SRO om Mindste kvadraters metode i Matematik og Kemi

Side 1

STX 2.g

SRO, Matematik & Kemi

[navn fjernet] & [navn fjernet]

Side 1 af 10

Abstract

The study investigates aims to demonstrate the deduce of least squares method and linear regression through the use of emissions, to count regression on different experiments in chemistry. Through two chemical experiments, we have results which we use for regression. In this way, we have shown that our mathematical approach of least squares method. The results say that there are a significant relationship between linear regression and the chemical graphs. These chemical graphs have proved to fit similar to calculations drawn from the least squares method.

Finally, I evaluate and concluded on the use of our methods, was correct.

Side 2

SRO, Matematik & Kemi

[navn fjernet] & [navn fjernet]

Side 2 af 10

Indholdsfortegnelse

Side 1 Indledning

Side 1 Regression & mindste kvadraters metode

Side 2 Udledning af mindste kvadraters metode

Side 3 Kobberindhold i en 50-øre

Side 4 Databehandling af kobberindhold i en 50-øre

Side 5 Opløselighedsdiagram for kaliumchlorat

Side 6 Samlet konklusion og underskrift

Side 7 Henvisninger

Side 8 Litteraturliste

Side 9 Bilag

Side 3

SRO, Matematik & Kemi

[navn fjernet] & [navn fjernet]

Side 3 af 10 d (x,y)

1 d (x,y)

2 d

3 (x,y)

y = ax

Indledning

De fleste kender regression fra deres TI-89 lommeregner, men regression er faktisk også noget end bare at være en knap på en lommeregner. Der ligger en del teori bag regressionsanalysen, blandt andet ”mindste kvadraters metode”. Jeg vil på de følgende side redegøre for mindste kvadraters metode, og ved hjælp af mindste kvadraters metode, vil jeg foretage regressionsanalyse af mine data som jeg har fået ud fra mine kemiske forsøg. Derved vil jeg vise at regression ikke bare er en knap på lommeregneren, men faktisk er noget man kan bruge i praksis.

Regression & Mindste Kvadraters Metode

Regression kan bruges til at finde en sammenhæng mellem en afhængig variabel i vores tilfælde a, og én eller flere uafhængige variable. Når man bruger regression prøver man at finde en sammenhæng mellem de forskellige data og den model som er bedst tilnærmet. Dette gøres vha. r, som er kvadratet af korrelationskoefficienten. Prøver man forskellige typer regressioner (fx eksponentiel, lineær) på

dataene, kan der udregnes r^{1} som er mindste kvadraters metode. Er r tæt ved 1, har man måske den

mest præcise graf og resultat. Man kan desværre komme ud for, at r er tæt på 1, uden at punkterne nødvendigvis ligger pænt på en ret linje, så man skal altid have en graf at kigge efter på.

Regression er en matematisk model, der bruges til at beskrive talmateriale. Under regression hører lineær- eksponentiel- og potensregression. Regression bruges til at bestemme den bedste rette linje for nogle punkter. Regression betyder at gå tilbage, eller bare tilbagegang, dvs. tilbageskrivning, men bruges også til at fremskrive bl.a. når man finder en forskrift.

Lineær regression er en slags model til ”den bedste rette linje”, og metoden hertil kaldes mindste kvadraters metode. Mindste kvadraters metode siger at summen af kvadraterne på de lodrette afstande skal være så lille som muligt. Ud fra dette kan man finde den lodrette afstand mellem punkt, og tendenslinjen. Se figur. D er lig med summen af den lodrette afstands kvadrat fra de målte punkter til den bedste rette linje.

Kort sagt kan man sige at mindste kvadraters metode går ud på at minimere summen af kvadraterne.

Der tages udgangspunkt for nogle punkter i et

koordinatsystem ( ) ( ) ,,, yxyx ,… ( ) yx , , som
                  2211   nn

Side 4

SRO, Matematik & Kemi

[navn fjernet] & [navn fjernet]

Side 4 af 10

man vil bestemme den bedste rette linje til givet ved y = ax
D = d^{2} + d^{2} + d^{2} … + d^{2}

1 2 3 n

d^{2} = (y – ax)^{2}

i i i

d_{1}^{2} kan også skrives som (y1 –ax1)^{2}

∑_{i}_{=}_{1} i^{2}

n

Dd =
D sættes som summen af d^{2}

i

2

∑_{i}^{n}_{=}_{1}^{()}

D y ax_{ii} =−
vi sætter (y -ax)^{2} ind i stedet for d^{2}

i i i

2

∑_{i}_{=}^{n}_{1}

D a y ax '( ) (( ) )'_{ii} =−

vi differentier og sætter lig med 0 da dette må give det mindste areal mellem kvadratet på d og den bedste rette linje.

g a y ax=− ()
       ii

man laver en sammensat funktion og sætter g(a) til at være den indre f(a) er den ydre.

      2
()f a a=

D a y ax y ax '( ) ((( ) )' ( )')^{2} = − ⋅ −
∑_{i}_{=}^{n}_{1} i i i i

Man differentiere i henhold til a hvilket betyder at man forholder sig til a som man normalt forholder sig til x

∑_{i}_{=}^{n}_{1}

D a y ax x '( ) (2( ) ( )) = − ⋅ −
             ii

∑_{i}_{=}^{n}_{1}

0 (2( ) ( )) = − ⋅ − y ax x
         ii

Ligningen sættes lig med 0, derefter reducerer og isolerer vi a.

∑_{i}^{n}_{=}_{1}

0 ((2 2 ) ( )) = − ⋅ − y ax x
         ii

0 ( 2 2 ) = − + y x ax^{2}
∑_{i}^{n}_{=}_{1} i i i

2

  22 =
∑∑ i i i
ii == 11

nn y x ax

Her vælger jeg at sætte 2 uden for sum tegnet, så man nemmere kan se at der går lige op.

   i = 1
a =                  a =
    n

∑_{i}_{=}_{1}^{2}^{ax^{2}} i

∑^{2}^{yx} ii

n

S_{x^{2}}

S_{xy}

Dette sker fordi S = ∑^{𝑛}_{𝑖=1} 2𝑦_{𝑖} 𝑥_{𝑖} og sådan er det også under brøkstregen.

xy

Side 5

SRO, Matematik & Kemi

[navn fjernet] & [navn fjernet]

Side 5 af 10

Skulle man udregne dette for en almindelig lineær funktion ax +b ville det være sværere da man har

to ubekendte a og b. Man ville derfor skulle udregne dem hvor for sig.

Kobberindhold af 50-øre

Teori:

Hvis man opløser en kobberholdig metallegering i salpetersyre vil kobberet omdannes til kobberioner.

Kobberioner er blå. Opløsningens farvestyrke afhænger af hvor meget kobber der er opløst. Ud fra dette kan man bestemme kobberindholdet ved at sammenligne farvestyrken af en møntopløsning med forskellige opløsninger med kendt kobberindhold. Kobber er et ædelt metal, og der derfor meget svær at opløse i almindelig syre. Derfor er forsøget lavet med salpetersyre, der er den stærkeste syre Hvis man skal forstå brugen af vores målemetode, spektofotomerti, skal man også vide lidt om farver.

Hvorfor er væsken blå? Det er den fordi den absorberer alle de andre farver end lige præcis blå. Farven absorberer dog kun synligt lys med en bølgelængde der svarer nogenlunde til blå som er ca. 420-

550nm^{2}. Der er dog andre farver som absorberer farver ved andre bølgelængder. Fx er 550-650nm den
røde nuance som ses ved andre stoffer fx MnO^{-}

4

3Cu + 8HNO 🡪 3Cu(NO) + 2NO + 4H O

(s) 3 (aq) 3 2(aq) (g) 2 (l)

Man ser hurtigt at der er tale om en redoxreaktion, hvor salpetersyre er den oxiderende syre. På

                                3
produktsiden har kobber et oxidationstal

på 2, men på regentsiden har den et oxidationstal på 0. Derfor er salpetersyre et glimrende valg, for som jeg har omtalt tidligere, ligger kobber langt til højre på

spændingsrækken^{4} og der skal derfor en stærk syre til at opløse det – som salpetersyre.

Forsøgsbeskrivelsen er at finde i bilag!

Databehandling:

Mønt:

g. kobber: 0,165g

Absorbans: 0,845 A

Antal mL kobberopløsning

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Antal g kobber (x)

0,015 0,030 0,045 0,06 0,075 0,09 0,105 0,120 0,135

Absorbans (y) 0,4 0,106 0,188 0,218 0,322 0,362 0,370 0,478 0,626

Side 6

SRO, Matematik & Kemi

[navn fjernet] & [navn fjernet]

Side 6 af 10

Kobberindholdet i en 50 øre

250mL vand. Møntens y = 4,223x

0

0,1

grafen, i vores tilfælde^{0,2}

0,3

0,4

0,5 absorbans bestemmes til at 0,6

0,7

0,8

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16

Kobber (g)

Absorbans (abs)

Serie1

Lineær (Serie1)

Mønten er opløst i en 250mL opløsning. Man kan sige at der er 25 gange mere mønt i den, end i de små reagensglas, da mønten er fortyndet med være 0,845 A

Vi udvælger et punkt på

(0,478;0,120)

Absorbansen er kendt ud fra en formel der hedder:

A=ε ∙ l ∙ c

opl

ε = bølgelændgen

                               0,478𝐴
Man kan isolere ε 🡪 ε =      =      = 3,983 l/mol
                               1 ∙0,120

650nm

𝐴 𝑙 ∙𝐶 𝑜𝑝𝑙

Ligeledes kan koncentrationen isoleres:

C  =        🡪          = 0,21 mol/L
                    𝑙
     𝜀650𝑛𝑚 ∙𝑙
               3,9831
                   𝑚𝑜𝑙

opl

𝐴 0,845𝐴

∙1

Derefter kan kobberindholdet af mønten beregnes således:

m = n ∙M =c ∙ V ∙ M = 0,2121 mol/L ∙ 0,250 L ∙ 63,54 ∙10^{3} mg/mol = 3369,78mg

cu cu cu cu opl cu

m_{(mønt)} = 4,3 g

    3369,78𝑚𝑔
Cu =        ∙ 100 % = 78,36 %
     4300𝑚𝑔

En 50-øre består altså af 78,36 % kobber.

                      N
Ved at bruge denne formel   ( )            ⋅++⋅+⋅== yxyxyxyxS kan jeg finde mit x i min
                                            NNiixy

∑_{i}_{=}_{1} 2211^{...}
ligning: fx 0,015∙0,4 + 0,03∙0,106 + 0,045∙0,188 +… n.. = 0,26817

Jeg bruger altså mine observationer hvor g kobber er x, og absorbans er y.

Derefter har vi en regressions formel der hedder: a = xy har vi lige regnet ud til at være 0,26817.
S_{x^{2}}

S_{xy}

S^{2} udregnes ved at lægge alle x’erne i anden sammen. Fx 0,015^{2} + 0,030^{2} + 0,045^{2} …. n^{2} = 0,064125

x

Side 7

SRO, Matematik & Kemi

[navn fjernet] & [navn fjernet]

Side 7 af 10

Opløselighed for kaliumchlorat

y = 2,2484x

stof kan ikke opløses ubegrænset^{0}

ved hjælp af varme får opløst alt_{20}

Vores teori går ud på at hvis vi_{40}

60

80

100 hvis det kommer i forbindelse 120

0 50 60

Opløselighed i g/100 mL

Temperatur (C)

Serie1

Lineær (Serie1)

                                   0,26817
Derefter kan vi sætte det ind i formelen: a= = 4,18
                                   0,064125

Vores graf siger at formelen skal hedde 4,223x, mens vores udledning får resultatet 4,18x. Det kan der være mange grunde til, deriblandt er den største nok afrundingsfejl osv.

Fejlkilder er at finde i bilag!

Konklusion:

Vi har ud fra målinger af absorbans og g kobber indhold bestemt kobberindholdet i en 50-øre til at være 78,36 %. De sidste 21 % af mønten består af andre forskellige stoffer, der i blandt tin.

Opløselighedsdiagram for kaliumchlorat

Formål:

Undersøgelsen formål er at bestemme opløseligheden af kaliumchlorat, KCIO, i vand ved

3 forskellige temperaturer.

Forsøgsbeskrivelse findes i bilag!

Teori:

Kaliumchlorat er et hvidt pulver som kan være ret sprængfarlig med visse andre stoffer, men i forbindelse med vand, er det ganske uskadeligt.

kaliumchloraten i vand. Et fast

i en væske^{5}. Der vil altid være en

grænse, som svarer til, at opløsningen bliver mættet, i vores tilfælde når vi får opløst alt kaliumchloraten i vandet.

Når vores opløsning afkøler, vil der på et tidspunkt igen ske en dannelse af kaliumchlorat. På det tidspunkt hvor vi igen kan se kaliumchloraten igen, kaldes for ligevægtstemperatur.

Vi kan bestemme opløseligheden for kaliumchlorat i 100mL/g ved denne formel:

𝑇𝑖𝑙𝑠𝑎𝑡 𝐾𝐶𝐿𝑂3 𝑡𝑖𝑙𝑠𝑎𝑡 𝑣𝑎𝑛𝑑 𝑚𝐿

∙ 100mL

Side 8

SRO, Matematik & Kemi

[navn fjernet] & [navn fjernet]

Side 8 af 10

Man kan også se en sammenhæng mellem heterogene og homogene

         6
opløsninger . Dette forsøg er et heterogent forsøg, da de to reaktanter ikke er på samme fase.

2KClO + H O 🡪 K O + 2HClO

3 2 2 3

𝑇𝑖𝑙𝑠𝑎𝑡 𝐾𝐶𝐿𝑂3 5𝑔 𝑡𝑖𝑙𝑠𝑎𝑡 𝑣𝑎𝑛𝑑 𝑚𝐿

∙ 100mL eks._{15𝑚𝐿} ∙ 100mL = 33,33g

Ligesom i forsøget med 50-øren kan vi bestemme en forskrift ud fra regression. Grafen har en formel

der hedder y=2,2484x. Vi kan nu prøve at regne den ud ved hjælp af den matematiske udledning til at

finde x:       ( )            ⋅++⋅+⋅== yxyxyxyxS
                                NNiixy

∑_{i}^{N}_{=}_{1} 2211^{...}
5g∙50g + 5g∙33,33g + 5g∙25g +…. n= 847,45
Derefter har vi en regressions formel der hedder: a = xy har vi lige regnet ud til at være 847,45. S^{2}
S_{x^{2}}

S_{xy}

x

udregnes ved at lægge alle x’erne i anden sammen. Fx 5g^{2} + 5g^{2} + 5g^{2} …. n^{2} = 200

                                    847,45
Derefter kan vi sætte det ind i formelen: a= = 4,23x
                                    200

Da vores forskrift næsten er dobbelt så stor som den forskrift vores graf udregner, kan noget tyde på at der ikke er en lineær sammenhæng i dette forsøg. Eftersom at r er en lille smule højere i en ligning svarende til en potens funktion, må vi gå ud fra at grunden til at regressionen med en lineær model ikke virker, er fordi grafen er en potens funktion.

Tilsat vand 10mL 15mL 20mL 30mL 35mL 45mL 50mL 55mL

Tilsat KClO_{3}

(x)

5g 5g 5g 5g 5g 5g 5g 5g

Opløselighed i

g/100mL (y)

50g 33,33g 25g 16,67g 14,29g 11,11g 10g 9,09g

Side 9

SRO, Matematik & Kemi

[navn fjernet] & [navn fjernet]

Side 9 af 10

Samlet konklusion:

Ud fra min matematiske udledning af mindste kvadraters metode, har jeg lavet en forskrift der beviser hvordan lineær regression også kan udregnes. Udledningen har jeg brugt på de to forsøg jeg har lavet i kemi, og ud fra det har jeg konkluderet at der i det ene forsøg er en lineær sammenhæng.

Jeg har gennem denne opgave vist at min udledning af mindste kvadraters metode, kan bruges i kemi verdenen.

Side 10

SRO, Matematik & Kemi

[navn fjernet] & [navn fjernet]

Side 10 af 10

9/3-2009

Elevens underskrift: