SRP: Magnuseffekt og Der Sonntag, an dem ich Weltmeister wurde | Fysik A og Tysk fortsættersprog B

Side 1

Jeneepan, a13 SRP - Opgave 3.g

Studieretningsprojekt 2012

Magnuseffekten og Fodbold

Vejledere:

(FYSIK) - Fag 1 (studieretningsfag på A-niveau)

(TYSK) - Fag 2 (fag på mindst B-niveau)

Udarbejdet af:

- Forside billede: http://media.bundesliga.com/media/images/00_imported_920/ballack_em2008_tor_920.jpg

STX 3.g

Anslag 47982 = 19,99 sider

Side 2

Side 1 af 38

Abstract:

The paper examines the world of soccer from two completely different perspectives. On one hand we follow the importance of soccer for Germany throughout the history since the defeat in the Second World War in 1945. Through an analysis of Friedrich Christian Delius´ “Der Sonntag, an dem ich Weltmeister wurde“ and an examination of the soccer WC 1954 and the WC 2006 in Germany, it will be evaluated which role soccer played for the self-image and national identity of Germany. The debate that took place in the German media about the criticized soccer ball Jabulani from WC 2010 will also be put into perspective. The study underlines that soccer played a crucial role for Germany because it gave the Germans, laying on moral and economic abyss, their hope, national identity and self-confidence back and it was a key factor for Germany getting a better world reputation and coming to the right track again. On the other hand we have a scientific perspective, where the project looks at the forces that influence the motion of a soccer ball. Through various experiments it was possible to examine how far the ball reacted to the changes of parameters, such as; wind speed, drag coefficient, angle and flow.

Using the theory of the Magnus-force, which is based on Bernoulli´s Equitation, it will be possible to argue the connection between the observations of the experiments and the theory of the soccer ball´s dynamics. To conclude, the study points out that the soccer played an immense role for German history and that the main forces that affect the motion of soccer are: gravity, lift- and drag force.

Side 3

Side 2 af 38

Indholdsfortegnelse

Abstract: ....................................................................................................................................................... 1 Indledning ..................................................................................................................................................... 3 Fra sammenbrud til gennembrud ................................................................................................................ 3 Situationen efter kapitulationen i 1945 ................................................................................................... 3 Fodboldens betydning .............................................................................................................................. 4 Das Wunder von Bern - VM 1954 ......................................................................................................... 4 Das Sommermärchen - VM 2006 ......................................................................................................... 6 Sydafrika - VM 2010 ............................................................................................................................. 8 Fysikken bag fodbolden .............................................................................................................................. 10 Bernoullis princip .................................................................................................................................... 10 Analyse af fodboldens bevægelse .......................................................................................................... 12 Forsøg: ........................................................................................................................................................ 15 Forsøgsmaterialer til forsøgene: ............................................................................................................ 15

1) Kalibrering af vindmåler ved 30 cm afstand: ..................................................................................... 15

2) Ændrer vindhastigheden: ................................................................................................................... 17 Fodboldens sidelænsacceleration og sideskru ................................................................................... 22

3) Ændrer drag-koefficienten ................................................................................................................. 25 Kast med bold med to forskellige drag (Optag video med ”LoggerPro”) ........................................... 28

4) Ændrer indfaldsinklen ........................................................................................................................ 30

5) Laminar og Turbulent strømning: ...................................................................................................... 32 Fejlkilder i forsøgene: ............................................................................................................................. 33 Konklusion: ................................................................................................................................................. 34 Kilde-, Materiale- og Litteraturliste: ........................................................................................................... 34 Bilag: ........................................................................................................................................................... 37

Side 4

Side 3 af 38

Indledning

Der er ingen tvivl om, at fodbold er verdens suverænt mest populære sportskategori. Fodbold bliver spillet overalt over verdenen. Fodbold er simpelthen en elsket sport, som de fleste unge knægte vokser op med. I denne opgave vil der dog blive kigget på fodbolden med helt andre briller end de sædvanlige. I stedet for at kigge på selve sporten fodbold, vil der arbejdes med, hvor stor en social- og samfundsvigtig rolle en sport som fodbolden, kan spille for en så stor- og traditionsrig nation som Tyskland, og fysikken bag denne fodbold vil undersøges nøje. Denne opgave vil redegøre for den politiske udvikling i Tyskland efter 1945, altså for situationen efter det dystre nederlag under 2. Verdenskrig. Med udgangspunkt i en analyse af teksten ”Der Sonntag, an dem ich Weltmeister wurde” fra Friedrich Christian Delius, og VM-turneringerne 1954, 2006 og 2010 vil der vurderes, hvorvidt fodbolden spillede en rolle i udviklingen af tyskernes selvopfattelse og nationale identitet. Der vil blive perspektiveret til den debat der fandt sted i de tyske medier angående den kritiserede bold Jabulani fra VM 2010 i Sydafrika. Er Jabulani ikke bare en helt normal bold som alle andre? Hvordan kan det være Roberto Carlos kan få fodbolden til at skrue så meget, og hvordan kan det være Cristiano Ronaldo pludseligt kan få bolden til at dykke så ekstremt meget lige foran målet? Alt dette og mere vil der undersøges, i det Bernoullis ligning udledes teoretisk og dens anvendelse i forbindelse med fodboldens bevægelse vil blive analyseret. Vha. af forskellige forsøg vil der så undersøges og vurderes hvorledes en bold reagerer på ændringer af parametre såsom; vindhastighed, formfaktor, indfaldsvinkel og strømningsart, samt hvorledes den såkaldte Magnus-effekt spiller ind her.

Fra sammenbrud til gennembrud

Situationen efter kapitulationen i 1945

Tyskland endte med at tabe 2. verdenskrig i 1945. Store dele af landet lå i ruiner og man befandt sig moralsk på randens afgrund efter deres kapitulation i 1945. Det eneste krigen alt i alt efterlod, var en fuldstændig nedbrydning af Tysklands politiske og økonomiske orden, en deling af landet og menneskelige plager. Ved Potsdam-konferencen blev det så bekræftet at de tre store allierede stornationer; USA, Sovjetunion og Frankrig ville dele Tyskland op i fire besættelseszoner. På baggrund af uenigheder og konflikter mellem Sovjetunionen og de vestalierede blev der i 1949 grundlagt to tyske stater: De tre vestlige besættelseszoner; den franske, britiske og amerikanske, blev til

Forbundsrepublikken Tyskland (Vesttyskland), og den sovjetiske zone blev til den kommunistiske stat DDR - Deutsch Demokratische Republik (Østtyskland). Tyskland havde mistet store områder i øst og alt

Side 5

Side 4 af 38 pegede mod en dyster fremtid. Landet befandt sig ved det såkaldte Stunde Null, som tyskerne selv

                                         1
refererede til pga. den situationen de befandt sig.

Fodboldens betydning

En bærende rolle og faktor for, at Tyskland dog kom på benene igen og genfandt selvtilliden, nationalfølelsen og skabte sig en nationalidentitet var fodbolden. Efter 2. Verdenskrig var Tyskland meget tilbageholdene angående nationale symboler, da man skammede sig for nazismen og krigen og man frygtede omverdenens syn på dem. Efter Tysklands kapitulation i 1945 blev det Tyske Fodbold Forbund (DFB), som straf for skaderne af 2. Verdenskrig, udelukket af FIFA (det internationale fodboldforbund) og Tyskland var derfor ikke tilladt at deltage i nogen som helst internationale turneringer som Verdens- eller Europamesterskaberne. I 1949 foreslog det engelske fodboldforbund

(FA) at DFB igen skulle blive accepteret i FIFA, da de mente at Tyskland var blevet straffet længe nok.

FIFA valgte derpå at opløse forbuddet. Fra 1950 kunne det tyske fodboldlandshold officielt igen spille

                                  2
med i alle internationale foranstaltninger.

Dette var en stor mulighed for Tyskland, idet fodbold uden tvivl var og er den mest indflydelsesrige sport, altså var fodbolden en meget god mulighed for at repræsentere sit land godt fremover.

Das Wunder von Bern - VM 1954

Allerede fire år efter, altså ved VM 1954 i Schweiz, fik det tyske land sin store optur. Selvom ingen havde set Tyskland som titelkandidater, var det dem muligt at vinde turneringen, og det var endda med en finalesejr i mod storfavoritterne Ungarn, som ikke havde tabt nogen kampe i fire og et halvt år. Sejren var så vigtig og mirakuløs for nationen, at man også kaldte sejren ”Das Wunder von Bern”. For folket i Tyskland var sejren som en symbolkraft. Den var et symbolsk tegn på at Tyskland endelig var tilbage på sporet igen efter nederlaget i 2. Verdenskrig og lidelserne i Efterkrigstiden - ”genfødslen af den tyske selvopfattelse og nationalidentitet”. Kort efter dette ene mirakel kom også det andet vigtige mirakel, ”das Wirtschaftswunder”, den økonomiske optur. Selvom Tyskland lå i ruiner, som konsekvens af krigen, kunne landet fortsætte med industriarbejdet og produktionen, da disse til største del stadig var uskadt.

Dette var især grunden til den så hurtige opbygning af landet og opsving af økonomien. Atmosfæren var fuld af en entusiasme og eufori, som aldrig set før. Denne samlede alle befolkningsgrupper uanset zonegrænser. Folk havde fået deres tillid og håb tilbage.

1

Christian Lammers, Karl: DET NY TYSKLAND, Fra sammenbrud til genforening, s. 18

2

Joel, Holger og Ernst Schütt: Chronik des deutschen Fussballs

Side 6

Side 5 af 38

I uddraget ”Der Sonntag, an dem ich Weltmeister wurde” fra Friedrich Christian Delius ser man meget tydeligt hvor stor en rolle denne fodboldsejr betød for Tyskland og for den enkelte tyske borger. Bare overskriften i sig selv; ”Der Sonntag, an dem ICH Weltmeister wurde”, gør det tydeligt, at det ikke kun var en sejr for fodbolden, men også en sejr for den enkelte borger. Vi følger i uddraget VM-finalen 1954 mellem Tyskland og Ungarn, gennem en meget ung præstesøns perspektiv. Drengen bor på en gård i Sydtyskland og som standarden i den tid tillod, følger knægten ikke kampen i fjernsynet, men lytter live med i radioen fuld af entusiasme. Selvom han lever under strikte og strenge kristelige forhold, hvor bøn og tilbedelse hører med til hans hverdag, har drengen denne søndag valgt at ligge alle sine forpligtelser til side og følge sit lands fodbold passioneret. Henover kampen får man som læser et stærkt indtryk af, hvordan den lille drengs selvtillid og nationale stolthed vokser. I mod slutningen af uddraget er drengen så nået til toppen er euforien,

”Mich hielt es nicht mehr auf dem Stuhl, ich wollte meinen Stolz, meine Freude, meinen Dank in die

                                 3
Welt, ins Haus, ins Dorf hinausrufen (…)“

Den store twist i fortællingen er at kommentatoren fra radioen udtrykker sig med en engang i mellem religiøs vokabular, hvor han bl.a. sætter spilleren Toni Turek lige med ”fodboldguden”. Drengen er chokeret og lidt bange for om det overhovedet er tilladt for ham at lytte til alt det kommentatoren siger.

Især nu hvor han endda sidder i sin fars religiøse arbejdsrum. Det faktum, at han identificerer sig mere med sit lands fodbold og dens fodboldspillere dominerer dog i denne situation, hvilket får drengen til at glemme alt om kristendommen. Selvom drengen i hverdagen er meget stilfærdig og er bange for faderen, ser vi en helt anden side af ham da Tyskland vinder kampen. Han overskrider sine personlige grænser, råber og er fuld af glædeshormoner. Fodboldfanen i ham dominerer helt klart præstesønnen i ham i denne situation. Også med sit disciplineret religiøse liv har drengen fodboldkærligheden som en fællesnævner med sine jævnaldrende. Det der netop kendetegnede denne generation af tyskere, var nemlig ting som gåsehuden der opstår foran radioen og frygten for at misse et mål når man skal ud og tisse. Vi hører faktisk også hvordan hele publikummet i stadionet sprænger deres egne grænser ved pokaloverrækkelsen. Selvom det officielt er blevet forbudt at synge den første strofe af nationalsangen

(”Deutschland, Deutschland, über alles”) og det kun er tilladt at synge tredje strofe (”Einigkeit und Recht und Freiheit”), kan man tydeligt hører, at begge strofer bliver sunget, eller, nærmere råbt ud på

        4                                                                           5
stadionet. Endnu en detalje er at vi på side 60 linje 13 læser, at drengen ikke engang ved hvad tillægstid

3

”Der Sonntag, an dem ich Weltmeister wurde”, s.60 midten

4

Der Sonntag, an dem ich Weltmeister wurde”, s.61 nederst

5

Den tid der bliver givet til at spille ekstra som erstatning for den tabte tid under udskiftninger, skadede spiller eller andre afbrydelser.

Side 7

Side 6 af 38 betyder, hvilket understreger, at hele nationen er sammen om at understøtte deres land, selvom man ikke er den største fodboldfagmand.

”Ein Schauer im Rücken ließ Körper aufzittern, ich wischte die Tränen weg (…) ich fühlte deutlich, dass es mir fast zwei Stunden gelungen war dem sonntäglichen Alarmzustand, dem Vaterkäfig, den unsichtbaren Gottesfallen entronnen zu sein, und wusste, dass diese Ausnahmezeit, in der ich meine Makel vergessen konnte, irgendwann zu Ende ging, ich wollte den paradiesischen Zustand möglichst erhalten, also schnell

                                                                       6
zu meinen Freunden laufen, deren Herzen ebenso ergriffen sein mussten wie meins. (…)“

Budskabet kommer tydeligt til udtryk i disse linjer: Kærligheden til fodbolden og landet kan gøre en hver, om det så er én person med lav selvtillid eller en hel nation der har mistet håbet, meget stærk.

I filmen ”Das Wunder von Bern” fra Sönke Wortmann følger vi også en smuk handling, der udtrykker fodboldens betydning for Tyskland. Vi følger på den ene side et nygift ungt journalistpar; Paul- og Anette Ackermann, som efter nogle små stridigheder finder den helt store kærlighed til hinanden ved VM-finalesejren i stadionet. På den anden side har vi hovedpersonen, knægten Mathias, som er vokset op uden faderen Richard, da faderen var en af de 30.000 krigsfangede dengang. Da faderen dog vender hjem fra fangeskab igen i 1956 har far og søn svært ved at finde vejen til hinanden og det er nemlig her fodboldens rolle spiller ind. VM ‘et i Schweiz fungerer som en bro mellem far og søn her, selvom faderen ikke interesserer sig spor for verdensmesterskabet. Lysten og kærligheden til fodbold gør det dog nemmere for faderen at sætte sig ind i hans søns situation, da sønnen er en meget stor fodboldfan. På

den måde finder far og søn sammen - de har sådan set deres egen version af ”Das Wunder von Bern”.^{7}

Ikke nok med at sejren var et enormt vigtigt skridt mod, at tyskerne havde det godt med sig selv nu, så fik omverdenen igen en slags respekt for de kæmpende tyskere og deres kampgejst. Denne første VM-sejr i Tysklands fodboldhistorie var dermed ikke kun en sejr for fodbolden, men også meget essentiel og bærende byggesten for den kollektive selvopfattelse, synet på dem fra omverdenen og den nationale følelse og identitet. Kort sagt var ”Das Wunder von Bern” et mirakel!

Das Sommermärchen - VM 2006

I år 2006 fik Tyskland så sin helt store chance for at udrydde det dårlige omdømme og indtryk fra omverdenen. Tyskland blev nemlig valgt som landet, hvor VM 2006 skulle finde sted. Tyskland ville gøre

6

Der Sonntag, an dem ich Weltmeister wurde”, s.60 nederst

7

Das Wunder von Bern. 2003. Instruktion: Sönke Wortmann. Drejebog til filmen.

Side 8

Side 7 af 38 alt for at repræsentere sig godt og dermed skabe sig et godt image i hele verdenen. Den mest oplagte og perfekte mulighed for dette er netop et verdensmesterskab i eget land, hvor folk fra hele verdenens lande samles i Tyskland for at understøtte deres land. Anderledes formuleret har Tyskland altså i 4 uger haft besøg fra alverdens mennesker, ergo en glimrende chance for at give alle et godt indtryk af landet.

Selvom det tyske landshold måtte takke af med en flot 3.plads, efter nederlaget til Italien (Italien vandt senere hen turneringen) i semifinalen, var VM-turneringen en kæmpe hit. Det hele mindede om et eventyr, hvilket også er grunden til at man kalder turneringen ”Das Sommermärchen”, altså oversat Sommereventyret. Faktorer som dejligt vejr, glade mennesker, gode kampe og harmonisk turneringsforløb kendetegnede turneringen.

Efter 2. Verdenskrig gik tyskerne ikke med flag og sang ikke nationalsangen mere, da man skammede sig over nazismen, den radikale nationalisme, Adolf Hitler og alt det der var sket i krigen. Det meget omtalte og prangende her var dog, at Tyskand efter så mange stilfærdige år igen stolt viste sig med nationale symboler; som tysk nationalflag og tyske nationalfarver spredt over det hele. Diskussionsemnet efterfølgende var så at mange medier mente, at det her ikke kun drejede sig om et land der

                                                     8
understøtter sit fodboldhold, men at der var tale om patriotisme. Henover turneringen ændrede denne

negative tankegang sig dog og alle fejrede med tyskerne. En repræsentativ undersøgelse af den ”Europæiske Turisme Institution (ETI)” viser at 93 % af alle fodboldfans synes Tyskland var en behagelig

vært.^{9} Omverdenen var rystet over at stadionerne altid var fyldt med tyskere til alle VM-kampe, selvom

det ikke var deres eget hold der skulle spille, og hvor gode tyskerne var til at bakke op om alle hold.

I tyske Johanna Metz’ interview af tre unge; Ariane, Maria og Pritpal, der alle tre stammer fra forskellige dele af Tyskland og Verdenen, følger vi nogle argumenter for hvad der kendetegnede turneringen.

Selvom de ikke var de største fodboldfans, og ikke følte sig helt tyske var de en del af hele euforien. De gik også med det tyske flag og malte sorte, røde og guld farver i ansigtet. De så ligeledes en del kampe der blev vist på storskærm for masser af mennesker, public-viewings. Maria f.eks. fortæller at når der blev scoret mål løftede alle mennesker deres repræsentative flag op i vejret og jublede sammen i fællesskab. Pritpal fortæller, hvor fristende det var at se folk stadig fejre og juble, selvom deres hold var ved at tabe. Dog mener han det er vigtigt at forstå, at man ikke bliver til nationalister, bare fordi man går med nationalflag, er i godt humør og er stolt over at vise nationale symboler. Folk skulle ikke interpretere det som at tyskerne fejrede Tyskland, men at de fejrede sit hold. Jeg udleder heraf at tyskerne var i stand til skabe et godt afslappet forhold til sit flag, uden af at blive beskyldt for at være

8

Das Wunder von Bern. 2003. Instruktion: Sönke Wortmann.

9

http://www.etfi.eu/

Side 9

Side 8 af 38 nationalister. Som den tyske historiker Hans Ottomeyer siger, har alle lande brug for sine symboler og

                                                                             10
værdier for at samle hele befolkningen i harmoni. Sådan er menneskerne simpelthen indstillet. Alt i alt

viste Tyskland ved denne turnering, at de kunne fejrer med samtlige nationer og sørge for at alt foregik harmonisk. Tyskland viste efter mange år, at de var i stand til at behandlede de nationale symboler ansvarsfuldt, således man ikke beskyldte dem for forhistorien med nazismen og Hitler. Tyskland fik

hermed skabt sig et godt image!^{11}

Sydafrika - VM 2010

Ved VM 2010 i Sydafrika brød Tyskland for alvor i gennem, denne gang ikke kun imagemæssig, men også fodboldmæssig. Selvom de som ved sidste VM forlod turneringen med en 3.plads og bronzemedaljer, efter nederlag til Spanien (Spanien vandt senere hen turneringen) i semifinalen, havde de vundet publikummets hjerter og sympati fra hele verdenen.

Tysklands fodbold blev af hele verdenen karakteriseret med udtryk som: heldige lodtrækninger, kun gamle tyskere i truppen, kedelig og aggressiv fodbold, knappe sejre, aldrig at give op og lignende. Alt dette ændrede sig dog efter denne turnering. Tyskland spillede turneringens nok smukkeste omgang fodbold, med så mange unge og multikulturelle spillere som aldrig før. I lodtrækningen var de heller ikke så heldige som før i tiden, hvor de bl.a. trak favoritnationer som Argentina, England og Spanien. Knappe sejre var der heller ikke tale om mere, med 4-0 sejr mod Australien, 4-1 sejr mod rivalerne fra England og 4-0 sejr mod Argentina. Det da overraskede verdenen mest var dog hvordan Tyskland kunne være i stand til at stille med så et ungt hold (3.yngste hold ved hele turneringen med en gennemsnitalder på

25,3 år^{12}) og med et hav af integrerede spillere der stammer fra vidt forskellige verdensdele. Truppen

indeholdte spillere, der havde rødder i Brasilien (Cacau), Polen (Lukas Podolski, Miroslav Klose, Piotr Trochowski), Spanien (Mario Gomez), Bosnien (Marko Marin), Türkiet (Mesut Özil, Serda Tasci), Tunesien (Sami Khedira), Nigerien (Denis Aogo) og Ghana (Jerome Boateng). Altså var 11 ud af den 23- store VM trup, knap halvdelen af truppen, integrerede spillere. Dette multikulturelle hold spejlede selve landet Tyskland godt, som over årene har vist sig at være et meget multikulturelt land.

VM-bolden: ”Jabulani”

En af de helt store debat-, nærmest kritik-, områder ved turneringen var VM-bolden, navngivet ”Jabulani”, der skulle bruges gennem turneringen.

10

„Wir haben das Recht, Unbefangener zu sein“ - ein Interview von Johanna Metz

11

„Das Sommermärchen“. 2006. Sönke Wortmann

12

http://www.rp-online.de/sport/fussball-wm/wm-2010-durchschnittsalter-aller-teams-

Side 10

Side 9 af 38

                    13
En bold (figuren til højre

) som de fleste ville kommentere med ”det da bare helt normal rund bold som alle andre”. Denne bold forårsagede dog masser af problemer gennem turneringen.

14

Medmindre man er fysisk orienteret er det en smule svært at konkludere noget fra disse tal, dette vil vi dog ændrer på senere hen. Det er dog et faktum, at bolden har forårsaget kæmpe debat over hele verdenen, især i fodboldnationen Tyskland. Samtlige tyske medier; fra „Das Bild“, „Die Süddeutsche Zeitung“, „Die Welt“, „Spiegel“, „Das Handelsblatt“, „HNA“, „T-Online“ til „RP-Online“ har behandlet emnet. En sidebemærkning her er, at man i Bundesligaen (den tyske fodbold liga) har brugt Jabulani bolden længe allerede inden VM, hvilket har vækket kritik, da de mange tyske spillere i bundesligaen derfor har en fordel i det de er vant til bolden, når de så kommer til VM. Dette er logisk nok også grunden til at Tyskland var et af de meget få lande, hvorfra der ingen kritik til bolden kom.

Kritikpunktet ved bolden var, at bolden har en uberegnelig bane når den bliver skudt, hvilket især gjorde livet svært for målmændene. Den brasilianske målmand Julio Cesar udtalte sig således til BILD: ”Bolden er skrækkelig, uberegnelig. Når den kommer i mod ens mål kan man intet andet gøre end at bede. En skændsel at den bruges i så en vigtig turnering. Den minder meget om plastikboldene man køber for en

10´er i supermarkeder.” I forhold til målmænd er angriberene en del mere tilfredse med bolden, den tyske angriber Mario Gomez til ”die Süddeutsche”: ”Det er meget nemmere at score nu. Det er ligesom at der er nogen der styrer bolden med et joystick. Bolden er lidt hårdere og det går selvfølgelig lidt ondt, men når man rammer den rigtig så er den farlig!” Den engelske landsholdstræner Fabio Capello påstår endda at det er den dårligste bold han nogensinde i sit liv har set, hvor den danske landsholdstræner Morten Olsen mener at bolden har sin egen hjerne og vilje. [15]

13

Figur 1:http://www.gophoto.it/view.php?i=http:// jabulani_hd_widescreen_wallpapers_1440x900.jpeg#.

14

Figur 2:http://www.fifa.com/jabulani

15

http://www.bild.de/sport/fussball-wm-2010-suedafrika/sport/die-wahrheit-ueber-das-gefaehrliche-flugobjekt

Figur 2: En bekræftet teknisk sammenligning mellem FIFA´s standardbolde og Jabulani.

Figur 1: Billede af ”Jabulani”-bolden

Side 11

Side 10 af 38

Andy Harland fra Loughborough University har undersøgt bolden for ”Die Süddeutsche” og konkluderet at bolden helt klart flyver hurtigere end de tidligere bolde, og når man så spiller i stadionet i Johannesburg, Sydafrika (hvor turneringen fandt sted) f.eks., som ligger 1700 meter over havspejlet, bliver den 5 % hurtigere, da luften her er tyndere og bolden derfor rammer mindre modstand. Dette giver selvfølgelig målmænd problemer, idet de har en mindre reaktionstid. Udover hastigheden, så hvis man skyder højt og lige på bolden, er bolden i stand til at ændre flyveretning flere gange, udtaler professor Derek Leinweber sig. Tyske Hans-Peter Nürnberg (sørger for den tekniske udvikling af bolde for Adidas) forklarer dog, at det faktum at bolden kan skifte flyveretning flere gange inde for et skud er et fysisk fænomen, der kan skabes ved alle bolde, hvis man ikke svinger benet helt ud, men nærmere skovler bolden op, i det man rammer bolden halvt med vrist, halvt med indersiden. Retningsskiftene er

                                                                           16
ikke kun muligt i sideretningen (sidelæns rotation), men også i højde- og dykningsretningen. Bolden er

altså en gave, en bold serveret på sølvfad, for spillere med en skudteknik som portugiseren Cristiano Ronaldo. Han ville ramme bolden meget dybt og trække foden hurtigt op. Således giver han bolden en topspin, så selvom hans skud ville have en ekstrem høj afgangsvinkel, ville bolden dog kunne dykke ekstremt lige foran målet under overlæggeren.

”Das Bild” argumentere tydeligt for bolden, i det de med lidt ironi skriver, at det ikke altid er så nemt at være en bold, da der bliver sparket på den 2000-gange i en kamp, og den skal alligevel bevare formen.

Ifølge ”Bild”´s kilder er bolden den mest runde, formstabile og vandtætte bold nogensinde, hvilket er grunden til at folk skulle vænne sig til bolden, i stede for at kritisere den. ”Das Handelsblatt” skriver dog

                                                                        17
sort på hvidt, at bolden er skyld i det svage niveau, med få mål og mange fejlafleveringer.

Vi vil nu med naturvidenskabelige briller kigge lidt på hvilke forskellige faktorer der spiller ind på bolden, der får en bold som Jabulani ´en til at udskille sig fra andre bolde og hvordan en bolds bevægelse foregår og hvad den afhænger af.

Fysikken bag fodbolden

Bernoullis princip

Vi vil starte med at kigge på Bernoullis ligning, da en afgørende del af teorien bag boldens fysik tager udgangspunkt i Bernoullis princip. Bernoullis princip er opkaldt efter den hollandske

16

http://www.sueddeutsche.de/sport/wm-spielball-jabulani-unmoeglich-zu-fangen-1.954388

17

http://www.handelsblatt.com/sport/fussball/nachrichten/jabulani-kritik-ball-ist-schuld-am-schwachen-wm-

niveau/

Side 12

Side 11 af 38 videnskabsmand Daniel Bernoulli (). [18] Princippet forklarer sammenhængen mellem hastighed og tryk - i vores tilfælde anvender vi princippet til sammenhængen mellem hastigheden på luftstrømningen omkring en fodbold, og trykket omkring fodbolden. Bernoullis princip fortæller, at når hastigheden på luftstrømningerne omkring bolden stiger, vil trykket også falde. Omvendt når hastigheden falder, vil trykket stige:

𝐸_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} = ∙ 𝜌 ∙ 𝑣^{2} + 𝑝=𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

1

2

(1)

                                                             3
hvor 𝜌 er luftens densitet, v er luftens fart, p er tryk som er trykenergi pr. m

og konstanten er det totale

tryk, som er den totale energi pr. m^{3}.

Hvis vi nu kigger på et luftstrømrør^{19}, som på figuren til højre, kan man billedeligt forklare Bernoullis
princip. Der ses at rørets begge ender har et areal, navngivet A_{1} og A_{2}. Vi følger hvorledes luft, altså en
fluid, med volumen V, bevæger sig hastigheden v_{1} i begyndelsen af røret. Luftens hastighed er på v_{2} i

                                                                20
enden af røret. Luften påvirkes her kun af den kinetiske- og potentielle energi.

For nu at beskrive Bernoullis princip kigger vi nærmere på faktorerne; Arbejde, kinetisk energi og potentiel energi. Derved vil Bernoullis ligning blive udledt.

                                                                 𝑁
                            3
Hvis energi pr. volumenenhed (m ) måles er den tilhørende enhed tryk (𝑝= ). Så Bernoullis ligning
                                                                  2
                                                                𝑚

kan opskrives som tryk. Så når der arbejdes med en strømning der er friktionsfrit (viskositetsløs), fortæller Bernoullis princip at luftstrømningens kinetiske energi og potentielle energi plus den statiske trykenergi er konstant. For at simplificere Bernoullis ligning reducerer vi den, i det det er givet at luftens massefylde, densitet, er så lav at dens betydning er minimal:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} + 𝐸_{𝑝𝑜𝑡} =𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 (2)

⇕

1

2

∙ 𝜌 ∙ 𝑣^{2} + 𝑝=𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

(3)

Dette princip gælder ved masse- og energibevarelse (f.eks. ingen varmetilføjelse), når højderne er ubetydelig, røret er stabilt, samt antagelsen at luften ikke bliver presset sammen i den luftstrøm, der kigges på, inkompressibel.

18

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bernoulli_Daniel.html

19

Figur 3: http://www.gophoto.it/view.php?i=http://BernoullisLawDerivationDiagram.svg/

20

Bull Andersen, Thomas: Biomekanik og Bevægelseslære, s.120

Figur 3: Strømrør der skildrer Bernoullis princip

Side 13

Side 12 af 38

Hvis vi nu overføre denne teori til den for en fodbolds bevægelse, og der antages at Bernoullis princip gælder for luftstrømmen omkring fodbolden, kan der opstilles en ligning for luftstrømmen over bolden og under bolden:

Under bolden:

1

2

∙ 𝜌 ∙ ( 𝑣_{1})^{2} + 𝑝_{1} =𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

(4)

Over bolden:

1

2

∙ 𝜌 ∙ ( 𝑣_{2})^{2} + 𝑝_{2} =𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

(5)

Så når det er givet at summen af den dynamiske og statiske tryk er en konstant - over og under bolden - sættes de opstillede ligninger lig med hinanden:

1 1

2 2

∙ 𝜌∙ ( 𝑣_{1})^{2} + 𝑝_{1} = ∙ 𝜌 ∙ ( 𝑣_{2})^{2} + 𝑝_{2}

(6)

Her isoleres den statiske tryk:

         1
                  2      2
𝑝 − 𝑝  =  · 𝜌 · (( 𝑣 ) − ( 𝑣 ) )
 1   2           2     1
         2

(7)

Med andre ord fortæller Bernoullis princip her altså at når en volumen af fluid (V) bliver tilført et arbejde af omgivelserne (W) er dette lig summen af ændringerne i kinetisk og potentiel energi. Så når

hastigheden, v , i strømrøren vi kiggede på stiger, falder trykket, p , også. Selvom Bernoullis ligning er
            2                                          2

idealistisk, idet den bl.a. forudsætter der ingen friktion er, hvor virkeligheden jo er en anden, giver ligningen os en meget god forklaring af hvordan boldens bane er (tryk over og under bolden).

Analyse af fodboldens bevægelse

Den lige gennemgåede Bernoullis princip spiller, som allerede indikeret, en bærende rolle for fodboldens dynamik. Når en fodbold sættes i bevægelse er der to afgørende faktorer, kræfter, for at bolden ikke bliver med at bevæge sig, nemlig tyngdekraften og luftmodstanden.

Tyngdekraften sørger for at bolden vil blive ”trukket” ned igen når den bliver skudt, hvor det er luftmodstanden der trækker fodbolden i modsat retning af dens egentlige bevægelsesretning. Denne trækkraft betegnes også som drag force, Fd. I løbet af boldens bane ville denne drag force, altså også bevægelsesretningen, ændre sig, da boldens bane ikke er en ret linje, men en kurve.

Luftmodstandens betydning kan bedst forstås ved at kigge på luftstrømningerne rundt om fodbolden.

Luftstrømningerne rundt om en fodbold er nemlig ikke ens foran og bag ved bolden. Luftstrømningerne

Side 14

Side 13 af 38 bliver nemlig skilt fra boldoverfladen inden de når hele vejen rundt om bolden. Dette medfører, at der opstår en turbulent strømning bag ved bolden. Netop denne turbulente strømning trækker i fodbolden, således at der opstår en modsatrettet kraft, drag forcen.

For at forstå dette klart, skal det vides hvad forskellen på laminar og turbulent strømning er. Ved laminar strømning er der tale om en pæn jævn strømning rundt om begge sider af fodbolden. Når hastigheden af luftstrømmen øges vil der dog opstår en turbulent strømning, her bevæger luften sig mere uregelmæssigt og der vil komme et pludseligt trykfald, hvor den turbulente strømning opstår.

Luftmodstand er betydeligt større ved denne slags turbulens. [21]

Så som sagt, når fodbolden roterer, er luftstrømningerne anderledes. Trykket rundt om den roterende fodbold er ikke ens hele vejen rundt om bolden. Her kommer kraften, kaldt lift-force i spil. Når en fodbold f.eks. bliver skudt af sted med backspin, påvirker dette fodboldens bane. Her opstår der nemlig en opadgående kraft, lift forcen. Grunden til denne kraft er den såkaldte Magnus-effekt.

Denne effekt er blevet kaldt efter den tyske videnskabsmand Heinrich Gustav Magnus ()^{22}.

Effekten udledte Magnus i 1952 med udgangspunkt i Bernoullis ligning. Som nævnt bliver luftstrømningerne separeret ved boldoverfladen, inden luftstrømningerne når hele vejen rundt om bolden, når der er backspin. Som det ses på figuren nedunder adskilles luftstrømningerne senere i den side, hvor luftstrømningerne følger boldens rotation. Modsat bliver luftstrømningerne adskilt tidligere i den side, hvor luftstrømningerne bevæger sig imod boldens rotation.

Boldens rotation bremser altså her på en måde den forbi strømmende luft på undersiden af bolden, modsat bliver luften på oversiden af bolden hurtigere. Det er nemlig også det, der bliver sagt i Bernoullis princip, som tidligere forklaret. Når lufthastighed stiger, falder trykket, modsat stiger trykket når lufthastigheden falder. Når man altså skyder en fodbold med backspin, vil der altså opstå et højere tryk på undersiden og et lavere tryk på oversiden, og derfor vil der være en kraft der trækker bolden opad,

Magnus-kraften nemlig.^{23} Så jo mere backspin desto større trykforskel og desto større opadgående

kraft. Det skal dog klart siges, at Magnus-effekten selvfølgelig kan påvirke en bold i alle retninger afhængig af, hvordan bolden roterer. Vi arbejdede med backspin, men ved topspin f.eks., som Cristiano

21

http://blog.nialbarker.com/wp-content/uploads/2010/03/laminar_turbulent_flow.gif

22

http://de.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Gustav_Magnus

23

C.B. Daish, “The Physics og Ball Games”, s.57

Figur 4: Øverst ses turbulent strømning og nederst laminar strømning

Figur 7: Billedlig forklaring af Magnus-effekten

Side 15

Side 14 af 38

Ronaldo har ved sine frispark, vil der være en omvendt Magnus-effekt, således at bolden vil søge nedad,

dykke.^{24}

Så de afgørende kræfter der betyder noget for en fodbolds bevægelse er; tyngdekraften, drag-force

(luftmodstand) og lift-force (Magnus-kraften).

Denne Magnus-effekt kan perspektiveres til, hvorledes en flyvemaskine kan lette fra jorden, igen tages der ikke højde for friktion. Vingen af et fly er nemlig konstrueret således, oversidevingens overflade er større end undersidevingens overflade. Når luften altså strømmer forbi vingen, må luftstrømningerne på oversiden af vingen nødt til at bevæge sig hurtigere end luftstrømningerne på undersiden af vingen.

Igen med udgangspunkt i Bernoullis princip, resultere dette i, at trykket under vingen er større end trykket over vingen. Der opstår således en opadgående kraft, Magnus-effekten, som er grunden til flyet

     25
letter.

24 Figur 7: http://www.wissenswerkstatt.net/wp-content/2008/06/Magnus-Effekt_01.jpg

25 Figur 8: http://ndla.no/sites/default/files/images/6_2_flyving_0.png

Figur 8: Tværsnit af flyvinge

Figur: Opsummering af kræfterne der påvirker fodbolds bevægelse

Side 16

Side 15 af 38

Forsøg:

Gennem fem forskellige forsøg vil jeg nu undersøge en kugles reaktion på ændring af parametrene; vindhastighed, drag-koefficient, indfaldsvinkel og strømningstypen.

1) Kalibrering af vindmåler ved 30 cm afstand:

26

26

Figur 9: billede af forsøgsopstilling taget under udførelsen d. 11/12/12 AGS

Forsøgsmaterialer til forsøgene:

- Vindgenerator

- Variabel strømforsyning

- 1 stk. Vaterpas

- 2 stk. Newtonmetre (0,2 N)

- Træklodser til at sænke og hæve

- Flamingo-kugle

- Fod og stativ

- Sytråd

- Vindmåler (V1-testo)

- Vinkelmåler

- Tape

- 2 stk. stokke

Side 17

Side 16 af 38

FIGUR 9: FRA HØJRE SES VINDHASTIGHEDSMÅLEREN (1), BLÆSEREN (2), OG DEN VARIABLE STRØMFORSYNING TIL VENSTRE (3).

Der startes ud med at en kalibrering af spænding og vindhastighed, selvom der kan findes et dataark for kalibrering mellem spænding og vindhastighed i brugsvejledningen. Blæseren tændes i det man skruer op for den variable spændingskilde, hermed variereres vindhastigheden også. Vi måler denne med en

vind-flowmåler. Den er i stand til at angive vindhastigheden med en nøjagtighed på 0,2 m/s. Der vælges

at sammenligne vores kalibrering med den brugsvejledningen opgiver.

TABEL 2: EGEN KALIBRERING

Spænding (V) Vindhastighed (m/s)

60 | 2,54
80 | 4,28
100 | 5,80
120 | 6,75
140 | 7,80
160 | 8,65
180 | 9,44
200 | 10,13
220 | 10,89

Sammenligning af min kalibrering og brugsvejledningens:

Jeg indsætter måledataene i programmet ”Graph”, vindhastigheden (m/s) langs y-aksen og spændingen

(V) langs x-aksen.

Brugsvejledning tabel:

TABEL 1

Side 18

Side 17 af 38

FIGUR 10: SAMMENLIGNING AF KALIBRERING. DER MÅLES EN VINDHASTIGHED DER LIGGER LIDT UNDER DEN VINDHASTIGHED DER OPGIVES I DATABLADET FOR BLÆSEREN.

Der ses, at de opgivne vindhastigheder ikke stemmer helt overens med de faktisk målte vindhastigheder, i det tendensen er at vores målte vindhastigheder er lidt lavere end de angivende.

Der laves de forskellige regressioner på målingerne og der ses at sammenhængen mellem vindhastigheden og spændingen er bedst beskrevet ved en andengrads-regression. Til beregningerne senere hen benyttes de selv målte vindhastigheder.

Følgende forskrift blev bestemt for sammenhængen:

𝑓 ( 𝑥) =1,0506 ∙ 10^{−4} ∙ 𝑥^{2} + 0.08799 ∙ 𝑥 − 2.3473 (8)
𝑅^{2} =0,9997

                                                                              2
Der ses tydeligt at der ingen systematiske afvigelser er at se og at determinationskoefficienten (R ) er

utrolig tæt på én, altså er sammenhængen god.

Side 19

Side 18 af 38

2) Ændrer vindhastigheden:

27

FIGUR 11: FRA VENSTRE SES BLÆSEREN (1), FLAMENGO-BOLDEN (2), STATIVER MED NEWTONMETRE OG DREJEHJUL I BAGGRUNDEN (3) OG DEN VARIABLE STRØMFORSYNING (4).

Vi vil her følge sammenhængen mellem opdriftskraften af kuglen og vindhastigheden af blæseren når indfaldsvinklen fastholdes. Først placeres blæseren således at flamingo-kuglen, som skal simulere en fodbold, har en afstand på 30 cm fra mundingen af blæseren. Her er luftstrømmen nemlig laminar (se bilag 1). Blæseren tændes nu i det man skruer op for den variable spændingskilde. Hermed variereres vindhastigheden også. Der skal sørges for at newtonmetrene, der måler opdriften og vindmodstanden ligger i samme plan og er lodrette. Hvis ikke ville de kræftener, der aflæses på newtonmetrene ikke være den egentlig kraft man måler, da vi så ville rode os ind i noget projektion af kræfter pga. den skrå vinkel. Newtonmetrene er forbundet til flamingo-kuglen, derfor skal kuglen hænge vandret og newtonmetrene anbringes sådan at de reagere lige når kuglen påvirkes. Dettes gøres for at undgå den smule slør, som ville resultere i at de målte kræfter er for små. Inden forsøget går i gang aflæses det såkaldte ”offset” fra newtonmetrene. Det er det kraften aflæses til inden forsøget er gået i gang, denne værdi for ”offset” skal altså subtraheres fra de værdier for kraften der måles senere. Der laves en tabel, hvor de tilhørende sæt af spændingen (V) og opdriftskraften (N) noteres. Ud fra kalibreringen fra første forsøg omregnes de aflæste spændinger til vindhastighed. Der undersøges efter den bedste sammenhæng mellem vindhastigheden kvadreret og opdriftskraften.

Offset: 0,006 N

27

Figur 11: billede af forsøgsopstilling taget under udførelsen d. 11/12/12 AGS

Side 20

Side 19 af 38

TABEL 3 TABEL 4

Spænding (V) | Målt kraft (N)
50 | 0,01
70 | 0,012
82 | 0,015
100 | 0,018
128 | 0,032
155 | 0,046
206 | 0,087

De aflæste spændinger omregnes til vindhastighed, som nævnt, vha. af kalibreringen i starten. Da vi har bestemt en sammenhæng for vindhastighed og spænding, skal vi bare indsætte de målte værdier for spændingen ind på x´s plads i den bestemte sammenhæng. Således bestemmes vindhastigheden.

                                       2
Derefter kvadreres vindhastigheden, da det er v vi skal arbejde med.

Eksempel på omregning fra spænding til vindhastighed, derefter til vindhastighed kvadreret:

𝑓 ( 𝑥) =0.00010506 ∙ 𝑥^{2} + 0.08799 ∙ 𝑥 − 2.3473 (9)

0.00010506 ∙ 50^{2} + 0.08799 ∙ 50 −2,3473=2.3027

𝑚 𝑠

(10)

2.3027^{2} =5,3024

𝑚^{2} (11)
𝑠^{2}

Spænding (V) | Korrigeret kraft (N)
50 | 0,004
70 | 0,006
82 | 0,009
100 | 0,012
128 | 0,026
155 | 0,04
206 | 0,081

Vindhastighed (m/s) Korrigeret kraft (N) Vindhastighed^{2} (m^{2} /s^{2}) Korrigeret kraft (N)

2.3027 | 0,004 | 5,3024 | 0,004
4.3027 | 0,006 | 18,5132 | 0,006
5.5411 | 0,009 | 30,7038 | 0,009
7.4527 | 0,012 | 55,5427 | 0,012
10.5551 | 0,026 | 111,4101 | 0,026
13.6952 | 0,04 | 187,5585 | 0,04
20.0243 | 0,081 | 400,9726 | 0,081

Tabel 5

Tabel 6

Side 21

Side 20 af 38

Sammenhæng mellem vindhastighed kvadreret og magnuseffekt:

Jeg indsætter måledataene ind i programmet ”Graph”, vindhastigheden kvadreret (m^{2} /s^{2}) langs x-aksen

og opdriftskraften (N) langs y-aksen. Der laves igen de forskellige regressioner på målingerne og der ses at sammenhængen mellem vindhastigheden og opdriftskraften er bedst beskrevet ved en lineær-regression.

Figur 12: Denne graf viser at opdriften er proportional med hastigheden kvadreret.

𝑦=𝑎∙ 𝑥

𝑓 ( 𝑥) =0,00020092 ∙ 𝑥 (12)

𝐹 ( 𝑣^{2}) =0,00020092 ∙ 𝑥

𝑁

𝑚^{2}
𝑠^{2}

(13)

𝑅^{2} =0,9888

Der ses tydeligt, at vi har en ligefrem proportional sammenhæng, idet der ingen systematiske afvigelser

                                  2
kan ses og determinationskoefficienten (r

) er på 0,9907, hvilket må siges at være meget tæt på 1.

Der ses altså at opdriften stiger proportionalt når vindhastigheden kvadreret stiger. Da vindhastigheden kvadreret i begyndelsen logisk nok er lig 0 er der selvfølgelig heller ingen kraftpåvirkning her, altså er kraften lig 0 her, hvilket også er grunden til der forventes en proportional sammenhæng der skærer i punktet (0,0), hvis man trækker offset ‘et fra som vi gør. Denne observation passer meget godt overens med teorien, i det at teorien jo sagde at når hastigheden over bolden stiger, resultere det i at trykket over kuglen bliver mindre i henhold til Bernoullis ligning. Derved bliver trykforskellen større samtidig

Side 22

Side 21 af 38

med at forskellen på hastigheden over og under kuglen bliver større. Så forskellen på (( 𝑣_{2})^{2} − ( 𝑣_{1})^{2})

bliver større når vindhastigheden stiger. Derfor øges opdriften på kuglen jo højere vindhastigheden bliver. Det er netop det, der også ses i vores forsøg.

Nu præsenteres der et eksempel på udregningen af kuglens opdriftskoefficient. Først skal kuglens overfladeareal bestemmes. Kuglens omkreds er målt til 31,6 cm med en usikkerhed på 0,2 cm. Jeg bestemmer først radiussen af kuglen ved at isolere radiussen i formlen for omkredsen af en cirkel, da omkredsen jo er kendt.

𝑂𝑚𝑘𝑟𝑒𝑑𝑠_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙} =𝜋∙ 2 ∙ 𝑟 (14)
𝑂𝑚𝑘𝑟𝑒𝑑𝑠_{𝑐𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙}

𝜋∙ 2

=𝑟

(15)

𝑟= =5,0293 𝑐𝑚

31,6 𝑐𝑚 𝜋∙ 2

(16)

Overfladearealet af kuglen kan bestemmes nu. Følgende formel er givet:

𝐴_{𝑜𝑣𝑒𝑟𝑓𝑙𝑎𝑑𝑒} =4 ∙ 𝜋∙ 𝑟^{2} (17)
4 ∙ 𝜋 ∙ 5,0293^{2} =317,8515 𝑐𝑚^{2} =0,03178515 𝑚^{2} (18)
Efter at markere den del af kuglen luften strømmer henover, vurderes denne del til at være^{1}_{4} af den

samlede kugles overfladeareal. Der bestemmes nu hvor stor en del af den samlede overfladeareal af kuglen luften strøm henover:

0,03178515 𝑚^{2} (19)

4

=0.0079463 𝑚^{2}

For nu at bestemme opdriftskoefficienten, anvender vi følgende formel for kraft:

𝐹_{𝑙} = ½ ∙ 𝐶_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ∙ 𝜌_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ∙ 𝐴 ∙ 𝑣^{2} (20)

hvor 𝐹 er opdriften, 𝐶 er opdriftskoefficienten, 𝜌 er luftens densitet, A overfladearealet luften
      𝑙             𝑙                      𝐿𝑢𝑓𝑡

strømmer henover og v er luftens hastighed.

Da hastigheden kvadreret er langs den horisontale akse og opdriften er langs den lodrette akse angiver hældningen af regressionslinjen følgende sammenhæng:

ℎæ𝑙𝑑𝑛𝑖𝑛𝑔=𝑎= · 𝜌 · 𝐴· 𝐶_{𝐿} (21)

1

2

Her isoleres opdriftskoefficienten:

𝐶  =
 𝐿  1
     ·𝜌
       𝑙
    2

𝑎

·𝐴

(22)

Side 23

Side 22 af 38

Værdierne indsættes i formlen og opdriftskoefficienten bestemmes:

𝐶 =
 𝐿
    1

0,00020092_{𝑚^{2}}

𝑁

(  )
  2
 𝑠

2

· 1,204_{3} · 0.0079463 𝑚^{2}

𝑘𝑔 𝑚

(23)

𝐶_{𝐿} =0,0420012 (24)

Der ses at enhederne går ud med hinanden, hvilket understreger at opdriftskoefficienten er enhedsløs.

Opdriftskoefficienten af vores flamingo-kugle er altså blevet bestemt til at være 0,0420012. Den forholdsvis lave opdriftskoefficient passer fint i det luftstrålerne der kommer ud af blæseren er relativ tynde.

Fodboldens sidelænsacceleration og sideskru

Denne bestemte opdriftskoefficient for kuglen vil jeg nu gerne relatere til fodboldes sideskru. Her vælger vi at kigge på spilleren med det hårdeste skud i fodboldhistorien, den brasilianske- og Real Madrid- back Roberto Carlos. Hans mest populære og hårdeste skud er blevet målt til 85,2 mph, altså miles per hour, i 1997 i mod Frankrig. Dette gjorde han fra en afstand på 35 meter på et direkte frispark.

28

Det er altså for dette frispark vi vil bestemme den sidelænsacceleration og den sidelænsbevægelse, altså sideskruet. Begge dele vil blive bestemt for, hvis han havde skudt med en normal Nike-bold og med en Jabulani bold. Efterfølgende vil begge bolde sammenlignes. Vi regner fremover i en plan, for at undgå vektorer, og dermed simplificeres regnemetoderne.

Først skal de 85,2 mph omregnes til SI-enheden for hastighed, nemlig meter pr. sekund, m/s.

85,2 miles = 137 116,109 m

137 116,109 𝑚

3600 𝑠

=38.0878^{𝑚}_{𝑠}

(25)

For at bestemme sidelænsacceleration for dette frispark skal vi kigge på Newtons 2. lov. Newtons 2.lov siger i vores tilfælde, at jo mere bolden vejer jo større en opdriftskrafts har bolden ved en konstant acceleration.

𝐹=𝑚∙ 𝑎 (26)

Masserne af begge bolde vejes, så for at bestemme accelerationen skal kraften, F, bestemmes. Det gennemsnitlige overfladeareal for en fodbold slås op på FIFA´s hjemmeside. Da vi har bestemt opdriftskoefficienten tidligere, kan vi via. formel 20, bestemme kraften:

28

http://www.guardian.co.uk/football

Side 24

Side 23 af 38

                                29         2
Fodbolds gennemsnitlige overfladeareal = 0,2036 m

𝐹_{𝑙} = ½ ∙ 𝐶_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ∙ 𝜌_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ∙ 𝐴 ∙ 𝑣^{2}, (27)

𝐹=½ ∙ 0,0420012 ∙ 1,204 · 0.2036 𝑚^{2} ∙ (38.0878) =7,46806 𝑁

𝑘𝑔 𝑚^{2}
𝑚^{3} 𝑠

(28)

Hvilket passer fint, da bolden her har en bevægelse og rotation. For nu at bestemme boldens sidelæns acceleration isolerer vi den konstante acceleration, a, i før omtalte Newtons 2. lov:

𝐹=𝑚∙ 𝑎
⇕_{𝐹}
𝑎=

𝑚

(29)

Vi mangler kun masserne for begge bolde nu. Der købes en standard Nike-bold og en Jabulani bold og masserne afvejes (se bilag).

Jabulani´s (VM 2010 - bolden) masse = 0,44 ± 0,0002 kg
Nike boldens masse = 0,46 ± 0,0002 kg

Værdierne indsættes i formel 29 og den sidelæns acceleration bestemmes for begge bolde:

𝑎_{𝐽𝑎𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛𝑖} = =16,97

7,46806 𝑁 𝑚

0,44 ± 0,0002 kg 𝑠^{2}

(30)

𝑎_{𝑁𝑖𝑘𝑒−𝑏𝑜𝑙𝑑} = =16,23

7,46806 𝑁 𝑚

0,46 ± 0,0002 kg 𝑠^{2}

(31)

                                                              𝑚
Den sidelænsacceleration for Jabulani er altså ifølge vores antagelser 16,97
                                                               2
                                                              𝑠

og for Nike-bolden er den

altså 16,23_{𝑠^{2}}^{𝑚}. Hvilket passer fint overens med det faktum at Jabulani blev kritiseret for at flyve hurtigere

end andre bolde.

Vi bestemmer så den sidelæns bevægelse, altså sideskruet, vha. stedfunktion, således:

      1
            2
𝑠 ( 𝑡 ) = ∙ 𝑎∙ 𝑡
      2

Under den antagelse at accelerationen er konstant.

(32)

I formel 27 opstillede vi et udtryk for accelerationen, a, som vi indsætter i den her formel i stede for a.

29

http://footballs.fifa.com/Football-Tests/

Side 25

Side 24 af 38

      1  𝐹
            2
𝑠 ( 𝑡 ) = ∙ ∙ 𝑡
      2  𝑚

(33)

For nu at bestemme sideskruet skal vi dog først have bestemt en t, tid. Vi ved at afstanden af frisparket

var på 35 meter og at hastigheden af skudet var på 38.0878^{𝑚}_{𝑠}. Vi ved følgende gælder for tid, t:

    𝑠
𝑡=  ,
   𝑣

(34)

Hvor t er tiden, s er afstanden og v er hastigheden.

Så hvis der antages at boldens lineære acceleration er voldsom i et minimalt lille tidsrum og derefter 0 er tiden det tager for bolden at komme i mål efter frisparket:

𝑡= =0.92 𝑠

35 𝑚

38.0878 𝑚 𝑠

(35)

Denne tid kan også bekræftes, i det videoen af målet bliver set i slowmotion, hvor det er tydeligt at

skudet vare næsten ét sekund.^{30}

Med den nu bestemte værdi for t, tiden, har vi alle faktorer til at bestemme sideskruende for boldene.

𝑠 ( 𝑡)_{𝐽𝑎𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛𝑖} = ∙ 16.97 ∙ ( 0.9189 𝑠)^{2} =7.1 𝑚

1 𝑚

2 𝑠^{2}

(36)

𝑠 ( 𝑡)_{𝑁𝑖𝑘𝑒−𝑏𝑜𝑙𝑑} = ∙ 16.23 ∙ ( 0.9189 𝑠)^{2} =6.8 𝑚

1 𝑚

2 𝑠^{2}

(37)

Hvis Roberto Carlos altså havde skudt det her frispark med en Jabulani, havde bolden, ifølge vores antagelser og beregninger, haft et sideskru på hele 7.1 𝑚, hvor sideskruet for en normal Nike-bold havde været 6.8 𝑚. Grunden til disse store sideskruer er, at der ikke tages højde for at bolden først skruer udad og derefter indad, som også kan ses på figur 13, næste side.

Ifølge vores bestemte sideskru for boldene, ville sideskruet for Nike-bolden altså være

() ∙ 100=4,23 %

7.1 𝑚 − 6.8 𝑚

7.1

(38)

, lavere end for Jabulani. Dette passer igen overens med det faktum at Jabulani blev kritiseret for at skrue for meget i forhold til andre bolde.

Det skal desuden siges, at bolden, ved Roberto Carlos´ frispark, også i virkeligheden havde et så enormt sideskru, at bolddrengen der stod 9,144 meter til højre for målet bukkede sig ned, fordi han følte bolden kom i mod ham. I den sammenhæng ville vores bestemte sideskru give en smule mening, da det så let

30

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=Pl0LHM-33Io#!

Side 26

Side 25 af 38 kan ligne bolden kommer i mod drengen. Desuden var skuddet så hårdt og uforudsigeligt. at Frankrigs

målmand Fabien Barthez ikke kunne reagere og blev stående.^{31} På følgende figur^{32} er

frisparkssituationen, også kaldt ”banan-skudet” (da skudens bane pænt meget ligner en banan), afbildet. De vigtige faktorer for, at dette skud var muligt for ham, er at der er så langt til målet, så der er tid og afstand nok til, at bolden får dette skru, samt hans skudteknik og evnen til at skyde så hårdt.

3) Ændrer drag-koefficienten

Her vil vi undersøge hvorledes kuglen reagere, hvis vi ændrer kuglens formfaktor, drag-koefficient, ved at klistre gaffa-tape på den, så overfladen bliver uregelmæssig. Fremgangsmåden og forsøgsopstillingen er den samme som ved sidste forsøg.

Offset: 0,068 N

31

http://www.dailymail.co.uk/sport/football/article-1085010/.html

32

Figur 13: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Banana-shape_shoot-fr.svg

Spænding (V) Kraften (N)

78 0,072

Figur 14: Flamingo-kuglen med tape på

Tabel 6

Tabel 6

Side 27

Side 26 af 38

Igen omregnes spændingerne om til vindhastigheder på samme måde som i forrige forsøg:

Igen indsættes måledataene ind i programmet ”Graph”,

vindhastigheden kvadreret (m^{2} /s^{2}) langs x-aksen og

opdriftskraften (N) langs y-aksen. Der laves igen de forskellige regressioner på målingerne og, der ses at sammenhængen mellem vindhastigheden og opdriftskraften igen er bedst beskrevet ved en lineær regression.

𝑦=𝑎∙ 𝑥

𝑓 ( 𝑥) =8.6682 ∙ 10^{−5} ∙ 𝑥 (39)

92 | 0,074
120 | 0,078
165 | 0,086
200 | 0,1

Spænding (V) | Korrigeret kraft (N)
78 | 0,004
92 | 0,006
120 | 0,010
165 | 0,018
200 | 0,032

Vindhastighed (m^{2} /s^{2}) Korrigeret kraft (N)

26.2667 | 0,004
43.4953 | 0,006
93.1746 | 0,010
221.867 | 0,018
370.6665 | 0,032

Vindhastighed (m/s) Korrigeret kraft (N)

5.1251 | 0,004
6.5951 | 0,006

9.6527              0,010
 Tabel 6

14.8952 Tabel 8 0,018

 Tabel 6
19.2527             0,032

Tabel 9

Tabel 6

Figur 15: Denne graf viser at opdriften stadig er ok proportional med hastigheden kvadreret.

Tabel 8

Figur 15: Opdrift som funktion af vindhastighed kvadreret

Side 28

Side 27 af 38

𝐹 ( 𝑣^{2}) =8.6682 ∙ 10^{−5}_{𝑚}^{𝑁} ∙ 𝑥

2 𝑠

2

(40)

𝑅^{2} =0,975

Der ses, at vi igen har en ligefrem proportional sammenhæng, i det der ingen systematiske afvigelser

                                2
kan ses. Determinationskoefficienten (r ) er på 0,975, hvilket må siges at være en smule væk fra 1. Den

er altså slet ikke ligeså pæn som grafen hvor bolden ingen tape havde på. Igen kan det siges at opdriftskraften stiger proportionalt med en stigende vinhastighed kvadreret.

Igen bestemmes opdriftskoefficienten på samme måde som ved bolden uden tape:

𝐶  =
     1
 𝐿
     ·𝜌
       𝑙
     2

𝑎

·𝐴

(41)

𝐶 =
 𝐿
     1

8.6682 ∙ 10^{−5}_{𝑚^{2}}

𝑁

(  )
  2
 𝑠

2

· 1,204 · 0.0079463 𝑚^{2}

𝑘𝑔

𝑚^{3}

(42)

Der ses her at opdriftskoefficienten for denne bold er

() ∙ 100=56.86 %

0,0420012 − 0.018120387252255 (44)

0,0420012

, mindre end den for bolden uden tape.

Det passer igen overens med kritikken til Jabulani, i det Jabulani jo var den mest runde bolde produceret nogensinde, og dens opdriftskraft var også større end de andre boldes. I vores forsøg er det også den mest runde bold, bolden uden tape, der har en større opdrift end den mindre runde bold, bolden med tape.

𝐶_{𝐿} =0.01812 (43)

Side 29

Side 28 af 38

Kast med bold med to forskellige drag - Optag video med LoggerPro:

33

FIGUR 16: FLAMENGO-BOLDEN (1) OG EN SELVLAVET KETSCHER TIL AT KASTE BOLDEN MED (2)

Med dette forsøg skal drag-koefficientens indflydelse på kuglens Magnus-effekt understreges. Der bygges en slags ketcher til bolden vha. to pinde, en trekantet træklods og tape. Den trekantede klods forbinder stokkende således at afstanden mellem begge pinde hele tiden er den samme. Afstanden er tilpasset således, at kuglen kan trille langs hele ketcheren, uden af at falde ned, inden den kastes af sted.

Først kastes bolden uden tape således at den først triller langs ketcheren først, får noget rotation, også flyver af sted. Dernæst gentages dette igen med bolden med tape på. Begge kast optages ovenfra, således man via. programmet ”LoggerPro” senere hen kan undersøge forskellen på kastebanen for begge bolde. En vejledning til hvordan videoerne blev undersøgt på ”LoggerPro” kan findes i bilaget.

33

Figur 16: billede af forsøgsopstilling taget under udførelsen d. 11/12/12 AGS

Side 30

Side 29 af 38

Der ses tydeligt at bolden uden tape (billede til højre) skruer en del mere end bolden med tape (billede til venstre). Magnus-effekten er altså størst ved bolden uden tape, altså bolden der er mest rund og har den mest regelmæssige overflade, ligesom Jabulani.

Bold med tape: Bold uden tape:

Side 31

Side 30 af 38

4) Ændrer indfaldsvinklen:

34

FIGUR 17: VINKELMÅLER (1), FRA VENSTRE SES BLÆSEREN (2), FLAMENGO-BOLDEN (3), STATIVER MED NEWTONMETRE OG DREJEHJUL I BAGGRUNDEN (4) OG DEN VARIABLE STRØMFORSYNING (5).

Gennem dette forsøg vil der undersøges hvorledes kuglen reagerer på ændring af vinklen hvorpå blæserens vind rammer den. Dette gøres med konstant vindhastighed og med en kugle med samme formfaktor hele vejen. Der skal måles sammenhørende værdier af indfaldsvinklen og opdriftskraften, disse noteres. Vinklen måles vha. af en vinkelmåler der sættes vinkelret på blæseren, dette vil dog være en relativ måleskala. Igen skal det huskes at subtrahere offset ‘et fra den egentlig målte opdriftskraft.

Efter forsøget er udført søges der efter en sammenhæng mellem luftstrømmens indfaldsvinkel på kuglen og opdriftskraften.

Offset: 0,0088 N

34

Figur 17: billede af forsøgsopstilling taget under udførelsen d. 11/12/12 AGS

Side 32

Side 31 af 38

Måledataene indsættes i programmet ”Graph”, indfaldsvinklen (grader) langs x-aksen og opdriftskraften

(N) langs y-aksen. Der laves de forskellige regressioner på målingerne og der ses at sammenhængen mellem vinklen og opdriftskraften er mest passende beskrevet ved en 5.grads-regression.

Vinkel (°) | Kraften (N)
70 | 0,0438
75 | 0,0578
80 | 0,0658
85 | 0,0808
90 | 0,1068
95 | 0,1108
100 | 0,1
105 | 0,08
110 | 0,062
115 | 0,05
120 | 0,04
125 | 0,02

Vinkel (°) | Korrigeret Kraft (N)
70 | 0,035
75 | 0,049
80 | 0,057
85 | 0,072
90 | 0,098
95 | 0,102
100 | 0,0912
105 | 0,0712
110 | 0,0532
115 | 0,0412
120 | 0,0312
125 | 0,0112

Figur 18: Opdriften som funktion af indfaldsvinklen

Tabel 10

Tabel 6

Tabel 11

Tabel 6

Side 33

Side 32 af 38

Funktionsforskriften blev bestemt til:

𝑓 ( 𝑥) =−4.1611 ∙ 10^{−9} ∙ 𝑥^{5} + 2.1411 ∙ 10^{−6} ∙ 𝑥^{4} − 0.0004348∙ 𝑥^{3} + 0.043454∙ 𝑥^{2} − 2.1325 ∙ 𝑥+41.1128

                                                        2
Der ingen systematiske fejl at se, men determinationskoefficienten (R =0,9696) er ikke så god.

Der ses ved dette forsøg, at ved en bestemt vinkel, omkring 95 grader, kommer der et skift i opdriftskraften. Det passer fint overens med teorien, i det at vinden ved 95 grader rammer kuglen således, at luftstrømningen klæber sig til overfladen af bolden og strømmer henover, og det er netop her opdriften, magnuseffekten, er størst. Det er dog vigtigt at forstå, at måleskalaen i vores forsøg er relativ. F.eks. rammer blæseren i startpunktet ikke direkte midt på bolden, men bolden er placeret lidt længere nede, så effekten er tydeligere.

5) Laminar og Turbulent strømning:

Med dette forsøg vil der vises hvorledes kuglen bevæger sig ved laminar og ved turbulent strømning.

Det eneste der gøres, er at tænde blæseren med max. vindhastighed, lade den pege diagonalt opad og placere kuglen i luftstrømmen. Følgende argumentationer er baseret på, tidligere forklarede, Bernoullis princip.

                35
Laminar strømning:

FIGUR 19: FRA HØJRE SES BLÆSEREN (1), DEN VARIABLE STRØMFORSYNING (2) OG FLAMENGO-BOLDEN (3)

35

Figur 19: billede af forsøgsopstilling taget under udførelsen d. 11/12/12 AGS

Observation:

Bolden bliver i luften, da den laminare luftstrømning kun rammer kuglen på oversiden. Hastigheden af luften er altså højest ved overfladen, og der skabes derfor undertryk i toppen. Så selvom tyngdekræften vil prøve at trække bolden ned, bliver bolden oppe.

Side 34

Side 33 af 38

                  36
Turbulent strømning:

FIGUR 20: HER SES FLAMENGO-BOLDEN (1), EN HÅND DER FORSTYRRER LUFTSRØMNINGEN (2) OG BLÆSEREN (3) Fejlkilder i forsøgene:

Selvom alle fem forsøg gav tilfredsstillende resultater og konklusioner, indeholder de selvfølgelig en del usikkerhedsmomenter og fejlkildemuligheder. En meget svær ting er jo at opstillingen skal stilles i vandret position igen efter hver ændring i parametre. Når kuglen f.eks. bliver rykket når vindhastigheden øges, skal kuglen rykkes til det vandrette udgangspunkt igen. Dette gøres bl.a. ved justering af stativerne, hvilket kræver gode fingerfornemmelse. Der er altså en vis sandsynlighed for, at kuglen ikke har samme position hver gang. Bare det faktum at justeringen er på grundlag af vores øjemål, gør fejlkildemuligheden større. Der er også mulighed for små fejl ved drejehjulet, selvom tråden til dynamometrene er udstrakt og de burde reagerer på en minimal bevægelse. Hvis det dog skulle ske, at der er slør i drejehjulet eller hvis tråden til dynamometrene skulle udvide sig, vil det resultere i for lavt målte kræfter. Indstillingen af vindhastigheden er også meget afgørende. Hvis der her er unøjagtigheder med størrelse og retning ville det sådan set påvirke alle målinger fremover. Bestemmelsen af vinklen hvormed blæseren rammer kuglen indeholder også sine usikkerheder, da det ikke er helt præcist. Det er desuden meget vigtigt at kuglen ikke må opstilles for langt væk fra blæseren, da luftstrømmen så ikke kan regnes for konstant, fordi kuglen ikke er inde i det stabile luftstrømsområde. Vi har i disse forsøg mange aflæsninger og målinger, så små fejl her ville resultere i følgefejl gennem opgaven. Så generelt er der mange steder hvor der er mulighed for menneskelige fejl, såsom aflæsnings- og afrundingsfejl.

36

Figur 20: billede af forsøgsopstilling taget under udførelsen d. 11/12/12 AGS

Jeg forstyrrer den ellers laminare strømning ved at sætte mine fingre i mellem vinden og kuglen. Der skabes uregelmæssigheder i strømningen og der dannes således turbulent strømning. Bolden laver ukontrollerede bevægelser og falder ned kort efter pga. tyngdekraften.

Side 35

Side 34 af 38

Konklusion:

I projektet er der blevet redegjort for den politiske udvikling i Tyskland efter 1945. Det er tydeligt, at Tyskland her befinder sig på både moralsk, politisk og økonomisk afgrund. Når det skal vurderes hvor afgørende en rolle sporten fodbold spiller for, at Tyskland kommer tilbage på sporet igen, kan der helt klart vurderes, at fodbolden har været essentiel. Det første store skridt for at vinde selvtilliden, selvopfattelsen og den nationale identitet tilbage var VM-sejren i 1954 i Bern, Das Wunder von Bern.

Kort efter denne sejr kom den så vigtige ”Wirtschaftswunder”, det økonomiske mirakel. Tyskland var nu moralsk og økonomisk på sporet igen. Dog var synet på Tyskland fra omverdenen stadig kritisk, og man forbandt stadig Tyskland med nazismen og Hitler. Dette fik Tyskland dog ændret på efter VM 2006 blev afholdt i Tyskland. Tyskland viste sig at være en meget behagelig vært, og viste, at de igen kunne vise sig ansvarsfuldt med nationale symboler. Selvom de i turneringen måtte nøjes med en 3.plads, vandt Tyskland noget meget vigtigere her; et godt image og omdømme hos verdenen. Ved VM 2010 i Sydafrika kom den næste store optur så. Moralsk var Tyskland på plads, og fodbolden havde udviklet sig til en helt ny dimension. Tyskland spillede turneringens mest sprudlende omgang fodbold, med så mange unge og multikulturelle spillere som aldrig før. Selvom Tyskland igen måtte nøjes med bronze, havde de vundet fodboldelskernes hjerter. Et stort problem, især i tyske medier, ved turneringen var turneringens bold, kaldt Jabulani. Den blev beskyldt for at være uberegnelig og opførte sig unormalt, hvilket især forårsagede målmændene store problemer.

For så at forstå hvordan sådan en fodbold dynamisk set fungere kiggede vi på fysikken bag boldens bevægelse, hvor der kommes frem til at de essentielle kræfter i boldens bevægelse er trækkraften, drag force ( Luftmodstand), som bremser bolden, en opadgående kraft, lift force ( Magnus-effekt), som

🡪

🡪 løfter bolden opad og tyngdekraften, som trækker bolden ned mod jorden. Via. nogle forsøg, hvor en flamingo-kugle simulerede en fodbold, er teorierne bag boldens bevægelse blevet bekræftet. Det er blevet påvist at når vindhastigheden stiger, stiger opdriftskraften også. Når drag-koefficienten af bolden ændres, idet der klistres tape på bolden, og bolden ikke er så rund og regelmæssig mere, bliver opdriftskoefficienten lavere. Der blev desuden bestemt, at når indfaldsvinklen, i det relative måleskala der blev brugt, er omkring 90 grader, er opdriftskoefficienten helt klart størst. Fra 70 til 95 grader er opdriften stigende, har derefter et toppunkt og er efterfølgende aftagende. Ved forsøget, hvor vi går fra en laminar strømning til turbulent strømning tydeliggøres der at når der er turbulens, altså at luftstrømmen bliver forstyrret, kan bolden ikke holde sig længere i luften og falder ned efter kort tid.

I følgende tabel opsummeres de kvantitativt bestemte resultater gennem forsøgende:

Side 36

Side 35 af 38

𝐶 =0.01812 (24)

𝐿, 𝑏𝑜𝑙𝑑 𝑢𝑑𝑒𝑛 𝑡𝑎𝑝𝑒

𝐶 =0,0420012

𝐿, 𝑏𝑜𝑙𝑑 𝑚𝑒𝑑 𝑡𝑎𝑝𝑒

(43)

𝑎_{𝐽𝑎𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛𝑖} =16,97

𝑚

𝑠^{2}

(30)

𝑎_{𝑁𝑖𝑘𝑒−𝑏𝑜𝑙𝑑} =16,23

𝑚

𝑠^{2}

(31)

𝑠 ( 𝑡)_{𝐽𝑎𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛𝑖} =7.1 𝑚

(36)

𝑠 ( 𝑡)_{𝑁𝑖𝑘𝑒−𝑏𝑜𝑙𝑑} =6.8 𝑚 (37)

Dette projekt har altså tilladt mig at se fodbolden fra to vidt forskellige vinkler end sædvanligt. På den ene side hvor vigtigt fodbolden kan være for et land som Tyskland samfundsmæssigt, og hvor meget fysik der egentlig er bag en fodbolds bevægelse.

Side 37

Side 36 af 38

Kilde-, Materiale- og Litteraturliste:

Bøger:

⮚ Bull Andersen, Thomas: Biomekanik og Bevægelseslære. 2. udg. F.A.D.L., 2011.

⮚ Christian Lammers, Karl: DET NY TYSKLAND, Fra sammenbrud til genforening 1. udg.

Akademisk Forlag, 1992.

⮚ Daish, C.B.: The Physics of Ball Games. 1. udg. The English Universities Press Ltd, 1972.

⮚ D. Young, Freedman, Hugh m.fl.: University Physics with Modern Physics, Mastering Physics. 11.

udg. Addison-Wesley, 2007.

⮚ Hesse-Lichtenberger, Ulrich: Tor - Historien om tysk fodbold. 1. udg. Herreværelset, 2012.

⮚ Joel, Holger og Ernst Schütt: Chronik des deutschen Fussballs, Die Spiele der

Nationalmannschaft von 1908 bis heute. 1. udg. Chronik, 2006.

⮚ Knudsen, Peter m.fl.: Tyskland - fra Rødhætte til Rammstein, Om tysk national identitet. 1. udg.

COLUMBUS, 2010.

Links:

⮚ www.EngineeringToolBox.com: Drag Coefficient.

Internetadresse:http://www.engineeringtoolbox.com/drag-coefficient-d_627.html

⮚ www.physicsmyths.org.uk: Bernoulli\'s Principle and Airplane Aerodynamics. Udgivet af Thomas

Smid. Internetadresse: http://www.physicsmyths.org.uk/bernoulli.htm - Besøgt d.

⮚ www.physicsworld.com: The physics of football. Udgivet af Takeshi Asal.

Internetadresse:http://physicsworld.com/cws/article/print/1998/jun/01/the-physics-of-

football - Besøgt d.

Artikler:

⮚ Buck Jensen, Mette : Vindtunnelforsøg slår fast: VM-bolden slingrer i luften. I: Ingeniøren,

, Sektion: forskning

⮚ Ramskov, Jens: Fodbold, frispark og fysik. I: Ingeniøren, , Sektion: elektronik

⮚ Feddersen, Dan: Den officielle VM-bold er ikke helt rund. I: Illustreret Videnskab,

⮚ V, I: Hvorfor skruer bolde?: Illustreret Videnskab, , s. 12-13

⮚ Johanna Metz: Wir haben das Recht unbefangen zu sein. s. 8 – 12 (2006)

⮚ Mit dem Fussball auf dem Weg zur Normalität. s. 16 – 19.(2006)

Side 38

Side 37 af 38

Tysk debat over VM-bolden, ”Jabulani”, fra VM 2010:

⮚ Der Handelsblatt; http://www.handelsblatt.com/sport/fussball/nachrichten/jabulani-kritik-ball-
ist-schuld-am-schwachen-wm-niveau/3464604.html
⮚ Das Bild; http://www.bild.de/sport/fussball-wm-2010-suedafrika/sport/die-wahrheit-ueber-das-

gefaehrliche-flugobjekt-bild.html

⮚ Süddeutsche: http://www.sueddeutsche.de/sport/wm-spielball-jabulani-unmoeglich-zu-fangen-

Film:

⮚ Das Wunder von Bern. 2003. Instruktion: Sönke Wortmann.

⮚ Deutschland. Ein Sommermärchen. 2006. Instruktion: Sönke Wortmann.

Videoer:

⮚ www.welt.de, Schwere Kritik am WM-Ball, ,

http://www.welt.de/videos/sport_original/article7944435/Schwere-Kritik-am-WM-Ball.html
⮚ WM-Ball Jabulani im Praxistest, 10/06/2010, http://www.youtube.com/watch?v=fkYeFK94YtI

Bilag:

Figur 21: Blæserens datablad over vindfordelingen omkring dysen

Side 39

Side 38 af 38

Vejledning til video-analyse i ”LoggerPro”:

Med LoggerPro kan man modellere en banekurve ud fra en video. Det gøres ud fra følgende opskrift.

Hvis der er et kamera tilsluttet computeren, og man vil optage med LoggerPro vælges:

• Insert ->Video capture…->Start Capture->Stop Capture

Hvis videoen er lavet kan man indsætte den med LoggerPro ved at vælge:

• Insert -> Movie

Når videoen er lagt ind i LoggerPro gør man følgende for at lave målepunkterne:

• Højre Klik -> movie options -> speed (eller hop én frame frem)

• Klik på … -> indsæt målestok med “set scale”.

• Definer akserne

• Lav punkter med sigtekornet ”add point”.

- Jeneepan Kamalanathan, a13, Alssundgymnasiet Sønderborg

Figur 22: Normal Nike bold Figur 23: Jabulani

Masse = 0,46 kg Masse = 0,44 kg