoaster loops. The clothoid consists of a clothoid parameter and the Fresnel integrals, which are used to describe phenomena’s in the subject of optics. The main problem with circular loops are that the g-force that humans are affected by is too much, and will cause injuries, therefore another type of loop is needed, and the loop containing a clothoid is better, because the clothoid reduces the g-force that passengers are affected by. Clothoids are not only used for building rollercoaster loops though, they are often used while building roads rails and as mentioned in the subject of optics. The conclusion of this is that the use of clothoids in rollercoaster loops, and other roads and rails defi-nitely have an important use and reason, because without them driving your car or riding the roller-coaster would not be as pleasant as it is today.

Side 3

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 2 af 19

Indledning

Mennesket har gennem historien altid været nysgerrige, og som følge af dette, har det i moderne tid gjort at mennesket skubber sine grænser til det yderste, dette ses f.eks. inden for rutschebane konstruktioner. Inden for denne branche er målet at kunne udvikle den rutschebane der giver det bedste og største gys for passagerene, men man er dog også nød til at sørge for at man ikke skader sine passagerer. I dette projekt er formålet at kigge på matematikken og fysikken der ligger bag overvejelserne og konstruktionen af et rutschebane loop. Et rutschebane loop består af to dele, en klotoide og en cirkulær bevægelse. Klotoiden som anvendes til et loop er en vektorfunktion, som ikke kun anvendes til rutschebaner, men også andre steder som samtidig også er beskrevet i pro-jektet.

Kurveformer i et rutschebane-loop

I en rutschebane, vil man hvis man vil lave et loop måske forestille sig at en regulær cirkel som set på figur 1, vil være passende til rut-schebanen. Hvis man dog tænker på passage-renes helbred vil det være oplagt at beregne g-påvirkningen på passagerene. G-kraft er en værdi der beskriver den acceleration som pas-sagerene i dette tilfælde udsættes for. En nor-mal person uden helbredsproblemer på 70 kg kan overleve en påvirkning på 6 g uden at besvime, ved denne g-påvirkning vil personen føle at man

vejer 630 kg, altså 6 gange ens egen kropsvægt.^{1}

1

https://da.wikipedia.org/wiki/G-kraft

Figur 1. Et cirkulært loop. Kilde: http://www.matematiksi-
der.dk/vejgeometri/vejgeometri.pdf

Side 4

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 3 af 19

Eksempel

Et eksempel for g-kraften i et cirkulært loop beregnes g-kraften i punkt B og punkt C. I eksemplet antages der at diameteren for det cirkulære loop er 20 m, og at vognens fart i bunden af loopet er

90 km/t = 25 m/s. I dette eksempel er der set bort fra gnidning og luftmodstand, for at det er muligt

at anvende energibevarelse til at beregne farten i punkt C, da en rutschebane ikke er drevet af mo-torkraft. Hvis man anvender energibevarelse for den mekaniske energi vil man få at:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛,𝐶} + 𝐸_{𝑝𝑜𝑡,𝐶} =𝐸_{𝑘𝑖𝑛,𝐵} + 𝐸_{𝑝𝑜𝑡,𝐵}

Hvis dette begreb udvises får man at:

1 1

2 2

𝑚∙ 𝑣_{𝐶}^{2} + 𝑚∙ 𝑔∙ ℎ_{𝐶} = 𝑚∙ 𝑣_{𝐵}^{2} + 𝑚 ∙ 𝑔∙ ℎ_{𝐵}

Man kender i dette eksempel ikke V

C

, men man ved dog alle andre størrelser da massen m kan forkortes væk fra hele formlen. Af dette får man derfor at:

𝑉_{𝐶} = √ 𝑉_{𝐵}^{2} − 2 ∙ 𝑔∙ ℎ_{𝐶}

Det er nu muligt at udregne farten i toppen af det cirkulære loop.

𝑉_{𝐶} = √ (25)^{2} − 2 ∙ 9.82 ∙ 20 𝑚 ≈15.24

𝑚 𝑚 𝑚

𝑠 𝑠^{2} 𝑠

Når man nu har disse informationer er det muligt at udregne g-kraft. Formlen der bruges er forklaret i et senere afsnit i projektet

𝑔⃗_{𝑒𝑓𝑓} ≈

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ 𝜌 ⎞

−𝑣^{′} ∙ cos ( θ) + () ∙ sin ( 𝜃)

𝑣^{2}

−𝑔 − 𝑣^{′} ∙ sin ( 𝜃) − () ∙ cos ( 𝜃)

𝑣^{2}

𝜌

Formlen bruges til at udregne g-kraften i punkt B og punkt C

Punkt B:

Side 5

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 4 af 19

𝑔⃗_{𝑒𝑓𝑓} ≈ =()

⎝ | ⎠
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎛ | ⎞

−0 ∙ cos ( 0) + () ∙ sin ( 0)

(25)

𝑚^{2}

𝑠

10 𝑚

−(9.82) − 0 ∙ sin ( 0) − () ∙ cos ( 0)

𝑚

𝑠^{2} 10 𝑚

(25) 𝑠^{2}

𝑚^{2}

𝑠

0

−72.32

𝑚

Punkt C:

𝑔⃗_{𝑒𝑓𝑓} ≈ =()

⎝ | ⎠
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎛ | ⎞

−0 ∙ cos ( 180) + () ∙ sin ( 180)

(15.24)

𝑚^{2}

𝑠

10 𝑚

−(9.82) − 0 ∙ sin ( 180) − () ∙ cos ( 180)

𝑚

𝑠^{2} 10 𝑚

(15.24) 𝑠^{2}

𝑚^{2}

𝑠

0

13.4 𝑚

G-påvirkningen i punktet B, bestemmes ved at tage længden af den fundne vektor, det giver

følgende værdi for punktet B: -72.32 m/s^{2} = 7.2
G. I punktet C er g-påvirkningen på: 13.4 m/s^{2} =

1.3 G. Dette beviser at det cirkulære loop ikke er optimalt til rutschebaner da g-påvirkningen er meget stor i et cirkulært loop, og man ikke kan opnå det samme gys ved det cirkulære loop. [2] Det

viser sig at hvis man anvender en del af en kloto-_{tri.pdf}

ide i bunden af loopet som vist på figur 2, er det muligt at mindske g-påvirkningen i bunden af loopet, og herved have et sikkert rutschebane loop, præcist hvorfor dette er muligt beskrives i næste afsnit.

2

http://www.matematiksider.dk/vejgeometri/vejgeometri.pdf Side 27-29

Figur 2. Et Klotoide-loop, sammensat af en klotoide og cirkel.

Kilde: http://www.matematiksider.dk/vejgeometri/vejgeome-

Side 6

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 5 af 19

Matematikken bag klotoiden

Ordet klotoide er ofte blevet brugt, men hvad det præcist er, er ikke blevet forklaret. Klotoiden er også kendt som en Cornu Spiral, opkaldt efter den franske fysiker Marie Alfred Cornu, og grunden til dette var at hun anvendte kurven til at beskrive fænomener inden for emnet optik. [3] Hvis man tegner en klotoide vil man få en vektorfunktion med udseende som figur 3. Som set på figuren kan man ikke bruge hele vektorfunktionen til at danne et rutschebane loop, men nærmere en del af den. Klotoidens matematiske opskrivning stammer fra noget der hedder Fresnel-integra-ler som er en del under emnet optik. [4]

Når man opskriver en klotoide gør man det så-ledes

𝑟⃗ ( 𝑡) =()=

𝑥 ( 𝑡) 𝑦 ( 𝑡)

⎝ | ⎠
⎜ | ⎟

⎜ 𝑡 ⎟

⎜ | ⎟
⎛ | ⎞

𝐴 ∙ ∫cos( ∙ 𝑧^{2})𝑑𝑧

1

2 𝑡

0

𝐴 ∙ ∫sin( ∙ 𝑧^{2})𝑑𝑧

1

2

0

Hvor at A er det man kalder for klotoideparameteren, og integralerne er det der kaldes for Fresnel-integraler.

Grunden til at vælge denne klotoide er at der er en speciel egenskab som man får ud af klotoiden, nemlig at krumningen er proportional med tiden, det betyder i korte træk at hvis man bevæger sig

i gennem klotoiden går man gradvist fra en krumning på 0 til 1/Radius i krumningscirklen, hvorimod

3

http://www.lmfk.dk/artikler/data/artikler/0405/0405_19.pdf

4

http://www.matematiksider.dk/vejgeometri.html

Figur 3. En klotoide/Cornu Spiral

Side 7

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 6 af 19 hvis man havde en tangent til en cirkel og man gik direkte over i cirklen ligesom figur 1, vil man gå fra en krumning på 0

til 1/Radius i et ryk, der vil altså være et

spring i krumningen. [5] På figur 4 er der illustreret hvad krumningscirklen er.

For at vise at krumningen forløber grad-

vist fra 0 til 1/Radius i krumningscirklen

bruges følgende formel for krumningen

𝜅 ( 𝑡) =

det (𝑟⃗^{′} ( 𝑡),𝑟⃗^{′′} ( 𝑡))
|𝑟⃗^{′} ( 𝑡) |^{3}

Hvor at

𝑟⃗ ( 𝑡) =()

𝑥 ( 𝑡) 𝑦 ( 𝑡)

Men før man bruger denne formel, skal den først bevises.

Bevis for krumningen

Man tager udgangspunkt i at man har en almindelig parameterkurve der er kontinuert differentiabel

2 gange og at 𝑟⃗

( 𝑡

)

,𝑡∈𝐼. Hvor at I er et interval. Den naturlige parameterfremstilling for denne er

𝑟⃗_{1} ( 𝑠),𝑠∈𝐼_{1}. Hvilket er en parameter som er afhængig af kurvelængden. Denne defineres som

𝑟⃗_{1} ( 𝑠) =𝑟⃗∘ 𝜑^{6}

For alle punkter på kurven defineres to vektorer

𝑡 ( 𝑠) =𝑟⃗_{1}^{′} ( 𝑠),𝑛 ⎯ ⃗ ( 𝑠) =𝑡 (𝑠)

⃗ ̂

5

http://www.matematiksider.dk/vejgeometri.html

6

http://www.matematiksider.dk/vejgeometri/vejgeometri.pdf Side 8

Figur 4. En overgang fra et lineært stykke til en klotoide, med krumningscir-

kel. Kilde: http://www.matematiksider.dk/vejgeometri.html

Side 8

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 7 af 19

Vektoren 𝑡 er tangentvektoren for punkterne på kurven, og normalvektoren er tværvektoren til tan-

⃗ gentvektoren, altså den vil altid stå vinkelret på tangentvektoren. Gældende for den naturlige para-

meterfremstilling når denne differentieres er den | 𝑟⃗_{1}^{′} | =1.^{7} Derfor må tangentvektoren samt nor-

malvektorens længde være 1, derfor er disse vektorer et ortonormalsystem dvs. at længden er 1 og at de er indbyrdes ortogonale. Hvis disse vektorer indtegnes som en illustration (figur 5), vil man også kunne se at disse vektorer kaldes for det ledsagende koordinatsystem langs kurven.

Figur 5. Det ledsagende koordinatsystem. Kilde: http://www.matematiksider.dk/vejgeometri/vejgeometri.pdf

Det er vigtigt ikke at forveksle 𝑡

⃗ med parameteren t, da disse ikke er det samme.

Der tages udgangspunkt i figur 5, hvortil at et gi-vet punkt P på kurven er svarende til paramete-

0 ren s. Hertil defineres θ(s) som den vinkel som

0 tangentvektoren 𝑡 ( 𝑠) danner med den faste tan-

⃗

gentvektor i punktet P, som er 𝑡 ( 𝑠_{0}). Herefter

0

⃗ vælger man at indtegne de 4 vektorer i enheds-cirklen som vist på figur 6. Det vides fra tidligere at alle vektorerne vil have en længde på 1, derfor vil endepunkterne for alle vektorene ligge på en-hedscirklen, med centrum i P.

0

7

http://www.matematiksider.dk/vejgeometri/vejgeometri.pdf Side 9

Figur 6. De 4 vektorer indsat i enhedscirklen. Kilde:

http://www.matematiksider.dk/vejgeometri/vejgeometri.pdf

Side 9

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 8 af 19

For at gøre det følgende mere overskueligt, vedtages følgende forkortelser

𝑡 =𝑡 ( 𝑠),𝑛 ⎯ ⃗ =𝑛 ⎯ ⃗ ( 𝑠),𝑡_{0} =𝑡 ( 𝑠_{0}),𝑛 ⎯ ⃗_{0} =𝑛 ⎯ ⃗ ( 𝑠_{0}),

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

𝜃=𝜃 ( 𝑠),𝜅=𝜅(𝑠)

Vektorerne 𝑡_{0} og 𝑛 ⎯ ⃗_{0} er faste vektorer, og 𝑡 og 𝑛 ⎯ ⃗ er vektorfunktioner med parameteren s. Vinklen θ

⃗ ⃗ er en funktion af samme parameter s.

De to variable vektorer 𝑡 og 𝑛 ⎯ ⃗ opløses nu ud fra enhedcirklen, samt de to faste vektorer 𝑡_{0} og 𝑛 ⎯ ⃗_{0}.

⃗ ⃗

Dette gøres vha. sinus og cosinus.

𝑡 =cos (𝜃) ∙ 𝑡_{0} + sin (𝜃) ∙ 𝑛 ⎯ ⃗_{0}

⃗ ⃗

𝑛 ⎯ ⃗ =−𝑠𝑖𝑛 (𝜃) ∙ 𝑡_{0} + 𝑐𝑜𝑠 (𝜃) ∙ 𝑛 ⎯ ⃗_{0}

⃗

Dette kan gøres pga. enhedcirklen som er illustreret på fi-gur 7.

Man isolerer nu cos(θ) i den første ligning og får følgende

cos ( 𝜃) =𝑡 • 𝑡_{0}

⃗ ⃗

I den anden ligning isoleres sin(θ) og følgende fås

sin ( 𝜃) =𝑡 • 𝑛 ⎯ ⃗_{0}

⃗

Da vektorfunktionen 𝑡 har længden 1 og er en kontinuerlig vektorfunktion af s, må man derfor også

⃗

kunne antage at θ=θ(s) kan defineres som en kontinuert funktion af s.

Θ isoleres i begge ligninger

θ=arccos(𝑡 • 𝑡_{0}) + 𝑘

⃗ ⃗

𝜃=arcsin(𝑡 • 𝑛 ⎯ ⃗_{0}) + 𝑘

⃗

+k sættes på da man har med cosinus og sinus at gøre.

Figur 7. Enhedscirklen Kilde: https://si-
tes.google.com/a/oegnet.dk/e-mat-dk-demo/5-tri-
gonometri/5-3-cosinus-og-sinus

Side 10

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 9 af 19

Det er en definition som man var vedtaget at 𝜅 ( 𝑠) =𝜃′(𝑠) for en regulær vektorfunktion der er

kontinuert differentiabel 2 gange. [8] Grunden til dette er at man kan opfatte krumningen som væ-rende den øjeblikkelige vinkelhastighed, hvormed tangenten drejer, når man bevæger sig med den konstante fart 1. Det punkt som vælges til P

0 er ligeledes ubetydeligt, da differentialkvotienten ikke ændrer sig.

For at lave en anden definition for krumningen, går man tilbage til de to ligninger

𝑡 =cos (𝜃) ∙ 𝑡_{0} + sin (𝜃) ∙ 𝑛 ⎯ ⃗_{0}

⃗ ⃗

𝑛 ⎯ ⃗ =−𝑠𝑖𝑛 (𝜃) ∙ 𝑡_{0} + 𝑐𝑜𝑠 (𝜃) ∙ 𝑛 ⎯ ⃗_{0}

⃗

Disse ligninger differentieres, og kædereglen anvendes her til at differentiere.

𝑡′ =−θ^{′} ∙ sin ( 𝜃) ∙ 𝑡_{0} + 𝜃^{′} ∙ cos (𝜃) ∙ 𝑛 ⎯ ⃗_{0}

⎯ ⎯ ⃗

⃗

𝑛 ⎯ ⃗ =−𝜃^{′} ∙ 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜃) ∙ 𝑡_{0} − 𝜃′ ∙ 𝑠𝑖𝑛 (𝜃) ∙ 𝑛 ⎯ ⃗_{0}

⃗

Nu kan θ’ trækkes uden for en parentes, og man kan anvende definitionerne for 𝑡 𝑜𝑔 𝑛 ⎯ ⃗.

⃗

𝑡′ =θ^{′} ∙ (−sin ( 𝜃) ∙ 𝑡_{0} + cos ( 𝜃) ∙ 𝑛 ⎯ ⃗_{0})=θ^{′} ∙ 𝑛 ⎯ ⃗ =𝜅∙ 𝑛 ⎯ ⃗

⎯ ⎯ ⃗

⃗

𝑛 ⎯ ⃗ =−𝜃^{′} ∙ (𝑐𝑜𝑠 ( 𝜃) ∙ 𝑡_{0} + 𝑠𝑖 𝑛 ( 𝜃) ∙ 𝑛 ⎯ ⃗_{0})=𝜃^{′} ∙ 𝑡 =−𝜅∙ 𝑡

⃗ ⃗ ⃗

Man vælger nu at tage skalarproduktet med 𝑛

⎯

⃗

, på begge sider af den første ligning, hvilket vil give

𝑛 ⎯ ⃗ • 𝑡 =𝑛 ⎯ ⃗ • ( 𝜅 ∙𝑛 ⎯ ⃗) =𝜅∙ | 𝑛 ⎯ ⃗ |^{2} =𝜅

⃗^{′}

En determinant er defineret som det(𝑎⃗,𝑏)=𝑎̂• 𝑏. Ifølge 𝑡 ( 𝑠) =𝑟⃗_{1}^{′} ( 𝑠),𝑛 ⎯ ⃗ ( 𝑠) =𝑡 (𝑠) betyder det

⎯ ⃗ ⎯ ⃗

⃗ ̂ at

𝜅=𝑛 ⎯ ⃗ • 𝑡 =𝑡 • 𝑡 =det (𝑡,𝑡)

⃗^{′} ̂ ⃗ ⃗ ⃗^{′}

Definitionen for 𝑡 anvendes nu så der fås at

⃗

𝜅=det (𝑟⃗_{1}^{′} ( 𝑠),𝑟⃗_{1}^{′}^{′} ( 𝑠))

8

http://www.matematiksider.dk/vejgeometri/vejgeometri.pdf Side 10

Side 11

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 10 af 19

Hvis denne formel skal bruges, er den upraktisk da den kræver den naturlige parameterfremstilling, og denne er ikke sikkert man kan finde. Derfor skal den ændres til noget der kan bruges for den oprindelige parameterfremstilling. Til dette anvendes definitionen

𝑟⃗_{1} ( 𝑠) =𝑟⃗∘𝜑

                                                                       ′
                                                                 ′    ′
Og kædereglen og produktreglen for differentiation bruges nu til at bestemme 𝑟⃗ ( 𝑠 ) ,𝑟⃗ ( 𝑠 )
                                                                 1    1

𝑟⃗_{1}^{′} ( 𝑠) =𝑟⃗^{′} (𝜑 ( 𝑠)) ∙ 𝜑′(𝑠)

𝑟⃗_{1}^{′}^{′} ( 𝑠) =𝑟⃗^{′′} (𝜑 ( 𝑠)) ∙ 𝜑^{′} ( 𝑠) ∙ 𝜑^{′} ( 𝑠) + 𝑟⃗^{′} (𝜑 ( 𝑠)) ∙ 𝜑^{′} ′ ( 𝑠)

Der kigger nu igen på determinanten og får nu at

           ′
     ′    ′         ′   3      ′       ′′                          ′  ′    ′  ′
det(𝑟⃗ ( 𝑠 ) ,𝑟⃗ ( 𝑠 ) )=(𝜑 ( 𝑠 ) ) ∙ det(𝑟⃗ ( 𝜑 ( 𝑠 ) ) ,𝑟⃗ ( 𝜑 ( 𝑠 ) ) ) + 𝜑′(𝑠) ∙ 𝜑′′(𝑠) ∙ det (𝑟⃗ ( 𝜑 ( 𝑠 ) ) ,𝑟⃗ ( 𝜑 ( 𝑠 ) ) )
     1    1

Hvor at 𝜑^{′} ( 𝑠) 𝑜𝑔 𝜑^{′′} ( 𝑠) er skalarer.

Det sidste led forsvinder, da determinanten til parallelle vektorer er lig 0. I stedet for

 ′       ′′                          ′          ′′
𝜑 ( 𝑠 ) 𝑜𝑔 𝜑 ( 𝑠 ) som er skalarer indføres at 𝜑 ( 𝑠 ) =𝑡 𝑜𝑔 𝜑 ( 𝑠 ) =
                                                       | 𝑟 ⃗

1

( 𝑡) |^{3}

9

Nu fås en brugbar definition for krumningen på

𝜅 ( 𝑡) = =

det (𝑟⃗^{′} ( 𝑡),𝑟⃗^{′′} ( 𝑡))
|𝑟⃗^{′} ( 𝑡) |^{3}

(       )
  ′′

𝑥^{′} 𝑦^{′}
𝑥 𝑦^{′′}
( ( 𝑥^{′})^{2} + (𝑦′)^{2})

3

2

Q.E.D^{10}

Nu kan der vises at krumningen i en klotoide forløber gradvist mod 1/Radius i krumningscirklen.

9

http://www.matematiksider.dk/vejgeometri/vejgeometri.pdf Side 8-9

10

http://www.matematiksider.dk/vejgeometri/vejgeometri.pdf Side 9-12

Side 12

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 11 af 19

Eksempel på brug af krumningsformlen:

Hvis man har en klotoide vektorfunktion på følgende

𝑟⃗ ( 𝑡) =()=

𝑥 ( 𝑡) 𝑦 ( 𝑡)

⎝ | ⎠
⎜ | ⎟

⎜ 𝑡 ⎟

⎜ | ⎟
⎛ | ⎞

5 ∙ ∫cos( ∙ 𝑧^{2})𝑑𝑧

1

2 𝑡

0

5 ∙ ∫sin( ∙ 𝑧^{2})𝑑𝑧

1

2

0

Så vil

𝑟⃗^{′} ( 𝑡) =()

5cos( ∙ 𝑡^{2})

1

2

5sin( ∙ 𝑡^{2})

1

2

𝑟⃗^{′′} ( 𝑡) =()

−5t ∙ sin( ∙ 𝑡^{2})

1

2

5t ∙ cos( ∙ 𝑡^{2})

1

2

Som er udregnet vha. af CAS-værktøj.

Indsættes disse værdier i den fundne ligning for krumningen får man

Side 13

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 12 af 19

Hvis man antager at krumningscirklens radius er 5 skal krumningen gå fra 0 mod 1/5

Disse værdier udregnes og man får følgende værdier som er indsat i ta-bellen

Disse data kan indsættes i et koordinatsystem, og der kan foretages re-gression i et program som f.eks. ”Graph”. Hvis dette gøres får man føl-gende graf.

Ud fra dette kan man se funktionen forløber lineært efter forskriften for en lineær funktion som er

y=ax+b, ud over dette kan der også ses at R^{2} = 1, der er et tal som beskriver hvor præcis den fundne

linje ud fra regressionen er. Når denne værdi er 1, betyder det at linjen løber igennem alle punkter.

Herved kan man se at krumningen forløber lineært mod 1/Radius i krumningscirklen.

t-værdi | Krumning

(κ)

0 | 0
0.1 | 0.02
0.2 | 0.04
0.3 | 0.06
0.4 | 0.08
0.5 | 0.1
0.6 | 0.12
0.7 | 0.14
0.8 | 0.16
0.9 | 0.18
1 | 0.2

Side 14

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 13 af 19

Når man vælger at bygge loop, vil man bruge krumningscirklen som den øverste del af loo-pet, for at undgå et ryk i krumningen, som også medfører den voldsomme g-kræft der befinder sig i bunden af et cirkulært loop, dette er illustreret på figur 8. Nu har man fundet ud af at krumningen forløber lineært, men hvad det hjælper for et klotoide loop i forhold til et cirkulært loop er ikke præcise-ret. Dette kan man gøre ved at kigge på g-kræfterne i klotoide loopet, i forhold til det cirkulære loop, og netop dette er hvad næste afsnit omhandler.

Kraftpåvirkningen i et klotoide loop

Når man sætter sig ind i en rutschebane gør man det som regel for at få et gys, men hvad dette gys kommer fra, er ikke kun det man ser med øjnene der skaber det, men hvordan at kræfterne skubber på en.

Når en person er i hvile, vil denne person være påvirket af tyngdekraften som er defineret som 𝑚 ∙ 𝑔⃗ , og peger lodret nedad. Hvis man sætter sig ind i en rutschebane og kører en tur vil man stadig være påvirket af denne kræft, men også andre kræfter er i spil, som gør at man føler det som om tyngdekraften trækker i en an-den retning, eller trækker voldsommere i en. Dette kal-

der vi for den effektive tyngdeacceleration 𝑔⃗ . Denne
                                    𝑒𝑓𝑓

effektive tyngdeacceleration kan man definere ud fra et koordinatsystem som følger med personen, og perso-nen er i hvile. Dette kan illustreres som figur 9.

Hvis man kigger på dette fænomen i en kurveformet bane i et lodret plan, vil det være muligt at kunne be-skrive den effektive tyngdeacceleration. Problemet med

Figur 8. Et klotoide loop, klotoide delen er stor for at illustrere princippet.

Kilde: https://matahtx.systime.dk/index.php?id=375

Figur 9. Det relative koordinatsystem, med punktet P

som personen Kilde: http://www.matematiksi-
der.dk/vejgeometri/vejgeometri.pdf

Side 15

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 14 af 19 den effektive tyngdeacceleration, med en person er dog at enkelte punkter på en person kan godt være udsat for forskellig effektiv tyngdeacceleration, derfor vil man forsøge at redegøre for det som en generelt udtryk.

Man tager udgangspunkt i det relative koordinatsystem som at være defineret på samme måde som i afsnittet ”matematikken bag klotoiden”, og det vil bestå af (P, 𝑡,𝑛 ⎯ ⃗).

⃗

Som set på figur 9, er man nød til at korrigere tyngdeacceleration for accelerationen 𝑎⃗, heraf får man at

𝑔⃗_{𝑒𝑓𝑓} =𝑔⃗−𝑎⃗

Dette er kun tilfældet for et punkt der ligger stille i punktet P.

Accelerationen a, er man dog nødt til at bestemme, da tyngdeaccelerations vektoren er forholdsvis nem at bestemme, da den vil være

𝑔⃗=()

0

−𝑔

På grund af at den er lodret.

Når man vil beregne accelerationen i en vektorfunktion ved man at følgende vil gælde.

𝑟⃗^{′} ( 𝑡) =𝑣⃗(𝑡)

𝑣⃗^{′} ( 𝑡) =𝑎⃗ ( 𝑡) =𝑟⃗^{′′} ( 𝑡)

Hvis man vil definere hastighedsvektoren, kan man sige at den må være det samme som

𝑣⃗(𝑡)=𝑣(𝑡) ∙ 𝑡 (𝑠 ( 𝑡))

⃗

Hvor at s(t) er kurvelængdefunktionen, da tangentvektoren var defineret ud fra den naturlige para-meterfremstilling. Dette betyder at hastighedsvektoren er lig med farten til tiden t multipliceret med tangentvektoren. Dvs. at tangentvektoren giver farten en retning, og farten er en størrelse til vektoren, som tilsammen giver hastighedsvektoren.

Benytter man nu at hastighedsvektoren differentieret med hensyn til t er det samme som accelera-tionsvektoren får man at

Side 16

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 15 af 19

𝑎⃗ ( 𝑡) =𝑣⃗^{′} ( 𝑡) =𝑣^{′} ( 𝑡) ∙ 𝑡 (𝑠 ( 𝑡)) + 𝑣(𝑡) ∙ 𝑡 ′(𝑠 ( 𝑡)) ∙ 𝑠′(𝑡)

⃗ ⃗

Man ved dog at hvis kurvelængdefunktionen differentieres vil man få farten. Dette er gældende generelt i fysikkens verden at hvis udtrykket for et sted differentieres fås farten. Derfor bliver det til følgende

𝑎⃗ ( 𝑡) =𝑣^{′} ( 𝑡) ∙ 𝑡 (𝑠 ( 𝑡)) + 𝑣(𝑡) ∙ 𝑡 ′(𝑠 ( 𝑡)) ∙ 𝑣(𝑡)

⃗ ⃗

Tidligere er 𝑡 ′ blevet defineret under beviset for krumningen til dette

⃗

𝑡 ′=𝜅∙𝑛 ⎯ ⃗

⃗

Og accelerationen kan derfor omskrives til

𝑎⃗ ( 𝑡) =𝑣^{′} ∙ 𝑡 + 𝜅∙ 𝑣^{2} ∙ 𝑛 ⎯ ⃗

⃗

Da krumningen var omvendt proportional med radius for krumningscirklen kan formlen omskrives til

𝑎⃗ ( 𝑡) =𝑣^{′} ∙ 𝑡 + ∙ 𝑛 ⎯ ⃗^{11}

⃗

𝑣^{2}

𝜌

Hvor ρ er radius i krumningscirklen. Dette fænomen er illustreret på figur 10.

Nu kan accelerationsvektoren indsættes i formlen for den effektive tyngdeacceleration.

𝑔⃗_{𝑒𝑓𝑓} =𝑔⃗− 𝑎⃗=𝑔⃗ − (𝑣^{′} ∙ 𝑡 + ∙ 𝑛 ⎯ ⃗)= 𝑔⃗− 𝑣^{′} ∙ 𝑡 − ∙ 𝑛 ⎯ ⃗

⃗ ⃗

𝑣^{2} 𝑣^{2}

𝜌 𝜌

11

http://www.matematiksider.dk/vejgeometri/vejgeometri.pdf Side 22-23

Figur 10. Definitionen for accelerationsvektoren

Kilde: http://www.matematiksider.dk/vejgeome-
tri/vejgeometri.pdf

Side 17

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 16 af 19

Hvis man kigger på enhedscirklen med 𝑡

⃗ og 𝑛

⎯

⃗ vektorerne indsat er det muligt at beskrive vektorerne.

For vektoren 𝑡 kan den defineres som følgende ud

⃗ fra enhedscirklen

𝑡 =()

⃗ cos ( 𝜃) sin ( 𝜃)

For vektoren 𝑛 ⎯ ⃗ kan den defineres ud fra enheds-cirklen som

𝑛 ⎯ ⃗ =()

sin ( 𝜃) cos ( 𝜃)

Nu er det muligt at definere et generelt udtryk for den effektive tyngdeacceleration

𝑔⃗_{𝑒𝑓𝑓} =()−𝑣^{′} ∙ () − ∙ ()^{12}

0 cos ( 𝜃) sin ( 𝜃)

−𝑔 sin ( 𝜃) 𝜌 cos ( 𝜃)

𝑣^{2}

Dette vil give en vektor, og længden af denne vektor vil være g-påvirkningen som en person vil blive udsat for. Ud fra dette kan man også argumentere for valget af en klotoide som et del af et rutsche-bane loop. Hvis man tager et cirkulært loop og kigger på følgende

𝑔⃗=() 𝑜𝑔 − ∙ ()

0 sin ( 𝜃)

−𝑔 ()

𝑣^{2}

𝜌 cos 𝜃

I et cirkulært loop vil den sidste del have en stor del i bunden af loopet, da farten er stor, samt vektoren er ensrettet med tyngdeaccelerationen, i toppen er det omvendt og størrelsen af vektoren er ikke stor. Problemet her er den store g-påvirkning i bunden. Dette problem løser man derfor med en klotoide, da krumningsradiussen i bunden øges, og derfor mindskes længden af den sidste vektor.

Ved denne teknik var man i stand til at mindske en g-kraft på ca. 10 g til 5 g, hvilket gør rutschebanen ikke får folk til at besvime af de ekstreme påvirkninger. [13]

12

http://www.matematiksider.dk/vejgeometri/vejgeometri.pdf Side 26-27

13

http://www.matematiksider.dk/vejgeometri/vejgeometri.pdf Side 29

Side 18

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 17 af 19

Klotoider anvendt andre steder

Klotoidens egenskaber er ikke kun afgrænset kun til brug i konstruktion af rutschebaner, men også til mange andre forskellige opgaver. Når man skal bygge en vej er klotoiden muligvis en stor del af denne proces, da klotoiden indgår i det man kalder overgangskurver, og overgangskurver bruges til at går fra rette linjer over i cirkelkurver eller omvendt, de bruges også andre steder som f.eks. til afkørsler på motorveje. Klotoiden bliver dog mest brugt til overgangen fra ret linje til cirkelkurve eller som hovedelementet i en kurve.

Grunden til dette er at klotoidens krumning som tidligere beskrevet gør at en bil med konstant fart skal kun dreje rattet med konstant vinkelha-stighed hvilket gør det komfortabelt for en billist at køre i sådan en over-gangskurve, dog kun hvis billisten be-væger sig med konstant fart, hvis han ikke gør vil klotoiden ikke være den op-

timale overgangskurve.^{14} Der findes

dog også andre grunde til at anvende klotoiden i en kurve, specielt æstetik har en rolle i dette også.

Hvis man kigger på figur 11 er der illustreret en kurve med og uden en indskudt klotoide. Øjenhøjden for dette billede er 1.5 meter. Ud fra billedet kan man se at uden klotoiden ser kurven ud til at være et mindre sving end det egentlig er, i forhold til hvis man kigger på kurven med en klotoide. Hvis man kigger på kurven med en klotoide får man et bedre og mere korrekt indtryk af kurvens forløb.

Æstetik er på denne måde også en stor del af klotoidens anvendelse også fordi man ønsker føreren den bedste køretur og også fordi det af sikkerhedsmæssige årsager er bedre, da det viser sig at lange lige stykker har lettere ved at få en person til at falde i søvn pga. den ensformige køreoplevelse. [15] På grund af disse egenskaber for klotoiden er den oplagt at anvende netop denne i forbindelse med

14

Bog: Veje og Stier – Red. Af Bent Thagesen – 1. udg. Polyteknisk forlag – 2000 – Side 124

15

http://www.matematiksider.dk/vejgeometri.html

Figur 11. En kurve med og uden en indskudt klotoide. Kilde: http://www.mate-
matiksider.dk/vejgeometri.html

Side 19

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 18 af 19 konstruktion af veje. Tidligere har man anvendt tredjegradsparablen og lemniskaten, men man bru-ger nu klotoiden. [16] Klotoiden er også benyttet i andre konstruktioner af skinner som ikke bruges til rutschebaner, men til toge. Før i tiden bevægede togene sig med forholdsvis lav hastighed, og cen-tripetalaccelerationen for sådan et tog var ikke et problem, selvom at man bevægede sig fra en ret linje over i en cirkelkurve og man pga. dette får et ryk i toget pga. centripetalkræften regerer med det samme, var det ikke noget problem, men efterhånden som teknologien udviklede sig, og togene begyndte at køre hurtigere og hurtigere blev man nød til at tænke på centripetalkræften og det ryk som det forårsagede. Derfor begyndte man også i denne branche at udnytte klotoiden til at bygge kurver der gjorde togturen mere behagelig og sikker. [17]

Klotoiden er anvendt til mange forskellige former for konstruktioner af veje og skinner, men fældes for dem alle er at den bruges som en over-gangskurve fra som regel en ret linje til en cirkel kurve, og dette skyldes alt sammen klotoidens krumning der ændres lineært.

Konklusion

Ud fra dette projekt kan man konkludere at brugen at klotoider i både rutschebane loops, men også veje og togbaner er en vigtig del af nutidens konstruktionsmetoder. Grunden til dette er en af klo-

toidens vigtigste egenskaber som er at krumningen i en klotoide bevæger sig lineært imod 1/Radius

i krumningscirklen, og det er ligegyldigt hvilken krumningscirkel man vælger at udnytte da denne egenskab altid findes. Hvis man ikke brugte klotoide når man byggede rutschebaner, ville man højst sandsynlig heller ikke have rutschebaner med loops, eller også ville det være ekstremt farlige rut-schebaner da g-kræften i rutschebaner med cirkulære loops vil kunne skade, og i værste tilfælde dræbe mennesker. Ud over dette ville man når man kørte på vejene ikke have en nær så behagelig køretur da klotoiden er med til at give overblik samt gøre kurver og sving mere behagelige, og klo-toiden bliver også brugt til at lave kurver i vejen af sikkerhedsmæssige årsager, for ikke at risikere at billisterne falder i søvn af lange lige strækninger. Hvis man ud over dette heller ikke brugte kloto-iden når man byggede togbaner, ville togene ikke kunne bevæge sig med samme hastighed som de gør i nutiden, og hvis man skulle opnå dette blev man nødt til at bygge togskinner i lige linjer som aldrig drejer på nogen måde. Derfor er klotoiden en stor del af vores hverdag hvis man ikke brugte

16

Bog: Veje og Stier – Red. Af Bent Thagesen – 1. udg. Polyteknisk forlag – 2000 – Side 124

17

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_spiral#Track_transition_curve

Side 20

Studieretningsprojekt Klotoider og rutschebaner 3.A [navn fjernet]

D.

Side 19 af 19 den ville køreturen være ubehagelig og man ville ikke kunne prøve de samme vilde rutschebaner i forlystelses parker som man kan nu til dags.

Litteraturliste

Veje og stier. Redigeret af: Bent Thagesen. 1. udg. Polyteknisk forlag, 2000. (Bog)

G-kraft. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse: https://da.wikipedia.org/wiki/G-kraft - Besøgt d.

(Internet)

Vejgeometri. Udgivet af Erik Vestergaard. Internetadresse:http://www.matematiksider.dk/vejgeo-
metri/vejgeometri.pdf - Besøgt d. (Internet)

Vejgeometri. Udgivet af Erik Vestergaard. Internetadresse: http://www.matematiksider.dk/vejgeo-

metri.html - Besøgt d. (Internet)

Vej og rutsjebanegeometri. Udgivet af Erik Vestergaard. Internetadresse: http://www.lmfk.dk/ar-
tikler/data/artikler/0405/0405_19.pdf - Besøgt d. (Internet)

Wikipedia. Udgivet af Wikipedia. Internetadresse:https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_spi-

ral#Track_transition_curve - Besøgt d. (Internet)