Pladekondensator - Eksamensprojekt i fysik

Side 1

1

Eksamensopgave

HTX 2. år

Klasse: 2.e

Projekt 8: Konstruktion og måling på en kapacitor

Opgave: Eksamensopgave

Fag: Fysik

Skole: Frederiksberg HTX

Lærer: John Ukpo

Dato: 21/4/2009

Indhold

Formålet ............................................................................................................................................... 2 Hypotese............................................................................................................................................... 2 Teori ..................................................................................................................................................... 3 Kapacitorer ....................................................................................................................................... 3 Pladekapacitoren .............................................................................................................................. 3 Udledning af formlen for feltstyrke.................................................................................................. 3 Formlen for pladekapacitorens kapacitans ....................................................................................... 5 Kobling af kapacitorer ...................................................................................................................... 6

Side 2

2

Parallelkobling.................................................................................................................................. 6 Seriekobling...................................................................................................................................... 7 Afladning og opladning af en kapacitor ........................................................................................... 8 Afladning .......................................................................................................................................... 8 Opladning ....................................................................................................................................... 10 Energi i en kapacitor....................................................................................................................... 12 Materialer ........................................................................................................................................... 13 Fremgangsmåde ................................................................................................................................. 14 Resultater ........................................................................................................................................... 14 Fejlkilder ............................................................................................................................................ 19 Måleusikkerheder ............................................................................................................................... 19 Diskussion .......................................................................................................................................... 19 Konklusion ......................................................................................................................................... 21 Litteratur............................................................................................................................................. 21 Formålet

Formålet med denne øvelse er at måle kapacitansen for en kondensator (kapacitor) i forbindelse med ændringer i pladeareal, plademateriale, pladeafstand og materiale mellem pladerne. Endvidere måler vi en kondensators energi i forbindelse med opladning og afladning, og vi måler spændingsfaldet over kondensatorerne ved serieforbindelse af to kondensatorer.

Hypotese

Vi venter at kapacitansen er proportional med arealet.

Vi venter at kobber giver en større kapacitans end stål.

Vi venter at kapacitansen er omvendt proportional med afstanden mellem pladerne.

Side 3

3

Vi venter at papir mellem pladerne forøger kapacitansen med en faktor på ca. 2, og at glas forøger kapacitansen med en faktor på mellem 2 og 16 [1].

Vi forventer at spændingsfaldet over to serieforbundne kondensatorer med samme kapacitans er identisk.

Teori

Kapacitorer

En kondensator eller kapacitor rummer en elektrisk ladning, dvs. en mængde elektroner i overskud et sted og et tilsvarende underskud et andet sted. Ladning måles i Coulomb, C. En Coulomb svarer

til 6.24 * 10^19 elementarladninger. En elementarladning er en elektrons ladning.

Pladekapacitoren

I en pladekapacitor er overskuddet og underskuddet af elektroner placeret i to elektrisk ledende plader, der er lige store og parallelle og med et isolerende stof imellem pladerne, evt. luft eller vakuum. Denne placering forøger kapacitorens ydeevne, da underskud og overskud tiltrækker og dermed forstærker hinanden. (I praksis anvendes ofte sammenrillede folielag i stedet for plader.)

Ladningsforskellen ses også som en spændingsforskel mellem pladerne, og der gælder ligningen

UCQ ∗=,

Hvor Q er ladningen i coulomb, U er spændingsforskellen i volt og C er proportionalitetskonstanten, der kaldes kapacitansen og måles i coulomb pr. volt eller farad (F), altså

VCF /11 =

Udledning af formlen for feltstyrke

I området mellem de to plader dannes der et homogent elektrisk felt. Feltstyrken på en punktladning er givet som

Q

F

E =

Hvor F er den kraft (målt i newton), der påvirker ladningen, og Q er ladningen målt i coulomb.

Feltstyrken måles altså i newton pr coulomb, der kan omregnes til volt pr meter, således at

1

Tabellen over permittivitet i Håndbog i fysik og kemi s. 44

Side 4

4 s

V

E =

Hvor V er spændingen målt i volt og s er længden af den vej, ladningen flyttes.

Betragter vi nu en punktladning, der flyttes fra den ene plade til den anden, er feltarbejdet lig med

*= sFA

felt idet fås

Samtidig gælder der at den elektriske kraft er konservativ, således at feltarbejdet er lig med den negative ændring i den potentielle energi, hvorfor vi har at

EA Δ−=
 potfelt

Så vi får

**=Δ− sQEE

pot

La d W og W være to steder. Vi får forskellen i de to steders potentielle energi ved at trække de to

1 2 steders potentielle energi fra hinanden:

=−− **))()(( sQEWEWE

potpot 12

Der er ensbetydende med

=− * sE

Q Q

WE WE_{12})()(

potpot

Potentialet i et punkt defineres nu som K_{P}

Q

PE)(

K_{P} =

Pot

Her er K

P pot potentialet i punktet P i joule pr. coulomb, dvs. i volt, E

(P) er den potentielle energi i punktet P i enheden joule og Q er den betragtede ladning målt i coulomb.

QEF *=

**= sQEA

felt

Side 5

5

Ud fra denne formel får vi

=− * sEKK
WW_{21}

Idet d betegner afstanden mellem pladerne i en kondensator, får vi

En forskel i potentiale er ensbetydende med en spændingsforskel. Derfor får vi

dEU *=

eller d

U

E =

Hermed har jeg udledt formlen for den elektriske feltstyrke for de to plader i en pladekondensator.

Formlen for pladekapacitorens kapacitans

Vi har formlen

UCQ ∗=

Og vi har d

U

E =

Ved at isolere U i den sidste ligning og indsætte udtrykket i den første fås

dECQ *∗=

Og dermed

V * dE

Q Q

C ==

Vi har følgende ligning for den elektriske feltstyrke

* A

Q

E =

ε

=− * sE

Q Q

WE WE_{12})()(

potpot

=− * dEKK
WW_{21}

Side 6

6

Ɛ er permittivitteten for det isolerende materiale mellem de to kondensatorplader og A er arealet af pladerne og måles i kvadratmeter. Af den sidste ligning fås

E

Q

A =*

ε men da fås eller

Og dette er altså udtrykket for kapacitansen for en pladekondensator.

Dette er diagramsymbolet for en pladekondensator.

Kobling af kapacitorer

Kapacitorer kan, ligesom modstande m.m. kobles i serie og parallelt.

Parallelkobling

Ved parallelkobling af to kapacitorer er der samme spændingsforskel U over de to kapacitorer, og med denne værdi af U gælder ligningerne og

UCQ ∗=

22

Hvor C

1 2 1 2 og C er de to kapacitanser og Q og Q er ladningerne i de to kapacitorer.

Den totale positive ladning på de to kapacitorer kaldes Q, og den er lig med

*= dC

E

Q

dCA ** =

ε d

* A
C =

ε

UCQ ∗=

11

Side 7

7

QQQ +=
 21

For hele systemet gælder

UCQ *=

Men

C +=+= == CC_{21}

Q + QQ Q Q_{2121}

U U U U ialt

CCC +=
 21

Dvs. kapacitanserne er additive.

Her ses to kapacitorer koblet parallelt.

Seriekobling

Ved seriekobling af to kapacitorer vil der være ladningerne Q og – Q over de to yderste plader, og der vil være spændingsforskellen U mellem de samme to plader. Der gælder nu

*CUQ =
  11

Og

*CUQ =
  22

Og spændingsforskellen over hele seriekoblingen er

C C_{21}

UUU +=+=
  21

Q Q

Så ved division med Q fås

CC_{21} CQ

U 111

==+

I alt

Side 8

8

CCC
 21

111

+=

Dvs. kapacitanserne er reciprokt additive.

Her ses to kapacitorer koblet i serie

Afladning og opladning af en kapacitor

Opladning og afladning af en kapacitor sker ikke momentant, da de veje, der fører til (og fra) pladerne har begrænset kapacitet hvad angår transport af elektroner. Vi antager både om afladning og opladning at det foregår med en modstand i kredsløbet. Strømstyrke er ladning, der passerer et punkt i en leder pr. tidsenhed. Strømstyrken er proportional med spændingsforskellen, og da denne falder med tiden ved afladning, vil strømstyrken også aftage over tiden ved afladning. Det kan vises at både spændingsforskel over resistoren samt strømstyrke og ladning aftager over tiden med funktioner, der er aftagende over tiden, og hvis afledede er negative men voksende over tiden.

Afladning

Vi har en kapacitor og en resistor, der er forbundet i serie, og vi tænker os at kredsløbet sluttes, således at kapacitoren aflades. Dette sker ikke momentant, da ohms lov, som gælder for resistoren, gør, at der kun kan gå strøm af begrænset styrke gennem resistoren og dermed over kredsløbet. Vi har nu at spændingsfaldet over resistoren og kapacitoren tilsammen er 0 volt. Spændingsforskellen over modstanden er lig med

)(*)( tIRtU =

Hvor R er modstanden målt i ohm, og I er strømstyrken målt i ampere.

Spændingsforskellen over kapacitoren er lig med

C

Q

U −=

Side 9

9

Den strøm der går i ledningen stammer fra kondensatorens afladning, således at strømstyrken er lig med ændringshastigheden for ladningen, med andre ord

)()´( tItQ =

hvor den afledede er over tiden t. Af ligningen for I fås

* CR − RC

− tQ)(' tI)(
tI)´( = =

Dette samles til en differentialligning

− * CR

tI)(

tI)´( =

Denne ligning har den generelle løsning

     −  * t
      RC
=  *)( ektI

1

For t = 0 får vi at

kI =)0(

For I får vi

       −  * t
        RC
=    *)0()( eItI

1 dvs. I(t) følger en eksponentialfunktion i forbindelse med afladning af en kondensator.

Ud fra det foregående fås umiddelbart at spændingsforskellen over kondensatoren også følger en eksponentialfunktion, nemlig

        −  * t
         RC
=     **)( ekRtU

1

Og kondensatorens ladning følger af ligningen

           −  * t
            RC
=        ***)( ekRCtQ

1

Side 10

10

Opladning

Opladning af en kondensator foregår ved en spændingskilde med en konstant spænding.

Spændingen over kondensatoren og dens ladning vokser begge med tiden, men med en stigningstakt der er aftagende over tiden. Tilsvarende falder strømstyrken og spændingen over modstanden med tiden, men med en faldhastighed der er aftagende over tiden.

Ligningerne i forbindelse med opladning er de samme som ligningerne i forbindelse med afladning, dog er der tale om en batterispænding, der gør de første ligninger lidt anderledes. Således er batterispændingen U lig med summen af de to spændinger over resistoren og kapacitoren:

B

UtUtU =+ )()(
  BKR

Ved hjælp af de samme omskrivninger som tidligere får vi at

Og

Og heraf

Og ved division med R på begge sider får vi

RC R

1 U_{B}
tI)( tQ +−= )(*

Vi differentierer over t på begge sider og får

* CR − RC

− tQ)(' tI)(
tI)´( = =

Denne ligning har ligesom før løsningen

=)(*)( tIRtU

R

C tQ)(

tU)( =

K

tIR =+ )(*)(* UtQ_{B}

C

1

Side 11

11

       −  * t
        RC
=    *)0()( eItI

1 dvs. I(t) følger en eksponentialfunktion i forbindelse med opladning af en kondensator.

Ud fra det foregående fås umiddelbart at spændingsforskellen over kondensatoren også følger en eksponentialfunktion, nemlig

         −  * t
          RC
=      *)0()( eUtU

RR

1

Det er naturligt at antage at kapacitoren har ladningen 0 ved opladningens begyndelse. Så er U (0) K

= 0 volt, og af formlen i begyndelsen fås

UU =)0(
  BR

dvs.

       − * t
        RC
=    *)( eUtU

BR

1

Vi får nu spændingen over kapacitoren som

   −− * t
   RC
−=−=−= eUeUUUUtU )1(*)( .

1 1

* t

BBRBK B

RC

Da spændingen over kapacitoren følger en eksponentielfunktion kan en halveringstid findes, og vi har

+ =)T(tU_{K} tU)(*

2

1

21K

De to U - værdier erstattes med deres funktionsværdier ifølge formlen, og vi får

K

                  −− * t
                   RC
+     =)T(t *(0)U *)0(* eUe
            K

RC

1 1

K 21

2

1

Side 12

12

U (0) og e^{−}^{RC} forkortes væk på begge sider, og vi får

K

* t

1

2

1

*
  1
   2

1

e^{− T}^{RC} =

Vi tager ln på begge sider og får

=T ln(*)

RC 2

1 1

2

1

Og isolation af T giver

1/2

ln2*C*R=T

2

1

Hvor R er modstanden i Ohm, C er kapacitansen i F

Energi i en kapacitor

Energien ved en kapacitor fås som

E=1/2Q*U

Denne formel fås på følgende måde hver gang en lille ladning dq løber gennem en ledning udfører kapacitoren en lille arbejde dA. Vi bruger definitionerne på kapacitans og spænding og får

dA=U*dq og U=q/C

her af fås

* dqUdAE ====== 2/1*2/1*/1]*2/1*/1[** UQQCqCdqq

 1
∫∫∫
 C
000

2 Q 2

QQ

A

0

Side 13

13

Materialer

Forsøg 1:

Multimeter

2 stativer

2 Kobber plader 15x15 og 30x30

2 stål plader 15x15

Papir

Porcelæn glas ledninger med krokodillenæb

Forsøg 2:

Stativ ledninger

Lod

Motor med snor

Kondensator på 10 µF

Strømkilde voltmeter

Oplader og aflader

Forsøg 3:

Multimeter

2 kondensator

Ledninger

Strømkilde voltmeter

Side 14

14

Fremgangsmåde

Før alle forsøgene havde vi bygget nogle plader som skulle forstille vores egne byggede kondensator. Vi byggede nogle af stål og kobber.

Forsøg 1:

Dette forsøg har fire underforsøg. Det første vi udførte var at hente 2 stativer til at sætte vores plader på. Vi begyndte med kobberpladerne på 15x15 og fik skrevet nogle målinger og derefter med pladerne på 30x30, og det var fordi vi først skulle se om der skete nogle ændringer ved udskiftning af pladeareal. Det andet forsøg var at se om der skete nogle ændringer ved brug af en anden slags metal så vi brugte kobber 15x15 og stål 15x15. Det tredje forsøg var at undersøge om der skete noget ved ændring af pladeafstanden. Det sidste del var at måle med nogle materiale mellem pladerne og uden noget. Vi brugte papir og porcelænsglas som materiale. Under alle forsøg brugte vi en multimeter til at måle kapacitansen.

Forsøg 2:

I dette forsøg skulle vi se hvor lang en strækning en opladet kondensator kan få et lod til at blive trukket op af en motor. Vi satte motoren med snor fast på et stativ, vi hang et lod på snoren og loddets begyndelsesposition var på bordet. Vi havde koblet en strømkilde til motoren og til opladningen og afladningsmaskinen. Og vi havde en kondensator på 10µF. Først opladede vi kondensatoren og idet vi afladede den gik motoren i gang og trak loddet op.

Forsøg 3:

Vi satte to kondensatorer i serieforbindelse og satte en strømkilde til med en spænding på 15 volt og målte spændingsfaldet over hver af de to kondensatorer med et multimeter.

Resultater

Forsøg 1 måling af plade kondensator:

a. Pladeareal

b. Materiale af pladerne

Side 15

15

c. Pladeafstand

d. Materiale mellem pladerne

a. Pladeareal

Kobber plade Kobber plade

d= 5cm= 0,05m d= 5cm= 0,05m

A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m A= 30 cm x 30 cm = 0,3m x 0,3m

C = 0,043µF C = 0,087µF

Ɛ = luft Ɛ = luft

d= 10cm= 0,1m d= 10cm= 0,1m

A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m A= 30cm x 30cm=0,3m x 0,3m

C = 0,037µF C = 0,074µF

Ɛ = luft Ɛ = luft

d= 15cm= 0,15m d= 15cm= 0,15m

A= 15cm x 15cm A= 30cm x 30cm= 0,3m x 0,3m

C = 0,033µF C = 0,064µF

Ɛ = luft Ɛ = luft

b. Materialer af plader

Kobber plade stål plade

d= 5cm=0,05m d= 5cm= 0,05m

Side 16

16

c. Pladeafstand

A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m A= 15cm x 15cm= 0,15m x 0,15m

C = 0,043µF C = 0,036µF

Ɛ = luft Ɛ = luft

d= 10cm= 0,1m d= 10cm=0,1m

A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m

C = 0,037µF C = 0,031µF

Ɛ = luft Ɛ = luft

d= 15cm=0,15m d= 15cm=0,15m

A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m

C = 0,033µF C = 0,027µF

Ɛ = luft Ɛ = luft

Kobber plade

d= 5cm=0,05m

A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m

C = 0,043µF

Ɛ = luft

d= 10cm=0,1m

A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m

C = 0,037µF

Ɛ = luft

d= 15cm=0,15m

A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m

Side 17

17

d. Materiale mellem pladerne

C = 0,033µF

Ɛ = luft

kobber plade Kobber plade

d= 1cm = 0.01m d= 1cm = 0.01m

A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m

C = 0,061µF C = 0,067µF

Ɛ = luft Ɛ = papir

kobber plade Kobber plade

d= 0,5cm = 0.005m d= 0,5cm = 0.005m

A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m A= 15cm x 15cm = 0,15m x 0,15m

Side 18

18

Forsøg 2 energi i en kondensator:

a. Det udførte arbejde af en kapacitor

Variable Resultater

Massen( m) af loddet 10,2 g

g 9,82 m/s^2

∆s 36cm=0,36m

Først vil jeg finde det arbejde som kondensatoren udfører idet den aflades. Der gælder

Resultanterne i boksen indsættes i formlen

b. Det udførte energi af en kapacitor

Her vil jeg finde den energi som kondensatoren indeholder, for at sammenligne det udførte arbejde med den energi der er tilsted.

Variabel Resultat

C 10 µF

U 15 v

C = 0,071µF C = 0,095µF

Ɛ = luft Ɛ = porcelæn glas

sgmsFA Δ=Δ= ***

JmsmkgA 036,036,0*2^/82,9*0102,0 ==

Side 19

19

Forsøg 3 serieforbindelse af kondensator:

Da de to kondensatorer har samme kapacitans, nemlig 10 µF, venter vi at spændingsfaldet over de to kondensatorer er det samme og dette viste sig at være tilfældet i det vi målte spændingsfaldet til

7,63 v og 7,42 v og spændingen var på 15 v dvs.

=+=+= vvUUU 05,1542,763,7

21

Fejlkilder

Der er stor usikkerhed forbundet med måling af kapacitans. Endvidere var det ikke sikkert at vores plader var parallelle og lige store. Derfor kunne vi ikke vente at vores resultater stemte helt overens med teorien, men faktisk gik det bedre end ventede.

Måleusikkerheder

Der er ikke så meget måleusikkerhed, fordi vores resultater kom ud som cifre på et multimeter, dvs.

det var ikke muligt at tage fejl ved aflæsning. Den eneste mulighed for målefejl var hvis der var noget galt med multimeteren.

Diskussion

Formålet med denne øvelse var at måle kapacitansen for en kondensator (kapacitor) i forbindelse med ændringer i pladeareal, plademateriale, pladeafstand og materiale mellem pladerne. Derefter målte vi en kondensators energi i forbindelse med opladning og afladning, og vi målte spændingsfaldet over kondensatorerne ved serieforbindelse af to kondensatorer. Vi nåede det hele og vi fik tilfredsstillende resultater.

Pladeareal: 0.15m x 0.15m kapacitans 0.043µF

Pladeareal: 0.3m x 0.3m kapacitans 0.087µF

Ifølge teorien er kapacitansen proportional med pladearealet. Vi firedoblede arealet og fik kun en fordobling af kapacitansen, dvs. vores resultat er ikke i særlig god overensstemmelse med teorien.

Det er muligt at vores plader ikke stod helt parallelt i begge forsøg og at pladernes areal ikke er helt nøjagtigt bestemt samt at pladeafstanden var lidt forskellig i de to forsøg.

==== JvFUCUQE 125.1)15(*10*10*2/1**2/1**2/1

− 262

Side 20

20

Plademateriale af kobber: 0.15m x 0.15m kapacitans 0.043µF

Plademateriale stål: 0.15m x 0.15m kapacitans 0.036µF

Da kobber er en bedre leder end stål ventede vi at kobber gav en større kapacitans end stål og det gjorde det også. Vores resultat stemmer godt overens med teorien.

Pladeafstand 0,05m: 0.15m x 0.15m kapacitans 0.043µF

Pladeafstand 0.1m: 0.15m x 0.15m kapacitans 0.037µF

Vi ventede uf fra teorien at kapacitansen er omvendt proportional med afstanden mellem pladerne, dvs. en fordobling af afstanden skulle give en halvering af kapacitansen. I vores forsøg bevirkede en fordobling af afstanden at kapacitansen faldt med en faktor på 0.86, dvs. resultatet var i den rigtige retning men med en ændring der var for lille.

Materiale (papir) mellem Pladerne: kapacitans 0.067µF, afstand mellem pladerne 0.01m

Uden Materiale mellem Pladerne: kapacitans 0.061µF, afstand mellem pladerne 0.01m

Materiale (porcelæn glas) mellem Pladerne: kapacitans 0.095µF, afstand mellem pladerne 0.005m Uden Materiale mellem Pladerne: kapacitans 0.071µF, afstand mellem pladerne 0.005m

Vi ventede at papir mellem pladerne forøger kapacitansen med en faktor på ca. 2, og at glas forøger kapacitansen med en faktor på mellem 2 og 16. Som det ses, var begge ændringer i den rigtige retning, men meget mindre end forventet. Dette går igen næsten overalt: vi får en forandring i kapacitansen der er i den rigtige retning, men er alt for lille.

Resultaterne stemte overens med det ventede. Vi forventede at spændingsfaldet over to serieforbundne kondensatorer med samme kapacitans er identisk. Og det stemte bortset fra en lille afvigelse på 0,05 v. Vi undersøgte hvor stor en del af den energi der var til rådighed efter opladning af en kondensator, der faktisk blev brugt til at hæve loddet op, og vi fandt at kun 3,2 % blev brugt.

Dvs. resten gik tabt, så det vi kan konkludere er at der går mere tabt end vi bruger.

0,036 J / 1,125J = 0,032*100 = 3,2 %

Side 21

21

Konklusion

Formålet med denne øvelse var at måle kapacitansen for en kondensator (kapacitor) i forbindelse med ændringer i pladeareal, plademateriale, pladeafstand og materiale mellem pladerne. Endvidere målte vi en kondensators energi i forbindelse med opladning og afladning, og vi målte spændingsfaldet over kondensatorerne ved serieforbindelse af to kondensatorer. Der var en systematisk afvigelse fra det forventede i næsten alle vores forsøg, nemlig at vi fik en forskel i den rigtige retning, der bare var for lille. Vi kender ikke årsagerne. Vores resultater var rimelige set i lyset af at kapacitans er upålideligt at arbejde med.

Litteratur

Fysik bog, Grundlæggende fysik, Erik Øhlenschlæger

Udleveret ark om kondensatorer kapitel 3