GPS-systemet: Positionsbestemmelse og fejlkilder

Side 1

SIDE 0

GPS-systemet

POSITIONSBESTEMMELSE OG FEJLKILDER I GPS-SYSTEMET

Side 2

SIDE 1

Abstract

The following study investigates the structure of the GPS-system and the mathematical and physical contemplations, which must be taken into account for determining a position. In the first part, the fundamental mathematical principles for determining a position is revealed. In the mathematic section there is also given several examples of calculations in the sub processes of determining the position. When the necessary mathematics has been deduced, some of the most important physical errors that appears in the GPS-system, and certainly must be taken into consideration, is shown. In the physic section, examples of the calculations used to eliminate the errors that appear in GPS-system is included. The conclusion of this assignment reveals that the minimum amount of satellites need to determine a position is four. Furthermore, it is concluded, that without taking the physical errors that appear in the GPS-system into the position-calculations, there would be a large error in the precision of the GPS-system.

Side 3

SIDE 2

Indholdsfortegnelse

Abstract ............................................................................................................................................................ 1 Indledning ........................................................................................................................................................ 3

1. GPS-systemet ............................................................................................................................................... 4

1.1 Historien bag det moderne GPS-system............................................................................................ 4

1.2 Opbygningen af GPS-systemet .......................................................................................................... 4

2. Matematikken bag GPS-systemet ............................................................................................................. 6

2.1 Bestemmelse af position .................................................................................................................... 6

2.2 Satellitternes position ....................................................................................................................... 11

2.3 Det sfæriske koordinatsystem ......................................................................................................... 15

3. Fejlkilder ved GPS-systemet ..................................................................................................................... 17

3.1 Atmosfærens påvirkning .................................................................................................................. 17

3.1.1 Ionosfæren ..................................................................................................................... 17

3.1.2 Troposfæren og stratosfæren ...................................................................................... 19

3.2 Relativistiske effekter ....................................................................................................................... 19

3.2.1 Tidsforlængelse ............................................................................................................. 19

3.2.2 Tyngdekraften ..............................................................................................................20

3.2.3 Længdeforkortelse ....................................................................................................... 22

3.3 Dopplereffekten ................................................................................................................................ 22

3.4 Sagnac-effekten ................................................................................................................................ 24

3.5 Multipath .......................................................................................................................................... 27 Konklusion .................................................................................................................................................... 28 Perspektivering og afslutning ..................................................................................................................... 28 Litteraturliste ................................................................................................................................................ 29 Bilag ................................................................................................................................................................ 31 Bilag 1 ..................................................................................................................................................... 31 Bilag 2 ..................................................................................................................................................... 31 Bilag 3 ..................................................................................................................................................... 32

Side 4

SIDE 3

Indledning

En verden uden GPS-systemet ville rulle tiden af opfindelser 40-50 år tilbage: nedsat kommunikationsmuligheder, krige uden positionsbestemte-missiler, ingen navigationsmuligheder, transportmuligheder som fly og tog ville være meget begrænset etc.

GPS-systemet berører en betydelig del af de moderne opfindelser, og er derfor et relevant emne at udforske. Følgende opgave er lavet med udgangspunkt i denne problemformulering:

Gennemgå GPS-systemets opbygning og hvordan det fungerer. Gør rede for den nødvendige matematik herunder sfæriske koordinatsystemer, der skal til for at bestemme positioner.

Gennemgangen skal indeholde et eksempel på hvordan en position bestemmes af systemet.

Diskuter fejlkilder ved GPS-systemet.

Først i opgaven gennemgås kort udviklingen og historien af GPS-systemet fra første gang det blev tilgængeligt frem til i dag. Derefter forklares med tekst, strukturen af GPS-systemet og den nødvendige viden der skal haves, for at forstå matematikken og de fysiske fejlkilderne ved GPS-systemet. I den efterfølgende matematikdel ses og redegøres for den nødvendige matematik for at bestemme en position, herunder trilateration, satellit positionsbestemmelse og sfæriske koordinatsystemer Der vil i matematikdelen løbende være eksempler på beregninger i de viste formler. I fysikdelen diskuteres fejlkilderne der fremkommer i GPS-systemet, herunder atmosfærens påvirkning, relativistiske effekter og doppler- og sagnaceffekten. Ligesom i den matematiske del, er der også løbende beregninger, der viser det udsving og de forbehold der tages ved diverse fejlkilder. I gennemgangen er der både i den matematiske og fysiske del taget forbehold, således at beregningerne og forståelsen skaber et mere overodnet overblik af positionsprocessen, da der ellers ville kunne skrives en 20 siders rapport om f.eks. bare en af de nævnte fejlkilders påvirkning på systemet. Til sidst i bilag 1, 2 og 3 er vist nogle gældende data fra en satellit, en kort gennemgang af en del af processen af, hvordan positionen bestemmes med ikke lineære ligninger og konversationen fra decimal længde- og breddegrader til det seksagesimale talsystem.

Side 5

SIDE 4

1. GPS-systemet

I følgende afsnit redegøres for den grundlæggende historie af det moderne GPS-system og en kort gennemgang af de grundlæggende principper for opbygning af GPS-systemet.

1.1 Historien bag det moderne GPS-system

Det første navigationssystem baseret på satellitter blev for første gang succesfuldt testet af USA’s flåde i 1960. Det bestod af en gruppe på 5 samarbejdende satellitter, der kunne bestemme en koordinat én gang i timen. 7 år senere, i 1967, opsendte USA’s flåde den første satellit der gjorde det muligt at bestemme tiden korrekt i rummet, hvilket er et af de grundlæggende principper for GPS-systemets anvendelse - dette uddybes senere. Grundet Den Kolde Krigs atomtrusler blev der - selvom det kostede milliarder af dollars – nu endelig en grund til at tilføre penge ind i GPS udviklingen. De første moderne GPS-satellitter (blok

1) blev testet i 1978, og derefter blev 10 opsendt i årene op til 1985. I år 1983 blev GPS-

systemet åbnet til det offentlige, dog havde den civile befolkning kun adgang til C/A-

kodede-modtagere, der skulle være mindre præcise, end P-kode-modtagerene militæret

havde adgang til. C/A-kodede og P-kodede modtagere havde dog næsten samme præcision.

Efter blok 1 satellitterne blev der fra 1989 og opefter taget blok 2 satellitter i brug, der gjorde positionsbestemmelse endnu mere nøjagtigt. Grundet den betydeligt højere nøjagtighed

med blok 2 satellitterne, indførte USA’s forsvarsministerium præcisionsforringelse på C/A-

koden i 1990, pga. de ikke ville have, at den høje nøjagtighed, skulle være tilgængelige til uautoriserede brugere, og at nøjagtigheden kunne bruges imod dem selv. Denne forringelse

hed Selecteive Avability (SA). I år 2000 blev SA forringelsen dog fjernet fra C/A koden, så

det offentlige nu havde en præcision der var 10 gange bedre end før. I krigssituationer kan USA igen indføre SA, så nøjagtigheden af GPS’er forringes i det valgte geografiske område.

USA’s luftvåben har planlagt at tage blok 3 satellitter i brug tidligst i 2016, der vil gøre

positionsbestemmelsen endnu mere nøjagtig.^{1}

GPS-systemet skal ikke forveksles med A-GPS (A: assisted) – GPS enheden der i dag findes i næsten alle telefoner, da disse fungerer vidt forskelligt. A-GPS’er fungerer ved mobildækningen (2G, 3G osv.) – hvis du ikke har nogen mobildækningen, fungere A-GPS’er ikke. ”Normale” GPS’er derimod anvender GPS-satellitter. Begge systemer anvender dog

                                             2
samme princip for positionsbestemmelse (afsnit 2.1).

1.2 Opbygningen af GPS-systemet

Positionsbestemmelse vha. GPS-systemet er opbygget af et satellitnetværk af 24 aktive, men

30 operationsdygtige GPS-satellitter i en højde af ca. 26600km fra jordens midte. De

1

Internet [25], [26] og bog [1] s. 34-35

2

Internet [1] og [3]

Side 6

SIDE 5 befinder sig i 6 kredsløbsbaner med mindst 4 satellitter i hver. Omløbstiden om Jorden for GPS-satellitterne er ca. 11 timer og 58 min, og de befinder sig altså derfor ikke i et geosynkront kredsløb (24 timers omløbstid dvs. altid samme position over Jorden) som f.eks. kommunikationssatellitter gør. De udskiftes regelmæssigt, og har i løbet af udviklingen haft en estimeret levetid på 5-15 år (der er dog stadig operationsdygtige satellitter fra hhv. 1990 og 1992 i kredsløb) – der er alene i 2014 blevet sendt 4 GPS-satellitter op. GPS-satellitterne har 4 atomure: 2 Cæsium og 2 Rubidium. Cæsium urene har større stabilitet over en længere periode, hvorimod at Rubidiumurene har størst stabilitet

over en kort periode. Der er installeret 2 af hver for at sikre sig mod eventuelle ursvigt.^{3}

Satellitterne får via. komplekse beregninger af et netværk med over 400 jordbaserede overvågningsstationer (IGS) tilsendt og opdateret deres position og ur med referencepunkt

i Jordens midte (yderligere beskrevet i afsnit 2.3) af ”2. SOPS” (enhed i USA’s luftvåben).^{4}

Med deres bestemte position og tid i rummet, udsender satellitterne elektromagnetiske signaler af 30 sekunders dele. Hver af sådan et 30 sekunders segment er delt op i 5

undersegmenter som indeholder^{5}:

1. Generelle satellit dataparametre og transmissionstidspunktet:

Indeholder transmissionstiden for signalet, inkl. parametre til at korrigere for forsinkelse ved signalets forsendelse og satellittens urs tid. Derudover fås også information om satellittens helbred og en estimering af nøjagtigheden af satellitten.

2. og 3. Efemeride data:

Efemeride dataene er en række parametre af data, som modtageren bruger til at bestemme positionen af den pågældende satellit på et givent tidspunkt.

4. Almanak data

Almanak data for satellit 25 til 30, forskellen mellem GPS- og UTC-tiden og information om målingsfejl forårsaget af atmosfæren. Yderligere beskrevet nedenunder.

5. Almanak data

Almanak data for satellit 1 til 24.

Almanak-dataene er en række parametre af data, der gør det muligt for modtageren at bestemme alle GPS-satellitterne i omløbs position. Almanak dataene speeder positionsbestemmelsen op, idét modtageren med beregningerne kan forudse, hvilke satellitter der er tilgængelige, så den ikke behøver at søge for de satellitter, der er under horisonten. Alle almanak dataene er for store til at komme med i et 30 sekunders segment, så de splittes yderligere op i 25 grupper á 30 sekunder. Signalstrukturen for signalerne er

yderligere opdelt i 2 bærebølger L1 og L2, som har forskellige frekvens og bølgelængde.^{6} På

bærebølge L1 og L2 modelleres navigationssignalet, som er det der bliver brugt i systemet.

3

Bog [1] s. 37

4

Internet [1] og [2]

5

Bog [3] s. 26

6

Bog [1] s.31

Side 7

SIDE 6

Figur 2.1.01

Med de modtagende data kan modtageren ud fra forskellige formler og parametre bestemme satellittens position, transmissionstiden for signalet og til sidst dens egen position – alle beregningerne foregår altså i selve modtageren.

2. Matematikken bag GPS-systemet

I følgende afsnit vil de grundelæggende matematiske principper for positionsbestemmelse blive vist. Derefter vil der blive givet et eksempel på en beregning af en position uden fejlkilder i et ikke roterende koordinatsystem, og til sidst vil det blive vist hvordan modtageren bestemmer koordinaterne på satellitten.

2.1 Bestemmelse af position

Når en position for en GPS-modtager bestemmes, bruges transmissionstiden af signalet til at bestemme afstanden mellem satellitten til modtageren. Afstanden fra GPS-satellitten til

GPS-modtageren kan beregnes som afstanden i almindelig forstand: 𝑙=𝑣∗ 𝑡 – det er dog

lidt mere komplekst i GPS-systemet. Hvis vi ser bort fra alle fejlkilder, er afstanden:

𝑠=𝑐∗ 𝑡 2.1.1

7

Her er s afstanden mellem GPS-satellitten og GPS-modtageren, c er lysets hastighed i vakuum og t er tiden fra afsendelsestidspunktet til modtagelsestidspunktet.

Ovenstående princip er første skridt i positionsbestemmelsen.

Hvis vi forestiller os 1 satellit der udsender et signal i alle retninger, vil det ses som en kugle rundt om satellitten, og hvis det signal modtages, vides det altså at man befinder sig ét sted på sfæren, men ikke hvor. Hvis der bruges 2 satellitter, skabes der nu en cirkel af muligheder for positionen: der hvor de to signalsfærer skærer hinanden. Når en tredje satellit tilføjes, fås 2 skæringspunkter, og til sidst ved en fjerde satellit, fås én skæring – den fjerde satellit bruges dog til tidskorrektion da man ved skæringen mellem 3 sfærer får 2 skæringspunkter, hvoraf det ene kan forkastes, da det ligger et langt stykke ude i rummet.

         8
Figur 2.1.01 illustrerer dette.

Afstandsformlen fra satellitterne til GPS-modtageren

(pseudoafstanden) er en af hovedformlerne i positionsbestemmelsen.

Den er givet ved vektorregning i rummet:

| →_{𝑃} | = √ (𝑎_{1} − 𝑏_{1})^{2} + (𝑎_{2} − 𝑏_{2})^{2} + (𝑎_{3} − 𝑏_{3})^{2} 2.1.2

9

Her er 𝑎_{1}, 𝑎_{2} og 𝑎_{3} satellitternes koordinater og 𝑏_{1}, 𝑏_{2} og 𝑏_{3} er GPS-modtagerens koordinater.

7

Bog [1] s. 11

8

Internet [5]

9

Bog [2] s. 169

Side 8

SIDE 7

Figur 2.1.02

Princippet GPS-systemet bruger for at beregne en position ud fra signalet fra GPS-satellitterne, er trilateration.

Trilateration er en matematisk metode til at bestemme en position ud fra kendte positioner og kendte længder (radiuser), det er altså ikke nødvendigt at have viden om retning, fart,

                                       10
vinkler eller acceleration som i triangulering

. I følgende eksempel er der givet et udtryk for koordinaterne til et punkt, til kendte værdier af længderne af satellitternes signal. I den virkelige verden er dette udført i et tredimensionelt rum, men for at gøre det mere overskueligt er det her udført i et todimensionelt rum, da det er princippet der skal forstås.

Dvs. alle kuglerne ligger i samme højde (𝑧=0), hvilket de til dels også gør i den virkelige
verden, hvor afstanden for satellitterne til jordens centrum er konstant på ca. 26600 km^{11}.
På figur 2.1.02^{12} er vist de længder der vil blive brugt.

Der haves 3 punkter: 𝐵_{1} (0,0,0), 𝐵_{2} (𝑐,0,0) og 𝐵_{3} (𝑎,𝑏,0) for de tre satellitter, et punkt for
GPS-modtageren 𝑇_{1} (𝑋_{𝑡},𝑌_{𝑡},𝑍_{𝑡}) og 3 længder fra GPS-satellitterne til GPS-modtageren,
defineret ved 𝑑_{1}, 𝑑_{2} og 𝑑_{3}. Der regnes ud fra sfære 𝐵_{1} ’s centrum:

Afstanden 𝑑_{1} må derfor gives ved (vektorlængde i rummet):

𝑑 =𝑋_{𝑡}^{2} + 𝑌_{𝑡}^{2} + 𝑍_{𝑡}^{2} 2.1.3

1

2

Da afstand 𝑑_{2} afviger med længden 𝑐 (ikke lysets
hastighed i denne situation) fra 𝐵_{1} ’s X-koordinat, må
afstand 𝑑_{2} være:

𝑑 = ( 𝑋_{𝑡} − 𝑐)^{2} + 𝑌_{𝑡}^{2} + 𝑍_{𝑡}^{2} 2.1.4

2

2

Afstand 𝑑_{3} afviger med en længde 𝑎 fra 𝐵_{1} ’s X-koordinat og en længde 𝑏 fra 𝐵_{1} ’s Y-
koordinat. Derfor må afstand 𝑑_{3} være givet ved:

𝑑 = ( 𝑋_{𝑡} − 𝑎)^{2} + ( 𝑌_{𝑡} − 𝑏)^{2} + 𝑍_{𝑡}^{2} 2.1.5

3

2

Nu skal punktet 𝑇_{1}, som opfylder de tre ovenstående ligninger, findes. Først findes 𝑋_{𝑡} ved
at trække 2.1.4 fra 2.1.3 og isolere𝑋_{𝑡}:

𝑑_{1}^{2} − 𝑑_{2}^{2} = 𝑋 + 𝑌_{𝑡}^{2} + 𝑍_{𝑡}^{2} − (( 𝑋_{𝑡} − 𝑐)^{2} + 𝑌_{𝑡}^{2} + 𝑍_{𝑡}^{2}) = 𝑋 − ( 𝑋_{𝑡} − 𝑐)^{2}

𝑡 𝑡

2 2

𝑋_{𝑡}^{2} − ( 𝑋_{𝑡} − 𝑐)^{2} = 𝑋 − ( 𝑋_{𝑡}^{2} − 2𝑋_{𝑡} 𝑐+ 𝑐^{2}) = 2𝑋 𝑐 − 𝑐^{2}

𝑡 𝑡

2

10

Internet [7]

11

Bog [3] s. 213

12

Internet [8]

Side 9

SIDE 8

Dvs.: 𝑑_{1}^{2} − 𝑑_{2}^{2} =2𝑋_{𝑡} 𝑐 − 𝑐^{2} ⟺ 𝑑 − 𝑑_{2}^{2} + 𝑐^{2} =2𝑋_{𝑡} 𝑐

1

2

𝑋 = 2.1.6

𝑡

𝑑_{1}^{2} − 𝑑_{2}^{2} + 𝑐^{2}

2𝑐

𝑌_{𝑡} findes ved at trække 2.1.5 fra 2.1.3 og isolere 𝑌_{𝑡}:

𝑑 − 𝑑_{3}^{2} = 𝑋 + 𝑌_{𝑡}^{2} + 𝑍_{𝑡}^{2} − ( 𝑋_{𝑡} − 𝑎)^{2} − ( 𝑌_{𝑡} − 𝑏)^{2} − 𝑍_{𝑡}^{2}

1 𝑡

2 2

=𝑋_{𝑡}^{2} + 𝑌_{𝑡}^{2} + 𝑍_{𝑡}^{2} − 𝑋_{𝑡}^{2} − 𝑎^{2} + 2𝑋_{𝑡} 𝑎 − 𝑌_{𝑡}^{2} − 𝑏^{2} + 2𝑌_{𝑡} 𝑏 − 𝑍_{𝑡}^{2}

𝑑_{1}^{2} − 𝑑_{3}^{2} =−𝑎^{2} + 2𝑋_{𝑡} 𝑎 − 𝑏^{2} + 2𝑌_{𝑡} 𝑏

𝑑_{1}^{2} − 𝑑_{3}^{2} + 𝑎^{2} − 2𝑋_{𝑡} 𝑎 + 𝑏^{2} =2𝑌_{𝑡} 𝑏

𝑌_{𝑡} = − ∗ 𝑋_{𝑡}

𝑑_{1}^{2} − 𝑑_{3}^{2} + 𝑎^{2} + 𝑏^{2} 𝑎

2𝑏 𝑏

Og da 𝐵_{1} og 𝐵_{3} ’s sfærer har 2 skæringspunkter, indsættes 𝑋_{𝑡} -værdien for at finde punktet
𝑇_{1} ’s, Y-koordinat:

𝑌 = − ∗ 2.1.7

𝑡

𝑑_{1}^{2} − 𝑑_{3}^{2} + 𝑎^{2} + 𝑏^{2} 𝑎 𝑑_{1}^{2} − 𝑑_{2}^{2} + 𝑐^{2}

2𝑏 𝑏 2𝑐

Og 𝑍_{𝑡} findes ved at isolere 𝑍_{𝑡} i 2.1.3:

𝑍 = √ 𝑑_{1}^{2} − 𝑋_{𝑡}^{2} − 𝑌_{𝑡}^{2} 2.1.8

𝑡

Dette giver udtrykket for punktet 𝑇_{1}, hvis radius af signalerne fra satellitten er kendt. Det er

dette fundament, som GPS-systemets positionsberegning bygger op på: Skæringer mellem

satellitternes radiobølgers sfærer. Disse udtryk er lavet med udgangspunkt i 𝐵_{1} ’s position
(0,0,0), og en opnået position ved denne metode vil derfor være i forhold til satellit 𝐵_{1}.

Ovenstående udtryk er inspireret af internet [7] og [8].

I det ”virkelige liv” tages udgangspunkt i Jordens geografiske centrum som (0,0,0), også kaldet ECEF (Earth Centered Earth Fixed). Trilaterations metoden anvendes igen, men i et tredimensionelt rum og her positionerne for satellitterne og transmissionstidspunktet også kendt. Der skal i virkeligheden bruges 4 satellitter til positionsbestemmelse, da GPS-

Side 10

SIDE 9

Figur 2.1.03 modtagerens ur ikke er synkroniseret med GPS-satellitternes ur – dette korrigerer den

              13
fjerde satellit for . Pseudoafstanden er derfor lidt anderledes end i 2.1.2:

𝑃𝑆𝑅 = √ (𝑋_{𝑠𝑎𝑡_𝑖} − 𝑋)^{2} + (𝑌_{𝑠𝑎𝑡_𝑖} − 𝑌)^{2} + (𝑍_{𝑠𝑎𝑡_𝑖} − 𝑍)^{2} + 𝑐∗ Δ𝑡_{0} 2.1.9^{14}

𝑖

Ovenstående formel er gældende for de fire satellitter (i = 1 … 4). PSR er pseudoafstanden, XYZ er modtagerens koordinater
(User på illustrationen), 𝑋_{𝑠𝑎𝑡_𝑖}, 𝑌_{𝑠𝑎𝑡_𝑖}, 𝑍_{𝑠𝑎𝑡_𝑖} er satellitternes koordinater, c er lysets hastighed og Δ𝑡_{0} er tidsforskellen mellem

satellit uret og modtagerens ur.

Figur 2.1.03^{15} viser ECEF systemet, med jordens centrum som referencepunkt i (0,0,0),

modtageren placeret et sted på kloden og de 4 satellitter placeret i rummet.

𝑐∗ Δ𝑡_{0} i pseudoafstanden kommer af, at den målte tid må være:

Δ𝑡_{𝑚å𝑙𝑡} =Δ𝑡 + Δ𝑡_{0}

Δ𝑡 er transmissionstiden fra satellitten til modtageren og Δ𝑡
                                                   0

er tidsforskellen mellem satellituret og modtagerens ur.

Og derfor må:

𝑃𝑆𝑅=Δ𝑡_{𝑚å𝑙𝑡} ∗ 𝑐= ( Δ𝑡+ Δ𝑡_{0}) ∗ 𝑐

Og

𝑃𝑆𝑅=𝑅+ Δ𝑡 ∗ 𝑐

0

Hvor R er den korrekte afstand fra satellitten til modtageren.

Og for at bestemme de fire ukendte variabler for modtageren (𝑋,𝑌,𝑍 og Δ𝑡_{0}) løses de fire
korresponderende ligninger til i = 1 … 4 samtidig.

Følgende er et eksempel på bestemmelse af en position, med tre satellitter i et

koordinatsystem der ikke roterer og uden fejlkilder (derfor udelades 𝑐 ∗ Δ𝑡_{0}) :

3 tilfældige satellit koordinater vælges, der dog overholder at:

26600𝑘𝑚= √ (𝑋_{𝑠_𝑖})^{2} + (𝑌_{𝑠_𝑖})^{2} + (𝑍_{𝑠_𝑖})^{2}

Koordinaterne findes ved at vælge 2 koordinaters punkter som må befinde sig indenfor

[−26600 ;26600], da dette er afstanden til Jordens centrum. Derefter løses ovenstående

ligning med de 2 indsatte koordinater, og den sidste koordinat isoleres og findes.

De tilfældige koordinater/stedvektorer bliver:

13

Bog [3] s. 211

14

Bog [4] s. 31

15

Bog [4] s. 30

Side 11

SIDE 10

𝑋_{𝑠_1} 𝑋_{𝑠_2} 𝑋_{𝑠_3}
𝑌_{𝑠_1} 𝑌_{𝑠_2} 𝑌_{𝑠_3}
𝑍_{𝑠_1} 23412,13 𝑍_{𝑠_2} 15281,29 𝑍_{𝑠_3} 22242,16

=( 1262,72) , =( 21357,52) og =( 11172,19)

12563,34 4230,66 9382,34

Og de tilfældige transmissionstider fra satellitterne til modtageren, for hhv. satellit 1, 2, og

3, er:

𝑡_{𝑠_1} =66,452𝑚𝑠

𝑡_{𝑠_2} =76,389𝑚𝑠

𝑡_{𝑠_3} =68,462𝑚𝑠

Derfor må pseudoafstanden fra satellitterne til modtageren være:

𝑃𝑆𝐴_{𝑠_𝑖} =𝑐 ∗𝑡

𝑃𝑆𝐴_{𝑠_1} =299792,458 ∗ ( 66,452𝑚𝑠 ∗ 10^{−3}) =1992,820𝑘𝑚

𝑘𝑚 𝑠

⁄

𝑃𝑆𝐴_{𝑠_2} =299792,458 ∗ ( 76,389𝑚𝑠 ∗ 10^{−3}) =22900,701𝑘𝑚

𝑘𝑚 𝑠

⁄

𝑃𝑆𝐴_{𝑠_3} =299792,458 ∗ ( 68,462𝑚𝑠 ∗ 10^{−3}) =20524,459𝑘𝑚

𝑘𝑚 𝑠

⁄

Og vi kan nu løse de tre ligninger med modtagerens position som de ukendte værdier:

𝑃𝑆𝑅_{𝑖} = √ (𝑋_{𝑠𝑎𝑡_𝑖} − 𝑋)^{2} + (𝑌_{𝑠𝑎𝑡_𝑖} − 𝑌)^{2} + (𝑍_{𝑠𝑎𝑡_𝑖} − 𝑍)^{2}

( 𝑌) findes ved løsning af: {

𝑋

𝑍

1992,820𝑘𝑚= √ (12563,34− 𝑋)^{2} + (1262,72 − 𝑌)^{2} + (23412,13− 𝑍)^{2}
22900,701𝑘𝑚= √ (4230,66 − 𝑋)^{2} + (21357,52 − 𝑌)^{2} + (15281,29 − 𝑍)^{2}
20524,459𝑘𝑚= √ (9382,34 − 𝑋)^{2} + (11172,19 − 𝑌)^{2} + (22242,16 − 𝑍)^{2}

Hvilket giver følgende koordinater på modtageren:

( 𝑌)=( 627,33𝑘𝑚)

𝑋 3739,74𝑘𝑚

𝑍 5561,22𝑘𝑚

Denne udregning er altså et eksempel på en beregning af en modtagers position, uden fejlkilder og i et ikke roterende koordinatsystem, men med referencepunkt i jordens geografiske centrum. Fejlkilderne der fremkommer ved positionsbestemmelse er vist i afsnit 3.

Ovenstående metode er dog ikke den helt rigtige, da ligningerne producerer et sæt af ikke lineære ligninger. Kort gennemgang af dette findes i bilag 2.

Side 12

SIDE 11

Som beskrevet i dette afsnit er det altså nødvendigt at modtageren kender satellitternes position og deres signals transmissionstid for at den kan beregne sin egen position. Det er disse oplysninger der bliver sendt i signalet.

I næste afsnit vises den metode som modtageren bruger for at bestemme satellitternes position, ud fra de data den får tilsendt af satellitten.

2.2 Satellitternes position

Satellitternes position er bestemt ud fra komplekse beregninger af et netværk med over 400 jordbaserede stationer (IGS) og kredsløbsbaners parametre karakteriseret ved kepplers love. IGS overvåger satellitternes status, og ved ændringer i enten satellitternes efemerideiske data eller tid fremsendes opdateringer, der synkroniserer til de rigtige

værdier^{16}^{17}. Dette sker flere gange dagligt.

16

Internet [1]

17

Internet [9]

Side 13

SIDE 12

Figur 2.2.01

Figur 2.2.02

For at bestemme en satellits kredsløbsbane og position skal der bruges mindst 6 Keppler

”Two-line elements”^{18}. Figur 2.2.01^{19} illustrerer dele af disse.

Formen og størrelsen af satellittens kredsløbsbane defineres af følgende 2 parametre:

               20
e: excentriciteten : En værdi der definerer formen af banen. Ved 𝑒=0 vil det være en

cirkelformet bane, 0<𝑒<1 er en ellipse, 𝑒=1 er en parabel og 𝑒>1 er en
hyperbel. Excentriciteten for satellitbanerne er 𝑒<0,001^{21}. I følgende eksempel sættes

excentriciteten derfor til 0, for at gøre det mere overskueligt, dvs. det antages at

kredsløbsbanen er en cirkel. Se figur 2.2.02^{22}.

a: Den halve storakse^{23}: Afstanden fra satellittens kredsløbsbanes geografiske

midte (Jorden) til den længst væk beliggende kant af kredsløbsbanen.

Nemmere forstået kan den defineres som en ”ellipses lange radius”. Da det blev antaget at excentriciteten var 0, er a blot cirklens radius r.

Følgende to elementer beskriver retningen af kredsløbsbanen, hvor excentricitetsformen er taget i betragtning:

i: Banehældningen^{24}: Beskriver banens vertikale hældning i forhold

til koordinatsystemets referencepunktet (yderlige uddybet i afsnit 2.3) dvs. Jorden.

Ω:Rektascensionen af den indgående node^{25}: Er vinklen til positionen mellem den indgående

node (det sted hvor kredsløbsbanen skærer x-y planen) og x-aksen i koordinatsystemet.

Og dertil er der to andre elementer, der henholdsvis definerer:

ω: Argumentet om pergæum^{26}: Retningen af baneformen i kredsløbsbanen, ved en vinkel

målt fra den indgående node til perihelium (perigee på figuren) (det sted på banen hvor der er mindst afstand til Jorden).

I dette eksempel er 𝜔=0, da den afhænger af perihelium, som ikke findes i cirkel - der er

en konstant radius.

M: Gennemsnitlige anomali^{27}: Positionen for objektet i kredsløbsbanen ved en specifik tid.

Og for at beregne satellittens koordinater skal yderlige stiftes bekendtskab med hhv.:

18

Internet [10]

19

Internet [10]

20

Internet [13]

21

Bog [3] s. 213 og 227

22

Internet [12]

23

Internet [10], [13] og [14]

24

Internet [11]

25

Internet [10]

26

Internet [10] og [11]

27

Internet [11]

Side 14

SIDE 13 v: Ægte anomali: Beskriver hvor mange grader satellitten bevæger sig med i en bestemt tidsperiode, som må være givet ved, idét at det antages at det er en cirkel dvs. 360°, og

satellittens rotations tid om jorden kendes (11𝑡58𝑚𝑖𝑛)^{28}:

𝑣=

360°

11𝑡58𝑚𝑖𝑛 r: Afstand fra satellitten til det satte referencepunktet – her jordens midtpunkt. r regnes via.:

𝑟=𝑎(1 − 𝑒) ∗ cos (𝐸)

Og pga. at excentriciteten e blev sat til 0, fås, som også nævnt under definitionen af a:

𝑟=𝑎(1 − 0) ∗ cos ( 𝐸) ⟹ 𝑟=𝑎 𝑟=26600𝑘𝑚

29

Ud fra ovenstående elementer kan en satellits X, Y og Z koordinater, med jordens geografiske midte som referencepunkt og uden andre forstyrrelser, beregnes på følgende måde:

( 𝑌_{𝑠})=𝑟∗ ( cos ( 𝑣+ 𝜔) ∗ sin ( Ω) + sin ( 𝑣+ 𝜔) ∗ cos ( Ω) ∗ cos ( 𝑖)) 2.2.1^{30}

𝑋_{𝑠} cos ( 𝑣+ 𝜔) ∗ cos ( Ω) − sin ( 𝑣+ 𝜔) ∗ sin ( Ω) ∗ cos ( 𝑖)

𝑍_{𝑠}
sin ( 𝑣+ 𝜔) ∗ sin ( 𝑖)

De klassiske parametre for en typisk satellit der skal bruges i dette eksempel for en satellits position, er givet ved:

𝑒=0

𝑟 ~ 26600𝑘𝑚

𝑖=55°^{31}

Ω=60°^{32}

𝑣=

360°

11𝑡58𝑚𝑖𝑛

𝜔=0

F.eks.: til tiden 𝑡=1𝑡 fås følgende koordinater:

28

Bog [4] s. 12

29

Bog [6] s. 65

30

Bog [3] s. 113

31

Bog [4] s. 12

32

Bog [3] s. 213

Side 15

SIDE 14

𝑣= ⟹ 𝑣=30.0836°/𝑡

360°

11𝑡+ (58 ∗ ∗ 0,01)

100

60

( 𝑌_{𝑠})=26600𝑘𝑚∗( cos ( 30.0836°) ∗ sin ( 60°) + sin ( 30.0836°) ∗ cos ( 60°) ∗ cos ( 55°))=( 23757,1)

𝑋_{𝑠} cos ( 30.0836°) ∗ cos ( 60°) − sin ( 30.0836°) ∗ sin ( 60°) ∗ cos ( 55°) 4885,23

𝑍_{𝑠} 10922,2

sin ( 30.0836°) ∗ sin ( 55°)

Nu haves altså X, Y og Z koordinaterne, med referencepunkt i Jordens midte, for en satellit.

Et ”sikkerhedstjek” af ovenstående formel kan udføres ved at sammenligne farten der fås ved vektorregning i rummet og den fart der fås ved omløbslængde divideret med omløbstid. Men da satellitten bevæger sig i en cirkulær bane, og derfor ikke lineært som det antages at den gør i afstandsformlen for vektorregning i rummet, vælges et meget lille tidsinterval.

Ved tiden 𝑡=0 fås:

( 𝑌_{𝑠})=26600𝑘𝑚∗ ( cos ( 0°) ∗ sin ( 60°) + sin ( 0°) ∗ cos ( 60°) ∗ cos ( 55°))=( 23036,276)

𝑋_{𝑠} cos ( 0°) ∗ cos ( 60°) − sin ( 0°) ∗ sin ( 60°) ∗ cos ( 55°)

𝑍_{𝑠}

sin ( 0°) ∗ sin ( 55°) 0

13300

Og ved tiden 𝑡=1𝑠 fås:

𝑣= → 𝑣=0,0083565°/𝑠

360°

11 + (58 ∗ ∗ 0,01) ∗ 60 ∗ 60𝑠

100

60

( 𝑌_{𝑠})=26600𝑘𝑚 ∗ ( cos ( 0,0083565°) ∗ sin ( 60°) + sin ( 0,0083565°) ∗ cos ( 60°) ∗ cos ( 55°))=( 23037,388)

𝑋_{𝑠} cos ( 0,0083565°) ∗ cos ( 60°) − sin ( 0,0083565°) ∗ sin ( 60°) ∗ cos ( 55°) 13298,073

𝑍_{𝑠} 3,178

sin ( 0,0083565°) ∗ sin ( 55°)

Og ved vektorregning i rummet giver det en hastighed på:

𝑣= √ ( 13298,073− 13300)^{2} + ( 23037,388 − 23036,276)^{2} + ( 3,178 − 0)^{2} =3,87938

𝑘𝑚 𝑠

⁄

Og ved den oplyste baneradius og omløbstid giver det en hastighed på:

𝑣= =3,87959

26600𝑘𝑚 ∗ 2 ∗ 𝜋

(11 + 58 ∗ ∗ 0,01) ∗ 60 ∗ 60𝑠

100

60 𝑘𝑚 𝑠

⁄

Og som forventet er den rigtige hastighed lidt større, da vektorafstandsformlen jo ikke tager højde for at satellitten bevæger sig i en cirkulær bane. Derfor kan 2.2.1 accepteres som en gyldig ligning for satellittens position til en given tid, da der ikke er et større udsving i farten.

Side 16

SIDE 15

Ovenstående parametres værdier er dog forskellige fra satellit til satellit. Det er altså disse data som satellitterne sender til modtageren, som den så beregner satellitternes position ud fra og derefter beregner sin egen position som i afsnit 2.1.

Bilag 1 viser et eksempel på faktiske data sendt fra 4 forskellige satellitter.

De X, Y og Z koordinater der fås ved de indtil nu gennemgåede processer, siger dog ikke rigtig det normale menneske noget om hvor man befinder sig. X, Y og Z koordinater for en position er også svære at forholde sig til, da det ikke vides ved hvilke koordinater man

befinder sig inde i/uden for Jorden og ved hvilke man befinder sig på Jorden. Derfor er der

indført længde- og breddegrader, som ikke har nogen decideret højde med, som gør det noget nemmere at forholde sig til. I næste afsnit vises konversationen fra X, Y og Z koordinater til længde- og breddegrader.

2.3 Det sfæriske koordinatsystem

Sfæriske koordinater, også kaldet sfæriske polære koordinater, bruges til at

definere/bestemme positioner på en sfæres overflade.

Figur 2.3.01^{33} viser et sfærisk koordinatsystem. Her er punktet 𝑃(𝑟,𝜃,𝜑) defineret af

længden r fra (0,0,0) til P, azimut vinklen 𝜃 i x-y planen og højdevinklen til P fra x-y planen, 𝜙.

The World Geodetic System 1984 (WGS 84), er et standard koordinatsystem, med referencepunkt i Jordens midtpunkt (ECEF), som bliver anvendt i GPS-systemets beregninger dvs. der beregnes via. X, Y og Z koordinater.

I WGS 84 er x- og y-akserne i samme plan som ækvator, hvor x-aksen peger i retning mod det punkt hvor nulmeridianen skærer ækvator. z-aksen står vinkelret på x-y planen med retningen imod den geografiske Nordpol. Aksernes skala er i meter, og roterer når jorden roterer, så nulmeridianen og ækvator altid er det samme sted på Jorden.

Derfor er et givent X, Y og Z koordinat også altid det samme sted på Jorden. Breddegrader

er målinger fra ækvator sat ved 0°, nordpolen ved 90° og sydpolen ved −90°. Længdegrader
er målinger fra nulmeridianen/z-x planen ved 0° og derefter til -180°vestpå og til 180°
østpå.^{34} Opbygning af WGS 84 er vist på figur 2.3.02^{35}.

33

Bog [7] s. 18

34

Bog [7] s. 19

Figur 2.3.01

Side 17

SIDE 16

Figur 2.3.02

Som set i det sfæriske koordinatsystem på figur 2.3.01, er det længde og breddegraden, samt jordens radius der udgør en position på Jorden.

Hvis vi tager X, Y og Z koordinaterne fra afsnit 2.1:

𝑋=3739,74𝑘𝑚

𝑌=627,33𝑘𝑚

𝑍=5561,22𝑘𝑚

Og det vides at længden af en vektor →=(𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ) er givet ved:
                                        1  2 3
                                  𝑎

| →_{𝑎} | = √ 𝑎_{1}^{2} + 𝑎_{2}^{2} + 𝑎_{3}^{2_{36}}

Længden af vores vektor er kendt, da vi jo har referencepunkt i Jordens midte, og Jordens radius er kendt til at være ca. 6731km. Derfor skal følgende gælde:

6731km= √ 3739,74𝑘𝑚^{2} + 627,33𝑘𝑚^{2} + 5561,22𝑘𝑚^{2}

Hvilket det i dette tilfælde gør. Omregningen fra WGS 84’s X, Y og Z koordinater til bredde- og længdegrader er givet ved de trigonometriske regneregler for retvinklede trekanter:

𝜙=𝑠𝑖𝑛^{−1} ()=𝑠𝑖𝑛^{−1} ()

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒 𝑧 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒𝑛 𝑟

𝜃=𝑡𝑎𝑛^{−1} ()=𝑡𝑎𝑛^{−1} ()

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒 𝑦 ℎ𝑜𝑠𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒 𝑥

Hvor 𝜙 er breddegraden og 𝜃 længdegraden.

Med de tilfældige, men ankerkendte X, Y og Z koordinater fås:

𝜙=𝑠𝑖𝑛^{−1} ()=𝑠𝑖𝑛^{−1} ()=55.71137°

𝑧 5561,22𝑘𝑚 𝑟 6731𝑘𝑚

𝜃=𝑡𝑎𝑛^{−1} ()=𝑡𝑎𝑛^{−1} ()=9.52253°

𝑦 627,33𝑘𝑚 𝑥 3739,74𝑘𝑚

Længde og breddegraderne er her angivet i decimaltal. I bilag 3 ses hvordan længde- og breddegrader regnes til det (måske mere kendte?) seksagesimale talsystem (° ′ "). I Google Earth fås følgende position:

35

Bog [7] s. 20

36

Bog [8] s. 106

Side 18

SIDE 17

Figur 3.1.01

Figur 3.1.02

Figur 3.1.03

Alle beregningerne for positionen sker altså i et standart XYZ-koordinatsystem, men bliver derefter regnet til bredde- og længdegrader på modtagerenheden.

3. Fejlkilder ved GPS-systemet

I følgende afsnit diskuteres de forskellige fejlkilder ved GPS-systemet. Der er ikke lavet udsving på X, Y og Z koordinaterne, da der, som beskrevet i afsnit 2.2, stod, at det skabte et ikke lineært sæt af ligninger, hvilket er en stor omfattende opgave at løse. Derimod er der eksempler på den forskel der fås i pseudoafstanden, hvis der ikke tages forbehold for fejlkilderne. En forskel i pseudoafstanden kan siges at være størst, når satellitten er i horisonten, da en pseudoafstandsforskel derfor vil påvirke modtageren til at tro, at den enten er tættere på satellitten eller længere væk.

3.1 Atmosfærens påvirkning

Positionsbestemmelsens præcision og nøjagtighed påvirkes af de forskellige egenskaber ionosfæren, stratosfæren og troposfæren har. Uden at korrigere for de fejlkilder der fås i atmosfæren, bliver positionens nøjagtighed forvrænget betydeligt. De forskellige lag af atmosfæren der har betydning, for postionsbestemmelsens nøjagtighed er vist på figur

    37
3.1.01 .

3.1.1 Ionosfæren

Kosmisk stråling og den ultraviolette stråling fra solen forårsager ionisering af atomerne i ionosfæren, så de bliver spaltet til ioner og

elektroner^{38}. Den kosmiske stråling kommer fra

supernovaeksplosioner, og mængden der kommer til Jorden, er reguleret af solens aktivitet (også kendt som solpletter). Solens aktivitet

regulerer solens magnetfelt (heliosfæren på figur 3.1.02^{39}), som kan

siges at være ”et skjold” mod den kosmiske stråling. Ved en høj solaktivitet er magnetfeltet stærkt, som derfor skærmer for mere kosmisk stråling og ligeledes (bare omvendt) ved lav solaktivitet. Stor solaktivitet øger også den ultraviolette stråling, og ligeledes, bare omvendt

                40
ved lav solaktivitet . Dvs. der er altså en modsigelse i ioniseringsgraden ved solaktiviteten

– den neutraliserer dog ikke sig selv. Solaktiviteten topper i en cyklus på 11 år. Derudover bliver graden af den kosmiske stråling reguleret af solsystemets position i mælkevejen. Da vores solsystem cirkulerer i et kredsløb om mælkevejsen midte, og at mælkevejens

                                  41
galaksetype er spiralformet (figur 3.1.03

), vil der i spiralarmene være en højere intensitet af kosmisk stråling pga. en højere densitet af stjerner, og derfor også flere

37

Bog [1] s. 39

38

Bog [1] s. 39

39

Andet [1] s. 5

40

Bog [1] s. 40

41

Internet [15]

Side 19

SIDE 18 supernovaeksplosioner. Sidstnævnte er dog ikke af største betydning lige pt. Da

solsystemets omløbstid i Mælkevejen er 225-250 million år^{42} og GPS systemet har været her

i ~64 år, men det er dog stadigvæk en gældende fejlkilde, der med tiden skal tages højde

for. Det er altså mange faktorer der spiller ind ved bare denne fejlkilde i systemet.^{43}^{44}

Derfor varierer densiteten af de frie elektroner i ionsfæreren, med ovenstående parametre,

men også til tidspunktet på dagen og årstiden^{45}. Ionosfærefejlen på målingen af

pseudoafstanden mellem modtager og satellit gives ved, idét ionosfæreforsinkelsen er omvendt proportional med kvadratet på frekvensen:

𝑑_{𝑖𝑜𝑛} = ∫𝑁_{𝑒^{46}}

40,3

𝑓^{2}
Hvor f er frekvensen på radiobølgen og 𝑁_{𝑒} er elektrondensiteten angivet i TECU (1 TECU = 10^{6} elektroner pr. kvadratmeter^{47}).

Forsinkelsen i ionosfæren angivet i ovenstående formel, kan omregnes til en afstandskorrektion d via:

𝑑 = ( 𝑟_{𝐿1} − 𝑟_{𝐿2}) ∗_{2} 3.1.1

𝐿1

𝑓_{𝐿2}^{2}
𝑓_{𝐿2} − 𝑓_{𝐿1}^{2}

48

Her er 𝑑_{𝐿1} afstandskorrektionen på bærebølge L1, 𝑟_{𝐿1} og 𝑟_{𝐿2} er pseudoafstandene for bølgerne L1 og L2, 𝑓_{𝐿1} og 𝑓_{𝐿2} er
frekvenserne for bølgerne L1 og L2^{49}.

Frekvenserne for bærebølgerne L1 og L2’s signal med C/A-og P koden er dannet ud fra en
grundlæggende frekvens som er angivet til 10,23MHz^{50}:

𝐿1=154 ∗ 10,23𝑀ℎ𝑧=1575,42𝑀𝐻𝑧

𝐿2=120 ∗ 10,23𝑀𝐻𝑧=1227,60𝑀𝐻𝑧

F.eks. vil en usikkerhed på 100m mellem pseudoafstandene for bølgerne L1 og L2 ved f.eks.

25.000km og 24.900km i 3.1.1 give en afstandsafvigelse på:

𝑑_{𝐿1} = ( 25.000𝑘𝑚 − 24.900𝑘𝑚) ∗ =37,78𝑚

( 1227,60ℎ𝑧)^{2}
( 1227,60ℎ𝑧)^{2} + ( 1575,42ℎ𝑧)^{2}

42

Internet [24]

43

Andet [1] s.5

44

Internet [16]

45

Bog [1] s. 39

46

Bog [1] s. 39

47

Bog [1] s. 40

48

Bog [1] s. 41

49

Bog [1] s. 41

50

Bog [1] s. 31

Side 20

SIDE 19

En fejlkilde på 37,78m hvis der er en forskel på 100m i pseudoafstanden mellem de to bølger L1 og L2 – en betydelig fejlkilde der skal huskes at korrigeres for.

3.1.2 Troposfæren og stratosfæren

I tropos- og stratosfæren udsættes signalet for refraktion, som afhænger af tryk, temperatur og luftfugtighed. Da fejlen her ikke afhænger af signalets frekvens som i ionosfæren, kan fejlen kun korrigeres via. modeller. Der er en lang række af forskellige modeller til dette, den der er angivet som den mest nøjagtige er givet ved:

𝑑_{𝑡𝑟𝑜𝑝} =0,002277∗ ( 1 − 0,00266 ∗ cos ( 2𝜑) − 0,00028𝐻) ∗ sec ( 90 − 𝑒𝑙𝑣) ∗ (𝑃+ ( + 0,05) ∗ 𝑒)^{51}

1255

𝑇

Hvor 𝜑 er breddegraden, H er højden over havniveau i km, elv er elevationsvinklen for signalet, P er trykket i millibar, T er

temperaturen ved GPS-antennen i kelvin og e er det partielle tryk for vanddamp angivet i millibar^{52}.

Der er ikke noget eksempel på denne fejlkilde, da den kræver data der ikke er tilgængelige.

Det er derfor blot vist at den eksisterer.

3.2 Relativistiske effekter

For at finde den daglige tidsudvidelse som GPS-systemet oplever ved den specielle relativitetsteori (tidsforlængelse) dvs. hastighed og den generelle relativitetsteori

(tidsforkortelse) dvs. tyngdekraften skal disse findes og adderes.

3.2.1 Tidsforlængelse

Tidsforlængelse går ud på, at ting i bevægelse skal bruge længere tid på at opnå den tid, det ville tage, hvis tingen ikke var i bevægelse – altså tiden for ting i bevægelser bliver længere.

Størrelsen af tidsforlængelsen fås ved at bruge Lorentz transformationen:

1 𝑣^{2}_{53}
𝛾 𝑐^{2}

= 1 −

√

Hvor v er hastigheden og c er lysets fart.

Og for små værdier af^{𝑣}_{𝑐} fås ved rækkeudvikling til 2. orden:

1 𝑣^{2}
𝛾 2𝑐^{2}

≈1 −

Lysets hastighed c og farten v af en satellit (baneradius og omløbstiden kendes så farten kan nemt findes) gives ved:

51

Bog [1] s. 42

52

Bog [1] s. 42

53

Internet [20]

Side 21

SIDE 20

𝑣= = 3879,59 ⁄

𝜋 ∗2∗ 26600000𝑚

( 11∗ 60+ 58) ∗ 60𝑠

𝑚 𝑠

𝑐=299792458 ⁄^{54}

𝑚 𝑠

Hvilket giver os:

1 3879,59 ⁄^{2}

𝛾

≈1 − =1 − 8,4 ∗ 10^{−11}

𝑚 𝑠

2 ∗ 299792458 ⁄^{2}

𝑚 𝑠

Hvor 1 − 8,4 ∗ 10^{−11} er den brøkdel, som satellitternes ure er langsommere end
jordbaserede ure. Og for at få afvigelsen for 1 døgn i µs, ganges 8,4 ∗ 10^{−11} med antal

mikrosekunder (µs) pr. døgn:

8,4 ∗ 10^{−11} ∗ 60 ∗ 60 ∗ 24 ∗ 10^{6} µ𝑠=7,257µ𝑠

Dvs. at på 1 døgn mister satellituret 7,257µ𝑠. Derfor er 1 døgn på jorden 1 døgn + 7,257µs i

satellitten.

Og hvis der ikke korrigeres for dette fås en pseudoafstands-afvigelse på:

7,257 ∗ 10^{−6} 𝑠 ∗ 299792458 ⁄ =2175𝑚

𝑚 𝑠

Dette giver en positions-unøjagtigheden på 2175m, på blot ét døgn, hvis der ikke er korrigeret for tidsforlængelse. Dette er derfor en meget relevant fejlkilde, idét der kommer store usikkerheder på meget kort tid.

3.2.2 Tyngdekraften

Tyngdekraften er en anden effekt, der har stor betydning for urenes gang. GPS-Satellitterne befinder sig i et svagere tyngdefelt end GPS-modtageren ved jordoverfladen, da de er placeret længere væk fra Jordens centrum. Det svagere tyngdefelt gør, at satelliturene går hurtigere end de Jordbaserede ure. Størrelsen af den faktiske tidsforskel mellem satelliturene og modtageruret pga. tyngdekraften er givet ved:

1 2 ∗ 𝐺∗ 𝑀_{55}
𝛾 𝑟 ∗ 𝑐^{2}

= 1 −

√

Hvor r er den radiale koordinat for observatøren, G er den universelle gravitationskonstant, M er massen af objektet der skaber tyngdefeltet og c er lysets hastighed.

Og for små værdier af^{𝑀}_{𝑟} fås ved rækkeudvikling til 2. orden:

54

Internet [17]

55

Internet [20]

Side 22

SIDE 21

1 𝐺∗ 𝑀

𝛾 𝑟 ∗𝑐^{2}

≈1 −

Vi er dog kun interesseret i fraktionen mindre end 1 og forskellen mellem modtageren og satellitten. For at bestemme denne forskel tages:

Δ()≈ − 3.2.1^{56}

1 𝐺∗ 𝑀_{𝑗𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛} 𝐺∗ 𝑀_{𝑗𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛}
𝛾 𝑅_{𝑗𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛} ∗ 𝑐^{2} 𝑅_{𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡} ∗ 𝑐^{2}
Her er G er den universelle gravitationskonstant, 𝑀_{𝑗𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛} er massen af Jorden, 𝑅_{𝑗𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛} er Jordens radius, 𝑅_{𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡} er

satellitbanens radius og c er lysets hastighed.

Og værdierne er givet ved:

𝐺=6,6738 ∗ 10^{−11} 𝑁 ∗ ()

𝑚 𝑘𝑔

⁄

2

57

𝑀_{𝑗𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛} =5,9722 ∗ 10^{24} 𝑘𝑔^{58}

𝑅_{𝑗𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛} =6,371 ∗ 10^{6} 𝑚

𝑐=299792458 ⁄

𝑚 𝑠

𝑅_{𝑠𝑎𝑡𝑒𝑙𝑙𝑖𝑡} =2,66 ∗ 10^{7} 𝑚

Og hvis disse værdier substitueres ind i 3.2.1 fås:

Δ()≈( −)

1 𝛾

6.6738 ∗ 10^{−11} 𝑁 ∗() ∗ 5.9722 ∗ 10^{24} 𝑘𝑔 6.6738 ∗ 10^{−11} 𝑁 ∗() ∗ 5.9722 ∗ 10^{24} 𝑘𝑔

𝑚 𝑚 𝑘𝑔 𝑘𝑔

⁄ ⁄

2 2

6,371 ∗ 10^{6} 𝑚 ∗ 299792458 ⁄^{2} 2,66 ∗ 10^{7} 𝑚∗ 299792458 ⁄^{2}

𝑚 𝑚 𝑠 𝑠

Δ()≈5,29 ∗ 10^{−10}

1 𝛾

Dvs. den brøkdel som satellitternes ure er hurtigere, end Jordbaserede ure er 5,29 ∗ 10^{−10}.

Og ganget med antal mikrosekunder pr. dag fås afvigelsen pr. døgn i µs:

5,29 ∗ 10^{−10} ∗ 60 ∗ 60 ∗ 24 ∗ 10^{6} µ𝑠=45,706µ𝑠

På grund af tyngdekraften er uret i satellitten altså 45,706µs hurtigere pr. døgn. Dvs. 1 døgn på jorden er 1 døgn - 45,706µs i satellitten.

56

Internet [20]

57

Internet [18]

58

Internet [19]

Side 23

SIDE 22

Figur 3.3.01

Det samlede resultat af påvirkningerne på satellituret af tidsforlængelsen og tyngdekraften

giver altså et ur, der går: 45,706µ𝑠 − 7,257µ𝑠=38,449µ𝑠 hurtigere.

Måden der korrigeres for disse fejlkilder er ved at gøre urets frekvens langsommere. Den bestemte frekvens satellituret skal sættes til er givet ved: 1 minus brøkdelen som uret var hurtigere minus brøkdelen som uret var langsommere ganget med den grundlæggende frekvens:

( 1 − ( 5,29 ∗ 10^{−10} − 8,4 ∗ 10^{−11})) ∗ 10,23𝑀𝐻𝑧=10,2299999954𝑀𝐻𝑧

Dvs. frekvensen af urene skal sættes ned fra 10,23𝑀𝐻𝑧 til 10,2299999954𝑀𝐻𝑧 som derved gør det langsommere, idét at det samlede resultat fra de relativistiske effekter, gjorde uret hurtigere.

3.2.3 Længdeforkortelse

Længdeforkortelsens påvirkning af positions nøjagtigheden er minimal, da længdeforkortelsen er defineret ved, at en genstand skal bevæge sig i sin længderetning i forhold til iagttageren, for at der vil kunne blive observeret en længdeforkortelse. En satellit bevæger sig i en cirkelformet bane, og derfor ikke i sin længderetning. Længdeforkortelsen kan dog fremkomme ved at splitte satellitbanen op i små størrelser, der så afviger minimalt fra længderetningen og derved giver en længdeforkortelse. Længdeforkortelsen burde dog umiddelbart ikke have nogen betydning for GPS-systemet, da det jo ikke er længden af satellitten, der bruges i beregningerne, men den findes ved GPS-satellitterne.

3.3 Dopplereffekten

Dopplereffekten er et fænomen, der gør at den frekvens som en bølge observeres med, afhænger af bevægelsen af bølgekilden i forhold til observatøren. For elektromagnetiske bølger er den observerede frekvens givet ved:

𝑓_{𝑜} = ∗ 𝑓_{𝑎}^{59}

1 − ∗ cos ( 𝜃)

𝑣 𝑐

√ (1 −)

𝑣^{2}
𝑐^{2}
Hvor 𝑓_{𝑜} er den observerede frekvens, 𝑓_{𝑎} er den afsendte frekvens , 𝜃 er vinklen mellem satellittens hastighedsvektors retning

og satellit-til-modtager-signalets retning, v er satellittens fart og c er lysets hastighed.

59

Bog [3] s. 183

Side 24

SIDE 23

Figur 3.3.02

I følgende regnes frekvensen og bølgelængden for observatøren, hvor satellitten kommer

tættere på og hvor den bevæger sig væk igen som set på figur 3.3.01^{60}. Det er frekvensen på

navigationssignalet, som er modulleret på bærebølge L1 og L2, der anvendes (50,42Hz) Den maksimale og mindste vinkel der er mellem hastighedsvektoren og sigtelinje fra signalet mellem modtageren og satellitten findes vha. trigonometrien.

På figur 3.3.02 er vist Jorden, Jordens geografiske midte, satellitternes bane, Jordens radius b, afstanden fra satellitternes bane til Jordens midte c, vinklen mellem satellitbanens radius

og modtagerens sigtelinje til satellitten 𝐵 og 𝐵 og vinklen mellem hastighedsvektorens
                                    1     2

retning og sigtelinjen fra modtager til satellit 𝜃 og 𝜃 . Det er værd at nævne at tangenten
                                         1     2

til et punkt på en cirkel altid er vinkelret på radius.

Af figur 3.3.02 fremgår det altså at vinklen 𝜃_{1} må være:

∠𝜃_{1} =90° + ∠𝐵_{1}

Og vinkel 𝐵_{1} må være:

∠𝐵_{1} =𝑠𝑖𝑛^{−1} ()

𝑏 𝑐

Og både længde b (jordens radius) og længde c (satellitbanens radius) er kendt, så vinkel

𝐵_{1} må være:

∠𝐵_{1} =𝑠𝑖𝑛^{−1} ()=13,858°

6371𝑘𝑚

26600𝑘𝑚

Og derfor må vinkel 𝜃_{1} være:

∠𝜃_{1} =90° + 13,858°=103,858°

Vinkel 𝜃_{2} må ifølge figur 3.3.02 være:

∠𝜃_{2} =90° − ∠𝐵_{2}

Og idét at både vinkel 𝐵_{1} og 𝐵_{2} regnes ud fra jordens radius og satellitbanens radius, må
∠𝐵_{1} =∠𝐵_{2}. Derfor er vinkel 𝜃_{2}:

∠𝜃_{2} =90°− 13,858°=76,142°

Hvilket giver en maksimum frekvens 𝑓_{𝑜_{𝑓ø𝑟}} og minimum frekvens 𝑓, for
𝑜_{𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟}

navigationssignalet modulleret på bærebølge L1 og L2, på:

60

Internet [21]

Side 25

SIDE 24

Figur 3.4.01

𝑓_{𝑜_{𝑓ø𝑟}} = ∗ 50,42𝐻𝑧=50,42016𝐻𝑧

1 − ∗ cos ( 103,858)

3879,59 ⁄ 𝑚 𝑠

299792458 ⁄ 𝑚 𝑠

√ (1 −)

( 3879,59 ⁄)^{2}

𝑚 𝑠

( 299792458 ⁄)^{2}

𝑚 𝑠

𝜆_{𝑜_{𝑓ø𝑟}} = ∗ 0,001=5945,8847𝑘𝑚

299792458 ⁄ 𝑚 𝑠

50,42016𝐻𝑧

𝑓_{𝑜_{𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟}} = ∗ 50,42𝐻𝑧=50,41984𝐻𝑧

1 − ∗ cos ( 76.142)

3879,59 ⁄ 𝑚 𝑠

299792458 ⁄ 𝑚 𝑠

√ (1 −)

( 3879,59 ⁄)^{2}

𝑚 𝑠

( 299792458 ⁄)^{2}

𝑚 𝑠

𝜆_{𝑜_{𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟}} = ∗ 0,001=5945,9224𝑘𝑚

299792458 ⁄ 𝑚 𝑠

50,41984𝐻𝑧

Hvor før er før satellitten er i zenit over modtageren og efter er efter at satellitten har været i zenit over modtageren.

Dvs. bølgelængden og frekvensen varierer i intervallet:

Frekvensen: [50,41984𝐻𝑧 ; 50,42016𝐻𝑧]

Bølgelængden: [5945,8847𝑘𝑚 ; 5945,9224𝑘𝑚]

Dvs. en forskel på 377m i bølgelængden. Endnu en betydelige fejlkilde der skal huskes at korrigeres for

Der findes også måder hvor doppler-effekten faktisk er med, ikke kun som en fejlkilde, men i hovedtrækkene bag positionsbestemmelse. Dette er pga. at frekvensen ændres med vinklen 𝜃, som er beregnet ud fra satellittens og modtagerens position. Frekvensen fortæller således om satellittens position.

3.4 Sagnac-effekten

Sagnac-effekten skyldes at Jorden roterer. På figur 3.4.01^{61} er først vist en ikke roterende

cirkel med to lysstråler der bliver sendt af sted i hver sin retning rundt om cirklen, og de må derfor nå fra start til slut på samme tid (bid ikke mærke i at lysstrålernes baneomkreds ikke er lige store, det skal forstå som de har den samme baneomkreds). Til højre er vist samme cirkel og lysstrålerne igen, her roterer cirkel dog med urets retning. Derfor vil strålen der går imod uret, have den ”fordel” at dens slutpunkt bliver roteret imod strålen, og det vil derfor tage mindre tid for strålen at nå fra start til slut. For lysstrålen der går med urets retning skal lysstrålen nu modarbejde at cirklen roterer i samme retning som

lysstrålen. Det er altså ikke selve farten af lysstrålen der bliver øget/reduceret, men

61

Internet [22]

Side 26

SIDE 25

Figur 3.4.02

distancen for start til slut der øges/reduceres for lysstrålen ved rotationen.

For en lysstråle rundt om jorden, hvor jorden ikke roterer, vil tiden 𝑡_{𝑛} være givet ved:

      2∗𝜋∗𝑟  2∗𝜋∗6371000𝑚
𝑡   =     =             =0,133526286𝑠
 𝑢_𝑟
             299792458

𝑐 ⁄ 𝑚 𝑠

For at beregne tiden med rotationen, tilføjes startpunktets hastighed v givet ved 𝑣=𝑟∗
𝜔^{62}, som hhv. adderes med c når lysstrålen går imod rotationsretningen, og subtrakteres
når den går med rotationsretningen. Vinkelhastigheden 𝜔 er ved ækvator givet ved^{63}:

𝜔=7,2921 ∗ 10^{−5} 𝑠^{−1}

Det giver følgende

𝑡_{𝑟}_{𝑖𝑚𝑜𝑑} = = =0,133526079𝑠

2 ∗ 𝜋∗ 𝑟 2 ∗ 𝜋∗ 6731000𝑚

𝑐+ 𝑣 299792458 ⁄ + 6731000𝑚 ∗ 7,2921 ∗ 10^{−5} 𝑠^{−1}

𝑚 𝑠

𝑡_{𝑟}_{𝑚𝑒𝑑} = = =0,133526494𝑠

2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟 2 ∗ 𝜋∗ 6731000𝑚

𝑐− 𝑣 299792458 ⁄ − 6731000𝑚 ∗ 7,2921 ∗ 10^{−5} 𝑠^{−1}

𝑚 𝑠

Som giver en tidsforskel på:

Δ𝑡=𝑡_{𝑟}_{𝑚𝑒𝑑} − 𝑡_{𝑟}_{𝑖𝑚𝑜𝑑} =2 ∗ 𝜋∗ 𝑟∗ ( −)= =

1 1 4 ∗ 𝜋∗ 𝑟 ∗ 𝑣 4 ∗ 𝐴 ∗ 𝜔_{64}
𝑐− 𝑣 𝑐+ 𝑣 𝑐^{2} − 𝑣^{2} 𝑐^{2} − 𝑣^{2}

Som med god tilnærmelse kan skrives som

Δ𝑡≅,da 𝑣≪𝑐

4 ∗ 𝐴 ∗ 𝜔_{65}
𝑐^{2}

Hvilket giver en tidsforskel på:

Δ𝑡 2 ∗ 𝐴 ∗ 𝜔 Δ𝑡 2 ∗ ( 6371000𝑚)^{2} ∗ 𝜋 ∗ 7,2921 ∗ 10^{−5} 𝑠^{−1}
2 𝑐^{2} 2

= → = ∗ 10^{6} =0,2069µ𝑠
299792458 ⁄^{2}

𝑚 𝑠

Og en afstandsforskel på:

0,2069 ∗ 10^{−6} 𝑠 ∗ 299792458 ⁄ =62𝑚

𝑚 𝑠

Dette er dog ved at sende en lysstråle rundt om jorden, som jo ikke sker i GPS-systemets positionsbestemmelse. I følgende er vist den maksimale påvirkning sagnac-effekten har på GPS-systemet. I GPS-systemet bliver positionsbestemmelse påvirket, således at satellitternes position bliver fastlåst i det roterende koordinatsystem. Men før at modtageren har fået signalet om satellittens position, er der gået en hvis tid, og derfor også

62

Andet [2] s. 29

63

Internet [23]

64

Andet [2] s. 29

65

Andet [2] s. 29

Side 27

SIDE 26 sket en rotation i koordinatsystem. Derfor er satellittens position i forhold til koordinatsystemet på det tidspunkt hvor signalet modtages af modtageren ikke den rigtige position, derimod er dens position i forhold til koordinatsystemet på det tidspunkt hvor signalet blev sendt.

På figur 3.4.02 er beskrevet de betegnelser og genstande der skal lægges mærke til. Hvis

transmissionstiden var 0 ville der ikke være noget problem, og 𝑙_{𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑑} ville gælde,

transmissionstiden er dog ikke 0. Fejlen der opstår her er at lige idét at signalet sendes fra satellitten roterer koordinatsystemet, men satellittens signal indeholder dens position lige idét at signalet bliver sendt. Når signalet bliver modtaget af modtageren, er der gået en hvis tid og dermed også sket en rotation i koordinatsystem. Den X, Y og Z satellit-position der bliver beregnet ud fra satellitsignalets data er altså samme koordinater, men i forskellige koordinatsystem, og det er her fejlen opstår. Afstanden mellem de samme koordinater i de to koordinatsystem må kunne findes, da Jordens rotationstid og transmissionstiden fra signalet kendes. Hvis vi antager at Positionen på Jorden er på ækvator ved nulmeridianen dvs. følgende koordinater (km): (6371,0,0) og antager en satellit der er i horisonten til

højre dvs.: 𝑋=6371 og den er i samme 𝑋𝑌-plan som modtageren dvs.: 𝑍=0, må Y-

koordinaten være givet ved:

26600= √ 6371^{2} + 𝑦^{2} + 0^{2} ⟺ 𝑦= −6371^{2} − 0^{2} + 26600^{2} ⟹ 𝑦=25825,8

√

Altså følgende koordinater: (6371,25825.8,0)

Og da både X- og Z-koordinatet er det samme, må afstanden ifølge vektorregning i rummet blot være 25825,8𝑘𝑚. Dette giver en transmissionstid på:

25825,8𝑘𝑚

299792,458 𝑘𝑚 𝑠

⁄

=0,08615𝑠

Og ved ækvator (i satellithøjde) - hvor rotationshastigheden er størst - må rotationshastigheden være:

26600𝑘𝑚∗ 𝜋 ∗ 2

24 ∗ 60 ∗ 60𝑠

=1,93441

𝑘𝑚 𝑠

⁄

Og satellitpositions-afstandsfejlen må derfor, hvis vi antager at den bevæger sig i XY-planen igennem hele kredsløbet (i dette tilfælde står satelliten stille), være givet ved:

0,08615𝑠 ∗ 1,93441 ∗ 1000=166,649𝑚

𝑘𝑚 𝑠

⁄

Men da satellitten selv roterer med en omløbstid på 11𝑡58𝑚𝑖𝑛 må den maksimale rotationshastighed imellem Jorden og satellitten være når satellitten roterer imod jordens rotationsretning:

26600𝑘𝑚 ∗ 𝜋 ∗2

24 ∗ 60 ∗ 60𝑠 − 11 ∗ 60 + 58 ∗ 60

=3,32404

𝑘𝑚 𝑠

⁄

Side 28

SIDE 27 udelukkes på denne måde. Hvis vi derimod Figur 3.5.01

Hvilket giver en maksimal positions-afstandsfejl på:

0,08615𝑠 ∗ 3,32404 ∗ 1000=286,366𝑚

𝑘𝑚 𝑠

⁄

Samme princip må gælde når jorden og satellitten roterer væk fra hinanden. Dette giver altså en satellitpositions-afstandsafvigelse i intervallet:

[−286,366𝑚 ;286,366𝑚]

Ovenstående forskel er den maksimale afvigelse der kan fås, da det er de maksimale formationer der kan opnås. Intervalafvigelsesafstanden af satellitpositionen er selvfølgelig fordelt ud i de forskellige XYZ-retninger.

Dette er en fejlkilde der ses tidligt i processen, da den allerede opstår ved beregning af satellitternes position. Det er derfor en relevant fejlkilde, der skal korrigeres for.

3.5 Multipath^{66}

Multipath-fejlen er en fejl, der opstår når signalet fra satellitten genspejles i f.eks. en mur, og så bliver modtaget af modtageren. Dette forårsager, at pseudoafstanden afviger fra den rigtig afstand. På figur 3.5.01 er vist 2 eksempler med multipath-fejlen. Scenariet til venstre kan undgås, idét at modtageren er opbygget, så den bruger det stærkeste signal. De reflekterede signaler i huset og i jorden vil ved refleksionen blive svagere og de udelukkes derfor. De reflekterede signaler vil også ankomme senere end det originale signal, og kan derfor også betragter scenariet til højre, er det kun det reflekterede signal, der når frem. Dette scenarie fremkommer derfor især i byer, hvor bygningerne gør, at det kun er det reflekterede signal der kommer frem. Måden der korrigeres for dette er at navigations-GPS’er der sidder i biler, er indstillet til ikke at kunne befinde sig uden for vejene. Dvs. selvom GPS’en beregner positionen til f.eks. 2 meter ved siden af vejen, angives position til at være på vejen.

66

Bog [1] s. 43-44 og bog [3] s. 316-319

Side 29

SIDE 28

Konklusion

Det kan konkluderes at positionsbestemmelsen i GPS-systemet er meget komplekst.

Derudover er det også blevet vist at det er flere komplicerede beregninger der laves i løbet af beregningsprocessen. Fejlkilderne der opstår er meget relevante og hvis der ikke tages hensyn til disse, fås store udsving fra den faktiske position. Der er også blevet vist at der skal bruges 4 satellitter for at korrigere for tidsfejl. Derudover kan det konkluderes at de fejlkilder der opstår i GPS-systemet afhænger af forskellige parametre som ændres igennem tiden.

Perspektivering og afslutning

De matematiske og fysiske modeller og formler der bliver brugt i GPS-systemet er dannet på baggrund af den grundlæggende matematik og fysik. Den grundlæggende matematik og fysik skaber et fundament, der så bygges videre på, og inddrager flere avancerede situationer, i beregningerne i GPS-systemet. Derudover kan der også perspektiveres til de tidligere måder der blev brugt til at navigere på før GPS-systemet. Her kan f.eks. nævnes hvordan man brugte stjernehimlen, solhøjden osv. til at navigere på.

Hvis der skulle arbejdes videre med dette emne kunne det være interessant at se på de andre navigationssystemer der findes, hvordan satellitternes position bestemmes fra IGS – og hvorfor de afviger fra de bestemte data de får tilsendt. Derudover kunne der nemt graves længere ned i hvordan systemet fungerer og hvordan en position bestemmes, heri f.eks.

bilag 2 og positionsbestemmelse med dopplereffekten. Det kunne også være interessant at se på andre positionsbestemmelses-systemer, og hvordan de bestemmer en position i forhold til GPS-systemet. Metoderne der blev brugt før GPS-systemet til at navigere på, kunne også være interessant at kigge på.

Side 30

SIDE 29

Litteraturliste

Bøger – både fysiske og e-bøger

[1]: Dueholm, Keld m.fl.: GPS, 3. udgave 1. oplag, Nyt Teknisk Forlag, 2005

[2]: Nielsen, Knud Erik m.fl.: Vejen til Matematik A2, 2. udgave, 2. oplag, Forlaget HAX,

2013

[3]: Seeber, Günter: Satellite Geodesy, 2. udgave, Walter de Gruyter, 2003

[4]: Zogg, Jean-Marie: GPS Basics, u-blox ag, 2002

[5]: Sidi, J Marcel: Spaccraft Dynamics and Control: A Practical Engineering Approach, 1.

udgave, 2. oplag, Cambridge University Press, 1997

[6]: Samama, Nel: Global Positioning: TECHNOLOGIES AND PERFORMANCE, 1. Udgave,

John Wiley & sons, 2008

[7]: Harper, Neil: Server-side GPS and Assisted-GPS in Java, Artech House, 2010

[8]: Carstensens, Jensen m.fl.: MAT A3 stx, 1. udgave, 2.oplag, Systime, 2008

[9]: Elvekjær, Finn m.fl.: FysikABbogen 2, 1. udgave, 3. oplag, Systime, 2009

[10]: El-Rabbany, Ahmed: Introduction to GPS: The Global Positioning System, 1. udgave, 2.

oplag, Artech House, 2002

Internetlitteratur sidst besøgt 18/12/2014
[1]: http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System

[2]: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_GPS_satellites

[3]: http://en.wikipedia.org/wiki/Assisted_GPS

[4]: http://www.ausairpower.net/TE-GPS-Guided-Weps.html

[5]: http://giscommons.org/chapter-2-input/

[6]: http://en.wikipedia.org/wiki/Trilateration

[7]: http://scialert.net/fulltext/?doi=jas.1614

[8]: http://www.mdpi.com//13/9/11728/htm

[9]: http://igscb.jpl.nasa.gov/overview/viewindex.html

[10]: http://spaceflight.nasa.gov/realdata/elements/

Side 31

SIDE 30

[11]: http://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_elements

[12]: http://academic.sun.ac.za/mathed/shoma/Index14.htm

[13]: http://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_eccentricity

[14]: http://en.wikipedia.org/wiki/Semi-major_axis

[15]: http://da.wikipedia.org/wiki/Galakse

[16]: http://www.sciencebits.com/ice-ages

[17]: http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_light

[18]: http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_constant

[19]: http://en.wikipedia.org/wiki/Earth

[20]: http://en.wikipedia.org/wiki/Error_analysis_for_the_Global_Positioning_System

[21]: http://www.argos-system.org/manual/3-location/32_principle.htm

[22]: http://www.mathpages.com/rr/s2-07/2-07.htm

[23]: http://www.livephysics.com/physical-constants/mechanics-pc/angular-speed-earth/

[24]: http://en.wikipedia.org/wiki/Galactic_year

[25]: http://en.wikipedia.org/wiki/GPS_Block_IIIA

[26]: http://www.rmtracking.com/blog/2013/07/27/gps-and-the-public-release-of-

government-data/

[27]: http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/ephdata.gif

[28]: http://www.sunearthtools.com/dp/tools/conversion.php

Andet

[1]: Artikel: Lauritsen, Sune Nordentoft: Den kosmiske forbindelse, Dansk

Rumforskningsinstitut, 2003.

[2]: Øvelsesvejledning: Uggerhøj, Ulrik m.fl.: Eksperimentelle øvelser i Speciel Relativitetsteori, Århus Universitet, August 2007

Side 32

SIDE 31

Figur 9.01

Figur 9.02

Bilag

Bilag 1^{67}

Bilag 2^{68}
De fire ligninger af 𝑃𝑆𝑅_{𝑖} = √ (𝑋_{𝑠𝑎𝑡_𝑖} − 𝑋)^{2} + (𝑌_{𝑠𝑎𝑡_𝑖} − 𝑌)^{2} + (𝑍_{𝑠𝑎𝑡_𝑖} − 𝑍)^{2} + 𝑐∗ Δ𝑡_{0} giver som

sagt et sæt af ikke lineære ligninger. For at løse dette ligningssæt, lineariseres rodfunktionen med Taylor modellen som set på figur 9.01.

Dvs. ved Δ𝑥=𝑥−𝑥_{0} er den første del, simplificeret, givet ved:

𝑓 ( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥_{0}) + 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) + Δ𝑥

Men for at lineraisere de fire ligninger, sættes en ny estimeret X, Y og Z position for modtageren som set på figur 9.02, og derfor må modtagerens position være givet ved 9.1 :

𝑋=𝑋_{𝐺𝑒𝑠} + Δ𝑥

𝑌=𝑌_{𝐺𝑒𝑠} + Δ𝑦

𝑍=𝑍_{𝐺𝑒𝑠} + Δ𝑧

Og derfor må afstanden fra satellitten til den estimerede position være givet ved samme princip som ved afstanden fra satellitten til modtageren:

𝑅_{𝐺𝑒𝑠_𝑖} = ( 𝑋_{𝑆𝑎𝑡_𝑖} − 𝑋_{𝐺𝑒𝑠})^{2} + ( 𝑌_{𝑆𝑎𝑡_𝑖} − 𝑌_{𝐺𝑒𝑠})^{2} + ( 𝑍_{𝑆𝑎𝑡_𝑖} − 𝑍_{𝐺𝑒𝑠})^{2}

√

Og hvis pseudoafstands-formlen for satellit til modtager kombineres med 9.1 fås:

𝑃𝑆𝑅_{𝑖} =𝑅_{𝐺𝑒𝑠_𝑖} + ∗ Δ𝑥+ ∗ Δ𝑥 ∗ Δ𝑥+ 𝑐∗ Δ𝑡_{0}

𝜕(𝑅_{𝐺𝑒𝑠_{𝑖}}) 𝜕 ( 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_{𝑖}}) 𝜕 ( 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_{𝑖}})

𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Som ved partiel differentiation giver:

𝑃𝑆𝑅_{𝑖} =𝑅_{𝐺𝑒𝑠_𝑖} + ∗ Δ𝑥+ ∗ Δ𝑦 + ∗ Δ𝑧 + 𝑐∗ Δ𝑡_{0}

𝑋_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑋_{𝑆𝑎𝑡_𝑖} 𝑌_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑌_{𝑆𝑎𝑡_{𝑖}} 𝑍_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑍_{𝑆𝑎𝑡_𝑖}
𝑅_{𝐺𝑒𝑠_𝑖} 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_{𝑖}} 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_𝑖}

Og efter udregning af den ovenstående formel for 𝑖=1…4, kan de fire ukendte variabler
Δ𝑥,Δ𝑦,Δ𝑧 og Δ𝑡_{0} findes efter reglerne for lineær algebra:

67

Internet [27]

68

Bog [4] s. 32-34

Side 33

SIDE 32

[] = ∗ 9.2

Δ𝑥 1

Δ𝑦 ⎢ 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_2} 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_2} 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_2} ⎥ 𝑃𝑆𝑅_{2} − 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_{2}}

Δ𝑧

Δ𝑡_{0}

⎣ | ⎦
⎢ | ⎥
⎢ | ⎥
⎢ | ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ | ⎥
⎢ | ⎥

⎡ 𝑐 ⎤

𝑋_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑋_{𝑆𝑎𝑡_1} 𝑌_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑌_{𝑆𝑎𝑡_1} 𝑍_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑍_{𝑆𝑎𝑡_1}
𝑅_{𝐺𝑒𝑠_1} 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_1} 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_1}
𝑋_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑋_{𝑆𝑎𝑡_2} 𝑌_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑌_{𝑆𝑎𝑡_2} 𝑍_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑍_{𝑆𝑎𝑡_2} 𝑃𝑆𝑅_{1} − 𝑅_{𝐺𝑒𝑠}

𝑋_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑋_{𝑆𝑎𝑡_3} 𝑌_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑌_{𝑆𝑎𝑡_3} 𝑍_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑍_{𝑆𝑎𝑡_3} 𝑃𝑆𝑅_{3} − 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_{3}}
𝑅_{𝐺𝑒𝑠_3} 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_3} 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_3}
𝑋_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑋_{𝑆𝑎𝑡_4} 𝑌_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑌_{𝑆𝑎𝑡_4} 𝑍_{𝐺𝑒𝑠} − 𝑍_{𝑆𝑎𝑡_4}
𝑅_{𝐺𝑒𝑠_4} 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_4} 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_4}

𝑐 ⎡ ⎤ 𝑐 𝑐

−1

⎣ | ⎦
⎢ | ⎥
⎢ | ⎥

𝑃𝑆𝑅_{4} − 𝑅_{𝐺𝑒𝑠_{4}}

Og løsningen for Δ𝑥,Δ𝑦,Δ𝑧 og Δ𝑡_{0}, bruges herefter til at genberegne de estimerede

koordinater i 9.1 .

De nye estimerede koordinater smides nu i 9.2 ud fra ovennævnte proces, indtil at Δ𝑥, Δ𝑦 og Δ𝑧 er under den ønskede fejlstørrelse. Der skal ofte laves 3-5 beregninger af ovennævnte proces, for at få en fejl på mindre end 1 cm. Der laves altså en tilnærmelse til de rigtige koordinater ved at estimere et sæt koordinater, som der så arbejdes tætter og tætter på mod de rigtige, så det efter gentagende beregninger af ovennævnte proces er den nye estimerede position, der angives til at være den rigtige position.

Bilag 3^{69}

Fra afsnit 2.3 blev bredde- og længdegraderne i decimaltal:

𝜙=55.71137°

𝜃=9.52253°

Som i det seksagesimale talsystem giver en bredde- og længdegrad på:

𝜙=55° 42´ 40.896"

𝜃=9° 31´ 21.108"

Det seksagesimale er altså bygget op på grader °, minutter ´ og sekunder ” i den givne retning, som enten er angivet ved Nord el. Syd og Vest el. Øst, eller om det er et positivt eller negativt tal.

69

Internet [28]

Side 34

SIDE 33

De findes på følgende måde:

De først tal før punktummet forbliver det samme og angives med grader ° dvs.: 55° og 9° Decimaltallene efter punktummet ganges derefter med 60:

0,71137 ∗ 60=42,6816

0,52253 ∗ 60=31,3518

Det hele tal bliver antal minutter og angives med ´ dvs.: 42´ og 31´

De nye decimaltal ganges igen 60:

0,6816 ∗ 60=40,896

0,3518 ∗ 60=21,108

Det opnåede tal er antal sekunder som angives med ” altså: 40.896" og 21.108"

Det skrives med punktum i stedet for komma, da et komma adskiller bredde- og længdegraderne dvs.: 55° 42´ 40.392" ,9° 31´ 21.108"