SRO om frit fald med og uden luftmodstand

Indledning

Jeg vil i min besvarelse af opgaven redegøre for begreberne ’differentialligning’, ’linieelement’ og ’Eulers metode’ og vise hvordan disse kan benyttes i bestemmelsen af en differentiallignings løsningskurve. Jeg vil også undersøge hvilken betydning værdien af stepværdien har for Eulers metode ved at afprøve tre forskellige stepværdier på samme differentialligning og sammenligne dem grafisk. Desuden vil jeg redegøre for det frie fald med og uden luftmodstand, opstille en model for disse, herunder bevægelsesligningerne, med udgangspunkt i Newtons 2. lov, og redegøre for hvordan Eulers metode kan bruges til at løse de differentialligninger der indgår i det frie fald. Jeg vil også undersøge det frie fald med og uden luftmodstand eksperimentelt og grafisk sammenligne resultaterne fra disse forsøg med de tilhørende værdier som kan bestemmes numerisk ved hjælp af Eulers metode.

Henvisninger til anvendt litteratur vil undervejs findes som fodnoter.

Differentialligninger

Ved en differentialligning forstås en ligning, hvori der indgår en eller flere afledte funktioner f’(x), f’’(x), … af en funktion f(x) og evt. også funktionen f(x). Den ukendte i denne ligning vil da være funktionen f(x). Enhver funktion der opfylder differentialligningen kaldes en partiel løsning og dens graf kaldes en løsningskurve eller en integralkurve og samtlige løsninger kaldes under ét den fuldstændige løsning. Løsningskurver skal være defineret i intervaller og desuden være kontinuerte. Et eksempel på en differentialligning kan da være f’(x)=f(x) hvor funktionen e vil være en partiel løsning.

Da der kan indgå forskellige afledte funktioner skelner man mellem differentialligninger af forskellige ordener. Af en differentialligning af 1. orden forstås en differentialligning hvori den først afledte f’(x) af en funktion f(x) indgår som en funktion af x og f(x). f’(x) = s(x,f(x)) Af en differentialligning af anden orden forstås da at den anden afledte f’’(x) af funktionen f(x) indgår. Her kan f’(x)også indgå i den funktion f’’(x) afhænger af. f’’(x) = s(x,f(x),f’(x)) I en tredje ordens differentialligning indgår den tredje afledte osv. En differentialligning defineres da som værende af orden efter den højest afledte.

Linieelementer

I løsningen af differentialligninger kan det være nyttigt at bruge linieelementer. En funktion f(x) vil gå igennem linieelementet (x ,f(x ); f’(x )), hvor x er 1.

koordinatet, f(x ) er 2. koordinatet og f’(x ) tangenthældningen i punktet (x ,f(x Et linieelement tegnes da i et koordinatsystem som et udsnit af tangenten i et vist punkt. Se figur 1.