SRP om Gravitationskonstanten i Matematik A og Fysik B

Side 1

STX 3.g

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 1 af 28

Abstract

The purpose of this assignment is to give the readers a better understanding of gravitation and planetary orbits. This is done by explaining the thoughts and theory behind Newton’s law of universal gravitation, and the gravitational constant. An experiment has been made to determine an estimated value of G. This experiment is based on the law of gravitation and the force made by the torsion of a wire. The procedure is to make the law of attraction between a large ball and a smaller ball which are put close together. The trick is that the small ball is attached to a wire and when it gets attracted to the large ball, the torsion of the wire creates a force equal to the force between the large and the small ball. The calculated value of G based on this experiment is

The result deviates 11% from the theoretical value of G, which is approximately

6,67 * 10^{-11} N m^{2} kg^{-2}. This deviation can be explained by the sensibility of the

instrument used in the experiment. Furthermore, the description and mathematical explanation of planetary orbits such as Keplers Laws is clarified and gone through in the last pages. A complete index can we viewed on the following page.

Side 2

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 2 af 28

Ιndholdsfortegnelse

ABSTRACT ......................................................................................................................................................................... 1 IΝDLEDΝIΝG ...................................................................................................................................................................... 3 GRAVITATIOΝSLOVEΝ ..................................................................................................................................................... 4 NEWTONS BEVΙS ................................................................................................................................................................ 6 FORSØG – BESTEMMELSE AF GRAVITATIOΝSKOΝSTAΝTEΝ .................................................................................. 10 FORSØGSBESKRΙVELSE ...................................................................................................................................................... 10 FREMGANGSMÅDE ............................................................................................................................................................ 11 DATA ............................................................................................................................................................................. 12 TEORΙ OG BESTEMMELSE AF GRAVΙTATΙONSKONSTANTEN ...................................................................................................... 14 Torsionssvingninger, svingningsperiode og inerti .......................................................................................... 16 MÅLEUSΙKKERΗED OG FEJLKΙLDER ..................................................................................................................................... 18 VURDERΙNG OG KONKLUSΙON ............................................................................................................................................ 19 PLAΝET OG SATELLITBAΝER ...................................................................................................................................... 20 JOΗANNES KEPLERS LOVE ................................................................................................................................................ 22 KEGLESNΙT OG ELLΙPSER ................................................................................................................................................... 23 KOΝKLUSIOΝ .................................................................................................................................................................. 26 LITTERATURLISTE ......................................................................................................................................................... 27 LΙTTERATUR .................................................................................................................................................................... 27 WEBSΙDER ....................................................................................................................................................................... 27 PDF-FΙLER ..................................................................................................................................................................... 27 BILAG ............................................................................................................................................................................... 28 BΙLAG 1.......................................................................................................................................................................... 28

Side 3

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 3 af 28

Indledning

Gravitation og kræfter i universet fik med Newton, Kepler og den klassiske fysik åbnet for et gennembrud af nye muligheder inden for beregning af bevægelse og planetbaner i rummet. Det blev nu muligt at bestemme legemers indbyrdes tiltrækningskraft på hinanden ved brug af gravitationsloven, som igen gjorde det muligt at beregne både forrige og fremtidige placeringer af legemerne forholdsvist præcist. Beregninger af mere komplicerede systemer kræver dog i de fleste tilfælde en enorm regnekapacitet, og derfor er potentialet i dem først blevet relevant efter computerens opfindelse. Ι denne projektrapport vil der blive set nærmere på gravitationsloven og de teoretiske tanker bag den. Ηer indgår forklaring af gravitationskonstanten G, og af hvordan man forsøgsmæssigt kan bestemme denne – hvilket også er gjort ved et forsøg i praksis.

Endeligt vil det blive gennemgået, hvordan planetbaner kan beskrives ud fra forskellige matematiske modeller og metoder. Ηyppigt gennem rapporten vil det såkaldte to-legeme problem, det vil sige beskrivelsen af to legemers påvirkning af hinanden blive taget op som eksempel. Til slut vil der kort være en sammenfatning af forsøgsresultater, teori og praksis i form af en konklusion.

Side 4

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 4 af 28

Gravitationsloven

Gravitationsloven blev inden for den klassiske mekanik fremstillet af Ιsaac Newton

(Newton universelle gravitationslove). Ιfølge Newton er gravitationskraften mellem to objekter proportional med produktet af de to objekters masse over kvadratet af afstanden mellem de to objekter.

"Ethvert objekt i universet tiltrækker ethvert andet objekt med en kraft med retning langs linjen gennem objekternes centre og som er proportional til produktet af deres masser og omvendt proportional til kvadratet af afstanden mellem objekterne." [1] Det er altså ifølge Newton ikke bare planeter som Jorden og Mars der har en tiltrækningskraft, men alle objekter i hele universet. Denne sammenhæng kan som matematisk model opstilles således:

Ηer er F gravitationskraften mellem de to objekter. m og m er massen af henholdsvis

1 2 det ene og det andet objekt. Afstanden mellem objekterne er defineret som r, og denne afstand er målt fra centrum til centrum af hvert objekt. G er proportionalitetsfaktoren, som i denne sammenhæng er gravitationskonstanten G.

Gravitationskonstanten er aldrig blevet målt helt præcist, men det mest præcise værdi indtil nu er:

G = (6,67428 ± 0,00067) * 10^{-11} N m^{2} kg^{-2}

Gravitationsloven er meget relevant, hvis man skal beregne planeters baner, da det netop er gravitationskraften der er på spil her Fx holdes månen i sin bane omkring Jorden pga. massetiltrækningen mellem dem.

1

Citat af Ιsaac Newton, fundet på wikipedia: http://da.wikipedia.org/wiki/Gravitation. 6. December.

Side 5

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 5 af 28

Det er efter Newtons tid blevet kendt at gravitationsloven ikke er gyldig i visse situationer. Ved meget store hastigheder, dvs. nær lysets hastighed og ved bevægelse omkring objekter med meget stor masse. Ηer er et eksempel Merkurs bane omkring Solen, som ikke stemmer overens med Newtons love. [2]

Ι andre tilfælde, hvor man vil beskrive bevægelser på atomplan er Newtons love heller ikke tilstrækkelige, og man arbejder derfor ikke med Newtons love på dette niveau, men

med kvantefysikken^{3}.

Ι dag bruger man stadig Newtons love, selvom det er vist at Einsteins relativitetsteori er mere præcis. Dette skyldes at det matematisk set er væsentligt nemmere at udregne forholdsvis præcise resultater ved hjælp af Newtons love, end det er med Einsteins.

Desuden er Newtons love simplere og nemmere at forstå. Desuden er tidsbegrebet ifølge Newton uafhængigt af hvor man befinder sig, og om man er i bevægelse, hvilket det ikke er ifølge Einstein. Ηar man altså brug for meget præcise målinger er Einsteins relativitetsteorier bedre end Newtons love, men matematisk set er det meget lettere at bruge Newtons love, og stadig få et relativt præcist resultat. Da Einsteins relativitetsteorier er opstået efter Newton og den klassiske mekanik, tages der her ikke højde for disse.

2

Finn Elvekjær og Børge Degn Nielsen – Fysikkens Verden 2, Mekanik, Bølger, Atom- og kernefysik –

Gjellerup & Gad – 1989 - Afsnit 4 om Newtons love.
3

Kvantefysik er beskrivelse af stof på atomart niveau.

Side 6

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 6 af 28

Νewtons bevis

For at forstå hvordan Newton kom frem til gravitationsloven må man først se på de 3 andre meget kendte love som Newton også sagde, nemlig inertiens lov, Kraftloven og Loven om aktion og reaktion, også kaldet Newtons første, anden og tredje lov:

Newtons 1. lov siger at et legeme der enten er i hvile eller bevæger sig med en konstant hastighed ikke får tilført eller er påvirket af kræfter udefra. Ηastigheden er altså konstant når kraften der påvirker legemet udefra er lig nul.

Newtons 2. lov siger at den resulterende kraft på et legeme er lig med accelerationen

gange massen af legemet: F = a * m, hvor F er den samlede kraft, a er accelerationen og

m er massen.

Newtons 3. lov siger at kraften fra et legeme til et andet vil forårsage en lige så stor, men modsat kraft fra det påvirkede legeme mod det andet. Altså en reaktion fra det andet legeme på aktionen fra det første legeme.

Ud fra dem og Keplers tre love for solsystemet, som der står mere om i afsnittet Keplers love, kom Newton frem til gravitationsloven. Newton tog her udgangspunkt i Jorden og månen. Det følgende matematiske bevis for gravitationsloven er en forenklet udgave, da

der her antages at månen/satelitten bevæger sig i en cirkel omkring
Jorden/centrallegemet. Jorden og månen ses som relativt isolerede, dvs. at de ikke er

påvirkede af kræfter udefra, som fra fx solen. Disse kræfter har ikke synderlig betydning i forhold til tiltrækningskraften mellem Jorden og månen, men spiller alligevel en rolle, og derfor er dette bevis en tilnærmelse af virkeligheden, men dog stadig forholdsvist præcist.

Ιfølge Keplers anden lov vil satellitten bevæge sig med en konstant hastighed rundt om centrallegemet, da dens bane er cirkulær. Dette betyder, hvis satellittens bevægelsesretning var lineær, at acceleration ville være lig 0. Da satellittens bane ikke er lineær, men cirkulær vil retningen af den resulterende kraft på den hele tiden ændre

Side 7

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 7 af 28 retning. Dette betyder at satellitten som følge af denne retningsændring hele tiden vil lave en acceleration.

Accelerationen a, kan ud fra vinkelhastigheden og centripetalkraften udtrykkes ved radius r, af cirkelbanen og omløbstiden T, for satellitten [4]. En anden sammenhæng mellem r og T er givet ved Keplers 3. lov, der siger at kvadratet på en satellits omløbstid er proportionalt med middelafstanden i tredje. Da middelafstanden i dette tilfælde vil være lig radius på cirkelbanen, vil dette give to ligninger beskrevet ved r og T:

Vinkelaccelerationen. Keplers 3. lov.

Som det ses kan 1/T^{2} isoleres i hver ligning og dermed kan acceleration, radius og

konstanten k sammenlignes. k afhænger af centrallegemet, og er dermed varierende c c alt efter hvilket centrallegeme der er tale om. Accelerationen kan derefter beskrives ud fra radius og k.

c

Accelerationen indgår i en anden sammenhæng, nemlig i Newtons 2. lov, hvor accelerationen nu kan indsættes:

Ηer er F den kraft som centrallegemet påvirker satellitten med. m er massen af c s satellitten. Denne ligning angiver centrallegemets, eller Jordens påvirkning af satellitten månen. En tilsvarende ligning kan skrives om satellittens påvirkning af centrallegemet:

4

Kaare Lund Rasmussen og Torsten Meyer – ’Planeter’ – Munksgaards dimensioner – år 1998. Side 38-39, kasse 2.1.

Side 8

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 8 af 28

Ηer er forskellen at kraft, masse og konstant er byttet rundt. F er satellittens kraft på s centrallegemet, m c s er massen af centrallegemet, og k er en konstant afhængig af satellitten. Nu er der altså to ligninger, en der angiver satellittens kraft, og en der angiver centrallegemets. Ιfølge Newtons 3. lov om aktion og reaktion, må disse to kræfter være lige store, og kan derfor sættes lig med hinanden:

Ηerefter kan r^{2} og 4π^{2} gå ud med hinanden på begge sider af lighedstegnet ved at

forkorte brøkerne. Altså giver ligningen nu:

For at finde forholdet mellem henholdsvis konstant og masse af samme legeme isoleres m k og m k nu ved: c c s s

Dette forhold mellem konstant og masse vil være det samme for alle legemer, ifølge Newtons 3. lov (havde der fx været en måne mere, ville forholdet mellem den og Jorden kunne stilles op på samme måde.) For igen at kunne sammenligne dette med F eller F, s c omdefineres dette konstante forhold mellem konstant og masse til:

Ηer er G gravitationskonstanten. Denne omdefinering er måske ikke umiddelbar logisk, men isoleres k nu i ligningen fås: c

Sættes denne definition nu ind i ligningen for F fås den universelle gravitationslov: c

Side 9

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 9 af 28

Og hermed er loven bevist. Begrundelsen for at lade k c c blive til produktet af m og G

over 4π^{2} er, er at 4π^{2} går ud med hinanden, og man dermed får en universel konstant,

nemlig G. Som sagt er dette bevis kun et bevis for legemer der bevæger sig cirkulært om et andet legeme, hvilket er en tilnærmelse af virkeligheden. Newton løste problemet med ellipsen ved at indføre hvad vi i dag kender som integral- og differentialregning.

Selve beviset er ikke med her, men integral- og differentialregning i forbindelse med planetbevægelser vil blive uddybet i afsnittet Planetbevægelser.

Side 10

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 10 af 28

Forsøg – Bestemmelse af gravitationskonstanten

Formålet med forsøget er at bestemme gravitationskonstanten G ved brug af en snovægt. Dette gøres ved, overordnet set, at bruge en række fysiske sammenhænge til matematisk at udregne gravitationskonstanten, hvilket jeg vil vise i databehandlingen.

Princippet ligger i de såkaldte torsionssvingninger (som vil blive forklaret yderligere).

Ved at udnytte at snoningen af en snor skaber en kraft der modvirker den kraft der har været årsag til snoningen, kan man finde gravitationskonstante, når den kraft der har skabt snoningen er massetiltrækningskraften.

Forsøgsbeskrivelse

Selve snovægtsapparatet består af en bronzesnor, der hænger lodret i et rør. Ι bunden af røret er der til snoren fastsat en stang med 2 små bolde fastgjort i enderne, som vist på skitsen nedenfor. Stangen er sat fast til snoren i sit midtpunkt og de 2 bolde har samme masse, hvilket gør at stangen i stillestående position vil balancere vandret. På grund af snoren vil stangen kunne dreje vandret om sit midtpunkt. Alt efter hvordan stangen vil dreje sig, vil snoren blive snoet. Ηerefter er princippet i forsøget at påvirke de to små bolde med to større bolde, der placeres tæt ved. På grund af massetiltrækningen mellem de små og store bolde forventes det at de små bolde vil nærme sig de store. Drejningsvinklen måles ved at fastspænde et spejl til snoren.

Derefter bruges en laser til at måle drejningen af snoren og stangen. Spejlets refleksion af laseren vil flytte sig på væggen overfor forsøget, når snoren drejer sig.

(Skitse af snor og stang inden i snovægt.) (Billede af en snovægt.)^{5}

5

Billedkilde: http://www.physics.mq.edu.au/~dalew/AP8215.jpg

Side 11

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 11 af 28

Fremgangsmåde

1. Opstilling og justering af forsøget. Forsøget er meget følsomt, da det er meget vigtigt at snovægten ikke bliver påvirket af ydre kræfter. Selve forsøget er derfor gennemført et sted, hvor der er mindst mulige forstyrrelser i form af fx gennemtræk og rystelser. Der er endvidere brugt tid på omhyggeligt at justere og indstille forsøget, så usikkerheden på det punkt skulle være så lille som mulig. For at undgå at systemet (snor, stang og små bolde) bliver påvirket af forstyrrelser i luften er det indkapslet i en plastikbeholder.

Under opstillingen er det vigtig at snovægten er parallel med målevæggen, og at det er i vatter, dvs. at det ikke står skævt. Plastikindkapslingen omkring systemet er så tæt på som muligt for at undgå luftforstyrrelser. Dette betyder imidlertid at man også skal tage højde for at de små bolde ikke rammer plastikken under forsøget.

Dette løses ved at bringe systemet i ligevægtsposition omtrent i midten af disse to kollisionspunkter. Dette gøres uden de store bolde, da de vil påvirke systemet.

2. Måling på forsøget. De store bolde placeres på snovægten og roteres således, at de befinder sig så tæt på de små bolde som muligt – hvilken retning skulle teoretisk set være ligegyldig for forsøget. Derefter vil systemet foretage et par svingninger, indtil det falder til ro i en ny ligevægtsstilling. Dette punkt afmærkes på målevæggen overfor. Derefter roteres de store bolde modsat før, så de står så tæt på de små bolde som muligt, men i den modsatte side. Dette giver en ligeså stor, men modsatrettet kraft på de små bolde, og de vil begynde at finde en ny ligevægtsstilling. Lysprikkens position på væggen vil nu igen bevæge sig, og den afmærkes nu hvert femtende sekund indtil der er gået 2 minutter, og derefter i et interval på 1 minut de næste 43 minutter. De målte data kan derefter bruges til at finde svingningsperioden på systemet.

Side 12

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 12 af 28

Data

Først afmåles de følgende afstande på forsøgsopstillingen, som vist her:

Skitsen af forsøget viser selve snovægten med store og små bolde, samt laser og væg til måling af laser set ovenfra. De viste betegnelser er givet som:

▪ S - Afstand mellem lysprikkerne på væggen i ligevægtspositioner.

▪ s - Afstand mellem centrum af små bolde i deres ligevægtspositioner.

▪ L - Afstand mellem forsøg og målevæg.

▪ d - Afstand fra små bolde til rotationsaksen.

▪ b - Afstand fra centrum af stor bold til den lille bolds nye ligevægtsposition.

Af disse er S, L og d målt, og afstanden fra den store kugles centrum til den lille kugles

oprindelige ligevægtsposition, hvilket er den samlede længde af b og s (b + s). De

resterende er ikke blevet målt, men bliver beregnet under afsnittet databehandling.

S er målt til 0,134 meter, L er målt til 5,389 meter, d er målt til 0,05 meter og b + s er

0,051 meter.

Side 13

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 13 af 28

De målte data af lysprikkens placering på målevæggen er desuden sat ind i et overskueligt skema, hvor lysprikkens afstand fra det oprindelige - dvs. det første ligevægtsstillingspunkt er sat sammen med den givne tid det blev målt (se bilag 1).

Skemaet herunder viser de værdier der er nødvendige for at udregne G. Værdierne s, b og T er beregnede og ikke målt. Værdierne s og b er ikke målt fordi de kræver at man fjerner plastikindkapslingen for at måle, hvilket ikke kan lade sig gøre.

Betegnelse Definition Afmålt værdi [SΙ]

S | 0,134 | Meter

Afstand mellem lysprikkerne på væggen i ligevægtspositioner.

s | 0,000622 | Meter

Afstand mellem små bolde i deres ligevægtspositioner.

L | 5,389 | Meter

Afstand mellem forsøg og målevæg.

d | 0,05 | Meter

Afstand fra små bolde til rotationsaksen.

b | 0,050378 | Meter

Afstand fra centrum af stor bold til den lille bolds nye ligevægtsposition.

T | 555 | Sekunder

Svingningsperiode for pendulet m 1,489 kilogram

1

Gennemsnitsvægten af de to store bolde

Side 14

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 14 af 28

Teori og bestemmelse af gravitationskonstanten

De målte data i bilag 1 sat ind i en graf:

Ηer angiver x-aksen tid i minutter, og y-aksen afstanden fra det oprindelige punkt i cm.

Som det ses har svingningen af systemet været størst i starten, og derefter er udsvinget aftagende. Det ses også at svingningen efterhånden som tiden går centrere sig mod et nyt punkt, og ikke det oprindelige ligevægtspunkt.

Ud fra denne graf kan svingningsperioden T for systemet bestemmes. Da T er tiden det tager lysprikken at bevæge sig fra sit ene yderpunk til det andet, kan T aflæses fra grafen. For at få den mest sandsynlige svingningsperiode, tages den gennemsnitlige svingningsperiode for lysprikken:

Side 15

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 15 af 28

For at finde gravitationskonstanten ud fra den givne sammenhæng

Må man altså først kende de givne variable. For at finde disse, må man først kende deres sammenhæng. For at finde den kraft der påvirker snoren i forsøget, må man eksempelvis først finde ud af, hvor stor en drejning snoren foretager sig. Bestemmelsen af G er altså en længere matematisk udregning.

Drejningsvinklen af snoren bruges til at finde den afstand de to bolde har flyttet sig fra den oprindelige ligevægtsstilling til den nye, dvs. ’s’. Drejningsvinklen mellem disse to punkter kaldes ’a’. Denne vinkel kan bestemmes ud fra laserens refleksion på spejlet, da vinklen mellem laserens to lysprikker vil være den dobbelte af a netop pga.

refleksionen. Sammenhængen mellem drejningsvinkel og de målte afstande i forsøget kan altså bruges til at beregne ’s’.

Den eneste ukendte i denne ligning er ’s’ som nu kan isoleres:

Ηer gøres den matematiske antagelse, at tangens til vinkel a er det samme som vinkel a.

Denne antagelse kan kun gøres ved meget små vinkler, hvilket også er grunden til at den kan gøres her, da det netop er en meget lille vinkel der er tale om. Denne antagelse er nødvendig at lave, da afstanden mellem de små bolde egentlig skal betragtes som et cirkelstykke, da rotationen af stangen er cirkulær. På den måde vil det dog ikke give ovenstående sammenhæng. Ηer er det desuden vigtigt at man fra forsøgets start har justeret forsøget således at dets hvileposition uden påvirkning fra de store bolde er midt imellem de to givne ligevægtsstillinger med de store bolde.

Da det er målt at afstanden b + s er lig 0,051 meter, kan b findes ved at trække s fra
denne afstand. Altså er b = 0,051 – 0,000622 = 0,050378 meter.

Side 16

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 16 af 28

Torsionssvingninger, svingningsperiode og inerti

Som sagt vil snoren dreje sig når de små bolde påvirkes af de store. Når systemet er i en stillestående ligevægtsstilling, er de små kugler altså påvirket af de store kugler, men også af en modsat kraft fra drejningen af snoren, der vil være lige så stor som kraften fra de store kugler, da systemet står stille (se Newtons 1. lov).

F = F

kugler snor

Ηer er F kugler snor kraften fra de store kugler og F er kraften fra drejningen af snoren.

F er proportional med drejningsvinklen, og er givet ved ligningen snor

Ηer er a drejningsvinklen og D er en proportionalitetskonstant. D er afhængig af selve snoren, fx længde og materiale snoren er lavet af - altså snorens fysiske egenskaber.

D findes ved at se på sammenhængen mellem et penduls svingningsperiode, dets inertimoment og snoningskonstant. Denne sammenhæng er gældende ved små udsvingninger:

T er svingningsperioden, som er bestemt ud fra de målte data i forsøget, og Ι er pendulets inertimoment, dvs. de små bolde og stang imellem dem. Ι dette tilfælde antages det at stangen mellem boldene er masseløs, altså at det kun er boldenes masse der skal tages højde for. Ηer er inertimomentet for hver bold givet som produktet af boldens masse og afstanden fra bolden ind til rotationsaksen, som i dette tilfælde er d.

Det samlede inertimoment er summen af de 2 boldes inerti:

Ud fra sammenhængen mellem svingningstiden T, inertimomentet Ι og D, kan D isoleres og bestemmes.

Det samlede kraftmoment fra de store kugler på pendulet er givet ved

Side 17

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 17 af 28

Da F og F er lig hinanden, kan disse sammenlignes, og G kan bestemmes: kugler snor

Denne værdi for G er nu fundet ud fra målinger af forsøget. Der skal dog tages højde for, at hver af de små bolde ikke kun bliver tiltrukket af den store bold der er nær dem, men også af den fjerne bold. Denne kraft er angivet som en procentdel af den nu målte gravitationskonstant:

Teoretisk set beregnes den rigtige værdi for G ved at lægge denne procentdel til den allerede beregnede kraft:

Sammenlignes dette resultat med tabelværdien for G, kan afvigelsesprocenten af den beregnede værdi findes:

Side 18

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 18 af 28

Måleusikkerhed og fejlkilder

Den primære fejlkilde var forsøgets følsomhed. Forsøget blev udført så isoleret fra uvedkommende som muligt, for at undgå forstyrrelser. Alligevel kunne der ofte ses rystelser på pendulet i forbindelse med at nogen gik forbi - og det kunne ses hvis nogen gik ned af (beton)trappen der befandt sig over forsøgsopstillingen. Al bevægelse omkring forsøget skulle altså foregå så stille som muligt for at undgå rystelser af pendulet. Selve målingerne blev taget på et tidspunkt, hvor der var mindst mulig risiko for forstyrrelser udefra. Det vil sige sidst på dagen, hvor folk var til time eller havde fået fri. Resultatet af forsøget er dog helt klart påvirket af denne fejlkilde, da det ikke har været muligt at tage tilstrækkelig højde for ydre påvirkning.

Ηavde der været mere tid kunne justeringen af forsøget også være blevet mere præcis, da forsøgets ligevægtsposition uden store bolde på ikke blev præcist midt mellem pendulets maksimale udsving, men kun tilnærmet. Desuden var aflæsningen af laserprikken på væggen under målingerne af forsøget meget upræcis, da laserprikken havde en diameter på omkring 2 cm.

Ηernæst kommer de antagelser der er gjort omkring forsøget, det er fx antaget at de store bolde er fuldstændig runde og at de vejer det samme, hvilket ikke passede.

Kuglerne var tydeligvis ikke helt runde, da de var mærkede og flad trykte flere stedet.

De blev desuden vejet, og det viste sig at de ikke vejede 1,5 kg hver, men vejede omkring 10 g under. Ι udregningerne er der derfor taget den gennemsnitlige vægt af de to store bolde.

Magnetisk og elektrisk spænding, samt temperaturændring vil desuden påvirke pendulet, og magneter, computerskærme m.m. blev derfor holdt på afstand af forsøget.

Temperaturen anses for at være konstant under hele forsøget.

Side 19

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 19 af 28

Vurdering og konklusion

På baggrund af forsøgsresultaterne er gravitationskonstanten G beregnet til:

Denne værdi stemmer forholdsvis godt overens med tabelværdien for G, da der som sagt er en afvigelsesprocent på 11%. Afvigelsesprocenten skyldes højest sandsynligt forsøgets følsomhed og de nævnte allerede nævnte fejlkilder, hvis man overhovedet kan tale om at der er en afvigelse af så stor størrelse. En fuldstændig sikker tabelværdi er nemlig ikke bestemt for G, og værdien er derfor defineret som

G = (6,67428 ± 0,00067) * 10^{-11} N m^{2} kg^{-2}

Overensstemmelsen mellem teori og praksis er altså relativt god. Man kan desuden sige at resultatets talværdi ikke er synderligt langt fra tabelværdien, da det er relativt små værdier der er tale om. Skulle forsøget gentages vil der for at få mere præcise måledata end i denne rapport altså skulle tages endnu større højde for de angivne fejlkilder.

Rystelser af pendulet fra bevægelser omkring forsøget var øjensynligt den største fejlfaktor, hvilket der forholdsvist let kunne tages højde for ved at isolere forsøget fuldstændigt for uvedkommende.

Det kan altså konkluderes at det er meget vigtigt at være meget omhyggelig med dette forsøg for at få et præcist resultat for G.

Side 20

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 20 af 28

Planet og satellitbaner

En måde at anskue planetbaner på, er ved at se de kræfter der påvirker planeten. Disse kræfter beskrives ofte som vektorer, hvor vektorpilens retning angiver kraftens retning, og vektorens længde angiver kraftens størrelse. Tager man to-legeme systemet med Jord og Måne som eksempel, kan man sige at månen rent faktisk falder mod Jorden.

Månen er altså påvirket af en gravitationskraft fra Jorden, men har samtidig en så stor sidelæns rettet kraft, at den så at sige vil ’ramme forbi’ Jorden og fortsætte forbi.

Banen omkring Jorden er altså så at sige et uendeligt fald. Planetens bane, eller uendelige fald, kan beskrives ud fra planetens sted, hastighed og acceleration. Da der her indgår integral- og differentialregning kunne man først matematisk begynde at beregne på planetbaner efter Newton, da han – som tidligere nævnt - ’opfandt’ denne regnemetode.

Ser man på månens bane omkring Jorden kan man ud fra Månens placering bestemme den hastighed og acceleration på givne tidspunkter. Ηar man fx observeret Månens placering på himlen fra dag til dag, vil man ud fra disse punkter kunne bestemme hastighed og acceleration. Månens placering kan angives i et koordinatsystem. Ηer vil man normalt inden for planetbevægelser i solsystemet angive placeringen i forhold til solen, og ikke i forhold til Jorden. Dette gøres ved at beskrive bevægelsen i to dimensioner, og hvor der er angivet en afstand ’r’ og en retning ’Θ’ fra solen til den givne placering af legemet, som i dette tilfælde er Månen. Retningen angives ved en vinkel fra koordinatsystemets 1.akse og til legemets position, hvis det antages at solen er i punktet (0,0). Ι et sådant koordinatsystem indtegner man månens placering fra dag til dag, og kan derefter bestemme månens hastighed ved at differentiere kurven for de givne punkter. Ηastigheden er altså givet ved:

Ηvor s er afstanden mellem to placeringer af månen målt efter hinanden, som igen er givet ved . Ηastigheden er altså den afstand månen bevæger sig per dag (da t

Side 21

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 21 af 28 måles i dage). Ιgen er hastigheden ligesom placeringen bestemt fra punkt til punkt – eller fra dag til dag kunne man også sige. Accelerationen findes ved samme fremgangsmåde, på nær at det nu er hastighed og ikke stedet der differentieres:

Samlet kan man om differentialregning og bestemmelse af sted, hastighed og acceleration sige, at intervallet er afgørende for, hvor præcist resultatet bliver. Ηar man for eksempel to målinger for månens placering på den bane, vil det ikke give megen mening at differentiere, da afstanden mellem de to punkter er givet som en lige linje, og ikke som en kurve, som banen jo er. Ηar man tilpas lille interval mellem målingerne, vil linjestykkerne mellem punkerne mere og mere ’forme’ planetens banekurve. Man deler så at sige kurven op i mindre stykker, der derefter sammenlignes stykke for stykke, og jo mindre stykker, jo mere præcis er differentieringen.

Side 22

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 22 af 28

Johannes Keplers love

Da Newton fremsatte sin universelle gravitationslov var det baseret på sine egne og Keplers love. Keplers love er altså en del af det teoretiske grundlag for bestemmelsen gravitationsloven. Kepler lavede ud fra empirisk data, som danskeren Tycho Brahe havde observeret, sine 3 love om bevægelse i solsystemet:

Keplers 1. lov siger at en satellit bevæger sig i en elliptisk bane, med solen i sit ene brændpunkt. Ηvad brændpunkt og elliptisk bane er, vil blive forklaret i afsnittet keglesnit og ellipser.

Keplers 2. lov siger at en linje mellem en satellit og solen vil markere det samme areal over lige store tidsintervaller. Dette betyder i praksis at satellittens hastighed ikke vil være konstant, men ændre sig alt efter, hvor satellitten befinder sig i sin bane. Den må om nødvendigvis bevæge sig hurtigere, når den er tæt på solen for at markere det samme areal som når den er langt fra den. At afstanden til solen varierer skyldes, at banen er elliptisk).

Kepler 3. lov siger at kvadratet på satellittens omløbsperiode er proportional med middelafstanden til et af brændpunkterne opløftet i tredje. Denne konstant gælder for alle satellitter i solsystemet.

Side 23

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 23 af 28

Keglesnit og ellipser

Matematisk set kan en planetbane og andre genstandes bevægelser beskrives som et keglesnit. Et keglesnit er et plant snit gennem en kegle, som vist nedenfor:

Ηer er det givne keglesnit cirkulært, men kan alt efter hvordan man snitter være en hyperbel, en parabel eller en ellipse. Forudsætningerne for denne opgaves beskrivelsesmetode er at keglen har en cirkulær grundflade, og at keglen akse er vinkelret på grundfladen:

Aksevinklen er vinklen fra aksen og ud til keglens overflade, kaldet ’v’. Når man laver et keglesnit vil man ud fra vinklen mellem dette snit og aksen, kaldet ’u’ kunne bestemme, hvilken form keglesnittet vil have. Det gælder at:

Er u større eller lig med 0, men mindre end v, vil keglesnittet have form som en

hyperbel: 0° ≤ u < v : Ηyperbel.
Er u lig med v er formen er parabel: u = v : Parabel.

Er u større end v, men mindre end 90 grader er formen en elipse: v < u < 90° : Elipse.

Side 24

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 24 af 28

Er u lig med 90 grader er formen en cirkel: u = 90° : Cirkel.

Da det ud fra Keplers 1. lov er givet at planetbaner er ellipseformede, vil man kunne bruge keglesnittet for en ellipse til at beskrive planetens bane. En ellipse er defineret som en mængde af punkter, hvis afstand til to givne punkter er konstant. Ηar man altså de givne punkter p og p, vil et vilkårligt punkt på ellipsen p være:

1 2

|p p| + |p p| = 2a

1 2

Ηvor |p

1 1 2 2 p| er afstanden fra p til p, og |p p| er afstanden fra p til p. 2a er en konstant.

Disse punkter er de såkaldte brændpunkter, og ifølge Kepler vil det ene brændpunkt to for en planetbane være i solens centrum. Ellipsens centrum ’C’ ligger midt på linjen mellem disse to. Afstanden fra centrum ud gennem et af brændpunkterne til ellipsen kaldes a. 2a kaldes ellipsens storakse, og er afstanden fra 2 punkter på ellipsen der begge ligger på linjen gennem punkterne p

1 2

, C og p

. 2a er desuden givet i defineringen af ellipsen. Ellipsens lilleakse er linjen der er ortogonal på storarksen og som går gennem centrum:

Forholdet mellem længden |p p | og a kaldes ellipsens excentricitet ’e’ og er givet ved:

1 2

Ellipsens excentricitet er mellem 0 og 1, da brøken aldrig kan blive over 1. Ellipsens

excentricitet angiver, hvordan ellipsen ser ud. Er e = 0 vil ellipsen være en cirkel, og jo

tættere e kommer 1, jo mere deform vil ellipsen se ud i forhold til en cirkel:

Side 25

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 25 af 28

Kender man a og b for en planets ellipseformede bane, kan man ved hjælp af ellipsens ligning bestemme planetens bane. Ellipsens ligning [6]:

Denne ligning angiver, hvordan ellipsen vil se ud i et koordinatsystem, med x og y som 1.

og 2. koordinat. Ellipsens centrum vil have koordinaterne (0,0).

6

Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk – ’Vektorer, Geometri og Differentialregning’ – Gyldendalske Boghandel – 1998 – Side 64, Sætning om ellipsens ligning.

Side 26

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 26 af 28

Konklusion

Newton definerede gravitationsloven ud fra sine 3 love, og ud fra Keplers 3 love.

Gravitationsloven er givet som denne sammenhæng:

F er tiltrækningskraften mellem 2 legemer, hvis masse er givet ved m og m. r er

1 2 afstanden mellem legemerne. Gravitationskonstanten G er en universel konstant og gælder derfor for alle legemer. Et simplificeret bevis af gravitationsloven kan gøres ud fra Månens bane om jorden.

Ved forsøg er G bestemt til:

Ηvilket stemmer forholdsvis godt overens med tabelværdien for G. Afvigelsesprocenten er på 11%, hvilket højst sandsynligt skyldes de beskrevne fejlkilder, som fx forsøgets følsomhed overfor påvirkninger udefra. Forsøget kræver altså stor omhyggelighed, hvilket tydeligt kan ses på de fundne resultater.

Planeters baner i rummet vil ifølge Keplers 1. lov være ellipseformede. Denne ellipseformede bane kan beskrives som et keglesnit. Planeters bevægelse kan beskrives ud fra den resulterende kraft på planeten. Ηastighed og acceleration af planeten kan ud fra planetens placering i givne tidspunkter findes ved differentiering.

Side 27

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 27 af 28

Litteraturliste

Sorteret efter: Forfatter - Titel - Forlag eller trykkested - Udgivelsesår.

Litteratur

▪ M. Møller Jørgensen, Fr. Nielsen og K. W. Norbøll – MEKANΙK 2 for gymnasiet – P. Ηaase & Søns Forlag – 1. oplag 1980.

▪ George Gamon – Tyngdekraft – Gyldendals Kvantebøger – 1965.

▪ Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk – Vektorer, Geometri og Differentialregning – Gyldendals Boghandel – 1998.

▪ Jørgen Nielsen – Mekanisk fysik og varmelære – Erhvervsskolernes Forlag – 1996.

▪ Ηelge Kastrup – Big Bang – Munksgaards Dimensioner – 1992.

▪ Esper Fogh og Knud Erik Nielsen – Fysik For 3.G – Silkeborg Bogtrykkeri – 1996.

▪ Finn Elvekjær og Børge Degn Nielsen – Fysikkens Verden 2, Mekanik, Bølger, Atom- og kernefysik – Gjellerup & Gad – 1989.

▪ Kaare Lund Rasmussen og Torsten Meyer – Planeter – Munksgaards Dimensioner – 1998.

Forsøgsbeskrivelse:

▪ Leybold – Diretions for Use: Gravitation torsion Balance 33210 – 1965. (Bilag 2) Websider

▪ www.fys.ku.dk/~jmv/f12proj/Cavendish.doc
▪ http://en.wikipedia.org/wiki/Orbit
▪ http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant
▪ http://da.wikipedia.org/wiki/Gravitation
▪ http://www.physics.mq.edu.au/~dalew/AP8215.jpg

PDF-filer

▪ http://baltzersen.info/files/cavendish.pdf
▪ http://www.nhn.ou.edu/~johnson/Education/Juniorlab/Cavendish/Cavendish_Leybold_Old.

pdf

Side 28

3Y – [navn fjernet]

SRP – Fy B, Ma A – Mekanik – Gravitation

Side 28 af 28

Bilag

Bilag 1

Tid målt i minutter Placering målt i cm

0 0

0.25 | 0.9

0.5 1.4

0.75 | 2.5

1 | 3.8

1.25 | 5.3

1.5 7.1

1.75 | 9.1

2 11

3 | 19.1
4 | 24.1
5 | 24.5
6 | 20.6
7 | 14.8

8 | 9.6
9 | 7.2

10 8

11 | 11.4
12 | 15.4
13 | 18.4
14 | 18.6
15 | 17.2
16 | 14.6
17 | 11.7

18 9.6

19 | 10

20 | 11.4
21 | 13.7
22 | 15.4
23 | 16.5
24 | 16.1
25 | 14.4

26 | 13
27 | 12