SRP om Bevægelse i homogent magnetfelt i Matematik og Fysik

Side 1

04 1 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

En elektrisk ladnings bevægelse i et homogent magnetfelt

STX 3.g

Nærum Gymnasium 2010

Side 2

04 2 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Indholdsfortegnelse

Abstract 3

Indledning 4

Kapitel 1 – Elektriske partikler og magnetfelter 6

Introduktion og disposition 6

Udledning af Laplaces lov 6

Elektriske partikler i et magnetfelt 7

Magnetfelter, deres størrelse og retning 9

Hall-sonden 10

Kapitel 2 – Vektorteori 12

Introduktion og disposition 12

Den matematiske teori 12

Vektorproduktet 13

Den geometriske fortolkning af vektorproduktet 14

Den matematiske teori anvendt på elektronerne i magnetfeltet 15

Kapitel 3 – Forsøg til bestemmelse af e/m 16

Introduktion og disposition 16

Beskrivelse af forsøget 16

Acceleration af elektroner til konstant hastighed 17

Et homogent magnetfelt og dets dannelse 18

Udledning af formlen for beregning af e/m 20

Forsøgsresultater 21

Beregning af elektronens masse 23

Kapitel 4 – Perspektivering 25

Introduktion og disposition 25

Partikelacceleratorer 25

Cyklotroner 25

Synkrotroner 27

Energiproduktion ved kernefusion 28

Massespektropi 30

Litteraturliste 31

Bilag 1 - Forsøgsbeskrivelse 32

Side 3

04 3 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Abstract

This report deals with the fundamental formula for how a charged particle moves in a magnetic field:

Through the application of a series of physical theories, e.g. on magnetism, and forces from gravitational movements derived from Newton’s Laws, and mathematical theories concerning vectors in a 3-dimensional space, the fundamentals behind the formula is described and illustrated. I have in the report, each time I use a theory, argued why I have done so.

All these theories are being used on a practical experiment, where I use a Filament Beam Tube to study the forces on electrons in a magnetic field through their movements. The tube primarily consists of an electron gun and a magnetic field coming from a set of

Helmholtz coils. The experiment aims at showing the e/m relation. I used the e/m relation

to find the mass of an electron, and one of my results from the series of results I made, actually confirmed the electron mass with a deviation of only 2.1 % from the published value.

Particle movements in a magnetic field have many applications, both from a scientific and commercial perspective. In this report, I also discuss a number of these applications.

I have used my own schoolbooks, searched literature in NAGs library, have received an article from my teacher, and also, I have studied a substantial number of reports and articles on the internet to support my report.

Side 4

04 4 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Indledning

Ladede partiklers bevægelse i magnetfelter er et fænomen, der har været kendt af menneskeheden længe gennem naturfænomenet ”Nordlys”. Nordlys dannes, når elektrisk ladede partikler fra solen bevæger sig ind i jordens magnetfelt, og partiklerne rammer atmosfæren.

Mennesket har gennem fysikken og matematikken til fulde forstået, hvad det er der sker, når en elektrisk ladning bevæger sig i et magnetfelt – og for den sags skyld også i et elektrisk felt. Denne forståelse danner blandt andet grundlaget for en række af de teknologier, vi anvender i hverdagen, herunder fjernsynet, massespektrometeret og meget andet.

Denne opgave vil udelukkende handle om elektriske partiklers bevægelse i magnetfelter, og formlen er nok den formel, der bedst illustrerer, hvad hele denne opgave går ud på.

Formlen beskriver ganske kort, at en elektrisk ladning (q), der sendes ind et magnetfelt med en retning og en styrke beskrevet ved vektoren B, vil blive påvirket af en resulterende kraft med en retning og en størrelse beskrevet ved vektoren F.

Formlen er fremkommet ved observationer af elektriske partiklers bevægelse i magnetfelter, og kan udledes efter Laplaces lov, som jeg vil vise.

Opgaven kombinerer emner fra fysikken og vektorteori i rummet fra matematikken.

Jeg har valgt at inddele opgaven i 4 kapitler, der beskriver hver deres punkt fra problemformuleringen.

I kapitel 1: ”En redegørelse for den kraft, der påvirker en elektrisk ladning i et magnetfelt” vil jeg redegøre nærmere for fysik og fysikteorier i opgaven. Jeg vil komme ind på definitionen af magnetfelter og magnetisk flux gennem en beskrivelse af Gauss’ lov for magnetfelter og deres størrelse.

I kapitel 2 ”En indføring af vektorproduktet for 2 vektorer i rummet og en redegørelse for vektorproduktets størrelse og retning” gennemgår jeg den matematiske teori i opgaven.

Jeg ser på vektorer, deres skalarprodukt og krydsprodukt (vektorprodukt), og vil specielt fokusere på den geometriske fortolkning af disse vektorprodukter, da det også er denne geometriske fortolkning, jeg skal bruge til at beskrive de kræfter, der påvirker elektriske partikler i magnetfelterne.

Kan man måle vægten af en elektron?

Side 5

04 5 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Som bekendt er en elektron en meget lille størrelse, så lille, at der skal helt specielle metoder til for at bestemme dens masse. Og det er netop emnerne og teorierne fra kapitel

1 og 2 der finder anvendelse i et apparat betegnet ”Helmholtz-spole” der gør, at man kan måle vægten af en elektron. Kort fortalt er apparatet en opstilling, hvor et homogent magnetfelt (et magnetfelt, hvor størrelse og retning er ens i alle punkter) omgiver en glaskuppel fyldt med neon, hvor en elektronkanon skyder elektroner ind som så afbøjes af magnetfeltet.

I kapitel 3 ”En udførelse af forsøg til bestemmelse af forholdet mellem den elektriske ladning og massen af en elektron”, suppleres de grundlæggende teorier fra kapitel 1 og 2 med yderligere teorier fra matematikken og fysikken (bl.a. bruges Maxwells 4. sætning, Newtons 2 lov mm.).

I kapitlet beskriver jeg hvordan jeg har lavet en forsøgsopstilling med en ”Helmholtz-spole” og foretaget en række målinger som jeg så indsætter i de teorier, jeg har redegjort for, for derefter at vise, at jeg er i stand til at bestemme forholdet mellem en elektrons ladning og masse – og dermed elektronens masse.

Til sidst i kapitel 4 ”En perspektivering til anvendelser i partikelacceleratorer som Large Hadron Collider (LHC) på CERN” vil jeg lave en yderligere perspektivering af opgaven, og komme ind på nogle af de mest ekstreme anvendelsesområder der findes i dag er for elektriske partiklers bevægelse i magnetfelter. I LHC bruges teknologierne til at undersøge områder indenfor kernefysikken, man indtil videre ikke har kunnet foretage med andet udstyr. Jeg vil også kort beskrive hvorledes man kan forestille sig at kunne anvende elektriske partikler i magnetfelter til – måske – fremtidens energiforsyning hvor man eksperimenterer med at opbevarer elektriske partikler under helt ekstremt høje temperaturer (plasma) i et magnetfelt i en såkaldt ”TOKAMAK-reaktor” og forsøger at lave kernereaktionerne i plasmaet for at danne energi.

Side 6

04 6 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Kapitel 1 – Elektriske partikler og magnetfelter

En redegørelse for den kraft, der påvirker en elektrisk ladnings bevægelse i et homogent magnetfelt Introduktion og disposition

Der er sket meget, siden den berømte danske fysiker Hans Christian Ørsted opdagede, at der var en sammenhæng mellem elektrisk strøm og magnetisme.

I dette kapitel vil jeg nærmere redegøre for, hvorledes en elektrisk ladet partikel bevæger sig i et homogent magnetfelt. Jeg vil ud fra H.C. Ørsteds opdagelse komme ind på Laplaces lov, der siger noget om den kraft, de påvirker en elektrisk ledning i et magnetfelt, og via denne lov udlede ”grundformlen” for den vektorkraft, der virker på en elektrisk ladet partikel i et magnetfelt:

Jeg vil derudover i dette afsnit beskrive forskellige eksempler på magnetfelter, og komme lidt ind på måletætheden for magnetisk flux, Tesla.

Så vil jeg perspektivere det lidt ved at kigge på magnetfelter, for nærmere at kunne beskrive og definere vektoren B. Jeg vil også se lidt på Maxwells ligninger og Gauss lov, som er den lov, der definerer magnetisk tæthed gennem en lukket overflade.

Til sidst vil jeg se på, hvordan jeg kan måle det magnetisk flux’ størrelse, |B|, gennem brug af et instrument, der hedder en Hall-sonde. Måling af magnetfeltets størrelse er afgørende for at jeg kan gennemføre mit forsøg i kapitel 3.

H.C. Ørsted blev verdensberømt for opdagelsen af elektromagnetismen. Han forklarede i bogen ’Ansicht der chemischen Naturgesetze’ at en elektrisk strøm ikke var en jævn transport af elektricitet, men derimod en slags kamp mellem 2 modsatte kemiske grundkræfter, der prøvede at neutralisere hinanden. I en leder med stor modstand ville denne kamp kunne blive så intens, at varme og lys ville opstå. Det ville desuden være naturligt at vente, at der kunne opstå magnetiske virkninger. [1]

Ørsted påviste senere dette ved at holde en strømførende ledning hen over et kompas og få kompasnålen til at give udsving.

Laplaces lov (opkaldt efter Pierre-Simon Laplace) er en viderebygget version af H.C.

Ørsteds tanker om at elektriske ledere kan skabe magnetisme. Laplace viste gennem en række forsøg (altså empiri, ikke teori) at der var en direkte sammenhæng mellem den kraft, der påvirker et ledningstykke i et magnetisk felt, og lederens længe, magnetfeltets styrke samt den vinkel, lederen var placeret på i forhold til magnetfeltets retning.

Udledning af Laplaces lov

Jeg vil se lidt nærmere på Laplaces forsøg og hvad han fandt frem til.

Jeg forestiller mig at jeg har en elektrisk leder placeret i et homogent magnetfelt (se figur

1):

1

’Den Store Danske’ om H.C. Ørsted

Side 7

04 7 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Laplace fandt gennem sine forsøg ud af, at størrelsen af kraften F på et ret lederstykke med længden L, når strømstyrken i lederen er I, og lederen befinder sig i et homogent magnetfelt med fluxtætheden B, kunne beskrives ved formlen:

hvor ϴ er den vinkel, lederen danner med feltlinjerne.”^{2}

Dette betegnes Laplaces lov.

Ved at se på Laplaces lov kan man også se hvordan enheden for magnetisk styrke ser ud:

Laplaces lov, lettere omskrevet:

Hvis man indsætter SI enhederne i formlen herover fås, at enheden for B kan udtrykkes som:

B:

Enheden for B, kaldes T, eller Tesla. Enheden er opkaldt efter den berømte amerikanske

elektroingeniør med serbiske rødder Nikola Tesla.^{3}

Ved at bruge Laplaces empiriske formel, kan jeg nu teoretisk udlede formlen for, hvorledes en enkelt ladet partikel vil opføre sig i et magnetfelt. Dette vil jeg beskrive i det efterfølgende.

Elektriske partikler i et magnetfelt

Da en elektrisk leder som sagt påvirkes af et magnetfelt, er det naturligt at gå ud fra at det er de elektrisk ladede partikler der påvirkes, eftersom lederen ikke påvirkes når der er slukket for strømmen og partiklerne ikke er i bevægelse.

Jeg bruger igen Laplace, og man kan ud fra disse tanker forestille sig, at der i lederen i magnetfeltet med Længden L befinder sig et ”antal elektroner” i dette lederstykke. Hvis vi forudsætter, at kun disse påvirkes, virker det logisk at vi kan jeg beregne kraften på én elektron som følger:

, her sætter jeg sin(ϴ) = 1, da jeg forudsætter, at

lederen er vinkelret på magnetfeltet.

Denne formel kan jeg så omskrive gennem følgende 3 trin:

2

Orbit 3 side 25

3

Se mere information om Nikola Tesla på www.tesla-museum.org

Side 8

04 8 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

1. Find en formel for længden af lederen L: Elektronerne bevæger sig gennem ledningen med en gennemsnitshastighed, som vi kalder v. Hvis vi forudsætter, at det tager elektronen Δt sekunder at passere gennem hele ledingsstykket, må det

gælde at længden af leder L kan beskrives ved: L = v*Δt.

2. Find en formel for strømstyrken I: Strømstyrke defineres som ladning pr. tidsenhed.

Vi kan forestille os, at i løbet af tidsintervallet Δt under 1, erstattes alle frie elektroner i lederen L med et sæt nye, frie elektroner. Strømstyrken må derfor kunne beskrives som: hvor q er elektronens ladning.

3. Disse to formler for henholdsvis L og I, fundet under (1) og (2) kan nu indsættes i hovedformlen, og dette bliver til: , og det ses, at dette udtryk kan forkortes til:

Hermed har jeg vist, at kraften på en elektrisk ladning er produktet af ladningens størrelse, hastighed og magnetfeltets styrke.

Men jeg mangler noget – nemlig sammenhængen mellem retningsbeskrivelserne for henholdsvis hastigheden, magnetfeltet og kraften.

Det viser sig, at man kan beskrive kraftens størrelse og retning ud fra vektorproduktet af hastighedsvektoren v og feltvektoren B. Vektorprodukter vil jeg komme nærmere ind på i kapitel 2, og jeg vil her nøjes med at konstatere, at det forholder sig sådan.

Ser man på retningen af kraften, kan denne findes ved højrehåndsreglen [4] (figur 2):

Højrehåndsreglen fungerer på den måde, at:

1. Man starter med at finde det todimensionelle plan, som både B-vektoren og v-vektoren går igennem.

2. Så sætter man B- og v-vektorernes startpunkter mod hinanden.

3. Så tager man højre hånd, og med fingrene ”knytter” man v-vektoren ind

mod B-vektoren mens man – bogstaveligt talt – lader · tommelfingeren

stritte op i luften.

4. F-vektorens retning er da givet ved tommelfingerens retning, og helt præcist står kraftvektoren vinkelret på de todimensionelle plan, der indeholder B- og v-vektorerne (se vektorteori i kapitel 2).

Ovenstående højrehåndsregel brugte jeg i øvrigt i mit forsøg (kapitel 3) til at finde ud af

                                                                               5
hvordan B-feltet skulle vende, så mine partikler beskrev en cirkelbue i forsøgsopstillingen.

4

Se ”University Physics”, kapitel 28 side 868

Side 9

04 9 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Som med Laplaces lov gælder, at , hvor ϴ er vinklen mellem v- og B-vektorerne.

Og dette kan så igen, som det vises i kapitel 2, udtrykkes ved vektorproduktet:

.

Magnetfelter, deres størrelse og retning

En af parametrene i min formel er magnetfeltet, vektoren B. Jeg vil se lidt nærmere på magnetfelter, deres størrelse og retning i det efterfølgende.

Magnetisk flux

Magnetisk flux defineres som det antal magnetiske feltlinjer, B, der passerer gennem en flade, A. Hvis man forestiller sig, at de magnetiske feltlinjer står vinkelret på en given flade, gælder det at:

Dette betyder så at . Derfor kalder man også nogle gange B for ”magnetisk

fluxtæthed”^{6}. SI-enheden for B fandt jeg under Laplaces lov. Denne enhed kaldes som

bekendt for T (Tesla)

Hvis man forestiller sig, at man har en ikke-homogen flade, og hvis man forestiller sig, at magnetfeltet ikke står vinkelret på fladen, kan ”fluxbidraget” gennem et arealelement ΔA, beskrives til:

Og det følger så fra matematikkens læresætninger, at:

5

Retning af B feltet i mit forsøg kan i øvrigt også findes gennem anvendelse af en anden højrehåndregel, idet man lægger højre hånd på Helmholtz spolerne, lader fingrene glide i strømmens retning, og den strittende tommelfinger viser da feltets retning.

6

Se Fysik i Grundtræk, Ellære 2B side 36.

Side 10

04 10 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Det helt specielle ved magnetfelter er, at feltlinjerne er lukkede, dvs. de har en start og en slutning – fra pol til pol. Dette modsat elektriske felter, der kan have et startpunkt, men ikke noget slutpunkt.

Dette princip udnyttes i Gauss lov (se figur 3).

Hvis man forestiller sig, at man i et magnetfelt placerer en lukket flade (en bold, en kasse eller andet) gælder det, at hvis man regner magnetfeltets retning med, at summen af al flux, eller den samlede flux, gennem denne flade er lig med 0. Dette kan udtrykkes matematisk ved:

. Denne lov kaldes Gauss lov.

Sammenfattende kan magnetisk flux beskrives ved 4 ligninger – Maxwells ligninger [7].

Gauss lov er faktisk det samme som Maxwells 1 og 2 ligning, hvor Maxwells 1 ligning er for elektriske felter, og Maxwells 2. Ligning er Gauss lov for magnetiske felter.

Maxwells 3 og 4 ligning udtrykker noget man kalder ”feltets cirkulation langs en lukket kurve”. Maxwells 3 ligning handler om elektrisk felter, og Maxwells 4 ligning handler om magnetfelter. Maxwells 4 ligning kan man bruge til at beregne den magnetiske flux omkring elektriske ledere. Om lederen er en lige leder, eller om lederen er en spole, så kan man bruge ligningen. Jeg vil ikke udlede formler for flux her ved brug af Maxwell, men blot lige nævne, at magnetfeltet omkring de sæt af bestående af 2 Helmholtz-spoler, som jeg bruger i mit forsøg i kapitel 3, kan beregnes ved brug af Maxwells 4. Ligning [8].

Udtrykket er: - denne formel bruger jeg også i kapitel 3.

Hall-sonden

Nu har jeg beskrevet hvorledes man gennem teorien kan udlede størrelsen af det magnetiske felt.

En anden måde at bestemme størrelsen af det elektriske felt på, er ved at bruge måleapparatur.

Til at måle styrken af et magnetfelt, har man udviklet en såkaldt Hall-sonde (også kaldet et Teslameter eller et Gaussmeter – se figur 4). Hall-sonden virker på den måde, at en lille plade af særligt materiale anbringes vinkelret på feltlinjerne i det magnetfelt, vi skal måle

(se figur 5). Når der sendes en elektrisk strøm gennem pladen i dennes længderetning, vil der opstå en elektrisk spændingsforskel på tværs af pladen.

7

Se Orbit side 234 – Maxwells ligninger.

8

Se ”Måling af Magnetfelter” side 3, af Uffe Pedersen, http://www.uffepedersen.dk/pdf/fysik/3.pdf

Side 11

04 11 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Figur 4 – En Hall-sonde Figur 5 – Principskitse af en Hall-sonde

Man kan vise, at størrelsen af denne spændingsforskel vil være proportional med fluxtætheden og er derfor et mål for størrelsen af B.” [9]. Beviset vil jeg ikke udlede her, men henvise til at det står i ”Orbit 3” på side 33.

U =k*B.

Konstanten k er afhængig af, hvilket materiale pladen er lavet af. Man bruger halvledere som materialer, da disse giver en spændingsforskel man kan måle, modsat ”normale” metaller, som kun giver en forsvindende lille spændingsforskel og dermed bliver måleusikkerheden større.

9

Orbit 3 side 33

Side 12

04 12 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Kapitel 2 – Vektorteori

En indføring af vektorproduktet for to vektorer i rummet og en redegørelse for vektorproduktets størrelse og retning Introduktion og disposition

Jeg vil gennemgå den matematiske teori i opgaven. Som grundlag for dette afsnit vil jeg bruge kapitlerne 4 - ”Rumgeometri 1” samt kapitel 5 – Rumgeometri 2 fra bogen MAT A3.

Jeg ser på vektorer i rummet, og de indledende definitioner. Jeg kommer ind på vektorers skalarprodukt, som jeg blandt andet kan bruge til at finde en vinkel mellem 2 vektorer

(eksempelvis vinklen mellem B- og v-vektorerne når partikler bevæger sig i et magnetfelt).

Så vil jeg bruge kapitel 5 til at se på det såkaldte krydsprodukt, eller vektorprodukt, mellem

2 vektorer i rummet, og jeg vil specielt fokusere på den geometriske fortolkning af disse vektorprodukter. Jeg kan ved hjælp af denne geometriske fortolkning beskrive den teori og dermed de kræfter, der påvirker elektriske partikler i magnetfelterne som beskrevet i kapitel 1.

Den matematiske teori

Når jeg løser kapitel 4, kan jeg se, at rigtigt mange af de regneregler der gælder for vektorer, når man arbejder i 2 planer, x og y aksen, også gælder når man arbejder med vektorer i 3 planer, hvor man definerer en 3. Akse – z-aksen.

Vektorer i 3 planer kan opløses efter basisvektorer ud af 3 akser, præcist som de kan i 2 planer. Eksempelvis gælder så de samme regneregler for addition og subtraktion af vektorer, som der gør i 2 planer, eksempelvis gælder (formlen til venstre):

En anden regneregel for vektorer i 3 dimensioner, der er identisk med vektorregning i 2 dimensioner, er vektorernes skalarprodukt. Det er vigtigt, jeg kigger lidt på skalarproduktet, fordi det blandt andet kan bruges til at finde vinklen mellem to vektorer.

Jeg ved fra den 2-dimensionelle vektorteori, at det gælder [10]:

Og da regnereglerne er ens for vektorer i 3 dimensioner, gælder for 2 vektorer i 3- dimensionelle rum a og b, at deres skalarprodukt er [11]:

Det fremgår endvidere af side 105, at både den kommutative lov, den distributive lov samt loven om talfaktorers multiplikation af vektorer, altså de love vi har set fra vektorer i det 2- dimensionelle rum, også gælder for vektorer i det 3- dimensionelle rum.

10

Mat A1 side 215

11

Mat A3 side 104

Side 13

04 13 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Disse love eller regneregler er også vigtige, da de bl.a. benyttes senere når jeg skal se på krydsproduktet af 2 vektorer.

En vektors længde kan bestemmes af [12]:

Nu har jeg fået defineret skalarproduktet, og jeg har fået defineret, hvorledes jeg finder længden af en vektor.

Disse to ting, skalarproduktet og længderne, kan jeg benytte, når jeg skal finde vinklen mellem 2 vektorer i rummet. Denne vinkel vil jeg eksempelvis gerne bruge, når jeg vil finde vinklen mellem magnetfeltets vektor og en partikels hastighedsvektor i et felt. Denne vinkel, som vi så i kapitel 1 var vigtigt, for at jeg kunne udregne den resulterende kraft på partiklen ud.

Vinklen mellem 2 vektorer i rummet er givet ved [13]:

Nu da jeg har en metode til at finde vinklen mellem vores hastighedsvektor og vort magnetfelt, så kan jeg se på, hvorledes jeg beregner den afledte 3. vektor (kraftvektoren i mit forsøg).

Her ser jeg på kapitel 5 i Mat3, som introducerer begrebet vektorproduktet, eller krydsproduktet. Krydsproduktet er netop et udtryk for størrelsen af den resulterende vektor

– altså kraftvektoren, hvis jeg tænker på emnet for min opgave.

Vektorproduktet

Jeg vil først se på den matematisk teori for vektorproduktet, og så vil jeg bagefter se på den geometriske fortolkning af vektorproduktet.

Den matematiske teori tager udgangspunkt i, at jeg har 3 vektorer, a, b og p.

Jeg forestiller mig nu, at jeg laver et plan, som både vektorerne a og b ligger i. Jeg vil så gerne definere p-vektoren som en vektor, der ligger vinkelret på planet, altså en vektor som står vinkelret på planet a og b ligger i.

På siderne 127 og 128 i Mat 3 gennemgås teorien for dette. Jeg vil ikke gennemgå det hele her, men nøjes med at skrive lidt om hvad man principielt gør for at lave en beregningsmetode for et vektorprodukt:

1. Da p står vinkelret på både a og b, udnytter man, at skalarprodukterne a*p = 0 og
b*p = 0, da cos(v) = 0, hvilket kan ses af formlen midterst på denne side.

12

Se Mat A3 side 106

13

Se Mat A3 side 109

Side 14

04 14 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

2. Man definerer så, at p-vektoren skal have en størrelse, så dens z-koordinat i (x, y,

z) koordinatsystemet bliver = 1.
3. Man udleder så ligningerne for skalarprodukterne med z= 1, og får:

4. Gennem brugen af de lige store koefficienters metode [14], kan man udlede udtryk for x og y og z, der viser sig at kunne udtrykkes som et sæt af determinanter, der består af koefficienterne til a- og b-vektorerne.

5. Man får til sidst defineret en P-vektor, der står vinkelret på både a og b, som et sæt af determinanter, der udtrykker x, y og z.

Resultatet af 5-trins metoden herover kan udtrykkes ved definitionssætningen på side 128 i Mat 3:

Som det ses, er resultatet en vektor – modsat skalarproduktet fra tidligere, der jo var et tal.

Den geometriske fortolkning af vektorproduktet.

Vektorproduktet kan anskues geometrisk:

Vektorproduktet vil altid stå vinkelret på det plan, og udspænder. Hvis planet som og udspænder, er vandret, kan vektorproduktet gå i to retninger: opad og nedad. Dette er bestemt ved omløbsretningen fra til . Hvis omløbsretningen er positiv, dvs. mod uret, vil pilen gå opad, og modsat hvis omløbsretningen er negativ, dvs.

med uret, vil pilen gå nedad.

Jeg kan her se højrehåndsreglen, som jeg beskrev i kapitel 1, i anvendelse, hvis jeg forestiller mig, at a-vektoren er magnetfeltet og b vektoren er hastighedsvektoren.

Det sidste, jeg har brug for at vide, er størrelsen af vektorproduktet, altså længden af den resulterende vektor (kraftvektoren)

Det gælder her, at^{15}

14

Se Mat A1 side 214

Side 15

04 15 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

”Sætning 1: Når og er vektorer i rummet, og v er vinklen mellem dem, er

.

Længden af vektorproduktet er lig med arealet af det parallelogram, som og

udspænder.”^{16}

Der bliver ført matematisk bevis for dette på siderne 132 og 133 i Mat A3. Jeg vil ikke føre beviset her, men henviser til disse sider.

Den matematiske teori anvendt på elektronerne i magnetfeltet

Nu skal jeg til at bruge formlen , som også står på forsiden. Hvis man sammenligner denne formel med det foregående under ’Den matematiske teori’, kan det

ses at = og = . Ved at gange dette vektorprodukt med q får jeg vektoren .

15

Se Mat A3 side 132

16

Mat A3 side 132

Side 16

04 16 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Kapitel 3 – Forsøg til bestemmelse af e/m

En udførelse af forsøg til bestemmelse af forholdet mellem den elektriske ladning og massen for en elektron Figur 6 – Forsøgsopstilling

Introduktion og disposition

I indledningen stiller jeg spørgsmålet, om det er muligt at måle massen af en elektron.

Forsøget jeg har udført i forbindelse med denne opgave, giver mig et tal på forholdet (z =
q/m) mellem den elektriske ladning (q) af elektronen, og massen (m) af elektronen. Dette

vil jeg redegøre for, og så vil jeg til slut i kapitlet redegøre for, hvorledes jeg via litteratursøgning har fundet frem til, hvordan man finder ladningen af en elektron q, således at massen kan bestemmes efter ligningen:

Beskrivelse af forsøget

Overskriften til dette forsøg hedder på engelsk ’Filament Beam Tube’, hvilket direkte oversat til dansk betyder ’Vedvarende Strålerør’, hvilket beskriver den vedvarende stråle af elektroner, der udspringer fra elektronkanonen (se figur 7 på næste side).

Forsøget foregår reelt set i tre dele:

1. Ionisering af Bariumoxid (BaO)

Inde i elektronkanonen findes der bariumoxid og en negativt ladet katode, der opvarmer bariumoxiden til 850 °C. Ved denne opvarmning opstår der positivt ladede ioner af Bariumoxid og elektroner for sig.

Side 17

04 17 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

2. Acceleration af elektroner til konstant hastighed

De positivt ladede bariumoxid-ioner holder sig i nærheden af den negativt ladede katode, mens de negativt ladede elektroner bliver accelereret hen imod den positivt ladede anode, som også findes inde i elektronkanonen. Denne anode har form som en ring, og elektronerne passerer gennem denne ring og ud i glaskuplen, der er fyldt med neongas under lavt tryk.

3. Afbøjning af elektronstrålen i et homogent magnetfelt

Som forsøgsopstillingen viser, er glaskuplen placeret i midten af et homogent magnetfelt, der skabes af Helmholtz-spolerne. Magnetfeltet påvirker elektronstrømmens bane, og denne bane kan der manipuleres med ved enten at ændre på strømstyrken der sendes igennem spolerne, og derved størrelsen af det magnetiske flux, eller at ændre på elektronernes hastighed ved at ændre på spændingen i elektronkanonen. Højere strømstyrke giver større kraft, og derved mindre radius af spiralen. Højere spænding giver større hastighed af elektronerne, og dermed større radius af spiralen. Jeg opskrev to skemaer med de data, jeg iagttog under forsøget. Disse skemaer kan ses senere i kapitlet under punktet

”Forsøgsresultater”.

Den blå lysstråle man kan se er ikke elektronerne i sig selv, da disse er så små at de er umulige at se med det blotte øje. Det er derimod en reaktion der sker, når elektronerne rammer de neonatomer, glaskuplen er fyldt med. Når elektronstrålen rammer neonatomernes elektroner, bliver disse ”ophøjet” til et højere energiniveau. Dette fænomen kaldes excitering, og princippet finder bl.a. anvendelse i natriumlamper. Dette energiniveau er ustabilt, og elektronerne i atomskallen får deres oprindelige energi tilbage igen ved at udsende den overskydende energi som lys, i dette tilfælde blåt lys.

Acceleration af elektroner til en konstant hastighed

Hvordan accelerer man elektroner ind i forsøgsopstillingen med en konstant hastighed?

Som nævnt opvarmes BaO til 850 °C ved en katode, hvorved stoffet ioniseres og der afgives elektroner. Disse elektroner skal nu accelereres, og dette gøres i et elektrisk felt – en lille elektronkanon.

I forsøgsopstillingen ioniseres BaO ved katoden og elektronerne accelereres over mod anoden. Ved at variere spændingen kan man også variere hastigheden af elektronerne.

Anoden er formet som en ring, hvilket sikrer, at elektronerne kommer igennem i én linie med én konstant hastighed.

Side 18

04 18 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Figur 7 – Principskitse af en elektronkanon

Jeg ved fra elektricitetslæren, at en partikel i et elektrisk felt besidder en potentiel energi, der kan udtrykkes ved formlen , hvor U er feltets spænding og e er ladningens størrelse (i dette tilfælde elektronens ladning). Når partiklen accelereres ud af feltet, er

dens potentielle energi fra det elektriske felt = 0, (U=0), og denne energi er blevet

omdannet til bevægelsesenergi (kinetisk energi).

Jeg ved fra læren om energi og energibevarelse [17], at et legeme der bevæges med en konstant kraft og dermed konstant acceleration, følger bevægelsesligningerne for konstant acceleration. Den kinetiske ændring i energi kan beregnes som (den

kinetiske startenergi = 0 da elektronen ikke bevæger sig)

Da ændringen i potentiel elektrisk energi må være lig ændringen i bevægelsesenergi [18], fås:

Indsættes udtrykkene for kinetisk energi og bevægelsesenergi fås:

Denne formel skal bruges i det efterfølgende.

Et homogent magnetfelt og dets dannelse

Nu har jeg i forrige afsnit vist hvorledes det er lykkedes at skabe en strøm af elektroner med konstant retning og hastighed v.

Hvis jeg tænker på formlen, jeg udledte i kapitel 1 ud fra LaPlace’s sætning, hvor jeg viste at den resulterende kraft på en partikel i et magnetfelt kunne udregnes som , så har jeg nu fået en partikel med konstant hastighed.

17

Se ”Vejen til Fysik A2 side 243.

18

Se Fysik i grundtræk 2B Ellære side 47

Side 19

04 19 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Jeg ønsker også at frembringe et magnetfelt B, der skal være konstant i styrke og retning, altså en konstant B vektor.

H.C. Ørsted viste, at der dannes et magnetfelt omkring en leding, hvis ledningen tilføres strøm. Hvis man vikler ledninger rundt i en spole, og sætter strøm til, vil der dannes et magnetfelt omkring spolen. En sådan spole kalder man også en Helmholtz-spole.

Magnetfeltet inde midt i spolen vil have en retning der er bestemt af tommelfingerens retning på højre hånd, hvis man lægger hånden på spolen i strømmens retning

(tommelfingerreglen).

Figur 8 – Et sæt Helmholtz-spoler Figur 9 – Magnetfeltet omkring et sæt Helmholtz-spoler Hvis man yderligere gør det, at man sætter to spoler sammen med en mindre afstand, vil man opnå, at magnetfeltet mellem de to spoler vil være stort set homogent, hvilket kan ses af tværsnitsillustrationen i figur 9.

Det er netop denne effekt der udnyttes i forsøget, hvor glaskuplen med elektronstrømmen sidder midt inde i et magnetfelt mellem to Helmholtz-spoler, altså et homogent magnetfelt

(se figur 8 og 9).

Magnetfeltets styrke mellem 2 Helmholtz-spoler, kan vha. Maxwells 4. sætning beskrives

ved formlen^{19}:

Da antallet af vindinger, N er konstant, og da radius af spolerne r også er konstant, og da µ (vakuumpermeabiliteten) også er konstant i dette forsøg, betyder det, at

0

B = konstant*I, hvor I er strømstyrken. Denne konstant kan jeg aflæse på

                          -4
forsøgsapparaturet til 7,48*10 . Jeg har dermed en metode til at beregne B (se senere).

Som jeg beskrev i kapitel 1 og 2 om vektorprodukter, vil den resulterende vektorkraft F på partiklen være vinkelret på bevægelsesretningen V og magnetfeltet B hvis også B og V er vinkelrette på hinanden.

jeg vil se lidt på fysikkens arbejdssætning^{20}, der siger, at arbejde = kraft*vej. Netop fordi

kraft og vejbane (hastighed) er vinkelret på hinanden, udføres der ikke noget arbejde på elektronen. Når der ikke udføres arbejde på elektronen, vil den heller ikke ændre kinetisk energi. Ifølge arbejdssætningen udledt i Fysik A2 side 243 må dette så betyde, at partiklen ikke ændrer hastighed, da arbejdet, og dermed ændringen i den kinetiske energi, jo er 0.

19

Se Orbit 3 side 21

20

Se Vejen til Fysik A2 side 237 og side 243.

Side 20

04 20 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Dermed har jeg vist, at hastigheden af elektronerne i min opstilling er konstant når magnetfeltet er konstant og vinkelret på hastigheden.

Når kraften således er konstant og vinkelret på bevægelsesretningen, og når hastigheden er konstant, vil partiklerne beskrive en jævn cirkelbevægelse.

I en jævn cirkelbevægelse, kan accelerationen beskrives ved [21]. Hvis jeg

kombinerer denne med Newtons 2. Lov, der siger kraft = masse * acceleration, ,

får jeg:

Denne formel bruges i det efterfølgende.

Udledning af formlen for beregning af e/m

Jeg ønsker at finde et udtryk for e/m som jeg kan beregne. Dette kan jeg gøre ved at finde
et udtryk for e/m, der udelukkende afhænger af U, B og r.

Jeg har i kapitel 1 vist, at kraften der virker på en elektrisk ladet partikel i et magnetfelt kan beskrives som , eller . Da jeg i mit forsøg har magnetfeltet

vinkelret på hastigheden, bliver sinus til vinklen = 1, da vinklen er 90°. Det er derfor man

har .

I afsnittet om homogene magnetfelter viste jeg at kraften på elektronerne, der udførte en jævn cirkelbevægelse, kunne skrives som . Da disse to kræfter er ens, gælder:

. Dette betyder: (Ligning B)

Endvidere viste jeg under afsnittet om acceleration af elektroner sammenhængen:

Dette betyder: (Ligning A)

21

Se Vejen til Fysik A2 side 216

Side 21

04 21 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

(Ligning C)

Forsøgsresultater

Jeg laver 2 sæt forsøgsmålinger. I det første sæt af målinger (forsøg nr. 1) holder jeg elektronernes hastighed konstant ved at holde en konstant spænding på elektronkanonen.

Ved at ændre på strømstyrken i Helmholtz-spolerne kan jeg ændre på radius af den dannede cirkel.

I det andet sæt af målinger (forsøg nr. 2) holder jeg derimod en konstant feltstyrke B, da jeg ikke ændrer på strømstyrken i Helmholtz-spolerne. Til gengæld ændrer jeg elektronernes hastighed ved at regulere spændingen på elektronkanonen.

Forsøg nr. 1:

2r (millimeter) Strømstyrke (A) Feltstyrke B (T) Spænding (V) e/m (#*10^{11})
Ca. 100 mm 1.56 A 1.2 mT 301.5 V 1.67500 coul/kg
Ca. 80 mm 1.96 A 1.45 mT 301.5 V 1.79250 coul/kg
Ca. 60 mm 2.64 A 1.9 mT 301.5 V 1.85595 coul/kg
Ca. 40 mm 3.82 A 2.75 mT 301.5 V 1.99338 coul/kg

Forsøg nr. 2:

2r (millimeter) Strømstyrke (A) Feltstyrke B Spænding (V) e/m (#*10^{11})
Ca. 80 mm 1.52 A 1.15 mT 204.0 V 1.92816 coul/kg
Ca. 60 mm 1.52 A 1.15 mT 121.1 V 2.03486 coul/kg
Ca. 45 mm 1.52 A 1.15 mT 83.7 V 2.50031 coul/kg

Måleusikkerheden på Hall-sonden var -0.1 mT.

Ifølge min forsøgsvejledning er den publicerede værdi: *10^{11} Coul/kg

Som det ses er mine måleforsøg som udgangspunkt mere præcise jo større radius bliver.

Dette skyldes sandsynligvis måleusikkerheden på målinger af radius, hvor det gælder at jo større radius er, jo mindre er måleusikkerheden. Målingerne herover viser da også at ved

de to største radiusser i forsøg 1 på 100 og 80 mm kommer beregningen af e/m tættest på

den publicerede værdi.

Side 22

04 22 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

I forsøg 2 ses den samme tendens; jo større radius, jo tættere på den publicerede værdi af

e/m. Til gengæld er de beregnede værdier mere upræcise end i forsøg 1. Dette skyldes at

jeg i forsøg 2 holder magnetfeltet konstant og udelukkende ændrer på spændingen. Jo lavere spænding, jo lavere hastighed af elektronstrømmen, og jo lavere hastigheden bliver, jo mere upræcis bliver mine resultater. Da spændingen ved alle målinger i forsøg 2 er lavere end i forsøg 1, bliver usikkerheden på hele målesæt 2 derfor større end i målesæt 1, hvilket også kan ses af resultaterne.

Man kan også beregne B ved hjælp af formlen , hvor T er Tesla.

1. del B udregnet:

• 1.167

• 1.466

• 1.975

• 2.857

2. del B udregnet: 1.137 i alle 3, grundet ens A-værdier

Den beregnede B ligger i alle tilfælde meget tæt på den målte B, hvilket er hvorfor det ikke har afgørende indflydelse på mine resultater om man bruger den ene eller den anden metode til bestemmelse af B.

Det kan også ses at jeg i hvert af tilfældene har beregnet e/m.

Jeg har lavet en to grafer ved lineær regression. Disse to grafer sammenligner kurven for ampere i forhold til B, hvor den blå graf er den målte værdi af B, og den røde graf er den udregnede værdi af B:

x-aksen = B y-aksen = ampere

Som det ses er der generelt en ret god overensstemmelse mellem den målte og den

beregnede værdi af B. Den største afvigelse ses for store strømstyrker. Da teorien/den

beregnede værdi må antages at passe, ligger usikkerheden sandsynligvis på den målte værdi, hvilket tyder på at Hall-sondens præcision mindskes ved højere strømstyrker.

Side 23

04 23 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Beregning af elektronens masse

Det er umuligt at veje en elektron, da den vejer utroligt lidt. Jeg er derfor nødt til at beregne massen.

Da jeg tidligere har fundet forholdet e/m, kan jeg beregne elektronens masse hvis jeg har

dens ladning. I litteraturen, jeg har fundet, er der et par beskrivelser, der viser, hvordan man kan finde elektronens ladning:

Millikans bestemmelse af elektronladningen^{22}.

Den amerikanske fysiker Robert Millikan fandt omkring 1910 en ret simpel måde at bestemme elektronens ladning på.

Han ioniserede nogle forstøvede oliedråber, og ledte dem ind i et elektrisk felt mellem 2 plader med spændingen U. Støvdråberne i det elektriske felt er påvirkede af 2 modsatrettede kræfter.

A. Tyngdekraften, som ref. Newton er , hvor a er jordens

tyngdeacceleration; g=9,82m/s²

B. Kraften fra det elektriske felt , hvor Q er partiklens ladning, og E er feltstyrken.

Man indretter forsøget således, at kraften fra det elektriske felt er præcist modsat rettet tyngdekraften. Ved at få de små dråber til at svæve, må det gælde, at kræfterne ophæver hinanden, og man har:

Feltstyrken er givet ved , hvor U er spændingen mellem pladerne, og d er afstanden mellem pladerne – begge ting, man kan måle. Q er støvdråbens ladning. Da støvdråbens ladning må være ét eller andet tal ganget med elektronens ladning gælder at

, hvor n er et helt tal og e er elektronens ladning.

Massen m bestemmes af faldforsøg i det elektriske felt efter man har slukket det, så partiklerne ikke påvirkes af anden kraft end tyngdekraften. Her kan man måle afstanden dråben falder, og den tilhørende tid, og da man kender tyngdeaccelerationen kan massen beregnes.

Af forsøget kan en elektrons ladning beregnes til Coulomb

Denne værdi kan jeg nu indsætte i mine forsøg, og hvis jeg eksempelvis tager det mest

præcise af de forsøg jeg har lavet under forsøg 1 med 2r = 80 mm, får jeg:

22

Se Fysik i Grundtræk 2B Ellære, side 23

Side 24

04 24 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Dette skal sammenlignes med litteraturen, der angiver elektronens masse til: 9,11 · 10^{-31}

kg. Det betyder, at jeg har bestemt elektronens masse med en nøjagtighed på ca. -

0.186*10^{-31}, eller ca. -2,1 %.

Side 25

04 25 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Kapitel 4 - Perspektivering

En perspektivering til anvendelser i partikelacceleratorer som ”Large Hadron Collider” på CERN Introduktion og disposition

Hvilke anvendelsesområder er der så for elektroners bevægelse i magnetfelter?

Som jeg har vist i kapitel 3 kan man bruge det til at måle massen for en elektron. Men der er også en del andre anvendelsesområder – især forskningsmæssige, men også kommercielle, og jeg vil se på nogle af disse i dette afsnit.

Først vil jeg se på de såkaldte ”partikelacceleratorer”, hvor man bruger en kombination af magnetfelter og elektriske felter til at accelerere partikler og beskrive deres anvendelsesområder. Så vil jeg se på, hvorledes man arbejder med at efterligne solens processer (kernefusion) som mulighed for fremtidens energi i de såkaldte TOKAMAK reaktorer, og til sidst vil jeg beskrive ”massespektroskopi”, som er en meget udbredt analysemetode til eksempelvis isotopbestemmelse eller analyse af sammensætningen af kemiske stoffer.

Partikelacceleratorer

Partikelacceleratorer findes særligt i to former: Cyklotroner og synkrotroner.

Jeg vil først komme ind på cyklotroner, og derefter vil jeg komme ind på synkrotroner.

Cyklotroner – hvordan virker de?

Partikelacceleratorer, der anvender cyklotronprincippet, bruges både til forskningsmæssige formål, og til mere kommercielt orienterede formål. De er mere udbredte end synkrotroner, men den hastighed man kan accelerere partiklerne til er begrænset, hvorfor deres anvendelsesområder derfor også er begrænsede.

En cyklotron virker ved en kombination af et magnetfelt og et elektrisk felt, hvor det elektriske felt bruges til at accelerere partiklen, og det magnetiske felt bruges til at kontrollere partiklens bevægelse rundt i en cirkelbue.

Princippet kan ses af skitsen i figur 10. Den virker på den måde, at man ioniserer et stof, så det bliver til ladede partikler. Disse ladede partikler sendes fra cirklen midte (punktet P på tegningen) op i et elektrisk felt, der er mellem to halvcirkelformede rum (D1 og D2), der er forbundet med en vekselstrømgenerator. Partiklen accelereres af det elektriske felt ind i D1, og magnetfeltet, der er vinkelret på partiklens hastighedsvektor og vinkelret på D1 vil, som vi så i mit forsøg, begynde at beskrive en cirkelbane, så det igen ledes ud i det elektriske felt mellem D1 og D2. Præcist på det tidspunkt skifter strømmen, så partiklen nu accelereres den modsatte vej over i D2, hvor magnetfeltet får det til at beskrive en cirkulær bane, så partiklen ryger ud i det elektriske felt igen, strømmen skifter, partiklen accelereres yderligere tilbage i D1 og sådan foregår det en masse gange – cirklerne og hastigheden af partiklen bliver større og større, og til sidst sendes partiklen ud af cyklotronen, og så kan man bruge den accelererede partikel til forskning eller andet. Man udnytter det princip, at selvom hastigheden af partiklen vokser og radius af cirklen vokser, så er omløbsfrekvensen for partiklen konstant (se bevis for dette i Orbit 3 side 47), og dermed

Side 26

04 26 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik rammer partiklen det elektriske felt med konstante intervaller – samme intervaller som vekselstrømmen skifter.

Udover forskningsmæssige formål kan en cyklotron anvendes til for eksempel medicinske formål. I 2005 donerede A.P. Møller og hustrus fond en cyklotron til Herlev sygehus (se figur 11).

Cyklotronen på Herlev bruges til diagnosticering i kræftbehandling [23]. De accelererede partikler sendes ind i for eksempel Fluor, hvorved de smelter sammen med kernen i fluor og danner en isotop. Disse isotoper er svagt radioaktive, og de kan derfor ses i røntgenudstyr. Man udnytter, at de radioaktive isotoper binder sig til nogle markører i kroppen, hvorfor man med røntgenudstyr kan se hvordan kræftbehandling virker. Årsagen til, at isotoperne skal fremstilles på stedet lige før det skal bruges er, at de har en kort henfaldstid (halveringstid på kun 110 minutter), og derfor giver det ikke mening at transportere dem over for lange afstande, eller lægge dem på lager.

Der er et par ulemper ved cyklotronen. Én af dem er, at skal man have store partikelhastigheder skal diameteren være stor, og da magnetfeltet skal dække det hele, bliver det i praksis meget vanskeligt at konstruere det. En anden ulempe er, at når partiklerne accelereres så meget op, at deres hastighed begynder at nærme sig lyset, så ved vi fra relativitetsteoriens masse-energi relation [24], som Albert Einstein udviklede, at partiklernes masse begynder at vokse kraftigt efter formlen:

M

0 v er masse af partiklen i hvile, og m er masse af partiklen ved hastigheden v. Af formlen ses, at ved hastigheder nær lysets bliver nævneren meget lille, og m derfor meget stor.

v

På grund af at massen vokser, så bliver partiklen også langsommere, og dermed bliver omløbsfrekvensen mindre, og så rammer partiklerne ikke de elektriske felt præcist når strømmen vender, og så virker det hele ikke længere.

Der er derfor brug for en anden teknologi, og her er det så synkrotronerne kommer ind i billedet.

23

Se Herlev Hospitals hjemmeside:

http://www.herlevhospital.dk/menu/Afdelinger/Klinisk_Fysiologisk_Afdeling/Cyklotron/
24

Se Orbit 3 side 170 – Masse og energi

Side 27

04 27 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Synkrotroner

Large Hadron Collider (LHC) [25] er en meget kraftig partikelaccelerator der virker efter synkrotronprincippet. LHC ligger i Schweiz, og er opbygget som et meget stort cirkulært rør med en omkreds på hele 27 km, og ligger omkring 100 meter under jorden. LHC skal bruges til videnskabelige formål indenfor kernefysikken. Af andre synkrotroner kan nævnes HERA der ligger i Hamborg, samt ”Tevatronen” der ligger ved Chicago i USA, og som var verdens største indtil LHC blev bygget.

Ulempen ved cyklotronen er løst i synkrotronen, som kører med varierende frekvens.

Baneradius er konstant, og derfor skal der kun frembringes magnetfelter lige omkring protonens bane

Synkrotronen – hvordan virker den?

Synkrotronen er opbygget som et cirkelformet rør, hvor et magnetfelt omkring rører sørger for at holde de ladede partikler inde i røret, hvor de så også accelereres.

LHC er et ret kompliceret system. Da en synkrotron ikke kan bringe ionerne helt fra de laveste energier til deres maksimalenergi, skal de derfor ”foraccelereres”

Dette sker i en hel kæde af acceleratorer, både acceleratorer, der virker efter lineære principper og cirkulære principper, som det kan ses af figur 13. De rette linjer betegnet LINAC2 og 3 er lineære accelerator, hvor man starter. Dernæst bliver partiklerne ført ind i cirkulære ”minisynkrotronacceleratorer” PS og SPS på tegningen, indtil de til slut føres ind i LHC.

Hvad skal LHC bruges til^{26}?

LHC skal først og fremmest bruges til at studere kvantefysik, og man vil se om man i praksis kan efterprøve nogle af de kvantefysiske teorier, man har udviklet. Man vil blandt andet forsøge at genskabe forholdene i universet omkring Big Bang med det eksperiment, der hedder ALICE, hvor man skaber kvarker og gluoner i LHC. Man vil også prøve at finde Higgs-partiklen i ATLAS eksperimentet. Kan man finde Higgs-partiklen, mener man at have fundet den sidste og afgørende brik i partikelfysikkens standardmodel.

Energiproduktion ved kernefusion

Et muligt fremtidigt anvendelsesområde for partikler i magnetfelter, som dog stadig kun er på eksperimentalstadiet, er energiproduktion ved kernefusion (sammensmeltning af lette

25

Se artiklen ”LHC Acceleratoren” af Mogens Dam - Tidsskrift for Fysik og Astronomi Kvant nummer 3 2008” -

http://www.kvant.dk/upload/kv-2008-3/kv-2008-3-MD-LHC.pdf
26

Se artiklen ”Den store protonaccelerator – status for LHC” af Michael Cramer Andersen, Tidsskriftet KVANT , 1

2008, se http://www.kvant.dk/upload/kv-2008-1/kv-2008-1-MCA-statusLHC.pdf

Side 28

04 28 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik atomkerner under frigivelse af deres bindingsenergi) [27]. Kort fortalt, er det de processer, der i dag foregår i vores sol. I solen sammensmelter brintkerner og danner heliumkerner under frigivelse af enorme mængder energi.

Kernefusion kan laves af mennesker i dag ved de såkaldte brintbomber, hvor en atombombe [28] bruges som en form for ”forbrænder” til at danne de høje tryk og temperaturer der skal til, for at brintatomernes kerner smelter sammen [29]. Når brintatomerne smelter sammen, frigøres den bindingsenergi der er mellem brintkernen og dens elektron, og da dette er en ret voldsom mængde energi bliver resultatet som bekendt derefter (se figur 14).

Det siger sig selv, at det ikke duer at brænde brintbomber af til energiproduktion, så man er nødt til at finde en noget mere kontrolleret måde at lave kernefusionen på. Kontrolleret kernefusion vil, hvis det lykkes, være en uudtømmelig energikilde, da den bruger stoffer der er i store mængder i naturen i dag, hvorfor den naturligvis er meget attraktiv sammenlignet med for eksempel atomkraft.

Der er dog nogle voldsomme teknologiske barrierer, der først skal overvindes før vi overhovedet ved, om det i praksis kan lade sig gøre.

Processerne i solen foregår under ekstremt høje temperaturer, og hele ideen er derfor, om man kan skabe et miljø svarende til solens i ”miniformat”, altså et miljø med temperaturer, der er høje nok til, at kernefusionerne kan foregå.

Der er brug for en temperatur på +100 mio. grader. Når materiale opvarmes så meget, går

det over i en stofform, der betegnes ”plasma”, der er en tilstandsform ligesom fast, flydende og gas er det. Plasma udgøres af en flydende suppe af positivt og negativt

ladede partikler. Allerede ved +1000 grader er temperaturen så høj, at atomer omdannes

til positive kerner og negative partikler. På grund af den høje temperatur, er der ikke noget kendt materiale, der kan opbevare det uden at det smelter.

Og da jeg jo, med reference til denne opgave, har lært, at elektrisk ladede partikler kan kontrolleres af et magnetfelt, har man derfor fået den ide, at udnytte at magnetfelter kan holde plasmaet flydende i et vakuum indeni nogle hule feltspoler, hvorfor det derfor ikke er i direkte berøring med noget. Til formålet har man designet er reaktor, der betegnes en TOKAMAK-reaktor (se figur 15).

Virkemåden i en TOKAMAK [30] er, at det brændstof, der bruges er brintisotopen Deuterium

(brintisotop der findes i almindeligt vand, såkaldt ”tungt vand”). Ved en serie af processer omdannes disse til Helium under frigivelse af enorme mængder energi. Stofferne skal først varmes op til ekstremt høje temperaturer, og her bruges store mængder energi. Ved

temperaturer på +100 mio. grader starter fusionsprocesserne, og derfor dannes der nu

27

Se http://www.lmfk.dk/fysikforlaget/fusion/kap3.pdf

28

En atombombe bruger kernespaltning – fission – ud fra tunge, ustabile partikler - Uranisotoper

29

Se http://www.ehow.com/how-does_4568142_hydrogen-bomb-work.html

30

Se ”Naturens verden 1992/191 - Fusionsforskningen og JET eksperimentet – af Vagn O. Jensen.

Side 29

04 29 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik energi – og formålet med forskningen og forsøget er at få fusionsprocesserne til at køre så længe, at de producerer mere energi, end man har brugt til at varme op med.

Plasmaet varmes op ved [31], at den primære magnet (den røde på figuren – i virkelighedens TOKAMAK-reaktorer er der mange af de røde primære magneter) får tilført en kraftig strøm, og kommer så til at virke som en primærspole i en transformator. Plasmastrømmen vil udgøre sekundærspolen. Her anvendes så princippet i Joules lov, som siger, at ved elektrisk strøm i en leder vil elektronbevægelsen hæmmes af kollisioner med atomerne, og atomerne sættes derfor i svingninger, og dette observeres som en øget temperatur af lederen – i dette tilfælde plasmaet. Dette er således måden plasmaet varmes op på.

Plasmaet holdes flydende, ved at magnetfelterne er indrettet på en sådan måde, at ionerne foretager cirkulære bevægelser, mens de bevæger sig langs midteraksen i feltspolerne (lidt på samme måde som i mit forsøg, hvor partiklerne beskriver en cirkulær bane mens de bevæger sig langs en lige akse, her er der tale om cirkulære baner, og så vandret bevægelse rundt i den gule cirkel som ses på tegningen på forrige side (figur 15).

Det er ekstremt kostbart at forske indenfor området. Derfor er den forskning, der foregår lige nu, koncentreret om initiativet ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) [32], der har deltagelse af en række af verdens nationer, herunder EU, USA, Kina, Rusland, Japan, Indien mfl. Initiativet foregår i Frankrig, hvor man er gået i gang med at bygge verdens største TOKAMAK til en pris på 15 mia. Euro, og man regner med, at de forsøg der skal laves når reaktoren er færdig i løbet af 10 år, endegyldigt vil afgøre, om kernefusion er et realistisk alternativ til de mere traditionelle energikilder, vi bruger i dag.

Hvis den virker vil en endnu større reaktor blive bygget, og planen er, at den skal stå færdig i 2050 – så det har lange udsigter.

Massespektropi

Massespektropi er en metode til bestemmelse af atom- og molekylmasse. Metoden er opfundet i 1912 af J.J. Thomson. Præcis som med mit forsøg i kapitel 3, accelereres ladede partikler i et elektrisk felt og afbøjes derefter i et magnetisk felt. Man frembringer de ladede partikler ved, at det stof, man skal undersøge først, skal på gasform. Gassen ledes så ind i et ioniseringskammer, hvor gassen bombarderes med elektroner. Elektronerne vil slå elektronerne fra de yderste skaller på atomerne på det stof, man vil undersøge, af, og dermed frembringes en ion. Ionen accelereres af en ionaccelerator (samme princip som i mit forsøg) Da det forholder sig sådan, at lettere partikler afbøjes mere kraftigt end tungere partikler, vil afbøjningsvinklen være en form for mål for partiklernes masse.

Under betegnelsen massespektrometri er den nu udviklet til at være en meget udbredt analysemetode. Metoden har bl.a. dannet grundlag for bestemmelse af grundstoffernes isotopsammensætning. Isotoper er grundstoffer med samme kemiske egenskaber, men med forskellig kernesammensætning (atomvægt). Derfor kan isotoper ikke bestemmes kemisk.

31

Se ”Orbit 3 – 3 udgave” side 45 ”Opbevaring af plasma.

32

Se websiden: http://www.iter.org/

Side 30

04 30 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Man gør det [33], at den prøve man vil undersøge, bringer man først på gasform. Dernæst skal prøven ioniseres. Det foregår i et ioniseringskammer, hvor prøven beskydes med elektroner. Herved rives elektroner løs fra atomskallerne i det stof, der skal undersøges, og man har nu en positiv ion, der accelereres af en ionaccelerator (samme princip som i mit forsøg i kapitel 3) og sendes ind et magnetfelt. Afbøjningen i magnetfeltet er så afhængig af massen. Antager man eksempelvis at man har et stof med isotoper, vil isotoperne afbøjes forskelligt fra det normale stof, og det kan man så se, og dermed bestemme isotopen, koncentrationen af dem mv. Metoden er uhyre præcis, og finder derfor anvendelse rigtigt mange steder til analyseformål. Massespektropi bruges både til forskningsformål og til kommercielle formål.

33

Se Massespektroskopi – en kort introduktion af Cand. Scient Erik Karlsen

Side 31

04 31 af 31

MA-A og FY-B SRP – NAG

Vejledere: Eva Danielsen og Ishak Gürleyik

Litteraturliste

Bøger

• Brydensholt, Morten, Gjør, Tommy, Jespersen, Lis, Keller, Ole, Møller, Jan og Vaaben, Jens. Orbit 3. 3. udgave. Systime forlag, 2004.

• Carstensen, Jens, Frandsen, Jesper og Studsgaard, Jens. Mat A3. 1. udgave.

Systime forlag, 2007.

• Nielsen, Knud Erik og Fogh, Esper. Vejen Til Fysik A2. 1. udgave. Hax forlag, 2007.

• Staffansson, Eve, Andersson, Bengt og Johansson, Karl-Erik. Fysik I Grundtræk 2B Ellære. 2. udgave. Munksgaard forlag, 1980.

• Young, Hugh D. og Freeman, Roger A. University physics. 10. udgave. Addison- Wesley forlag, 2000

Websteder:

• http://153/rispubl/reports/ris-m-2830.pdf
• http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Elektromagnetis
me,_elektron-_og_ionoptik/Lorentz-kraft
• http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Fysikere_og_nat
urvidenskabsfolk/Hans_Christian_%C3%98rsted
• http://www.ehow.com/how-does_4568142_hydrogen-bomb-work.html
• http://www.emu.dk/gym/fag/fy/inspiration/fysvejl/elektro/e_over_m.html
• http://www.herlevhospital.dk/menu/Afdelinger/Klinisk_Fysiologisk_Afdeling/Cyklotro

n/

• http://www.iter.org/
• http://www.kvant.dk/upload/kv-2008-1/kv-2008-1-MCA-statusLHC.pdf
• http://www.kvant.dk/upload/kv-2008-3/kv-2008-3-MD-LHC.pdf
• http://www.lmfk.dk/fysikforlaget/fusion/kap3.pdf
• http://www.lmfk.dk/fysikforlaget/fusion/kap4.pdf
• http://www.tesla-museum.org/
• http://www.uffepedersen.dk/pdf/fysik/3.pdf