Luftmodstand - kaffefiltre

Side 1

Forsøg med kaffefilter

Selvfremstillede forsøgvejledninger

.

2010

Alexander K Vener

2.mfx LTG

Fysik – Henrik Aabye

Dato: 8 januar – 2010

Forsøg lavet i samarbejde med Mark

Side 2

Indholdsfortegnelse

1. Formål ................................................................................................... Fejl! Bogmærke er ikke defineret.

2. Hypotese ............................................................................................... Fejl! Bogmærke er ikke defineret.

3. Teori ...................................................................................................... Fejl! Bogmærke er ikke defineret.

4. Marterialer............................................................................................ Fejl! Bogmærke er ikke defineret.

5. Fremgangsmåde ................................................................................... Fejl! Bogmærke er ikke defineret.

6. Målte resultater .................................................................................... Fejl! Bogmærke er ikke defineret.

7. Beregnede resultater ................................................................................................................................. 8

8. Fejlkilder .................................................................................................................................................... 9

9. Måleusikkerhed .................................................................................... Fejl! Bogmærke er ikke defineret.

10. Diskussion ................................................................................................................................................... 9

11. Konklusion .................................................................................................................................................. 9

1. Formål

Formålet med forsøget er at bestmme modstandkoefficienten for et faldende legeme gennem luft. I dette forsøg gøres dette ved at slippe et x antal kaffefiltre fra en allerede givet højde, og derefter måle hvor lang tid det tager for kaffefiltrerne at ramme jorden.

2. Hypotese

I dette forsøg forventer jeg at se at maksimal hastigheden i anden vil være propotional af kaffefiltrenes vægt. Det vil sige at tiden også vil være propotional med vægten.

I forhold til luftmodstanden så forventer at se, at i tidsrummet fra at kaffefiltrene slippes til de opnår deres

maksimale hastighed at luftmodstanden vil være propotional med 𝑣^{2}, og at i det øjeblik at kaffefiltrene

opnår deres maksimal hastighed af luftmodstanden så vil være lig tyngdekraften, da hastigheden vil være konstant.

3. Teori

Som tidligere beskrevet så går det forsøg ud på at bestemme modstandskoefficenten 𝐶_{𝑤}, for at gøre dette

skal jeg bruge formlen for luftmodstanden

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡} = 0.5 ∗ 𝐶_{𝑤} ∗ 𝜌 ∗ 𝐴 ∗ 𝑣^{2}

Men da det er modstandkoefficenten jeg skal finde så isolerer jeg denne variabel i formlen

𝐶_{𝑤} =

2 ∗ 𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡}
𝜌 ∗ 𝐴 ∗ 𝑣^{2}

Side 3

Variablerne i denne formlen er givet ved følgende

𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑒𝑡𝑡𝑒𝑛 𝑎𝑓 𝑠𝑡𝑜𝑓𝑓𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑚 𝑙𝑒𝑔𝑒𝑚𝑒𝑡 𝑏𝑒𝑣æ𝑔𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑔 𝑖𝑔𝑒𝑛𝑛𝑒𝑚

𝐴 = 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑓𝑙𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑎𝑓 𝑙𝑒𝑔𝑒𝑚𝑒𝑡

𝑣 = 𝑙𝑒𝑔𝑒𝑚𝑒𝑡𝑠 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡} = 𝑙𝑢𝑓𝑡𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑

I selve opgave formuleringen er det dog givet at tidstagningen først startes når legemet har opnået sin maks hastighed, og derved at hastigheden er konstant. Når dette er gældende, så må følgende gælde for luft modstanden

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = 𝑚 ∗ 𝑎

𝑎 = 0

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = 0

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = 𝐹_{𝑡} − 𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡}

→ 𝐹_{𝑡} = 𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡}

𝐹_{𝑡} = 𝑚 ∗ 𝑔

→ 𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡} = 𝑚 ∗ 𝑔

Derfor kan jeg nu omskrive min formel for modstandskoefficenten til følgende

𝐶_{𝑤} =

2 ∗ 𝑚 ∗ 𝑔

𝜌 ∗ 𝐴 ∗ 𝑣^{2}

Denne formel er dog stadig kun gældende hvis hastigheden er konstant hvilket vil sige at 𝑣 er opnået.
                                                                         𝑚𝑎𝑘𝑠

4. Materialer

I at udføre dette forsøg, skal følgende materialer bruges.

1 stk. Stopur

8 stk. Kaffefiltre

1 stk. Målebånd

1 stk. Vægt

Side 4

𝑥_{ℎø𝑗𝑑𝑒}

5. Forsøgopstilling

Kaffefilter

𝑣 = 0

🡺 𝑣_{𝑚𝑎𝑘𝑠}

Side 5

6. Fremgangsmåde

Dette forsøg udføres via følgende 6 step.

1. måler fra gulvet og 2 meter op, og markerer dette punkt.

2. måler yderliger 0.5 meter op, og markerer dette punkt.

3. derefter slippes først et kaffefilter fra punkt nr. 2

4. tidstagningen startes i det kaffefiltres passeere punkt nr 1.

5. tidstagningen afsluttes i det kaffefiltres rammer gulvet

6. derefter gentages step. 3,4 og 5 dog øges antallet af kaffefiltre med en hver gang

7. Målteresultater

I dette afsnit vil de målteresultater blive gennemgået

Kafferfiltre | 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | 7. | 8.

X højde* 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m

Tid | 1.6 sek | 1.2 sek | 1 sek | 0.9 sek | 0.8 sek | 0.7 sek | 0.6 sek | 0.55 sek
Vægt | 0.0015 kg | 0.003 kg | 0.0045 kg | 0.006 kg | 0.0075 kg | 0.009 | 0.0105 kg | 0.012 kg
Radius | 0.095 m | 0.095 m | 0.095 m | 0.095 m | 0.095 m | 0.095 m | 0.095 m | 0.095 m

Tabel 1 denne tabel viser de målte resultater. *X højde er den højde hvor fra tidstagningen startes til kaffefiltrene rammer

jorden

8. Beregnede resultater

I dette afsnit vil jeg beregne på mine målteresultater, og forsøge få bekræftet eller falsificere min hypotese.

Først beregner jeg hastigheden for hver af forsøgene med et forskelligt antal kaffefiltre

Dette gør jeg ved hjælp af denne formel

𝑣 =

𝑠 𝑡

Denne formel gælder dog kun når hastigheden er konstant, men da dette kan jeg blot sætte tal ind i formlen

Kafferfiltre | 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | 7. | 8.
Højde | 2 m | 2 m | 2 m | 2 m | 2 m | 2 m | 2 m | 2 m
Tid | 1.6 sek | 1.2 sek | 1 sek | 0.9 sek | 0.8 sek | 0.7 sek | 0.6 sek | 0.55 sek
Vægt | 0.0015 kg | 0.003 kg | 0.0045 kg | 0.006 kg | 0.0075 kg | 0.009 | 0.0105 | 0.012 kg

kg

Hastighed 2 m/1.6 sek 1.667 m/s 2 m/s 2.2 m/s 2.5 m/s 2.86 m/s 3.33 3.63 m/s
= 1.2 m/s m/s
Hastighed^2 1.44𝑚^{2} /𝑠^{2} 2.78𝑚^{2} /𝑠^{2} 4𝑚^{2} /𝑠^{2} 4.84 𝑚^{2} /𝑠^{2} 6.25 𝑚^{2} /𝑠^{2} 8.18 𝑚^{2} /𝑠^{2} 11 13.18

Side 6

y = -0,0722x + 1,35
R² = 0,9883

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

2 14

Tid i sekunder

Vægt i gram tid

Så sætter jeg tal ind i et (𝑣^{2}, 𝑚) diagram

Her ses det at hastigheden i anden er propotional med vægten

Årsagen til dette findes i formlen for luft modstand

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡} = 0.5 ∗ 𝐶_{𝑤} ∗ 𝜌 ∗ 𝐴 ∗ 𝑣^{2}

I denne formel er luftmodstanden, som også er lig tyngdekraften, og hastigheden de eneste to variabler. Og

da tyngdekraften er lig m*g, og g er konstant så må det jo gælde at m er propotional med hastigheden i

anden

Da jeg nu ved at vægten er propotional med hastigheden i anden så kan jeg nu sætte mine tal ind i et (𝑚, 𝑡) diagram

Figur 1 I diagrammet ses det tydeligt at tiden er propotional med vægten

Jeg har hermed bekræftet min første hypotese.

y = 1,0891x - 0,8929
R² = 0,9648

0

2

4

6

8

10

12

14

2 14 hastighed i anden vægt

Side 7

I opgave formuleringen blev jeg stillet til opgave at bestemme modstandskoefficenten 𝐶
                                                                       𝑤

. Dette vil jeg gøre via formlen for luftmodstand, modstandskoefficenten er isoleret

𝐶_{𝑤} =

2 ∗ 𝑚 ∗ 𝑔

𝜌 ∗ 𝐴 ∗ 𝑣^{2}

så beregner jeg modstandskoefficenten for de enkelte forsøg

𝐶_{𝑤}_{1} =

2 ∗ 0.0015 𝑘𝑔 ∗ 9.82 𝑚/𝑠^{2}
1.29_{3} ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (1.2 𝑚/𝑠)^{2}

𝑘𝑔 𝑚

𝐶_{𝑤_{1}} = 0.55933

𝐶_{𝑤}_{2} =

2 ∗ 0.003 𝑘𝑔 ∗ 9.82 𝑚/𝑠^{2}
1.29 𝑘𝑔/𝑚^{3} ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (1.667 𝑚/𝑠)^{2}

𝐶_{𝑤_{2}} = 0.579

𝐶_{𝑤}_{3} =

2 ∗ 0.0045 𝑘𝑔 ∗ 9.82 𝑚/𝑠^{2}
1.29 𝑘𝑔/𝑚^{3} ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (2 𝑚/𝑠)^{2}

𝐶_{𝑤_{3}} = 0.603

𝐶_{𝑤}_{4} =

2 ∗ 0.006 𝑘𝑔 ∗ 9.82_{2}

𝑚 𝑠

1.29 𝑘𝑔/𝑚^{3} ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (2.2 𝑚/𝑠)^{2}

𝐶_{𝑤_{4}} = 0.665

𝐶_{𝑤}_{5} =

2 ∗ 0.0075 𝑘𝑔 ∗ 9.82 𝑚/𝑠^{2}
1.29 𝑘𝑔/𝑚^{3} ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (2.5 𝑚/𝑠)^{2}

𝐶_{𝑤_{5}} = 0.644

𝐶_{𝑤}_{6} =

2 ∗ 0.009 𝑘𝑔 ∗ 9.82 𝑚/𝑠^{2}
1.29 𝑘𝑔/𝑚^{3} ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (2.86 𝑚/𝑠)^{2}

𝐶_{𝑤_{6}} = 0.59

𝐶_{𝑤}_{7} =

2 ∗ 0.0105 𝑘𝑔 ∗ 9.82 𝑚/𝑠^{2}
1.29 𝑘𝑔/𝑚^{3} ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (3.33 𝑚/𝑠)^{2}

𝐶_{𝑤_{7}} = 0.508

𝐶_{𝑤}_{8} =

2 ∗ 0.012 𝑘𝑔 ∗ 9.82 𝑚/𝑠^{2}
1.29 𝑘𝑔/𝑚^{3} ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (3.63 𝑚/𝑠)^{2}

𝐶_{𝑤_{8}} = 0.489

Side 8

Nu hvor jeg har bestemt modstandskoefficenten, er det muligt at bestemme luftmodstanden i tilfælde hvor hastigheden ikke er konstant.

Dette gør jeg ved hjælp af den oprindelige formel for luftmodstand

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡} = 0.5 ∗ 𝐶_{𝑤} ∗ 𝜌 ∗ 𝐴 ∗ 𝑣^{2}

Så sætter jeg tal ind

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡1} = ∗ 0.5593 ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (1.2 𝑚/𝑠)^{2}

1

2

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡1} = 0.0114

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡2} = ∗ 0.57932 ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (1.667 𝑚/𝑠)^{2}

1

2

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡2} = 0.0228

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡3} = ∗ 0.603 ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (2 𝑚/𝑠)^{2}

1

2

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡3} = 0.034

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡4} = ∗ 0.665 ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (2.2 𝑚/𝑠)^{2}

1

2

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡4} = 0.0456

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡5} = ∗ 0.644 ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (2.5 𝑚/𝑠)^{2}

1

2

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡5} = 00057

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡6} = ∗ 0.59 ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (2.86 𝑚/𝑠)^{2}

1

2

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡6} = 0.0685

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡7} = ∗ 0.508 ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (3.33 𝑚/𝑠)^{2}

1

2

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡7} = 0.0799

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡8} = ∗ 0.488 ∗ ( 0.095 𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ (3.63 𝑚/𝑠)^{2}

1

2

𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡8} = 0.0913

Side 9

For at bevise min sidste hypotese som går på at luftmodstanden er propotionel med hastigheden så sætter

jeg det mine tal ind i et (𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡}, 𝑣^{2}) diagram

Her ses det at hastigheden i anden er propotional med luftmodstand, og derved har jeg bekræftet min anden hypotese.

9. Fejlkilder

                                                                3
I rapporten er der taget udgangspunkt i at luftens densitet ligger på 1.29 𝑘𝑔/𝑚

, som er det gældende tal i

tilfælde af at luften har temperaturen 20^{o} C. Hvis luften ikke har haft denne temperatur under forsøget, så

vil luften heller ikke have haft den samme densitet, dette ville dermed have ændret på resultatet.

10. Måleusikkerhed

Under forsøget blev tidstgningen udført manuelt, og blev derfor startet og stoppet efter øje mål. Dette betyder at målinger er upræcise, hvilket selvfølgelig har betydning for de resultater.

11. Diskussion

Alt i alt mener jeg at dette har forsøg har tilfredstillet formålet, dog er der dog en række mulige forbedringer. For at sikre en mere præcis tidstagning kunne det være relevant, at gøre tidstagningen elektronisk f.eks. via en række sensore.

Via forsøget blev det også påvist vægten var propotionel med tiden, og at luftmodstanden var propotionel med hastigheden i anden. Mine resultater undveg dog en anelse for det teoretiske svar, hvilket blandt andet kan ses på R kvadratet i diagrammer.

12. Konklusion

I rapporten har jeg konstateret at tiden og hastigheden i anden er propotionelle med vægten. Hvilket skyldes at tiden er propotionel med hastigheden i anden som er propotionel med vægten. Der udover har jeg konstateret at luftmodstanden er propotionel med hastigheden i anden, da disse to er de eneste

y = 143,01x - 0,8792
R² = 0,9649

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1

Hastighed i anden

Luftmodstand

Side 10

variabler i formlen for luftmodstanden. Dette betyder også at jo mere legemet vejer desto større vil luftmodstanden være.