SRO om det skrå kast uden luftmodstand i Fysik B og Matematik A

Side 1

Det skrå kast uden luftmodstand

Studieretningsopgave i Fysik B og Matematik A

STX 2.g

STX 2.g

Vejledere: Hanne Hansen & Klaus Klausen

STX 2.g

Antal anslag: 19089

Side 2

[navn fjernet], 2.x

Resumé

Denne opgave handler om det skrå kast uden luftmodstand.

Først gennemgås teorien bag det skrå kast, hvor bevægelsen beskrives som to uafhængige bevægelser: en vandret bevægelse med konstant hastighed og en lodret bevægelse med konstant acceleration. En matematisk model for kasteparablen udledes, og den vinkel, der giver maksimal kastelængde, bestemmes til 45°.

Derefter analyseres en række forsøg med en fjederkanon. Begyndelseshastigheden beregnes til

3,04 m/s ved lodret affyring, og derefter anvendes denne begyndelseshastighed i en teoretiske model

for et skråt kast med en affyringsvinkel på 56°. Den teoretiske model giver en kastelængde på 1,00 m og en stighøjde på 0,32 m. En videoanalyse i LoggerPro af skuddet med fjederkanonen giver en kastelængde på 1,05 m og en stighøjde på 0,35 m samt en beregnet affyringsvinkel på 56,9° og

begyndelseshastighed på 3,15 m/s.

Sammenligningen og diskussionen viser, at de teoretiske værdier og forsøgets målinger ligger tæt på hinanden, men at de teoretiske værdier er lidt lavere end de praktiske. Dette kan formentlig forklares af fejlkilder og måleusikkerheder, herunder variationer i affyringsvinklen, forskelle i fjederens kraft, måleusikkerheder i videoanalysen samt luftmodstandens påvirkning.

Opgaven konkluderer, at teorien om det skrå kast uden luftmodstand giver en brugbar model til at beskrive og forudsige kastets bane i forsøget.

Side 3

[navn fjernet], 2.x

Indhold

Resumé ........................................................................................................................................... 2 Indledning ....................................................................................................................................... 4 Teori om det skrå kast uden luftmodstand ........................................................................................ 4 Hvad er det skrå kast? .................................................................................................................. 4 Uafhængighedsprincippet ............................................................................................................ 4 Begyndelseshastighed ................................................................................................................. 6 Hastigheden til tiden t .................................................................................................................. 7 Vandret og lodret position til tiden t .............................................................................................. 7 Ligning for banekurven ................................................................................................................. 8 Stighøjde ..................................................................................................................................... 9 Kastelængde.............................................................................................................................. 10 Skud med en fjederkanon ............................................................................................................... 11 Lodret affyring: Bestemmelse af begyndelseshastighed .............................................................. 11 Analyse af skråt kast med en vinkel på 56° .................................................................................. 12 Teoretisk model for skråt kast med en vinkel på 56° .................................................................... 14 Sammenligning af teori og praksis .............................................................................................. 14 Diskussion ..................................................................................................................................... 16 Konklusion .................................................................................................................................... 16 Referencer..................................................................................................................................... 18 Bilag 1: Forsøgsbeskrivelse ............................................................................................................ 19 Bilag 2: Forsøgsresultater fra LoggerPro .......................................................................................... 20

Side 4

[navn fjernet], 2.x

Indledning

Når man kaster en genstand skråt opad, så kaldes det et skråt kast. I et skråt kast, hvor der ses bort fra luftmodstanden, vil genstanden bevæge sig i en parabelformet bane.

I denne SRO undersøger jeg det skrå kast uden luftmodstand fra et matematisk og fysisk perspektiv ved at opstille en teoretisk model og efterfølgende lave et forsøg og sammenligne teori og praksis.

I den første del af opgaven beskrives teorien bag det skrå kast uden luftmodstand. En ligning for kasteparablen og formler for kastelængde og stighøjde udledes matematisk og den vinkel, der giver den maksimale kastelængde, bestemmes.

I anden del af opgaven analyseres et konkret skråt kast med en fjederkanon, og stighøjden og kastelængden bestemmes. Desuden opstilles en teoretisk model for dette kast, og den teoretiske stighøjde og kastelængde bestemmes.

Til sidst i opgaven sammenlignes de målte værdier med de teoretiske værdier, og afvigelserne mellem teori og praksis diskuteres.

Teori om det skrå kast uden luftmodstand

Hvad er det skrå kast?

Det skrå kast er bevægelsen af en genstand, der kastes/skydes skråt opad (Brydensholt, Ingwersen, &

Pedersen, 2019). Der er fx tale om et skråt kast, når en fodbold sparkes op i luften, når en sten kastes op i luften eller når en kugle affyres fra en kanon.

I denne opgave ses bort fra luftmodstanden, dvs. at det antages, at genstanden kun er påvirket af tyngdekraften. Ved små hastigheder er luftmodstandens påvirkning relativt lille, dvs. at modellen kan være brugbar, selv om luftmodstanden ikke medregnes.

Uafhængighedsprincippet

Uafhængighedsprincippet siger, at i et skråt kast er den vandrette og lodrette bevægelse uafhængig af hinanden (Brydensholt, Ingwersen, & Pedersen, 2019). Princippet kan illustreres på følgende måde:

Side 5

[navn fjernet], 2.x

Hvis en grøn kugle slippes fra en bestemt højde, og en blå kugle affyres vandret fra samme position, som den grønne kugle slippes, så vil de to kugler have samme højde over underlaget til ethvert tidspunkt, og de vil ramme underlaget samtidig. Når en kugle affyres, så påvirkes dens lodrette bevægelse altså ikke af dens vandrette bevægelse.

En ”teoretisk” rød kugle tilføjes nu. Den røde kugle affyres fra samme position som den blå kugle, men den påvirkes ikke af tyngdekraften:

Figuren viser, at til ethvert tidspunkt er den vandrette afstand fra den blå kugle til affyringspunktet den samme som den vandrette afstand fra den røde kugle til affyringspunktet. Kuglens vandrette bevægelse påvirkes altså ikke af dens lodrette bevægelse.

Samlet set gælder der altså, at i et skråt kast påvirkes den vandrette og lodrette bevægelse ikke af hinanden, og bevægelsen i x-retningen og bevægelsen i y-retningen kan derfor betragtes hver for sig.

x y x y

Side 6

[navn fjernet], 2.x

Begyndelseshastighed

Begyndelseshastigheden, når en genstand affyres, kaldes for 𝑣
                                                 0

. Affyringsvinklen, dvs. kastets vinkel med vandret, kaldes for 𝛼. På figuren herover er det skrå kast indlagt i et koordinatsystem, så affyringspunktet er i origo.

Uafhængighedsprincippet giver, at bevægelsen i hhv. x- og y-retningen kan betragtes hver for sig.

Begyndelseshastigheden i x-retningen kaldes 𝑣
                                     0𝑥

, mens begyndelseshastigheden i y-retningen kaldes

𝑣_{0𝑦}. Hastighederne 𝑣_{0𝑥} og 𝑣_{0𝑦} kan bestemmes ved at bestemme hastighedsvektorens komposanter.

Hastighedsvektoren og de to komposanter danner en retvinklet trekant. For en retvinklet trekant gælder nedenstående formler (Clausen, Schomacker, & Tolnø, 2017):

cos ( 𝑣) =

hosliggende katete hypotenuse

sin ( 𝑣) =

modstående katete hypotenuse

Dermed er

cos ( 𝛼) =

𝑣_{0𝑥}
𝑣_{0}

sin ( 𝛼) =

𝑣_{0𝑦}
𝑣_{0}
Et udtryk for hhv. 𝑣_{0𝑥} og 𝑣_{0𝑦} bestemmes ved at isolere de to størrelser i ligningerne:
𝑣_{0𝑥} =𝑣_{0} · cos ( 𝛼)
𝑣_{0𝑦} =𝑣_{0} · sin ( 𝛼)

Side 7

[navn fjernet], 2.x

Hastigheden til tiden t

For at kunne bestemme genstandens hastighed til tiden t benyttes uafhængighedsprincippet igen.

Hastigheden i x-retningen til tiden 𝑡 kaldes 𝑣
                                   𝑥

. I x-retningen påvirkes genstanden ikke af nogen kræfter, da luftmodstanden ikke medregnes. Da kraftpåvirkningen er 0, så er accelerationen også 0, ifølge Newtons 2. lov (Benoni & Elvekjær, 2020). Genstanden foretager derfor en jævn bevægelse i x-retningen, dvs. en bevægelse med konstant hastighed:

𝑣_{𝑥} =𝑣_{0𝑥}

Hastigheden i y-retningen til tiden 𝑡 kaldes 𝑣
                                   𝑦

. I y-retningen påvirkes genstanden af tyngdekraften,

dvs. at accelerationen er 𝑎 =−𝑔. Genstanden foretager altså en bevægelse med konstant
                     𝑦

acceleration i y-retningen. Hastigheden i y-retningen er derfor givet ved nedenstående ligning (Benoni

& Elvekjær, 2020):

𝑣_{𝑦} =−𝑔 · 𝑡+ 𝑣_{0𝑦}

Til tiden 𝑡 kan genstandens samlede fart 𝑣 betragtes som hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor kateterne er hastigheden i hhv. x- og y-retningen. Hastigheden 𝑣 kan derfor bestemmes med Pythagoras’ sætning:

𝑣= √ 𝑣_{𝑥}^{2} + 𝑣_{𝑦}^{2}

Vandret og lodret position til tiden t

Da bevægelsen i x-retningen er en bevægelse med konstant hastighed 𝑣 =𝑣 , så er genstandens
                                                        𝑥    0𝑥

vandrette position givet ved nedenstående ligning (Benoni & Elvekjær, 2020):

𝑥=𝑣_{0𝑥} · 𝑡+ 𝑠_{0𝑥}
Genstanden befinder sig i origo til tiden 𝑡=0, så genstandens vandrette position til tiden 𝑡=0 er
𝑠_{0𝑥} =0. Dermed er
𝑥=𝑣_{0𝑥} · 𝑡

Da bevægelsen i y-retningen er en bevægelse med konstant acceleration, så er genstandens lodrette position givet ved ligningen herunder (Benoni & Elvekjær, 2020):

𝑦= · ( −𝑔) · 𝑡^{2} + 𝑣_{0𝑦} · 𝑡+ 𝑠_{0𝑦}

1

2

Genstandens lodrette position til tiden 𝑡=0 er 𝑠 =0. Dermed er
                                       0𝑦

𝑦=− · 𝑔 ·𝑡^{2} + 𝑣_{0𝑦} · 𝑡

1

2

Til tiden 𝑡 er genstandens position altså givet ved koordinaterne

𝑥=𝑣_{0𝑥} · 𝑡

Side 8

[navn fjernet], 2.x

𝑦=− · 𝑔 ·𝑡^{2} + 𝑣_{0𝑦} · 𝑡

1

2

Ligning for banekurven

I dette afsnit bestemmes en ligning for den banekurve, som genstanden følger. Ligningen bestemmes ved at bestemme en ligning, der beskriver sammenhængen mellem genstandens positions x- og y-koordinater.

Først isoleres 𝑡 i formlen for genstandens vandrette position:

𝑥=𝑣_{0𝑥} · 𝑡

⇓

𝑡=

𝑥

𝑣_{0𝑥}

Derefter sættes ovenstående udtryk for 𝑡 ind i formlen for genstandens lodrette position:

𝑦=− · 𝑔 · () + 𝑣_{0𝑦} ·

1 𝑥^{2} 𝑥
2 𝑣_{0𝑥} 𝑣_{0𝑥}

⇓

𝑦=− · 𝑔· + 𝑣_{0𝑦} ·

1 𝑥^{2} 𝑥
2 𝑣_{0𝑥}^{2} 𝑣_{0𝑥}

⇓

𝑦=− · 𝑥^{2} + · 𝑥

𝑔 𝑣_{0𝑦}
2 · 𝑣_{0𝑥}^{2} 𝑣_{0𝑥}
Når 𝑣_{0𝑥} =𝑣_{0} · cos (𝛼) og 𝑣_{0𝑦} =𝑣_{0} · sin ( 𝛼) indsættes i ovenstående ligning, så fås

𝑦=− · 𝑥^{2} + · 𝑥

𝑔 𝑣_{0} · sin ( 𝛼)
2 · ( 𝑣_{0} · cos (𝛼))^{2} 𝑣_{0} · cos (𝛼)

⇓

𝑦=− · 𝑥^{2} + · 𝑥

𝑔 sin ( 𝛼)

2 · 𝑣_{0}^{2} · cos^{2} ( 𝛼) cos (𝛼)

⇓

𝑦=− · 𝑥^{2} + tan (𝛼) · 𝑥

𝑔

2 · 𝑣_{0}^{2} · cos^{2} ( 𝛼)

Sammenhængen mellem x- og y-koordinaten til genstandens position kan altså beskrives ved følgende ligning:

𝑦=− · 𝑥^{2} + · 𝑥

𝑔 𝑣_{0𝑦}
2 · 𝑣_{0𝑥}^{2} 𝑣_{0𝑥}

Side 9

[navn fjernet], 2.x

=− · 𝑥^{2} + tan ( 𝛼) · 𝑥

𝑔

2 · 𝑣_{0}^{2} · cos^{2} ( 𝛼)

                                                         2
Ovenstående ligning er en andengradsligning, hvor koefficienten foran 𝑥

er negativ, dvs. at det er en ligning for en parabel, hvor grenene vender nedad (Clausen, Schomacker, & Tolnø, 2017). Da banekurven for et skråt kast har form som en parabel, så kaldes banekurven også for en kasteparabel.

Stighøjde

Stighøjden 𝑦_{𝑚𝑎𝑥} for et kast er kastets maksimale højde (Brydensholt, Ingwersen, & Pedersen, 2019),

dvs. den største lodrette afstand mellem genstanden og underlaget . Stigetiden 𝑡 er den tid, det
                                                               𝑡𝑜𝑝

tager, før genstanden når stighøjden (Brydensholt, Ingwersen, & Pedersen, 2019).

Da kastet følger en parabel, hvor grenene vender nedad, så er stighøjden toppunktets y-koordinat. Når genstanden befinder sig i parablens toppunkt, så er den lodrette hastighed 0, dvs. at

−𝑔 · 𝑡_{𝑡𝑜𝑝} + 𝑣_{0𝑦} =0

Et udtryk for 𝑡 bestemmes ved at benytte, at 𝑣 =𝑣 · sin (𝛼), og derefter isolere 𝑡 i ligningen:
           𝑡𝑜𝑝                        0𝑦    0                        𝑡𝑜𝑝

−𝑔· 𝑡_{𝑡𝑜𝑝} + 𝑣_{0} · sin ( 𝛼) =0

⇓

−𝑔· 𝑡_{𝑡𝑜𝑝} =−𝑣_{0} · sin (𝛼)

⇓

𝑡_{𝑡𝑜𝑝} =

𝑣_{0} · sin ( 𝛼)

𝑔

Et udtryk for stighøjden bestemmes ved at sætte ovenstående udtryk for 𝑡
                                                          𝑡𝑜𝑝

ind i formlen for den lodrette position:

𝑦_{𝑚𝑎𝑥} =− · 𝑔 ·𝑡_{𝑡𝑜𝑝}^{2} + 𝑣_{0𝑦} · 𝑡_{𝑡𝑜𝑝}

1

2

=− · 𝑔 ·() + 𝑣_{0𝑦} ·

1 𝑣_{0} · sin ( 𝛼)^{2} 𝑣_{0} · sin ( 𝛼)

2 𝑔 𝑔

=− · 𝑔 · + 𝑣_{0} · sin ( 𝛼) ·

1 𝑣_{0}^{2} · sin^{2} ( 𝛼) 𝑣_{0} · sin ( 𝛼)
2 𝑔^{2} 𝑔

=− · +

1 𝑣_{0}^{2} · sin^{2} ( 𝛼) 𝑣_{0}^{2} · sin^{2} ( 𝛼)

2 𝑔 𝑔

=

𝑣_{0}^{2} · sin^{2} ( 𝛼)
2 · 𝑔

Side 10

[navn fjernet], 2.x

Stighøjden 𝑦_{𝑚𝑎𝑥} er altså givet ved formlen

𝑦_{𝑚𝑎𝑥} =

𝑣_{0}^{2} · sin^{2} ( 𝛼)
2 · 𝑔

Kastelængde

Kastelængden (eller kastevidden) 𝑥 er længden af kastet (Brydensholt, Ingwersen, & Pedersen,
                            𝑚𝑎𝑥

2019), dvs. den vandrette afstand fra genstandens startposition til genstandens slutposition.

Kastetiden 𝑡_{𝑘𝑎𝑠𝑡} er den tid, det tager genstanden at bevæge sig fra startpositionen til slutpositionen.

Kastetiden kan bestemmes ved at sætte sluthøjden ind i formlen for den lodrette position og isolere 𝑡.

Derefter kan kastelængden bestemmes ved at sætte kastetiden ind i formlen for den vandrette position.

Hvis kastet starter og slutter i samme højde, så er den parabel, som genstanden følger, symmetrisk omkring toppunktet. Kastetiden er derfor det dobbelte af stigetiden:

𝑡_{𝑘𝑎𝑠𝑡} =2· 𝑡_{𝑡𝑜𝑝}

                                                                      1
Kastelængden kan bestemmes ud fra kastetiden og ved at benytte, at cos ( 𝑣 ) · sin ( 𝑣 ) = · sin (2𝑣):
                                                                      2

𝑥_{𝑚𝑎𝑥} =𝑣_{0𝑥} · 𝑡_{𝑘𝑎𝑠𝑡}

=𝑣_{0} · cos ( 𝛼) · 𝑡_{𝑘𝑎𝑠𝑡}

=𝑣_{0} · cos ( 𝛼) · 2 ·

𝑣_{0} · sin ( 𝛼)

𝑔

=

2 · 𝑣_{0}^{2} · cos ( 𝛼) · sin ( 𝛼)

𝑔

=

𝑣_{0}^{2} · sin (2𝛼)

𝑔

Hvis kastet starter og slutter i samme højde, så er kastelængden altså givet ved formlen

𝑥_{𝑚𝑎𝑥} =

𝑣_{0}^{2} · sin (2𝛼)

𝑔

Da 𝑣_{0} og 𝑔 er konstanter, så bliver kastelængden størst mulig, når sin ( 2𝛼) er størst mulig. Sinus-
funktionen er voksende på intervallet [0°;90°], så sin (2𝛼) antager den største værdi, når 2𝛼=90°.
Kastelængden bliver dermed størst mulig, når 𝛼=45°.

Side 11

[navn fjernet], 2.x

Skud med en fjederkanon

Lodret affyring: Bestemmelse af begyndelseshastighed

Jeg har lavet en række forsøg, hvor jeg har skudt med en fjederkanon og optaget skuddene. Jeg startede med at lave tre lodrette affyringer for at bestemme kuglens begyndelseshastighed.

Fjederkanonen blev strammet mest muligt for at øge sandsynligheden for, at begyndelseshastigheden var den samme ved alle skud. Forsøgsbeskrivelsen kan ses i bilag 1.

På videoerne aflæses, at kuglens maksimale højde over bordet er 0,75 m i alle tre skud, dvs. at skuddenes gennemsnitlige højde over bordet er 0,75 m.

Kanonens munding er 0,28 m over bordet. Skudhøjden bestemmes:

ℎ=0,75 −0,28
=0,47

Skudhøjden er 0,47 m.

Kuglens begyndelseshastighed kan nu bestemmes ved at antage, at den mekaniske energi bevares under skuddet (Benoni & Elvekjær, 2020). Den kinetiske energi, som kuglen har ved kanonens munding, er dermed omdannet til potentiel energi, når kuglen har nået den maksimale højde:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛,𝑚𝑢𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔} =𝐸_{𝑝𝑜𝑡,𝑡𝑜𝑝𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡}

Den kinetiske energi og den potentielle energi kan beregnes således (Benoni & Elvekjær, 2020):

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} = · 𝑚· 𝑣_{0}^{2}

1

2

𝐸_{𝑝𝑜𝑡} =𝑚 ·𝑔 · ℎ

Ved hjælp af de tre formler opstilles en formel for 𝑣 :
                                        0

𝐸_{𝑘𝑖𝑛,𝑚𝑢𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔} =𝐸_{𝑝𝑜𝑡,𝑡𝑜𝑝𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡}

⇓

1

2

· 𝑚 ·𝑣_{0}^{2} =𝑚· 𝑔· ℎ

⇓

1

2

· 𝑣_{0}^{2} =𝑔· ℎ

⇓

𝑣_{0}^{2} =2· 𝑔 · ℎ

⇓

Side 12

[navn fjernet], 2.x

𝑣_{0} = √ 2 · 𝑔· ℎ
Denne formel for 𝑣_{0} benyttes til at bestemme kuglens begyndelseshastighed ud fra skudhøjden, ℎ:

𝑣_{0} =√2· 9,82 · 0,47

≈3,038223

Kuglens begyndelseshastighed er 3,04 m/s.

Analyse af skråt kast med en vinkel på 56°

Efter de lodrette affyringer, affyrede jeg fjederkanonen med en affyringsvinkel på 56° og filmede skuddet. Forsøgsbeskrivelsen kan ses i bilag 1.

Jeg lagde derefter videoen ind i LoggerPro og udførte en videoanalyse.

På figuren aflæses, at kasteparablen kan beskrives ved ligningen

𝑦=−1,653· 𝑥^{2} + 1,533 ·𝑥− 0,008

Den teoretiske ligning er

𝑦=− · 𝑥^{2} + tan ( 𝛼) · 𝑥

𝑔

2 · 𝑣_{0}^{2} · cos^{2} ( 𝛼)

Ved at sammenligne regressionsligningen og den teoretiske ligning kan affyringsvinklen bestemmes:

Side 13

[navn fjernet], 2.x

tan ( 𝛼) =1,533

⇕ Ligningen løses for α vha. WordMat.

𝛼=56,88296

Affyringsvinklen er beregnet til 56,9°, hvilket stemmer nogenlunde overens med den vinkel på 56°, som fjederkanonen var indstillet til.

Ved at sammenligne regressionsligningen og den teoretiske ligning kan begyndelseshastigheden også bestemmes:

− =−1,653

𝑔

2 · 𝑣_{0}^{2} · cos^{2} ( 𝛼)

⇓

− =−1,653

9,82

2 · 𝑣_{0}^{2} · cos^{2} ( 56,88296)

⇕ Ligningen løses for v_0 vha. WordMat.

𝑣_{0} =−3,154514 ∨ 𝑣 =3,154514

0

Begyndelseshastigheden er 3,15 m/s, hvilket er en smule større end begyndelseshastigheden

beregnet ved hjælp af de lodrette affyringer.

Toppunktets x-koordinat bestemmes ved at bruge formlen for toppunktet på en parabel (Clausen, Schomacker, & Tolnø, 2017):

𝑥_{𝑡𝑜𝑝} =−

1,533

2 · ( −1,653)

≈0,4637024

Toppunktets y-koordinat, 𝑦 , kan nu bestemmes:
                     𝑚𝑎𝑥

𝑦_{𝑚𝑎𝑥} =−1,653 · 𝑥_{𝑡𝑜𝑝}^{2} + 1,533· 𝑥_{𝑡𝑜𝑝} − 0,008

=−1,653 · ( 0,4637024)^{2} + 1,533 ·0,4637024− 0,008

≈0,3474279

Stighøjden 𝑦_{𝑚𝑎𝑥} er 0,35 m.

I LoggerPro aflæses, at kastelængden er 1,05 m (se bilag 2).

Side 14

[navn fjernet], 2.x

Teoretisk model for skråt kast med en vinkel på 56°

Her opstilles en teoretisk model for forsøget i forrige afsnit ved at tage udgangspunkt i en

affyringsvinkel på 56°, og begyndelseshastigheden på 3,04 m/s bestemt ved de lodrette affyringer.

En ligning for kasteparablen opstilles ved hjælp af den ligning, som blev udledt i teoriafsnittet:

𝑦=− · 𝑥^{2} + tan (𝛼) · 𝑥

𝑔

2 · 𝑣_{0}^{2} · cos^{2} ( 𝛼)

=− · 𝑥^{2} + tan ( 56) · 𝑥

9,82

2 · 3,04^{2} · cos^{2} ( 56)

≈−1,699069 · 𝑥^{2} + 1,482561 · 𝑥

Kasteparablen er givet ved ligningen

𝑦=−1,699· 𝑥^{2} + 1,483 · 𝑥

Ligningen for kasteparablen kan benyttes til at bestemme kastelængden 𝑥 . I LoggerPro aflæses,
                                                          𝑚𝑎𝑥

at kanonens munding er 22 cm over underlaget, så 𝑥_{𝑚𝑎𝑥} bestemmes ved at løse ligningen 𝑦=
−0,22:
−0,22=−1,699069· 𝑥_{𝑚𝑎𝑥} + 1,482561· 𝑥_{𝑚𝑎𝑥}

2

⇕ Ligningen løses for x_max vha. WordMat.

𝑥_{𝑚𝑎𝑥} =−0,1292474 ∨ 𝑥 =1,00182

𝑚𝑎𝑥

Den teoretiske kastelængde er 1,00 m.

Stighøjden bestemmes:

𝑦_{𝑚𝑎𝑥} =

𝑣_{0}^{2} · sin^{2} ( 𝛼)
2 · 𝑔

=

3,04^{2} · sin^{2} ( 56)
2 · 9,82

≈0,3234105

Den teoretiske stighøjde er 0,32 m.

Sammenligning af teori og praksis

I forsøget med fjederkanonen blev kuglens bane analyseret i LoggerPro. Kasteparablen kan beskrives ved ligningen

𝑦=−1,653· 𝑥^{2} + 1,533 ·𝑥− 0,008

Side 15

[navn fjernet], 2.x

Den teoretiske model, som blev opstillet på baggrund af den kendte affyringsvinkel på 56° og den estimerede begyndelseshastighed, er

𝑦=−1,699· 𝑥^{2} + 1,483 · 𝑥

Koefficienterne i de to modeller ligger meget tæt på hinanden, hvilket tyder på, at den teoretiske model tilnærmelsesvist kan beskrive bevægelsen. Herunder er de to parabler tegnet i samme koordinatsystem:

Herunder er den praktiske og teoretiske kastelængde og stighøjde opsummeret:

Kastelængde (i meter) Stighøjde (i meter)

Praksis 1,05 m 0,35 m

Teori 1,00 m 0,32 m

Tabellen viser, at den teoretiske kastelængde afviger med ca. 5 cm fra den målte, mens den teoretiske stighøjde afviger med ca. 3 cm fra den målte.

Den relative afvigelse i kastelængden beregnes:

1,05 − 1,00

1,00

≈0,05

Afvigelsen mellem den teoretiske kastelængde og den målte kastelængde er 5%.

Den relative afvigelse i stighøjden beregnes:

Side 16

[navn fjernet], 2.x

0,35 − 0,32

0,32

≈0,09375

Afvigelsen mellem den teoretiske stighøjde og den faktiske stighøjde er ca. 9,4%.

Diskussion

Resultaterne viser overordnet, at der er god overensstemmelse mellem den teoretiske model for det skrå kast og målingerne, selvom der ses mindre afvigelser. Den teoretiske model forudsiger en kastelængde på 1,00 m og en stighøjde på 0,32 m, mens analysen i LoggerPro giver en kastelængde på 1,05 m og en stighøjde på 0,35 m. Den målte kastelængde afviger med ca. 5% fra den teoretiske kastelængde, mens stighøjden afviger med cirka 9,4 %.

Afvigelserne kan skyldes en række fejlkilder og usikkerheder. For det første kan den faktiske affyringsvinkel have været lidt større end de 56°, som fjederkanonen blev indstillet til, hvis fjederkanonen har rykket sig under affyringen. For det andet kan fjederens kraft have været lidt anderledes end i de lodrette affyringer, hvilket vil have medført, at begyndelseshastigheden har været anderledes end forventet. Da de teoretiske værdier for kastelængden og stighøjden er mindre end de målte værdier, så tyder det på, at begyndelseshastigheden i den teoretiske model ikke har været helt korrekt, da både kastelængden og stighøjden er ret følsomme over for ændringer i især begyndelseshastigheden. Denne påstand bakkes op af analysen i LoggerPro, hvor affyringsvinklen er

beregnet til 56,9° og begyndelseshastigheden er beregnet til 3,15 m/s.

Afvigelserne kan også skyldes måleusikkerheder i LoggerPro-analysen, hvor ligningen for parablen er bestemt ved regression på en række punkter, der er markeret i videoen af kastet. Selv små unøjagtigheder i markeringen eller perspektivforvrængning i optagelsen kan påvirke de målte værdier.

På trods af disse fejlkilder og måleusikkerheder ligger resultaterne stadig forholdsvis tæt på hinanden.

Afvigelserne mellem teori og praksis er forholdsvis små og kan forklares ud fra fejlkilder og usikkerheder. Samlet set viser analysen, at modellen for et skråt kast uden luftmodstand er en brugbar beskrivelse af kastet i forsøget, som giver et nogenlunde fornuftigt billede af bevægelsen på trods af de små forskelle.

Konklusion

Det skrå kast uden luftmodstand kan beskrives som to uafhængige bevægelser: en vandret bevægelse med konstant hastighed og en lodret bevægelse med konstant acceleration. Banekurven, som genstanden følger, er en parabel, og den kan beskrives ved ligningen

𝑦=− · 𝑥^{2} + tan (𝛼) · 𝑥,

𝑔

2·𝑣_{0}^{2} ·cos^{2} ( 𝛼)

hvor 𝛼 er affyringsvinklen, og 𝑣 er begyndelseshastigheden.
                        0

Kastelængden 𝑥_{𝑚𝑎𝑥} og stighøjden 𝑦_{𝑚𝑎𝑥} kan bestemmes med formlerne

Side 17

[navn fjernet], 2.x

𝑥_{𝑚𝑎𝑥} =

𝑣_{0}^{2} · sin (2𝛼)

𝑔

𝑦_{𝑚𝑎𝑥} =

𝑣_{0}^{2} · sin^{2} ( 𝛼)
2 · 𝑔

Den største kastelængde opnås ved en vinkel på 45°.

På baggrund af tre lodrette affyringer med en fjederkanon er begyndelseshastigheden bestemt til 3,04

m/s. Efterfølgende blev samme fjederkanon affyret med en affyringsvinkel på 56°. Den teoretiske

kastelængde for det skrå kast er 1,00 m, og den teoretiske stighøjde er 0,32 m. Ved hjælp af en LoggerPro-analyse af kastet er kastelængden bestemt til 1,05 m, mens stighøjden er bestemt til

0,35 m. Analysen viste også, at affyringsvinklen var 56,9°, og at begyndelseshastigheden var 3,15 m/s.

En sammenligning af de praktiske og teoretiske resultater viser små afvigelser. Afvigelserne kan skyldes fejlkilder, som fx at affyringsvinklen kan have ændret sig ved affyringen, eller at fjederens kraft ikke har været præcis den samme som i de tidligere forsøg, så begyndelseshastigheden har været anderledes end forventet. Afvigelserne kan også skyldes måleusikkerheder i LoggerPro samt at luftmodstanden ikke er medregnet i modellen.

Sammenligningen viser, at den teoretiske model for et skråt kast uden luftmodstand er en brugbar beskrivelse af det skrå kast i forsøget.

Side 18

[navn fjernet], 2.x

Referencer

Benoni, T., & Elvekjær, F. (2020). FysikBbogen - bind 1. Aarhus: Systime.

Brydensholt, M., Ingwersen, J., & Pedersen, S. (2019). Orbit A stx. Aarhus: Systime.

Clausen, F., Schomacker, G., & Tolnø, J. (2017). Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A1.

Gyldendal A/S.

Side 19

[navn fjernet], 2.x

Bilag 1: Forsøgsbeskrivelse

Materialer

• Fjederkanon og kugle

• Bord

• Lineal/målestok

• Mobilkamera

• LoggerPro + computer

Fremgangsmåde

Forsøg 1: Lodret kast Fjederkanonen fastgøres til bordet.

En lineal fastgøres til fjederkanonen, og mundingens højde over bordet aflæses på linealen.

Tre lodrette skud affyres, og kuglens bevægelse filmes med telefonen.

Forsøg 2: Skråt kast Fjederkanonen indstilles med en skudvinkel på 56° i forhold til vandret.

Desuden lægges en målestok på 1 m på bordet, så den kan bruges som skala ved databehandling i LoggerPro.

Telefonen placeres så langt væk fra kanonen, at billedet ikke forvrænges nær kanten, og skuddet filmes.

Side 20

[navn fjernet], 2.x

Bilag 2: Forsøgsresultater fra LoggerPro

Tid (s) X (m) Y (m) Vx (m/s) Vy (m/s)

1 3,794394 0,001782 0,001872 0,925005 1,180709

2 3,819411 0,025142 0,031907 0,908531 1,142083

3 3,844429 0,048502 0,061941 0,869170 1,056959

4 3,877702 0,075199 0,091975 0,855012 1,034703

5 3,910975 0,105234 0,128684 0,848988 1,048823

6 3,952754 0,138605 0,172067 0,853102 1,019196

7 3,986028 0,168639 0,212113 0,873212 0,835715

8 4,036062 0,212022 0,242147 0,877927 0,666433

9 4,086097 0,255405 0,275519 0,899122 0,560840

10 4,127876 0,295451 0,295542 0,904538 0,429640

11 4,177911 0,338834 0,312227 0,900124 0,357410

12 4,236202 0,392229 0,335587 0,905332 0,264301

13 4,286237 0,438949 0,345599 0,882575 0,101420

14 4,344778 0,485669 0,345599 0,898837 -0,047979

15 4,403068 0,542400 0,338925 0,935283 -0,196681

16 4,444847 0,582446 0,325576 0,918208 -0,342527

17 4,503138 0,635841 0,305553 0,878139 -0,499597

18 4,553173 0,675886 0,268844 0,863406 -0,609052

19 4,611463 0,725944 0,242147 0,907364 -0,762517

20 4,653242 0,769327 0,192090 0,913863 -0,933641

21 4,695022 0,802698 0,158718 0,906754 -1,003403

22 4,736551 0,846081 0,108661 0,867706 -1,073158

23 4,786585 0,882790 0,061941 0,820284 -1,155153

24 4,828364 0,919499 0,005209 0,815788 -1,315942

25 4,861638 0,942859 -0,041511 0,839697 -1,383207

26 4,903417 0,979567 -0,094905 0,922864 -1,518792

27 4,945196 1,026287 -0,171660 0,880607 -1,575477

28 4,978469 1,046310 -0,218380 0,744895 -1,502776