Differentialregning: regneregler, beviser og opgaver med facit

Lex har også en regel for en brøk af to funktioner, (f/g)′ = (f′ · g − f · g′) / g². Sig det: f mærke gange g minus f gange g mærke, divideret med g i anden. Den står ikke i læreplanernes liste over regneregler på B og A. Du klarer dig uden den ved at skrive brøken som et produkt: f/g = f · 1/g, og 1/g differentierer du med kædereglen.

Et eksempel: 3/x² er 3 · x⁻², og potensreglen giver −6 · x⁻³ = −6/x³. Sig det: tre divideret med x i anden er tre gange x i minus anden, og det differentieret giver minus seks divideret med x i tredje.

I eksamensopgaver kommer reglerne sjældent én ad gangen. Find først udtrykkets struktur: er det øverst en sum, et produkt eller en sammensat funktion? Så ved du, hvilken regel du starter med.

Et eksempel: f(x) = x² · ln(x) + e^(2x). Øverst er det en sum, så du differentierer led for led. Første led er et produkt og giver 2x · ln(x) + x² · 1/x = 2x · ln(x) + x. Andet led har en lineær indre funktion og giver 2 · e^(2x). Samlet: f′(x) = 2x · ln(x) + x + 2 · e^(2x). Sig det: to x gange ln x, plus x, plus to gange e i to x.

Differenskvotienten er (a(x + h) + b − (ax + b)) / h = ah / h = a. Der er intet h tilbage, så grænseværdien er a. En ret linje har samme hældning overalt.

Differenskvotienten er (k − k) / h = 0 for alle h, så (k)′ = 0. Du kan også se det som en vandret linje, altså a · x + b med a = 0.

((x + h)² − x²) / h = (2xh + h²) / h = 2x + h, og det går mod 2x, når h går mod 0. Sig det: x plus h i anden minus x i anden, divideret med h, er to x plus h.

Differenskvotienten er (√(x + h) − √x) / h. Gang over og under brøkstregen med √(x + h) + √x. Tælleren bliver (x + h) − x = h, og h går ud. Tilbage står 1 / (√(x + h) + √x), som går mod 1 / (2√x).

Sig det: kvadratroden af x differentieret giver én divideret med to kvadratrod x.

Differenskvotienten er (1/(x + h) − 1/x) / h. På fælles brøkstreg er tælleren (x − (x + h)) / (x(x + h)) = −h / (x(x + h)). Del med h, og du får −1 / (x(x + h)), som går mod −1/x².

Sig det: én divideret med x differentieret giver minus én divideret med x i anden.

Lad f(x) = 2x for x ≤ 1 og f(x) = x + 1 for x > 1. Begge forskrifter giver 2 i x = 1, så grafen hænger sammen. Men til højre for 1 er differenskvotienten ((1 + h + 1) − 2) / h = 1, og til venstre er den (2(1 + h) − 2) / h = 2.

Grænseværdien fra højre er 1, og fra venstre er den 2. Der skal komme samme tal fra begge sider, så f′(1) findes ikke. Grafen har et knæk, og funktionen er kontinuert i 1 uden at være differentiabel dér.

Spørger opgaven, om y = 15x + 32 er en tangent til grafen, skal to ting passe: grafen skal have hældningen 15 et sted, og punktet dér skal ligge på linjen.

Løs f′(x) = 15: 3x² − 6x − 9 = 15 giver x² − 2x − 8 = 0, altså x = −2 eller x = 4. I x = −2 er f(−2) = 2, og linjen giver 15 · (−2) + 32 = 2. Det passer. I x = 4 er f(4) = −16, men linjen giver 92. Svaret er ja: linjen er tangent i (−2, 2), men kun dér.

En vandret tangent har hældningen 0, så du løser f′(x) = 0. Her er 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3) = 0, altså x = −1 eller x = 3. Tangenterne er y = f(−1) = 9 og y = f(3) = −23. Det er også de to steder, hvor du skal lede efter ekstrema.

Tæt på røringspunktet ligger tangenten tæt på grafen. Derfor kan du bruge den til at regne en tilnærmet værdi: f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f′(x₀) · Δx. Sig det: f af x nul plus delta x er cirka f af x nul plus f mærke af x nul gange delta x.

Med vores funktion: f(2,1) ≈ −18 + (−9) · 0,1 = −18,9. Den rigtige værdi er −18,869, så tangenten rammer tæt på. Vejledningen til matematik A nævner netop tilnærmede værdier som en brug af tangentens ligning.

Spørger opgaven om den største og mindste værdi på et lukket interval, skal du også se på endepunkterne. Ifølge Lex har en funktion, der er kontinuert på et lukket og begrænset interval, altid et globalt maksimum og minimum, og randen skal undersøges.

Vores funktion på [−2; 5]: endepunkterne giver f(−2) = 2 og f(5) = 9, og de lokale ekstrema giver f(−1) = 9 og f(3) = −23. Den største værdi er 9, og den antages to steder, i x = −1 og i x = 5. Den mindste er −23 i x = 3. Uden endepunktet havde du overset, at grafen når op på 9 igen.

Vejledningen til matematik B siger, at du skal kunne “udtale sig om f′ ud fra en graf for f”. Reglerne er de samme som i monotonilinjen, bare læst på en tegning. Hvor f stiger, har f′ positive værdier. Hvor f har en top eller en bund, skærer f′ x-aksen. Hvor f stiger stejlest, har f′ sin største værdi.

Den anden vej: får du grafen for f′, så find dens nulpunkter, og se, om den går fra plus til minus (maksimum for f) eller fra minus til plus (minimum for f). Grafen for f′ siger intet om, hvor højt grafen for f ligger, kun hvordan den hælder.

En grænseværdi er det tal, funktionsværdierne nærmer sig, når x går mod et fast tal. Du skriver f(x) → 6 for x → 3 og siger: f af x går mod seks, når x går mod tre. Der skal komme samme tal fra begge sider.

Grænseværdien og funktionsværdien er to forskellige ting. Funktionen g(x) = (x² − 9) / (x − 3) er slet ikke defineret i x = 3, for så står der 0/0. Men for alle andre x er g(x) = x + 3, så g(x) → 6 for x → 3. Sig det: x i anden minus ni divideret med x minus tre.

Grænseværdier findes også ude i uendeligheden. For p(x) = 2 + 3/x gælder p(x) → 2 for x → ∞, fordi 3/x bliver så lille, man vil. Sig det: p af x går mod to, når x går mod uendelig.

Regnereglerne for grænseværdier siger, at grænseværdien af en sum, en differens, et produkt og en brøk er summen, differensen, produktet og brøken af grænseværdierne, så længe de findes, og nævneren ikke går mod 0.

En funktion er kontinuert i x₀, når to ting holder: grænseværdien for x → x₀ findes, og den er lig f(x₀). Lex formulerer det geometrisk: grafen er en sammenhængende kurve. Polynomier, eksponentialfunktioner, logaritmefunktioner og potensfunktioner er kontinuerte overalt, hvor de er defineret.

Et eksempel fra hverdagen: portoen for et brev stiger typisk i trin med vægten. Lige under en vægtgrænse koster brevet én pris, lige over den en anden. Grænseværdien fra venstre og fra højre er to forskellige tal, så prisfunktionen er ikke kontinuert i vægtgrænsen, og grafen springer.

Lex formulerer det sådan: “En differentiabel funktion er altid kontinuert”. Det omvendte gælder ikke. Knækket under tretrinsreglen er kontinuert uden at være differentiabel.

Newtons metode finder et nulpunkt for f med tangenter. Du gætter på et tal x₀ tæt på nulpunktet, lægger tangenten i (x₀, f(x₀)) og bruger tangentens skæring med x-aksen som næste gæt. Lex beskriver metoden som en gentagelse af samme beregning ud fra et begyndelsespunkt.

Formel: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ) / f′(xₙ)

Sig det: det næste gæt er det forrige gæt minus f af gættet divideret med f mærke af gættet.

Formlen kommer direkte fra tangentens ligning: sæt y = 0 i y = f′(xₙ) · (x − xₙ) + f(xₙ), og løs for x.

Et eksempel: find √5. Det er nulpunktet for f(x) = x² − 5, og f′(x) = 2x. Start med x₀ = 2. Så er x₁ = 2 − (4 − 5)/4 = 2,25, x₂ ≈ 2,236111 og x₃ ≈ 2,2360680. Lommeregnerens √5 er 2,2360680 med syv decimaler. Efter tre skridt stemmer alle syv.

En ligning løser du på samme måde: saml alt på den ene side, så der står f(x) = 0. Ligningen x² = 5 bliver til x² − 5 = 0. Metoden giver tilnærmede værdier, ikke et eksakt svar, og vejledningen til A nævner den netop som en lejlighed til at vise “forskellen mellem eksakt og numerisk løsning af ligninger”.

Middelværdisætningen siger: er f differentiabel på [a; b], så findes et punkt c inde i ]a; b[, hvor f′(c) er lig sekantens hældning fra (a, f(a)) til (b, f(b)). Med en formel: f′(c) = (f(b) − f(a)) / (b − a). Sig det: f mærke af c er f af b minus f af a, divideret med b minus a.

Billedet er en biltur. Kører du 120 km på 1,5 time, er din gennemsnitsfart 80 km i timen, og et øjeblik undervejs har speedometeret vist præcis 80. Rolles sætning er særtilfældet, hvor f(a) = f(b): så findes der et sted med vandret tangent. Sætningen er det, beviset for monotonisætningen bygger på.

Opstil differenskvotienten for f + g: ((f(x + h) + g(x + h)) − (f(x) + g(x))) / h.

Byt om på leddene, og del brøken i to: (f(x + h) − f(x)) / h + (g(x + h) − g(x)) / h. Det er de to differenskvotienter for f og for g hver for sig.

Lad h → 0. Fordi f og g er differentiable, går de to brøker mod f′(x) og g′(x), og grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. Derfor er (f + g)′ = f′ + g′. Differensreglen bevises på samme måde med minus.

Differenskvotienten er (k · f(x + h) − k · f(x)) / h. Sæt k uden for parentes: k · (f(x + h) − f(x)) / h. Når h → 0, går brøken mod f′(x), og k står bare og venter. Derfor er (k · f)′ = k · f′.

Du kan også se reglen som produktreglen med en konstant funktion: (k · f)′ = 0 · f + k · f′ = k · f′, fordi (k)′ = 0.

Differenskvotienten er (f(x + h) · g(x + h) − f(x) · g(x)) / h. Den kan ikke deles op med det samme, for de to led har ikke noget fælles.

Tricket: træk f(x) · g(x + h) fra, og læg det til igen. Det ændrer ikke værdien. Så står der (f(x + h) − f(x)) · g(x + h) + f(x) · (g(x + h) − g(x)) i tælleren.

Del med h: (f(x + h) − f(x)) / h · g(x + h) + f(x) · (g(x + h) − g(x)) / h.

Lad h → 0. Den første brøk går mod f′(x), den anden mod g′(x), og g(x + h) går mod g(x), fordi g er differentiabel og derfor kontinuert. Resultatet er f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x).

En ret linje gennem punktet (x₀, y₀) med hældningen a har ligningen y = a · (x − x₀) + y₀. Indsætter du x = x₀, får du y = y₀, så linjen går gennem punktet.

Tangenten går gennem (x₀, f(x₀)) og har hældningen f′(x₀). Sæt y₀ = f(x₀) og a = f′(x₀), så står der y = f′(x₀) · (x − x₀) + f(x₀).

Påstanden er (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹ for n = 1, 2, 3 og så videre. Start: for n = 1 er (x)′ = 1 = 1 · x⁰, så påstanden holder.

Skridtet: antag, at påstanden holder for et n. Skriv x opløftet i n + 1 som x · xⁿ, og brug produktreglen: 1 · xⁿ + x · n · xⁿ⁻¹ = xⁿ + n · xⁿ = (n + 1) · xⁿ. Det er påstanden for n + 1. Holder den for 1, holder den for 2, så for 3, og så videre.

Sig det: x i n’te differentieret giver n gange x i n minus første.

Kender du (ln x)′ = 1/x, kan du vise (eˣ)′ = eˣ. Start med x = ln(eˣ), og differentier begge sider med kædereglen: 1 = 1/eˣ · (eˣ)′. Gang med eˣ, og du får (eˣ)′ = eˣ. Sig det: e i x differentieret giver e i x. Beviset bygger på, at eˣ er differentiabel, og på reglen for ln, så sig det, når du bruger det.

For aˣ omskriver du til grundtallet e: aˣ = e^(x · ln(a)). Kædereglen giver (aˣ)′ = e^(x · ln(a)) · ln(a) = aˣ · ln(a). Sig det: a i x differentieret giver a i x gange den naturlige logaritme til a. Samme omskrivning viser potensreglen for x > 0, når eksponenten ikke er et helt tal.

Med Leibniz’ skrivemåde ser kædereglen ud som en brøk, der forkorter: dz/dx = dz/dy · dy/dx, sådan som Lex skriver den. Sig det: d z d x er d z d y gange d y d x.

Det oplagte bevis ganger og dividerer med tilvæksten i den indre funktion, g(x + h) − g(x). Men den tilvækst kan være 0 for små h, fx hvis g er konstant i et stykke, og så dividerer man med 0. At lukke det hul kræver mere, end gymnasiet går i dybden med, og vejledningen til matematik A skriver, at beviset for f∘g “forventes ikke gennemgået”. Står kædereglens bevis i jeres eksamensspørgsmål, så spørg din lærer, hvilket bevis I har haft.

Påstanden: er f′ > 0 i et interval, er f voksende dér; er f′ < 0, er f aftagende; og er f′ = 0, er f konstant.

Tag to tal x₁ < x₂ i intervallet. Middelværdisætningen giver et c mellem dem, så f(x₂) − f(x₁) = f′(c) · (x₂ − x₁). Faktoren x₂ − x₁ er positiv. Derfor har f(x₂) − f(x₁) samme fortegn som f′(c).

Er f′ positiv overalt, er f(x₂) > f(x₁), og f er voksende. Er f′ negativ, er f(x₂) < f(x₁), og f er aftagende. Er f′ nul, er f(x₂) = f(x₁), og f er konstant. Det er samme argument tre gange, med fortegnet som eneste forskel, så du kan fremlægge det på én gang.

Differenskvotienten er sekantens hældning mellem to punkter. Differentialkvotienten er grænseværdien af den, når punkterne falder sammen, altså tangentens hældning.

Når differenskvotienten har en grænseværdi for h → 0, og det er samme tal fra begge sider. Geometrisk har grafen en tangent i punktet.

Fordi f′ kan være 0 uden at skifte fortegn, som g(x) = (x − 2)³ i x = 2. Det er en vandret vendetangent.

To timer efter, at telefonen kom af laderen, falder batteriet med 3 procentpoint i timen.

Til at beskrive grafen nær røringspunktet og regne tilnærmede værdier, og på A til Newtons metode.

Find de lokale ekstrema inde i intervallet, regn funktionsværdien i endepunkterne, og vælg det største tal.

f′(x) = 20x³ − 6x + 8. Hvert led for sig med potensreglen; konstantleddet −1 forsvinder.

g′(x) = 3/√x − 2/x². Sig det: tre divideret med kvadratrod x minus to divideret med x i anden. Første led: 6 · 1/(2√x) = 3/√x. Andet led: 2 · (−1/x²).

Produktreglen: h′(x) = 2 · eˣ + (2x + 1) · eˣ = (2x + 3) · eˣ. Sig det: to x plus tre, gange e i x.

Kædereglen med den indre funktion x² + 1: k′(x) = 1/(x² + 1) · 2x = 2x/(x² + 1). Sig det: to x divideret med x i anden plus en.

f(3) = 9 − 12 + 1 = −2 og f′(x) = 2x − 4, så f′(3) = 2. Tangenten er y = 2 · (x − 3) − 2 = 2x − 8.

f′(x) = 3x² + 6x − 24 = 3(x + 4)(x − 2), som er 0 i x = −4 og x = 2. Testtal: f′(−5) = 21, f′(0) = −24 og f′(3) = 21.

f er voksende i ]−∞; −4] og i [2; ∞[ og aftagende i [−4; 2]. Lokalt maksimum f(−4) = 80 og lokalt minimum f(2) = −28.

f′(1) = 0, f′ er positiv lige til venstre for 1 og negativ lige til højre. Derfor er f(1) et lokalt maksimum, og f′ går fra plus til minus dér.

V′(t) = 30 − 2t. V′(5) = 20: efter 5 minutter stiger vandmængden med 20 liter pr. minut. V′(20) = −10: efter 20 minutter falder den med 10 liter pr. minut. Modellen vender i t = 15, hvor V′(15) = 0.

Produktreglen og kædereglen: f′(x) = e^(−2x) − 2x · e^(−2x) = (1 − 2x) · e^(−2x). Sig det: en minus to x, gange e i minus to x. Faktoren e^(−2x) er altid positiv, så f′ har samme fortegn som 1 − 2x: plus før x = ½ og minus efter. Den største værdi er f(½) = ½ · e^(−1) = 1/(2e) ≈ 0,18.

Kan du det her, kan du emnet til den mundtlige prøve på B.

• Definitionen af differentialkvotienten med sekant og tangent.
• Fortolkningen som tangenthældning og som væksthastighed med enhed.
• Tabellen over afledte funktioner for B-niveauets funktionstyper.
• Regnereglerne for f + g, f − g, k · f, f · g og sammensatte funktioner.
• Tretrinsreglen på en ret linje, x², x³, √x og 1/x.
• Tangentens ligning og en tangent regnet i et punkt.
• Monotonisætningen, monotonilinjen og lokale ekstrema.
• Største og mindste værdi på et lukket interval, og en optimeringsopgave.
• Sammenhængen mellem grafen for f og grafen for f′.

Alt fra B og desuden:

• Grænseværdi og kontinuitet, også når de ikke findes.
• Beviserne for regnereglerne for f + g, f − g, k · f og f · g.
• Newtons metode og formlen ud fra tangentens ligning.
• Afledte funktioner for sinus og cosinus.
• Middelværdisætningen og monotonisætningens bevis, hvis I har haft dem.