SRO om frit fald med og uden luftmodstand

Side 1

SRO - fysik og matematik 20.12.10

Det frie fald - differentialligninger

Side 1 af 12

Indholdsfortegnelse

ABSTRACT .................................................................................................................................................................... 2 INDLEDNING ................................................................................................................................................................ 3 PROBLEMFORMULERING ....................................................................................................................................................... 3 INDLEDNING ....................................................................................................................................................................... 3 HOVEDAFSNIT ............................................................................................................................................................. 4 DIFFERENTIALLIGNINGER ....................................................................................................................................................... 4 LINEELEMENTER .................................................................................................................................................................. 4 EULERS METODE .................................................................................................................................................................. 5 STEPVÆRDI ................................................................................................................................................................... 6 DET FRIE FALD UDEN LUFTMODSTAND ...................................................................................................................................... 8 DET FRIE FALD MED LUFTMODSTAND........................................................................................................................................ 9 DET FRIE FALD MED OG UDEN LUFTMODSTAND UNDERSØGT EKSPERIMENTELT .................................................................................. 9 KONKLUSION ............................................................................................................................................................. 11 LITTERATURLISTE ....................................................................................................................................................... 12

Side 2

SRO - fysik og matematik 20.12.10

Det frie fald - differentialligninger

Side 2 af 12

Abstract

I have accounted for Euler’s method, how the step value influences the precision of Euler’s method and how Euler’s method can be used to solve the differential equations implied in the free fall respectively with and without air resistance. I have also studied the free fall with and without air resistance experimentally and compared these results with the belonging data determined through the use of Euler’s method on the free falls differential equations.

Euler’s method is a numerical method for solving differential equations. When given the differential quotient and a starting value we can estimate a solution curve by calculating new points on the curve that will follow the algorithm

x =x + x

n n-1

Δ

y =y_{n-1} +s(x_{n-1},y_{n-1}) ∙ x

n

Δ

It is proved that the accuracy of the method improves when the step value x is reduced. Expressed Δ mathematically 𝑑𝑦 𝑑𝑥

→^{Δ𝑦}_{Δ𝑥} 𝑤ℎ𝑒𝑛 ℎ →0

This method can be used to solve the differential equations implied in the free fall. Looking at the free fall

without air resistance we have a constant acceleration g. As the initial velocity v
                                                                 0

is known to be zero

Euler’s method can be used to calculate an estimation of the velocity at any time.

v =v +a∙ t

n n-1

Δ

And knowing the velocity the position can be calculated using Euler’s method.

s =s_{n-1} +v_{n-1} ∙ t

n

Δ

The same procedure can be used when solving the differential equations in the free fall with air resistance.

In this case the acceleration is a variable. It is expressed as

a=g- ∙v

𝑘 𝑚

Knowing this the velocity can be estimated at any time.

v =v_{n-1} +a_{n-1} ∙ t

n

Δ

The acceleration a_{n} at this point of time can be calculated by
a = g-_{𝑚}^{𝑘} ∙v_{n}

n

Knowing the velocity at any time the position can be calculated.

s =s_{n-1} +v_{n-1} ∙ t

n

Δ

Experimental data of the free fall with and without air resistance has been gathered. These data have been compared to data calculated through the use of Euler’s method on the above algorithms. It was found that the data calculated through Euler’s method match the experimental data with good approximation.

Side 3

SRO - fysik og matematik 20.12.10

Det frie fald - differentialligninger

Side 3 af 12

PROBLEMFORMULERING SRO Fysik og Matematik 2b dec. 2010

Frit fald uden og med luftmodstand

Studieretningsopgave i fysik og matematik til 2b

1. Gør kort rede for, hvad der forstås ved en differentialligning af 1. hhv. 2. orden. I redegørelsen skal begrebet linjeelement forklares, og der skal gives et eksempel på beregning af ligningen for en tangent til løsningskurven ud fra punktets koordinater og differentialligningen.

2. Gør rede for Eulers metode til numerisk løsning af en differentialligning af 1. orden. Redegørelsen skal omfatte et eksempel efter eget valg i det uddelte materiale. Ligningen skal løses i et regneark. Den anvendte algoritme skal forklares ved at beregningen af de 3 første datapunkter indskrives i detaljer og samles i en tabel. Grafen samt de første 10 datapunkter indsættes i teksten.

3. Forklar betydningen af stepværdien ved at foretage flere gennemløb af modellen med forskellige værdier af stepværdien og for hver stepværdi udarbejde en graf.

4. Benyt Newtons 2. lov til at opstille en model for bevægelsen i det frie fald uden luftmodstand og udled bevægelsesligningerne for det frie fald uden luftmodstand.

5. Benyt Newtons 2. lov til at opstille en model for bevægelsen i det frie fald med luftmodstand.

6. Undersøg eksperimentelt det frie fald uden og med luftmodstand.

7. Gør rede for, hvorledes Eulers metode kan benyttes til løsning af de 2 differentialligninger, der indgår i det lodrette fald med og uden luftmodstand.

Indledning

Jeg vil i min besvarelse af opgaven redegøre for begreberne ’differentialligning’, ’linieelement’ og ’Eulers metode’ og vise hvordan disse kan benyttes i bestemmelsen af en differentiallignings løsningskurve. Jeg vil også undersøge hvilken betydning værdien af stepværdien har for Eulers metode ved at afprøve tre forskellige stepværdier på samme differentialligning og sammenligne dem grafisk. Desuden vil jeg redegøre for det frie fald med og uden luftmodstand, opstille en model for disse, herunder bevægelsesligningerne, med udgangspunkt i Newtons 2. lov, og redegøre for hvordan Eulers metode kan bruges til at løse de differentialligninger der indgår i det frie fald. Jeg vil også undersøge det frie fald med og uden luftmodstand eksperimentelt og grafisk sammenligne resultaterne fra disse forsøg med de tilhørende værdier som kan bestemmes numerisk ved hjælp af Eulers metode.

Henvisninger til anvendt litteratur vil undervejs findes som fodnoter.

Side 4

SRO - fysik og matematik 20.12.10

Det frie fald - differentialligninger

Side 4 af 12

Differentialligninger

Ved en differentialligning forstås en ligning, hvori der indgår en eller flere afledte funktioner f’(x), f’’(x), … af en funktion f(x) og evt. også funktionen f(x). Den ukendte i denne ligning vil da være funktionen f(x). Enhver funktion der opfylder differentialligningen kaldes en partiel løsning og dens graf kaldes en løsningskurve eller en integralkurve og samtlige løsninger kaldes under ét den fuldstændige løsning.

                                                               1
Løsningskurver skal være defineret i intervaller og desuden være kontinuerte.

                                                              x
Et eksempel på en differentialligning kan da være f’(x)=f(x) hvor funktionen e vil være en partiel løsning.

Da der kan indgå forskellige afledte funktioner skelner man mellem differentialligninger af forskellige ordener. Af en differentialligning af 1. orden forstås en differentialligning hvori den først afledte f’(x) af en funktion f(x) indgår som en funktion af x og f(x).

f’(x) = s(x,f(x))

Af en differentialligning af anden orden forstås da at den anden afledte f’’(x) af funktionen f(x) indgår. Her kan f’(x)også indgå i den funktion f’’(x) afhænger af.

f’’(x) = s(x,f(x),f’(x))

I en tredje ordens differentialligning indgår den tredje afledte osv. En differentialligning defineres da som værende af orden efter den højest afledte.

Linieelementer^{2}

I løsningen af differentialligninger kan det være nyttigt at bruge linieelementer.

En funktion f(x) vil gå igennem linieelementet (x ,f(x ); f’(x )), hvor x er 1.
                                       0  0    0       0

koordinatet, f(x ) er 2. koordinatet og f’(x ) tangenthældningen i punktet (x ,f(x )).
             0                   0                           0  0

Et linieelement tegnes da i et koordinatsystem som et udsnit af tangenten i et vist punkt. Se figur 1. Vi kan da få en fornemmelse af hvordan en partiel løsning vil kunne se ud, når vi har indtegnet en stor mængde linieelementer.

                        2
Differentialligningen f’(x)=y+x hvor løsningskurven går gennem (2,3) betragtes. Vi

kan da finde f’(2) ved at indsætte i forskriften for f’(x).

f’(2)=3+2

2

f’(2)=7

Punktet (2,3) på løsningskurven vil altså have tangenthældningen 7.

Vi har da et linieelement til f(x) i dette punkt:

(2,3;7)

Ud fra dette kan vi bestemme tangentligningen for tangenten der har sit røringspunkt til løsningskurven i

(2,3). Vi indsætter i forskriften for tangentligningen:

y = f’(x)(x-x_{0})+f(x_{0})

0

y=7(x-2)+3

1

Fra MAT A3, Systime 2007, Carstensen m. fl.

2

Principper fra MAT A3, Systime 2007, Carstensen m. fl. er anvendt

Figur 1: Linieelementer

Side 5

SRO - fysik og matematik 20.12.10

Det frie fald - differentialligninger

Side 5 af 12

y=7x-11

                                       2
Løsningskurven til differentialligningen f’(x)=y+x har altså tangenten y=7x-11 i røringspunktet (2,3).

Eulers Metode^{3}

Eulers metode er en numerisk løsning af differentialligninger. Ved brug af Eulers metode kan man bestemme en kurve der med god tilnærmelse er ens med løsningskurven for differentialligningen

f’(x)=s(x,f(x)) hvis man kender et punkt (x ,f(x )) på løsningskurven, da
                                 0  0

man kender tangenthældningen i et hvert punkt.

Hvis man tegner tangenten til det kendte punkt (x_{0},f(x_{0})) vil den med

god tilnærmelse lægge sig i den løsningskurve man ønsker at bestemme. Man bruger da: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

≈^{Δ𝑦}_{Δ𝑥}

Man kan da tage et nyt punkt som ligger på tangenten og derfor også med

god tilnærmelse på løsningskurven. Dette punkt kalder vi (x ,y ), hvor
                                                1 1

x =x_{0} + x

1

Δ

y =f(x_{0})+ s(x_{0},f(x_{0}))∙ x

1

Δ

Når steplængden x mindskes vil punktet y_{1} komme tættere på det rigtige punkt på løsningskurven f(x_{1}). Da

Δ

vi også kender hældningen i (x_{1},y_{1}) kan vi bestemme et tredje punkt (x_{2},y_{2}), der også med tilnærmelse vil

ligge på grafen, hvor

x =x_{1} + x

2

Δ

y =y_{1} +s(x_{1},y_{1}) ∙ x

2

Δ

I dette punkt kan vi tegne en ny tangent og lave et nyt punkt der vil følge algoritmen:

x =x_{n-1} + x

n

Δ

y =y_{n-1} +s(x_{n-1},y_{n-1}) ∙ x

n

Δ

Vi kan da ved hjælp af denne metode med god tilnærmelse bestemme løsningskurven for differentialligningen og numerisk løse differentialligninger af 1. orden.

Eksempel af numerisk løsning af en differentialligning:

                        2
Differentialligningen f’(x)=y+x der går gennem punktet (7,4) betragtes. Steplængden x sættes til at være

Δ

0.25. Næste punkt bestemmes da ved:

x =x_{0} + x

1

Δ

⇔ x =7.25

1

y =y_{0} + (y_{0} +x_{0}^{2}) ∙ x

1

Δ

⇔ y =4+(4+7^{2}) ∙0.25

1

⇔ y =17.25

1

Vi har da et nyt punkt som med god tilnærmelse ligger på løsningskurven i (7.25,17.25).

Det tredje punkt bestemmes:

x =x_{1} + x

2

Δ

3

Principper fra ”Numerisk løsning af differentialligninger”, udleveret af lærer, er anvendt

Figur 2

Side 6

SRO - fysik og matematik 20.12.10

Det frie fald - differentialligninger

Side 6 af 12

0

200

400

600

3 7,75 57,44141 117,5039 800

2

0_{1} 7 4 53 Grafen bestemt vha. Eulers

metode

⇔ x =7.5

2

y = y_{1} + (y_{1} +x_{1}^{2}) ∙ x

2

Δ

⇔ y          =17.25+(17.25+7.25 ) ∙0.25
                              2

2

⇔ y =34.7

2

Vi har da også et punkt (7.5,34.7) der med god tilnærmelse ligger på løsningskurven. Endnu et punkt bestemmes:

x =x_{2} + x

3

Δ

⇔ x =7.75

3

y = y_{2} + (y_{2} +x_{2}^{2}) ∙ x

3

Δ

                          2
⇔ y          =34.7+(34.7+7.5 ) ∙0.25

3

⇔ y =54.4

3

Punktet er da (7.75,54.4).

De første ti punkter fundet vha. Eulers metode når stepværdien er 0.25:

Eulers metode vil give forskellige løsninger alt efter hvor stor en stepværdi man bruger. For at se hvad der

                                                         2
sker når stepværdien ændres, betragtes differentialligningen f’(x)=y+x igen. For at sammenligne graferne

fundet ved Eulers metode med den rigtige graf løses differentialligningen i maple:

>

Dennes graf er herunder indtegnet sammen med punkter bestemt ved Eulers metode med forskellig stepværdi, hvor y er løsningskurven og f’erne er punkterne bestemt ved Eulers metode. De tilhørende dataserier kan ses på bilag 1.

n x y y'

7,25 17,25 69,8125

2 7,5 34,70313 90,95313

4 8 86,81738 150,8174

5 | 8,25 | 124,5217 | 192,5842

6 8,5 172,6678 244,9178

7 | 8,75 | 233,8972 | 310,4597

8 9 311,5122 392,5122

9 | 9,25 | 409,6402 | 495,2027

10 9,5 533,4409 623,6909

11 9,75 689,3636 784,4261 x y

Side 7

SRO - fysik og matematik 20.12.10

Det frie fald - differentialligninger

Side 7 af 12

0

2000

4000

6000 y 8000

10000

12000

14000

16000

18000

0 5 10 15 x y f1

Stepværdi på 0.01:

Stepværdi på 0.1:

Stepværdi på 0.25:

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

0 5 10 15 y f2 x y

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

0 5 10 15 y f3 x y

Side 8

SRO - fysik og matematik 20.12.10

Det frie fald - differentialligninger

Side 8 af 12

Vi kan se at der for alle stepværdierne er en vis fejl. Det ses af graferne at når h er mindst ligger punkterne fundet ved Eulers metode tættest på løsningskurven og fejlen er minimal. Da kan bestemmes at stepværdien har inflydelse på Eulers metodes præcision. Når stepværdien mindskes går punkterne fundet ved Eulers metode tættere på løsningskurven. Dette kan udtrykkes ved: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

→^{Δ𝑦}_{Δ𝑥} 𝑛å𝑟 ℎ → 0

Det frie fald uden luftmodstand^{4}

Newtons 2. lov(kraftloven):

”En resulterende kraft er lig ændringen i et legemes impuls.”

Et legeme påvirkes altså med en kraft som er lig summen af alle de kræfter den påvirkes af. Denne kraft kan udtrykkes ved:

F =m∙a

res

,hvor m er legemets masse og a legemets acceleration.

Hvis der ses på det frie fald ved vi desuden at tyngdekraften kan udtrykkes ved(der regnes positivt nedad):

F =m∙g

tyngde

                                      2
, hvor g er tyngdeaccelerationen og lig 9.82m/s .

Da vi ikke regner med luftmodstand vil tyngdekraften være den eneste kraft der påvirker legemet og derfor være lig den resulterende kraft.

F =F_{res}

tyngde

⇔ m∙g=m∙a
⇔ g=a

Der vil altså gælde for det frie fald uden luftmodstand at legemets acceleration vil være lig tyngdeaccelerationen. Vi kan altså stille den første bevægelsesligning for det frie fald uden luftmodstand op.

a(t)=g

Der må da også gælde

v(t)=g∙t+v,da v’(t)=(g∙t+v_{0})‘=g

0

Da der regnes på det frie fald vil starthastigheden v
                                         0

være 0. Da kan opstilles den anden bevægelsesligning for det frie fald uden luftmodstand.

v(t)=g∙t

Denne integreres for at finde den sidste bevægelsesligning.

                              1
                2                 2
s(t)=         ∙g∙t +s ,da s’(t)=( ∙g∙t +s )‘=g∙t
                   0                0
                              2

1

2

Vi har da de tre bevægelsesligninger for det frie fald uden luftmodstand.

a(t)=g
v(t)=g∙t
s(t)= ∙g∙t^{2} +s_{0}

1

2

4

Principper fra OrbitBA, 2. udgave, Brydensholt m.fl., Systime 2011 er anvendt

Side 9

SRO - fysik og matematik 20.12.10

Det frie fald - differentialligninger

Side 9 af 12

Det frie fald med luftmodstand^{5}

Den resulterende kraft betragtes igen.

F =m∙a

res

Den må i dette tilfælde afhænge af to faktorer; tyngdekraften og luftmodstanden. De kan udtrykkes ved:

F =m∙g

tyngde

F =-k∙v^{2} (ikke en naturlov men en estimering)

luft

, hvor k er en konstant der afhænger af legemets geometriske opbygning. Luftmodstanden regnes som værende negativ da dens vektor er modsatrettet tyngdekraftens vektor.

Den resulterende kraft vil da være:

F =F_{tyngde} +F_{luft}

res

⇔ m∙a=m∙g-k∙v

2

⇔ a=g- ∙v^{2}

𝑘 𝑚

Accelerationen er altså ikke konstant når der er luftmodstand. Den afhænger af øjeblikshastigheden. Den

maksimale hastighed 𝑣_{∞} legemet kan falde ved kan også bestemmes. Hvis hastigheden er konstant vil

accelerationen være 0. Dette indsættes i udtrykket for a.

0= g- ∙ 𝑣_{∞}^{2}

𝑘 𝑚

⇔ 𝑣 = √^{𝑔∙𝑚}_{𝑘}
∞

Det frie fald med/uden luftmodstand undersøgt eksperimentelt

Først blev det frie fald uden luftmodstand undersøgt. En basketbolds fald blev filmet og senere tracket så vi vidste hvor bolden var på et hvert tidspunkt. Der regnes uden den minimale luftmodstand der er. Da kunne hastigheden bestemmes i et hvert punkt. Dataserien fra forsøget er vedlagt på bilag 2.

Vi kan udregne den teoretiske hastighed i et hvert punkt da vi kender accelerationen. Der regnes positivt nedad.

a=g=9.82m/s

2

Da vi snakker det frie fald må v_{0} være 0. Vi kan da ved Eulers metode finde en ny teoretisk hastighed v_{1} ved
v =v_{0} +a∙ t

1

Δ

Og ligeledes

v =v_{1} +a∙ t

2

Δ

v =v_{n-1} +a∙ t

n

Δ

Da vi har fundet den teoretiske hastighed i et hvert punkt kan vi også bestemme hvor bolden teoretisk vil

være i forhold til nulpunktet. Der regnes med s_{0} =0.
s =s_{0} +v_{0} ∙ t

1

Δ

Og ligeledes

s =s_{1} +v_{1} ∙ t

2

Δ

s =s_{n-1} +v_{n-1} ∙ t

n

Δ

5

Principper fra Orbit 3 s.66-68 er anvendt

Side 10

SRO - fysik og matematik 20.12.10

Det frie fald - differentialligninger

Side 10 af 12

0,000 | 0,000
1,000 | 2,000
2,000 | 4,000
3,000 | 6,000

4,000

5,000

0,000 0,500 1,000 0,000 0,500 1,000

x/m vx/m/s

Euler Euler

8,000

10,000

De numerisk udledte hastigheder og steder er vedlagt bilag 2. De målte data fra forsøget er plottet ind herunder sammen med de numerisk bestemte data.

De numerisk udledte løsningskurver er med god tilnærmelse lig de eksperimentelt udledte løsningskurver.

Det er da bevist at basketbolden falder med accelerationen g og derfor med god tilnærmelse følger tyngdeloven for det frie fald uden luftmodstand.

Det frie fald med luftmodstand undersøgtes da ved at se på en kageforms(muffinforms) fald. Det blev filmet og tracket så kageformens bevægelse var kortlagt og dens hastighed i et hvert punkt var kendt.

Kageformens masse var bestemt til at være 0.939 g ved at veje ti forme og dele med ti. Dennes dataserier findes på bilag 3.

Man kan ved hjælp af Eulers metode numerisk udlede hastigheden for kageformen samt hvor den da vil være. Accelerationen vil afhænge af

a=g- ∙v

𝑘 𝑚

Da genstanden er meget lille regnes luftmodstanden som værende

F = - 𝑘 ∙v

luft

I det sekund kageformen slippes må dens hastighed være nul og da må dens acceleration være 9,82 m/s_{2}.

Man kan da med god tilnærmelse bestemme hastigheden i det næste punkt

v =v_{0} +a_{0} ∙ t

1

Δ

Da kan accelerationen i dette punkt også bestemmes ved at indsætte v_{1} i forskriften for a.
a =g-_{𝑚}^{𝑘} ∙v_{1}

1

Da kan hastigheden og accelerationen i de næste punkter også bestemmes ifølge:

v =v_{n-1} +a_{n-1} ∙ t

n

Δ

a = g-_{𝑚}^{𝑘} ∙v_{n}

n

Hvis s_{0} sættes til at være nul og i det punkt hvor kageformen blev sluppet kan det bestemmes hvor den er

på et hvilket som helst tidspunkt da hastigheden er kendt til et hvert tidspunkt. s kan bestemmes ved
                                                                 1

s =s_{0} +v_{0} ∙ t

1

Δ

Et vilkårligt punkt vil da kunne bestemmes ved

s =s_{n-1} +v_{n-1} ∙ t

n

Δ

Værdier for a, v og s er bestemt i excel. Dataserien er vedlagt på bilag 3. Vi undersøgte da for hvilken k-værdi de teoretisk udledte (s,t) og (v,t) grafer passede bedst med de (s,t) og (v,t) grafer der var bestemt

eksperimentelt. Ved k=0.00255 kg/s lå den numerisk udledte graf med bedst tilnærmelse i den

s(t) v(t)

t/s t/s

s/m v/m/s

Side 11

SRO - fysik og matematik 20.12.10

Det frie fald - differentialligninger

Side 11 af 12

-0,500

0,000 t/s

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000 3,5

4,500

0,000 0,500 1,000 1,500

x/m vx/m/s v(t)

Euler Euler

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

4

0,000 0,500 1,000 1,500

eksperimentelt udledte. De eksperimentelt og numerisk udledte grafer for k=0.00255 kg/s er plottet ind

herunder.

De to grafer er med god tilnærmelse ens. Det er da bevist at kageformen med god tilnærmelse følger det

teoretiske frie fald med luftmodstand når dets k-værdi er 0.00255kg/s.

Konklusion

I opgaven har jeg gennemgået hvordan en differentialligning kan løses numerisk ved Eulers metode og hvordan man da kan bestemme løsningskurven til en differentialligning.

Jeg har bevist at Eulers metodes præcision afhænger af stepværdien. Jo mindre en stepværdi der anvendes jo større tilnærmelse vil grafen bestemt ved Eulers metode ligne løsningskurven.

Jeg har med udgangspunkt i Newtons 2. lov opstillet modeller for det frie fald hhv. med og uden luftmodstand. Jeg har desuden opstillet bevægelsesligningerne for det frie fald uden luftmodstand.

Jeg har undersøgt hvorvidt disse modeller er gyldige ved eksperimentelt at undersøge det frie fald med og uden luftmodstand. For at undersøge hvorvidt modellerne passer har jeg redegjort for hvordan Eulers metode kan benyttes til at løse de to differentialligninger der indgår i det lodrette fald med og uden luftmodstand og bestemt nogle numeriske data som er tilhørende de eksperimentelle data. Jeg har sammenlignet de eksperimentelle data med de numerisk udledte data grafisk.

Jeg har kunnet konkludere at mine eksperimentelle data med god tilnærmelse har passet med de data som er udledt numerisk ved hjælp af Eulers metode.

s/m v/m/s

s(t)

t/s

Side 12

SRO - fysik og matematik 20.12.10

Det frie fald - differentialligninger

Side 12 af 12

Litteraturliste

• MAT A3, Systime 2007, Carstensen m. fl.

• ”Numerisk løsning af differentialligninger”, udleveret af lærer

• OrbitBA, 2. udgave, Brydensholt m.fl., Systime 2011

• Orbit 3 s.66-68