Stående bølger i Halvåbent rør

Side 1

Fysik i musikken

STX 2.g

Gruppe: Christina Kjær Roslyng, Hajar Hussein, Julie Olsson Nielsen, Line Nehm,

Umar Asghar og

Øvelsens udførselsdato: 21/11 2008

STX 2.g

Side 2

Fysik Nørre Gymnasium, 2.x

Fysik i musikken 18/12-2008

2

Formål

Øvelsens formål er at skabe en stående bølge i et halvåbent rør. Den stående bølge og dens resonanspunkter registreres ved hjælp af pc for derefter at eftervise formler for det halvåbne rør.

Derpå er formålet også at registrere stående bølge for et instrument og påvise, om instrumentet er konstrueret som et halvåbent rør, lukket-lukket rør eller åben-åben rør. Til vurdering af dette kigges der på instrumentets klangfarve. Det valgte instrument i denne øvelse er en guitar.

Forsøgsopstilling

Materialer:

Computer med installationsprogrammet ”Kristal”

Guitar

Mikrofon

Højtaler

Frekvensgenerator

Halvåbent rør med stempel

Stativ til at holde rør m.m.

Teori

Lydbølger er generelt længdebølger, der udbreder sig gennem et medium som en trykvariation. Mediet er ofte luft (som er en gas), men lyd kan også bevæge sig gennem faste stoffer og væsker (fx vand). At lydbølger har brug for et medium til at udbrede sig i betyder, at lydbølger er mekaniske bølger. De kan ikke udbrede sig lufttomt rum, som lys kan.

Lydens fart gennem luft afhænger ikke af lydens frekvens eller af lydtrykket, men afhænger af temperaturen. Jo højere temperaturen er desto større bliver molekylernes gennemsnitlige

Højtaler

Mikrofon

Rør

Stempel

Side 3

Fysik Nørre Gymnasium, 2.x

Fysik i musikken 18/12-2008

3 bevægelsesenergi, som medfører til større fart.

Lydens fart beregnes ved formlen:

v ⋅ = s/m331, hvor t er temperaturen i C°, og v er lydens fart.

K273

+ K273t

Periodiske bølger opstår, når bølgegiveren har en konstant frekvens f. Bølgelængden i en periodisk bølge er afstanden mellem to nabobølgetoppe, og betegnes som λ. I løbet af perioden T tilbagelægger bølgen nemlig bølgelængden λ, og farten v er den tilbagelagte strækning. Bølgelængden må så være: f v

v ⋅λ=⋅λ= f

T

1

T

1

f =

=λ

Stående bølger er udsving som svinger sig op og ned på stedet som fx en guitarstreng. Stående bølger kan opstå ved interferens mellem to bølger, som bevæger sig mod hinanden. Hvis bølgerne har samme bølgelængde og bevæger sig i mod hinanden, vil der i nogle punkter altid være destruktiv interferens, og i andre punkter vil der altid være konstruktiv interferens. De steder, hvor der altid vil være destruktiv interferens, kaldes knudepunkter og imellem knudepunkterne findes svingningsbug (også kaldes resonans), som er resultatet af konstruktiv interferens.

Guitarens bølger er tværbølger, fordi udsvinget sker på tværs af bevægelsesretningen. En stående bølge kan forekomme på en guitarstreng, fordi når bølgen bevæger sig gennem strengen, vil den reflekteres og løbe tilbage igen, når bølgen kommer til enden af strengen, hvilket er et knudepunkt. Strengen bliver påvirket af flere svingninger, og flere bølger løber frem og tilbage. De vil så interferere med hinanden, og en stående bølge vil opstå. Den stående bølge har knudepunkt i hver ende, hvor strengen er fastholdt.

En guitarstreng har en række resonansfrekvenser, og når man slår en streng an, svinges alle strengens resonansfrekvenser samtidigt. Tonen fra en guitar er sammensat af en række forskellige frekvenser med et bestemt mønster. Hver resonansfrekvens svarer til en tone, og disse toner kaldes strenges paritaltoner.

Man giver partialtonerne nummer efter antallet af bug. 1. partialtonen er grundtonen og de øvrige partialtoner kaldes overtoner. Det er overtonerne, som giver og bestemmer guitarens klang. Ved hjælp af en fourieranalyse kan man se på en guitars klangfarve (og overtoner).

Guitarstrengens resonansfrekvenser (frekvens af svingningsbug) opfører sig således:

f_{1}, f_{2} = 2 · f_{1, …}, f_{n} = n · f_{n,}

hvor n angiver partialtonens nummer. Resonansfrekvenserne opfører sog således, fordi guitaren har knudepunkt i hver ende af strengen.

Side 4

Fysik Nørre Gymnasium, 2.x

Fysik i musikken 18/12-2008

4

Lydbølgerne i et rør er længdebølger, som svinger frem og tilbage langs med røret. I mellem to knudepunkter er afstanden en halv bølgelængde. Det gælder således for alle partialtonerne i et åben-åbent rør, at der er et helt antal halve bølgelængder i røret, og rørets længde l kan skrives således:

l = n · ½ · λ_{n}, hvor n angiver partialtonens nummer

mens resonansfrekvenserne kan skrives som

f_{n} = n · f_{1}, hvor f_{1} er 1. partialtone (grundtone)

I et åbent rør findes svingningsbug i hver ende af røret. Hvis røret var lukket i begge ender, vil der være knudepunkter i hver ende, også vil formlen for resonansfrekvens være den samme som guitarens. Men resonansfrekvenserne for et åbent-åbent rør gælder det samme som resonansfrekvenserne for guitaren

(og lukket-lukket rør) – frekvenserne af overtonerne er et helt antal gange grundtonens frekvens.

Et halvåbent rør har knudepunkt i den ene, hvor røret er lukket, og svingningsbug i den åbne ende. Luften kan ikke bevæge sig frem og tilbage rørets lukkede ende, og derfor findes der knudepunkt. Derimod i rørets åbne ende hvor luften kan bevæge sig mest frit, er der bug ved rørets åbning.

Der er resonans i et halvåbent rør, hvor rørlængden l opfylder:

l       l ,     l ,  λ⋅=λ⋅=λ⋅= ,...
                321

4 4 4

1 3 5

For de mulige resonansfrekvenser gælder følgende:

⋅=⋅= ,...f 5f ,f 3f ,f
 13121

Ved rørets åbning ’forsætter’ lyden stadig lidt som en funktion af den stående bølge. Det kræves derfor et

tillæg på 0,6 · d til rørets længde, hvor d er rørets indre diameter.

Fremgangsmåde

Registrering af stående bølge i halvåbent rør:

Vi skabte stående bølge i halvåbent rør ved at bruge en frekvensgenerator. Det var frekvensgeneratoren, som skabte tonen. På frekvensgeneratoren indstillede vi frekvensen til 1000 Hz. Før vi skabte stående bølge i det halvåbne rør, beregnede vi på, hvor den stående bølge ville få en bug, dvs. der hvor tonen forstærkes.

Det halvåbne rør havde den fordel, at den havde et stempel, så vi kunne variere og tilpasse længden af røret. Lydstyrken fra frekvensgeneratoren var for høj til computeren kunne registrere noget. Derfor blev computerens lydkort indstillede til et lavere lydniveau, og lydstyrken af mikrofonoptagelserne blev formindsket ned til ca. 15 dB.

Højtaleren og mikrofonen stod foran rørets åbne ende. Højtaleren blev forbundet til frekvensgeneratoren og mikrofonen til computeren. Vi indstillede derefter frekvensgeneratoren til 1000 Hz og en tone kom ud af højtaleren. Tonen blev optaget ved hjælp mikrofonen.

Side 5

Fysik Nørre Gymnasium, 2.x

Fysik i musikken 18/12-2008

5

Vi optog først tonen, som blev sendt gennem hele røret, ved at tilbagetrække stempel stille og roligt længer og længere tilbage. Derefter trækkedes stempel over til det beregnede maksimum (resonans), og bagefter trak vi stemplet over til et punkt, hvor den ikke er maksimum.

Registrering af stående bølge fra guitar:

Vi valgte at registrere stående bølger af en guitarstreng. En mikrofon blev koblet til computer, og vi begyndte at optage lyd, mens vi slog guitarstrengen an. På computeren kunne vi se, at lyden havde været for svag til at computeren kunne registrere noget. Vi indstillede derfor computerens lydkort til at sætte lydniveauet for mikrofonen højere op og forstærke mikrofonoptagelserne med ca. 30 dB. Vi prøvede igen at optage lyd fra guitaren, og denne gang var registrering tydelig nok til at analysere på guitarens stående bølge.

Måleresultater

Aflæste frekvenser på fourieranalyse af guitar i Kristal:

f_{1} f_{2} f_{3} f_{4} f_{5}

Frekvens 0,651 kHz 1,30 kHz 1,95 kHz 2,61 kHz 3,28 kHz

Forhold kHz 651,0 Hzk 30,1 Hzk 95,1 Hzk 61,2 kHz 28,3

mellem f_{n} og f_{1}

= 1 = 2 = 3 = 4 = 5

kHz 651,0 kHz 651,0 kHz 651,0 kHz 651,0 kHz 651,0

Beregning af resonanspunkter i halvåbent rør:

Frekvens = 1000 Hz
Amplitude = 17
Power amplitude = 3

Rumtemperatur: 20 °C:

Lydens hastighed ved 0 °C = 331 m/s

Højtaler er forbundet til frekvensgeneratoren, som er bølgegiveren. Mikrofonen er forbundet til computeren for at optage lyd.

Frekvensgenerator

Side 6

Fysik Nørre Gymnasium, 2.x

Fysik i musikken 18/12-2008

6

Lydens hastighed v ved 20 °C:

v =⋅ = s/m91,342s/m331

K273

+° K273C20

Bølgelængde:

λ= == cm29,34m34291,0

Hz1000

s/m91,342

Rørets indre diameter:

Diameter = 3,3 cm

Ekstra længde til røret:

0,6 · d = 0,6 · 3,3 cm = 1,98 cm

Resonanspunkter:

1. svingningsbug ligger af bølgelængden. Rørlængden er:

4

1

cm29,34l ⋅= =− cm6,6cm98,1

4

1

1

⎜ | ⎟
⎝ | ⎠
⎛ | ⎞

2. svingningsbug ligger af bølgelængden. Rørlængden er:

4

3

cm29,34l ⋅= =− cm7,23cm98,1

4

3

2

⎜ | ⎟
⎝ | ⎠
⎛ | ⎞

Grafer

Graf 1: Fourieranalyse og klangfarve af guitar

Side 7

Fysik Nørre Gymnasium, 2.x

Fysik i musikken 18/12-2008

7

Graf 2: Fourieranalyse af halvåbent rør (rigtigt lukket-lukket rør)

På x-aksen findes det frekvens i Hz, og på y-aksen findes lydstyrken i dB. Dette gælder også for graf 1.

Graf 3: Tonevolumen af 1. Resonanspunkt (ved rørlængden 6,6 cm):

Graf 4: Tonevolumen ved rørlængden 10 cm:

Side 8

Fysik Nørre Gymnasium, 2.x

Fysik i musikken 18/12-2008

8

Graf 5: Tonevolumen af røret:

Tiden er ud af x-aksen i sekunder, og volumen (lydstyrke) ud af y-aksen har ingen enhed (gælder for de tre sidste grafer). Lydstyrken kan aflæses ved at foretage fourieranalyse i Kristal. Det er dog ikke nødvendigt, da sammenligningen af graf 3 og graf 4 godt kan vurderes.

Diskussion

Fourieranalyse (graf 1) af guitarstrengen viser, at strengen klart har klangfarve. Udover grundtonen (f ) er
                                                                                  1

der en række overtoner, som giver grundtonen en flot klang. Det stemmer også overens med vores øre. Da vi slog strengen an på guitaren, havde den nemlig en bestem klang. På baggrund af de beregnede forhold

mellem overtonerne og grundtonen i fourieranalysen opfører frekvenserne af guitaren som f = n · f , hvilket
                                                                           n    1

er i overensstemmelse med teorien. Guitaren har et frekvensstystem som et lukket-lukket rør.

Fejlkilden, vi har i forsøget med guitar, er mikrofonen. Mikrofonen er af meget dårlig kvalitet. Den skratter og giver støj, og støjen afbilledes på vores graf. Alt det som er under 500 Hz på grafen har vi set væk fra, fordi det kun er støj. Støjet er ikke kun i de første 500 Hz, men er der hele tiden. Dog er det heldigt, at guitarens resonansfrekvenser markerer sig tydeligt, og derfor er det stadig muligt for os at analysere og vurdere fourieranalysen og klangfarve af guitar.

Graf 5 viser volumenet for tonen i halvåbent rør, hvor stemplet blev trukket langsomt tilbage, så rørlængden varierede. Grafen viser, at der klart findes resonans i røret. Næste opgave var så at eftervise, hvor disse resonanspunkter befandt sig.

Eftervisning af rørlængdeformel (jf. s. 4) for halvåbent rør sker ved først at beregne resonanspunkter for rørets stående bølge, hvilket er gjort under måleresultater (s. 5). Hypotesen er, at 1. resonanspunkt vil ligge på en rørlængde af 6,6 cm. Vi trak stemplet til 6,6 cm og optog. Resultatet blev graf 3 på s. 7. Vi beregnede, at det 2. resonanspunkt vil ligge på en rørlængde af 23,7 cm. For at eftervise rørlængdeformlen optog vi en tone ved en rørlængde mellem 6,6 cm og 23,7 cm. I dette interval skulle der gerne ikke komme nogen resonans. Vi valgte en rørlængde på 10 cm, som vises på resultatet af graf 4. Volumenet af

1. resonanspunktet i rørlængden af 6,6 cm er tydeligvis større end volumenet af tonen ved rørlængde på

10 cm. Dermed er formel på beregning af rørlængden af halvåbent rør eftervist.

Tiden på graferne 3, 4 og 5 har ingen betydning for vores resultater. Det er ligegyldigt, hvor lang tid man optager.

Fejlkilden her er igen mikrofonen, som er dårlig.

Graf 2 er en fourieranalyse for det halvåbne rør. Det kan hurtigt vurderes, hvordan resonansfrekvenserne

opfører sig. De opfører sig som f_{n} = n · f_{1}. Resonansfrekvenserne opfører sig som lukket-lukket eller

åbent-åbent rør – men vi i havde et halvåbent rør. Resonansfrekvenserne burde have set sådan ud:

⋅=⋅= ,...f 5f ,f 3f ,f . Dette forklares ved hjælp af billede af forsøgsopstilling på s. 2. Højtaleren står
 13121

Side 9

Fysik Nørre Gymnasium, 2.x

Fysik i musikken 18/12-2008

9 rimelig tæt på rørets åbning. Desuden er det også fra højtaleren tonen kommer fra. Højtaler danner med det halvåbne rør et lukket-lukket rør, og derfor opfører resonansfrekvenserne sig som den gør. Tonen bliver ført ind i røret udefra og altså ikke fra røret og ud. Desuden skulle tonen være en ren frekvens på 1000 Hz, hvis tonen kom fra røret til ud i rummet. Dvs. overtoner ville slet ikke have fundet sted, som der er på graf 2. Derimod har vi stadig fået noget ud af det. Vi har eftervist formlen for resonansfrekvenser for lukket-lukket rør.

Konklusion

Formel for halvåbent rør er blevet eftervist, og der er blevet set på guitarens klangfarve.

Resonansfrekvens for guitarstreng (to knudepunkter i hver ende) er blevet eftervist ved at se på fourieranalyse af guitarstreng og på de efterfølgende beregninger (tabel 1).

Samtidig registrerede og modtog vi resultater til at kunne eftervise formel af frekvensresonans for et lukket-lukket rør, hvilket ikke var forventet. Der var overensstemmelse mellem resultaterne og teorien.

Forskel på tonen af guitarstrengen og tonen på ren 1000 Hz fra frekvensgeneratoren kunne høres med stor forskel. Vi opfattede tonen på 1000 Hz som en hylen, og efter flere optagelser begyndte den at blive ulidelig. Guitaren var mere behagelig at høre på og havde en ”blød” tone. Den behagelige tone fra guitaren skyldes overtonerne, hvilket er guitaren er konstrueret til at lave. Det er overtonerne, som giver selve grundtonens klang, og det kunne både høres tydeligt af et menneskeøre og ses på guitarens klangfarve, som viste mange overtoner.

Kristal var et helt nyt program, som vi skulle lære at håndtere, men det var ikke så svært igen, når man fik det lært. Et problem for mine gruppemedlemmer var, da de ville aflæse frekvenser på fourieranalyse for guitaren, kunne de ikke ’fryse’ billede direkte i Kristal, men blev nødt til at fryse hele billedskærmen.

Desuden blev jeg også nødt til at fryse hele billedskærmen for derefter redigere det i paint, fordi graferne skulle indgå i rapporten. Det er lidt irriterende.

Vi blev overrasket over, hvorfor vores halvåbne rør opførte sig som et lukket-lukket rør på på baggrund af resultaterne af fourieranalysen. Der blevet givet en forklaring på det til os, og derefter fik vi faktisk noget ud af at den opførte sig som et lukket-lukket rør, da vi kunne eftervise en formel mere.

Personligt ville jeg gerne fortage forsøget igen og prøve at skabe stående bølge i et halvåbent rør, hvor tonen bliver ført inde fra røret i stedet udefra. Det interessante er, hvad fourieranalysen derefter vil vise.

En forbedring til næste forsøg ville være at prøve at skaffe så gode mikrofoner så muligt.

Kilder

Billede af forsøgsopstilling på s. 2 og s. 5 er ikke vores egen forsøgsopstilling. Det tilhører gruppen: Tanja, Sahra, Zahra og Semra fra 2.x. Vores egen forsøgsopstilling lignede meget deres.

Nielsen, Leif Horn: Optage lyd fra mikrofon til pc, øvelsesvejledning, Nørre Gymnasium 2008 Claussen: Spektrum – Fysik II, Gyldendal 2004

Brydensholt, Morten m.fl.: Orbit C, Systime 2005

Forsidebillede: http://www.pascalmagdinier.com/ - besøgt d. 17/12 2008