SRP om Friktion i Væsker og Luft i Matematik A og Fysik B

Side 1

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Indhold

1 Indledning ....................................................................................................................................................... 1

2 Teori ................................................................................................................................................................ 2

2.1 Gnidning på faste legemer ...................................................................................................................... 2

2.2 Viskositet ................................................................................................................................................. 2

2.3 Laminar og turbulent strømning ............................................................................................................. 4

2.3.1 Reynolds tal ...................................................................................................................................... 5

2.4 Gnidningsmodstand på et legeme i en fluid ............................................................................................ 5

2.4.1 Formfaktor ........................................................................................................................................ 6

2.5 En papirkageforms frie fald i luft ............................................................................................................. 8

2.6 Gnidningsmodstanden på en kugle i væske .......................................................................................... 12

2.7 Den dæmpede harmoniske svingning ................................................................................................... 14

3 Eksperimentelt .............................................................................................................................................. 16

3.1 Forsøg med papirkageforme ................................................................................................................. 16

3.2 Gnidningsmodstanden på en kugle i væske .......................................................................................... 22

3.3 Den dæmpede harmoniske svingning ................................................................................................... 26

4 Samlet konklusion......................................................................................................................................... 31

5 Litteraturliste ................................................................................................................................................ 32

6 Bilag .............................................................................................................................................................. 33

6.1 Bilag 1 – Opgaver fra bilaget ”Forsøg med papirkageforme” ............................................................... 33

6.2 Bilag 2 – Resultater til afsnit 3.1 Forsøg med papirkageforme ............................................................. 35

6.2.1 Resultater for store kageforme ...................................................................................................... 35

6.2.2 Resultater for små kageforme ........................................................................................................ 37

Side 2

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 1 af 38

1 Indledning

Du kender det, når du vil skubbe saltbøssen på tværs af bordet til personen overfor eller længere nede ad bordet, og den af en eller anden årsag ikke når frem men stopper halvvejs. Du synes ellers at have lagt relativt mange kræfter i skubbet, set i forhold til, hvor lille den egentlig er.

Og hvad kan det være, at det ikke gør mere ondt, når regndråber eller hagl falder fra flere kilometers højde og burde flyve afsindig hurtigt ned i hovedet på dig, ligesom faldskærmsudspringeren, der kan holde sig svævende uden at styrte mod jorden og blive tværet ud?

Det skyldes alt sammen det samme fænomen: friktion, måske bedre kendt som gnidningskræfter eller gnidning. Den er overalt og man kunne ofte ønske, at den ikke var der. Man ville aldrig behøve smøre sin cykel eller fylde olie på bilens motor eller i knallertens benzin. Motorerne ville køre meget bedre, og man

ville kunne spare en afsindig masse CO_{2}, som jo er i høj kurs i disse dage. Problemet er bare, at uden

friktion, ville hverken bilen, cyklen eller vores egne fødder komme nogen vegne. Friktionen gør, at vi kan stå fast og bevæge os fremad, og det ville aldrig være muligt at leve i en verden helt uden friktion. Alting ville skøjte af sted uden nogen form for selvkontrol, ligesom planeter, der har en kurs som de holder indtil de kolliderer.

Der er altså en grund til, at læren om friktion, eller tribologi som det også kaldes, er gået hen og blevet en

              1
videnskab for sig.

Jeg vil i denne opgave undersøge bevægelse med friktion i fluider, altså væsker og gasser og se på, hvilke parametre, der spiller ind på gnidningskraften. Jeg vil dog først starte med lidt teori om tør gnidning mellem faste legemer, da dette danner et godt grundlag for forståelsen af gnidningskræfter.

1

Christiansen 1987, kapitel 3 s. 13

Side 3

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 2 af 38

2 Teori

Mange faktorer spiller ind, når man taler om gnidning, og formlerne, der bruges, er ikke altid de samme.

Nogen gange spiller hastigheden ind, og andre gange er hastigheden fuldstændig ligegyldig.

2.1 Gnidning på faste legemer

For at forstå begrebet gnidning, kan det hjælpe, først at se på faste eller tørre legemer. Tager man Newtons

1. lov i betragtning, vil et legeme enten forblive i stilstand eller opretholde en retlinjet bevægelse, med konstant hastighed, så længe den resulterende kraft er nul. I langt de fleste virkelige tilfælde vil et legeme i bevægelse tabe hastighed og gå i stå, og man må altså drage den konklusion, at den resulterende kraft ikke var nul. Da den resulterende kraft tilsyneladende kun har sænket legemets hastighed, må vi jf. Newtons 2.

                                                             2
lov antage, at kraften har en retning, som er modsat bevægelsesretningen.

Når legemer er i berøring med hinanden, vil der opstå berøringskræfter, som kan opdeles i to komposanter, hvoraf den ene, normalkraften, er vinkelret på berøringsfladen, mens den anden er parallel med berøringsfladen. Det er denne kraft parallel med, men modsat, bevægelsesretning, der kaldes gnidningskræften, da det er denne kraft, der bremser bevægelsen.

Gnidningskræfterne skyldes bindinger mellem atomer i overfladen af de to stoffer. For at beskrive gnidningen mere præcist, er der indført to dimensionsløse størrelser: den statiske og den kinematiske gnidningskoefficient. Som det antydes i benævnelsen, er der tale om to forskellige gnidningskoefficienter, ved hhv. stilstand (statisk) eller bevægelse (kinematisk). Både den statiske og den kinematiske gnidningskoefficient afhænger af de to legemers materialers beskaffenhed, altså overfladernes grovhed.

Det kan relativt let vises empirisk, at den statiske gnidningskraft er større end den kinematiske. Der skal ikke så meget til at holde bevægelsen i gang, når den først er startet. Desuden er de respektive gnidningskræfter proportionale med normalkraften, mens ingen af dem afhænger af legemernes indbyrdes

                                          3,4
hastighed. Især det sidste er vigtigt at bide mærke i.

2.2 Viskositet

Vender man blikket mod fluider, altså væsker og gasser, er situationen en helt anden. Begreberne og definitionerne på normalkræfter og gnidningskræfter er de samme, men der er fx ingen egentlig berøringsflade.

2

Nielsen, Arly & Nielsen, Jørgen (2002), Mekanisk Fysik og Varmelære, s. 77-79

3

Christiansen 1987, kapitel 3 s. 14-16

4

Bisgård, Knud Maack (1984), Hydromekanik, s. 55-56

Side 4

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 3 af 38

Der skelnes mellem ideale og reale væsker, hvor de reale er dem, vi støder på i dagligdagen. De ideale væsker er indført, for at gøre væsker lettere at håndtere rent fysisk, men de er bl.a. kendetegnet ved at

                                                            5
være friktionsløse, hvorfor man i denne kontekst må fokusere på de reale.

Når man taler om gnidning i væsker, taler man om viskositet, og at væsken er viskøs; ”Viskositet er en væskes, gas eller plasmas

                            6
træghed eller dens indre friktion.”

Hvis en fluid er ikke-viskøs, har den altså ingen indre friktion, og der er tale om en ideal væske.

Hvis man vil definere viskositet, kan man se på en vilkårlig fluid mellem to vandrette uendeligt udstrakte plader, hvor den nederste ligger stille, mens den øverste bevæges vandret med konstant hastighed w (på

figuren v_{0}). Man vil her se, at væskens hastighed er proportional med afstanden x fra den nederste plade,

således, at væskelaget lige over den nederste plade har en hastighed svarende til pladens, altså nul, og

væskelaget lige under den øverste plade, har samme hastighed som pladen selv.^{7}

Figur 2.2.a – Hastighedsprofil mellem 2 plader. Viser en fluids hastighed mellem en stationær plade og en

plade i bevægelse.^{8}

Det skyldes, at væskepartiklerne nær de faste plader adhærerer til disse. Man kan sige, at væsken ’klæber’

sig fast på pladerne og opnår samme hastighed som disse.^{9}

Man kan opstille et udtryk, der beskriver sammenhængen mellem den øverste plades hastighed w,

afstanden mellem de to flader a, og en partikels hastighed w_{x}, der befinder sig i afstanden x fra den

nederste plade:

wx w_{x}
= ⇔ = ⋅ ww_{x}

a x a

5

Nielsen 2002, s. 121

6

Citat fra Wikipedia ”Viskositet”

7

Nielsen 2002, s. 151

8

Figur fra Bisgård 1984, s. 19

9

Nielsen 2002, s. 152

Side 5

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 4 af 38

Den kraft F som den øverste plade bliver påvirket med, for at opnå en hastighed w, kan empirisk eftervises at være proportional med arealet af pladen, som den virker på, og omvendt proportional med

afstanden mellem pladerne, og man får^{10}:

Aw ⋅

F =⋅

a η

Det giver god mening, at jo mere væske, der er mellem pladerne, jo større afstand er der også til at foretage forskydningerne og det kræver altså en mindre kraft. Proportionalitetsfaktoren, der kommer η ind i billedet, vil afhænge af fluiden og den spænding, som det kræver at foretage forskydninger i denne.

Hvis man flytter rundt på udtrykket får man et udtryk for, som kaldes den dynamiske viskositet^{11}:

η

[ ]

2

m^{2} ⋅

F a N m N s ⋅ ⋅ ⋅ m

A w m ⋅ s ηη

= = =

I nogle sammenhænge er fluidens massefylde, for gasser også trykket, hensigtsmæssig at tage med i beregningerne. Da indfører man den kinematiske viskositet v

, som er defineret som:

[ ]^{m^{2}}_{s}

vv ==

η ρ

2.3 Laminar og turbulent strømning

En anden faktor, der spiller ind, i måden at anskue gnidning i væsker på, er væskens strømning. Ovenfor er væskestrømningen beskrevet laminar, altså lagdelt. Her følger væskepartiklerne faste baner, og man kan alt efter disse baner opdele væsken i en slags lag.

Hvis man lader en lille kugle bevæge sig gennem en fluid, vil der opstå laminare væskestrømninger og gnidningskraften på kuglen vil være proportional med hastigheden i første potens og der gælder Stokes lov.

Hvis hastigheden kommer over et kritisk niveau og hvis legemet bliver for stort, vil væskestrømmen blive

turbulent, latinsk: turbo = hvirvel. Væskepartiklerne vil ikke længere følge deres egne baner, men krydse på

                                                           12
tværs af hinanden. Der skabes såkaldte von Karman hvirvler bag legemet.

10

Bisgård 1984, s. 59

11

Nielsen 2002, s. 152

12

Jacobsen, Claus Schelde (1998), Introduktion til Fluid Mekanik, kapitel 3 s. 16

Side 6

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 5 af 38

                                                   13
Figur 2.3.a – Laminar og turbulent strømning omkring en kugle.

2.3.1 Reynolds tal

                                                                                14
Den britiske fysiker Osborne Reynolds, der levede fra midten af 1800-tallet til starten af 1900-tallet ,

undersøgte fænomenet laminar og turbulent strømning og fandt, at der var en sammenhæng mellem disse.

Han opstillede et dimensionsløst tal Reynolds tal, opkaldt efter sig selv, som skulle kunne forudsige, hvornår der opstod turbulente strømninger i en given situation.

R_{e} =

⋅⋅ vd ρ η

Reynolds lavede forsøg med væskestrømninger i rør. Her er fluidens massefylde, v er fluidens ρ

                                                                     15
hastighed, d er rørets indvendige diameter mens er fluidens dynamiske viskositet. For en kugle der

η bevæges gennem en fluid benyttes samme betegnelser, den eneste forskel er d

, som da i stedet betegner

kuglens diameter.^{16,17}

2.4 Gnidningsmodstand på et legeme i en fluid

Følgende afsnit og underafsnit vil tage udgangspunkt i behandlingen af gnidningsmodstand fra s. 100 til 101 i Brydensholt, Morten et al. (2004), Orbit 3. Der er dog fundet understøttelse i andre værker, men netop dette ene værk har været detaljeret nok i sig selv.

Hvis man bevæger fx en plade med arealet A gennem luft, med hastigheden v i et infinitesimalt tidsinterval tΔ

, vil pladen bevæge sig strækningen sΔ

, som er givet ved:

s v tΔ = ⋅ Δ

13

Brydensholt, Morten et al. (2004), Orbit 3, s. 100

14

Wikipedia “Osborne Reynolds”

15

Nielsen 2002, s. 153

16

Eriksen, Åge Bredahl (2000), Strømningsprocesser, s. 5

17

Brydensholt 2004, s. 100

Side 7

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 6 af 38

Luften vil blive påvirket af en kraft

F

, og det arbejde som kraften udfører på luften, som er givet ved kraft gange strækning, vil kunne sættes lig med luftmængdens tilvækst i kinetiske energi, da denne starter fra nul, og der ikke bliver afsat energi andre steder i systemet. Vi får altså:

F s m v⋅ Δ = ⋅ ⋅^{2}

1

2

Man forestiller sig altså, at pladen opsamler et lag af luft, der bliver større og større med strækningen sΔ og får farten v. Luftens masse m kan omskrives, da rumfang gange densitet er lig med massen:

2

2

1

2

1

2

m A s = ⋅ ⋅ Δ

⇒ ⋅ Δ = ⋅ ⋅ ⋅ Δ ⋅ F s A s v

⇔ = ⋅ ⋅ ⋅ F A v

ρ ρ ρ

Luftmodstanden på pladen, eller legemer i al almindelighed, er altså afhængig af farten i anden potens.

2.4.1 Formfaktor

I den virkelige verden vil luften dog ikke blive foran pladen. Den vil i stedet strømme omkring pladens eller legemets sider alt efter formen, og hvor strømlinet legemet er. Luftmodstanden bliver altså mindre end

hidtil antaget og man indfører derfor formfaktoren c_{w}, som afhænger af både legemets form og Reynolds

tal. Den nye model for luftmodstanden, hvor der er taget højde for legemets form, kommer altså til at se således ud:

2

1

2

F c A v = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅_{w}

ρ

Denne sammenhæng mellem gnidningsmodstanden og farten i anden kaldes logisk nok v^{2} -gnidningsloven.

Sammenhængen mellem c_{w} og R_{e} for hhv. en cylinder og kugle kan eftervises empirisk og ses af graferne

nedenfor:

Side 8

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 7 af 38

Figur 3.4.a – Sammenhæng mellem formfaktor og Reynolds tal for hhv. cylinder og kugle.^{18}

Af graferne kan man se, at for Reynolds tal, både for cylinder og kugle, mellem ca. 200 og 300000, er formfaktoren stort set konstant (den stiplede grønne linje). Formfaktoren ligger da på hhv. ca. 1 for en cylinder og 0,4 for en kugle. Det er her mere kompliceret at opstille udtryk for gnidningsmodstanden, som funktion af farten. Derimod, hvis Reynolds tallet kommer under ca. 1 synes der at være en lineær

sammenhæng, hvor c_{w} =. Her er strømningen omkring legemerne laminare. Grænserne for Reynolds

24

R_{e}

tal synes dog at variere fra kilde til kilde.

Indsætter man denne sammenhæng mellem formfaktoren og Reynolds tallet i v^{2} -gnidningsloven, får man:

                 22
F c A v A v = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
        w

1 12

2 R_{e}

ρρ

Substituerer man derefter R_{e} med udtrykket for Reynolds tallet, får man:

2 2 2

12 12

F A v r v r v = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6

vr ⋅⋅ 2

⋅⋅ vd ρ η π π η ρ η

Denne sammenhæng, hvor gnidningsmodstanden kun er proportional med farten i første potens, kaldes Stokes lov og gælder kun for meget små legemer ved relativt lave hastigheder, hvor væskestrømmen er laminar.

18

Figur fra Brydensholt 2004, s. 101

Side 9

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 8 af 38

2.5 En papirkageforms frie fald i luft

Følgende afsnit vil tage udgangspunkt i det udleverede ark Matematikken bag ”den faldende kageform”, hvor der netop gås i dybden med dette emne.

Newtons 2. lov siger, at den resulterende kraft på et legeme er givet ved legemets masse gange accelerationen:

F m a= − ⋅
 res

Den resulterende kraft på et legeme i frit fald vil være givet ved: res t g

F F F= − +

, hvor F m g=⋅ er tyngdekraften på legemet og F er gnidningskraften på legemet, der afhænger af
       t                                  g

legemets form og hastighed. Gnidningskraften vil jf. Stokes lov eller v^{2} -gnidningsloven stige med farten af

legemet, mens tyngdekraften er konstant og bestemt af legemets masse. Det faldende legeme vil altså accelerere indtil gnidningskraften bliver lige så stor som tyngdekraften og udligner denne. Den resulterende kraft vil give nul og jf. Newtons 1. lov har legemet opnået en konstant hastighed. For en papirkageform er luftmodstanden proportional med farten i anden potens, og man får:

2

v_{s}^{2}

F F F m g k v k = ⇔ − + = ⇔ − ⋅ + ⋅ = ⇔ = 0 0 0

res t g s mg ⋅

Hvis udtrykket for k indsættes i udtrykket for den resulterende kraft, fås:

( )

2 2 2 2

F m g k v m g v F v v = − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ ⇔ = − ⋅ −
                               22

res res s

vv_{ss}

m g m g ⋅⋅

Den resulterende kraft skrives om jf. Newtons 2. lov:

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2

m a v v a v v v v v ⋅ = − ⋅ − ⇔ = − ⋅ − ⇔ = − ⋅ − '

s s s s s s m g g g ⋅ v v v

Accelerationen er den afledte hastighedsfunktion, og man har altså en første ordens differentialligning, da farten er en funktion af tiden og både tyngdeaccelerationen og slutfarten er konstante.

Differentialligningen er af formen:

( )

        22
'y A B y= ⋅ −

Benytter man separation af variable får man:

( )

       22
= ⋅ − ⇔ = A B y dy A dx

22

1dy dx B y −

Side 10

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 9 af 38

Integreres begge sider får man:

( )

   1
  22
B y B y B − ⋅ +           2

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ 2 2 2 2 A B x B k A B x B k

− ln
dy A dx A x k B A x k = ⇔ = ⋅ + ⇔ = − ⋅ ⋅ ⋅ + ln 2

⇔ = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ = ⋅ ln 2 2 A B x B k e e e

⎛⎞ yB − yB +

⎛⎞ By −

⎛⎞ B y B y B y − − −
y B y B y B + + +

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

∫∫

yB− bliver til By−, da B var sluthastigheden og y en hvilken som helst hastighed. Den numeriske

værdi af differensen mellem B og y vil altså altid være givet ved By−. Indfører man 2C AB= og
− ⋅ ⋅ 2 Bk
De =, får man videre:

( ) ( )

− + ⋅ − ⋅ 11 D e D e
⇔ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − + ⋅ ⇔ = − ⋅ = ⋅ y D e B D e y B B 11
11 + ⋅ + ⋅ D e D e

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ C x C x C x C x C x

− ⋅ − ⋅ C x C x
− ⋅ − ⋅ C x C x
− ⋅ − ⋅ C x C x

By −

= ⋅ ⇔ − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⇔ − − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − D e y y D e B D e B y y D e B D e B

yB +

Da hastigheden, når kageformen bliver sluppet, er 0, kan man bestemme D, idet:

( )

11 − ⋅ − D e D^{−⋅}^{C}^{0}

y B B D 0 0 0 0 1 = ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ =
                      −⋅ C 0

11 + ⋅ + D e D

Indsættes 1D = bliver udtrykket:
1 − e^{−⋅}^{Cx}
1 + e^{−⋅}^{Cx}

yB =⋅

Udtrykket kan simplificeres endnu mere ved brug af hyperbolsk sinus, cosinus og tangens:

( )^{11} ( ) ( ) ( ) ( )^{sinh}

( )

( )

                   −−
sinh og cosh og tanh x e e x e e x = ⋅ − = ⋅ + =

2 2 cosh x x x x x x

Der skal stadig ændres lidt ved brøken for, at man kan substituere, men det gøres let ved først at

multiplicere tæller og nævner med e^{2}^{⋅⋅}^{Cx} og efter lidt reduktion halveres både tæller og nævner:

1

( )

( )

1

1 1 1 1

2

2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 − ee^{−⋅}^{Cx}

1 + ⋅ + ⋅ + e e e e e e e

⋅⋅ Cx

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ C x C x C x C x

−⋅ Cx

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ C x C x C x C x C x
− ⋅ − ⋅ C x C x

e e e e e − ⋅ −
y B B B = ⋅ = ⋅ = ⋅

Side 11

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 10 af 38

⎛⎞^{11}
ee^{22} −
⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ y B y B B C x_{11} tanh
ee^{22} +

1

1

⎜⎟ sinh ⋅⋅ Cx

2

1

2 ⎛⎞

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ C x C x 1 2

1 ⎝⎠ cosh ⋅⋅ Cx

2

2 ⎝⎠

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ C x C x

⎛⎞

⎜⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

Hvis man nu vender tilbage til den faldende kageform og benytter udtrykkene derfra, får man hastigheden som funktion af tiden:

( )

⎜ ⎟ ⎜ ⎟_{2}

1 −− gg
v t v v t v t = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ tanh 2 tanh
2 vv_{ss}

s s s

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Hastighedsfunktionen er som nævnt tidligere den afledte stedfunktion, altså 's t v t= ( ) ( ). Man har altså

endnu en differentialligning:

( )_{s}

s t v t ' tanh = ⋅ ⋅
v_{s}

− g

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Løsningen til denne differentialligning menes at være:

( )

v_{s}^{2} − g

0

s t t s = − ⋅ ⋅ + ln cosh

⎝⎠ s gv

⎛⎞

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

, hvor s_{0} er begyndelsespositionen.

Man kan efterprøve, ved differentiation af stedfunktionen, om dette virkelig er sandt. Man benytter kædereglen for sammensat funktion, da der her er tale om tre funktioner sat uden om t, som man differentierer i forhold til. Fra matematikundervisningen vides det, at

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

' ' ' 'f g h x f g h x g h x h x= ⋅ ⋅

Differentierer man vha. denne fremgangsmetode får man:

       22
           ⎛⎞
      vv
       ss
( ) ⎜⎟
           ⎜⎟
           ⎜⎟
    ⎜⎟

0

− − − g g g 1
s t t s t ' ln cosh ' sinh = − ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

cosh ⋅ t

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ s s s

v_{s}

g v g v v ⎛⎞

− g

⎛⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝⎠

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠ sinh ⋅ t

= ⋅ = ⋅ ⋅ v v t        tanh
   ss

cosh ⋅ t

v_{s} ⎛⎞
⎛⎞ v_{s}
v_{s}

− g
− g
− g

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

Side 12

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 11 af 38

Da de to udtryk er fuldkommen ens, må den antagne stedfunktion nødvendigvis være løsningen til differentialligningen.

Benytter man nogle konkrete eksempler fra dataene i eksperimentet med papirkageformene nedenfor, kan man se forskellen på den almene stedfunktion og den udledte, hvor luftmodstanden er medregnet. Hvis

man tager serien med 5 af de store kageforme får man en sluthastighed på v_{s} = 4.24. Startpositionen

m s

                                            1
                           19                    2
s var 9.42 m . Den almene stedfunktion er givet ved s t g t s= − ⋅ ⋅ + mens den med
                                       ( )
 0                                    u             0
                                            2

luftmodstand er givet ved s t t s = − ⋅ ⋅ + ln cosh. Tegner man graferne for disse to

( )

v_{s}^{2} − g

0

⎝⎠ s gv

⎛⎞

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠ funktioner ser man en markant forskel:

Figur 2.5.a – Viser graferne for bevægelsesligningen hhv. med og uden luftmodstand medregnet i udtrykkene.

For det første ses det af graferne, at faldtiden, hvor der er taget højde for luftmodstanden, er længere.

Desuden følges de to ad i starten, men som hastigheden stiger, skilles de ad. Umiddelbart synes kageformen jf. grafen at opnå konstant hastighed allerede 7.5 meter fra gulvet.

19

Brydensholt 2004, s. 72

Side 13

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 12 af 38

2.6 Gnidningsmodstanden på en kugle i væske

Følgende afsnit vil tage udgangspunkt i det udleverede ark Bevægelse i væske af Niels Christian Jensen, der specifikt behandler gnidningsmodstanden på en kugle, der bevæges i væske på samme måde som her.

Hvis man nedsænker en kugle med massen m_{2} i en væske og forbinder den, over en trisse, til en

kontravægt med massen m_{1}, der er lidt større, vil kuglen begynde at bevæge sig opad. Der vil virke 4

kræfter i systemet; tyngdekraften på kontravægten F_{,1t} og på kuglen F_{,2t}, opdriften på kuglen F_{op} og

gnidningsmodstanden F_{gnid}, når den begynder at bevæge sig. Den resulterende kraft er da givet ved:

( )

F m a F F F F = ⋅ = − + −
                ,1 ,2

dv m_{2}

1 2 1 2 væske res res t t op gnid kugle

⇔ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ m m m g m g g v

dt ργ ρ

                                                                      20
Fortegnene skyldes, at kræfterne er i forhold til kuglens bevægelsesretning, som er op.

Gnidningsmodstanden antages at være proportional med farten i første potens med en proportionalitetsfaktor. Bytter man lidt rundt på leddene får man en differentialligning af samme form γ som Newtons afkølingsmodel:

m_{2}
⎜⎟_{12}

1 2 1 2 y b a y ' −⋅ væ ske kugle

m m g − + ⋅ ⋅

dv

= − ⋅ v

dt m m m m ++ ρ ρ γ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Newtons afkølingsmodel har formen:

= − ⋅ ≠ ∈ b a y hvor a og b R 0

dy dx

Man kan benytte separation af variable, integrere begge sider af lighedstegnet, reducere udtrykket og får da:

( )

( )

ax c c_{22} − ax

⇔ − ⋅ − = + ∈ ln b ay x c c R_{11}

2 2 1

11

dy dx dy dx b ay = ⇔ = − ≠ 1 1 0

1

⇔ − = − + = − ∈ ln b ay ax c c ac R

b ay b ay −− a

⇔ − = = ⋅ b ay e e e^{−+}

∫∫

20

Hemmingsen, Carl, Gnidning i væske

Side 14

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 13 af 38

   c  − ax
   2
± ⋅ − e e b b      c
                    3

− ax c_{2}

3

b c_{3}

⇔ = = − ⋅ = ± ≠ y e c e 0

⇔ = + ⋅ = − ≠^{−}^{ax} y c e c 0

− a a a

aa c er en konstant, som bliver bestemt af begyndelsesbetingelsen. Man kan dog vise, at c også må indtage

værdien 0. Hvis man lader 0c =, vil y blive lig med konstantfunktionen y ≡. Indsættes

b a konstantfunktionen på begge sider af lighedstegnet i differentialligningen, kan man se, at de to sider bliver identiske:

Venstre side: y konstant y ≡ ≡ ⇒ = ≡ '0

b dy a dx

Højre side: = − ⋅ = ba 0

dy b dx a

Man kan altså godt lade 0c =. Den fuldstændige løsning til differentialligningen er:

y c e x c R^{ax} = + ⋅ ∈^{−},

b a

Indsætter man udtrykkene fra bevægelsesligningen bliver løsningen:

( )

1 2 1 2

m_{2}
⎜⎟_{12}
m_{2}
⎜⎟_{12}
mm_{12} +

mm_{12} +

v t c e c e t = + ⋅ = + ⋅ ≥ 0

væske kugle væske

m m m m^{tt} ++ ⎝⎠

kugle

m m g − + ⋅ ⋅
m m g − + ⋅ ⋅

γγ ρ ρ ρ ρ γ γ

− ⋅ − ⋅

⎛⎞

⎜⎟ ⎛⎞

⎝⎠

⎜⎟

I en sådan model er det klart, at tiden ikke kan være negativ. Benytter man, at begyndelseshastigheden er nul, kan man bestemme c:

( )

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ mm_{12} +

mm_{22}

1 2 1 2

−⋅ 0

                   kugle kugle
v c e c 00 = + ⋅ = ⇔ = −

m m g m m g − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅_{væske væske}

γ ρρ ρρ γγ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Den fuldstændige løsning til bevægelsesligningen er derfor:

( )

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ mm_{12} +

mm_{22}

1 2 1 2

v t e t = − ⋅ ≥ 0

m m g m m g − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅_{væske væske}

−⋅ t kugle kugle γ ρρ ρρ γγ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Side 15

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 14 af 38

Sluthastigheden kan findes ved at lade t →∞:

( )

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ mm_{12} +

mm_{22}

1 2 1 2væske væske kugle kugle

m m g m m g − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅
v t e → ∞ = − ⋅

γ ρρ ρρ γγ

− ⋅∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

m_{2}
⎜⎟_{12 væske}

kugle

⇔= v_{s}

m m g − + ⋅ ⋅

ρ ρ γ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Den teoretiske sluthastighed for et system af denne type, er altså givet ved udtrykket ovenfor, hvor m_{1} er

kontravægtens masse, m er kuglens masse,  og     er hhv. kuglens og væskens densitet, mens
                    2                 kugle

ρ væske ρ γ er en gnidningskonstant og g er tyngdeaccelerationen. Jf. Stokes lov er gnidningskonstanten givet ved

= ⋅ ⋅ ⋅ 6 r, hvor er væskens dynamiske viskositet og r er kuglens radius. Det færdige udtryk for

γ π η η kuglens maksimale sluthastighed bliver derfor:

m_{2}
⎜⎟_{12}
v_{max} =

6 ⋅ ⋅ ⋅ r væske kugle

m m g − + ⋅ ⋅

ρ ρ πη

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Man kan desuden benytte formlen til at bestemme viskositeten af en fluid, hvis man måler sluthastigheden af en kugle i bevægelse i fluiden. Hvis man flytter rundt på formlen får man et udtryk for viskositeten:

m_{2}
⎜⎟_{12}

6 ⋅ ⋅ ⋅ rv_{max}

væske kugle

m m g − + ⋅ ⋅

ρ ρ η π

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=

2.7 Den dæmpede harmoniske svingning

Følgende afsnit tager udgangspunkt i de udleverede ark Bevægelse i væske af Niels Christian Jensen og Den harmoniske svingning af Preben Møller Henriksen, hvoraf den sidstnævnte omhandler harmoniske svingninger mens den sidste omhandler den dæmpede harmoniske svingning.

En kugle hænges op i en fjeder og sættes i svingninger. Da der sker en dæmpning af kuglens bevægelse, bliver den resulterende kraft en funktion af fjederkraften og dæmpningskonstanten gange farten af kuglen.

Udtrykket for den resulterende kraft kommer til at se således ud: res fjeder gnid

F F F=−

Side 16

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 15 af 38

Fjederkraften F_{fjeder} er jf. Hookes lov givet ved fjederkonstanten gange udsvinget. Det antages, at der er

laminare strømninger omkring kuglen, og Stokes lov må gælde for F_{gnid}. Jf. Newtons 2. lov bliver den

resulterende kraft:

M a k y v ⋅ = − ⋅ − ⋅

γ

, hvor M er den samlede masse i bevægelse, a er accelerationen, k er fjederkonstanten, y er afstanden fra ligevægtsstillingen mens γ er konstanten i Stokes lov og v er kuglens hastighed. Da hastigheden er den afledte stedfunktion og accelerationen er den afledte hastighedsfunktion, må udtrykket kunne skrives:

M y k y y M y y k y y y y ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⇔ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇔ + ⋅ + ⋅ = '' ' '' ' 0 '' ' 0

k

MM γ γγ

Der er tale om en anden ordens differentialligning. som kan vises har den fuldstændige løsning:

( )

         2 ⋅ M
y y e t = ⋅ ⋅ ⋅ + sin
     0

−⋅ t γ ωϕ

y_{0} er startamplituden, er vinkelfrekvensen, som er givet ved =, hvor T er

ω

2 ⋅

T π ω

perioden/svingningstiden. er begyndelsesfasen og angiver, hvor sinuskurven starter. Hvis

ϕ begyndelsesfasen er nul, starter kurven i origo,

( )

0, 0

. Man kan sige, at den parallelforskyder kurven vandret. Lidt mere overskueligt kan udtrykket skrives:

( )_{0}

            2 ⋅ M
f t A e t = ⋅ ⋅ ⋅ + sin

2 ⋅

−⋅ t

T γ π ϕ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Det ses altså, at amplituden bliver dæmpet eksponentielt med tiden t

. Da man i starten antager, at gnidningskraften er proportional med farten, kan man benytte Stokes lov. Dæmpningskonstanten bliver γ

da konstanten i Stokes lov og man får = ⋅ ⋅ ⋅ 6 r.

γ π η

Man kan eksperimentelt bestemme dæmpningskonstanten k_{d} =. Indsætter man konstanten fra

2 ⋅ M γ

Stokes lov kan man bestemme fluidens dynamiske viskositet:

6 ⋅ ⋅ ⋅ r kM_{d} ⋅

2 2 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ M M r

k_{d} = = ⇔ =

γ π η η π

Side 17

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 16 af 38

3 Eksperimentelt

3.1 Forsøg med papirkageforme

3.1.1 Formål

Formålet med forsøget er at undersøge luftmodstanden på en almindelig papirkageform og derved belyse opgaven ”Forsøg med papirkageform” på bilag 1.

3.1.2 Teori

Teorien vil tage udgangspunkt i afsnit 2.4 og 2.5, der begge har stor relevans i forbindelse med eksperimentet.

3.1.3 Apparatur og materialer

- Kageforme af to størrelser: o Store:

Diameter på 63.0 mm.

Masse på 0.302 gram.

o Små:

Diameter på 38.6 mm.

Masse på 0.182 gram.

- Stopur

- Målebånd på 50 m.

3.1.4 Fremgangsmåde

Pga. forsøgets fysiske størrelse (højde), blev jeg assisteret af vejleder og min forhenværende fysiklærer Ole Stener Jensen. Forinden forsøget hængte vi målebåndet op fra øverste etage, så vi kunne måle faldstrækningen.

- Vi lod en kageform falde fra en trappe fra en højde på 9.42 m. Så snart den, formodentlig, havde opnået maksimal hastighed, startede vi

tidtagning ved 7.75 m højde og målte faldtiden t_{1}

til bunden af trappen. Dernæst målte vi faldtiden

t_{2}, hvor tidtagningen i stedet blev startet da

kageformene var i en højde af 3,6 m. Derved håbede jeg at kunne eftervise, at hastigheden allerede efter de første 1.67 m var konstant.

Side 18

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 17 af 38

- Dette gentog vi med op til 5 store kageforme sat oven i hinanden og op til 4 små kageforme. Det viste sig, at hvis man placerede 5 små kageforme oven i hinanden, ramlede de på vejen ned ind i gelænderet.

- Måledataene blev i første omgang noteret på en papirblok og senere sat ind i kategoriserede tabeller i programmet TI-Interactive, som også blev benyttet til databehandlingen.

3.1.5 Resultater og databehandling som bilag

Kun de væsentligste resultater vil blive præsenteret i dette afsnit. Resten vil være at finde på Bilag 2 i afsnit

6.2.

Højder:

- Ole kastede fra en højde på 9,42 m.

- Første måling blev foretaget med en faldstrækning på

1

7.75lm=.

- Anden måling blev foretaget med en faldstrækning på

2

3.6lm=.

Store kageforme:

- Diameter:

6.3d cm=

- Tværsnitareal:

6.3 cm^{2}

2

A cm = ⋅ = 31.17

2 π

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

- Masse:

For at finde den mest præcise masse vejede jeg alle kageforme på samme tid og delte derefter med antallet, for at finde massen af én.

37.73 g

mg== 0.302

125

For hver forsøgsserie er der tabeller for faldtiderne t_{1} og t_{2} samt hastighederne v_{1} og v_{2} på hhv.

faldstrækning l_{1} og l_{2}. Hastighederne er regnet ud fra v =. Ud fra disse resultater er

l t gennemsnitshastighederne fundet for begge strækninger og de indbyrdes afvigelser er regnet efter

vv_{2, 1,}_{gns gns} −
v_{1,}_{gns}

Afv =⋅ 100%. Hastigheden, på den lille faldstrækning v_{2,gns}, afviger fra den længere

faldstrækning v_{1,gns} med mellem 0.04 % og 8.6 %.

Side 19

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 18 af 38

Dernæst er gennemsnitshastighederne for de 5 serier sat sammen i en ny tabel med tilhørende værdier for

                               2
luftmodstanden, F m g=⋅  , samt v . Sammenhængen mellem luftmodstanden og farten i anden
               luft n

potens skulle jf. teorien være lineær. Derfor har jeg vha. TI-Interactive lavet en lineær regression af luftmodstanden som funktion af farten i anden potens. Resultatet er:

Det ses af grafen, at resultaterne netop følger denne lineære sammenhæng med hældningskoefficienten

                                  2
0.000822a = og den høje forklaringsgrad, 0.998r = , vidner om, at måleresultaternes afvigelse fra

forskriften er minimal.

Forskriften for luftmodstanden som funktion af farten må altså blive:

           22
F k A v v= ⋅ ⋅ = ⋅ + 000238         , hvor     0.000822kA⋅= .
 luft

Vi får == 0.2637k.

0.000822

A

Da enheden for kraft er_{2} N =, må der gælde:

kg m ⋅ s

              ⋅⋅
[ ] [ ] [ ] [ ]
      ⎣⎦

2

⎡⎤ F k A v k m k = ⋅ ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅ ⇔ = = ⎡⎤^{22}

2 2 4 3

⎣⎦^{luft}

kg m m kg m kg s s m m

Til slut kan k derfor bestemmes til_{3} k = 0.2637. Der må altså gælde en sammenhæng:

kg m

            22
F k A v A v= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + 0238
 luft

.

Side 20

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 19 af 38

Desuden skulle følgende gælde:

            22
F k A v c A v k c c = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅ ⇔ =

1 1 2 ⋅ k

22 luft w luft w luft w luft ρρ ρ

Men kan altså finde formfaktoren, som for de store kageforme giver:

m^{3}

m^{3}

2 0.2637 ⋅

c_{w} == 0.000528

998.2 kg kg

Små kageforme:

- Diameter:

3.86d cm=

- Tværsnitareal:

2

2

3.86 cm

A cm = ⋅ = 11.7

2 π

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

- Masse:

For at finde den mest præcise masse vejede jeg alle kageforme på samme tid og delte derefter med antallet, for at finde massen af én.

32.79 g

mg== 0.182

180

Resultaterne og databehandlingen er opstillet og udført på præcis samme måde som ved de store kageforme. Gennemsnitshastighedernes afvigelser fra hinanden ligger på mellem 0.7 % og 5.9 %.

Side 21

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 20 af 38

Her lavede jeg også en lineær regression af luftmodstanden som funktion af farten i anden og resultatet er:

Her følger resultaterne også en lineær sammenhæng og det samme gør sig gældende med forklaringsgraden, som også her nærmer sig 1, hvilket vil sige, at måleresultaterne passer rigtigt godt ind i sammenhængen.

Forskriften for luftmodstanden som funktion af farten må altså blive:

           22
F k A v v= ⋅ ⋅ = ⋅ + 000055         , hvor     0.000412kA⋅= .
 luft

k bliver her k == 0.3521

3

0.000412 kg

Am

Der må altså gælde samme sammenhæng som før:

           22
F k A v A v= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + 0055       .
 luft

Også her udregnes formfaktoren for de små kageforme:

m^{3}
998.2_{3}

2 0.3521 ⋅

2 ⋅ k

c_{w} = = = 0.000705

luft kg kg m ρ

Sammenligning af formfaktorerne:

Formfaktorerne er tilsyneladende ikke identiske. Afvigelsen er:

cc_{,,} −
c_{w lille}_{,} 0.000705

000705 −

Afv = = ⋅ = − 100 25.1%

w stor w lille

Side 22

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 21 af 38

Reynolds tal:

Luftens kinematiske viskositet:

m^{2}
=⋅ 1.004 10^{−}^{6}

kin s η

- Store kageforme:

m^{2}
1.004 10^{−}^{6} ⋅

1.85 0.063 ⋅ m

R_{e} = = = 116086

kin m vd ⋅ s s η

- Små kageforme:

m^{2}
1.004 10^{6} ⋅^{−}

R_{e} = = = 79583.7

kin m

⋅ m vd ⋅ s s η

3.1.6 Diskussion

    2
Af vF ,   -graferne ses det, at der er den forventede lineære sammenhæng mellem luftmodstanden og
       luft

( ) kvadratet på farten. Der fås en ganske høj forklaringsgrad, hvilket understreger, at de fundne resultater passer godt ind i sammenhængen. Der fås dog en meget lille konstant adderet på udtrykket, som ikke burde være der. Det skyldes højst sandsynligt måleunøjagtigheder, der må siges at være den eneste rigtige fejlkilde i dette eksperiment. Det krævede meget præcision at starte stopuret så snart kageformene passerede start-højderne og når der først kom 4-5 kageforme oven i hinanden skulle det gå rigtigt hurtigt med at få stoppet stopuret igen.

De meget små afvigelser på kun op til 8.6 % for gennemsnitshastighederne over strækningerne l_{1} og l_{2} for

både store og små kageforme peger også stærkt imod, at kageformene allerede på de første 1.67 meter opnåede konstant hastighed.

Formfaktorernes afvigelse på godt 25 % kan ikke umiddelbart forklares. Den lille kageform lignede en ret præcis skalamodel af den store.

Størrelsen af Reynolds tallene viser, at antagelsen om, at luftmodstanden skulle afhænge af farten i anden potens holder stik. Tallene er nemlig væsentlig over grænsen på 1, hvor strømningerne ellers ville være

laminare, og da jeg har taget udgangspunkt i den mindste af hastighederne, ved beregning af R_{e}, vil denne

kun stige, jo højere hastighed man benytter.

Side 23

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 22 af 38

Figur 3.2.a – Viser forsøgsopstillingen.

3.1.7 Konklusion

Jeg ville med forsøget undersøge luftmodstanden på en almindelig papirkageform. Vha. to forskellige størrelser papirkageforme lavede jeg eksperimenter, hvor jeg lod dem lave frit fald. Jeg fandt at luftmodstanden afhang af farten i anden potens. Det hænger fornuftigt sammen med Reynolds tallet for de to papirkageforme, som lå på minimum 79000, hvilket er væsentlig højere end den nedre grænse på 200 for turbulent strømning for fx kugler. Det blev desuden eftervist, vha. målinger fra to forskellige højder, at kageformene, i løbet af de første 1.67 meter, blev accelereret og opnåede en konstant fart hele vejen til gulvet, da forskellen mellem de to målte hastigheder ikke varierede med mere end 8.6 %.

For sammenhængen mellem luftmodstanden og farten på en papirkageform gælder altså v^{2} -

gnidningsloven.

3.2 Gnidningsmodstanden på en kugle i væske

3.2.1 Formål

Formålet med forsøget er dels at undersøge gnidningskræfter på kugler i væsker og dels at bestemme væskens viskositet.

3.2.2 Teori

Relevant teori vil være at finde i afsnit 2.3, 2.4 og 2.6, der specifikt omtaler dette specialtilfælde, hvor man har en kontravægt og en kugle nedsænket i vand.

3.2.3 Apparatur og materialer

Jeg benyttede en Two-way Pulley, der sammen med programmet Datalyse laver en

( )

,ts -graf for trissens bevægelse og dermed kuglen. Blykuglen bevægede sig op i et ca. 0.5 meter høj målebæger. Som kontravægt konstruerede jeg en lille skål i stanniol, hvori jeg kunne hælde en passende mængde små blykugler. Jeg brugte

Desuden en vægt med 2 decimaler, til at bestemme kontravægtens masse. Tråden, der forbandt blykuglen og kontravægten, lignede en ganske almindelig bomuldstråd.

3.2.4 Fremgangsmåde

Jeg startede med at nedsænke blykuglen, forbundet til kontravægten, i vand, hvorefter jeg passede kontravægten til, så den vejede kun lidt mere end blykuglen, og kuglen netop bevægede sig

Side 24

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 23 af 38 opad i vandet med tilpas lav hastighed. Idet jeg slipper kuglen fra yderstillingen i bunden af målebægeret, starter jeg Datalyse, som noterer kuglens bevægelse op til overfladen og laver ( ),ts -grafen for denne.

Præcis samme fremgangsmåde brugte jeg for glycerol i målebægeret.

3.2.5 Resultater og databehandling som bilag

Graferne i Datalyse kunne man dernæst bearbejde. Man kan lave en såkaldt fitting, som går ud på, at konstruere den bedst mulige kurve ud fra måledataene. Da jeg ville finde slutfarten, altså hældningen af grafen lige inden den knækker ved overfladen, lavede jeg en lineær sammenhæng, som jeg passede ind, så den netop tangerede det øverste af grafen. Måleplots og tangenter ses for hhv. kugle i vand og kugle i glycerol:

De fundne forskrifter for tangenterne er:

( )

( )

Vand s t t: = ⋅ −
Glycerol s t t: = ⋅ −

Kuglens sluthastighed er hhv. 0.103 i vand og 0.070 i glycerol.

m m s s

Da det er formålet at bestemme viskositeten af væskerne, benyttes formlen fra teorien, som lyder:

m_{2}
⎜⎟_{12}

6 ⋅ ⋅ ⋅ rv_{max}

væske kugle

m m g − + ⋅ ⋅

ρ ρ η π

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=

Opdriften på kuglen kan findes mere præcist, da vi kender kuglens diameter, og rumfanget kan findes vha.

3

4

3

Vr = ⋅ ⋅. Udtrykket bliver i stedet:

π

Side 25

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 24 af 38

4 d^{3}
⎜⎟_{12}

6 ⋅ ⋅ ⋅ v_{max}

32

2

⎜⎟ væ ske

m m g − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

d πρ η π

⎛⎞

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠

=

Vands viskositet:

Kuglen vejer_{2} 26.58mg= og har en diameter på 19.03 mm. Kontravægten, da kuglen var i vand, vejede

1

23.27mg=. Vands densitet er_{vand} = 998.2 og kuglens sluthastighed var 0.103. Indsætter man
m^{3} s

kg m ρ tallene i ovenstående udtryk får man vands viskositet:

4 19.03 mm kg^{3}
32 m^{3}

998.2 g g g − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
== 0.1554

19.03 mm m

6 0.103 ⋅ ⋅ ⋅

2 s vand kg ms ⋅ π η π

⎛⎞

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠

Sammenligner man med tabelværdien for vand på

0.001002

kg_{21}

ms⋅ får man en afvigelse på:

1002 −

Afv = ⋅ = %

0.001002

Det er en afsindigt høj afvigelse. Derfor kunne man fristes til at bestemme den teoretiske slutfart af kuglen, ved at bytte om på to af leddene i udtrykket og benytte vands teoretiske viskositet:

4 d^{3}
⎜⎟_{12}
v_{max} == 15.93

32

6 ⋅ ⋅ ⋅

2

⎜⎟ væ ske

m m g − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

m d s πρ πη

⎛⎞

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠

Glycerols viskositet:

Kontravægten vejede her_{1} 22.91mg= og glycerols densitet er_{gly} = 1264. Viskositeten udregnes til:
m^{3}

kg ρ

4 19.03 mm kg^{3}
32 m^{3}

1264 g g g − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
== 0.696

19.03 mm m

6 0.07 ⋅ ⋅ ⋅

2 s gly kg ms ⋅ π η π

⎛⎞

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠

21

Andersen, Erik Strandgaard et al. (2000), Databog fysik kemi, s. 161

Side 26

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 25 af 38

Tabelværdien for glycerols dynamiske viskositet er 1.49 og afvigelsen bliver:

kg_{22}

ms⋅

0.696 1.49 −

Afv = ⋅ = − 100 53.3%

1.49

Reynolds tal:

Det er igen interessant at undersøge, om antagelsen om at Stokes lov må gælde for kuglens bevægelse.

Derfor findes Reynolds tal for både kuglen i vand og i glycerol:

I vand:

m^{2}
1.004 10^{6} ⋅^{−}

R_{e} = = = 1952.28

vd_{s} ⋅

kin m

⋅ mm s s η

I glycerol:

m^{2}

0.07 19.03 ⋅ mm

R_{e} = = = 1.13

0.001179

vd_{s} ⋅

kin m s s η

3.2.6 Diskussion

Det kunne hurtigt konstateres, at den ellers smarte Two-way Pulley ikke var fuldkommen gnidningsfri, da den gik i stå af sig selv, hvis man satte den i bevægelse uden belastning. Hvis belastningen fra kontravægten ikke var stor nok, kunne kuglens bevægelse til tider gå i stå. Det er dog stadig usandsynligt, at kuglen i vand skulle nå at bevæge sig 16 meter i løbet af 1 sekund, når det i praksis tager kuglen godt 4 sekunder at nå ca.

en halv meter. En afvigelse på 15409 % i forhold til vands teoretiske dynamiske viskositet er helt ude i skoven. Reynolds tal, der er mellem 200 og 300000 er som nævnt i teoriafsnittet, svære at regne med. Det kan muligvis være det, at Reynolds tallet for kuglen i vand, ligger midt i mellemområdet, der gør, at der ikke fås det ønskede resultat. Da hverken vejleder eller jeg selv kan forklare denne brøler på bedre vis, må vi altså forkaste resultatet. Det kan simpelthen ikke bruges til noget.

                                                                          23
Den relativt lave viskositet for glycerol kan hænge sammen med, at glycerol er hygroskopisk . Det betyder,

at den optager vanddamp fra omgivelserne, og da den benyttede glycerol har stået fremme i laboratoriet i

22

Jensen, Niels Christian, Bevægelse i væske

23

Wikipedia ”Glycerin”, http://da.wikipedia.org/wiki/Glycerin

Side 27

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 26 af 38 ukendt tid, kan den sagtens have nået at optage en del vanddamp fra luften. Det resulterer altså i, at væsken bliver mere tyndtflydende ligesom vand, og viskositeten bliver mindre. Det var tydeligt, at der ikke kun var ét stof i målebægeret, da man omkring kuglen, når den blev ført op og ned, kunne se væskens laminare strømning og lag af anden gennemsigtighed. Om afvigelsen på godt 53 % kan forklares alene af den grund er dog usikkert. Reynolds tallet taler dog for, at sammenhængen mellem gnidningsmodstanden og farten, er lineær.

3.2.7 Konklusion

Dette eksperiment er nok ikke det bedste af sin slags, når det gælder om at undersøge gnidningskræfterne på kugler i væsker og dermed heller ikke til bestemmelse af viskositeten af væsker. Enten har kuglen ikke fulgt Stokes lov, da den var i vand, ellers har der været fejlkilder af en vis størrelse, siden der fås en afvigelse på 15409 % mellem den fundne dynamiske viskositet og den teoretiske. Reynolds tallet taler for det første, da denne befandt sig i det lidt slørede mellemområde, hvor det er sværere at bestemme sammenhængen mellem gnidningskræfterne og farten. Da kuglen bevægede sig i glycerol derimod, viste det sig, at hvis man tager glycerols hygroskopiske egenskab in mente, er en afvigelse på 53 % ikke så ringe endda. Sammen med Reynolds tal kan man altså konkludere, at man sandsynligvis godt kan anvende Stokes lov til netop denne del af eksperimentet.

3.3 Den dæmpede harmoniske svingning

3.3.1 Formål

Eksperimentet skal undersøge den dæmpede svingning af kugler i væsker med henblik på bestemmelse af dæmpningsfaktoren og viskositeten.

3.3.2 Teori

Den relevante teori vil være afsnit 2.3, 2.4 og især 2.7, som har direkte fokus på netop dette specialtilfælde.

3.3.3 Apparatur og materialer

Til dette eksperiment benyttede jeg samme Two-way Pulley, et stativ til at ophænge fjederen i og samme kugle og målebæger. Fjederen valgte jeg, så kuglen netop kunne lave pæne svingninger og fjederen ikke nåede tilbage til dens startposition, når jeg slap kuglen.

Figur 3.3.a – Viser forsøgsopstillingen.

Side 28

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 27 af 38

3.3.4 Fremgangsmåde

Jeg placerede først kuglen i bægeret med vand, så kuglen var netop i midten af bægeret. Dernæst hev jeg i snoren, så kuglen var få mm. fra bunden, hvorefter jeg slap og startede Datalyse i samme øjeblik. Datalyse plotter måleresultaterne ind på en

( )

,ts

-graf, hvor jeg så kan lave en fitting, og finde forskriften for den dæmpede harmoniske svingning.

Hele forsøget gentages med glycerol i stedet for vand og jeg laver desuden en måling uden væske, altså hvor kuglen bevæger sig gennem luften, for derved at kunne undersøge trissen som fejlkilde.

3.3.5 Resultater og databehandling som bilag

I luft:

De røde cirkler er måledataene mens den fundne graf kun lige skimtes bag punkterne. Forskriften, som blev fundet vha. fitting, er:

( )

              −⋅ 0.049 t
f t e t = ⋅ ⋅ ⋅ + 0.082 sin 0.67

2 ⋅

2 0.3728 ⋅ π

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Den dynamiske viskositet findes vha. formlen fra afsnit 2.7:

sg^{−}^{1} ⋅+

9.19

3

= = = 0.016197

19.03 mm

3 ⋅ ⋅ ⋅ r m s

3 ⋅⋅

2

kM_{d} ⋅ kg

η π π

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Side 29

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 28 af 38

Da en del af fjederen også er i svingning, medregnes en tredjedel af dennes masse. Sammenligner man med

                          24
den teoretiske viskositet for luft

, er der altså en væsentlig afvigelse:

000018 −

Afv = ⋅ = 3%

0.000018

I vand:

Den fundne forskrift er:

( )

              −⋅ 0.416 t
f t e t = ⋅ ⋅ ⋅ − 0.052 sin 0.044

2 ⋅

2 0.376 ⋅ π

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Den dynamiske viskositet af vand er eksperimentel:

sg^{−}^{1} ⋅+

9.19

3

= = = 0.137512

19.03 mm

3 ⋅ ⋅ ⋅ r m s

3 ⋅⋅

2

kM_{d} ⋅ kg

η π π

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

                                          25
Afvigelsen fra vands teoretiske dynamiske viskositet :

000018 −

Afv = ⋅ = 8 %

0.000018

24

Andersen 2000, s. 161

25

Andersen 2000, s. 161

Side 30

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 29 af 38

I glycerol:

Den fundne forskrift er:

( )

               −⋅ 2.005 t
f t e t = ⋅ ⋅ ⋅ − 0.0660 sin 0.661

2 ⋅

2 0.48 ⋅ π

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Den dynamiske viskositet af vand er eksperimentel:

sg^{−}^{1} ⋅+

9.19

3

= = = 0.663

19.03 mm

3 ⋅ ⋅ ⋅ r m s

3 ⋅⋅

2

kM_{d} ⋅ kg

η π π

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Afvigelsen fra glycerols teoretiske dynamiske viskositet:

0.663 1.49 −

Afv = ⋅ = − 100 55.5%

1.49

26

3.3.6 Diskussion

Ved luft og vand har gnidningen i trissen formentligt været meget stor i forhold til den egentlige gnidning i de to fluider. Man må antage, at det har været årsag til de uhyre høje afvigelser. Det kan bedre passe ved glycerol, hvis man igen husker på dens hygroskopiske egenskab, at der er en afvigelse på ca. 56 %. Da dæmpningen var så stor ved glycerol, var der ikke specielt mange toppe at lave grafen ud fra og det var derfor svært at bestemme en god forskrift for grafen.

26

Jensen, Niels Christian, Bevægelse i væske

Side 31

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 30 af 38

3.3.7 Konklusion

Med eksperimentet fik jeg undersøgt den dæmpede harmoniske svingning af kuglen i væske. Der var visse problemer med eksperimentet, formentlig var det gnidning i opstillingen, der gjorde, at jeg fik afvigelser på helt op til 90000 % for svingningen i luft og dermed ikke kunne bestemme væskernes viskositet helt præcist. Alligevel fandt jeg glycerols viskositet til

0.66 kg ms⋅

, der sammenlignet med den teoretiske værdi

giver en afvigelse på 56 %−. Pga. specielle egenskaber ved glycerol kan afvigelsen dog anslås til at være

noget lavere. Jeg fandt desuden, at amplituden bliver dæmpet eksponentielt, hvilket stemmer overens med teorien i afsnit 2.7.

Side 32

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 31 af 38

4 Samlet konklusion

Opgaven skulle undersøge bevægelse med friktion i luft og væske. Jeg fandt via forskellige kilder frem til faktorer, der har indvirkning på friktionen af bevægelsen i fluider. Ting som fluiders viskositet og densitet viste sig at have rigtig stor betydning, men også legemets fart gennem fluiden viste sig at være væsentlig.

Vha. formeludledning fandt jeg frem til, at hvis legemet er kugleformet og bevæger sig med relativt lav hastighed, er fluidens strømning laminar og gnidningsmodstanden er givet ved Stokes lov.

Gnidningsmodstanden er her proportional med farten. Bliver hastigheden dog for høj, og er legemet ikke

tilpas strømlinet, vil væskens strømning blive turbulent. Dette giver anledning til v^{2} -gnidningsloven, hvor

gnidningsmodstanden pludselig afhænger af farten i anden.

Jeg lavede også eksperimenter, der skulle være i stand til at understøtte de teoretiske formler. Forsøg med

papirkageformes frie fald viste sig at følge v^{2} -gnidningsloven, hvilket de ifølge teorien og Reynolds tal også

burde. Jeg fandt de anvendte papirkageformes formfaktor til

0.000528 og

0.000705 for hhv. de store og små forme. Jeg udførte et eksperiment, hvor målet dels var at undersøge og støtte op om teorien for gnidningskræfterne på en kugle i væske og dels at bestemme viskositeten af væskerne. Der viste sig at være større fejlkilder, der gjorde, at afvigelsen fra vands viskositets tabelværdi blev 15409 %. I glycerol blev resultatet dog noget bedre og jeg opnåede en afvigelse på 53 %. Reynolds tal viste dog, at væskestrømningen omkring kuglen i vandet muligvis ikke har været fuldkommen laminar og dette kan muligvis have flyttet ved sammenhængen. Desuden udførte jeg eksperimenter og udledte formler, der havde til formål at undersøge og beskrive den dæmpede svingning af kugler i væsker. Resultatet viste, at gnidningsmodstanden kunne beskrives ved Stokes lov, da kuglen svingede i glycerol og viskositeten kunne bestemmes med en afvigelse fra tabelværdien med 56 % afvigelse. Resultaterne afveg igen voldsomt, da kuglen bevægede sig i vand og luft. Reynolds tal viste også her, at årsagen formentlig har været, at hhv.

væskens og luftens strømning omkring kuglen ikke har været 100 % laminar.

Jeg kan på baggrund af eksperimenterne konkludere, at den udledte teori holder stik. Hastigheden, som ved tørre faste legemer ikke havde nogen betydning, spiller pludselig en stor rolle, når man taler om viskøs gnidning og alt efter om væskens strømning er laminar eller turbulent, afhænger gnidningsmodstanden på

et legeme altså af enten farten i første potens eller farten i anden potens givet ved hhv. Stokes og v^{2} -

gnidningsloven. Der er ikke bare ét men mange aspekter man skal forholde sig til, når man taler gnidning i fluider. Kun vha. teoretiske overvejelser og eksperimentel undersøgelse, kan man komme frem til et nogenlunde entydigt svar.

Side 33

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 32 af 38

5 Litteraturliste

Bøger:

Kilde 1: Andersen, Erik Strandgaard et al. (2000) [1980], Databog fysik kemi, F & K, København Kilde 2: Jacobsen, Claus Schelde (1998), Introduktion til Fluid Mekanik, Den Private Ingeniørfond, Lyngby

Kilde 3: Fredsøe, Jørgen (1990), Hydrodynamik, Den Private Ingeniørfond, Lyngby

Kilde 4: Bisgård, Knud Maack (1984), Hydromekanik, Fysisk Laboratorium, Den kgl. Veterinær- og Landbohøjskole, København

Kilde 5: Christiansen, Gunnar et al. (1987), Mekanik, Laboratoriet for Teknisk Fysik II og III, Lyngby Kilde 6: Nielsen, Arly & Nielsen, Jørgen (2002), Mekanisk Fysik og Varmelære, Erhvervsskolernes Forlag, Odense

Kilde 7: Brydensholt, Morten et al. (2004) [2000], Orbit 3, Systime, Århus

Kilde 8: Eriksen, Åge Bredahl (2000), Strømningsprocesser, notat, Horsens

Udleveret af vejleder:

Kilde 9: Jensen, Niels Christian, Bevægelse i væske, udleveret d. 4.12.2009

Kilde 10: Hemmingsen, Carl, Gnidning i væske, udleveret d. 4.12.2009,

http://www.datalyse.dk/carl/gnidvand.htm, set d.

Kilde 11: Hemmingsen, Carl, Hamoniske svingninger, udleveret d. 4.12.2009

http://www.datalyse.dk/carl/ntharmon.htm, set d.

Kilde 12: Matematikken bag ”den faldende kageform”, udleveret d. 4.12.2009

Hjemmesider:

Kilde 13: Henriksen, Preben Møller, Den harmoniske svingning,

http://uvmat.dk/pmh/uvprojekt/harmoni-net.pdf, set d.
Kilde 14: Wikipedia ”Glycerin”, http://da.wikipedia.org/wiki/Glycerin, set d. 7.12.2009
Kilde 15: Wikipedia “Osborne Reynolds”, http://en.wikipedia.org/wiki/Osborne_Reynolds, set d.

Kilde 16: Wikipedia ”Viskositet”, http://da.wikipedia.org/wiki/Viskositet, set d. 8.12.2009

Side 34

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 33 af 38

6 Bilag

6.1 Bilag 1 – Opgaver fra bilaget ”Forsøg med papirkageforme”

a) Faldtiden for en kugle, der slippes fra en højde af 4 meter over gulvet, når man ser bort fra luftmodstanden:

                                                        2
For frit fald uden modstand benyttes stedfunktionen s t g t v t s= − ⋅ ⋅ − ⋅ + . Startpositionen
                                                            00

( )

1

2

s_{0} er 4 meter over ( ) 0st =, som er gulvet. Kuglen har ikke nogen fart idet, den bliver sluppet,
derfor er_{0} 0v =. Man har altså:

0 0 4 = − ⋅ ⋅ − ⋅ + g t t m^{2}

1 m

2 s

Tiden t skal isoleres i udtrykket:

2 2 2

9.81_{2}

48 mm

t s t s s = ⋅ = = ⇔ = = 9

m g s

Det tager altså kuglen 0.9 sekunder at nå gulvet.

b) Bestemmelse af faldtiden for 5 papirkageforme ud fra de givne forsøgsresultater:

Kageformene når konstant fart, når luftmodstanden er lig med tyngdekraften på legeme. Jf.

Newtons 2. lov betyder det:

                   2
F m g k A v v = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇔ = 0

res s s mg ⋅ kA ⋅

Kageformene opnår konstant fart så hurtigt, at vi kan antage, at de har konstant hastighed hele vejen mod gulvet. Faldstrækningen s vil da være givet ved:

11

1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞^{−−}^{22}

2

s v t t s s m = ⋅ ⇔ = = = ⋅ = ⋅ ⋅
     s

v k A k A          ⋅⋅
 s

s s m g g ⋅ mg ⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ kA ⋅

−

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Faldtiden t afhænger altså af den reciprokke kvadratrod af massen. Desuden er massen ligefrem proportional med antallet af kageforme n

. Derfor må faldtiden også afhænge af den reciprokke kvadratrod af antallet af kageforme. Da faldstrækning, tyngdeacceleration, k og tværsnitarealet er konstant får vi da:

1

2

t c n^{−} =⋅, hvor c s konstant^{2} = ⋅ =

1 g kA ⋅

−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Side 35

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 34 af 38

På baggrund af forsøgsresultaterne, kan man lave en potens-regression af tiden som funktion af antallet af kageforme. Det har jeg gjort i TI-Interactive og resultatet er følgende funktion:

( )

=⋅ 3.80t n n^{−}^{0.50}

Graf for faldtiden som funktion af antallet af papirkageforme.

Dette passer altså nøje med de teoretiske overvejelser. Nu kan faldtiden

( )

5t

, for 5 kageforme sat oven i hinanden, bestemmes:

( )

5 1.70ts=

Faldtiden for 5 papirkageforme er altså 1.7 sekunder.

c) Forklaring af, hvorfor faldtiden bliver den samme, hvis papirkageforme af samme papir, men med forskelligt tværsnitareal slippes fra samme højde:

Vi tager udgangspunkt i udtrykket for tiden^{2} ts =⋅. Massen af et legeme er givet ved

1 mg ⋅ kA ⋅

−

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

rumfanget gange densiteten af stoffet, altså mV =⋅. Rumfanget af papiret i en papirkageform er

ρ

givet ved tværsnitarealet gange papirtykkelsen x. Dvs. m A x = ⋅ ⋅. Substitueres dette ind i

ρ udtrykket for faldtiden fås:

11

A x g x g ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅^{−−}^{22}
t s s = ⋅ = ⋅

k A k ⋅ ρρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Det ses af udtrykket, at faldtiden ikke afhænger af tværsnitarealet. Faldtiden vil altså være den samme, hvis kun tværsnitarealet ændres.

Side 36

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 35 af 38

6.2 Bilag 2 – Resultater til afsnit 3.1 Forsøg med papirkageforme

6.2.1 Resultater for store kageforme

1 stk.: | 3 stk.:

t_{1} i s t_{2} i s v_{1} i m/s v_{2} i m/s t_{1} i s t_{2} i s v_{1} i m/s v_{2} i m/s

4.36 | 1.94 | 1.78 | 1.86 | 2.27 | 1.17 | 3.41 | 3.08
3.94 | 2.25 | 1.97 | 1.60 | 2.41 | 1.20 | 3.22 | 3.00
4.13 | 2.12 | 1.88 | 1.70 | 2.34 | 1.06 | 3.31 | 3.40
4.44 | 2.25 | 1.75 | 1.60 | 2.64 | 1.12 | 2.94 | 3.21
4.07 | 2.09 | 1.90 | 1.72 | 2.38 | 1.24 | 3.26 | 2.90

Gennemsnitsfart: | Gennemsnitsfart:

v_{1,}_{gns} = 1.85 v_{1,}_{gns} = 3.23

m m s s

v_{2,}_{gns} = 1.70 v_{2,}_{gns} = 3.12

m m s s

Afvigelse: | Afvigelse:

vv_{2, 1,}_{gns gns} − vv_{2, 1,}_{gns gns} −
v_{1,}_{gns} v_{1,}_{gns}

⋅ = − 100 8.6% ⋅ = − 100 3.4%

2 stk.: | 4 stk.:

t_{1} i s t_{2} i s v_{1} i m/s v_{2} i m/s t_{1} i s t_{2} i s v_{1} i m/s v_{2} i m/s

3.07 | 1.41 | 2.52 | 2.55 | 2.05 | 1.00 | 3.78 | 3.60
3.08 | 1.43 | 2.52 | 2.52 | 2.05 | 0.99 | 3.78 | 3.64
3.09 | 1.48 | 2.51 | 2.43 | 2.04 | 0.91 | 3.80 | 3.96
3.03 | 1.49 | 2.56 | 2.42 | 2.13 | 0.90 | 3.64 | 4.00
3.02 | 1.43 | 2.57 | 2.52 | 2.06 | 0.99 | 3.76 | 3.64

Gennemsnitsfart: | Gennemsnitsfart:

v_{1,}_{gns} = 2.53 v_{1,}_{gns} = 3.75

m m s s

v_{2,}_{gns} = 2.49 v_{2,}_{gns} = 3.77

m m s s

Afvigelse: | Afvigelse:

vv_{2, 1,}_{gns gns} − vv_{2, 1,}_{gns gns} −
v_{1,}_{gns} v_{1,}_{gns}

⋅ = − 100 1.9% ⋅ = − 100 0.4%

Side 37

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 36 af 38

5 stk.: Gennemsnitsfart:

t_{1} i s t_{2} i s v_{1} i m/s v_{2} i m/s

1.81 | 0.86 | 4.28 | 4.19
1.84 | 0.86 | 4.21 | 4.19
1.84 | 0.88 | 4.21 | 4.09
1.83 | 0.88 | 4.23 | 4.09
1.83 | 0.87 | 4.23 | 4.14

v_{1,}_{gns} = 4.24

m s

v_{2,}_{gns} = 4.14

m s

Afvigelse:

vv_{2, 1,}_{gns gns} −
v_{1,}_{gns}

⋅ = − 100 2.3%

Sammenligning af sluthastighed og luftmodstand: n v

Antal forme m i g

m n m =⋅          F m g=⋅
                    luft n
  n

iN i s i

v^{2}

2 m s

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

0 0.000 0.00000 0.00 0.00

1 0. 302 0.00296 1.85 3.42

2 0. 604 0.00592 2.53 6.40

3 0. 906 0.00888 3.23 10.43

4 1.207 0.01184 3.75 14.06

5 1.509 0.01481 4.24 17.98

Hastighederne benyttet er v_{1,gns}, da disse formodes mest præcise. Jeg har her selv indsat punktet (0,0), da

der jo ikke forventes at være nogen luftmodstand, når der ikke er nogen kageforme. Det hjælper blot til at finde den bedst mulige regression.

Side 38

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 37 af 38

6.2.2 Resultater for små kageforme

1 stk.: | 3 stk.:

t_{1} i s t_{2} i s v_{1} i m/s v_{2} i m/s t_{1} i s t_{2} i s v_{1} i m/s v_{2} i m/s

3.56 | 1.78 | 2.18 | 2.02 | 2.08 | 0.94 | 3.73 | 3.83
3.81 | 1.73 | 2.03 | 2.08 | 2.21 | 1.10 | 3.51 | 3.27
3.77 | 1.77 | 2.06 | 2.03 | 2.09 | 1.13 | 3.71 | 3.19
3.76 | 1.75 | 2.06 | 2.06 | 2.16 | 1.08 | 3.59 | 3.33
3.86 | 1.74 | 2.01 | 2.07 | 2.22 | 1.08 | 3.49 | 3.33

Gennemsnitsfart: | Gennemsnitsfart:

v_{1,}_{gns} = 2.07 v_{1,}_{gns} = 3.60

m m

s | s

v_{2,}_{gns} = 2.05 v_{2,}_{gns} = 3.39

m | m

s s

Afvigelse: | Afvigelse:

vv_{2, 1,}_{gns gns} − vv_{2, 1,}_{gns gns} −
v_{1,}_{gns} v_{1,}_{gns}

⋅ = − 100 0.7% ⋅ = − 100 5.9%

2 stk.: | 4 stk.:

t_{1} i s t_{2} i s v_{1} i m/s v_{2} i m/s t_{1} i s t_{2} i s v_{1} i m/s v_{2} i m/s

2.59 | 1.19 | 2.99 | 3.03 | 1.89 | 0.92 | 4.10 | 3.91
2.78 | 1.23 | 2.79 | 2.93 | 1.84 | 0.96 | 4.21 | 3.75
2.80 | 1.21 | 2.77 | 2.98 | 1.80 | 0.94 | 4.31 | 3.83
2.66 | 1.22 | 2.91 | 2.95 | 1.94 | 0.91 | 3.99 | 3.96
2.77 | 1.26 | 2.80 | 2.86 | 1.84 | 0.81 | 4.21 | 4.44

Gennemsnitsfart: | Gennemsnitsfart:

v_{1,}_{gns} = 2.85 v_{1,}_{gns} = 4.16

m m

s | s

v_{2,}_{gns} = 2.95 v_{2,}_{gns} = 3.98

m | m

s s

Afvigelse: | Afvigelse:

vv_{2, 1,}_{gns gns} − vv_{2, 1,}_{gns gns} −
v_{1,}_{gns} v_{1,}_{gns}

⋅= 100 3.3% ⋅ = − 100 4.5%

Side 39

[navn fjernet] SRP – [navn fjernet]

Mekanik – Bevægelse med friktion i luft og væsker

3.b Tønder Gymnasium & HF

Side 38 af 38

Sammenligning af sluthastighed og luftmodstand: n v

Antal forme m ig

m n m=⋅             F m g=⋅
                     luft n
  n

iN i s i

v^{2}

2 m s

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

0 | 0. 000 | 0.00000 | 0.00 | 0.00
1 | 0. 182 | 0.00179 | 2.07 | 4.28
2 | 0. 364 | 0.00357 | 2.85 | 8.12

3 0. 547 0.00536 3.60 12.96

4 0. 729 0.00715 4.16 17.31