SRP: Levnedsmiddelfarver og Matrixregning i Matematik og Kemi

Side 1

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

1

Abstract

This study contains a more detailed look on the tree colorings in a green soda. It account for the chemical construction of the tree coloring and for the reason it “carries” this color. In addition it accounts for the law of Lambert-Beer and the mathematical model it expresses. It shows also how Matrix linear system of equations is used to solve three equations with three unknowns. The study uses a practical experiment to analyze the content of the colorings in the breezers. That occurs throw a spectrophotometric analyze, which contains in drawing the absorption spectrums for a couple of known solutions of the coloring and thereby produce a standard curve that shows the connection between the absorbance and the concentration of the coloring. Then the matrix linear system of equations is used for a quantitative regulation of the coloring in the soda, which resulted in a content of the coloring Amarnth to be 8,74 ∗

10^{−4} g/M, the content of the coloring Quinoline Yellow to be 6,8 ∗10^{−5} g/M and the content of sunset
yellow to be 5 ∗ 10^{−6} g/M

Side 2

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

2

Indholdsfortegnelse

Indledning……………………………………………………………………………………………………………………………………………..3

Den generelle teori……………………………………………………………………………………………………………………………4-11

Lidt om lyset som vi kender det……………………………………………………………………………………………………………..4

Foto/partikler…………………………………………………………………………………………………………………………………………4

Atomers og molekylers energi………………………………………………………………………………………………………………..4

Bindingsenergi/excitationsenergi…………………………………………………………………………………………………………..5

Absorptionsspektre………………………………………………………………………………………………………………………………..5

Bindinger/orbitaler………………………………………………………………………………………………………………………………6-7

Sigma og pi orbitaler……………………………………………………………………………………………………………………………….7

Syntetiske/azofarvestoffer…………………………………………………………….........................................................7-8

Lysfarver og pigmenter…………………………………………………………………………………………………………………………..8-9

Quinolin gult…………………………………………………………………………………………………………………………………………….9

Amaranth………………………………………………………………………………………………………………………………………………9-10

Lambert Beer’s lov………………………………………………………………………………………………………………………………..10-11

Matrice lineær ligningssystemer……………………………………………………………………………………………………………11-18

Selve forsøget……………………………………………………………………………………………………………………………………….18-20

Databehandling…………………………………………………………………………………………………………………………………….20-22

Diskussion/fejlkilder…………………………………………………………………………………………………………………………….22-23

Kunklution……………………………………………………………………………………………………………………………………………....23

Side 3

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

3

Indledning

Farvestoffer i levnedsmidler er blevet brugt i mere end 2000 år. Førhen tilsatte man hovedsageligt farvestoffer for at skjule madvarernes ringe kvalitet. I dag bruges de til at farve mad eller genopfriske farven i maden, hvis den er blegnet under fremstillingsprocessen. De kan også bruges til at forstærke en naturlig farve, som for eksempel at gøre jordbæris mere rød. Alt sammen blot for at få maden til at se bedre og mere appetitlig ud. De syntetiske såvel som naturlige farvestoffer, er i dag en integreret del af vores hverdag. Desværre har syntetiske farvestoffer i blandt andet fødevarer og kosmetik vist sig at fremkalde allergiske reaktioner, ligesom de i visse tilfælde mistænktes for at være kræftfremkaldende, derfor er mange begyndt at protestere mod brugen af de syntetiske farvestoffer i levnedsmidler.

I Danmark er 42 forskellige farvestoffer tilladte i levnedsmidler, og de er primært anvendt i produkter som is, slik, kage, læskedrikke, vin og snacks. Der er dog en grænse for, hvor stor en mængde af disse farvestoffer, der må tilsættes fødevarer.

Rød Breezer indeholder de syntetiske farvestoffer Amaranth med EF-nummeret E123, Allura red AC med EF-nummeret E129, Sulfite ammonia caramel med EF-nummeret E150d. Orange river energidrik indeholder de syntetiske farvestoffer Quinolingult med EF-nummeret E104, og Sunset yellow med EF-nummeret E110, som alle er godkendte levnedsmidelfarvestoffer, og jeg vil i denne projekt se nærmere på disse, og undersøger hvor stor koncentrationen af dem. Dette vil jeg gøre ved først at redegøre for forskellige farvestoffers kemiske opbygning. Herefter vil jeg fremstille et absorbtionsspektre af såvel det rene farvestof som findes i blandingen, og af blandingen selv, som videre kan bruges til at fremstille en stanardkurve for farvestoffet opløst i vand. Når dette er gjort, kan en sammenhæng mellem absorbansen og farvestoffets koncentration findes ved linear regression, og denne sammenhæng kan anvendes til en kvantitativ bestemmelse af indholdet af farvestof i blandingen. Ved udførslen af lineær regression vil jeg benytte matrix lineare systemer, som jeg i opgaven gør rede for. Herudover vil jeg redegøre for den matematiske model, som Lambert-Beers lov er udtryk for.

Side 4

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

4

Den generelle teori

Lidt om lyset som vi kender det.

Lys som vi kende det består af fotoner eller lyskvanter. Disse fotoner kan både optræder som partikler eller

                   1
som bølger (lysbølger). For at forklar at fotoner både kan optræde uden rumlig udstrækning (partikel) og

med en rumlig udstrækning (bølge) skal vi først se på lyset som elektromagnetiske bølger. Fotonen med Bølgebevægelsen bevæger sig fra lyskilden, i en stabil skiften mellem at være det man godt kunne anse for værende elektrisk og det man godt kunne anse for værende magnetisk. Der af kommer ordet

elektromagnetisk. Denne skiften/bølgebevægelsen foregår meget meget hurtig, samtidig med at det

bevæger sig fra lyskilden med en meget meget hurtig hastighed. For sådan en bølge bevægelser, er der tre ting der gør sig gældende: hastigheden fotonen bevæger sig med (lysets hastighed), afstanden mellem to steder hvor enten det elektriske eller magnetiske felt er størst (bølgelængden), og hvor mange svingninger pr. sekund, passere et bestemt punkt (frekvensen).

Fotoner/partikler.

Når det er tale om atomer eller molekyles optagelse af lysten, er det bedre at beskrive lyset som fotoner: med afgrænsede, masseløse energipakker, der optræder uden den rummelige udstrækning (partikel).

Det at man kan beskrive lyset som bølger og partikler hænger sammen med at, partiklen/foton energien

afhænger af bølgelængden i bølgebevægelsen.

Fotonenergien = konstant/bølgelængden.

Det ville sige at fotonenergien har samme variation som bølgelængden, som variere fra et par meter til en brøkdel af en nanometer.

Atomers og molekylers energi

Både atomer og molekyler tilstræber at befinde sig det stadie, hvor de er på det laveste mulige energiniveau. Men dette ser ikke ud til at være tilfældet, da det viser sig at en foton i visse tilfælde godt kan optages af et atom, ion og et molekyle, og derved kommer i en energirigestadie.

Det er ikke hvilke som helt energi som kan optages af atomer, ioner og molekyler. Som bekendt hos atomer, hvor elektronerne kun kan befinde sig i bestemte skaller. Gælder tilsvarende også for molekyler.

Dermed er det ganske bestemte foton der kan absorberes, da det kun er bestemte energier der kan optages af molekyler, ioner og atomer med bestemte energier.

1

http://www.astro.ku.dk/~erik/AlderLys.pdf

Side 5

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

5

Bindingsenergi/excitationsenergi

Kemiske bindinger mellem to atomer finder sted såfremt atomer tilsammen kan få en lavere energi. Det medfører af en kemisk binding brydes hvis det får tilført energi. Den rette mængde energi der skal til for at en kemisk binding brydes og derved opnår en højere energirigetilstand kaldes bindingsenergien eller excitationsenergien (når et molekyle befinder i et tilstand med mere energi end det lavest mulig, siges det,

                     2
at det er blevet exciteret).

Den nødvendige energi der skal til for at flytte molekylet fra den energifattige bindende tilstand til den energirige ikke-bindende tilstand kan tilføres med en foton. Fotonenergien skal have samme værdi som bindeenergien. Altså belyses et molekyle med lys, hvor fotonenergien svare til bindingsenergien i molekylet, brydes bindingen. Men Lang fra alle fotonabsorptioner fører til at bindinger brydes. I de fleste tilfælde eksistere der mulig energiniveauer mellem den mest stabile tilstand og den tilstand, hvor bindingen er brudt.

Absorptionsspektre

Vi vil prøver at betragte en dobbeltbinding mellem 2 C-atomer. De to elektron par, der udgør bindingen, opføre sig ikke ens, idet elektronskyen for det andet par nærmes ligger uden på det første. Det yderste elektronsky er mindre gunstige end det inderste og derfor også lettere at få til at reagere. Det er helt overensstemmelse med at alkener er mere reaktive end alkaner.

Molekylet med dobbeltbindingen kan optage energi svarende til, at den ene del af dobbeltbindingen brydes. Molekylet er nu ustabilt og bindingen genetableres hurtigt, og energien frigøres som kinetisk energi.

Hvis molekylet kun har 1 dobbeltbinding er energiforskellen mellem de to energirige tilstande ikke så stor.

Hvis molekylet har flere dobbeltbindinger, der sidder efter hinanden med enkeltbindinger ind i mellem (se bilag 1) smelter elektronskyrene delvist sammen. Det bliver så mindre ustabilt at have et enkelt elektron-par i en ikke-bindende tilstand. Der skal derfor ikke tilføres så meget energi for at få det til at ske, og molekylet vil kunne absorbere fotoner med lavere energi. Jo flere dobbeltbindinger i systemet jo lavere energi behøver fotonen at have.

2

Parbo, Nyvad, Mortensen, Kusk: 2007 s. 39

Munthe: s. 82-83

Side 6

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

6

Når der er flere dobbeltbindinger kan molekylet også være mere effektivt indfange fotonerne. Af tabellen

(se bilag 1) fremgår f.eks. at alkenen med 5 dobbeltbinder absorberer mere end 4 gange så effektivt som

den med 3.^{3}

Altså årsagen til farvestoffernes farve ligger i den kemiske opbygning. Molekyler, der kun indeholder C-C enkeltbindinger, er farveløse. Dette skyldes, at excitationsenergien er alt for høj i forhold til fotonenergien for synligt lys. I molekyler med konjugerede dobbeltbindinger, dvs. hvor carbonkæden holdes sammen med skiftevis enkelt- og dobbeltbindinger, har C-atomet fire elektroner i yderste skal, hvoraf tre af elektronerne indgår i enkeltbindinger til de nabostillede C- og H-atomer, og den fjerde elektron bidrager til en fælles elektronsky, som lægger sig ud over alle de konjugerede dobbeltbindinger. Disse elektroner kaldes de delokaliserede elektroner, og det er dem der kan absorbere det synlige lys, fordi de ikke er bundet så

                                                                              4
stærkt til selve carbonskelettet og derfor ikke kræver så meget energi for at excitere molekylet.

Men det er ikke kun molekyler med mange dobbeltbindinger, der kan absorbere lys, uden at molekylet springes. Blandt de organiske forbindelser gælder det også molekyler med række andre funktionelle grupper. De funktionelle grupper, der nedsætter den nødvendige fotonenergi og forøger evnen til at

absorbere. Altså er de endnu bedre til at sikre absorption af synliglys end C=C og de findes altid i

farvestoffer opbygget af ret små molekyler. De kaldes generelt for chromofore grupper. I tabellen (figur 87) er der eksampler. De chromofore grupper er i reglen mest effektive hvis de er placeret sammen med dobbeltbindinger eller en benzenring.

Bindinger/orbitaler

Et atomorbital, AO, er et område der angiver hvor elektronen til en kerne befinder sig det meste af tiden (fx

99% af tiden).

Et molekyleorbital, MO, også som AO, som angiver hvor elektronerne af sammenførte atomer befinder sig, da hver elektron nu ikke længere kredser omkring enkelte atomkerner , men påvirker hinanden så der i stedet indføres MO.

Man kan forestille sig at MO’er er dannet ud fra AO’erne som molekylet består af.der dannes lige så mange nye MO’er, somder var af de oprindelig AO’er

3

Munthe, 1996; S. 90-92

4

Parbo, Nyvad, Mortensen, Kusk; 2007

Side 7

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

7

For at elektronerne i en MO kan være med til at binde atomerne sammen, skal de negative ladet elektroner en stor del af tiden befinde sig imellem de positive ladet kerner, eller ville det være antibindende.

Antibindende MO har højre energi end den oprindelig AO. Antibindende orbitaler markeres med *. Dette hænger sammen med som jeg forklarede tidligere med excitationsenergien.

Sigma og pi orbitaler

Et s-orbital er cirkel/kugle formet. Et p-orbital er 8-tal klokke formet. Molekyleorbitaler der overlapper

hinanden mellem to kerner kaldes sigma-orbital, eller sigma-binding (se bilag 2 og 3). Sigma-bindinger repræsenterer alle enkelte bindinger.

Pi orbital, eller pi binding er, når to parallelle p-orbitaler ovelapper hinanden to steder (over og under de to kerner), kaldes det for en pi-orbital, eller pi-binding (se bilag 4). Pi orbitaler er ikke så stærke som sigma orbitaler.

En dobbeltbinding er repræsenteret af et sigma orbital og et pi orbital. Dette er stærkere end en enkelt binding, men er dog ikke dobbelt så stort, da pi orbitalen ikke er lige så stor som sigma orbitalen.

En trippelbinding er repræsenteret af et sigma orbital og to pi orbitaler. Samme princip som tidligere, så er

dette stærkere end dobbeltbindingen, men ikke 3 gange så stærk som enkeltbindingen.^{5}

Syntetiske farvestoffer. Azofarvestoffer

Af de syntetiske fremstillede organiske farvestoffer er den største gruppe azofavestoffer. Azofarvestoffer

indeholder en azo-gruppe,-N = N-, som en del af strukturen. Azogrupper forekommer ikke naturligt. De fleste

azofarvestoffer indeholder kun en azo-gruppe, men der findes også nogle der indeholder to (DISAZO), tre

(trisazo) eller mere.

Ca.60-70% af alle farvestoffer, der anvendes i fødevarer og tekstil fremstilling ar azofarvestoffer. I teorien kan azofarvestoffer levere en komplet regnbue af farver (et spektrum).

De forskellige, hovedsagelig aromatiske, side-grupper rundt om azo-bindingen bidrager til at stabilisere N =

N gruppen ved at gøre det en del af den udvidet delokaliseret system. Dette har også den konsekvens, at mange azoforbindelser farvet, som delokaliseret eller konjugerede systemer absorberer ofte synligt

frekvenser af lys. Aromatiske azoforbindelser (R = R '= aromatiske) er normalt stabil og har tendens til at

producere stærke levende farver.

5

http://www.youtube.com/watch?v=8PiL-ceRHZQ
http://www.youtube.com/watch?v=ree49ge4VA4&feature=related
Kemi i perspektiv 2. Andersen/Parbo

Side 8

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

8

Azofarvestoffer er langt mere stabile end de fleste af de naturlige farvestoffer til levnedsmidler.

Azofarvestoffer er stabile i hele pH vifte af fødevarer, for bliver stabile og ikke falmer, når de udsættes for lys, varme eller ilt. Dette er gældende for næsten allecazofarvestoffer, der i næsten alle fødevarer. Den eneste ulempe er, at azofarvestoffer ikke er opløselige i olie eller fedt. Kun når azofarvestoffer er koblet til et fedt

opløseligt molekyle, eller når de er spredt i meget fine partikler, kan olier være farvet.^{6}

Lysfarver og pigmenter

At blande farvet lys, og at blande farvede pigmenter giver maget forskellige resultater.

Vi betragter lyset som bølger med forskellige bølgelængder.

Lyset fra solen syntes at være hvidt. Et eksperiment men fx et prisme viser at det hvide lysfarve er sammensat af mange forskellige spektralfarver. Der findes også andre måder hvoraf det hvide lys kommer til udtryk på. Blander man farvede stråler, forekommer der en farve, som svare til en forening af de bølgelængder, der er blevet blandet med hinanden. Fx hvis et hvidt stykke papir belyses med et rødt lys, reflekteres det røde lys så det forekommer rødt. Hvis det igen belyses med et grønt lys, forekommer det gult. En yderligere belysning med violet lys syntes det at det forekommer hvidt. Det er det samme der ville ske når spektralfarverne der kommer ud prismen – når et hvidt lys sendes igennem – samles igen. Varieres intensiteten på de tre grund farver, rød, grøn og violet kan man indtrykket af næsten enhver farve frembringes. Dette kaldes ”additiv farveblanding”.

Af det farvede genstande vi kender i vor hverdag, er det langt fra de fleste der udsender lyset, men reflektere dele af det synlige i hvide lys. Betragtes fx grønne blade gennem et spektroskop, observeres det, at klorofylet absorbere overvejende rødt og blåt lys. Det er derfor rimeligt at sige at grønt lys er det der svare til hvidt lys, minus rødt og blåt lys. På samme måde sker det hvis et stof absorbere grønt lys,

fremtræder det rødviolette magenta/purpur (denne farve findes ikke i spekteret). Vi siger, at magenta er

komplementærfarven til grønt. Hvis farvestofmolekyle kan optage synligt lys vil stoffet fremtræde farvet.

Blander man farvepigmenter, opsluger pigmenterne lysets bølgelængder. Det ville sige at fx rent rødt pigment vil opsluge alle bølgelængder med undtagelse af de bølgelængder der repræsentere den røde farve, som reflekteres tilbage.

En blanding mellem fx gul og blå farvepigmenter, ville resultere en grøn farve, da grøn er den farver både gule og blå farvepigmenter ikke absorbere og dermed reflekteres tilbage. Da pigmenter opsluger lyset, har de ikke den klarhed, som lysfarver har. Så jo mere de blandes, desto mørkere og uklar bliver de, da de

6

http://www.food-info.net/uk/colour/azo.htm

Side 9

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

9 opsluger mere og mere lys. Dvs. modsat lysfarverne, hvis alle pigmenter blandes sammen bliver resultatet

                              7
sort, da alle bølgelængder opsluges.

Quinolingult

Dette farvestof, som almindeligvis er kendt som E104, er et syntetisk farvestof, hvilket vil sige, at det er industrielt fremstillet, og den kemiske opbygning er derfor ikke identisk med strukturen af de naturlige farvestoffer. Egentlige er dette ikke et azofarvestof da det ikke

indeholder N=N (azo) gruppe.

Farvestoffets molekyle indeholder en såkaldt aromatisk ring._{inolingult.gif}

Dette er som sagt en ring af seks carbonatomer, som hver er bundet til to nabo C-atomer og til et H-atom. Hver C-atom bruger således tre elektroner til elektronparbindinger, og den fjerde indgår i en elektronsky, som udbreder sig over hele ringen. Som det ses

på figur 1 er en C=C nogen steder erstattet af en C=O, den såkaldt carbonylchromofore og af en C=N. Disse

kaldes chromofore grupper og bidrager også til systemet af delokaliserede elektroner. De indeholder nemlig ud over dobbeltbindingen et eller flere ledige elektronpar. Og som sagt gør dette at der kræves mindre energi til at excitere molekylet og bølgelængden af absorberet lys stiger.

Som det ses består molekylet også af to ladede grupper. Sådanne grupper sættes ofte på farvestofmolekylerne for at øge farvestoffets opløselighed i vand, da man har en ende af molekylet der er mere elektronegativt end den anden.

Quinolingult forekommer som en blanding af flere isomere mht. sulfonatgruppernes placering på quinolinringen i molekylet.

                                      8
Farvestoffets strukturformel er C H NNa O S .
                           18 9   2 7 2

Amaranth

Dette farvestof som er almindeligvis er kendt som E123, er også et syntetisk farvestof og som sagt ville sige, at det er industrielt fremstillet og dermed er dets kemiske opbygning er derfor ikke identisk med strukturen af de naturlige farvestoffer. Farvestoffet her tilhører gruppen azofarvestoffer, da det indeholder det

såkaldte azo gruppe (N=N).

7

Jespersgaard, 1991, s 180-181

Lyhne og Lødsen, 2000, s 11
8

http://www.biosite.dk/leksikon/images/quinolingult.gif

Figur 1: Quinolingults kemiske opbygning på stregformel. Fra hjemmesiden:

http://www.biosite.dk/leksikon/images/qu

Side 10

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

10

Farvestoffets molekyle indeholder også de såkaldte aromatiske ringe. Dette er som sagt en ring af seks carbonatomer, som hver er bundet til to nabo C-atomer og til et H-atom. Hver C-atom bruger således tre elektroner til elektronparbindinger, og den fjerde indgår i en elektronsky, som udbreder sig over hele ringen. Som det ses på figur er der kun en azo gruppe, som det eneste chromofore gruppe. Og som sagt er azo gruppen stærkest bundet til aromatiske ringe Og dette gør at der kræves mindre energi til at excitere molekylet og bølgelængden af absorberet lys stiger.

Som det ses består molekylet også af tre sulfit grupper (SO ) og en
                                               3

hydroxy gruppe (OH). Disse grupper har ikke nogen betydning for farvestoffets farve. En ting som også er meget kendt hos azo farvestoffer er isomeri , som det også ses tydeligt her.

Molekyleformel: C_{20} H_{11} N_{2} Na_{3} O_{10} S_{3}^{9}

Lambert Beers lov

En farvet opløsning indeholder molekyler eller ioner, der absorberer synligt lys på bestemte bølgelængder.

Dette sker da farvestoffets molekylers eller ioners yderste elektroner får tilført energi. Nu har molekylet større energi end det har i grundtilstanden, det er dermed blevet exciteret. Når excitationsenergien, altså den energi det kræves for at excistere et molekyle, er lige så stor som energien af det farvede lys, absorberes lyset.

Ved spektrofotometri måles, hvor meget lys ved en bestemt bølgelængde, der passere igennem et bestemt stof. Et stof kan absorbere en bestemt farve, så hvis fx et stof har blå som komplementærfarve, dvs. med vores øjne er stoffet blåt, så absorberes den orange farve.

Ved at nedsætte en opløsning i en kuvette i et spektrofotometer og sende lys med en bestemt bølgelængde

(monokramtisk lys) igennem, kan lysitensiteten I sammenholdes med lysitensiteten I
                                                                    0

, efter at lyset har passeret en kuvette med opløsningsmidlet uden farvestof.

I_{0} I

⇨ A = log (I_{0} / I)

9

http://en.wikipedia.org/wiki/Amaranth_(dye)

Figur 2: Amaranths kemiske opbygning på stregformel. Fra hjemmesiden:

http://en.wikipedia.org/wiki/Amaranth_(d

ye)

Side 11

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

11

Størrelsen der måles, kaldes absorbansen. Denne størrelse angives A og måles for alle bølgelængder i det område, man vælger spektret skal dække.

Ved at fremstille nogle standardopløsninger af et farvestof med kendte koncentrationer og måle absorbansen ved en række bølgelængder med et spektrofotometer, kan en ukendt koncentration af farvestoffet i en opløsning bestemmes. Ud fra dette kan en standardkurve afbildes, der viser sammenhængen mellem absorbans og koncentrationen af farvestoffet. Absorbansen afhænger og af kuvettebredden l og selvfølgelig af hvilket farvestof man undersøger.

Lamber Beer har sammenfattet dette i sin lov:

⇨ A = ε * l * [farvestof]

Hvor ε er den molare absorbtionskoefficient, der varierer fra stof til stof og afhænger af bølgelængden.

Hvis man afbilder absorbansen som funktion af farvestoffets koncentration fremkommer en ret linje, dvs.

at absorbansen er proportional med koncentrationen. Som det også fremkommer af ligningen for

absobansen er dette en lineær model ( y = ax + b ), hvor absobansen er den afhængige variabel y,

koncentrationen er den uafhængige variabel x, og hvis kuvettestørrelse og bølgelængde fastholdes vil l og ε tilsammen være en konstant. Heraf fås:

⇨ A = k * [farvestof]

Matrice lineare ligningssystemer:

Matrixregning er ikke den mest anvendte regningsmetode til løsningen af teoretiske skoleopgaver i matematik, men bruges dog til at løse flere af dagligdagens problemer. Matrixregning bruges for det meste til at løse ligninger, hvor der til og ofte involverer flere ligninger med flere ubekendte. Det anvendes fx til optimering af fortjenester, eller minimeringen af udgifter. Det anvendes i en høj grad også indenfor lægevidenskaben og i kemien. Bl.a. bruges det til at bestemmelse af stofkoncentrationer i fx blodprøver, eller til at bestemme ukendte koncentrationer af farvestoffer i en farveblanding. Ved anvendelse af matrixregning, spares der til på at løse mange forskellige ligninger ved at isolere variabler og erstatninger(substitution). Her kan man nøjes med at løse én ligning, bestående af alle ligninger samlet i ligningssystem.

Dette opnås ved at opstille alle ligningernes koefficienter i en matrix, og opstille variablerne i en anden matrix og ligningernes resultat i en tredje matrix:

Side 12

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

12

𝑎_{11} 𝑥1 + 𝑎_{12} 𝑥2+ ⋯+ 𝑎_{1𝑛} 𝑥𝑛=𝑑_{1}
𝑎_{21} 𝑥1 + 𝑎_{22} 𝑥2 + ⋯+ 𝑎_{2𝑛} 𝑧𝑛=𝑑_{2}

⋮

𝑎_{𝑚1} 𝑥1 + 𝑎_{𝑚1} 𝑥1 + ⋯+ 𝑎_{𝑚𝑛} 𝑥𝑛=𝑑_{𝑚}

Her er a og d reelle tal, for i=1…m, j=1…n, og x, ..., x er de ubekendte.

ij i 1 n

Dette lineære ligningssystem kan omskrives til Matrixligningen: Ax=d.

[] = [] ⬄ [] []= []

𝑎_{11} 𝑥1 𝑎_{12} 𝑥2 ⋯ 𝑎 𝑥𝑛

1𝑛

𝑎_{21} 𝑥1 𝑎_{22} 𝑥2 ⋯ 𝑎 𝑧𝑛

2𝑛

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎_{𝑚1} 𝑥1 𝑎_{𝑚1} 𝑥1 ⋯ 𝑎 𝑥𝑛

𝑚𝑛 𝑑1 𝑥1 𝑑1 𝑑2 𝑥2 𝑑2

⋮ ⋮ ⋮ 𝑑𝑚 𝑥𝑛 𝑑𝑚

𝑎_{11} 𝑎_{12} ⋯ 𝑎_{1𝑛}
𝑎_{21} 𝑎_{22} ⋯ 𝑎_{2𝑛}

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎_{𝑚1} 𝑎_{𝑚1} ⋯ 𝑎_{𝑚𝑛}

hvor:

𝐴=[] 𝑥=[ ⋮] 𝑑=[ ⋮]

𝑎_{11} ⋯ 𝑎_{1𝑛}

⋮ ⋱ ⋮

𝑎_{𝑚1} ⋯ 𝑎_{𝑚𝑛}

𝑥1 𝑑1 𝑥𝑛 𝑑𝑛

A, x og d kaldes for Matricer (ental: matrix). En anden måde hvor på man kan skriver en matrix er

A=[aij]

Ethvert lineært ligningssystem med m ligninger og n ubekendte kan altså skrives på matrixform,

som Ax = b, hvor A er Mat (F) er matricen (a), b ∈ F^{m} er matricen på højre side, og x = (x, x,

m,n ij 1 2

..., x) ∈ F^{n} er den ubekendte vektor.

n

For at løse ligningssystemet skal vi have isoleret x. dette gøres ved hjælp af en inversmatrix. Men

da den inverse matrix kun kan findes såfremt determinanten af A ≠ 0, undersøges først om

                                                                               10
determinanten til A er lige 0. Fremkommer det at detA≠0 findes der netop en løsning til ligningen.

Her ville jeg vise hvordan man undersøger det med en (3x3) matrice, da en (4x4) matrix eller større ville kræve meget mere udregning, og man er tilbøjelig for at lave små regne fejl.

For en (3x3) matrice undersøges det ved at tage den første søjle, og for hvert koefficient på den 1.

10

Udleveret ark om matricer og lineære ligningssystemer. Grete Ridder Ebbesen

Side 13

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

13 søjle fjerner vi dets række, samt den 1. søjle, og finder determinanten af de resterende koefficienter, som ville være ”(2x2) matrix” og ganger det med koefficienten i den tilhørende søjle.

Altså hvis: 𝐴=[]

𝑎_{11} 𝑎_{12} 𝑎_{13}
𝑎_{21} 𝑎_{22} 𝑎_{23}
𝑎_{31} 𝑎_{32} 𝑎_{33}

Så findes det(A) ved:

𝑎_{11} | | − 𝑎_{21} | | − 𝑎_{31} | | ⬄

𝑎_{22} 𝑎_{23} 𝑎_{12} 𝑎_{13} 𝑎_{12} 𝑎_{13}
𝑎_{32} 𝑎_{33} 𝑎_{32} 𝑎_{33} 𝑎_{22} 𝑎_{23}

𝑎_{11} ( 𝑎_{22} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{32} ∗ 𝑎_{23}) − 𝑎_{21} ( 𝑎_{12} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{32} ∗ 𝑎_{13}) − 𝑎_{31} (𝑎_{12} ∗ 𝑎_{23} − 𝑎_{22} ∗ 𝑎_{13})

Og hvis determinanten ≠ 0, kan man nu den inverse matricen til at isolere x.

𝐴𝑥=𝑑

↓

𝑥=𝐴^{−1} ∗ 𝑑

Den inverse (3x3) matrice findes ved:

𝐴^{−1} = 𝑎𝑑𝑗(𝐴)

1 𝑑𝑒𝑡𝐴

𝐴=[]

𝑎_{11} 𝑎_{12} 𝑎_{13}
𝑎_{21} 𝑎_{22} 𝑎_{23}
𝑎_{31} 𝑎_{32} 𝑎_{33}

Først finder vi minor matricen Aij, som findes for en (3x3) matrice A, næsten samme måde som vi fandt determinanten til A. Ved at fjerne den i’te række og den j’te søjle for den respektive koefficient og finde determinanten af de resterende koefficienter, (dette gælder for alle koefficienter i alle søjler og rækker, og ikke kun den første søjle) men her skal koefficienterne ikke ganges på determinanterne.

⎣ 𝑎_{22} 𝑎_{23} 𝑎_{21} 𝑎_{23} 𝑎_{21} 𝑎_{22} ⎦

⎢ 𝑎_{12} 𝑎_{13} 𝑎_{11} 𝑎_{13} 𝑎_{11} 𝑎_{12} ⎥

⎢ ⎥

⎢ 𝑎_{12} 𝑎_{13} 𝑎_{11} 𝑎_{13} 𝑎_{11} 𝑎_{12} ⎥

⎡ ⎤

| | | | | | | | |

𝑎_{22} 𝑎_{23} 𝑎_{21} 𝑎_{23} 𝑎_{21} 𝑎_{22}
𝑎_{32} 𝑎_{33} 𝑎_{31} 𝑎_{33} 𝑎_{31} 𝑎_{32}

| | | | | | | | |

𝑎_{32} 𝑎_{33} 𝑎_{31} 𝑎_{33} 𝑎_{31} 𝑎_{32}

| | | | | | | | |

Side 14

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

14

Så udregnes determinanterne:

[ (𝑎_{12} ∗ 𝑎_{33} −𝑎_{32} ∗𝑎_{13}) (𝑎_{11} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{31} ∗𝑎_{13}) (𝑎_{11} ∗ 𝑎_{32} − 𝑎_{31} ∗𝑎_{12})]

(𝑎_{22} ∗ 𝑎_{33} −𝑎_{32} ∗𝑎_{23}) (𝑎_{21} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{31} ∗𝑎_{23}) (𝑎_{21} ∗ 𝑎_{32} − 𝑎_{31} ∗𝑎_{22})

(𝑎_{12} ∗ 𝑎_{23} −𝑎_{22} ∗𝑎_{13}) (𝑎_{11} ∗ 𝑎_{23} − 𝑎_{21} ∗𝑎_{13}) (𝑎_{11} ∗ 𝑎_{22} − 𝑎_{21} ∗𝑎_{12})

Hermed har vi vores minor matrice.

Nu skal minor matricen konverteres til cofaktor matricen. Og til dette benyttes fænomenet:

[ − + −]. Som indføres i vores minor matrice. Altså dette skal overlappe vores minor matrice så

+ − +

+ − +

hvert tegn i hvert punkt, ganges til dets respektive koefficient i minor matricen:

[ −(𝑎_{12} ∗𝑎_{33} −𝑎_{32} ∗ 𝑎_{13}) (𝑎_{11} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{31} ∗𝑎_{13}) −(𝑎_{11} ∗ 𝑎_{32} − 𝑎_{31} ∗ 𝑎_{12})]

(𝑎_{22} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{32} ∗ 𝑎_{23}) −(𝑎 ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{31} ∗ 𝑎_{23}) (𝑎_{21} ∗𝑎_{32} − 𝑎_{31} ∗𝑎_{22})

21

(𝑎_{12} ∗ 𝑎_{23} − 𝑎_{22} ∗ 𝑎_{13}) −(𝑎 ∗ 𝑎_{23} − 𝑎_{21} ∗ 𝑎_{13}) (𝑎_{11} ∗𝑎_{22} − 𝑎_{21} ∗𝑎_{12})

11

Hermed har vi vores cofaktor matrice.

Nu finder vi den adjugerede af A adj(A), som er cofaktoren af A, spejlvendt om diagonalen. Altså forbliver diagonalen det samme.

[ (𝑎_{11} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{31} ∗𝑎_{13})]

(𝑎_{22} ∗ 𝑎_{33} −𝑎_{32} ∗𝑎_{23})

(𝑎_{11} ∗ 𝑎_{22} − 𝑎_{21} ∗𝑎_{12})

mens koefficienter på siderne af diagonalen bytter plads.

[ −(𝑎_{21} ∗𝑎_{33} −𝑎_{31} ∗ 𝑎_{23}) (𝑎_{11} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{31} ∗𝑎_{13}) −(𝑎_{11} ∗ 𝑎_{23} − 𝑎_{21} ∗ 𝑎_{13})]

(𝑎_{22} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{32} ∗ 𝑎_{23}) −(𝑎 ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{32} ∗ 𝑎_{13}) (𝑎_{12} ∗𝑎_{23} − 𝑎_{22} ∗𝑎_{13})

12

(𝑎_{21} ∗ 𝑎_{32} − 𝑎_{31} ∗ 𝑎_{22}) −(𝑎 ∗ 𝑎_{32} − 𝑎_{31} ∗ 𝑎_{12}) (𝑎_{11} ∗𝑎_{22} − 𝑎_{21} ∗𝑎_{12})

11

Hermed har ve den adj(A).

Side 15

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

15

Tilbage til formlen for inverse matrice:

 −1
𝐴   =    𝑎𝑑𝑗(𝐴) ⬄
      𝑑𝑒𝑡𝐴

1

 −1
𝐴   =    [ −(𝑎 ∗ 𝑎  − 𝑎  ∗𝑎  ) (𝑎   ∗𝑎  − 𝑎  ∗ 𝑎 ) −(𝑎    ∗𝑎  − 𝑎  ∗𝑎  ) ] ⬄
             21   33   31  23     11  33   31  13           23   21  13
      𝑑𝑒𝑡𝐴

1

(𝑎_{22} ∗𝑎_{33} −𝑎_{32} ∗𝑎_{23}) −(𝑎_{12} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{32} ∗𝑎_{13}) (𝑎_{12} ∗ 𝑎_{23} − 𝑎_{22} ∗ 𝑎_{13})

11

(𝑎_{21} ∗𝑎_{32} −𝑎_{31} ∗𝑎_{22}) −(𝑎_{11} ∗ 𝑎_{32} − 𝑎_{31} ∗𝑎_{12}) (𝑎_{11} ∗ 𝑎_{22} − 𝑎_{21} ∗ 𝑎_{12})

𝐴^{−1} =

⎣ | ⎦
⎢ | ⎥

⎢ 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴 ⎥

⎢ | ⎥
⎢ | ⎥
⎡ | ⎤

(𝑎_{22} ∗𝑎_{33} − 𝑎_{32} ∗𝑎_{23}) −(𝑎_{12} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{32} ∗𝑎_{13}) (𝑎_{12} ∗𝑎_{23} − 𝑎_{22} ∗ 𝑎_{13})

𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴

−(𝑎_{21} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{31} ∗ 𝑎_{23}) (𝑎_{11} ∗𝑎_{33} − 𝑎_{31} ∗𝑎_{13}) −(𝑎_{11} ∗𝑎_{23} − 𝑎_{21} ∗𝑎_{13})

(𝑎_{21} ∗𝑎_{32} − 𝑎_{31} ∗𝑎_{22}) −(𝑎_{11} ∗ 𝑎_{32} − 𝑎_{31} ∗𝑎_{12}) (𝑎_{11} ∗𝑎_{22} − 𝑎_{21} ∗ 𝑎_{12})

𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴

Hvis vi nu går tilbage til vores formel: 𝑥=𝐴^{−1} ∗ 𝑑 ⬄

[] = ∗ [ 𝑑_{2}]

𝑥_{1} 𝑑_{1}
𝑥_{2}
𝑥_{3}

⎣ | ⎦
⎢ | ⎥

⎢ ⎥ 𝑑_{3}

⎢ | ⎥

⎢ −(𝑎_{21} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{31} ∗ 𝑎_{23}) (𝑎_{11} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{31} ∗ 𝑎_{13}) −(𝑎_{11} ∗ 𝑎_{23} − 𝑎_{21} ∗ 𝑎_{13}) ⎥

⎢ | ⎥
⎡ | ⎤

(𝑎_{22} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{32} ∗ 𝑎_{23}) −(𝑎_{12} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{32} ∗ 𝑎_{13}) (𝑎_{12} ∗ 𝑎_{23} − 𝑎_{22} ∗ 𝑎_{13})

𝑑𝑒𝑡𝐴 | 𝑑𝑒𝑡𝐴 | 𝑑𝑒𝑡𝐴
𝑑𝑒𝑡𝐴 | 𝑑𝑒𝑡𝐴 | 𝑑𝑒𝑡𝐴

(𝑎_{21} ∗ 𝑎_{32} − 𝑎_{31} ∗ 𝑎_{22}) −(𝑎_{11} ∗ 𝑎_{32} − 𝑎_{31} ∗ 𝑎_{12}) (𝑎_{11} ∗ 𝑎_{22} − 𝑎_{21} ∗ 𝑎_{12})

𝑑𝑒𝑡𝐴 | 𝑑𝑒𝑡𝐴 | 𝑑𝑒𝑡𝐴

[] =

𝑥_{1} ⎢ ⎥
𝑥_{2}
𝑥_{3}

⎣ | ⎦
⎢ | ⎥

⎢ 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴 ⎥

⎢ | ⎥
⎡ | ⎤

( + +)

( 𝑎_{22} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{32} ∗ 𝑎_{23}) ∗ 𝑑_{1} −(𝑎_{12} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{32} ∗ 𝑎_{13}) ∗ 𝑑_{2} (𝑎_{12} ∗ 𝑎_{23} − 𝑎_{22} ∗ 𝑎_{13}) ∗ 𝑑_{3}

𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴

( + +)

−(𝑎_{21} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{31} ∗ 𝑎_{23}) ∗ 𝑑_{1} ( 𝑎_{11} ∗ 𝑎_{33} − 𝑎_{31} ∗ 𝑎_{13}) ∗ 𝑑_{2} − ( 𝑎_{11} ∗ 𝑎_{23} − 𝑎_{21} ∗ 𝑎_{13}) ∗ 𝑑_{3}

( + +)

( 𝑎_{21} ∗ 𝑎_{32} − 𝑎_{31} ∗ 𝑎_{22}) ∗ 𝑑_{1} − ( 𝑎_{11} ∗ 𝑎_{32} − 𝑎_{31} ∗ 𝑎_{12}) ∗ 𝑑_{2} ( 𝑎_{11} ∗ 𝑎_{22} − 𝑎_{21} ∗ 𝑎_{12}) ∗ 𝑑_{3}

𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴

Herved er ligningen løst.

(det kan måske være lidt svært at se, men dette er altså en (3x1) matrix. [11]

Selvfølgelig findes der flere måder at løse ligningssystemer på. En anden måde hvor på man kan løse dette er ved determinantmetoden, som jeg ville bevise.

Bevis for determinantmetoden

Determinantreglen – løsning af ligninger med to ubekendte:

11

http://www.youtube.com/watch?v=S4n-tQZnU6o&feature=channel
http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html

Side 16

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

16

Ved et givet ligningssystem:

𝑎_{1} ∗ 𝑥+ 𝑏_{1} ∗ 𝑦=𝑐_{1}
𝑎_{2} ∗ 𝑥+ 𝑏_{2} ∗ 𝑦=𝑐_{2}

med de to ubekendte variabler x og y, er løsningen givet ved:

( 𝑥,𝑦) =(,)

|^{𝑐_{1}}_{𝑐_{2}}^{𝑏_{1}}_{𝑏_{2}} | |^{𝑎_{1}}_{𝑎_{2}}^{𝑐_{1}}_{𝑐_{2}} |
|^{𝑎_{1}}_{𝑎_{2}}^{𝑏_{1}}_{𝑏_{2}} | |^{𝑎_{1}}_{𝑎_{2}}^{𝑏_{1}}_{𝑏_{2}} |

Beviset herfor kan føres vha. matrixregning. Følgende matrixligning kan opsættes for ligningssystemet:

[] ∗ [] = []

𝑎_{1} 𝑏_{1} 𝑥 𝑐_{1}
𝑎_{2} 𝑏_{2} 𝑦 𝑐_{2}

Vi ønsker at løse denne ligning. Som nævn tidligere kan dette gøres vha. ab-matricens inverse matrix:

[] = ∗ [] = ∗ [] = []

𝑎_{1} 𝑏_{1}^{−1} 1 𝑏_{2} −𝑏_{1} 1 𝑏_{2} −𝑏_{1}
𝑎_{2} 𝑏_{2} −𝑎_{2} 𝑎_{1} 𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1} −𝑎_{2} 𝑎_{1}
|^{𝑎}_{𝑎}^{1^{𝑏}}_{2^{𝑏}} |
2^{1} 𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1} 𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1}

𝑏_{2} −𝑏_{1}
𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1} 𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1}
−𝑎_{2} 𝑎_{1}

Denne matrix multipliceres ind i matrixligningen (foran på begge sider af lighedstegnet), og på venstre siden opnås herved en enhedsmatix. Højresiden udregnes:

[] = [] ∗ [] = [] = []

𝑥 𝑐_{1}
𝑦 𝑐_{2}

𝑏_{2} −𝑏_{1} 𝑐_{1} ∗ 𝑏_{2} −𝑐_{2} ∗ 𝑏_{1} 𝑐_{1} ∗ 𝑏_{2} − 𝑐_{2} ∗ 𝑏_{1}
𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1} 𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1} 𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1} 𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1} 𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1}
−𝑎_{2} 𝑎_{1} −𝑐_{1} ∗ 𝑎_{2} 𝑐_{2} ∗ 𝑎_{1} 𝑎_{1} ∗ 𝑐_{2} −𝑎_{2} ∗ 𝑐_{1}
𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1} 𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1} 𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1} 𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1} 𝑎_{1} 𝑏_{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{1}

+

+

Hvis udtrykkene i den sidste matrix skrives som determinanter, fås determinantreglen:

Side 17

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

17

[] = ⇒ ( 𝑥,𝑦) =(,)

𝑥 𝑦 1 1 1

⎣ ⎦

⎢_{𝑎_{1}} ⎥

⎢ ⎥

⎢_{𝑎}_{1^{𝑐}} ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎡ ⎤

|^{𝑐_{1}}_{𝑐_{2}}^{𝑏_{1}}_{𝑏_{2}} |
|^{𝑎_{1}}_{𝑎}_{2}^{𝑏_{1}}_{𝑏} | |^{𝑐_{1}}_{𝑐_{2}}^{𝑏_{1}}_{𝑏_{2}} | |^{𝑎_{1}}_{𝑎_{2}}^{𝑐_{1}}_{𝑐_{2}} |

2

|_{𝑎_{2}}_{𝑐_{2}} | |^{𝑎}_{𝑎_{2}}^{1^{𝑏}}_{𝑏_{2}} | |^{𝑎}_{𝑎_{2}}^{1^{𝑏}}_{𝑏_{2}} |
|_{𝑎}_{2}^{𝑏_{1}}_{𝑏} |

2

Og hermed er determinantreglen bevist, q.e.d.

Disse metoder kan bruges til at bruges til at beregne af farve stoffer i en farveblanding, som kan foretages af spektrofotometrisk analyse af farveblandingen.

Fx

For en farveblanding med kun én farve, vil absorbansen kunne beregnes ud fra lambert-beers lov,

⇨ A = ε * l * [farvestof]

Men når farve blandingen indeholder flere farvestoffer, vil den samlede absorbans være summen af absorbansen for de enkelte stoffer.

𝐴_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝐴_{1} + 𝐴_{2} + 𝐴_{3}

Dette kan også skrives som:

𝐴_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=} ε_{1} ∗ l ∗ c_{1} + ε_{2} ∗ 𝑙 ∗c_{2} + ε_{3} ∗ 𝑙∗ c_{3}

kuvettebredden har i dette tilfælde ingen betydning, da det er på 1cm, og derfor kan det udlades af ligningen. Da ekstinktionskoefficienten er kendt ud fra målingerne for de rene farvestoffer, kan man opstille tre simple ligninger med tre ubekendte. De ubekendte ville være de forskellige farvestoffers koncentrationer.

λ(nm) Methæmoglobin Deoxyhæmoglobin Oxyhæmoglobin

415 0,98*10^5 0,93*10^5 1,34*10^5
420 0,60*10^5 1,23*10^5 1,19*10^5
430 0,25*10^5 1,47*10^5 0,58*10^5

Heraf fås de tre ligninger:

Side 18

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

18

( 𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑖𝑔𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟)

Dermed forekommer matriceligningen:

[ 0,60 ∗ 10^5 1,23 ∗ 10^5 1,19 ∗ 10^5] ∗ [] = [ 0,76]

0,98 ∗ 10^5 0,93 ∗ 10^5 1,34 ∗ 10^5 0,80

0,25 ∗ 10^5 1,47 ∗ 10^5 0,58 ∗ 10^5 0,58

𝑐_{1}
𝑐_{2}
𝑐_{3}

Og denne ligning løses ved hjælp af den inverse matrix, som tidligere.

[] = [ 2,30 ∗ 10^{−6}]

𝑐_{1}
𝑐_{2}
𝑐_{3}

6,68 ∗ 10^{−7}

3,89 ∗ 10^{−6}

                                                12
Og dermed er koncentrationerne for farvestofferne fundet.

Selve forsøget:

Formål

Formålet med øvelsen er at bestemme koncentrationen af de etiketterede farvestoffer i sodavand(min blanding).

Teori

Til bestemmelse af det forskellige farvestoffers koncentrationer anvendes spektrofotometri. Man måler absorptionsspketret for et farvestof med et spektrofotometer.

Har vi fx en opløsningder kun indeholde et farvestof, kan vi ved hjælp af det såkaldte spektrofotometer måle et absorptionspektrum for farvestoffet. Af absorbtionsspektret aflæses hvor absorbansen har maksimum, altså absorptionen er mest kraftig, og der af kan man undersøge sammenhængen mellem absorbans ved en bestemt bølgelængde og koncentration.

Rød breezer indeholder farvestofferne Amaranth(E123) Allura Red() karamel… og energidrikken indeholder Quinolingult (E104) og sunset yellow.

Hvert farvestof har sit eget absorptionsspektrum, som vi kan bruge til at sandsynliggøre, at det er det rigtig farvestof, vi har i vores opløsning. Vi vil i forsøget derfor optegne absorptionsspektret for farvestofferne for at finde den bølgelængde, hvor det absorberer maximalt. Herefter vil jeg afbilde en standardkurve ud fra de målte værdier og udregne koncentrationerne af de af de ukendte koncentrationer i disse drikke.

12

Ebbesen, anvendelser af lineære ligningssystemer i kemi, s 10-12

Side 19

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

19

Apparatur og kemikalier

1. Spektrofotometer, kuvetter (kantlængde: 1,00 cm), referencekuvette med dioniseret vand, målepipetter og måleglas, vægt, pH-meter.

2. Rød breezer, farvestofferne Quinolingult (betegnes senere bare som gul) amaranth, sunset yellow, puffer opløsning og dioniseret vand.

Fremgangsmåde

Som det første, startede jeg med at afgasse brezzeren, da CO2’en i brezzeren godt kan påvirke farvestoffernes absorption. Herefter blander jeg det med sportsdrikken, i størrelsesforholdet 50:50 og herved fremstilles ”min blanding”. Dette gjorde jeg fordi min henblik på farvestofferne var især rettet i mod azofarvestoffer og skolen var ikke i stand til at forsyne mig med alle tre rene azostoffer som fandtes i den røde breezer. Så derfor blandede jeg selv mit ejet mikstur af drikke som indeholdte tre azofarvestoffer, hvilke skolen kunne forsyne mig de rene stoffer af.

Hernæst fremstiller jeg standardopløsninger til at lave standardkurve. Dette kom jeg frem til ved at fremstille en række fortyndede opløsninger af de rene farvestoffer, hvor jeg nøje afmålte den tilsatte mængde farvestof og den tilsatte mængde deioniseret vand. Og da farvestoffers absorption er pH afhængigt, sørgede jeg for at, opløsningerne havde pH på 5. Til alt dette anvendte jeg små pippetter , vægt pufferopløsning og pH-meter . Inden jeg gik i gang med at fortage mine målinger med spektrofotometeret, måtte jeg kalibrere det med deioniseret vand (en slags kontrol forsøg). Først lavede jeg et absorptionsspektra for ”min blanding”, så jeg kunne få et godt billede af hvordan det så ud.

Side 20

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

20

Dernæst lavede jeg absorptionsspektre for de oprindelige farvestoffer med kendt koncentrationer. Deraf fandt jeg hvor farvestofferne havde absorptionsmaksimum og derved fastsatte hvilken bølgelængde der skulle bruges til resten af målingerne.

Da standardopløsningerne var fremstillet, målte jeg absorbansen på dem og ud fra det fremstillede jeg standart kurverne, hvorfra jeg så kunne bestemme ekstinktionskoefficienterne.

(standardkurverne kan ses på bilag 6)

Databehandling

Her har jeg valgt at bruge de punkter hvor hvert enkelt farvestof har absorptionsmaksimum.

λ (nm) | Min blanding | Amaranth | Quinolin gult | Sunset yellow
414,2 | 1,642506 | 0,41437 | 1,219518 | 0,879212
464,9 | 1,632571 | 0,793993 | 0,221539 | 1,367291
533,3 | 1,331782 | 1,077172 | 0,008296 | 0,401903

Da Lambert Beer siger, at absorptionen findes ved:

𝐴_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=} ε_{1} ∗ l ∗ c_{1} + ε_{2} ∗ 𝑙 ∗c_{2} + ε_{3} ∗ 𝑙∗ c_{3}

Fremkommer ligningerne:

Side 21

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

21

0,41437 ∗ 𝑥_{1} + 1,21918 ∗ 𝑥_{2} + 0,879212 ∗ 𝑥_{3} =1,642506

0,793993 ∗ 𝑥_{1} + 0,221539 ∗ 𝑥_{2} + 1,367291 ∗ 𝑥_{3} =1,632571

1,077172 ∗ 𝑥_{1} + 0,008296 ∗ 𝑥_{2} + 0,401903 ∗ 𝑥_{3} =1,331782

Hermed forekommer matriceligningen. A * x = d:

[ 0,793993 0,221539 1,367291] ∗ [] = [ 1,632571]

0,41437 1,21918 0,879212 1,642506

1,077172 0,008296 0,401903 1,331782

𝑥_{1}
𝑥_{2}
𝑥_{3}

Hvor: 𝐴= [ 0,793993 0,221539 1,367291] 𝑐= [] 𝑑= [ 1,632571]

0,41437 1,21918 0,879212 1,642506

1,077172 0,008296 0,401903 1,331782

𝑥_{1}
𝑥_{2}
𝑥_{3}

Hernæst undersøger jeg om der kun er en løsning, ved at undersøge om determinanten er forskellige fra nul. (dette gør ved hjælp af ti-interactiv)

detA = 1,23474

da jeg nu ved at der kun er en løsning, ville jeg nu løse ligningen ved at isolerer c-matricen ved hjælp af den

inverse matrice til A. c = A^-1 * d. (her finder jeg A^-1 ved hjælp af ti-interactiv)

𝐴^{−1} = [.934365 −.632137 .106519]

.062923 −.390931 1.19231

−.187933 1.06081 −.709639

[] = [.934365 −.632137 .106519] ∗ [ 1,632571] ⇔ [] = [.644552]

𝑐_{1} 𝑥_{1}
𝑐_{2} 𝑥_{2}
𝑐_{3} 𝑥_{3}

.062923 −.390931 1.19231 1,642506 1.05303

−.187933 1.06081 −.709639 1,331782.478085

Jeg har nu bestemt x, som er den ukendte koncentration af farvestoffet i den ukendte opløsning som er divideret med den kendte koncentration fx[amaranth] i den kendte koncentration i farvestoffets standardkurve:

[ 𝑓𝑎𝑟𝑣𝑒𝑠𝑡𝑜𝑓𝑓𝑒𝑡] =

𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑘𝑜𝑛𝑐.

𝑀

𝑎𝑚𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡ℎ= =

0,05𝑔 𝑙 ⁄ 0,00083 𝑚𝑜𝑙

604.47305 𝑔 𝑚𝑜𝑙 ⁄ 𝑙

Side 22

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

22

𝑞𝑢𝑖𝑛𝑜𝑙𝑖𝑛 𝑔𝑢𝑙𝑡= =0,000105 𝑚𝑜𝑙 𝑙 ⁄

0,05𝑔 𝑙 ⁄

477,38 𝑔 𝑚𝑜𝑙 ⁄

𝑠𝑢𝑛𝑠𝑒𝑡 𝑦𝑒𝑙𝑙𝑜𝑤= =0,000011𝑚𝑜𝑙 𝑙 ⁄

0,005 𝑔 𝑙 ⁄

452,37𝑔 𝑚𝑜𝑙 ⁄

Nu skal jeg altså finde den aktuelle koncentration af farvestofferne. Dette gør jeg ved at C* men mine x

værdier:

[ 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡ℎ] =1,05303∗0,00083=8,74 ∗ 10^{−4} 𝑀

[ 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑜𝑙𝑖𝑛 𝑔𝑢𝑙𝑡] =0,644552 ∗ 0,000105=6,8 ∗ 10^{−5} 𝑀

[ 𝑠𝑢𝑛𝑠𝑒𝑡 𝑦𝑒𝑙𝑙𝑜𝑤] =0,478085 ∗ 0,000011=5 ∗ 10^{−6} 𝑀

Diskussion/fejlkilder

Forsøgsprocessen gik egentlig fint som det skulle. Alt blev gjort så omhyggeligt som jeg nu kunne. Mine resultater var ikke helt perfekte, men de kan dog klassificeres som kvalificeret resultater. Fx de standardkurver som jeg fremstillede af standardopløsningerne afveg lidt. Dette kan dog skylles at pH-værdien af farve opløsningen ramte ikke helt plet, eller mine standard opløsninger havde alt for høje koncentrationer, da med alt for høje koncentrationer vil absorptionerne af de forskellige opløsninger ikke være regelmæssige, hvilke vil føre til afvigelsesfuld standardkurve.

At skulle præciser hvad den acceptable daglige indtagelse af azofarvestoffe kan være lidt problematisk, da påvirkningen af disse stoffer er ikke ens for enhver individ.

                          13
Hvis man kigger på positivlisten

, hvis officielle navn er Fortegnelsen over godkendte tilsætningsstoffer i levnedsmidler, og som beskriver i hvilke madvarer farvestofferne må forekomme og i hvilke maksimalekoncentrationer, ses det at quinolingult’s ADI ligger på 10,0 mg per kg legemsvægt, dog tager danne ADI ikke højde for overfølsomhedsproblemer. Dette er dog ikke det store problem da de fødevarer

dette må anvendes i, må der anvendes 100 mg/liter i læskedrikke og 50-500 mg/kilo, og for at dette skal

13

Henrik Parbo: ”Bag den farvede virkelighed”

Side 23

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

23 overskrides, skal man fx drikke seks liter væske med den maksimalmængde af stoffet. Og ifølge mine resultater, overskrider det ikke den accepteret daglige indtagelse.

Kigger vi derimod på sunset yellow har det en betydelig lavere ADI, som er på 2,5 mg/kg legemsvægt. Så

som quinolin gult, tager denne ADI heller ikke hensyn for overfølsomhedsproblemer dette skyldes at det er hyppigt rapporteret til at give allergilignende symptomer. Den maksimale forholdsvis lavt da dets ADI er relativ lavt, men alligevel ville det kunne overskrides ved ”skævt” forbrug. Og ser man på min resultat, overholder det grænsen.

Ser vi på amaranth har det en utrolig lavet ADI, som er på 0,75 mg/kg legemsvægt. Dette skyldes at man

har mistanke om, at det er fosterskadende og kræftfremkaldende og har faktisk været forbudt at anvende det som levnedsmiddelfarvestof i nogle lande. Ironisk nok forekom det af mine resultater, at amarant var det stof der var mest af, men heldigvis overskrider det heller ikke grænserne

Konklusion

Alt i alt har jeg fået redegjort for matrice lineær ligningssystemer, redegjort for farvestoffernes kemiske opbygning og kommet frem til nogenlunde resultater i forsøget. Dette var ikke så vellykket som det kunne have været, men der var desværre ikke tid til at lave et nyt forsøg.

Litteraturliste

http://www.astro.ku.dk/~erik/AlderLys.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Sunset_Yellow_FCF

http://en.wikipedia.org/wiki/Amaranth_(dye)

http://en.wikipedia.org/wiki/E104

http://www.youtube.com/watch?v=8PiL-ceRHZQ

http://www.youtube.com/watch?v=ree49ge4VA4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=3mJdxJ2ItSo&feature=related

Side 24

[navn fjernet] Kemi B og matematik A 22-12-09

3.y studieretningsprojekt

Levnedsmiddelfarver og matrixregning

24

http://www.youtube.com/watch?v=I9mXoN8HG7M&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=S4n-tQZnU6o&feature=channel

kend kemien 2. Parbo/Nyvad/Mortensen.

Kemi mellem niveau. Munthe/søren.

Farve lærebogen. Lyhne/Lødsen

Kemi 3 hverdag og videnskab. Paul Jespersgaad

Kemi i perspektiv 2. Andersen/Parbo

Udleveret ark om matricer og lineære ligningssystemer. Grete Ridder Ebbesen

Udleveret kemiøvelses ark. AB+JK