Luftmodstand - kageform

Side 1

[navn fjernet] - Fysik B Foråret 2010

1

Luftmodstand – Fysik B

Formål: Formålet med dette forsøg er, at undersøge en bevægelse med luftmodstand.

Teori: Luftmodstand er det begreb vi benytter til at forklare den modstand et legeme oplever, når det falder gennem luften. Udover luftmodstanden, bliver et faldende legeme også påvirket af tyngdekraften, som er modsatrettet luftmodstanden. To kræfter kan holde hinanden i ligevægt. Fx hvis en bil skubbes af 3 lige stærke personer, hvor den ene skubber fra øst, den anden fra vest og den tredje fra syd, så er det kun ham der skubber fra syd der vil påvirke bilen, da de to andre ophæver hinanden.

                                            2
Luftmodstandskraften er givet ved formlen: Fluft=k·A·v , hvor k er en formfaktor som afhænger af figuren, v

er den fart kageformen falder med, og A er arealet af formen vinkelret på bevægelsesretningen. De kageforme vi lader falde, vil bevæge sig med en konstant fart. Når de falder, er luftmodstanden og

tyngdekraften lige store. Vi ved at Ftyn=m·g, og når luftmodstanden er lige så stor som tyngdekraften bliver
Fluft også m·g. Så ved at veje vores kageform får vi at vide hvor stor vores luftmodstand er, i Newton. Ud

fra den ligning kan vi også se, at luftmodstanden i høj grad afhænger af massen på det faldende legeme, da

massen af legemet ganges med tyngdeaccelerationen (9,82 m/s). så hvis vi lader et tungt legeme falde, vil

luftmodstanden være større.

         2
Fluft=k·A·v

Ftyn=m·g

Den resulterende kraft på et legeme er vektorsummen af de ydre kræfter der påvirker legemet.

Fresultat=F +F . De to kræfter som påvirker vores faldende kageform er luftmodstandskraften, og
         1  2

                                                 2
tyngdekraften. Det vil sige at Fres= Fluft+Ftyngde. Fluft=k·A·v og Ftyngde=m·g. derfor får vi, at

         2
Fres=(k·A·v )+(m·g). den resulterende kraft på et faldende legeme, afhænger altså af legemets masse, og

Tegningen her til højre viser, at tyngekraften og luftmodstanden er modsatrettede hinanden. Fres er summen af disse to kræfter.

Side 2

[navn fjernet] - Fysik B Foråret 2010

2 legemets areal. Jo større areal det faldende legeme har, jo større vil luftmodstanden være. Derfor vil den resulterende kraft værre større, jo større et areal kageformen vi kaster har. For at kunne regne den resulterende kraft ud, skal vi finde formkonstanten, k. (Se bilag 1).

Ved hjælp af Newtons 2. lov, kan man finde accelerationen på et faldende legeme. Newtons 2. lov siger:

             Fresultat
acceleration (a)=  . Accelerationen afhænger altså også af legemets masse. Hvis den
               m

                                                               0
resulterende kraft på det faldende legeme er 0, er accelerationen også 0, da =0. Da den
                                                              𝑚

resulterende kraft på vores kageforme ikke er 0, er vores accelerationen heller ikke 0. Accelerationen

                         Fresultat (k∙A∙v2)+(m∙g) 𝑘∙𝐴
                                                     2.
regnes derfor ud ved at sige: (a)= 🡪       🡪 a=g-   ·v Når kageformen på sin nedtur på
                           m                      𝑚

𝑚 et tidspunkt vil nå sin maksimale fart, vil den ikke længere accelerere (da acceleration jo er

                                                   𝑔
                                                         2
hastighedsforøgelse pr. tid). Derfor kan farten da regnes som: ·m=v . Dette gør sig gældende fordi, at
                                                  𝑘∙𝐴

når accelerationen er 0, vil Fres også være 0, og derfor kan vi sætte udtrykket: Fres= Fluft+Ftyngde=0. dette

                   2                                                         2
vil altså sige at 0=(k·A·v )+(m·g). Når vi ophæver parenteserne, får vi et udtryk der hedder: k·A·v = m·g. Ved

                                            𝑘∙𝐴∙𝑣2                         𝑔
                                                                2       2
at dividere med g, på begge sider, får vi nu udtrykket: =m. ved at isolere v får vi at v = ·m.
                                             𝑔                            𝑘∙𝐴

Hypotese: Jeg forventer, at farten på det faldende legeme vil stige, når massen af legemet forøges.

Derudover forventer jeg, at luftmodstanden vil være større på et legeme med et stort areal, end på et legeme med et lille areal.

Materialeliste:

• Kageforme (små, mellemstore og store)

• Ultralydsdetektor

• Computer hvorpå programmet ”logger pro” er installeret.

• vægt

Fremgangsmåde:

Forsøget blev udført i skolens ”dobbelt-høje” rum, for at kunne måle mange data på vores faldende kageforme. Først kastes en enkelt lille kageform, og derefter forøger man massen (ikke arealet) ved at lægge flere små kageforme sammen. Dette gentages for både de mellemstore og de store kageforme.

Grunden til, at forsøget skal udføres for forskellige kageforme (altså at størrelsen varieres) er for at bevise at luftmodstanden som påvirker et legeme, afhænger af legemets areal.

Side 3

[navn fjernet] - Fysik B Foråret 2010

3

Farten, på de faldende kageforme måles af ultralydsdetektoren, som ligger på gulvet, og som er tilsat en computer med ”logger pro” installeret. Hver gang vi sætter en ekstra kageform på, og dermed øger massen, vejes kageformene på vægten.

Forsøgsopstilling:

Sofie

Kageform

Computer

Ultralydsdetektor

Resultater og diskussion:

Grafen ovenover viser, at farten vokser lineært som funktion af massen af kageformen.

                                                                      2
Ligningen, for vores graf, y=8,108x 0,9095 fortæller os, at farten vokser med 8,108 m/s , når vi øger massen

på kageformen med x antal gram. De 0,9095 angiver grafens skæringspunkt på y-aksen. Da vores R^{2} værdi

y = 8,108x + 0,9095
R² = 0,9599

y = 8,6367x
R² = 0,9552

0

5

10

15

20

25

0 0,5 1 1,5 2 2,5

V^2 i m/s^2

massen i g farten for mellem kageform

Luftmodstand

Lineær (Luftmodstand)

Logger Pro

Side 4

[navn fjernet] - Fysik B Foråret 2010

4

er 0,9599 kan luftmodstanden med god tilnærmelse beskrives som en ret linje. Hvis R^{2} værdien er over 0,95
er grafen god, og jo længere R^{2} værdien kommer på 1, jo mere pålidelig er grafen. Vores a værdi, eller
hældningen på grafen, er det samme som_{𝑘∙𝐴}^{𝑔}. Dette giver også god mening, da vi jo ved at farten v^{2} (eller i

                                             𝑔       𝑔
                                         2
dette tilfælde vores y-værdi) er givet ved formlen v = ·m. så er vores a værdi, og m er vores x værdi,
                                            𝑘∙𝐴     𝑘∙𝐴

eller vores variable.

Grafen ovenover viser, ligesom den forrige graf, at kageformens fart vokser lineært som funktion af

massen. Ligningen y=13,351x + 0,3579 fortæller os, at farten vokser med 13,351 m/s^{2} når massen forøges

med x antal gram. Det burde forventes, at vores a værdi for den lille kageform ville være mindre end a værdien for den mellemstore kageform, da de små kageforme vejer mindre. Men i dette tilfælde, vokser

farten med ca. 5 m/s^{2} hver gang massen forøges for den lille kageform, mere end farten for den

mellemstore kageform. Dette kan skyldes regnefejl eller at vores måleapparat har målt de to typer

kageformes fart på en anden måde. Da R^{2} værdien er 0,97 er grafen god, og det vil sige at farten for den

lille kageform godt kan beskrives som en lineær funktion. (OBS: a-værdien er ligningen fremskrivningsfaktor, og altså ikke kageformens acceleration, selvom accelerationen også har symbolet ”a”.)

Grafen ovenfor viser farten for den store kageform, som funktion af massen i gram. Vores ligning

y=8,3522x+ 0,4019 fortæller os at hver gang vi øger massen på kageformen med x antal gram, vokser farten

y = 13,351x + 0,3579
R² = 0,9738

0

5

10

15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

v^2 i m/s^2

Massen i gram

Farten for lille kageform

Lille form

y = 8,3522x + 0,4019
R² = 0,956

0

5

10

15

20

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Farten i anden i m/s

Massen i gram

Farten for stor kageform

Stor form

Lineær (Stor form)

Side 5

[navn fjernet] - Fysik B Foråret 2010

5

med 8,352 m/s^{2}. Det måtte forventes, at a værdien for den store kageform var større end de to andre, da

massen jo er større. En fejlkilde kunne være, som ved den lille kageform, at vi har lavet en regnefejl, eller at vores måleapperat målte forkert.

Jeg tror dog, at den væsentligste grund til, at vores a værdi er mindre, for den store kageform, og størst for den lille kageform er, at luftmodstanden bliver større, jo større arealet på det faldende legeme er. Hvis der er stor luftmodstand på et legeme, vil dets fart være mindre, og da arealet vokser på vores mellemstore og helt store kageform er større end arealet på den lille kageform, er det måske ikke så mærkeligt at farten for

                                                                             𝑔
                                                                         2
de to typer kageforme er mindre. Vi har jo også set, at farten på kageformen er givet ved v = ·m. vi kan
                                                                            𝑘∙𝐴

                                                                                2
se, at fremskrivningsfaktoren, a, afhænger af arealet på kageformen, A. Når arealet vokser, bliver v

mindre, da nævneren på brøken bliver større. Så dette forklarer godt hvorfor farten ikke stiger når vi gør kageformen større.

Fejlkilder: som fejlkilder kan nævnes, at vi kan have lavet regnefejl i exel. Vores dataset passede ikke helt med mine forventninger, da jeg havde troet at de store kageformes fart ville forøges mere hver gang massen blev større. Grunden til dette kunne også være at måleapparatet har målt upræcist, eller at vores kageforme er faldet for langt væk fra sensoren, og derfor har gjort at resultaterne ikke blev så klare som de

kunne have været. Vores R^{2} værdi er ikke helt 1, og ved de store kageforme, er den kun 0,956 hvilket vil

sige, at grafen kun lige og lige kan betragtes som ”god”, og dette siger selvfølgelig lidt om, at vores tal ikke helt 100 % stemmer overens med vores hypotese om, at farten ville udvikle sig lineært som funktion af massen. Men dette skyldes nok afrundingsfejl, eller måleusikkerhed enten i forhold til formenes vægt, eller at formene som sagt kan ha faldet lidt forskudt i forhold til sensoren på gulvet.

Konklusion:

Ud fra mine resultater, kan jeg konkludere at farten på det faldende legeme mindskes, hvis legemets areal bliver for stort. Farten på legemet vokser, jo mere legemets masse forøges.

Side 6

[navn fjernet] - Fysik B Foråret 2010

6

Bilag 1.

Vi kender formlen a=g-^{𝑘∙𝐴_{2}}_{𝑚} ·v

        𝑔
     2
Dvs. v = ·m.
       𝑘∗𝐴

𝑔 𝑘∗𝐴

=8,637·m

Vi ved at g er tyngekraftskonstanten, altså 9,82 og arealet, A har vi målt for hver af formene ved at bruge

formlen A=r^{2} ·∏.

                             2
Areal for lille kageform=0,007383 m

Areal for mellem kageform=0,009582 m^{2}

Areal for stor kageform=0,013038 m^{2}

Hvis vi, som et eksempel, regner formkonstanten k ud for den mellemstore kageform indsætter vi arealet

0,009582 i ligningen:

9,82 𝑘∗0,009582

=8,637·m

Så isoleres k og vi får da at formkonstanten for den mellemstore kageform er =118,657.

På samme måde kan formkonstanten for den lille, og den store kageform findes.

Når vi kender formkonstanten k, kan vi nu regne den resulterende kraft for den mellemstore kageform ud.

(m, altså massen afhænger selvfølgelig af, hvor mange kageforme der sidder sammen, men hvis vi nu kun regner med en enkelt kageform)

         2                              2
Fres=(k·A·v )+(m·g) 🡪 Fres=(118,657·0,009582m ·8,637)+(0,48g *9,82)=14,53.