SRO: Differentialligninger, Newton afkølings- og opvarmningslov

Indledning

Differentialligninger giver matematiske beskrivelser af mange sammenhænge, fx konstruktion af en bro eller isolering af et hus. Men hvad er en differentialligning? hvordan kan differentialligning bruges i virkeligheden? Disse ting vil jeg jeg prøve at besvare. Dertil kommer newtons afkølings og opvarmnings lov, som jeg teoretisk vil redegøre for sammen med matematikken. Til slut vil jeg så bruge den teoretiske viden om newtons opvarmningslov og se om den passer til en praktisk løsning.

Differentialligninger

Differentialligning er som i navnet en ligning, den ubekendte er dog ikke en talværdi, men en funktion y=f(x), hvor en eller flere af dens afledede indgår. dette kan være forskellige ordener som vist Vi vil dog tage starte med lidt simplere differentialligningen. Løsningen til differentialligning findes ved at finde stamfunktion, og findes ved hjælp af integration, da differentiering og integration er hinandens omvendte. Man kan derfor også lave en an har fundet frem til efter at have løst en differentialligning. Det gøres ganske simpelt ved at differentiere den løsning, man er kommet frem til. Er resultatet lig med den differentialligning, som man skulle finde løsningen til, er løsningen man har fundet frem til korrekt.

Dermed hvis vi starter med at integrere: y ∫2dx c ↔y 2x c Nu kan vi så undersøge om denne løsning er korrekt ved hjælp af integrationsprøven. (2x+c)=2  =2 da vi nu er tilbage ved den oprindelige differentialligning må løsningen være korrekt.

I ovennævnte eksempel var løsningen ikke svær at finde, men i andre tilfælde kan det være nyttigt, at isolerer de variable på hver sin side af lighedstegnet. Denne metode kaldes for  gyhx Hvis h er kontinuert i et interval I, g er kontinuert i et interval J og gy0 , har ligningen ovenfor de samme løsninger y f xsom ligningen: dy = 󰇛󰇜 *dx +c I virkeligheden viser det sig at differentialligninger bliver brugt som et redskab til at beregne forskellige vækstmodeller. I denne vækst er der en variabel som ofte er tiden. Hvis vi fx tager udgangspunkt i differentialligning , cR for xR denne løsning beskriver en eksponentiel vækst som dermed må have en relativ væksthastighed. Da Løsningen passer på y b a, som er den funktionsmodel der beskriver en eksponentiel vækst. Modellen bruges for eksempel til at beskrive en bakteriekultur.

I et sådant tilfælde vil det være kulturens væksthastighed set i forhold til det allerede eksisterende antal bakterier,som beskrives.