SRO om mindste kvadraters metode i forbindelse med reaktionshastighed

Side 1

STX 2.g

Studieretningsopgave 2.d.

Side 1 af 19

Indholdsfortegnelse

Indledning ............................................................................................................................................................... 1 Reaktionshastighed .............................................................................................................................................. 2

Undersøgelse af temperaturafhængighed/Forsøg 1. ................................................................................... 4
Undersøgelse af reaktionens koncentrationsafhængighed/Forsøg 2. ....................................................... 5

Resultatbehandling ........................................................................................................................ 5 Opgave 1. ............................................................................................................................................................... 5 Opgave 2. ............................................................................................................................................................... 6 Mindste kvadraters metode ............................................................................................................ 6 Eftervisning af mindste kvadraters metode ....................................................................................................... 7 Eksempel på udregning af a og b, ved hjælp af mindste kvadraters metode .......................................... 8 Matematiske modeller ........................................................................................................................................... 9 Opgave 3 ..............................................................................................................................................................10 Opgave 4 ..............................................................................................................................................................11 Opgave 5 ..............................................................................................................................................................11 Opgave 6 ..............................................................................................................................................................12 Opgave 7 ..............................................................................................................................................................13 Ekstra-opgaver ............................................................................................................................. 14 Opgave A ..............................................................................................................................................................14 Opgave B ..............................................................................................................................................................16 Litteraturliste ..........................................................................................................................................................16 Indledning:

I følgende opgave benyttes den empiriske metode til at erfare viden baseret på eksperimenter og undersøgelser omkring reaktionshastighed. Når der blandes to stoffer, vil der ske en reaktion, såfremt at molekylernes energi tilsammen er stæk nok til at overvinde aktiveringsenergien. En sådan reaktion kan forgå mellem flere forskellige reaktanter, og i denne opgave er der taget udgangspunkt i reaktionen mellem thiosulfat og syre. Hvordan forløber denne reaktion? - og hvordan opstilles en model, der beskriver sammenhængen mellem reaktanterne? Svarene på disse spørgsmål, findes på næste side.

Side 2

Studieretningsopgave 2.d.

Side 2 af 19

Reaktionshastighed

Kemiske reaktioner forløber forskellige og med forskellige hastigheder. Definitionen på en reaktions

                      1
hastighed kan beskrives ved :

𝑣 =

Δ[𝐴]

Δ𝑡

Definitionen ovenover beskriver, at koncentrationen af stoffet A formindskes pr. tids enhed.

En kemisk reaktion kunne eksempelvis se ud på følgende måde:

A+2B🡪C+D

A & B kaldes reaktanter og det er disse stoffer, der reagerer med hinanden og danner et nyt stof, altså et produkt. I det der sker en reaktion som denne, formindskes koncentrationen af A og B imens koncentrationen af C & D bliver større. Reaktionshastigheden afhænger altså af reaktanternes koncentrationer. En reaktion som denne kan beskrives som nedgangen i stofmængdekoncentration af en reaktant pr. tid, og kan derfor skrives ved udtrykket [2].

𝑣 = −

Δ[𝐴]

Δ𝑡

Reaktionshastigheden afhænger af flere forskellige ting fx:

- Overfladeareal

- Koncentration

- Temperatur

- Intensiteten af stråling

- katalysator

Overfladearealet har indflydelse på reaktionshastigheden, da et større areal giver en hurtigere reaktion. Fx reagere magnesium pulver meget hurtigere end magnesium spåner, hvilket skyldes at pulveret er fordelt på et større areal end spånerne er.

Samtidig har koncentrationen også indflydelse, og hvis hastigheden er proportional med

                               3
stofmængdekoncentrationen får man at : 𝑣 = 𝑘 ∗ [ 𝐴 ]
                                  𝑟𝑒𝑎𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛

Hvor k kaldes hastighedskonstanten.

Derudover vokser reaktionshastigheden med temperaturen. Fx kan en gas blive opvarmet til flere hundrede grader, og derved tilføres molekylerne meget kinetisk energi, som medfører at molekylerne bryder elektronparbindingerne.

En katalysator, der også kan kaldes en ”igangsætter”, er et stof der fremskynder en kemisk proces uden selv at blive forbrugt ved den. Sådan en katalysator kaldes også heterogen, da den forbliver

1

Mygind, Helge, Kemi 2000 niveau 1, P.Haase & Søns Forlag, s. 10.

2

Mygind, Helge, Kemi 2000 niveau 1, P.Haase & Søns Forlag, s. 11.

3

Mygind, Helge, Kemi 2000 niveau 2, P.Haase & Søns Forlag, s 140.

Side 3

Studieretningsopgave 2.d.

Side 3 af 19 fast stof både under og efter reaktionen. Hvis katalysatoren opløses i reaktionens blanding kaldes den homogen.

Fælles for alle variable er, at der skal ske en kollision for at en kemisk proces kan forløbe. Ved en kollision menes der et sammenstød mellem reaktanternes atomer, ioner eller molekyler. Ved et sådan sammenstød ændrer reaktanterne deres form og bindinger. Dog er det ikke alle sammenstød der fører til en kemisk reaktion, da det er nødvendigt at reaktanterne har en kinetisk energi, der er stor nok til at overvinde frastødningskraften mellem elektronerne. Den store energi som frastødningskraften udgør kaldes også reaktionens aktiveringsenergi, og er altså det stadie hvor reaktanterne har nok kinetisk energi til at overskride frastødningskraften.

”Jo højere aktiveringsenergien er for en reaktion, desto vanskeligere er det for molekylerne at overvinde den, og desto lavere bliver reaktionshastigheden [4] ”.

                                                                      𝐸𝑎
                                                                    (−  )
                                                          5
                                                                      𝑅∗𝑇
Aktiveringsenergien for en reaktion kan bestemmes ved Arreniusligningen : K = 𝑘 ∗ 𝑒
                                                                 0

Ved lidt omrokering, og sammenligning med y=ax+b, fås følgende:

Hvis N & ML bevæger sig mod hinanden med en kinetisk energi som er større end aktiveringsenergien, sker der

følgende reaktion: M-L+N N-

🡪

M+L^{6}

4

Parbo, Henrik, Kend Kemien 2, Gyldendal 2007, s. 213, linje 5.

5

Parbo, Henrik, Kend Kemien 2, Gyldendal 2007, s. 215

6

Mygind, Helge, Kemi 2000, P. Haase & Søns Forlag, s.17

Side 4

Studieretningsopgave 2.d.

Side 4 af 19

En reaktions hastighedsudryk, bliver fundet ved at udføre forsøg, hvorefter udtrykket udledes ud fra de fundne data. Vi går ud fra at hastighedsudtrykket, fundet ved eksperimenter, er givet ved:

𝑣 = 𝑘 ∙ [ 𝐴]^{𝑙} ∙ [𝐵]^{𝑚} ∙ [𝐶]^{𝑛}

K er hastighedskonstanten og den er temperaturafhængig. Reaktionen siges da at være af ordenen l med hensyn til A, af ordenen m med hensyn til B og med ordenen n med hensyn til C. Den totale

reaktionsorden er (l+m+n). Begrebet reaktionsorden vedrører altså eksponenterne i det

eksperimentelle fundne hastighedsudtryk. For de fleste reaktioner vil l, m og n være små hele tal (1 eller 2 evt. 0).

En første ordens reaktion har hastighedsudtrykket: v = k*[A]. og en anden ordens reaktion har

                   7       2
hastigstighedsudtrykket : v= k*[A] eller v =k*[A]*[B]

Man finder frem til en reaktions hastighedsudtryk ved at foretage forsøg, hvilket jeg nu vil gøre ved at tilsætte syre til en vandig opløsning af natriumsulfat Na

2 2 3

S

O

, hvorefter der vil udfældes frit svovl.

Reaktionen er følgende: 2H^{+} (aq)+s O^{- -} (aq) = S(s)+SO +H O

2 2 2

Reaktionen mellem thiosulfat og syre er ret langsom. Da frit svovl er uopløseligt i vand, vil der fremkomme mikroskopiske svovlkrystaller i opløsningen, som vil gøre opløsningen uigennemsigtig efter kort tid ∆t.

Formålet med følgende øvelse er at undersøge hvordan reaktionshastigheden for reaktionen mellem syre og thiosulfat afhænger af henholdsvis koncentration og temperatur.

Undersøgelse af temperaturafhængighed/Forsøg 1.

Forsøgsbeskrivelse:

Der udføres her 4 forsøg, hvor vandets temperatur er varierende. Ved hvert forsøg bruges 20 ml,

0,1 M thiosulfat og 20 ml 1,0 M saltsyre. De to bægerglas anbringes i en balje med vand med den ønskede temperatur. Efter et par minutter hældes de to blandinger sammen i et bægerglas, med et kryds i bunden, og stopuret tændes. Når krydset ikke længere kan ses på grund af udfældet svovl, noteres tiden ∆t.

Forsøg nr. Na S O V[ml] HCL V[ml] Temperatur Reaktionstid 1/∆t

2 2 3

[⁰C]

∆t [sek] [Sek^{-1}]
1 20 20 373 s 0,002681 s^{-1}

11,0⁰

2 20 20 218 s 0,004587 s^{-1}

20,5⁰

3 20 20 123 s 0,008130 s^{-1}

30,0⁰

7

Mygind Helge, Kemi 2000 A-niveau, P.Haase & Søns Forlag s.138-140

Side 5

Studieretningsopgave 2.d.

Side 5 af 19

4 20 20 69 s 0,014493 s^{-1}

44,0⁰

Undersøgelse af reaktionens koncentrationsafhængighed/Forsøg 2.

Forsøgsbeskrivelse: For at undersøge reaktionshastigheden, har jeg lavet et forsøg hvor koncentrationen natriumthiosulfat holdes konstant i de fire første forsøg, hvorefter det er syrekoncentrationen der holdes konstant de næste fire forsøg. Forsøget blev foretaget på følgende måde:

- Na S O hældes over i et bæger med et sort kryds i bunden.

2 2 3

- HCL hældes i et andet bægerglas

- De to opløsninger blandes sammen, og stopuret tændes.

- Reaktionstiden ∆t noteres når krydset på bunden af bægerglasset ikke kan ses mere pga.

det udfældet svovl.

Forsøg Na S O V[ml] HCL V[ml] Vand V[ml] Reaktionstid 1/∆t

nr. ∆t [sek] [Sek^{-1}]

2 2 3

1 20 1 19 55,81 s 0,0179179 s^{-1}
2 20 5 15 25,24 s 0,0396196 s^{-1}
3 20 10 10 22,37 s 0,0447027 s^{-1}
4 20 15 5 20,72 s 0,0482626 s^{-1}
5 15 15 15 31,61 s 0,0316356 s^{-1}
6 20 15 10 23,43 s 0,0426803 s^{-1}
7 25 15 5 19,50 s 0,0528205 s^{-1}
8 30 15 0 16,22 s 0,0616523 s^{-1}

Resultatbehandling:

Opgave 1.

Hvorfor er svovl uopløseligt i vand?

For at kunne blande et stof med vand, er det nødvendigt at begge er i besiddelse af en polær gruppe. Et polært stof er et stof, som både har en positiv elektrisk ladet ende og en negativt ladet ende. På grund af denne ladningsfordeling dannes der dipoler [8]. For at et stof kan være opløseligt i vand, er stoffet som sagt nødt til at have en polær ende, da den polære ende er den hydrofile ende, altså den vandelskede ende. Hvis et stof ikke er blandbart med vand, er det fordi, at stoffet har en symmetrisk ladningsfordeling. Når man prøver at blande svovl med

8

Et stof med to poler.

Side 6

Studieretningsopgave 2.d.

Side 6 af 19 vand, vil man opdage, at disse to stoffer ikke er blandbare, hvilket altså betyder at svovl ikke er i besiddelse af en polær gruppe, og dermed har en symmetrisk ladningsfordeling. Svovl er upolært og. Bl.a. derfor kan man finde rent svovl i naturen, især ved varme kilder og vulkaner.

Opgave 2.

Forklar kort hvorfor reaktionen mellem thiosulfat og syre kaldes en redoxreaktion.

Ved en oxidation forstås en hel eller delvis elektronafgivelse ved reaktionen, hvor der ved en reduktion forstås en hel er eller delvist elektronoptagelse. Der kan kun forekomme en redoxreaktion, hvis der sker en oxidation hvor der afgives elektroner samt en reduktion, hvor der optages elektroner. Antallet af elektroner, der afgives i en redoxreaktion, svarer præcist det det antal elektroner der optages. Begrundelsen for at reaktionen mellem thiosulfat og syre kaldes en redoxreaktion er følgende:

2H^{+} + S O^{2-} ⇒ S + SO + H O

2 3 2 2

Der overføres her elektroner mellem de reagerende stoffer, og det stof der har størst tildens til

at afgive elektroner, nedbrydes hurtigst. Produktet er opbygget af ionerne H^{+} & S O^{--}. Et

2 3 hydrogenatom afgiver to elektroner, når det omdannes, og der afgives derfor i alt fire elektroner fra de to hydrogenatomer. Samtidig optager thiosulfatatomet to elektroner, når det omdannes. Da der sker både en oxidation og en reduktion kaldes det en redoxreaktion.

Mindste kvadraters metode:

Princippet med mindste kvadraters metode er, at man skal finde den linje hvor summen af de kvadrerede lodrette afstande fra punkterne til linjen er mindst mulig. Man kan fx finde den bedst

mulige rette linje y=ax+b, igennem nogle punkter (x,y), ... ,(x,y) ved at danne kvadratsummen

1 1 n n

(ax +b−y)^{2} + ··· +(ax +b−y)^{2} Hvorefter det kræves , at summen skal så lille som mulig. Mindste

1 1 n n kvadraters metode er egentlig byggestenen for en regressionsanalyse, fordi det i princippet er den samme metode der tages i brug.

Når der udføres en regressionsanalyse, bliver der også taget den mindst mulige kvadratsum, således at der fremkommer den mest præcise linje gennem de opgivne

Side 7

Studieretningsopgave 2.d.

Side 7 af 19

punkter.^{9}

Som det ses på billedet, er den røde linje, den bedst mulige linje gennem punkterne. De lodrette streger repræsenterer de lodrette afstande fra punkterne (x,y) som kaldes d, n n 1

                                                        2   2   2     2
d ,d ,…….Kvadratsummen af afstandene kan så udregnes ved: D= d +d +d .....+d .

2 3 1 2 3 n

Eftervisning af mindste kvadraters metode:

Der er opgivet tre punkter: (x,y), (x,y) & (x,y)

1 1 2 2 3 3

Den bedste rette linje findes derfor ved:

S(a,b)=(ax +b-y)^{2} +(ax +b-y)^{2} +(ax +b-y)^{2}, når der er tale om tre koordinatsæt.

3 3 2 2 1 1

Herefter differentieres stykket mht. b, og udtrykket reduceres.

𝒅𝑺(𝒂,𝒃) 𝒅𝒃

= 2(ax +b-y) + 2(ax +b-y) + 2(ax +b-y) =0 når det er et minimum

3 3 2 2 1 1

a(2x +2x +2x)+6b-2y -2y -2y =0

3 2 1 3 2 1

Der divideres med 2 på begge sider, og 3b trækkes fra, derved fås udtrykket b i form af a.

-3b=a(x +x +x)-y -y -y

3 2 1 3 2 1

   −𝒂
b =

( 𝒙𝟑+𝒙𝟐+𝒙𝟏) +𝒚𝟑+𝒚𝟐+𝒚𝟏

𝟑

For nu at finde a, differentiere jeg nu mht. a.

S(a,b)=(ax +b-y)^{2} +(ax +b-y)^{2} +(ax +b-y)^{2}

3 3 2 2 1 1 𝒅𝑺(𝒂,𝒃) 𝒅𝒂

= 2(ax +b-y)*x + 2(ax +b-y)*x + 2(ax +b-y)*x =0

3 3 3 2 2 2 1 1 1

Udtrykket reduceres nu:

a(2(x^{2} +x^{2} +x^{2})+b(2x +2x +2x)-(2x y +2x y +2x y)=0

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

Udtrykket for b indsættes nu.

                 −𝒂 ( 𝒙𝟑+𝒙𝟐+𝒙𝟏
     2   2   2
a(2(x +x  +x )+ (                  )* (2x +2x +2x )-(2x y +2x y +2x y )=0

1 2 3 1 x 3 1 1 2 2 3 3

) +𝒚𝟑+𝒚𝟐+𝒚𝟏

𝟑

Nu isoleres a:

𝒂 =

𝒙_{𝟏} ( 𝟐𝒚_{𝟏} − 𝒚_{𝟐} − 𝒚_{𝟑}) − 𝒚_{𝟏} ( 𝒙_{𝟐} + 𝒙_{𝟑}) + 𝒙_{𝟐} ( 𝟐𝒚_{𝟐} − 𝒚_{𝟑}) − ( 𝒚_{𝟐} − 𝟐𝒚_{𝟑}) 𝒙_{𝟑}
𝟐((𝒙_{𝟏})^{𝟐} − 𝒙_{𝟏} ( 𝒙_{𝟐} + 𝒙_{𝟑}) + (𝒙_{𝟐})^{𝟐} − 𝒙_{𝟐} ∗ 𝒙_{𝟑} + (𝒙_{𝟑})^{𝟐})

Nu er både a og b bestemt, hvilket vil sige at efter at a er fundet kan b løses ved at insætte resultatet for a, i formlen for b.

9

Billede:(http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Teoretisk_statistik/regressionsanalyse)

Side 8

Studieretningsopgave 2.d.

Side 8 af 19

Eksempel på udregning af a og b, ved hjælp af mindste kvadraters metode:

Beviset bekræftes nu på følgende måde:

Tre punkter er givet: P(1,5) Q(2,36) & O(3,9)

𝒂 =

𝟏 ( 𝟐 ∗ 𝟓 − 𝟔 − 𝟗) − 𝟓 ( 𝟐 + 𝟑) + 𝟐 ( 𝟐 ∗ 𝟐 − 𝟗) − ( 𝟔 − 𝟐 ∗ 𝟗) ∗ 𝟑
𝟐((𝟏)^{𝟐} − 𝟏 ( 𝟐 + 𝟑) + (𝟐)^{𝟐} (𝟐 ∗ 𝟑 + (𝟑)^{𝟐})
𝒂 = 𝟐

𝒃 =

−(𝟐 ( 𝟏 + 𝟐 + 𝟑) − 𝟓 − 𝟔 − 𝟗)

𝟑

𝒃 = = 𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕

𝟖

𝟑

For bekræfte at resultaterne er rigtige, optegnes nu regression på punkterne

Herved bekræftes at udtrykket for og b, som er udledt i kapitlet om mindste kvadraters metode, er korrekte.

Det skal dog siges at, mindste kvadraters metode selvfølgelig også kan bruges når der er mere end

3 punkter opgivet. Hvis dette er tilfældet skrives formlen således:

Hvor koefficienterne findes ved følgende udtryk:

Side 9

Studieretningsopgave 2.d.

Side 9 af 19

Mindste kvadraters metode benyttes til dagligt mange steder når der skal udregnes statestikker osv.

Her bruges dog elektroniske programmer, som bregner a og b ud fra den mindste kvadratsum. Ved at bruge sådan et program, kan man opstille flere forskellige modeller, som fx, exponentiel funktion

y =b*a^{x}, potens funktion y=b*x^{a} og som sagt den lineære funktion, som jeg tidligere har vist

hvordan man beregner koefficienterne til den rette linje.

Matematiske modeller

Vi tager nu udgangspunkt i 3 punkter, og ud fra disse bestemmes tre modeller, hhv.

potensregression, eksponentielregression og lineærregression.

O(2,3) P(4,7) Q(6,10)

Punkterne plottes nu ind i de forskellige modeller:

På baggrund af residualplot og forklaringsgrad kan de forskellige modeller vurderes.

En potensfunktion, f(x) = b x^{a},kan have det første observerede

datapunkt (x

1 1 2 2

,y

), det andet for (x

,y

) osv. De tilsvarende punkter på potensfunktionen er (x,f(x)), (x,f(x)) osv. Residualerne er nu

1 1 2 2 forskellen mellem den observerede y-værdi og funktionsværdien på potensfunktionen For at potensfunktionen skal være så korrekt som muligt, er det derfor bedst at have de mindste residualværdier. Modellerne vurderes derfor ud fra kvadratsummen af kvadraterne af residualerne,

                                    2
hvilket man også kalder forklaringsgraden r

. Ud fra de tre modeller som ses ovenover, kan det derfor konkluderes at potensfunktionen er den funktion hvor kvadratsummen af residualerne er

           2
mindst, fordi r er tættest på 1. Fremover vil jeg

derfor vurdere modellerne ved at kigge på

størrelsen af r^2 og Korrelationskoefficienten.

Korrelationskoefficienten r er et udtryk for sammenhængen mellem to variabler. Ved en god sammenhæng er korrelationskoefficienten 1. Tallet

Side 10

Studieretningsopgave 2.d.

Side 10 af 19 kan også være negativt, hvis den ene variabel stiger, når den anden falder. Ved perfekt negativ korrelation er korrelationskoefficienten -1.)

Opgave 3.

På baggrund af resultaterne fra skema 1, ønskes optegent en graf der beskriver hastigheden

(udtrykt ved 1/∆t) som funktion af temperaturen. Kommenter grafens udseende kemisk og matematisk.

Ovenstående graf beskriver sammenhængen mellem reaktionens hastighed og temperaturen.

Temperaturen ses ud af x-aksen og hastigheden op af y-aksen. Grafen viser hvordan hastigheden vokser, eftersom temperaturen stiger. Den optegnede graf er beregnet ud fra

modellen om eksponentiel vækst hvor f(x)=b*a^x. Modellen beskriver sammenhængen mellem to

variable som forandrer sig. En eksponentiel udvikling beskrives med to tal, henholdsvis a og b,

hvor a er fremskrivningsfaktoren. funktionens vækst kan beskrives ved hjælp af vækstraten r= a-

1, hvilket vil sige, at ovenstående graf viser at reaktionshastigheden vokser med 5 % hver gang

temperaturen forøges med en grad celsius, da a= 1.05282 og b= 0.001587. I dette tilfælde

er a>1 og funktionen er derfor eksponentielt voksende, og der er derfor tale om en positiv vækst. Vi ser at linjen tilnærmelsesvis går gennem alle fire punkter, dog med lidt afvigelse fra

de to sidste punkter. Forklaringsgraden r^2 udtrykker overensstemmelsen mellem de givne data
og regressionsudtrykket. Da r^2 er tæt på 1, udtrykker dette en forholdsvis god

overensstemmelse.

Side 11

Studieretningsopgave 2.d.

Side 11 af 19

Opgave 4.

Optegn herefter dataene fra skema 1 på følgende måde: Logaritmen til hastigheden(1/∆t) som

funktion af 1/T og kommenter grafen udseende.

Grafen som beskriver sammenhængen mellem ln(1/∆t) og 1/T, kan beskrives ved formlen:

           (-Ea/RT)
, hvor R =8.31 J/ mol *K, Ea= aktiveringsenergien og T= temperaturen

i Kelvin. Og ud fra grafen kan det ses at reaktionen aftager lineært, og reaktionen er af 1.

Ordens-grad, fordi når ln[A] og 1/T plottes ind i et koordinatsystem, og der fås en ret linje, er

der tale om en reaktion af første orden. Grafen viser samtidig at jo lavere temperaturen er, jo

lavere bliver værdien af ln(1/delta t). Dermed kan jeg konkludere at reaktionenshastigheden

bliver mindre.

Opgave 5.

Bestem Ea og forklar hvad Ea (aktiveringsenergien) er for en størrelse.

For at bestemme Ea bruges hældningskoefficienten, som i dette tilfælde er -4650,99. Når hældningskoefficienten er kendt, som den er i dette tilfælde, bruges følgende formel til

                                𝐸𝑎
beregning af aktiveringsenergien: α= − ⬄ -α*R = Ea.
                                𝑅

Da hældningen, og gaskonstanten også er kendt, kan Ea beregnes:

-α*R = Ea⬄4650,99*8,31j/mol*K = Ea.
Ea = 9 J/mol.

Begrebet aktiveringsenergi: Se side 2.

1/∆t = K*e

Side 12

Studieretningsopgave 2.d.

Side 12 af 19

Opgave 6.

Plot reaktionshastigheden 1/∆t som funktion af koncentrationen af [S O^{- -}] og kommenter

2 3 grafens udseende matematisk.

For at lave en grafisk afbildning af 1/∆t som funktion af koncentrationen af [S O^{- -}], er det

2 3

nødvendigt først at finde den molære koncentration af [S O^{- -}], altså hvor meget stof der er

2 3 i opløsningen.

Formlen jeg bruger til dette er:

    𝒏
𝒄 =
    𝒗

Jeg isolerer først n, som er stofmængden.

n = c*v

Jeg uderegner et eksempel, hvorefter jeg undlader efterfølgende beregninger. Dog vil resultaterne blive opgivet i skemaet nedenfor.

Udregning for forsøg nr. 1.

n = c*v ⬄ n = 0.10 M*0.02 L
n = 0.002 mol

         𝑛
    - -
[S O  ]=  ⬄ 𝑐 =
         𝑣

2 3

0.002 𝑚𝑜𝑙

0.04𝐿

[S O^{- -}]= 0.05 mol/l

2 3

Forsøg nr. Na S O HCL Vand [Na S O] [H^{+}]

2 2 3 2 2 3

V[ml] V[ml] V [ml] Mol/L Mol/L

1 | 20 | 1 | 19 | 0.05 | 0.025
2 | 20 | 5 | 15 | 0.05 | 0.125
3 | 20 | 10 | 10 | 0.05 | 0.25
4 | 20 | 15 | 5 | 0.05 | 0.375
5 | 15 | 15 | 15 | 0.03333 | 0.3333
6 | 20 | 15 | 10 | 0.04444 | 0.3333
7 | 25 | 15 | 5 | 0.05555 | 0.3333
8 | 30 | 15 | 0 | 0.06666 | 0.3333

Side 13

Studieretningsopgave 2.d.

Side 13 af 19

Her ses grafen for reaktionshastigheden som funktion af koncentrationen af [Na S O]

2 2 3

Det ses her at reaktionshastigheden vokser lineært med koncentrationen af [Na S O]. Grafen går

2 2 3 næsten igennem punktet (0,0) og man kan derfor konstatere at de to variable også vokser proportionelt.(Dog skærer den ikke i 0,0, men dette kan forklares ved fejlkilder). På baggrund af forklaringsgraden kan det fast slås at kvadratsummen af residualerne er meget lille og punkterne ligger derfor tilnærmelsesvis på en ret linje.

Opgave 7.

Plot reaktionshastigheden 1/∆t som funktion af koncentrationen af [H^{+}] og kommenter grafens

udseende matematisk.

For at tegne en graf over reaktionshastigheden som funktion af [H^{+}], må vi som beskrevet i
forrige opgave først beregne den molære koncentration af [H^{+}].

Alle beregningerne af den molære koncentration, ses i skemaet i forrige opgave.

Jeg foretager nu et eksempel fra forsøg 1. på beregning af den molære koncentration af [H^{+}].
n = c*v ⬄ n = 1.0 M*0.001 L
n = 0.001 mol

          𝑛
[H    ]=  ⬄ 𝑐 =
          𝑣

+

0.001 𝑚𝑜𝑙

0.04𝐿

[H^{+}]= 0.025 mol/l

Side 14

Studieretningsopgave 2.d.

Side 14 af 19

Plottet viser her at reaktionshastigheden stiger potentielt med koncentrationen af [H^{+}].

Forklaringsgraden er 0.95 og man tolker, at forklaringsgraden er acceptabel helt ned til 0.95.

Grafen her er derfor acceptabel, men kvadratsummen af residualerne giver et forholdsvis stort tal, hvilket betyder at afstandene fra punkternes y-værdier til den optegner regressions linjes y-værdier er store.

Ekstra opgaver.

Opgave A.

Kokain omdannes forholdsvis hurtigt i blodet ved hydrolyse.

En person får injiceret kokain i blodet.

Nedenstående tabel viser Kokain koncentrationen i blodet målt til forskellige tidspunkter efter injektionen.

Afbildning af regressionsfunktionen af cocainkoncentrationen i blodet.

Afbildning af ln[A].

Da afbildningen af Ln[a] mod tiden giver en ret linje, følger reaktionen en første orden.

Side 15

Studieretningsopgave 2.d.

Side 15 af 19

Jeg vil nu afkræfte at der ikke er tale om, at reaktionen følger en anden orden:

Reaktionen følger ikke 0. orden, da funktionen i sig selv ikke giver en ret linje.

Afbildning af 1/[A]

Da afbilningen af 1/[A] mod tiden, heller ikke giver en ret linje, følger reaktionen ikke en 2.

orden.

Side 16

Studieretningsopgave 2.d.

Side 16 af 19

Hermed er det bekræftet at reaktionen er af 1. orden, da afbildningen af ln[A] giver en ret linje.

Jeg vil nu beregne halveringstiden for omdannelsen af cocain i blodet, dette beregnes ved hjælp af

følgende formel^{10}:

Hvor T½ er halveringstiden og k er en konstant for den bestemte reaktion, hvor k beskrives som a= -

k. K er altå hældningen reaktionens ordens funktion.

Halveringstiden for cocain i blodet er altså på ca. 0.69 timer. Som svarer til:

41 minutter.

Opgave B.

Vi betragter en reaktion hvor reaktionshastighed kun afhænger af stoffet B's koncentration. Der gennemføres seks forsøg i hvert forsøg måles begyndelseshastigheden.

Her ses målingerne for de seks forsøg, og funktionen for det bedst mulige graf.

For at finde hastighedsudtrykket, bestemmes først

10

Mygind, Helge, kemi 2000, A-niveau 2, s139

T_{1 2} =

ln ⎛ 2 ⎞

⎝ ⎠ k

Side 17

Studieretningsopgave 2.d.

Side 17 af 19 reaktionens orden.

Der er i alt kendskab til 0. orden, 1. orden og 3. orden. Orden-bestemmelsen gøres ved at tjekke alle tre slags igennem, for at konstatere hvilken en, der giver en ret linje.

Jeg tjekker først om reaktionen, er at 1. orden, ved at tage ln til alle x-værdierne, og se om punkterne ligger på en ret linje.

ln(0.09)=-2.40795, ln(0,07)=-2.65926, ln(0.05)=-2,99573, ln(0.04)=-3.21888, ln(0.02)=-
3.91292, ln(0.01)=-4.60517.

Grafen viser hastigheden som funktion af den naturlige logaritme til B, som det ses på garfen ligger punkterne ikke i nærheden af en ret linjen, og dermed kan det slås fast, at reaktionen ikke er af føste orden.

Jeg prøver derfor at se om reaktionen følger 2.

orden.

Da vi ved at en 2. ordens reation følger hastighedsudtrykket v = k ⋅ B^{2}

, sættes B nu i anden, for at se om dette giver en ret linje.

[0.09]^2 = 0.0081 (Efterfølgende udregninger udlades).

Det

Side 18

Studieretningsopgave 2.d.

Side 18 af 19

ses her på værdien af r^2, at punkterne ligger på en tilnærmelsesvis ret linje og kan betragtes som

tilfredsstillende.

Da grafen her, er en lineær regressionsoptegning, betyder det, at reaktionen er af 2. ordens grad.

Nu da jeg har bestemt, hvilken orden der er tale om, kan jeg bestemme hastighedskonstanten k udfra regressionsligningen.

Da vi allerede har fået opgivet reaktionens ligning, som følger en linæer ligning y =ax+b, kan jeg
bestemme k, da det er givet at a = -k. Da linjens ligning er følgende:

, kan jeg konstatere at k er den nummeriske værdi af -k. Hvoraf vi

ved at a =- k.

k er derfor: 0.00385.

Værdien k kan dog også beregnes på følgende måde, hvis der kun var tale om et enekélt forsøg med som var afhængig af en koncentration:

v ⎛ x ⎞:= 0.00385 ⋅ x + 2.18124 ⋅ 10^{-8}

⎝ ⎠

V := k ⋅

B

k =

V

B

k = k =

3.12 ⋅ 10^{-5}

0.09

.000347

Side 19

Studieretningsopgave 2.d.

Side 19 af 19

Litteraturliste

Kemi materiale:

Mygid, Helge, Kemi 2000 A-niveau 1, P. Haase & Søns Forlag.

Mygind Helge, ,Kemi 2000 A-niveau 2, P. Haase & Søns Forlag.

Parbo, Henrik,(….), Kend Kemien 2, Gyldendal.

http://www.kemicenter.dk/gym_c/basisviden_c/basisviden_maengde.html 13/04-10

Matematik materiale:

Clausen, Flemming, Gyldendals Gymnasiematematik, Gyldendal.

http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html 12/04-10

http://books.google.dk/books?id=-
tJ6IASwV_gC&pg=PA180&lpg=PA180&dq=mindste+kvadraters+metode+princip&source=bl&ots
=fXNb-z2B40&sig=r2RltG-ZVubJ4Is5WOtRAIPdzRg&hl=da&ei=gw2-
S6vTA9KYOJ7lsP4J&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9&ved=0CDUQ6AEwCA#v=onepa
ge&q=mindste%20kvadraters%20metode%20princip&f=fals 13/04-10

http://www.math.ku.dk/famos/arkiv/10-1/node2.htm13/04-10

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/It_og_numeri
sk_analyse/mindste_kvadraters_metode 13/04-10

http://statmaster.sdu.dk/NetStat/Kap13/afsnit13_4.htm 13/04-10

http://www.smileyspeople.dk/test/spearman/spearman.htm 13/04-10