SRO om Harmoniske Svingninger i Fysik og Matematik

Side 1

Studieretnings opgave

Harmoniske Svingninger

Side 2

Side 1 af 21

Indhold

Problemformulering .......................................................................................................................................... 2 Abstract ............................................................................................................................................................. 2 Trigonometriske funktionstyper ........................................................................................................................ 3 Differentiation af trigonometriske funktioner .................................................................................................. 4 Bevis for differentiation af sinus’ differentialkvotient .................................................................................. 4 Bevis for cosinus’ differentialkvotient ........................................................................................................... 5

Bevis for differentialkvotienten af f(x)=sin(ω*x) ........................................................................................... 6

Hookes Lov. ....................................................................................................................................................... 6 Den frie harmoniske svingning .......................................................................................................................... 7 Dæmpede svingninger ..................................................................................................................................... 10 Fejlkilder .......................................................................................................................................................... 12 Konklusion ....................................................................................................................................................... 12

Side 3

Side 2 af 21

Problemformulering

Den svingende bevægelse er den hyppigst forekommende bevægelsesform i naturen. Det skyldes, at den elastiske kraft i almindelighed forekommer ved alle deformationer af faste legemer.

Den svingende bevægelse er en periodisk bevægelse om et fast ligevægtspunkt. Der er forskellige former for svingninger, såsom frie, tvungne, dæmpede eller koblede svingninger. Vi vil ikke beskæftige os med tvungne eller koblede svingninger.

Over kort tid kan mange svingninger ofte betragtes som frie, men over længere tid er de dæmpede.

I denne opgave skal I undersøge og beskrive den frie harmoniske svingning og en dæmpet svingning.

Matematisk skal der redegøres for begrebet radiantal, funktionerne cosinus og sinus skal kort defineres og der skal redegøres for betydningen af konstanterne i den generelle harmoniske funktion

f(x) = A⋅cos(a⋅x + b) + c.

Differentiation af de trigonometriske funktioner skal også behandles.

Fysisk undersøges eksperimentelt om et konkret elastisk system opfylder Hookes lov. Selve svingningerne undersøges og beskrives eksperimentelt, der udføres passende regression i Logger Pro og de indgåede fit-konstanter fortolkes i forhold til eksperimentet.

Abstract

This report considers the mathematical and physical phenomenon harmonic oscillations. I have explained the mathematical theory behind how cosine and sine work as functions. In addition to that I have explained

the general harmonic function with the formula F(x)=A*Cos(a*t+b)+c, and examined the different constants

influence of the function.

In the physics part we did three experiments that showed Hookes law for a spring, and then examined both damped and free oscillations. Hooke’s law was proven by analyzing the graph where the force of the spring was linear proportional with the deformation. The examination of damped and free oscillations followed a sine curve, and by that Hooke’s law has been proven. I examined damped oscillations with different resistances and compared their half-life periods.

Side 4

Side 3 af 21

Trigonometriske funktionstyper

For at kunne forstå de trigonometriske funktioner, skal vi først have defineret nogle centrale begreber inden for trigonometrien. Enhedscirklen er et af de mest centrale begreber i trigonometrien. Dette fænomen er en cirkel, der er lagt i et koordinatsystem, og som har en radius på 1. Hele enhedscirklen i sig selv har en omkreds på 2π. Det punkt på cirkelperiferien hvorpå radius skærer, kaldes for retningspunktet til vinklen. De to akser i koordinatsystemet er defineret som cos(v) og sin(v). Når man har centrum af enhedscirklen ved vinklen v, kan første aksen defineres som cosinus til vinklen og anden aksen defineres som sinus til vinklen. Omkredsen bruges til at definere det, der i matematikken betegnes som radiantal.

Radiantal er defineret ved buelængden, der er afgrænset af vinklen på enhedscirklen, med andre ord er

                                                           2
                                                        o                o        o
radiantallet buelængden fra (1,0) til retningspunktet. Derfor svare 90 til i radiantal, 180 til π, 270 til
                                                           𝜋

1½π og 360^{o} til 2π.

Først kigges der på en sinusfunktion. Når vi regner med disse funktioner bruges radiantal i stedet for

                                                                                    𝜋
gradtal. For en sinus funktion, f(x)=sin(x), gælder at den skærer i (0,0), da sin(0)=0. Når x vokser fra 0 til ,
                                                                                    2

vokser funktionen fra 0 på y-aksen til 1, hvilket er størsteværdien for funktionen. Derfra er funktionen

aftagende indtil den ved 1½*π når mindsteværdien for funktionen, nemlig -1. Derefter stiger den til 0 igen

ved 2π. Dette mønster er tilsvarende første omgang rundt i enhedscirklen, og derfor fås en pæn kurve.

Desuden vil fænomenet gentage sig igen og igen, alt efter antallet af omgange rundt i enhedscirklen.

Cosinus som funktion bygger på det samme princip. Den har bare et andet forløb, da cosinus svare til x-aksen i enhedscirklen, hvorimod sinus svare til y-aksen. De to funktioner ligger derfor forskudt af hinanden, da de har forskellige fortegn i de forskellige kvadranter. Cosinus funktionen starter derfor i 1, og falder til

- 1, når x vokser fra 0 til π, hvilket er cosinusfunktionens mindsteværdi. Derfra vokser den til sit udgangspunk i 1 når x vokser fra π til 2π. Ligesom sinusfunktionen svare det gennemgåede forløb af grafen til første omgang i enhedscirklen, og svingningen gentages alt efter antallet af omgange rundt i enhedscirklen der er tale om. Når de 2 funktioner illustreres, er det tydeligt at se, at cosinus funktionen er en parallelforskydning af sinusfunktionen. Normalt arbejdes der mest med sinusfunktionen, da den skærer i punktet (0,0). På Bilag 1 har jeg indtegnet de to grafer, hvorfor man kan se parallelforskydningen.

En harmonisk svingning defineres i matematikken ved sinus og cosinusfunktioner, da de har samme forløb.

Den gennerelle harmoniske funktion kan udtrykkes som 𝑓 ( 𝑡) =𝐴∗sin ( 𝑎∗𝑡+𝑏) +𝑐 eller 𝑓 ( 𝑡) =𝐴∗

cos ( 𝑎∗𝑡+𝑏) +𝑐. Hvis man kigger på de to funktioners grafiske afbildning vil man se at cosinus funktionen blot er en forskydning af sinusfunktionen. Derudover kan man kigge på de forskellige

Side 5

Side 4 af 21 konstanters betydning for modellen. Hvis man kigger på A, vil man hurtigt se, at den er afgørende for svingningens ”højde”, i fysikken kaldes dette for amplituden. Konstanten a, ofte betegnet som ω, kaldes for den cykliske frekvens eller vinkelhastigheden, den har betydning for svingningstiden. Grafisk har den betydning for den harmoniske svingnings bredde. t, er ikke en konstant, men derimod den uafhængige variabel. b er faseforskydningen, og er ofte givet ved det græske bogstav φ. Den har betydning for skæringen med anden aksen, og forskyder grafen hen ad første aksen. Til sidst har vi konstanten c, som

forskyder A*cos(a*t+b) lodret., ved y=c er ligevægtslinjen, altså den linje hvorom grafen drejer. Alle

fænomenerne er illustreret på Bilag 2.

Differentiation af trigonometriske funktioner

Bevis for differentiation af sinus’ differentialkvotient

Differentialregningen bruges til at bestemme tilvæksten af den afhængige variabel, ved ændringer i den uafhængige variabel. Med andre ord bruges differentialregningen til at bestemme hældningen i et bestemt punkt for en givet funktion. Sinus og cosinus funktioner kan ligesom andre funktioner også differentieres.

Ved en differentiation af en sinus funktion fås differentialkvotienten 𝑠𝑖𝑛′(𝑥)=cos (𝑥). Dette kan bevises

ved geometri, og brug af enhedscirklen. Beviset kommer derfor til at se således ud:

Som det ses på illustrationen på Bilag 3 er <BOC=x, da der er tale om ensliggende vinkler ved parallelle

                                   ℎ
linjer. Nu kan jeg bevise at vinklen 𝑣=𝑥+ , det kan jeg gøre ved at bruge vinkelsummen for trekant AOB,
                                   2

der i øvrigt kan udtrykkes således:

180°=ℎ+𝑢+𝑣+90−𝑣+𝑥

U+v angiver vinklen ved A og 90-v+x angiver vinklen B(udtrykket er en forkortelse af (180-90-v)+x). Dette

udtryk kan forkortes så det kommer til at se sådan ud:

𝑥+ℎ=90−𝑢

Nu benyttes informationen om, at det er en ligebenet trekant, da den derfor har 2 ens vinkler. Da den er

ligebenet må A og B være lige store og have vinkelsummen 2(u+v). Vinkelsummen for trekanten OAB kan

derfor også skrives som:

180°=2 ( 𝑢+𝑣) +ℎ→90°=𝑢+𝑣+

ℎ

2

Side 6

Side 5 af 21

Hvilket kan omskrives til 90^{o} -u=v+h/2 som vi udtrykte før som værende x+h. Derfor gør følgende sig

gældende:

𝑣+ =𝑥+ℎ

ℎ

2

Tilslut isoleres v, så udtrykket kommer til at hedde:

𝑣=𝑥+ℎ− →𝑣=𝑥+

ℎ ℎ

2 2

                      𝑆𝑖𝑛
Nu vises det at cos ( 𝑣 ) =       ∗. Det gøres ved at bruge trigonometriens cosinus formel der

( 𝑥+ℎ) −sin (𝑥)

ℎ

hedder cos ( 𝑣) =, i dette tilfælde er den modstående tilvæksten i y-værdierne, altså

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒𝑛

sin(x+h)-sin(x) og hypotenusen er AB. Brøken forlænges med h, det vil sige man ganger med h/h. Derefter

deler man brøken i to dele.

cos ( 𝑣) = = ∗

𝑆𝑖𝑛 ( 𝑥+ℎ) −sin (𝑥) 𝑆𝑖𝑛 ( 𝑥+ℎ) −sin (𝑥) ℎ

𝐴𝐵 ℎ 𝐴𝐵

Aspekterne fra tidligere kan nu sammensættes for at finde differentialkvotienten til cos(x). v som jeg

udtrykte tidligere til x+h/2 sættes ind i stedet for v i funktionen. Derefter tages grænseværdien, hvor h går
mod 0, så frem at vi får hældningen, og dermed differentialkvotienten. Vi ved at når h går mod 0 giver h/AB

tilnærmelsesvis 1, da korden og buelængden nærmer sig forholdet 1:1:

lim cos(𝑥+  )=
ℎ→0

ℎ sin ( 𝑥+ℎ) −sin ( 𝑥)

2 ℎ

Og vi har dermed bevist differentialkvotienten for differentiation af sin(x), som derfor er:

𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥) =sin ′(𝑥)

Derfor er sinus’ differentialkvotient cos(x).

Bevis for cosinus’ differentialkvotient

Cosinusfunktionens bevis for differentialkvotienten findes ved samme fremgangsmåde. Udtrykket for v, gør sig også gældende i denne sammenhæng, da vi bruger samme illustration til beviset. Denne gang bruges sinus til vinkel v, hvor brøken igen forlænges med h. denne gang bruges ændringen i x-værdien.:

sin ( 𝑣) =sin(𝑥+)

ℎ

2

Side 7

Side 6 af 21

sin(𝑥+)= → sin(𝑥+)= ∗

ℎ cos ( 𝑥) −cos ( 𝑥+ℎ) ℎ cos ( 𝑥) −cos ( 𝑥+ℎ) ℎ

2 𝐴𝐵 2 ℎ 𝐴𝐵

Nu tages grænseværdien, hvor h går mod 0. Vi ved at når h går mod 0 giver h/AB tilnærmelsesvis 1, da

korden og buelængden nærmer sig forholdet 1:1:

lim sin(𝑥+)=

ℎ → 0

0 cos ( 𝑥) −cos ( 𝑥+ℎ)

2 ℎ

𝑐𝑜𝑠^{′} ( 𝑥) =−sin (𝑥)

Differentialkvotienten til f(x)=cos(x) er derfor -sin(x).

Bevis for differentialkvotienten af f(x)=sin(ω*x)
Funktionen sin(ω*x) er også differentiabel og dens differentialkvotient kan findes ved omskrivningen
sin ( ∗ ( 𝑥+ℎ)) −sin ( ∗𝑥) ( ∗𝑥+ ∗ℎ) −sin ( ∗𝑥)

ω ω ℎ ∗ℎ

  sin
=                  ∗  . ω*h udgør til sammen en tilvækst som kaldes k. Nu

ω ω ω ω ω foretages endnu en omskrivning, hvorfor det bliver til følgende udtryk

sin ( ∗𝑥+ ∗ℎ) −sin ( ∗𝑥) sin ( ∗𝑥+𝑘) −sin ( ∗𝑥)

ω ω ω ω

∗ℎ 𝑘

∗ → ∗ ω ω ω ω

Nu har vi den samme brøk som i beviset for differentiation af sin(x), hvor jeg viste at funktionen sin(x) var differentiabel med differentialkvotienten cos(x). Derfor når grænseværdien tages hvor k går mod 0, vil vi få

differentialkvotienten cos(ω*x)*ω

lim ∗ 𝑘 → 0

sin ( ∗𝑥+𝑘) −sin ( ∗𝑥)

ω ω 𝑘 ω

𝑠𝑖𝑛^{′} ( 𝜔∗𝑥) =cos ( 𝜔∗𝑥) ∗𝜔

Derfor er f(x)=sin(ω*x)’s differentialkvotient cos(ω*x)*ω

Hookes Lov.

Når en fjeder strækkes ud eller presses sammen påvirkes den af en kraft, med andre ord vil den bevæge sig væk fra sit nulpunkt. Den engelske naturfilosof Robert Hooke har sammenfattet dette fænomen i en fysisk lov, der populært kaldes Hookes lov.

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =𝑘∗𝑥

Side 8

Side 7 af 21

Hvis fjederen trækkes væk fra sit 0 punkt, ændres betydningen af F fra ydre trækkraft til fjederkraften, og F og x får her modsatrettede fortegn. Med andre ord er fjederkraften modsatrettet forskydningen af x, og vil her forsøge at række fjederen tilbage til sit udgangspunkt, her gælder

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =−𝑘∗𝑥

For harmoniske svingninger gælder, at hvis en fjeder sammentrækkes eller forlænges med længden x, vil størrelsen af kraften være proportional med deformationen. Den trækkende kraft kaldes for F og forlængelsen betegnes som x. En kraft der følger Hookes lov, kaldes i fysikken for en elastisk kraft.

Fjederkonstanten k, betegner fjederens stivhed, og er givet ved kraften der skal til for at trække fjederen 1 meter ud. Med andre ord vil en høj k-værdi være en stiv fjeder. F angiver kraften og måles i newton, hvor x angiver hvor langt fjederen er hevet ud fra sin hvilestilling. Hookes lov kan illustreres ved en matematisk model, og vil naturligvis give en lineær funktion. Her vil fjederkonstanten svare til hældningskoefficienten for grafen, og den kan på den måde bestemmes eksperimentelt. Vi undersøgte hooks lov ved at bruge en flagermus til at finde ud af hvor langt over gulvet loddet hang, og vi ved hvad massen på loddet var.

Skiftevis hang vi lodder med forskellig masse på, og målte hvor langt over gulvet den nu var. Forskellen på hvilestillingen og afstanden med lod på, må være det stykke den er blevet trukket ud, også kaldet deformationen. Dette gjorde vi med forskellige masser og viste det grafisk i Logger Pro, hvor vi fremstillede en (x,F) graf, se bilag 4. Ad y-aksen er den resulterende kraft, tyngdekraften på loddet, og ad x-aksen deformationen. Ved at lave lineær regression over vores data, får vi fjederkonstanten, som også ses på

bilag 4. Vi fik funktionen 3,517 N/m*x+0,1051, hvoraf vi kan aflæse fjederkonstanten til 3,517 N/m. Da

fjederkonstanten er en konstant, vil den resulterende kraft uanset loddets masse være proportional med deformationen x. Herved har vi eftervist Hookes lov, dog har vores funktion ikke skæringspunktet i origo, hvilket kan skyldes forskellige fejkilder, vil jeg uddybe senere.

Den frie harmoniske svingning

Den eksperimentelle undersøgelse af udæmpede svingninger blev lavet med den samme anvendte fjeder som i forsøget med Hookes lov. I denne undersøgelse antages det, at Hookes lov er eftervist. Når fjederen

trækkes ud i ydreposition vil t=0, og stedfunktionen(x) som funktion af tiden være givet ved 𝑥 ( 𝑡) =𝐴∗

sin ( ∗𝑡). I udtrykket vil A og ω være konstanter. Nu undersøges om denne trigonometriske sinus funktion ω stemmer overens med Hookes lov. Først benyttes differential,regningen til at finde hastighedsfunktionen.

Fra fysikkens kinematik vides det at stedfunktionen differentieres for at få hastighedsfunktionen. Derfor differentieres den fremkomne funktion fra før så den kommer til at se således ud

Side 9

Side 8 af 21

𝑣 ( 𝑡) =𝑥^{′} ( 𝑡) =𝐴∗𝜔∗cos (𝜔∗𝑡)

Differentieres yderligere en gang fås accelerationen, hvilket er en 2. ordens differentialligning af stedfunktionen.

𝑎 ( 𝑡) =𝑥^{′′} ( 𝑡) =−𝐴∗𝜔 ∗sin ( 𝜔∗𝑡)

2

Hvis vi kigger på udtrykket for stedfunktionen x(t), kan vi se at vi kan forkorte udtrykket for accelerationen, og dermed få følgende udtryk.

𝑎 ( 𝑡) =−𝜔^{2} ∗𝑥(𝑡)

Da det er en harmonisk svingning, vælger vi at se bort fra luftmodstand og gnidningsmodstand. Her gælder at fjederkraften er den eneste faktor, og vi kan nu skrive videre på newtons lov om kraft og acceleration. En

partikel med massen m, der påvirkes af en resulterende kraft F_{res} får en acceleration a, der er proportional
med F_{res}: F_{res} =m*a=m*s’’(t). Derfor kan vi omskrive newtons 2. lov så den ser sådan her ud

𝐹=𝑚∗𝑎↔𝐹=−𝑚∗𝜔 ∗𝑥 ( 𝑡)

2

Hvis man prøver at sammenligne det fremkomne udtryk for newtons 2. lov med Hookes lov, vil man se en

overensstemmelse, da 𝑘=𝑚∗𝜔^{2}, som videre kan isoleres, hvorfor 𝜔= √_{𝑚}^{𝑘}. Hvis man erstatter ω med

det fremkomne udtryk i stedfunktionen for en harmoniske svingning får man dette udtryk

𝑥 ( 𝑡) =𝐴∗sin ( ∗𝑡)

√

𝑘 𝑚

En svingning med denne forskrift kaldes i fysikken for en harmonisk svingning.

Harmoniske svingninger kan som meget andet undersøges eksperimentelt. En fjeder med et lod med en masse på 100 g sattes i svingninger. Svingningen måltes og data blev indsamlet i Logger Pro, hvor vi fik en grafisk fremstilling over forsøget. Ud fra den tidligere fremkomne forskrift for stedfunktionen laves regression med Logger Pro, bilag 5, Hvorpå vi kunne aflæse amplituden til 0,1695 m, og ifølge funktionen ligger den ved 0,5771 på y-aksen. Derudover har den en faseforskydning på 4,596. Hvad vinkelhastigheden

                                                        -1
angår, giver funktionen os det praktiske tal, som i øvrigt er på 4,877 s

. Den teoretiske kan udregnes ved

𝜔= √_{𝑚}^{𝑘}. Vinkelhastigheden er afgørende for hastigheden hvorved funktionen rotere om sin egen akse. Vi

kan udregne vinkelhastigheden teoretisk, da vi kender fjederkonstanten fra eksperimentet om Hookes lov, og kender massen af loddet

Side 10

Side 9 af 21

𝜔= → 𝜔= → 𝜔=5,93

√

𝑘 𝑁 𝑚 0,1 𝑘𝑔

√ 𝑚

3,517

𝑁

√ 𝑚

𝑘𝑔

Nu kan afvigelsen udregnes

𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘−𝑝𝑟𝑎𝑘𝑡𝑖𝑠𝑘 5,93−4,877

𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘 5,93

∗100 %→ 100 %=17,75 %

En anden ting man kan undersøge er svingningstiden, altså den tid det tager at lave en svingning. Teoretisk

                                     2𝜋
bestemmes svingningstiden ved formlen 𝑇= .
                                     𝜔

𝑇= → 𝑇= → 𝑇=1,06 𝑠

2𝜋 2𝜋 𝜔

5,93

√ 𝑚

𝑁 𝑘𝑔

Den praktiske findes i Logger Pro, ved at bruge examine, hvor værdien fra en bølgetop til en anden findes, der efter trækkes de fra hinanden, hvorfor svingningstiden findes, ude i kolonnen med målingerne ses efter om det er toppunktet og ikke blot et punkt tæt på.

Den første bølgetop har en t værdi på 0,65 s og den anden 1,95 s. Forskellen på dem er altså den praktiske

svingningstid. Det vil sige 1,95 s – 0,65 s= 1,3 s. Med andre ord havde forsøget en praktisk svingningstid på

1,3 s. Endnu engang beregnes afvigelsen

𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘−𝑝𝑟𝑎𝑘𝑡𝑖𝑠𝑘 1,06−1,3

𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘 1,06

∗100 %→ 100 %=−22,64 %

Begge afvigelser er tilsyneladende forholdsvis høje. Dette kan have forskellige årsager, men den mest

sandsynlige er, at 1/3 af fjederens masse ikke medtages i Hookes lov(læs mere i afsnittet om fejlkilder),

dermed forskydes fjederkonstanten også, og bliver derfor ikke præcis.

Jeg vil nu eftervise at ca. 1/3 del af fjederens masse skal medregnes i den svingende masse, for at få en
mere præcis fjederkonstant. Vores fjeder vejede 0,1283 kg, dvs. 1/3 af massen er 0,04277 kg. Nu beregnes
den svingende masse altså loddet og 1/3 af fjederens masse m_{sving} =0,04277 kg + 0,1 kg =0,143 kg

I formlen for vinkelhastighed isoleres nu massen, for at finde den teoretiske svingende masse, da vi kender

k fra forsøget om Hookes lov, og vinkelhastigheden aflæses fra forsøgsgrafen til 4,877 .
                                                                       𝑘𝑔

√^{𝑚}

𝑁

Side 11

Side 10 af 21

𝜔= → 𝑚= → 𝑚= =0,148 𝑘𝑔

√

𝑘 𝑘 𝑚 ω

2 2

3,517

𝑁 𝑚

( 4,877)

√ 𝑚

𝑁 𝑘𝑔

Derudover kan den oprigtige k værdi også udregnes med formlen for vinkelhastighed, hvor k isoleres, her bruges den teoretiske vinkelhastighed

𝜔= → 𝑘=𝜔 ∗𝑚→ 𝑘= ( 5,93) ∗0,143 𝑘𝑔=5,03

√

𝑘 𝑁 𝑚 𝑘𝑔 𝑚

2

√ 𝑚

𝑁

2

Ifølge beregningerne ses det, at der bør medregnes 1/3 af fjederens vægt i den svingende masse, da det

giver et resultat der ligger langt tættere på det teoretiske. Derudover kan det faktum at den praktiske fjederkonstant afviger fra den teoretiske, skyldes stående bølger i fjederen, eller skævhed i fjederens struktur.

Dæmpede svingninger

Harmoniske svingninger kan også beskrives ved cosinus funktioner, her vil udtrykket for stedfunktionen

være 𝑥 ( 𝑡) =𝐴∗sin (𝜔∗𝑡), hastighedsfunktionen 𝑥^{′} ( 𝑡) =−𝐴∗𝜔∗cos (𝜔∗𝑡) og accelerationsfunktionen
𝑥^{′′} ( 𝑡) =−𝐴∗𝜔 ∗sin (𝜔∗𝑡). En dæmpet svingning, er modsat en harmonisk svingning, en svingning der

2 mister energi i takt med at den møder modstand eksempelvis luftmodstand.

For at kunne opstille et udtryk for gnidningskraften antages først, at gnidningskraften er proportional med

hastigheden, hvorefter følgende udtryk kan opstilles, da jeg tidligere i opgaven fandt ud af at x’(t)=v(t)

𝐹_{𝑔𝑛𝑖𝑑} =−𝑐∗𝑥′(𝑡)

c er her en proportionalitetsfaktor, grunden til det negative fortegn er, at gnidningskraften og hastigheden er modsatrettede. Ved hjælp af Newtons 2. lov, hvor fjederkraften og modstanden i form af gnidningskraft er kendt, er det muligt at beregne den dæmpede svingnings resulterende kraft. Dette gøres ved at udlede en formel, ved hjælp af cosinusfunktionerne opgivet tidligere i afsnittet, hvorfor vi får udtrykket

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} ( 𝑡) =𝐹_{𝑓} ( 𝑡) +𝐹_{𝑔} ( 𝑡)

𝑚∗𝑥^{′′} ( 𝑡) =−𝑘∗𝑥 ( 𝑡) +(−𝑐)∗𝑥^{′} (𝑡)

Side 12

Side 11 af 21

Hvori stedfunktionen isoleres så vi får et udtryk for en stedfunktion for en dæmpet svingning, og løses som en 2. ordens differentialligning så vi får udtrykket

𝑥 ( 𝑡) =𝐴∗𝑒 ∗sin ( ∗𝑡+𝜑) +𝐵

−𝑐

2∗𝑚

∗𝑡 ω

Det ses nu at vi får den samme stedfunktion som en harmonisksvingning, blot multipliceret med en

                              𝑐
                            −  ∗𝑡
                             2∗𝑚
eksponentiel aftagende funktion 𝑒 . Den eksponentielle funktion medfører en eksponentiel aftagning

                                            𝑐
af amplituden, deraf navnet en dæmpet svingning. − er en konstant som kan forkortes med -µ.
                                           2𝑚

𝑥 ( 𝑡) =𝐴∗𝑒^{−µ∗𝑡} ∗sin ( ω ∗t+φ) +B

Eksperimentelt undersøgte vi en dæmpet svingning, hvor vi lavede en langtidsmåling af et lod, som blev sat i svingninger. Undervejs mistede loddet noget mekanisk energi til luftmodstanden, der medførte en dæmpet svingning. Det grafiske billede over eksperimentet er afbilledet på bilag 6. Her har jeg afbilledet regressionen i starten, midten og slutningen af forsøget, for at få en fornemmelse af regressionen. Der laves regression på grafen med den nye forskrift, som udledt tidligere. Derfor er funktionen for den dæmpede svingning:

𝑥 ( 𝑡) =𝐴∗𝑒^{−µ∗𝑡} ∗cos ( 𝜔∗𝑡+𝜑) +𝐵

𝑥 ( 𝑡) =0,1816∗𝑒^{−0,005576∗𝑡} ∗cos ( 4,877∗𝑡−1,082∗10^{0,006}) +0,5766

Amplituden er 0,1816 m, det vil sige dens start udsving har været 18,16 cm. Herefter aftager amplituden

eksponentielt med e^{-0,005576} til tiden. ω er funktionens cykliske frekvens, hvilket bestemmer hvor hurtigt den

svinger. Vi kan se at den har 4,877 svingninger per sekund. 𝜑 er funktionens faseforskydning hvilket angiver dens forskydning hen ad x-aksen i radiantal. Her er vores graf altså forskudt en lille smule. Endeligt har vi B

som angiver svingningens forskydning. Ved x(t)=B er svingningens omdrejningspunkt, det vil sige det er her
der er ligevægt. Ligevægten er altså ved 0,5766, og amplitudens toppunkt er altså + og – 0,1816 over

ligevægtslinjen.

Nu har vi styr på konstanternes betydning for grafens forløb. En anden til man kan regne på er grafens halveringskonstant. Det vil sige den tid der går før svingningens amplitude er halveret. Halveringskonstant

                                               ln ( 2 )
for en eksponentieltaftagende funktion er givet ved 𝑇 = . Nu kan halveringstiden for funktionen
                                           ½
                                                𝑘

beregnes

𝑇_{½} = → 𝑇 = =124,3 𝑠

ln ( 2) ln ( 2) 𝑘 0,005576

½

Side 13

Side 12 af 21

Det vil altså sige at amplituden er halveret efter 124 sekunder. Heraf kan vi slutte at gnidningskraften ikke har været særlig stor, og derfor har det været en underdæmpet svingning. For at få en fornemmelse af halveringskonstantens størrelse, lavede jeg en supplerende undersøgelse af en dæmpet svingning i et

vandbad. Her fik jeg funktionsforskriften 𝑥 ( 𝑡) =0,1803∗e^{−0,1072∗t} ∗cos (.7,642∗𝑡+4513) +3,947,

hvilket fremkommer af grafen på bilag 7. Nu kan halveringskonstanten for denne svingning beregnes

𝑇_{½} = → 𝑇 = =6,47 𝑠

ln ( 2) ln ( 2) 𝑘 0,1072

½

Her ses det tydeligt at det er en kritisk dæmpet svingning, da dens amplitude falder hurtigt i takt med den rammer vandet. Ud fra de to forsøg kan vi konkludere at svingningens halveringstid afhænger af gnidningsmodstanden. Derudover kan det siges at der findes 3 forskellige typer svingninger, den underdæmpede, den kritisk dæmpede og den overdæmpede. I opgaven her har jeg kun beskæftiget mig med den underdæmpede og kritisk dæmpede svingning.

Fejlkilder

Under forsøgene var vi et lokale, hvor underlaget vibrerede når nogen passerede vores arbejdsplads. Derfor kan det have været med til at gøre vores målinger upræcise. Derudover vil der være en gennemgående fejl i resultaterne, hvis der har været stående bølger i fjederen elle en skævhed. I forsøget med Hookes lov,

medregnede vi ikke 1/3 af fjederens masse, og tyngdekraften på den svingende masse, har derfor ikke helt

svaret til det samme som tyndekraften på loddet.

Konklusion

Gennem opgaven har jeg redegjort for den matematiske teori bag sinus og cosinus som funktioner, og derunder centrale begreber som radiantal og enhedscirklen. Jeg illustrerede cosinus og sinus som funktioner i samme koordinatsystem, hvor man tydeligt kunne se en parallelforskydning, men ellers har et identisk forløb. Derudover redegjorde jeg for kurvernes forløb mht. enhedscirklen. Rapporten indeholder i tråd med sinus og cosinus funktionerne en redegørelse for den generelle harmoniske funktions konstanter hvorunder vi fandt ud af at; A er amplituden, a er vinkelhastigheden, b er den vandrette faseforskydning, og c den lodrette faseforskydning. Matematikkens differentialregning kom jeg også rundt om. Her udledte jeg

differentialkvotienter for cos(x), sin(x) pog sin(ω*x). Herudover redegjorde jeg for 2. ordens

differentialligninger. Eksperimentelt undersøgte vi Robert Hookes lov, hvilket viste sig at fjederens resulterende kraft er proportional med deformationen., og bestemte vores fjeders fjederkonstant. Ved undersøgelsen af en harmonisk svingning og en dæmpet svingning fulgte begge en sinus kurve og derfor

Side 14

Side 13 af 21 opfylder de Hookes lov. Jeg udregnede også den egentlig fjederkonstant, hvilket viste sig at have en afvigelse på 17,75 % hvilket førte til en større afvigelse på svingningstiden. I forsøget med dæmpede svingninger sammenlignede jeg halveringstiden for en dæmpet svingning i luft og vand.

Side 15

Side 14 af 21

Bilag 1

f(x)=Sin(x) er den røde graf

f(x)=cos(x) er den grønne graf

Side 16

Side 15 af 21

Bilag 2

Her ses et eksempel på amplituden A’s betydning. Her ses et eksempel på vinkelhastigheden a’s betydning.

Den grønne graf er, når amplitudens værdi. Den grønne graf er, når svingningstidens værdi T er Steget til 5. Da ses det, at amplituden har steget til 3. Da ses det, at den har stor betydning for betydning for svingningens størrelse. Altså Svingningens hastighed. Da ses det, at giver en stor amplitude en stor svingningsstørrelse. den har stor betydning for hvor smal eller bred Altså hvor høj og lav grafen er. svingningen er.

Her ses et eksempel på faseforskydningen b’s betydning. Her ses et eksempel på konstantleddet c’s betydning.

Den grønne graf er, når faseforskydningen er blevet Den grønne graf er, når c’s værdi er steget til 5.

Ændret. Det ses da, at den forskyder grafen hen ad Da ses det, at det eneste der ændres ved grafen er, hvor Førsteaksen. Det ses da, at den har bestemmer en lodret parallelforskydning.

hvor grafen skærer andenaksen

Side 17

Side 16 af 21

Bilag 3

Illustration til udledning af differentialkvotienter for sin(x), cos(x) og sin(ω*x)

Fra øvelser udleveret i timerne af Anders Wamsler.

Side 18

Side 17 af 21

Bilag 4

Graf 1: (x,F)

Side 19

Side 18 af 21

Bilag 5

Regression Aflæsning af svingningstid

Den første er regression, hvorimod de to andre er aflæsning af svingningstid.

Side 20

Bilag 6
Starten
Position (m)
0,7 0,6 0,5 0,4
Time (s)
0 5 10
Auto Fit for: Latest | Position
x = A*exp(-bt)*sin(c*t+d)+e
A: 0,1816 +/- 0,0002276
b: 0,005576 +/- 1,755E-005
c: 4,877 +/- 1,752E-005
d: -1,082E+006 +/- 0,001252
e: 0,5766 +/- 6,550E-005
RMSE: 0,003693 m

Midten
Position (m)
0,7 0,6 0,5
Time (s)
65 70 75
Auto Fit for: Latest | Position
x = A*exp(-bt)*sin(c*t+d)+e
A: 0,1816 +/- 0,0002276
b: 0,005576 +/- 1,755E-005
c: 4,877 +/- 1,752E-005
d: -1,082E+006 +/- 0,001252
e: 0,5766 +/- 6,550E-005
RMSE: 0,003693 m
Side 19 af 21

Side 21

Side 20 af 21

Slutningen

Side 22

Side 21 af 21

Bilag 7