SSO på EUX om nedbøjning af simpelt understøttet bjælke i Fysik B & Matematik A

Side 1

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

1

Nedbøjning af simpelt understøttet bjælke

Side 2

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

2

Abstract

The purpose of my assignment was to find out how deflection of a beam works. The procedure involved making an experiment, where I tried deflection of different beams, with different profiles. Deflection of wood is a very important use in the life of an engineer. It is used to find how much a beam will deflect if you put a certain pressure on top of it. I used a simple formula for the deflection but different formulas for moment of inertia. Integral was used to find the proof of moment of inertia for a rectangle. The results show that it has a huge impact on the deflection depending on what way you lay your profile or beam. It’s shows there is a relationship between moment of inertia and deflection.

Side 3

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

3

Indholdsfortegnelse

Indhold

Abstract ............................................................................................................................................................. 2 Indholdsfortegnelse ........................................................................................................................................... 3 Indledning .......................................................................................................................................................... 5 Simpelt understøttet bjælke ............................................................................................................................. 6 Inertimoment .................................................................................................................................................... 7 Bevis for formlen af inertimoment af en rektangel........................................................................................... 8 Inertimomentet på simple tværsnit ................................................................................................................ 10 Rektangel ..................................................................................................................................................... 10 Firkantprofil ................................................................................................................................................. 12 U-profil ......................................................................................................................................................... 14 Sammenligning af teori og praktik .................................................................................................................. 16 Rektangel ..................................................................................................................................................... 16 Formål ...................................................................................................................................................... 16 Materialer, opstilling og fremgangsmåde ............................................................................................... 16 Resultater og fejlkilder ............................................................................................................................ 17 Konklusion ............................................................................................................................................... 17 Firkantprofil ................................................................................................................................................. 18 Formål ...................................................................................................................................................... 18 Materialer, opstilling og fremgangsmåde ............................................................................................... 18 Resultater og fejlkilder ............................................................................................................................ 19 Konklusion ............................................................................................................................................... 19 U-profil ......................................................................................................................................................... 19 Formål ...................................................................................................................................................... 19 Materialer, opstilling og fremgangsmåde ............................................................................................... 19 Resultat og fejlkilder ................................................................................................................................ 20 Konklusion ............................................................................................................................................... 20 Konklusion på forsøg mod teori ...................................................................................................................... 21 Brug af profiler i hverdagen som tømrer ......................................................................................................... 22 Konklusion ....................................................................................................................................................... 25 Bibliografi ......................................................................................................................................................... 26

Side 4

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

4

Side 5

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

5

Indledning

En nedbøjning sker når der bliver lagt vægt på et understøttet objekt. En nedbøjning er en vigtig faktor at tage højde for når man bygger huse, broer og ting der skal være bærende. For at finde en nedbøjning skal inertimoment bruges, som er en tværsnitskonstant. I opgaven vil jeg finde ud af hvordan man regner den maksimale nedbøjning på et objekt, der er simpelt understøttet, derefter vil jeg finde ud af hvordan man beregner inertimoment af tre forskellige profiler. Med disse profiler vil jeg da lave et forsøg, hvor nedbøjningen testes. Endvidere vil jeg redegøre for en formel for nedbøjningen af et simpelt understøttet rektangel, og til sidst vil jeg fortælle hvordan tømrer bruger nedbøjning i deres hverdag. Jeg valgte dette emne, da jeg synes det er interessant, og det sandsynligvis er noget jeg skal bruge i fremtiden hvis jeg vælger at læse til ingeniør.

Side 6

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

6

Simpelt understøttet bjælke

𝑢_{𝑀𝐴𝑋} =

𝐹∗ 𝐿^{3}

48 ∗ 𝐸∗ 𝐼

F= kraft - L = Længde under frit spænd - E = Young’s modul - I = Inertimoment

Denne formel bruges til at beregne en simpel nedbøjning. En simpel nedbøjning er eksempelvis når en bjælke er understøttet i begge sider, og sidder spændt fast. Formlen har fire forskellige variabler.

En kraft er den vægt der bliver trykket med på bjælken, dette bliver altid målt i kilonewton (kN).

Længden er det stykke som bjælken spænder over, hvor den hænger frit, og der derfor er mulighed for nedbøjning.

Young’s modul, beskriver hvor elastisk et materiale er, og hvor meget modstandskraft det har før det bliver deformeret, og går over grænsen for Hooke’s lov. E er en materialekonstant, det vil sige jo højere et elasticitetsmodul et materiale har, jo mindre fleksibelt er materialet. [1]

                                  𝜎
Man finder elasticitets modulet med 𝐸 =
                                  𝜀

    𝐹
𝜎=   =
    𝐴

𝐾𝑟𝑎𝑓𝑡 𝑑𝑒𝑟 𝑏𝑙𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑡𝑟𝑢𝑘𝑘𝑒𝑡 𝑚𝑒𝑑

𝐴𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑝å 𝑔𝑟𝑢𝑛𝑑𝑓𝑙𝑎𝑑𝑒

    Δ𝐿
𝜀=    =
    𝐿
     0

𝐿æ𝑛𝑔𝑑𝑒 𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟 𝑡𝑟æ𝑘

𝐿æ𝑛𝑔𝑑𝑒 𝑓ø𝑟 𝑡𝑟æ𝑘

Inertimoment er en tværsnitskonstant, som bliver bestemt ud fra den vandrette tyngdeakse^{2}

Inertimoment siger noget om materialets stivhed, og bliver udregnet med denne formel:

𝐼= ∗ 𝑏∗ ℎ^{3} ( 𝑚𝑚 ∗ 𝑚𝑚^{3} =𝑚𝑚)

1

12

4

1

http://fysikleksikon.nbi.ku.dk/y/elasticitet/

2

Statik og styrkelære S. 192

Side 7

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

7

Inertimoment

Inertimoment er Isaac Newtons første lov.

Inertimoment er når et objekt drejer omkring en akse. Et eksempel kunne være en cylinder der ruller ned af en bakke. Inertimomentet er den kraft som cylinderen bliver påvirket af hele vejen rundt om aksen. Inertimomentet er højere, jo længere man kommer ud fra midten på cylinderen, da inertimomentet bliver større jo længere man kommer ud fra midten, og objektet får en større omkreds, modsat helt inde ved midten hvor den ikke skal have en lige så høj hastighed for at dreje én omgang. Det samme gælder på en vindmølle. Hvis forsøgspersonen skal skubbe en vindmølle der ligger ned én omgang, og vingerne er skåret ned til 3 meter, men dog vejer stadig det samme som før, skal der skubbes meget hårdt. Derimod hvis vingen bliver lavet 100 meter lang, og man såt i enden og skubber, kan man let skubbe vingen fra vindmøllen hjulet rundt. Det er vægten der bliver spredt ud over hele vingen når elementet bliver lavet meget langt og inertimomentet bliver større og derfor bliver nemmere at skubbe vingen i gang.

Der kan endvidere laves et forsøg med to hjul. Det ene hjul er som på en cykel, og det andet hjul er et solid cylinder. Du skal bruge mere kraft for at få cykelhjulet til at accelerer lige så meget som den solide cylinder, da vægten er fordelt ud over hele cirklen, i stedet for kun at være helt ude i yderkanten af cirklen. Det betyder, jo større inertimoment en genstand har, jo større accleration og større sluthastighed har den. [3]

En genstand med stort inertimoment, producere derfor også meget mere kinetisk energi, da den har en større radius at rotere rundt om.

Inertimomemtet på en nedbøjning er en tværsnitskonstant, som ændrer sig, alt efter om en målfast bjælke ligger ned eller står op. Hvis man tager et stykke træ der er 45x95, har det en

tværsnitskonstant på 3.215.156 mm^{4}, hvorimod hvis man tager et stykke limtræ på 160x400 fås en

3

https://www.youtube.com/watch?v=b44WbCS9xnc

Side 8

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

8 tværsnitskonstant på 3,3 mm. Det er derfor tværsnitskonstanten der bestemmer hvor

4 stærkt et objekt er, når det gælder nedbøjning. Derfor jo højere inertimomentet er, jo stærkere er objektet også.

𝐼= ∗ 𝑏∗ ℎ^{3} ( 𝑚𝑚 ∗ 𝑚𝑚^{3} =𝑚𝑚)

1

12

4

På formlen kan det ses at højden er opløftet i tredje, og derfor er det h der styrer om inertimomentet et højt eller lavt.

Man kan vise dette ved at beregne inertimoment for et stykke regel på 45x95mm.

          1
                   3                4
𝐼       =   ∗ 95∗ 45 =721.406,25𝑚𝑚
 𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒
          12

         1
                   3                 4
𝐼      =   ∗ 45 ∗ 95 =3.215.156,25𝑚𝑚
 𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒
         12

På de to udreginger kan vi se den stående er meget højere end den liggende.

Bevis for formlen af inertimoment af en rektangel

Inertimoment stammer fra formlen for kinetisk energi

Formlen for kinetisk energi er

𝑇= 𝑚𝑣^{2}

1

2

Fordi vi beregner det kinetiske energi for alle punkter i et roterende element kan formlen skrives dT

𝑑𝑇= 𝑑𝑚 ( 𝑟𝜔)^{2}

1

2

Man kan nu tage integralet af ovenstående formel, hvilket da giver følgende.

∫ 𝑑𝑇=∫ 𝑑𝑚 ( 𝑟𝜔)^{2}

1

2

𝑇 𝑚

0 0 𝜔 𝑜𝑔 𝑏𝑙𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑟𝑦𝑘𝑘𝑒𝑡 𝑜𝑚 𝑝å 𝑑𝑒𝑛 𝑎𝑛𝑑𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑓 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡

1

2

𝑇= 𝜔^{2} ∫ 𝑟^{2} 𝑑𝑚

1

2 𝑚

0

Side 9

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

9

𝐼=∫ 𝑟^{2} 𝜎 𝑑𝑣

𝑚

0

𝑉=𝑙∗ 𝑏

𝐼= ∫_{0}^{𝑙∗𝑏} 𝑟^{2} 𝜎 𝑑𝑙 𝑑𝑏

𝐼=∫⋅ ∫ 𝜎 𝑦^{2}_{𝑏}^{2} 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑏

0 −

2 𝑙

Fordi vi skal bruge det forsimplede inertimoment er der ikke brug for at have sigma med, da massen ikke skal bruges til inertimoment på en nedbøjning

𝐼=∫⋅ ∫ 𝑦^{2}_{𝑏} 𝑑𝑦 𝑑𝑥

2 𝑏

0 −

2 𝑙

Tallene fra første integral sættes nu ind på x, plads, og dermed forsvinder første integral

𝐼=𝑙∫ 𝑦^{2}_{𝑏} 𝑑𝑦

2 𝑏

−

2

                                     𝑛+1
                                    𝑥
                                𝑛
Her bruges reglen for integral regning 𝑥 = + 𝑘
                                    𝑛+1

𝐼=𝑙 [ ∗ 𝑦^{3}]_{𝑏}

1

3

−

2 𝑏

2

De to tal uden for den firkantede parentes bliver sat ind i kassen, og ser sådan ud

𝐼=𝑙[ () − ()]

1 𝑏^{3} 1 −𝑏^{3}

3 2 3 2

Fordi der står minus foran b, i andet led, forsvinder begge minusser, og dermed bliver det 2 ens, så det hedder

𝐼=𝑙∗ 2∗ ∗

1 𝑏^{3}

3 8

Man flytter b^3 ned og det bliver erstattet med et.

Side 10

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

10

𝐼=𝑙∗ 𝑏^{3} ∗ 2 ∗ ∗

1 1

3 8

Man regner de to sammen

𝐼=𝑙∗ 𝑏^{3} ∗ 2 ∗

1

24

Man ganger 1/24 med 2 og får

𝐼=𝑙∗ 𝑏^{3} ∗

1

12

Hvilket da betyder at inertimomentet af et rektangel lyder som ovenstående.

Inertimomentet på simple tværsnit

Rektangel

Inertimomentet af en rektangel viser inertimomentet, omkring x aksen og omkring y aksen.

Der laves en teoretisk udregning af nedbøjningen på en rektangel, der ligger på den flade side, hvilket betyder den svage side. Målene på rektanglet er 50x10mm, først regner vi et inertimoment.

𝐼_{𝑥} = ∗ 𝑏∗ ℎ^{3} →𝐼= ∗ 50𝑚𝑚∗ 10𝑚𝑚^{3} =4166,66 𝑚𝑚^{4}

1 1

12 12

𝐼=4166,66𝑚𝑚^{4}

Derefter tager vi formlen for hele nedbøjningen og sætter vores tal ind.

𝑢_{𝑀𝐴𝑋} =

𝐹∗ 𝐿^{3}

48 ∗ 𝐸∗ 𝐼

Det antages at der bliver brugt en vægt på 2,5 kg, til belastning, så vores kraft bliver

𝐹=2,5 𝑘𝑔 ∗9,82 =24,55𝑁

𝑁 𝑘𝑔

                                                                              2 4
Længden af det frie spænd er 950 millimeter, elasticitetsmodulet på aluminium er 70000 N/mm ,

4

https://de.wikipedia.org/wiki/Aluminium

Side 11

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

11

𝑢_{𝑀𝐴𝑋} =

𝐹∗ 𝐿^{3}

48 ∗ 𝐸∗ 𝐼

𝑢_{𝑀𝐴𝑋} =

24,55 𝑘𝑁∗ 950𝑚𝑚^{3}
48 ∗70000𝑁/𝑚𝑚^{2} ∗ 4166,66𝑚𝑚^{4}

𝑈_{𝑀𝐴𝑋} =

2,104 ∗ 10^{10}
1,399 ∗ 10^{11}

𝑈_{𝑀𝐴𝑋} ≈1,5 𝑚𝑚

Der bliver eksperimenteret i at stille rektanglet på højkant, og se forskellen.

Der kommer et nyt inertimoment, og det er det der er afgørende for resultatet af den maksimale nedbøjning.

                      1
                               3
Nyt inertimoment er 𝐼 = ∗ 50 ∗ 10 =104166,66
                  𝑦
                     12

𝑢_{𝑀𝐴𝑋} = →

𝐹∗ 𝐿^{3}

48 ∗ 𝐸∗𝐼

𝑢_{𝑀𝐴𝑋} =

24,55 𝑘𝑁∗ 950𝑚𝑚^{3}
48 ∗ ∗ 104166,66𝑚𝑚^{4}

70000𝑁

𝑚𝑚^{2}

𝑈_{𝑀𝐴𝑋} =

2,104 ∗ 10^{10}
3,5 ∗ 10^{11}

𝑈_{𝑀𝐴𝑋} ≈0,06𝑚𝑚

Ud fra dette tal kan vi se at rektanglet bliver bøjet så få dele af en millimeter at det ikke kan ses med det blotte øje. Dette sker fordi inertimomentet bliver meget større hvis objektet bliver sat på det høje led, hvor det også er det stærkest. Det er derfor man ser eksempelvis HEB-profiler ligger på fladen, og inde i midten er den lodrette del af profilet, da det er den der har alt styrken. Jo længere man laver midtestoplen på en HEB jo længere spænd kan den have. Det bliver især brugt ved bygning af maskinhaller eller lagerbygninger hvor stopler der står i vejen skal minimeres for færden med større materiel.

Side 12

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

12

Firkantprofil

En firkantprofil er en rektangel der er hul i, den har to flader og to lodrette sider. De to lodrette sider er dem der har alt styrken i sig, og derfor vendes de længste flader altid lodret, så der kommer mest mulig styrke i profilet. For at regne inertimomentet på x aksen bruger man følgende

      5
formel:

                                         3
                                       𝑏ℎ
𝐼=                                   −
                                        12

𝐵𝐻^{3}

12

Vi bruger målene på den firkantprofil der er blevet udleveret.

Firkantprofilen er 50x25mm i ydermål og inder mål er

44x19mm.

𝐼_{𝑥} = −

𝐵𝐻^{3} 𝑏ℎ^{3}

12 12

𝐼_{𝑥} = −

50 ∗25^{3} 44 ∗ 19^{3}

12 12

𝐼_{𝑥} =39954,5 𝑚𝑚^{4}

Vi bruger igen formlen til at beregne max nedbøjning.

𝑢_{𝑀𝐴𝑋} =

24,55 𝑘𝑁∗ 950𝑚𝑚^{3}
48 ∗ ∗ 39954,5𝑚𝑚^{4}

70000𝑁

𝑚𝑚^{2}

𝑈_{𝑀𝐴𝑋} =

2,104 ∗ 10^{10}
1,34 ∗ 10^{11}

𝑈_{𝑀𝐴𝑋} ≈0,16𝑚𝑚

Her er det samme tilfælde som før. Hvis man sætter firkantprofilet på højkant, vil den have meget større inertimoment, derfor mere styrke som vil gøre den tæt på umulig at bøje med 2,5 kg.

Nedbøjning omkring y aksen:

5

http://www.engineeringintro.com/mechanics-of-structures/moment-of-inertia/moment-of-inertia-of-hollow-

section/

Side 13

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

13

𝐼_{𝑦} = −

𝐻𝐵^{3} ℎ𝑏^{3}

12 12

𝐼_{𝑌} = −

25 ∗50^{3} 19 ∗ 44^{3}

12 12

𝐼_{𝑦} =260416,66 − 134874,66

𝐼_{𝑦} =125542𝑚𝑚

3

Vi sætter inertimomentet ind i formlen

𝑢_{𝑀𝐴𝑋} =

24,55 𝑘𝑁∗ 950𝑚𝑚^{3}
48 ∗ ∗ 125542𝑚𝑚^{4}

70000𝑁

𝑚𝑚^{2}

𝑈_{𝑀𝐴𝑋} =

2,104 ∗ 10^{10}
4,218 ∗ 10^{11}

𝑈_{𝑀𝐴𝑋} ≈0,05𝑚𝑚

Firkantprofilet er derfor stærkere da der er to lodrette sider til at fordele vægten ud på, så de hver tager 50% af den kraft der bliver tildelt. Det gør der teoretisk set kan lægges dobbelt så meget vægt på en firkantprofil end en HEB profil. Det vil dog altid blive i teorien, da en firkant profil med samme godstykkelse er meget tungere end en HEB profil med samme godstykkelse. Der er også økonomi i at lave eksempelvis spær med en HEB profil, da der ikke skal bruge lige så meget stål.

Hvis man antager at et spær er 200mm højt og man bruger 10mm i godstykkelse, koster en plade

på 200*10*,5,- pr. 100 kg, da stål har en massefylde på ca. 7800 kg pr. m^{3}, bliver det

6 hurtigt til mange penge, uden man får den store gevinst, i form af styrke. Man skal derfor også tage højde for om det kan betale sig at bruge firkantstål eller om det bedst kan betale sig at bruge HEB profiler, hvis man skal eksempelvis bygge en lade.

6

https://www.sanistaal.com/media/292941/Staalprisliste_web_2011.pdf side 7 3. nederste linje

Side 14

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

14

U-profil

U-profilen er tæt på en firkant profil, forskellen er kun at den ene side er fjernet, så der kun er 3 sider på profilet. Det giver en større nedbøjning da den fjerde side mangler, og derfor er der ikke noget til at afstive de to sider der sidder frit.

Inertimomentet af x aksen på en U profil bliver regnet med formlen: [7]

𝐼= − 𝐴 ( 𝑏− 𝑦)^{2}

2𝑠𝑏^{3} + ℎ𝑡^{3}

3

Som man kan se i formlen for inertimomentet skal vi bruge arealet af profilet til at regne det ud. Det finder vi ved hjælp af denne formel:

𝐴=𝑏𝑑− ℎ ( 𝑏− 𝑡)

Vi sætter tallene ind på plads

𝐴=25∗ 45 −39 ∗ ( 25 − 3)

𝐴=267

Vi skal også bruge y, det finder vi ved hjælp af denne formel:

𝑦=𝑏−

2𝑏^{2} 𝑠 +ℎ𝑡^{2}
2𝑏𝑑−2ℎ ( 𝑏− 𝑡)

Vi sætter tallene ind på plads.

𝑦=25−

2 ∗ 25^{2} ∗ 3 + 39 ∗3^{2}
2 ∗ 25 ∗45− 2 ∗ 39∗ ( 25 − 3)

Vi lægger det sammen og y bliver.

𝑦=17,32

Her sætter vi tallene ind i formlen for inertimomentet af et u- profil.

𝐼_{𝑥} = − 𝐴 ( 𝑏− 𝑦)^{2}

2𝑠𝑏^{3} + ℎ𝑡^{3}

3

7

http://www.engineersedge.com/material_science/moment-inertia-gyration-5.htm

Side 15

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

15

𝐼_{𝑥} = − 267∗ ( 25 − 17,32)

2 ∗ 3 ∗ 25^{3} + 39 ∗3^{3}

3

𝐼_{𝑥} =15852,7𝑚𝑚^{4}

𝑢_{𝑀𝐴𝑋} =

24,55 𝑘𝑁∗ 950𝑚𝑚^{3}
48 ∗ ∗ 15852,7𝑚𝑚^{4}

70000𝑁

𝑚𝑚^{2}

Vi regner tallene sammen, så det bliver mere overskueligt.

𝑈_{𝑀𝐴𝑋} =

2,104 ∗ 10^{10}
5,32 ∗ 10^{10}

𝑈_{𝑀𝐴𝑋} ≈0,4𝑚𝑚

Det giver en nedbøjning på ca. 0,4 mm.

Vi finder herefter så inertimomentet af y-aksen, så vi finder nedbøjningen når vi sætter u-profilen lodret.

𝐼_{𝑦} =

𝑏𝑑^{3} − ℎ^{3} ( 𝑏− 𝑡)

12

𝐼_{𝑦} =

25 ∗ 45^{3} − 39^{3} ∗ ( 25 − 3)

12

𝐼_{𝑦} =81092,3 𝑚𝑚^{4}

Her byttes inertimomentet fra x til y, og får en ny udregning

𝑢_{𝑀𝐴𝑋} =

24,55 𝑘𝑁∗ 950𝑚𝑚^{3}
48 ∗ ∗ 81092,3𝑚𝑚^{4}

70000𝑁

𝑚𝑚^{2}

𝑈_{𝑀𝐴𝑋} =

2,104 ∗ 10^{10}
2,724 ∗ 10^{11}

𝑈_{𝑀𝐴𝑋} ≈0,08𝑚𝑚

Som det ses bliver profilet meget stærkere af at profilet bliver stillet op, da den lodrette del er meget længere.

Side 16

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

16

Sammenligning af teori og praktik

Jeg har lavet et forsøg hvor jeg selv har testet nedbøjningen af de tre forskellige profiler jeg har regnet på tidligere i opgaven.

Rektangel

Teori

Formål

Jeg skulle i forsøget se om nedbøjningen passede med teorien. Som jeg har regnet på tidligere.

Forsøget skulle give mig en bedre forklaring af hvordan styrkerne hang sammen når der blev lagt vægt på.

Materialer, opstilling og fremgangsmåde

Der blev lavet et forsøg hvor der skulle testes nedbøjningen af et profil, og det blev gjort ved at der stod en med en vægt som blev sluppet, og så kunne nedbøjningen aflæses.

Tre træklodser, snor, bidetang, indikatorklokke, vægtskive på 2,5 kg, rektangel profil.

Træklodserne blev brugt til at ligge profiler og ur på, så jeg havde et frit område under profilet, så jeg kunne få vægt på.

Vægten på 2.5 kg blev hængt i en snor, og lige ved siden af havde jeg en indikatorklokke som jeg havde sat fast på en bidetag med en strips.

Side 17

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

17

Som det fremgår af billedet har jeg lavet en forsøgsopstilling ved at ligge to klodser på bordet, med et spænd på 950mm. På midten satte jeg en indikator klokke, som viser nedbøjningen i

0,01mm pr. 10 på uret. Jeg brugte den første profil som var et rektangel på 50x10mm, og jeg lagde det på den store flade, for der er inertimomentet er meget lavere, det gjorde at der kom et resultat der kunne aflæses, og som gav et resultat som jeg selv kunne forstå.

Forsøget blev kun lavet med inertimomentet over x aksen, da jeg ikke har vægt nok, eller præcis nok forsøgsopstilling til at kunne vise de meget små nedbøjninger der kommer. Hvis forsøget blev lavet over y aksen, hvor inertimomentet er meget større, vil det derfor ville give en meget lille nedbøjning, som ikke kunne aflæses på forsøgsopstillingen.

Jeg hang vægten ind på midten i en snor, ved siden af klokken. Jeg løftede vægten, så den ikke lavede nogen nedbøjning, og nulstillede uret. Jeg slap der efter vægten stille og roligt så jeg kunne følge med på klokken og tælle. Da jeg havde sluppet vægten helt, kunne jeg præcist aflæse nedbøjningen på uret.

Resultater og fejlkilder

Jeg fik et resultat der blev 1,6 millimeter, hvilket er 0,1 millimeter fra det teoretiske resultat.

Afvigelsen kan være af at uret ikke har siddet 100% fast, eller den vægt jeg brugte ikke vejede

2,5kg præcist.

Konklusion

I forsøget med rektanglet havde jeg forventet at den ville bøje mere end de andre, da fra mit eget fag som tømrer, ved man at man altid stiller ting på det høje led, hvis det skal bære noget. Man kunne også mærke at man kunne bøje rektanglet med hænderne uden man skulle lægge meget vægt i. Resultatet afveg en smule fra teori, og det kan have noget at gøre med min forsøgsopstilling var optimal.

Side 18

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

18

Firkantprofil

Formål

Formålet med denne nedbøjning var at se om firkantprofilet var meget stærkere end rektanglet.

Jeg regnede tidligere på nedbøjning af firkantprofilet, og i forsøget skulle jeg se om mine beregner hang sammen med forsøget i praksis.

Materialer, opstilling og fremgangsmåde

Der blev lavet et forsøg hvor der skulle testes nedbøjningen af et profil, og det blev gjort ved at der stod en med en vægt som blev sluppet, og så kunne nedbøjningen aflæses.

Tre træklodser, snor, bidetang, indikatorklokke, vægtskive på 2,5 kg, firkant profil.

Træklodserne blev brugt til at ligge profiler og ur på, så jeg havde et frit område under profilet, så jeg kunne få vægt på.

Vægten på 2.5 kg blev hængt i en snor, og lige ved siden af havde jeg en indikatorklokke som jeg havde sat fast på en bidetag med en strips.

I forsøget blev der lavet en forsøgsopstilling ved at lægge to klodser på bordet, med et spænd på

950mm. På midten satte jeg en indikator klokke, som viser nedbøjningen i 0,01mm pr. 10 på uret. I denne opgave med et firkantprofil der måler 50x25mm (44x19mm indvendigt). Jeg lagde firkantprofilet på den store flade. Det betyder at jeg lavede forsøget med inertimomentet over x aksen, så jeg igen kunne få en nedbøjning jeg kunne aflæse. Inertimomentet vil blive alt for stort hvis man stillede den lodret, og tog inertimoment over y aksen, og derfor ville jeg ikke få en nedbøjning jeg kunne aflæse særlig præcist med min forsøgsopstilling.

Igen havde jeg hængt vægten på, og holdt den i hånden så jeg kunne nulstille uret. Jeg lod vægten hænge selv og kunne aflæse på uret hvor stor en nedbøjning der var lavet.

Side 19

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

19

Resultater og fejlkilder

Jeg fik profilet til at bøje 0,18mm, hvilket er en afvigelse på ca. 0,03 millimeter fra teorien.

Men samme forsøgsopstilling som før havde jeg igen problemet med at uret sandsynligvis ikke lå

100 procent fast, og derfor har haft muligheden for at rykke sig en lille smule.

Konklusion

Dette profil var meget stærkere end rektanglet, da der var lodrette sider på, som afstiver utroligt meget. Jeg havde forventet at profilet have været helt stift da, det føles utroligt stift da jeg prøvede at bøje det med hænderne. Dog vil jeg også sige at det er meget stift, når det kun bøjer

0,18mm, hvilket er så lidt vi ikke kan forholde os til det, og det er umuligt at se med det blotte øje, uden man ligger noget helt lige oven på, og har lys til at lyse i sprækken.

U-profil

Formål

Med u-profilet skulle jeg se om der var den store forskel på om der var fire sider eller om der var tre sider.

Materialer, opstilling og fremgangsmåde

Der blev lavet et forsøg hvor der skulle testes nedbøjningen af et profil, og det blev gjort ved at der stod en med en vægt som blev sluppet, og så kunne nedbøjningen aflæses. Tre træklodser, snor, bidetang, indikatorklokke, vægtskive på 2,5 kg, u-profil.

Træklodserne blev brugt til at ligge profiler og ur på, så jeg havde et frit område under profilet, så jeg kunne få vægt på.

Side 20

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

20

Vægten på 2.5 kg blev hængt i en snor, og lige ved siden af havde jeg en indikatorklokke som jeg havde sat fast på en bidetag med en strips.

Som man kan se på billedet har jeg lavet en forsøgsopstilling ved at lægge to klodser på bordet, med et spænd på 950mm. På midten satte jeg en indikator klokke, som viser nedbøjningen i

0,01mm pr. 10 på uret. Jeg brugte den sidste profil som var et u-profil, og jeg stillede den på de to frie sider, så jeg fik et resultat jeg kunne aflæse, og som gav et resultat som jeg selv kunne forstå.

Forsøget blev kun lavet med inertimomentet over x aksen, da jeg ikke har vægt nok, eller præcis nok forsøgsopstilling til at kunne vise de meget små nedbøjninger der kommer. Hvis forsøget blev laver over y aksen, hvor inertimomentet er meget større, og derfor ville give en meget lille nedbøjning.

Jeg hang vægten ind på midten i en snor, ved siden af klokken. Jeg løftede vægten, så den ikke lavede nogen nedbøjning, og nulstillede uret. Jeg slap der efter vægten stille og roligt så jeg kunne følge med på klokken og tælle. Da jeg havde sluppet vægten helt, kunne jeg præcist aflæse nedbøjningen på uret.

Resultat og fejlkilder

U-profilet afveg ca. 0,06 millimeter fra teorien, dvs. jeg fik profilet til at bøje 0,46mm med en last på 2,5 kg. U-profilet, havde en styrke mellem de to andre profil jeg lavede forsøg med.

Konklusion

Profilet er stærkt, men det har ikke lige så meget styrke som firkantprofilet, og det er fordi der mangler den sidste side til at afstive de lodrette sider.

Side 21

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

21

Konklusion på forsøg mod teori

Alle forsøgene afveg en smule fra det teoretiske, men det var forventet da jeg ikke har mulighed for at opstille forsøget i et laboratorie, som de har på universiteterne. På universiteterne har de store maskiner som er beregnet til at teste nedbøjningen af forskellige emner. Jeg havde kun muligheden for at ligge det på to klodser, og havde et ur, som ikke lå helt fast. Jeg havde nogle fejlkilder som var ret afgørende for at forsøget ikke blev det samme som i teorien. De var at vægten måske vejede +- 50 gram, min indikatorklokke sad ikke fastspænd på noget stativ, det betyder at den har haft mulighed for at bevæge sig en lille smule, og det kan være afgørende for det jeg aflæser, og det er formentlig det der har gjort at mine resultater har afveget en procentdel, i forhold til teorien. Hvis man kigger på resultaterne jeg har fået, afviger de alle omkring den samme procentdel fra teorien resultater. Hvis jeg skulle lave forsøget igen, ville jeg prøve at sætte nogle flere kilo på, for at lave en større nedbøjning, og se hvor mange procent mere vægt der skulle til for at få firkantprofilet og u-profilet til at bøje lige så meget som rektanglet. Jeg nøjes med samme vægt, så jeg i stedet kunne se styrkeforskellen på de forskellige profiler, og man på en mere simpel metode får at se hvor meget mere styrke der er, når der er lodrette elementer i et profil.

Side 22

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

22

Brug af profiler i hverdagen som tømrer

Jeg er i gang med at uddanne mig som tømrer. I tømrer verdenen har man hele tiden et øje på om noget er stærkt nok ikke at have en nedbøjning. Der bliver lavet beregninger for at være sikker på at noget holder, og derfor er det også meget vigtigt at en tømrer og ingeniør snakker sammen. En tømrer har dog mulighed for at slå op i forskellige bøger hvor der står, hvilken størrelse træ der skal bruges til de forskellige spænd som en tømrer oplever at komme ud for. Disse bøger tager allerede højde for at der kommer vægt på i form af møbler og mennesker der går på det.

Eurocodes

En tømrer bruger især nedbøjning til når der skal laves et spænd. Tømreren har altid i tankerne at noget med et spænd har muligheden for at komme til at hænge, og når en opgave er færdig, er der ingen der har lyst til at se noget hænger, og derfor tænker tømrer meget over hvilken dimension han ligger op. I mange tilfælde vil et stykke træ som tømreren ligger op også altid være overdimensioneret, da man skal være sikker på det ikke kommer til at hænge. Derfor bliver nogle opgaver også dyrere, end det burde være, da træet man bruger kan holde til alt for meget, og dermed undgår man en nedbøjning, så elementer kommer til at hænge.

Når der bliver bygget et hus er der nogle regler som der skal overholdes, som er fastlagt i hele Europa. Det er noget der hedder ”EUROCODES”.

”Eurocodes er de europæiske normer for dimensionering og opførsel af bygningsværker. De

                                                        8
omfatter alle gængse konstruktioner og materialer, herunder broer.”

Eurocodes har et overordnet reglement for hele Europa, men rundt omkring i alle lande, er der specificeret regler, som gør det muligt at afgive fra reglerne, så der i Danmark ikke beregnes et tag, så det det kan bære sne som et hus i Norge. Små regler som gør det både billigere, og nemmere at bygge i et land, som ikke er hårdt ramt at naturen. I Danmark følger vi enkelte regler af eurocodes, men vi har vores egne som hedder ’de tilhørende danske nationale annekser (NA)’ Hvis en tømrermester bliver spurgt på at bygge et billigt hus, kan han godt lave det så det holder, med dimensioner af træ som er mindre end eurocodes skriver, men det må han ikke, da man skal følge et reglement som bliver lavet af EU og Danmark.

8

http://www.eurocodes.dk/da/hvad-er-eurocodes

Side 23

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

23

Hvis du skal have bygget et hus, skal vi følge en eurocode som siger at et gulv skal kunne holde til

150kg pr. m^{2}. Det er et fastlagt tal, som ingeniører har fundet ud af at huse skal kunne holde til

hvis det skal kunne bruges til beboelse, lige meget om der skal bo to eller om der skal bo fem.

Hvis vi ligger et gulv, og stiller en punktlast på f.eks. 100 kg., må gulvet ikke bøje mere end 1,7 millimeter. Selvom gulvet sagtens kunne holde hvis det bøjede mere, vil mennesker føle at gulvet gynger når der gås på det, og derfor vil det være ubehageligt at gå ud på.

Udvikling af byggeri og nedbøjning

Noget nyt der er begyndt at blive produceret er I-bjælker, for ikke at blande det sammen med I-jern er det, det samme som et I-jern bare lavet af træ. Materialerne til at lave en I-bjælke er lamineret træ og OSB plader. Fordelen ved I-bjælker er:

• lav vægt

• dimensionsstabilitet

• lange længder

• reduktion af kuldebroer

• nem montering af installationer

                                 9
• let bortskaffelse eller genanvendelse

Med disse fordele, har det også en udvikling for byggeteknologien, og udviklingen af bygning af huse. Disse I-bjælker har også den fordel af det kan bruges til etagebjælker eller spær af en tømrer. I-bjælker er en lille smule dyrere i indkøb, men der er en masse fordele ved dem. En af det store besparelser ved I-bjælker er at en I-bjælke ikke skal ligge lige så tæt, som spær træ, hvilket gør at der er færre arbejdsgange i at lave et etagedæk, et andet plus er de er meget lettere at bære rundt på, det sparer tømreren for at slæbe på meget tunge ting, og det giver besparelser hvis der skal bruges løftegrej til at lave et dæk. I sidste ende giver det en besparelse til kunden. Alt dette er fordi der hele tiden bliver udviklet i byggeriet, og finder måder man kan styrke områder, samtidig med der skal bruges mindre træ for at overholde de samme regler for nedbøjninger.

For at undgå nedbøjninger på store spænd, laver man også understøtninger i form af bærende vægge eller søjler. Hvis vi tager en simpelt understøttet nedbøjning som eksempel, og den bøjer

9

http://www.digitaleprodukter.dk/produkter/71-i-bjaelker-moelven-danmark-as

Side 24

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

24 over 1,7 millimeter når vi stiller os ud på den, vil den være ulovlig ud fra eurocodes regler. Måden der kan rettes op på dette er ved at lave en understøtning under nedbøjningen, det gør at der kommer en støtte på midten af nedbøjning, og dermed forsvinder nedbøjningen. Det gør at udregning for nedbøjningen bliver ændret da spændet hvor der ikke er understøtning er blevet halvt så stort, og derfor bliver det fysisk umuligt for en person at få det til at bøje så meget ned at det giver følelsen af at det gynger.

For mange år siden blev der brugt store stykker tømmer som bjælkelag, da de virkelig kunne holde til noget. Men som tiden skred frem blev man klogere, og fandt ud af at inertimomentet ikke afhang af bredden på materialet der blev brugt. I stedet var det vigtigt hvor højt materialet var, da inertimomentet blev bestemt af hvor højt man lavede et materiale. Det er derfor der i dag bliver brugt spær træ, (træ der er 45 eller 70 mm bredt, og fra 95 op til 295 mm i højden) til at lave bjælkelag. Det giver også en stor besparelse på vægt af de materialer der bliver brugt, og når det har samme styrke som et stykke træ der er 295x295mm, giver det ikke mening for en tømrer at slæbe rundt på pinde der vejer 6.5 gange mere end nødvendigt.

Side 25

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

25

Konklusion

Resultaterne i opgaven, viser der er et stort sammenhæng mellem en nedbøjning og inertimoment. Et inertimoment har stor indflydelse på en nedbøjning, men elasticitets modulet er også meget vigtigt i en nedbøjning, da det bestemmer materialets stivhed. I opgavebesvarelse lærte læser at inertimomentet kan variere meget efter hvordan man vender et profil, og af den grund, kan en nedbøjning have en stor ud svingning i om man vender stiller et objekt op eller om man ligger det ned.

Opgaven ligger stor vægt på brug af formelen for simpelt understøttet nedbøjninger, som er det der bliver brugt mest når man er tømrer. I de forsøg der blev udført ser man hvordan et profil med lodrette sider på er meget stærkere end store flader med et tryk.

Der er også en sammenhæng mellem tømrerens arbejde, og ingeniørens arbejde bag skrivebordet, da tømrer altid skal være opmærksom på tegninger, da det er vigtigt at der bliver fuldt de dimensioner på en tegning, da ingeniøren har beregninger på nedbøjninger, som er vigtige at følge når der bliver bygget, da nedbøjninger der ikke burde være der ligner noget der ikke kan holde.

Side 26

[navn fjernet] SSO 2/2-2016

Nedbøjning af simpel understøttet bjælke

26

Bibliografi

1ucasvb. 2013. Youtube. Youtube.com. [Online] 4. 1 2013.

https://www.youtube.com/watch?v=b44WbCS9xnc.

Afsar, Jafal. 2016. Engineering intro. Engineering Intro. [Online] 29. 1 2016.

http://www.engineeringintro.com/mechanics-of-structures/moment-of-inertia/moment-of-inertia-of-

hollow-section/.

Birkelind, Chano. 2016. Fysik Leksikon. fysikleksikon.nbi.ku.dk. [Online] 28. Januar 2016.

http://fysikleksikon.nbi.ku.dk/y/elasticitet/.

2016. Engineers Edge. Engineers Edge. [Online] 29. 1 2016.

http://www.engineersedge.com/material_science/moment-inertia-gyration-5.htm.

Lauridsen, Jimmy. 2016. Århus Universitet. Scitech. [Online] 28. 1 2016.

http://scitech.au.dk/fileadmin/site_files/gymnasie/bes%C3%B8gsservice/studieretning/Deformation_af_en

_staalbjaelke.pdf.

Madsen, Preben. 2013. Statik og Styrkelære. København K : Nyt Teknisk Forlag, 2013.

Moleven. 2016. Digitale Produkter. digitageprodukter.dk. [Online] 30. 1 2016.

http://www.digitaleprodukter.dk/produkter/71-i-bjaelker-moelven-danmark-as.

Sanistål. 2016. Sanistål.dk. Sanistål. [Online] 29. 1 2016.

https://www.sanistaal.com/media/292941/Staalprisliste_web_2011.pdf.

Wikipedia. 2016. Wikipedia.com. Wikipedia.com. [Online] 1. 2 2016.

https://de.wikipedia.org/wiki/Aluminium.