SRO: Måling af radioaktivitet fra Radon | Matematik A og Fysik B

Side 1

Måling af radioaktivitet fra Radon

Studieretningsopgaven 2013

STX 2.g

STX 2.g

Side 2

Måling af radioaktivitet fra Radon ii

ABSTRACT

This project, written in the Danish language, is concerning identification of activity from the radio-active nucleus Radon and its daughter nucleuses in the school of Gribskov Gymnasium. Focusing on radioactive decays and the mathematical explanation of how the best exponential regression is made to explain radioactive activity, this project has a great foundation to work with and analyze radioactivity from Radon. Besides the identification of Radon at Gribskov Gymnasium this project also concerns the harmful effects of Radon and its daughters, and the project seeks to conclude whether the school has an acceptable concentration of Radon or not. Working with captured daugh-ter nucleuses from Radon, the project is also seeking to find the half-life periods of these nucleuses and identify the mathematical method to make the best regression for radioactivity from the daugh-ters of Radon. All of this ends up in a conclusion of the project where it is determined that the con-centration of Radon is very low at Gribskov Gymnasium and in no chance of being able to harm the students. The half-time periods of the Radon daughters is identified and the mathematical method behind it is being used and proven.

Side 3

Måling af radioaktivitet fra Radon ii

Indholdsfortegnelse

Indledning…………………………………………………………………………………..Side 1

Problemformulering………………………………………………………………………. Side 1

Metode……………………………………………………………………………………Side 1-2

Mindste Kvadraters Metode...…..………………………………………………………Side 2-4

Eksponentialfunktion.…………………………………….…………….……....……Side 4

Delkonklusion | ………………………………………………….…………………….Side 4

Radioaktivt henfald………………………………………………………………………Side 5-7

Henfaldsloven………………………………………………….………………….…Side 5

Aktivitet. ………………………………………………….…………….……....……Side 6

Delkonklusion | ………………………………………………….…………………….Side 7

Radon og dets døtre...……………………………………………………………………Side 7-8

Skadelighed…...………………………………………….…………….……....……Side 7

Delkonklusion | ………………………………………………….…………………….Side 8

Forsøg 1: Radonkoncentrationen i Gribskov Gymnasiums kælderrum...…………..Side 8-10

Metode og resultater.…………………………………….…………….……....…….Side 9

Delkonklusion..……………………………………………….…………………….Side 10

Forsøg 2: Halveringstider for radondøtre på Gribskov Gymnasium…...……….....Side 11-14

Metode og resultater...………………………………….…………….……....…….Side 11

Delkonklusion..……………………………………………….…………………….Side 14

Konklusion………………………………………………………………………………...Side 14

Bibliografi………………………………………………………………………………….Side 15

Perspektivering…………………………………………………………………………….Side 16

Side 4

SRO 2013

Matematik A og Fysik B

Bo Brøndsted og Lars Bjørntoft

16. april 2013

Måling af radioaktivitet fra Radon 1

Måling af radioaktivitet fra Radon

Indledning

Radon er en radioaktiv gasart, der er et led i uranhenfaldskæden. Radon ophobes let i huse og udgør en strålingsfare for mennesket. I denne opgave undersøges radonindholdet på Gribskov Gymnasi-um, og der søges at vurdere om dette indhold er skadeligt for skolens elever. Opgaven indeholder en generel redegørelse for radioaktivt henfald, radon og dets skadelighed samt beskrivelser af forsøg til at påvise radon på Gribskov Gymnasium. Der arbejdes foruden med den matematik, der ligger bag at kunne beskrive den bedste lineære og eksponentielle regression for et observationssæt for til sidst at kunne bestemme halveringstider for radondøtre opfanget på Gribskov Gymnasium.

Problemformulering

◼ Hvordan identificeres den skadelighed som Radon og dets døtre udgør i indeklimaet på

Gribskov Gymnasium igennem målinger, og hvordan kan halveringstider for radondøtrene bestemmes igennem matematiske undersøgelser?

⮚ Hvad er radioaktivt henfald?

⮚ Hvilken skadelighed udgør radon og dets døtre?

⮚ Hvordan påvises tilstedeværelsen af radon og dets døtre på Gribskov Gymnasium?

⮚ Hvordan udledes den bedste regressionsmetode til identifikation af halveringstider for radondøtres henfald?

Metode

I opgaven vil jeg indledningsvis matematisk redegøre for teorien bag mindste kvadraters metode, da denne teori vil være nyttig til efterbehandlingen af et af mine forsøg. Min primære kilde til dette er Preben Henriksens bog om mindste kvadraters metode. [1]

1

Uddybelser af kilder findes i bibliografien. (Gælder for alle nævnte kilder i metodeafsnittet)

Side 5

Måling af radioaktivitet fra Radon 2

Jeg vil foruden i opgaven redegøre for radioaktivt henfald, herunder henfaldsloven og begrebet akti-vitet og den matematik, der ligger bag: eksponentialfunktionen og dens egenskaber. Min primære kilde til dette er FysikABbogen2 af Finn Elvekjær og Torben Benoni, side 125-137. Jeg supplerer med kilden Kernefysik af Erik Vestergaard, side 8-9 og 12-14.

Jeg vil primært ud fra Sundhedsstyrelsens hjemmeside redegøre for radon og dets døtre, og for hvordan radondøtrene udgør en strålingsfare i indeklimaet på Gribskov Gymnasium.

Til belysning af dette, vil jeg rapportere to forsøg udført i et af Gribskov Gymnasiums kælderrum, og jeg vil analysere data med henblik på at påvise tilstedeværelse af radon og dets døtre samt med hen-blik på at bestemme halveringstider for nogle af radondøtrene.

I forbindelse med analysen af det målte datasæt vil jeg indbringe relevansen af Mindste Kvadraters Metode til at bestemme den bedst mulige funktionssammenhæng.

Mindste Kvadraters Metode

Når man laver lineær regression i eksempelvist et matematikprogram som Ti-Nspire, så undersøger

man i virkeligheden den bedste sammenhæng, 𝑦͏=͏𝑎𝑥͏+͏𝑏, der er mellem nogle givne x-værdier og
y-værdier opgivet i et observationssæt 𝑥_{1},͏𝑦_{1},͏𝑥_{2},͏𝑦_{2},͏…͏ ͏𝑥_{𝑛},͏𝑦_{𝑛}. Man finder den værdi for a og b,

der giver den bedste sammenhæng mellem x- og y-værdierne.

Først sættes x- og y-værdierne ind som punkter i et koordinatsystem, og der tegnes en lineær funkti-

on, 𝑦͏=͏𝑎𝑥͏+͏𝑏, til at beskrive sammenhængen mellem punkterne.

Man kigger nu på de afvigelser der er mellem punkterne og linjen.

Man tegner afvigelsen lodret og lader 𝑟 ,͏𝑟 ,͏…͏ ͏𝑟 betegne afvigelsen
                                  1 2    𝑛

mellem de observerede og de beregnede y-værdier :

𝑟_{1} =͏𝑦_{1} −͏(𝑎𝑥_{1} +͏𝑏_{1})

𝑟_{2} =͏𝑦_{2} −͏𝑎𝑥_{2} −͏𝑏_{2}

…

𝑟_{𝑛} =͏𝑦_{𝑛} −͏𝑎𝑥_{𝑛} −͏𝑏_{𝑛}

Herfra går metoden ud på at bestemme a og b således, at summen af de kvadrerede [2] afvigelser bliver

                                                             𝑛   2
mindst mulig. Summen af kvadraterne kan beskrives ved sumtegnet: 𝑟 .
                                                             𝑖=1 𝑖

2

Afvigelserne kvadreres for at gøre det muligt at differentiere dem med henblik på at bestemme et minimum.

Side 6

Måling af radioaktivitet fra Radon 3

Det fremgår af betegnelsen for afvigelsen ovenover, at kvadratsummen 𝑆(𝑎,͏𝑏) vil være en funktion af a og b med konstanten y. Hvis man forestiller sig, at skulle finde minimum af denne funktion, ved man, at tangenthældningen for den afledede funktion vil være lig med 0, der hvor funktionen (og dermed kvadratsummen) har den mindste længde af afvigelsen mellem de beregnede og observerede y-værdier. For at finde minimum af kvadratsummen S med bestemte værdier af a og b, der afhænger af hinanden, kan man partielt differentiere for a og b, der i minimumspunktet [3] begge vil være lig med 0:

𝜕𝑆 𝜕𝑆

𝜕𝑎 𝜕𝑏

=͏0 og =͏0

Derfor løses de to ligninger for at finde de mulige punkter for a og b. Det i’te led i kvadratsummen

vil være (𝑦_{𝑖} −͏𝑎𝑥_{𝑖} −͏𝑏)^{2}. Differentieres dette med henholdsvis a og b er 𝑡͏=͏𝑦_{𝑖} −͏𝑎𝑥_{𝑖} −͏𝑏 den indre
funktion og 𝑦͏=͏𝑡^{2} den ydre funktion, så dette giver:

𝜕

𝜕𝑎

(𝑦_{𝑖} −͏𝑎𝑥_{𝑖} −͏𝑏)^{2} =͏2͏𝑦_{𝑖} −͏𝑎𝑥_{𝑖} −͏𝑏͏∙͏−𝑥_{𝑖} =͏2(𝑎𝑥_{𝑖}^{2} +͏𝑏𝑥_{𝑖} −͏𝑥_{𝑖} 𝑦_{𝑖})

𝜕

𝜕𝑏

(𝑦_{𝑖} −͏𝑎𝑥_{𝑖} −͏𝑏)^{2} =͏2͏𝑦_{𝑖} −͏𝑎𝑥_{𝑖} −͏𝑏͏∙͏−1͏=͏2(𝑎𝑥_{𝑖} +͏𝑏͏−͏𝑦_{𝑖})

Afgrænser man i til kvadratsummen, får man at:

𝜕𝑆

𝜕𝑎

=͏2͏𝑎͏𝑥 +͏𝑏͏𝑥 −͏𝑥 𝑦_{𝑖}

𝑖 𝑖 𝑖

2

𝜕𝑆

𝜕𝑏

=͏2͏𝑎͏𝑥 +͏𝑛𝑏͏−͏𝑦

𝑖 𝑖

Begge disse skal være lig med 0, så tallet 2 forsvinder og ved at addere med henholdsvis 𝑥_{𝑖} 𝑦_{𝑖} og
𝑦_{𝑖} på begge sider af hver ligning, får man:

𝑎͏𝑥 +͏𝑏͏𝑥 =͏𝑥 𝑦_{𝑖}

𝑖 𝑖 𝑖

2

𝑎͏𝑥 +͏𝑛𝑏͏=͏𝑦

𝑖 𝑖

Altså to simple lineære funktioner af typen 𝑎_{𝑖} 𝑥͏+͏𝑏_{𝑖} 𝑦͏=͏𝑐_{𝑖}, blot hvor de to ukendte faktorer er a og b

i stedet for x og y. De to ligninger kan sammenfattes i én vektorligning og heraf kan man få determi-

nanten^{4}:

3

Der vil ikke findes noget maksimum for denne funktion, da afvigelserne fra linjen i princippet kan blive uendeligt lange.

4

Knud Erik Nielsen og Esper Fogh: Vejen til Matematik A2, side 141.

Side 7

Måling af radioaktivitet fra Radon 4

𝑑͏=

𝑥_{𝑖}^{2} 𝑥_{𝑖}
𝑥_{𝑖} 𝑛

Hvis determinanten er forskellig fra 0 fås en entydig bestemt løsning til ligningssystemet:

𝑎͏= og 𝑏͏=

𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑦 𝑥 𝑦 𝑖 𝑖 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑥 𝑥 𝑖 𝑖

2 2 𝑥 𝑥 𝑖 𝑖 𝑥 𝑥 𝑖 𝑖 𝑛 𝑛

2

Hermed er der bestemt et minimumspunkt for kvadratsummen som funktion af a og b, og den bedste sammenhæng mellem punkterne i observationssættet kan opstilles. Dette gælder dog kun, hvis funk-tionen altså har et minimum samt hvis determinanten er forskellig fra 0.

Eksponentialfunktion

Ovenover har jeg redegjort for, hvordan et matematikprogram finder den bedste lineære funktions-sammenhæng mellem nogle punkter. Når matematikprogrammet skal gøre dette med en eksponenti-el sammenhæng er det i virkeligheden den samme metode som programmet fører. Hvis observati-

onssættet skal tilnærmes med en eksponentiel udvikling 𝑓 𝑥͏=͏𝑏𝑎^{𝑥}, udnyttes nemlig følgende:
𝑦͏=͏𝑏𝑎^{𝑥} ⟺͏log͏𝑦͏=͏log͏𝑎͏𝑥͏+͏log (𝑏)

hvilket viser, at sammenhængen mellem x og y kun er eksponentiel, hvis sammenhængen mellem 𝑥 og log (𝑦) er lineær! Derfor kan man anvende mindste kvadraters metode på et observationssæt givet

ved 𝑥_{1},͏log (𝑦_{1})͏,͏𝑥_{2},͏log (𝑦_{2})͏,͏…͏ ͏𝑥_{𝑛},͏log (𝑦_{𝑛})͏. Ved at udlede a og b værdierne, når man frem til

log (𝑎) og log (𝑏), hvilke så kan opløftes i 10, for at få afskæringen og fremskrivningsfaktoren i den eksponentielle forskrift.

Delkonklusion

Jeg har i dette afsnit redegjort for anvendelsen af mindste kvadraters metode for bedste beskrivelser af en lineær og en eksponentiel sammenhæng mellem et observationssæt. Senere i denne opgave vil jeg kigge på eksponentielle sammenhænge, og det er derfor relevant at være bevidst om, hvordan matematik programmer når frem til disse sammenhænge. Blandt andet kan jeg i denne opgave bruge metodens relevans til at bestemme sammenhænge mellem radioaktivt henfald og tiden, da dette be-skrives ved eksponentielle sammenhænge.

Side 8

Måling af radioaktivitet fra Radon 5

Radioaktivt henfald

5

Et radioaktivt henfald er et eksempel på en kerneproces, hvor der sker en omdannelse af en atom-kerne. Ved en kerneproces er den samlede energi, det samlede nukleontal og den samlede elektriske ladning konstant. Den oprindelige atomkerne kaldes moderkernen, og atomkernen, som moderker-nen henfalder til, kaldes datterkernen. Ved radioaktive henfald omdannes moderkernen til datterker-nen, og der udsendes en eller flere atomare partikler. Typen af det radioaktive henfald afhænger af

de partikler, der bliver udsendt. I α-henfald udsendes en He_{2}^{4} -kerne, som kaldes en α-partikel. I β^{-} -

                             -                         +                             +
henfald udsendes en elektron (en β -partikel) og en antineutrino. I β -henfald udsendes en positron (en β -

partikel) og en neutrino. I 𝛾-henfald udsendes en foton, som kaldes en 𝛾-kvant.^{6}

Henfaldsloven

Det er uforudsigeligt, hvornår en radioaktiv kerne vil henfalde, men der er en vis sandsynlighed for, at kernen vil henfalde inden for et bestemt tidsrum. Henfaldsloven beskriver, hvordan antallet af radioaktive moderkerner aftager med tiden, da et bestemt antal kerner vil henfalde inden for et be-stemt tidsrum. Den tid, der statistisk går til halvdelen af kernerne er henfaldet, kaldes halveringstiden

og betegnes med 𝑇_{1/2}. Man benytter halveringstiden i opstillingen af henfaldsloven for radioaktive

henfald, der angiver antallet af radioaktive kerner som funktion af tiden. Hver gang halveringstiden for en mængde radioaktivt stof forløber, er halvdelen af stoffet tilbage. Jo flere halveringstider, der forløber, jo flere gange halveres mængden af det radioaktive stof. Antal radioaktivt stof kan altså findes ved at opløfte en halv i antallet af forløbne halveringstider og multiplicere med antal moder-kerner:

𝑁͏=͏𝑁_{0} ∙

1

2 𝑡

𝑇_{1/2}

7

Her betegner 𝑁_{0} det oprindelige antal moderkerner, mens N betegner antal moderkerner efter tids-

rummet t. Det fremgår af henfaldsloven, at antallet af moderkerner aftager eksponentielt med tiden, hvilket vil sige, at antallet aftager med en bestemt procentdel i hvert tidsinterval afhængigt af størrel-

5

Side 125-137 i FysikABbogen2, samt side 8-9 og 12-14 i Kernefysik er brugt som kilder til dette afsnit.

6

Spontan fission og elektronindfangning er udeladt i denne simple redegørelse for kerneomdannelser.

7

Denne matematiske model for henfaldsloven kan kun benyttes for store værdier af radioaktive kerner, da en eksponential-funktion er kontinuer og grafisk set aldrig skærer x-aksen: derfor er formlen uanvendelige for små værdier af N. Da Form-len er udledt statistisk er det også klart, at resultaterne vil forbedres med større værdier af N.

Side 9

Måling af radioaktivitet fra Radon 6 sen af halveringstiden. [8] Nedenfor er afbildet antallet N som funktion af tiden t i både et normal og et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Grafen for N er en ret linje i det enkeltlogaritmiske koordinatsy-stem, da dette svarer til at y-værdien vokser logaritmisk, ligesom forklaret i afsnittet om Mindste Kvadraters Metode.

       9
Figur 1:

Henfaldslovens eksponentielle egenska-ber i et normalt og et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

Aktivitet

Aktiviteten for radioaktivt stof angiver antallet af henfald pr. tid. Aktiviteten betegnes med A og har

SI-enheden Bq (Becquerel) – også betegnet s^{-1}, da det er antal henfald pr. sekund. Aktiviteten er pro-

portional med antallet af radioaktive kerner ud fra formlen:

𝐴͏=͏𝑘͏∙͏𝑁
Konstanten 𝑘 kaldes henfaldskonstanten og angiver antal henfald pr. tid pr. kerne (𝑘͏=͏𝐴/͏𝑁). Af

ovenstående proportionalitet fås let, at aktiviteten, ligesom henfaldsloven, afhænger eksponentielt af tiden ud fra formlen:

𝐴͏=͏𝐴_{0} ∙

1

2 𝑡

𝑇_{1/2}

Hvor 𝐴_{0} er aktiviteten til tiden t = 0, og hvor halveringstiden 𝑇_{1/2} er den samme som i henfaldslo-

ven. Har man aktiviteten som funktion af tiden i en graf, vil den eksponentielle funktion være be-skrevet således:

𝐴͏=͏𝐴_{0} ∙͏𝑎^{𝑡}

8

                                                            𝑡
Henfaldsloven i en eksponentiel funktion beskrives som 𝑁(𝑡)͏=͏𝑁 ∙͏𝑎 , hvor antal kerner er funktion af tiden og a er den
                                                         0
                                  𝑡            1

                                1            1
                                  𝑇
                            𝑡      1/2
såkaldte fremskrivningsfaktor (𝑎 =   ⇔͏ 𝑎͏=       ).
                                2            2

𝑇

1/2

9

Graf fra Fysik AB-bogen2

Side 10

Måling af radioaktivitet fra Radon 7

                                            1              1
                                              𝑇
                                       𝑡       1/2
Af de to ovennævnte funktioner ses det, at 𝑎 =   og at 𝑎͏=      . I denne formel kan man
                                            2              2

𝑡 1

𝑇

1/2

isolere halveringstiden 𝑇 :
                     1/2

𝑎͏= ⇔ ∙͏ln =͏ln͏𝑎͏⇔͏𝑇_{1/2} =

1 1 1

2 𝑇_{1/2} 2 ln (𝑎)

1

𝑇_{1/2}

ln

1

2

Delkonklusion

Jeg har nu redegjort for radioaktivt henfald, henfaldsloven, begrebet aktivitet og den matematik, der ligger bag: eksponentialfunktionen og dens egenskaber, samt hvordan man finder frem til halverings-tiden givet en sammenhæng mellem aktiviteten og tiden.

Radioaktive henfald sker omkring os hele tiden og bestråling af disse kan som bekendt være en farlig affære. Man skal være forsigtig med ikke at befinde sig i områder, hvor man udsættes for bestråling i store mængder. Men hvad hvis man ikke er klar over, at man dagligt går rundt i meget bestrålede områder? Radon og radondøtrene er radioaktive kerner, der kan trænge ind og ophobe sig i huse, uden at husbestanden er bevidste om det.

Radon og dets døtre

Radon-222 er et led i en radioaktiv henfaldskæde, som begynder med uran-238. Radon dannes ved henfald af radium-226, der findes overalt i jorden. Radon er, ulige sine forgængere i uranhenfalds-kæden, en ædelgas [10]. Dette bevirker, at radon ikke indgår i kemiske forbindelser, men i stedet kan frigøres til luften fra de materialer, hvori radonnet dannes. Når radon trænger ind i huse, er der gode betingelser for, at radonet ophobes i de isolerede rum, specielt i kælderrum, da disse ofte er placeret nede i jorden og har ringe udluftningsmuligheder. Da radon er farveløst og uden lugt bemærkes op-hobningen sjældent af husbestanden. Radon har en halveringstid på 3,82 dage og henfalder ved alfa-stråling til radondøtrene Po-218, Pb-214, Bi-214, Po-214 og Pb-210. Når man måler koncentrationen

af radon i luften kigger man på dets aktivitet pr. sekund pr. kubikmeter og enheden er Bq/m^{3} (Bec-

querel pr. kubikmeter). Ifølge Bygningsmyndighederne [11]

(Energistyrelsen) må en bygning ikke over-

stige en radonkoncentration på 200 Bq/m^{3}.

10

Grundstof i gruppe 18 i det periodiske system, karakteriseret som ikkemetalliske og kemisk inaktive.

11 www.sst.dk under Radon i boliger: Krav og anbefalinger til bygninger. Sidst besøgt 09.04.13

Side 11

Måling af radioaktivitet fra Radon 8

Skadelighed

Radon er grundet sine egenskaber som ædelgas og sin forholdsvis lange halveringstid ikke så farligt i sig selv. Radondøtrene derimod er kemisk aktive metaller, som let bindes til partikler i indåndings-luften, der føres ned i lungerne, hvor de kan bindes videre til lungevævet. Da de fleste radondøtre er kortlivede radioaktive stoffer, vil deres henfaldsstråling inde i kroppen beskadige de levende celler og kunne medføre sygdomme som lungekræft. Ifølge Verdenssundhedsorganisationen (WHO) er radon den næst største medvirkende årsag til lungekræft, og det er anslået at radon i boliger er årsag til om-kring 9% af alle lungekræfttilfælde i Danmark (ca. 300 tilfælde pr. år.) [12]

Delkonklusion

Jeg har nu redegjort for radon og dets døtre, og for hvordan radondøtrene udgør en strålingsfare for mennesker i indeklimaet, specielt i kælderrum. Det er tankevækkende, at man kan gå omringet af radioaktive stoffer som radon og dets døtre i sit eget hus, på sin arbejdsplads eller i sin skole. Her på Gribskov Gymnasium går vi muligvis også rundt i en tikkende radonbombe. Ud fra et simpelt forsøg er det muligt at undersøge radonkoncentrationen her på Gribskov Gymnasium.

Forsøg 1: Radonkoncentrationen i Gribskov Gymnasiums kælderrum

Formålet med dette forsøg er at måle radonkoncentrationen i et af Gribskov Gymnasiums kælder-

rum samt at vurdere dennes skadelighed.^{13}

Til forsøget skal bruges et betafølsomt Geiger-Müller rør, en filterholder, et filter (der er specielt vel-egnet til at opfange radondøtre), en støvsuger samt en stor dragtpose til volumenbestemmelse.

I en rapport fra Oslo Universitet [14] gennemgås, hvorledes der tages højde for filterets areal, luftens strømningshastighed, absorption af betastrålingen på vej ud gennem filteret osv. Med alle disse fak-torer i mente, når rapporten frem til denne formel radonkoncentrationen C:

som gælder, hvis 𝐺𝑀_{10} er antal impulser i 1 minut beregnet ved 0,1 gange tælletallet fra 5 til 10 mi-
nutter efter opsamlingen og v er sugehastigheden angivet i L/min.^{15}

12 www.sst.dk under Radon i boliger: Sundhedsrisiko. Sidst besøgt 09.04.13

13

En fysikrapport over dette forsøg kan findes i bilag 1.

14

Øvelsesvejledning til forsøg: Orbit: Henfald af Radon-222

𝐶͏= ͏ [ 𝑒𝑛ℎ𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑒𝑟 𝐵𝑞/𝑚^{3}]

12,5͏∙͏𝐺𝑀_{10}

𝑣

Side 12

Måling af radioaktivitet fra Radon 9

Metode og resultater:

Før selve forsøgets begyndelse fremgår det af ovenstående formel, at jeg først måtte udregne støvsu-gerens sugehastighed. Jeg fyldte dragtposen ved at lade støvsugeren virke som blæser indtil posen var

fuld, hvorefter posens volumen blev beregnet. Volumenet blev beregnet til 75,5 𝑑𝑚^{3}, hvilket også er

75,5 𝐿. Efterfølgende skulle jeg bestemme tømningshastigheden af dragtposen. Til at begynde med lod jeg støvsugeren med påmonteret filterholder og filter suge posen tom. Dette tog 1 minut og 27,7 sekunder. For at få den bedst mulige bestemmelse af sugehastigheden ville jeg måle tømningsha-stigheden yderligere efter opsamlingen, da støvbelægningen på filteret nedsætter sugehastigheden.

Efter forsøget målte jeg en tømningshastighed af posen på 1 minut og 28,9 sekunder. Gennemsnitligt var tømningshastigheden altså 1 minut og 28,3 sekunder. Nu kunne sugehastigheden beregnes:

75,5 𝐿

1,283 𝑚𝑖𝑛

=͏58,847 𝐿/𝑚𝑖𝑛͏≈͏58,͏8 𝐿/𝑚𝑖𝑛

Jeg bevægede mig ned i et af Gribskov Gymnasiums kælderrum og lod støvsugeren med påmonteret filter suge i 10 minutter for at opfange nogle af luftens partikler og isotoper, deriblandt radondøtrene.

Radon opfanges naturligvis ikke på filteret, da det er en luftart, men radondøtrene Po-218, Pb-214, Bi-214, Po-214 og Pb-210 kan findes, da de er metaller. Da Geiger-Müller røret, som jeg anvender i forsøget, er betafølsomt, vil Pb-214, Bi-214 og Pb-212 [16] være de interessante stoffer, da de henfalder ved betastråling.

Samtidigt med, at jeg havde støvsugeren til at suge, målte jeg baggrundsstrålingen i kælderrummet.

Denne målte jeg til 321 pulser. Efterfølgende afmonterede jeg filterholderen med filteret fra støvsuge-ren og satte Geiger-Müller røret til at måle impulser fra filteret. Jeg foretog to tællinger fra 5 til 15 minutter og fra 15 til 25 minutter, hvor jeg først målte 409 impulser og efterfølgende 379 impulser.

Gennemsnitligt giver dette 394 og trækkes baggrundstrålingen fra fås den reelle stråling til sølle 73 pulser. Multipliceres disse med 0,1 og indsættes i formlen fra teoriafsnittet, får man radonkoncentra-tionen i Gribskov Gymnasiums kælderrum:

𝐶͏= = =͏1,552 𝐵𝑞/𝑚^{3} ≈͏1,6 𝐵𝑞͏/𝑚^{3}

12,5͏∙͏𝐺𝑀_{10} 12,5͏∙͏7,3

𝑣 58,8 𝐿/𝑚𝑖𝑛

15

Denne formel er taget fra Orbit: Henfald af Radon-222

16

Denne isotop henfalder ikke fra Radon-222 men fra Radon-220 (en del af Thoriumfamilien), der har en halveringstid på

55,3 sekunder. Derfor findes der ikke så mange af disse radondøtre i luften, dog nok til at blive opfanget og målt i filteret.

Side 13

Måling af radioaktivitet fra Radon 10

Denne radonkoncentration er noget lavere end forventet, eftersom kælderrum for det meste indehol-der en del radon. Det er i dette tilfælde relevant at tænke på, at problemet med radon har været kendt og arbejdet med siden midten af 1980’erne og siden 1988 har bygningsmyndighederne anbefa-let, at huse udføres med lufttæt konstruktion mod jorden. I 1998 blev dette gjort til et krav – nye huse skal bygges ”radonsikkert”. [17] Det kælderrum vi målte radonkoncentrationen i på Gribskov Gymna-sium hører til gymnasiets nye tilbygninger, der blev bygget fra [18] Kravet om radonsikret nybyggeri har altså eksisteret, da kældrene blev bygget, og det skulle ikke undre mig, at arkitekterne bag Gribskov Gymnasium har været meget omhyggelige med at leve op til disse krav på et gymnasi-um, hvor så mange unge studerende færdes hver dag – vores kælderrum har sikkert udluftning og lufttæt konstruktion.

En fejlkilde ved vores forsøg vil naturligvis være, at der optræder andre opsamlede isotoper i filteret end de nævnte radondøtre. Disse kan have påvirket målingerne og givet et højere udslag, end det reelle fra radondøtrene. Det var foruden svært at bestemme tragtposens rumfang, da den ikke helt havde form som en cylinder, men var lukket på langs i enden, hvilket kan have påvirket sugeha-stigheden og resultatet af radonkoncentrationen. Endelig er der den statistiske usikkerhed ved at måle radioaktive henfald, der også kan have medvirket til et ikke-reelt resultat.

Delkonklusion

Nu har jeg altså fundet frem til, at radonkoncentrationen i et af Gribskov Gymnasiums kælderrum er

1,6͏ 𝐵𝑞/𝑚^{3}. Da bygningsmyndighederne^{19} kræver en radonkoncentration på under 200 Bq/m^{3} i huse,

må det vurderes, at den målte værdi i Gribskov Gymnasiums kælderrum er langt fra skadeligt. Men nu jeg har opsamlet radondøtre i filteret, kunne det være interessant at måle deres aktivitet over læn-gere tid og opstille eksponentielle sammenhænge, der kan beskrive døtrenes halveringstider.

17

Andersen, Claus m.fl.: Ny landsomfattende dansk radon undersøgelse. Artikel udgivet 16. maj 2001.

18

http://da.wikipedia.org/wiki/Gribskov_Gymnasium. Wikipedia om Gribskov Gymnasium. Sidst besøgt 09.04.13

19 www.sst.dk under Radon i boliger: Krav og anbefalinger til bygninger. Sidst besøgt 9.04.13

Side 14

Måling af radioaktivitet fra Radon 11

Forsøg 2: Halveringstider for radondøtre i Gribskov Gymnasium

Formålet med dette forsøg er at bestemme halveringstider for radondøtrene opfanget i filteret med støvsugeren fra forrige forsøg samt at påvise, hvordan at den metode, som Ti-Nspire anvender til at bestemme en lineær og en eksponentiel regression

, stemmer overens med Mindste Kvadraters Metode.

Da Geiger-Müller røret, som jeg anvender i forsøget, er betafølsomt, er Pb-214, Bi-214 og Pb-212 de interessante stoffer, da de henfalder ved betastråling. Pb-214 og Bi-214 henfalder begge fra Radon-

222 [20] og har halveringstider, der ligger meget tæt på hinanden; 26,8 minutter og 19,7 minutter. Der-for er aktiviteten fra disse to isotoper besværlig at skelne fra hinanden, og derfor må deres halverings-tid kunne betragtes som én samlet ud fra mine målinger. Pb-212 henfalder fra Radon-220 [21] og har ulige de to andre isotoper en lang henfaldstid på hele 10,64 timer. Ifølge Henfaldsloven og formlen for radioaktiv aktivitet, aftager isotoperne og deres aktivitet eksponentielt som funktion af tiden.

Men når jeg måler den radioaktive aktivitet i filteret, måler jeg som beskrevet flere forskellige beta-isotoper, og den samlede aktivitet giver som funktion af tiden derfor ikke en eksponentiel sammen-hæng.

Metode og resultater:

For at få et lidt højere tælletal end forrige forsøg, har jeg til denne måleserie indsamlet støv i filteret i en periode på ca. 30 minutter. Baggrundsstrålingen er naturligvis den samme som i forrige forsøg, nemlig 321 impulser på 10 minutter. Efterfølgende har jeg sat det betafølsomme Geiger-Müller rør til at måle aktiviteten fra filteret i 10 minutters perioder i 16,5 timer. Nedenfor har jeg angivet en graf over de målte impulser i tidsperioder-ne. Tælletallet er korrigeret for bag-grundstrålingen.

Det fremgår som forventet af grafen, at sammenhængen mellem aktiviteten og tiden ikke kan beskrives som ek-sponentiel. Det er tydeligt af grafen, at der er noget, der henfalder hurtigt (den stejle del af grafen) og noget der henfalder langsomt (den aflange del af grafen). Jeg har derfor valgt at dele observationssættet op i tidsintervallerne

0;͏190͏ minutter og 190;͏990͏ minutter. Da isoto-

20

Uranfamilien, se kernekort side 179 i Databog Fysik/Kemi.

21

Thoriumfamilien, se kernekort side 178 i Databog Fysik/Kemi.

Figur 2:

Impulser fra Geiger-Müller røret som funktion af tiden.

(Tid er angivet i minutter)

Side 15

Måling af radioaktivitet fra Radon 12 pen med den lange halveringstid også har påvirket den stejle del af grafen, vil jeg begynde med at kigge på tidsintervallet for den lange del af grafen. Indsætter jeg dette i et grafvindue i matematik-programmet Ti-Nspire fremtræder en eksponentiel sammenhæng mellem aktiviteten af isotoperne og tiden. Det er her, at det bliver relevant at kunne vurdere og matematikprogrammets metode stemmer overens med Mindste Kvadraters Metode. Nederst på siden til venstre har jeg opstillet den eksponen-tielle sammenhæng for aktiviteten som funktion af tiden og fundet frem til forskriften for sammen-hængen:

                      𝑡
𝐴͏=͏843,555͏∙͏(0,998934)

Til højre nedenfor har jeg taget logaritmen til y-værdien, aktiviteten, og har fået matematikpro-grammet til at finde denne lineære sammenhæng mellem logaritmen til aktiviteten og tiden:

𝐴͏=͏−0,000463͏∙͏𝑡͏+͏2,92611

Lader jeg denne lineære sammenhæng opløftes i 10 (og dermed lader logaritmen ophæve), får jeg:

𝐴͏=͏10 =͏843,555͏∙͏(0,998934)^{𝑡}

−0,000463∙𝑡+2,92611

Altså præcis den samme sammenhæng som den eksponentielle sammenhæng. De to funktioner har

da også den samme 𝑟^{2} -værdi, nemlig 0,934. Heraf er det altså tydeligt at se, at den metode som ma-

tematikprogrammet Ti-Nspire anvender til at bestemme den bedste regression for observationssættet stemmer overens med Mindste Kvadraters Metode, idet den lineære regression på observationssæt-tets x-værdier og logaritmen til dets y-værdier beskriver den samme sammenhæng som den ekspo-nentielle regression.

Figur 3 og 4: Disse grafer viser det lange grafinterval fra forrige graf, den langsomhenfaldende isotop. Til ven-stre er sammenhængen mellem aktiviteten og tiden angivet, til højre er sammenhængen mellem logaritmen til aktiviteten og tiden angivet. (Tid er angivet i minutter)

Side 16

Måling af radioaktivitet fra Radon 13

Jeg har nu eftervist, at matematikprogrammets regressionsmetode stemmer overens Mindste Kva-draters Metode ved at lave eksponentiel regression igennem lineær regression. Jeg har samtidigt fun-det frem til den eksponentielle forskrift for den langsomhenfaldende isotop fra det lange grafinterval fra første graf. Nu er det tid til at bestemme en for-skrift for den stejle del af den første graf, den hurtig-henfaldende isotop. Dette gør jeg ved at indsætte det første tidsinterval, 0;͏190͏ minutter i en graf som vist til højre, hvor den reelle aktivitet her er korrigeret både for baggrundstrålingen og for aktiviteten fra den langsomhenfaldende isotop. Det fremgår, at denne eksponentielle sammenhæng kan beskrives ved:

                      𝑡
                        22
𝐴͏=͏3174,74͏∙͏(0,979275)

Jeg kan nu anvende de to eksponentielle regressioner til at bestemme halveringstider for de to radio-aktive isotoper vist på graferne. Jeg kan udregne halveringstiderne ud fra formlen:

𝑇_{1/2} =

ln

1

2 ln (𝑎)

Hvor a er den eksponentielle funktions fremskrivningsfaktor. Den eksponentielle funktion for den

langsomhenfaldende isotop lød 𝐴͏=͏843,555͏∙͏(0,998934)^{𝑡}, hvoraf det fremgår, at fremskrivnings-

faktoren er 0,998934. Derfor er halveringstiden for den langsomhenfaldende isotop givet ved:

𝑇_{1/2} = = =͏650 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟͏≈͏10,83 𝑡𝑖𝑚͏𝑒𝑟

ln ln

1 1

2 2 ln (𝑎) ln (0,998934)

Den eksponentielle funktion for den hurtighenfaldende isotop lød 𝐴͏=͏3174,74͏∙͏(0,979275)^{𝑡}, hvor-

af det fremgår, at fremskrivningsfaktoren her er 0,979275. Derfor er halveringstiden for den hurtig-henfaldende isotop givet ved:

𝑇_{1/2} = = =͏33,0968 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟͏≈͏33,1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟

ln ln

1 1

2 2 ln (𝑎) ln (0,979275)

Disse to beregnede halveringstider passer udmærket med de halveringstider, som jeg havde forventet at finde frem til, nemlig Pb-212’s halveringstid på 10,64 timer samt Pb-214 og Bi-214’s halveringsti-

22

𝑟^{2} -værdi på 0,967

Figur 5: Grafen viser sammenhængen mellem aktiviteten og tiden for den hurtighenfaldende isotop. (Tid angivet i minutter)

Side 17

Måling af radioaktivitet fra Radon 14 der på henholdsvis 26,8 minutter og 19,7 minutter [23]. Overordnet fremgår det dog, at mine målte resultater er noget højere end de teoretiske. Dette skyldes dog, at der også findes andre isotoper i luften, der henfalder ved betastråling. Faktisk findes der også andre radondøtre [24], der ligesom Pb-212 stammer fra andre henfaldskæder end uranfamiliens. Nogle af disse har halveringstider på henholds-vis 60,6 minutter samt på 36,1 minutter. Det er klart, at disse naturligt forekommende betaisotoper vil have påvirket mit datasæt og dermed øget mine målte halveringstider.

Delkonklusion

Det har i mit sidste forsøg lykkedes mig at påvise, at den metode, som matematikprogrammet Ti- Nspire anvender til at bestemme den bedste regression for mit observationssæt, stemmer overens med Mindste Kvadraters Metode. Dette fremgår af, at den lineære funktion med logaritmen til y-værdierne som funktion af x-værdierne beskriver den samme sammenhæng som den faktiske ekspo-nentielle regression for observationssættet. Jeg har foruden fundet frem til, at de radondøtre, jeg op-fangede i mit filter, har halveringstider, der passer med Pb-212, Pb-214 og Bi-214. Jeg har dermed undersøgt alle mine problemstillinger, så nu kan det hele bringes til en sammenfatning.

Konklusion

Ved at beskrive Mindste Kvadraters Metode, radioaktivt henfald og radon og dets døtres skadelighed har jeg kunnet opbygge en faglig baggrund til at finde frem til radonkoncentrationen på Gribskov Gymnasium samt bestemme halveringstider for de opsamlede radondøtre. Ved at opsamle radondøt-re i Gribskov Gymnasiums kælderrum og måle deres aktivitet, har jeg kunnet konkludere, at der blot

er en radonkoncentration på 1,6 𝐵𝑞/𝑚^{3} i skolens kælderrum, hvilket er langt under en såkaldt ska-
delig koncentration, der anses at være på 200 𝐵𝑞͏/͏𝑚^{3}. Jeg udførte dernæst et andet forsøg, hvor jeg

bestemte halveringstiderne for de opsamlede radondøtre og påviste, at matematikprogrammet Ti- Nspire ved udførelse af lineær og eksponentiel regression anvender en metode, der stemmer overens med Mindste Kvadraters Metode.

23

Ved henfald oveni hinanden vil halveringstiderne for de to isotoper sammenlagt give en højere halveringstid.

24

Her er blandt andet Radon-219 fra Actinumfamilien, der har en halveringstid på blot 4 sekunder, og derfor ikke findes i så høje koncentrationer i luften.

Side 18

Måling af radioaktivitet fra Radon 15

Bibliografi

Litteratur:

▪ Andersen, Claus m.fl.: Ny landsomfattende dansk radon undersøgelse, artikel fra ”Miljø og Sundhed”, formidlingsblad, udgivet maj 2011.

▪ Andersen, Erik Strandgaard m.fl.: Databog fysik/kemi, F&K Forlaget, 1989.

▪ Brydenholts, M. m.fl.: Orbit 1+2 –CD-rom: Henfald af Radon-222 (Forsøgsvejledning) Sy-

stime 1999 (med ændring af L. Bjørntoft, Gribskov Gymnasium 2013)

▪ Elvekjær, Finn m.fl.: FysikABbogen 2, Systime A/S, 2006.

▪ Fogh, Esper m.fl.: Vejen til Matematik A2, Forlaget Hax, 2011.

▪ Henriksen, Preben M: Mindste Kvadraters Metode,1. udgave maj 2005

▪ Vestergaard, Erik: Kernefysik, undervisningshæfte fra www.matematikfysik.dk

Hjemmesider:

▪ Sundhedsstyrelsens hjemmeside: www.sst.dk, under Strålebeskyttelse: Hvad er radon,

Sundhedsrisiko, Radon i boliger, Måling af Radon. Sidst besøgt 09.04.13

▪ Wikipedia om Gribskov Gymnasium:

http://da.wikipedia.org/wiki/Gribskov_Gymnasium. Sidst besøgt 09.04.13

Side 19

Måling af radioaktivitet fra Radon 16

Perspektivering

Der findes langt mere avancerede og præcise metoder til at bestemme radonindholdet i luften.

Mit forsøg er især fejlbehæftet ved, at der opfanges betahenfaldende radondøtre fra flere forskel-lige radonisotoper og ved, at målingerne foregår inden for så kort tid, så den statistiske usikker-hed for henfaldene gøres stor. Det er nødvendigt at påpege, at det nok ikke ville være denne me-tode, man ville tage i anvendelse ved større radonundersøgelser.

En af de første større landsomfattende radonundersøgelser [25] udført i Danmark i 1995-96 ville undersøge det gennemsnitlige radonindhold i huse i alle landets kommuner. For hver bolig blev der foretaget en måling i stuen med et særligt radondosimeter baseret på den såkaldte portfolie-metode. Målingerne foregik i et helt år, hvilket især står i kontrast til mine 10-minutters målin-ger. I de gamle kommuner omkring Gribskov Kommune viste denne undersøgelse, at mindre

end 0,3% af husene havde en radonkoncentration på over 200 𝐵𝑞͏/𝑚^{3}, hvilket var i den absolut

laveste ende af skalaen. Udover at have et nærmest radonfrit Gymnasium (ifølge mine undersø-gelser) er selve Gribskov Kommune altså generelt et radonfattigt sted at bo, hvilket blot er hel-digt for os, der bor her.

25

Andersen, Claus m.fl.: Ny landsomfattende dansk radon undersøgelse, artikel fra ”Miljø og Sundhed”, formidlingsblad, udgi-vet maj 2011.