SRO: Lineær regression og Rydbergformlen i Mat og Fysik

Side 1

Matematik (A), Fysik (B)

Studieretningsopgaven i 12/13

Lineær regression og Rydbergformlen

[navn fjernet] 2. z

STX 2.g

STX 2.g

Vejleder 1: PJ

Vejleder 2: JK

Side 2

[navn fjernet] SRO 12/13 Matematik og Fysik

ÅSG 11z 33 Lineær regression og Rydbergformlen

2

Abstract

This paper deals with the Rydberg formula and a demonstration of it based on data processing of measurements of hydrogen’s spectral lines. The data processing is based on the theory behind regression and least squares meth-od plus the work with uncertainties on measurements. It contains a short ex-amination of Bohr’s atom model and his two famous postulates about the stationary phases in atoms and the frequency condition. The paper also demonstrates the interplay of the mathematics and the physics in general and shows how the mathematical method can be used to prove proportional-ity in the data and on the basis of regression point out the universal constant of nature the Rydberg constant.

Side 3

[navn fjernet] SRO 12/13 Matematik og Fysik

ÅSG 11z 33 Lineær regression og Rydbergformlen

3

Indhold

Abstract ............................................................................................................................................................. 2 Indledning .......................................................................................................................................................... 4 Bohrs atommodel .............................................................................................................................................. 5 Mindste kvadraters metode .............................................................................................................................. 6 Usikkerheder på a og b ...................................................................................................................................... 9 Databehandling - bestemmelse af Rydbergkonstanten .................................................................................. 11 Konklusion ....................................................................................................................................................... 13 Litteratur .......................................................................................................................................................... 14 Bilag ................................................................................................................................................................. 14

Side 4

[navn fjernet] SRO 12/13 Matematik og Fysik

ÅSG 11z 33 Lineær regression og Rydbergformlen

4

Indledning

Matematikken har mange gange vist sig at kunne forklare fænomener som var umulige at komme frem til på baggrund af de gældende fysiske teorier. I nogen tilfælde har dette sidenhen ført til nye fysiske erkendelser der har rykket vores forestilling om verden. Dette er Rydbergformlen et eksem-pel på. Rydberg kunne på baggrund af data for brints spektrallinjer opstille en matematisk model, der forklarede disse resultater og desuden komme frem til den universelle Rydbergkonstant. Denne formel var altså fremstillet udelukkende på baggrund af tallene, og gav ikke en nærmere fysisk for-klaring på fænomenet.

Spektrallinjerne, som man i mange år havde kendt til, fik man dog først en fysisk forklaring på da Niels Bohr fremsatte sin atommodel, bl.a. på baggrund af denne matematiske model. Hvis ikke ma-tematikken havde ligget forud, er det ikke sikker at Bohr kunne have været kommet frem til de er-kendelser, der siden har haft så afgørende betydning for udviklingen væk fra den klassiske fysik og ikke mindst været startskuddet til kvantemekanikken.

Matematikken har også vist sig utroligt nyttig til behandling af data og på den måde hjulpet med at underbygge naturlove og frembringe afgørende naturkonstanter. Her er regression et af de grund-læggende matematiske værktøjer til at beskrive forskellige relationer og samspil.

I denne opgave vil der blive arbejdet med hvordan man kan bruge regression og mindste kvadraters metode, til at behandle datamateriale fra målinger af bøjelængder ved overgange i hydrogen og ef-tervise Rydbergformlen samt bestemme Rydbergkonstanten.

Side 5

[navn fjernet] SRO 12/13 Matematik og Fysik

ÅSG 11z 33 Lineær regression og Rydbergformlen

5

Bohrs atommodel^{1}

I 1913 fremsatte den danske fysiker Niels Bohr sin atommodel, der havde enorm betydning for for-ståelsen af atomer og gav desuden udspring til udvikling af kvantemekanikken. Han gjorde op med datidens gældende fysiske teorier, der sagde at en elektron kunne bevæge sig i alle afstande til atomkernen. Modellen var derfor et afgørende skridt på vejen mod et paradigmeskift væk fra den klassiske fysik. [2] Hans model bestod af to grundlæggende postulater:

1. Atomet eksisterer kun i stationære tilstande. Dvs. at elektronerne kun kan befinde sig i be-stemte baner eller skaller - de kan aldrig være imellem - og atomets stationære tilstands energikvantum afhænger af hvilke baner elektronerne befinder sig i.

2. En elektron der hopper mellem to skaller med energierne E og E vil enten absorbere eller m n

                                                           ℎ∙𝑐
emittere en foton med energien 𝐸 =𝐸 − 𝐸 hvor 𝐸     = ℎ∙ 𝑓 =  .
                           𝑓𝑜𝑡𝑜𝑛  𝑚    𝑛      𝑓𝑜𝑡𝑜𝑛
                                                            𝜆

Her er h Plancks konstant, c er lysets hastighed i vakuum, f er frekvensen og 𝜆 bølgelæng-den.

Bohrs postulater var baseret på datamateriale og Rydbergformlen, som er en speciel matematisk model der byggede på observationer og målinger af hydrogens spektrallinjer, fremsat af Janne Ryd-

                           1     1    1
berg i 1890. Formlen har formen: =𝑅( − ) hvor R er Rydbergkonstanten (som er bestemt til
                                  2   2
                           𝜆     𝑛   𝑚

1,0973732⋅10^{7} m^{-1})^{3}, og m og n er hele tal hvor m er større end n. Ud fra denne formel kunne Bohr

se en sammenhæng der førte til hans erkendelse af atomet opbygning. Han fandt desuden frem til en formel for energien i hydrogenatomets stationære tilstande, som kan udledes ved hjælp af hans po-stulat om frekvensbetingelsen (2.).

Man kan udlede energiniveauerne i de stationære faser på baggrund af Bohrs postulater og Ryd-

                                                            ℎ∙𝑐∙𝑅 ℎ∙𝑐∙𝑅
bergformlen. Ved at gange Rydbergformlen med ℎ ∙ 𝑐 får man at 𝐸 = −  og dermed
                                                     𝑓𝑜𝑡𝑜𝑛
                                                              2     2
                                                             𝑛    𝑚

                    ℎ∙𝑐∙𝑅
kan man vise at 𝐸 = −  . Den negative værdi skyldes nulpunktsbestemmelsen, der er sat til at
              𝑛
                     2
                    𝑛

være den energimængde, der skal til for at frigøre elektronen fra kernen. Man kan ud fra dette også

                                                           ℎ∙𝑐∙𝑅
beregne at hydrogenatomets potentielle energi i grundtilstand er 𝐸 = − = −13,612𝑒𝑉.
                                                     1
                                                            2
                                                            1

1

FysikABbogen 2 s. 66-77

2

Helm, M.T.H. (2013)

3

The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty

Side 6

[navn fjernet] SRO 12/13 Matematik og Fysik

ÅSG 11z 33 Lineær regression og Rydbergformlen

6

Der er uendelig mange skaller og derfor uendelig mange kombinationer af spring. Skallerne er dog meget spredte tættes på kernen og grænser op til hinanden længst væk. Derfor har hvert atom et unikt absorptions- og emissionsspektrum - det kan altså absorbere og emittere fotoner med bestemte frekvenser og energier svarende til de mulige spring der kan ske mellem de stationære tilstande i atomet. Når et atom absorberer en foton, bliver det exciteret ved at elektronen springer ud i en skal med højere energi. Omvendt vil atomet emittere en foton når elektronen springer tilbage til en skal med lavere energi. I mange år kunne man ikke forklare hvad der skabte spektrallinjerne, men med Bohrs postulater kunne det endelig lade sig gøre.

Mindste kvadraters metode^{4}

Når man arbejder med et datamateriale i form af målinger, er man ofte interesseret i at vise en sammenhæng mellem to sammenhørende observationer. Dette kunne fx være hvordan den reci-

                                                                         1   1
prokke værdi af bølgelængden, afhænger af springet mellem to elektronskaller beskrevet ( − ),
                                                                          2   2
                                                                        𝑚    𝑛

som det er tilfældet i denne opgave. Det kunne også være sammenhængen mellem et frit faldende legemes fart og tiden.

Når man har målt et tilpas antal sammenhørende værdier til at have et godt statistisk grundlag, bli-ver man nødt til at generalisere dette data, for at kunne arbejde videre med det eller be- eller afkræf-

te en eventuel proportionalitet. Til dette har man brug for en ret linje på formen y=ax+b. Denne

rette linje er man så interesseret i at placere så den beskriver målepunkterne så præcist som muligt.

Man kunne tænke sig flere muligheder til dette. Den simple måde ville selvfølgelig være at lægge en lineal og simpelthen vurdere hvornår linje passer bedst. Dette er dog ikke en videnskabelig fremgangs-måde - man vil i stedet gerne gå mere sy-stematisk til værks. Det næste man kunne tænke sig var at gøre summen af de lodret-te afstandene fra punkterne til linjen så lille som mulig - målt numerisk. Det viser sig dog her at man løber ind i nogle vanskeligheder. Fx er der den manglende inkludering af alle

4

Pedersen, M.G. (2007): s. 9-11

Figur 1 Problemer i mindste afstandes metode

Side 7

[navn fjernet] SRO 12/13 Matematik og Fysik

ÅSG 11z 33 Lineær regression og Rydbergformlen

7 målepunkter. Dette ses på figur 1. Det er tydeligt at når man ændrer hældningen vil A og D’s af-stand påvirkes mere end B og C. Dette medfører i dette tilfælde at a- og b-værdien er låst til at lin-jen skal gå igennem A og D. Linjen vil ligge dér lige meget hvor meget B og C varierer fra linjen.

Havde B og C været på samme side af linjen ville resultatet være endnu mere problematisk. Her

ville summen ikke ændres hvis b-værdien ændredes inden for det interval hvor A+D og B+C er på

hver sin side af linjen. Dette medfører en diskontinuitet i summen når man ændrer b, hvilket betyder at man ikke kan differentiere mht. b og dermed finde et specifikt minimum. Ud fra disse betragtnin-ger kan altså konkluderes at denne metode er meget lidt brugbar.

Endelig kan man minimere summen af kvadraterne på afstandene, hvilket viser sig at være meget nyttigt. Det er dette man kalder mindste kvadraters metode, og det er denne som de fleste grafregne-re og -programmer bruger. Det der er fordelen ved denne metode er for det første at man slipper for at regne med numeriske værdier, da afstandene automatisk bliver positive når man tager kvadratet.

For det andet inkluderer den alle målepunkter i og med at en afvigelse kommer til at vægte mere jo større den bliver. En tredje meget vigtig egenskab ved at tage kvadratet på afstandene er, at summen udvikler sig kontinuert, når man ændrer på hhv. a og b. Det er derfor muligt at differentiere mht.

både a og b. Dette gør det meget simpelt at minimere summen og få beregnet a og b i regressions-linjen.

Matematisk set kan man beskrive summen af kvadraterne på afstandene således:

, hvor r er de lodrette afstande frapunktet til linjen - se evt. bilag 1.

i

Det vi er interesserede i, når vi skal finde den bedste værdi af a og b, er at sætte 𝑑𝑆 𝑑𝑎

= 0 ⋀^{𝑑𝑆}_{𝑑𝑏} = 0

Vi vil her nøjes med at udlede^{𝑑𝑆}_{𝑑𝑏}:

Ifølge regneregler for summer, kan vi nøjes med at differentiere det der står inden for sumtegnet og derefter summere. Deraf kan vi skrive:

Side 8

[navn fjernet] SRO 12/13 Matematik og Fysik

ÅSG 11z 33 Lineær regression og Rydbergformlen

8

Når vi skal differentiere dette udtryk med henhold til b, må vi se på det, som en sammensat funkti-on, vi kan kalde 𝑓(𝑔 ( 𝑏)).

Her er den indre funktion 𝑔 ( 𝑏) = 𝑦_{𝑖} − 𝑎𝑥_{𝑖} − 𝑏, hvor 𝑦_{𝑖} og 𝑎𝑥_{𝑖} er konstanter, og den ydre
𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{2}.

Når man skal differentiere et sammensat funktion får man: 𝑓(𝑔 ( 𝑏))^{′} =𝑓^{′} (𝑔 ( 𝑥))𝑔^{′} (𝑥)
Vi har at 𝑓^{′} ( 𝑥) =2𝑥 og 𝑔 ( 𝑏) =−𝑏

Dermed får vi følgende:

Hvor 𝑛 er antallet af målinger, og

Tilsvarende fås at

Hvor og

Som sagt skal vi sætte de afledte udtryk for a og b lig 0 for at minimere dem.

Derved får vi to ligninger med to ubekendte:

−2𝑆_{𝑦} + 2𝑎𝑆_{𝑥} + 2𝑛𝑏 =0⇔ 2𝑎𝑆_{𝑥} + 2𝑛𝑏 =2𝑆_{𝑦}
−2𝑆_{𝑥𝑦} + 2𝑎𝑆_{𝑥𝑥} + 2𝑏𝑆_{𝑥} ⇔2𝑎𝑆_{𝑥𝑥} + 2𝑏𝑆_{𝑥} =2𝑆_{𝑥𝑦}

Hvis man løser dette via determinantmetoden fås at:

( 𝑎,𝑏) = (,)

𝑆_{𝑥𝑦} 𝑛 − 𝑆_{𝑦} 𝑆_{𝑥} 𝑆_{𝑥𝑥} 𝑆_{𝑦} − 𝑆_{𝑥} 𝑆_{𝑥𝑦}
𝑆_{𝑥𝑥} 𝑛 − 𝑆_{𝑥}^{2} 𝑆_{𝑥𝑥} 𝑛 − 𝑆_{𝑥}^{2}

Det vil altså sige at man ved at beregne de forskellige summer ud fra et datamateriale, kan bruge denne simple formel og beregne a og b i den lineære regressionslinje.

Side 9

[navn fjernet] SRO 12/13 Matematik og Fysik

ÅSG 11z 33 Lineær regression og Rydbergformlen

9

Usikkerheder på a og b^{5}

Når man har usikkerheder i sine målinger skaber det også usikkerheder i regressionslinjen - altså på vores a- og b-værdi. Når man kigger på usikkerheder i målingerne, har man i mindste kvadraters metode valgt at antage, at der kun er usikkerheder i y-værdierne.

Man kan omskrive a og b så man kan simplificere usikkerheden på dem:

𝑎 = = (𝑛∑ ( 𝑥_{𝑖} − 𝑠_{𝑥}) 𝑦_{𝑖})

𝑆_{𝑥𝑦} 𝑛 − 𝑆_{𝑦} 𝑆_{𝑥} 1
𝑆_{𝑥𝑥} 𝑛 − 𝑆_{𝑥}^{2} 𝑆_{𝑥𝑥} 𝑛 − 𝑆_{𝑥}^{2}

𝑛

𝑖=1

𝑏 = = (𝑛∑ ( 𝑆_{𝑥𝑥} − 𝑠_{𝑥} 𝑥_{𝑖}) 𝑦_{𝑖})

𝑆_{𝑥𝑥} 𝑆_{𝑦} − 𝑆_{𝑥} 𝑆_{𝑥𝑦} 1
𝑆_{𝑥𝑥} 𝑛 − 𝑆_{𝑥}^{2} 𝑆_{𝑥𝑥} 𝑛 − 𝑆_{𝑥}^{2}

𝑛

𝑖=1

Vi vil nu udlede usikkerheden på b:

Vi bruger nu regnereglen 𝜎 ( 𝑘𝑥) = 𝑘𝜎 ( 𝑥) og får:

Nu bruger vi en anden regneregel, nemlig at :

5

Pedersen, M.G. (2007): s. 11-13

Side 10

[navn fjernet] SRO 12/13 Matematik og Fysik

ÅSG 11z 33 Lineær regression og Rydbergformlen

10

Idet vi antager at usikkerheden er den samme på alle y-værdier er :

Vi splitter nu summen op i flere summer, og benytter os desuden af at :

Til sidst benyttes at :

Dette er nu det mest reducerede udtryk, man kan beskrive usikkerheden på b med.

Ud fra samme fremgangsmåde kan man bestemme usikkerheden på b, der bliver:

𝜎 ( 𝑎) = 𝜎 ( 𝑦)

√ 𝑛
√ 𝑛𝑆_{𝑥𝑥} −𝑆_{𝑥}^{2}

Side 11

[navn fjernet] SRO 12/13 Matematik og Fysik

ÅSG 11z 33 Lineær regression og Rydbergformlen

11

Databehandling - bestemmelse af Rydbergkonstanten

Dette datamateriale viser resultaterne for målinger af bølgelængder ved emission fra skal nr. n til

skal nr. 2, variablen i Rydbergformlen, med m=2, samt de reciprokke værdier af bølgelængderne.

n 𝝀 i nm

𝟐^{−𝟐} − 𝒏^{−𝟐} 𝝀^{−𝟏} i nm^{-1}

3 653,9 0,138889 0,6

4 490,1 0,1875 0,0020404

5 434,2 0,21 0,6

6 406 0,222222 0,4

8 391,9 0,234375 0,1

10 377,8 0,24 0,3

20 369,3 0,2475 0,6

                                                                       1   1
Som sagt siger Rydbergformlen at . Hvis man sætter 𝑦 =        og 𝑥 = (  −   ) er
                                                                       2    2
                                                                      𝑛   𝑚

1 𝜆

det tydeligt at y er proportional med x, da vi får at 𝑦 =𝑅∙ 𝑥 hvor R er Rydbergkonstanten.

Hvis datamaterialet stemmer overens med teorien skulle vi altså kunne lave en regression med for-

skriften y=ax+b hvor a bliver Rydbergkonstanten og b bliver nul - eller i hvert fald så tæt på, at af-

vigelsen kan tilskrives usikkerhederne.

Først skal vi beregne de forskellige summer vi får brug for:

=

=

=

=

𝑛 =7

Nu kan vi beregne a og b vha. den generelle formel i mindste kvadraters metode:

𝑎 =

𝑆_{𝑥𝑦} 𝑛 − 𝑆_{𝑦} 𝑆_{𝑥}
𝑆_{𝑥𝑥} 𝑛 − 𝑆_{𝑥}^{2}

Side 12

[navn fjernet] SRO 12/13 Matematik og Fysik

ÅSG 11z 33 Lineær regression og Rydbergformlen

12

𝑎 =

0,003529460395𝑛𝑚^{−1} ∙ 7 − 0,016242226𝑛𝑚^{−1} ∙ 1,480486
0,3217169122 ∙ 7 − 1,480486^{2}
=0,01096442450𝑛𝑚^{−1}

𝑏 =

𝑆_{𝑥𝑥} 𝑆_{𝑦} − 𝑆_{𝑥} 𝑆_{𝑥𝑦}
𝑆_{𝑥𝑥} 𝑛 − 𝑆_{𝑥}^{2}

=

0,3217169122 ∙ 0,016242226𝑛𝑚^{−1} − 1,480486 ∙ 0,003529460395𝑛𝑚^{−1}
0,3217169122 ∙ 7 −1,480486^{2}
=0,000001364150227𝑛𝑚^{−1}

Usikkerheden på y-værdierne er opgivet til at være 𝜎 ( 𝑦) =1,17 ∙ 10^{−6} 𝑛𝑚^{−1}

Med denne oplysning kan vi beregne usikkerhederne på a og b:

𝜎 ( 𝑎) = 𝜎 ( 𝑦)

√ 𝑛
√𝑛𝑆_{𝑥𝑥} − 𝑆_{𝑥}^{2}

                             −6   −1
=                    ∙ 1,17 ∙ 10 𝑛𝑚
  √

√ 7
7∙0,3217169122−1,480486^{2}

= 0,0000001241857383𝑛𝑚^{−1}

𝜎 ( 𝑏) = 𝜎 ( 𝑦)

√ 𝑆_{𝑥𝑥}
√𝑛𝑆_{𝑥𝑥} − 𝑆_{𝑥}^{2}

= ∙ 1,17 ∙10^{−6} 𝑛𝑚^{−1}

√

0,3217169122

√

7 ∙ 0,3217169122 − 1,480486^{2}

=0,000002705192651𝑛𝑚^{−1}

Det vil altså sige at vi får en regressionslinje med forskriften:

𝑦 = ( 0,01096442450𝑛𝑚^{−1} ± 0,0000001241857383𝑛𝑚^{−1}) ∙ 𝑥 …
…+ 0,000001364150227𝑛𝑚^{−1} ± 0,000002705192651𝑛𝑚^{−1}

Side 13

[navn fjernet] SRO 12/13 Matematik og Fysik

ÅSG 11z 33 Lineær regression og Rydbergformlen

13

                                              −1                  −1
Vi får altså en a-værdi i intervallet: [0,01095180593𝑛𝑚 ; 0,01097704307𝑛𝑚 ]

Og en b-værdi i intervallet: [−0,000001341041773𝑛𝑚^{−1}; 0,000004069342227𝑛𝑚^{−1}]

Da 0 er indeholdt i intervallet for vores b-værdi kan afvigelsen tilskrives usikkerhederne, og vi kan påvise at der er tale om proportionalitet jf. Rydbergformlen.

På samme måde er den officielle værdi af Rydbergkonstanten på 1,0973732⋅10^{7} m^{-1} indeholdt i in-

tervallet for a-værdien og vi kan altså konkludere at vi har eftervist formlen og konstanten.

Konklusion

På baggrund af Rydbergformlen, teorien omkring regression og usikkerheder, samt det udleverede datamateriale, har det været muligt at beskrive relationen mellem overgangene i hydrogen og de bølgelængder som udsendtes. Regressionslinjen har været præcis nok til at afvigelserne i forhold til teorien har kunnet tilskrives usikkerhederne på målingerne. Dermed har vi eftervist Rydbergformlen

                            1    1   1
og fundet proportionalitet mellem og ( − ) med en proportionalitetsfaktor svarende til Ryd-
                                 2    2
                            𝜆   𝑚    𝑛

bergkonstanten.

Disse resultater viser hvor tæt matematikken og fysikken spiller sammen, og hvordan de sammen kan forklare ellers utilgængelige fænomener helt net på det atomare niveau.

Side 14

[navn fjernet] SRO 12/13 Matematik og Fysik

ÅSG 11z 33 Lineær regression og Rydbergformlen

14

Litteratur

• Elvekjær, F. og Benoni, T. (2006): FysikABbogen 2, Systime A/S, Århus.

• Helm, M.T.H. (2013): Bohrs atommodel forklarer videnskaben bag hverdagen. Artikel, Sience and

• Pedersen, M.G. (2007): Usikkerheder og lineær regression. Note.

• Technology, AU. http://scitech.au.dk/roemer/apr13/bohrs-atommodel-forklarer-videnskaben-bag-

hverdagen/. Hentet 2. maj 2013

• The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. http://physics.nist.gov/cgi-
bin/cuu/Value?ryd|search_for=rydberg. Hentet 2. maj 2013

Bilag

Bilag 1 Mindste kvadraters metode^{6}

6

Pedersen, M.G. (2007): s. 9