SRP om koblede harmoniske svingninger i Matematik A og Fysik A

Indledning

Differentialligninger omgiver os i hverdagen. Lige fra daglige pligter i bryggerset til en afslappende ferie i et højhus. Her kan bevægelser, alt fra en vaskemaskines hoppende bevægelser på gulvet til en højhus, der svajer frem og tilbage i vinden, beskrives ved hjælp af andenordens differentialligninger. For at kunne opstille disse ligninger er en helt afgørende sætning sammenhængen mellem position,  , hastighed,  , og acceleration,  , hvilket også er helt central i denne opgavebesvarelse: Da andenordens differentialligninger kan beskrive utroligt mange forskellige situationer, vil der i denne opgave blive fokuseret på de koblede differentialligninger, som også kendes fra virkelighedens verden. I Singapore bliver et system af fjedrer brugt til at forhindre, at det gigantiske pariserhjul Singapore Flyer knækker. Dette er blot et eksempel på en talrig stribe af steder, hvor et system af differentialligninger bruges i hverdagen. En anden central fysisk sætning, som er fundamentet for at kunne opstille differentialligningssystemet er Newtons Anden Lov: Det er ud fra kraftanalyser af den enkelte masse, at differenttialligningerne opstår, da der så kommer en sammenhæng mellem position af de to masser og accelerationen af disse. De koblede differentialligninger er mere komplicerede en ikke-koblede, da de afledte ligninger er afhængig af flere funktioner. Der findes flere måder at løse disse systemer. I denne besvarelse vil en metode, hvor et system af differentialligninger dekobles, hvor det traditionelle koordinatsystem med to akser, - og -aksen, transformeres til et andet system, hvor det er lettere at løse differenttialligningerne. Når systemet har gennemgået hele omformningsprocessen vil det vise sig, at det er muligt at løse differenttialligningerne enkeltvis ved hjælp af løsningsfunktionen til differentialligningstypen: Denne differentialligning vil blive løst, hvor beviset også indgår. Hele opgaven bygger på en matematisk gennemgang af nødvendig teori for at kunne foretage en dekobling, hvor blandt andet egenværdier og egenvektorer vil blive præsenteret, og det bliver klart, at disse kommer til at spille en central rolle for at løse et system af svingende vogne på en luftpudebane. Som afslutning vil den matematiske løsning blive sammenlignet med et eksperiment med to vogne og tre fjedrer.

Koblede svingninger - Et kompliceret problem

Opstilling af det lineære differentialligningssystem

Når man betragter to masser, som er forbundet af en fjeder, vil man opdage, at massernes stedfunktioner vil være to koblede, lineære differentialligninger.