Simulering af henfald med terninger | Rapport i Fysik

Side 1

[navn fjernet] 2.X Fysikrapport 3

Makker: Knud Ho Karkov 2.X Side 1 af 5

Simulering af radioaktivt henfald med terninger

Formål:

Formålet med rapportøvelsen er, at eftervise, at antallet af ”radioaktive” terninger aftager eksponentielt med antal kast (tiden). Derudover skal vi bestemme halveringstiden T for

½ henfaldet, samt at sammenligne de målte resultater med de teoretiske.

Teori:

Anvendte betegnelser:

Der anvendes en del forskellige betegnelser, som forklares herunder. Først ses betegnelsen, derefter den almene betegnelse, som bruges i henfaldsloven. Til sidst ses vores egen oversættelse STX 2.g

t = τ = tiden = antal kast
N = antal tilbageværende kerner til tiden t = antal tilbageværende terninger efter t kast

t

N = antal kerner til tiden t = 0 = antal terninger til at starte med = 240

0

T = halveringstiden for stoffet = antal kast, som halvere N (ej helt tal)

½ 0

Forsøgsbaseret teori og ligninger:

Da de forskellige typer for radioaktivt henfald er beskrevet i rapporten ”absorption og STX 2.g

Vi har en del ligninger, som bliver brugt til beregninger længere fremme i rapporten. Disse ligninger bliver forklaret her.

Et radioaktivt henfald er en tilfældig proces i den forstand, at man kun kan snakke om sandsynligheden for, at en bestemt kerne vil henfalde i et bestem tidsinterval. Når man betragter et stort antal kerner fremtræder der en systematisk opførsel af kernerne, selvom tidspunktet for den enkelte kernes henfald kun kan forudsiges med en vis sandsynlighed. Der gælder flg. lov:

Henfaldsloven:

        T
         ½
NN ⋅=  )2/1( (1)
  0

t t

Side 2

[navn fjernet] 2.X Fysikrapport 3

Makker: Knud Ho Karkov 2.X Side 2 af 5

Der gælder: = e^{−}, hvor e = 2,71828… er grundtallet

)2ln(

2

1 for den naturlige logaritme ln. Vi kan altså også skrive loven på følgende måde:

)( ⋅= eNN^{½}

)2ln( ⋅

0 τ τ τ

For at gøre det hele lidt lettere sætter vi^{)2ln(} k=, og får:

½ τ τ τ k ⋅−

)( ⋅= eNN

0

De to ligninger i rammerne er matematisk ækvivalente med hinanden, og det er et spørgsmål om behov hvilken man benytter sig af. Vi vælger den øverste og kalder den (1) for at gøre det lettere.

Ved radioaktivt henfald er antallet af moderkerner en eksponentiel aftagende funktion af tiden t.

                                                            -1
Den førnævnte størrelse k kaldes henfaldskonstanten, og enheden for k er s .

De to kurver, som er tegnet på bilagene, er eksponentielt aftagende funktion af tiden t, og kaldes for en henfaldskurve, og viser antallet af ikke-henfaldne kerner.

For terningerne kan man matematisk vise, at følgende gælder:

        T
        ½
NNN ⋅=⋅= )2/1()6/5( (2)
  00

t t teori

I ligning (1) står der ½ inde i parentesen, hvilket betyder, at enten vil kernen henfalde, eller også

vil den ikke. I midterste del af (2) står der 5/6, da terningen enten lande på én ud af seks mulige,

men ikke vil henfalde på fem af mulighederne. Hvis man udregner halveringstiden T - som det

½

er gjort i rammen nedenfor – med en værdi på 5/6 vil man tilnærmelsesvis få 3,802. Hvis man
tager det uafrundede tal og sætter ind på T ’s plads i (1) og bytter ½ ud med 5/6, vil de to

½ ligninger være lig hinanden, da følgende gælder:

( () == ())^{802,3}

6 2 2

5_{t} 1_{T_{½}} 1

t t

==T 802,3 (3)
)6/5ln(

)5,0ln(

½

Side 3

[navn fjernet] 2.X Fysikrapport 3

Makker: Knud Ho Karkov 2.X Side 3 af 5

Af ovenstående fremgår altså, at vi kan simulere radioaktive henfald ved at kaste med terninger, idet vi siger, at alle seksere henfalder. Fro hver terning er dette jo netop en tilfældig proces.

Forsøgsopstilling og apparatur:

Til dette forsøg er der ikke brugt andre materialer end terninger, og der er derfor heller ikke nogen opstilling at vise. Men det kan da nævnes, at terninger ser ud som på billedet til højre…!!!

Fremgangsmåde:

Fremgangsmåden i dette forsøg er meget simpel, og består i, at man kaster samtlige 24 terninger på én gang. De terninger som lander med en 6’er opad lægges til side, og man kaster derefter med det resterende antal terninger N t

. Der kastes i alt 12 gange, og der nedskrives resultater i skema 1 for hver kast. For at få et stort antal terninger, laves der 10 måleserier med hver 12 kast.

Til sidst lægges de enkelte søjler, med den samme t-værdi – samme, og de fremkomne tal vil

svare til, at vi startede med N = 240 terninger. I skema 2 skrives alle de 10 gruppers N -værdier

0 t som nye N-værdier og den nye sammenlagte N -værdi udregnes.

t

Resultater i skemaer:

Skema 1:

I skema 1 ses vores terningkast. 10 serier af 12 kast med N = 24 terninger. N er søjlerne

0 t

sammenlagt. N er den teoretisk udregnet N-værdi, og N /N er forholdet mellem disse.

teori t teori serie \ t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 24 19 18 15 12 8 7 6 6 5 4 3 3

2 | 24 | 21 | 17 | 16 | 11 | 10 | 9 | 7 | 6 | 4 | 3 | 2 | 2
3 | 24 | 22 | 20 | 17 | 15 | 11 | 9 | 9 | 8 | 7 | 5 | 5 | 5
4 | 24 | 17 | 14 | 13 | 12 | 10 | 8 | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 | 0
5 | 24 | 19 | 16 | 12 | 10 | 10 | 7 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 1

6 24 18 17 14 11 7 6 5 5 3 3 2 2

7 24 21 18 13 10 10 10 6 5 5 5 5 4

8 24 19 17 15 15 12 10 10 10 10 6 2 2

9 24 22 19 18 14 13 11 9 7 7 7 4 4

10 24 19 18 16 11 7 7 7 5 5 4 3 3

N_{t} 240 197 174 149 121 98 84 68 60 53 43 32 26
N_{teori} 240 200 166,6 138,8 115,7 96,4 80,4 66,9 55,8 46,5 38,8 32,3 26,9
N_{t} /N_{teori} 1 0,985 1,004 1,073 1,046 1,017 1,045 1,016 1,075 1,14 1,108 0,991 0,967
Gennemsnitlige N /N (uden t = 0): 1,04

t teori

Side 4

[navn fjernet] 2.X Fysikrapport 3

Makker: Knud Ho Karkov 2.X Side 4 af 5

Skema 2:

I skema 2 ses alle klassens gruppers N -værdier, hvorfra N og N /N er udregnet.

t teori t teori hold\t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 240 205 172 146 123 103 92 72 58 44 38 32 28

2 | 240 | 197 | 174 | 149 | 121 | 98 | 84 | 68 | 60 | 53 | 43 | 32 | 26
3 | 240 | 198 | 165 | 129 | 109 | 89 | 73 | 55 | 45 | 40 | 31 | 26 | 21
4 | 240 | 195 | 173 | 140 | 112 | 95 | 65 | 55 | 44 | 32 | 28 | 22 | 16
5 | 240 | 196 | 152 | 125 | 100 | 86 | 76 | 64 | 50 | 40 | 33 | 27 | 24
6 | 240 | 200 | 167 | 138 | 116 | 97 | 79 | 64 | 54 | 43 | 37 | 30 | 25

7 240 209 177 149 133 107 92 80 64 46 40 35 29

8 | 240 | 191 | 152 | 126 | 105 | 87 | 74 | 62 | 50 | 45 | 40 | 34 | 30
9 | 240 | 207 | 170 | 145 | 123 | 98 | 80 | 61 | 54 | 49 | 43 | 33 | 27

10 240 199 166 139 114 95 80 66 53 44 37 32 26

N_{t} 2400 1997 1668 1386 1156 955 795 647 532 436 370 303 252
N_{teori} 2400 2000 1666,7 1388,9 1157,4 964,5 803,8 669,8 558,2 465,1 387,6 323 269,2
N_{t} /N_{te} 1 0,99 1,001 0,998 0,999 0,990 0,989 0,966 0,953 0,937 0,955 0,9 0,936

ori

38

Gennemsnitlige N /N (uden t = 0): 0,971

t teori

Databehandling:

I. Læg tallene for de enkelte t-værdier sammen.

Se de to skemaer 1 og 2.

II. Udregn N vha. formel (2).

teori

Se de to skemaer 1 og 2.

III. Udregn N /N. Det skal være 1 hvis N = N. Vi kan altså sammenligne N og N

t teori t teori t teori ved at lave denne udregning.

Se de to skemaer 1 og 2.

IV. Indtegn N og N på enkeltlogaritmisk papir.

t teori

Se bilag 1 og 2.

V. Aflæs T på grafen og sammenlign med den teoretiske værdi fra formel (3).

½

Se bilag 1 og 2.

Fejlkilder:

Det må siges, at der i forsøget ikke er nogle åbenlyse fejlkilder udover de almindelig, som fx fejlberegning, fejlaflæsning, fejlkast med terninger, og andre lignende tilfælde. Hvis man kigger på de %-vise afvigelse ser dette heller ikke ud til at være tilfældet.

Side 5

[navn fjernet] 2.X Fysikrapport 3

Makker: Knud Ho Karkov 2.X Side 5 af 5

Konklusion:

Vi fik eftervist at N t t aftager eksponentielt med t, da (t,N

)-grafen blev en ret linie på et enkeltlogaritmisk papir (se bilag 1 og 2). Vi fik ligeledes bestemt halveringstiden T, og

½ sammenligningen af de målte og de teoretiske resultater blev også foretaget, hvilket gav en afvigelse i % på kun 0,0526%. Dette må siges at være meget flot, og vi kan derfor slutte, at forsøget gik godt, og uden betydelig indvirkning fra fejlkilder el.lign.

[navn fjernet] 2.X

______________________________ underskrift