SRP: Bevægelse i Gravitationsfeltet i Fysik og Matematik

Side 1

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

1 af 36

Abstract

This study investigates motions in the gravitational field and treats an experiment about the universal gravitational constant G. The paper includes a mathematic demonstration of the third law of Kepler from Newton’s second and fourth law. It is explained how the motions of heavenly bodies in our solar system, and therefore in the gravitational field, fits together with the individual heavenly body’s mechanical energy. These either closed orbits or passing motions take form as a hyperbola, parabola, ellipse or a circle. In the paper it is argued of why the reach of both the gravitational field and the potential energy in the field is infinity. An experiment to determine G was carried out with Terma’s Lay-bold apparatus, which consists of two small and two bigger lead balls. It is possible to measure the gravitational force of attraction between them, with the help of a spot of light reflected at the other wall. The mathematic method is used in the deduction of the third law of Kepler and in the explanation of second order differential equation.

Finally, the paper concludes that the energy in the Danish Ørsted- satellite, which in 1999 was brought into an elliptical orbit around Earth, varies in the way the second law of Kepler states. G was determined with a factor two in aberration, which is a good result as the value of G is so small

(depends on a factor 10^{-11}) and because there is no possibility of isolating gravitation and therefore

the system.

Side 2

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

2 af 36

Indholdsfortegnelse

Abstract ............................................................................................................................................................. 1 Indholdsfortegnelse ........................................................................................................................................... 2 Den historiske baggrund skitseret...................................................................................................................... 3 Indledende betragtninger ................................................................................................................................... 3

E_{pot} i feltet ...................................................................................................................................................... 5
E_{mek} i feltet ..................................................................................................................................................... 5

Banekurver i gravitationsfeltet .......................................................................................................................... 6 Ellipsens ligning: ........................................................................................................................................... 6 Cirklens ligning: ............................................................................................................................................ 6 Parablens ligning: .......................................................................................................................................... 7 Hyperblens ligning: ....................................................................................................................................... 7 Newtons fire love og Keplers tre ....................................................................................................................... 8 Keplers 3. lov..................................................................................................................................................... 9 Impulsmomentsætningen ................................................................................................................................. 11 Formel for G udledes ....................................................................................................................................... 13 Databehandling ................................................................................................................................................ 17 Fejlkilder og usikkerhedsberegninger ......................................................................................................... 18 Konklusion på eksperimentet ...................................................................................................................... 20 Energibevarelse ved satellitbevægelser ........................................................................................................... 21 Ørsted satellitten .............................................................................................................................................. 21 Konklusion ...................................................................................................................................................... 23 Litteraturliste ................................................................................................................................................... 24 Internetmateriale .......................................................................................................................................... 25 Bilag 1: Ellipse ................................................................................................................................................ 26 Bilag 2: Cirkel ................................................................................................................................................. 27 Bilag 3: Parabel ............................................................................................................................................... 28 Bilag 4: Hyperbel ............................................................................................................................................ 29 Bilag 5: De fire keglesnit ................................................................................................................................. 30 Bilag 6: Keplers tre love .................................................................................................................................. 31 Bilag 7: Eksperimentel bestemmelse af G ....................................................................................................... 32 Bilag 8: De eksperimentelle data ..................................................................................................................... 34

Side 3

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

3 af 36

Den historiske baggrund skitseret

Det var pythagoræerne og de tidlige græske filosoffer, som var de første til at opstille geometriske modeller for universet. Allerede dengang i oldtiden var der filosoffer, der forestillede sig en opbygning med Solen i centrum, men tiden ville, at der skulle gå ca. 2000 år, før det heliocentriske verdensbillede vandt anerkendelse blandt astronomer. Danskeren Tycho Brahe () var den første, der indså vigtigheden i systematiske observationer af nattehimlen og regnes derfor for den betydeligste observerende astronom på sin tid. For at opnå den ønskede præcision, konstruerede han selv sine måleinstrumenter. Pga. sin tro, blev det Tycho Brahes lærling Johannes Kepler (1571-

1630) og ikke Brahe selv, der første gang beviseligt revolutionerede verdensbilledet fra det geocentriske med Jorden i centrum til det heliocentriske med Solen som centrum for vores solsystem. Kepler gjorde det ved først at bestemme Jordens banekurve om Solen og dernæst Mars’ banekurve ud fra Brahes observationer. Kepler kom frem til de tre empiriske [1] lovmæssigheder, der i dag er kendt som Keplers love (uddybes senere).

Sir Isaac Newton () byggede videre på resultater af bl.a. Kepler og Galilei () vedrørende legemers bevægelse. Newton offentliggjorde i 1687 Principia med de tre bevægelseslove og en 4. lov – gravitationsloven – denne bygget afgørende på Keplers love. Newton arbejdede sig formodentlig ud og ind mellem Keplers love og sine egne intuitive ideer før han fandt frem til den universelle lov om gravitation (uddybes senere). [2]

Indledende betragtninger

Når det er muligt, at sende en satellit i kredsløb om Jorden eller at fastholde planeternes baner om Solen skyldes det den fundamentale massetiltrækningskraft, F g

, der er en naturkraft. Med naturkraft menes, at kraften ikke kan føres tilbage til andre kræfter i naturen som fx fjederkraften (den elektromagnetiske naturkraft) kan.

Om gravitationsloven, fastslog Newton at: ”Alle legemer tiltrækker hinanden med en kraft – den såkaldte gravitationskraft” og ”kraften er proportional med legemers masse og omvendt

                                            3
proportional med kvadratet på afstanden af legemerne”

Dette betyder også, at der omkring et hvert legeme med masse, er et gravitationsfelt, fordi det påvirker alle andre legemer med masse.

Denne kraft er givet ved:

1

En lov er empirisk, hvis lovmæssigheden vises ud fra erfaringen.

2

Kilde: Spektrum 2, side 344-348 + Principia i stort og småt, side 5+8

3

Citat side 139 i Orbit 3

Side 4

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

4 af 36

r^{2}

FG_{g} =

Mm ⋅

4

Hvor M og m er de to legemer med masse i kg i afstanden r i meter til hinanden og

gravitationskonstanten G 6, 6764 10^{−} =⋅

Nm ⋅^{2}

11

kg^{2}

Så vidt man ved, kan gravitationskraften ikke afskærmes eller neutraliseres, som fx den elektromagnetiske naturkraft kan. Det gravitationelle træks rækkevidde er uendelig. Det medfører, at gravitationskraften gennemtrænger og styrer bevægelser i hele Universet lige fra noget så jordnært som en nåls fald mod jordoverfladen til galaksernes bevægelser i galaksehobe. [5] Alle naturlige kredsløb er en følge af den kombinerede effekt af legemers tendens til, at bevæge sig i en lige linje med konstant fart og trækket fra gravitationskraften fra den masse som legemet er i kredsløb om. Alle lukkede kredsløb i naturen har form som en ellipse, med en excentricitet lille som

                                   6
stor, netop pga. denne kombinerede effekt.

Figur 1: Planetbanerne omkring Solen bliver mere excentriske jo større deres omløbstid T bliver.

4

Uddybes yderligere i afsnittet: ”Newtons fire love og Keplers tre” samt i ”Eksperimentel bestemmelse af G”

5

Kilde: Orbit 3 side 140

6

Kilde: side 37 i Universet – illustreret opslagsværk

Side 5

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

5 af 36

E i feltet pot

Massetiltrækningskraften F mellem masserne m og M er en konservativ kraft, da arbejdet på g masserne er uafhængig af vej og kun afhængig af start- og slutpunkt, [7] samt derfor upåvirket og uden gnidning. Et kraftfelt, som fx gravitationsfeltet, er et område med konservative kræfter. Det er kun ved konservative kræfter, at der er tale om et legemes potentielle energi, E. Derfor er den pot potentielle energi for et legeme med masse m, som befinder sig i afstanden r fra legemet med massen M givet ved formlen:

E r G_{pot} () =−

mM r

8

Nulniveauet for E i gravitationsfeltet ligger i det uendeligt fjerne. Begrundelsen herfor er, at E pot pot

→ 0 for r → ∞, da r er nævner i brøken. Den potentielle energi er negativ, fordi det kræver energi at

føre et legeme i gravitationsfeltet ud til det uendelige, hvilket jo er det samme princip, der gælder, når legemer i en cirkulær eller elliptisk bane har en negativ mekanisk energi (se nedenfor).

E i feltet mek

Betingelsen for at et legeme med massen m kan bevæge sig i en cirkelbevægelse om legemet med

massen M er givet som centripetalkraften, F = gravitationskraften, F (se yderligere forklaring i

c g afsnittet ”Keplers 3. lov” side 9):

 2
v mM

                                              1
mr ⋅ = ⋅ ⇔ ← G der ganges med og deles med på begge sider:
                                               2
             2

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ ← mv^{2} G og det svarer til:

11

22

        1
EE  =−
 kin pot

2

Da mekanikkens energisætning om den totale energi siger at

FF_{cg} =⇔

E E E =+        = konstant
 mek kin

rr mM r

er E for en cirkelbevægelse i et centralfelt:
    mek

1 1 1

2 2 2

E E E E E E = + = − + = = − ⋅ ⋅ G

pot mek kin pot pot pot pot mM r

9

7

Formlen for Arbejde: ΔA = - E(pot) , A(felt) = F(felt) · s = den resulterende krafts arbejde, A(res) (Side 119 i Orbit

3)
8

Bevis herfor, findes i Orbit 3, side 146-147

9

Kilde: Orbit 3, side 152

Side 6

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

6 af 36

Hermed er der fundet en formel for potentiel energi i feltet samt en måde at beregne den mekaniske energi for et legeme i kredsløb om et andet (benyttes i afsnittet ”Ørsted-satellitten”). Heraf ses det også, at for at legemer kan forblive i ”statiske”, uændrede baner er det nødvendigt med en uændret og konstant mekanisk energi. Læg mærke til, at dette ikke er ensbetydende med, at forholdet mellem den potentielle og den kinetiske energi forbliver uændret.

Banekurver i gravitationsfeltet

Som allerede nævnt, foretager planeterne elliptiske baner omkring Solen. Rent matematisk kan der opstilles en ligning for dette:

Ellipsens ligning:

xy^{22}
ab^{22}

+= 1 , med centrum i (0,0)^{10}

På bilag 1 ses eksempler på to ellipser samt beregning af deres brændpunkter og excentriciteter.

Indsættes en given ellipse i et koordinatsystem, er a og b ellipsens symmetriakser med a =
afstanden fra (0,0) til ellipsens skæring med x-aksen og b = afstanden fra (0,0) til skæring med y-
aksen. Ydermere er 2a = ellipsens storakse og 2b = ellipsens lilleakse.

I solsystemet er Solen placeret i det ene af en given planetbanes to brændpunkter, F og F.

1 2

Placeringen af en ellipses brændpunkter afhænger af dens excentricitet, e, der er et tal mellem 0 og

1 og som er et udtryk for ellipsens ”fladtrykthed”. Ved e = 0 er figuren en cirkel med
sammenfaldende brændpunkter (a = r). Ved e = næsten 1 er ellipsen langstrakt og nærmest
cigarformet og ved e = 1 fås en linie.

I tyngdefeltet har ellipse- og cirkelbaner en mekanisk energi < 0. E mek er altså negativ, hvilket blot betyder at et mindre legeme, der bevæger sig i et større objekts gravitationsfelt behøver ekstra mekanisk energi tilført for at løsrive sig fra sin bane.

Cirklens ligning:

2 2 2

( ) ( )x a y b r− + − =

Hvor punktet C(a,b) er cirklens centrum og r er radius.

Se bilag 2 for eksempel på cirkel.

10

De følgende ligninger er hentet fra Mat 3H side 252-269

Side 7

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

7 af 36

Modsat ellipsen, har cirklen kun ét centrum, eller to sammenfaldende brændpunkter, og hvert et punkt på cirklen har samme afstand til dette punkt.

Som allerede nævnt, har ellipse- og cirkelbaner en mekanisk energi < 0 i gravitationsfeltet. Når E mek negativ, betyder det blot, at for at et mindre legeme kan løsrive sig fra dets bane, behøver det tilført ekstra mekanisk energi, når det bevæger sig i et større objekts gravitationsfelt.

Parablens ligning:

( )y px y px y px= ⇔ = ± ⇔ = ±^{1}^{2}, med toppunkt i (0,0)

2

Se bilag 3 for eksempel på parablens ligning og hvad p har at sige for det geometriske steds udformning.

Ledelinien m:

     1
xp=−    er en linie m for de punkter P på det geometriske sted kaldt en parabel, der har samme

4 afstand til et givent brændpunkt F og en den givne linie m.

P, P og P på bilag 3 opfylder denne betingelse og dvs.:

1 2 3

| | dist( , )P F P m=
  11

| | dist( , )P F P m=
  22

| | dist( , )P F P m=
  33

Koordinatsæt til brændpunkt F:

 1
( , 0)Fp
  4

Hvis parablens ledelinie m er placeret i et almindeligt koordinatsystem, så ledelinien er parallel med x-aksen, vil parablen kunne beskrives som grafen for et andengradspolynomium.

I tyngdefeltet har legemer, der foretager en parabelbane en mekanisk energi = 0, som et mål for
systemets samlede energi. Dvs. at himmellegemer med E = 0 følger åbne, ikke-tilbagevendende

mek kredsløb med form som en parabel.

Hyperblens ligning:

xy^{22}
ab^{22}

+= 1

Se bilag 4 for eksempel på hyperblens ligning og hvad a og b har at sige for det geometriske steds udformning.

Side 8

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

8 af 36

Hyperblen er det geometriske sted for de punkter P i planen, hvor den numeriske differens mellem afstanden til to givne punkter F og F (brændpunkterne) er konstant.

1 2

                                                                  11
Den konstante differens = |PF | - |PF | kaldes hyperblens storakse og betegnes 2a.

1 2

I tyngdefeltet har legemer, der foretager en hyperbelbane en E > 0, som mek et mål for systemets samlede energi. Dvs. at himmellegemer, fx kometer fra det ydre rum, med en mekanisk energi større end nul følger åbne, ikke-tilbagevendende kredsløb med form som en hyperbel, også kaldt en

hyperbolsk bane.^{12}

De ovenstående fire geometriske steder, har alle det tilfælles, at de fremkommer ved forskellige skæringskurver mellem planen og keglefladen i en kegle. På billedet t.v. er disse skæringer vist i praksis. Se ligeledes bilag 5 for forklaring på hvilke vinkler der er til forskel på skæringerne.

Newtons fire love og Keplers tre

Nedenfor er Newtons tre bevægelseslove samt gravitationslov angivet:

1. Et legeme, som ikke er under påvirkning af kræfter, forbliver enten i hvile eller foretager en jævn, retliniet bevægelse.

Fv=⇔  0 er konstant (Inertiens lov)
 res

2. Et legeme med massen m, som påvirkes af kræfter med summen F, vil være accelereret res med accelerationen a. Heraf ses, at des mindre massen m, des større acceleration a.

F m a=⋅    (Kraftloven)
 res

3. Når to legemer vekselvirker, er kraften F

1 hvormed legeme 1 påvirker legeme 2, lige så stor og modsatrettet kraften F, hvormed legeme 2 påvirker legeme 1, dvs.:

2

12

(Loven om aktion og reaktion)FF=−

11

Kilde: http://www.kdassem.dk/undervis/matematik/noter_pdf/Modul%205%20Geometri2.pdf

12

Kilde: Universet, side 37

Figur 2: De fire keglesnit

Side 9

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

9 af 36

4. To legemer påvirker på grund af deres masser hinanden med en tiltrækningskraft af størrelsen

r^{2}

FG_{g} = (Gravitationsloven)

Mm ⋅

13 hvor gravitationskonstanten G, er en universel kontant med værdien

Nm ⋅^{2}

11

kg^{2}

G 6, 6764 10^{−} =⋅

Ifølge denne lov virker der en tiltrækkende kraft F g i [N] mellem alle legemer, og kraften er proportional med produktet af legemernes masse i [kg], og omvendt proportional med kvadratet på afstanden r i [meter].

Keplers tre love lyder ligeledes:

1. Planetbanerne er ellipser med Solen i det ene brændpunkt

2. Forbindelseslinien mellem Solen og planeten overstryger lige store arealer i lige store tidsrum. Det betyder, at jo tættere planeten (legemet med massen m) er på Solen (legemet med massen M) jo større er dens hastighed.

3._{T^{2}}^{a^{3}} er konstant (= k) inden for solsystemet, idet a er den halve storakse og T er omløbstiden.

14

På bilag 6 er Keplers tre love visualiseret.

Keplers 3. lov

Som fortalt i den historiske baggrund, fandt Kepler tre empiriske naturlove. Han vidste de gjaldt, men han kunne ikke matematisk bevise det. Det var først da Newton i 1687 med udgivelsen af Principia offentliggjorde og beviste hvorfor, at Keplers tre love i virkeligheden var gældende, hvorfor at planeterne bevæger sig som de gør, hvilke fysiske love der gør sig gældende etc. I det følgende udledes Keplers 3. lov, ud fra Newtons anden og fjerde, men det skal siges, at Keplers 3.

lov her udledes med moderne notation. Newton brugte en geometrisk bevisteknik, der er svær at sætte sig ind i med nutidens teknik [15].

13

Kilde: Fysik i Grundtræk, side 31 + side 139 i Orbit 3

14

Kilde: Principia i stort og småt, side 8 og Spektrum 2 side 348+353

15

Kilde: Spektrum 2, side 352

Side 10

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

10 af 36

For at forenkle beviset, antages det, at massen m (planeten, satellitten etc.) foretager en jævn cirkelbevægelse om massen M (Solen, Jorden etc.), der er så tung, at den står urokkeligt fast i centrum af banen. Ved jævne cirkelbevægelser er farten v konstant når den resulterende kraft F er res konstant. Det antages ligeledes, at Newtons 4. lov gælder og at kraften for massetiltrækning F er g rettet mod centrum af M.

                  3
                 a
Keplers 3. lov: k = hvor k er en konstant, der gælder for alle planeter.
                  2
                T

Af Newtons 4. lov vide at^{mM} F_{g} =⋅ G og da antages massen m foretager en jævn cirkelbevægelse
r^{2}

⋅

er F = F, hvor F er centripetalkraften, der er lige så stor og lig F (Se Bilag 2, kraftpilen):

g c c g

                                    ra
Da beviset gælder for en cirkel er = ⇔ = kk og derfor er sidste omskrivning gyldig. Da
                             22
                            TT

33

Keplers 3. lov er en empirisk naturlov, der gennem observationer har vist sig gældende for alle

                                                           3
                                         GM               r
planeter og k har vist sig ens for alle, er forholdet og derfor også og konstante og Keplers
                                           2               2
                                         4               T

π

3. lov bevist.

2

G centripetalaccelerationen i en cirkel er: a (se nedenstående) ⋅ = ⋅ ⇔ ← = ma
     2

2

G ⋅ = ⋅ ⇔_{2} m da fart, er tilbagelagt vej pr. tid er: da ← = = v v T

Newtons 4. lov N ewtons 2. lov centripetalkraften = = ⇔

g res c

F F F = = ⇔

mM v rr mM v 21 r rr Tf

2 r_{2}

G m f ⋅ = ⋅ ⇔ = =       og partiklens vinkelhastighed, 2
     2

mM m r 4^{2}
G ⋅ = ⇔_{22} hvilket begrunde s ud fra enhedscirklen på bilag 2 og Orbit 3, s105-106

() mM 2

T r r T rT π π π ωπ π

2 2 3

2 2 3

3

22

2

G mM T m r ⋅ ⋅ = ⇔ 4
G M T r ⋅ ⋅ = ⇔ 4

4 T

4

GM r

GM

= k

π π π π

=⇔

Side 11

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

11 af 36

Notat: mange steder er Keplers 3. lov skrevet^{T^{2}}_{a}_{3} = k og dette kan bevises som gældende på

samme måde som ovenstående bevis for_{T}^{a^{3}}_{2} = k, ved i tredje sidste omskrivning at dividere med

GM og r^{3} på begge sider i stedet for at dividere med T^{2} og 4π^{2} på begge sider.

Impulsmomentsætningen^{16}

Impulsmomentet er et mål for hvor meget bevægelsesmængde der er om et valgt punkt.

Impulsmomentet er en fysik størrelse, der karakteriserer et legeme eller en partikels bevægelse omkring et punkt eller om en akse. Ved en partikelbevægelse omkring et punkt er impulsmomentet et vektorprodukt af en radiusvektor og partiklens impuls. Selv er impulsmomentet en vektor

(betegnes ofte som L). Hvis partiklen bevæger sig omkring et punkt i planen, vil impulsmomentet omkring dette punkt været vinkelret på planen. Impulsmomentsætningen forbinder kraftmomentet,

                                                                 dL
M , der virker på partiklen, men impulsmomentets hastighedsændring, idet M = .

dt

Vi vil se på et legeme, der kan beskrives med stedvektoren, og impulsen, . I dette tilfælde vil legemet påvirkes af én enkelt kraft, , som samtidig er lig med den resulterende kraft.

Legemets impulsmoment, , er givet ved:

1.0 L r p=×

Vi ser nu, at et krydsprodukt kan differentieres efter formlen, der ligner formlen for differentiation af produktet:

Da impulsen for et legeme, kan udtrykkes ud fra legemets fart, v og masse, m, og da den første afledte af positionen, r med hensyn til tiden, t er lig farten, v, kan vi omskrive det første led i 1.1 til:

16

Noter udleveret af Per Max. S. 101 + 102, impulsmoment og impulsmomentsætningen, fra ukendt bog og forfatter.

Se bilag 9.

Side 12

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

12 af 36

Som vi ved, er krydsproduktet mellem to ensrettede vektorer lig , derfor er dette led lig med 0.

Da er den resulterende kraft, kan den ifølge Newtons 2. lov, omskrives til det andet led i 1.1

1.3^{dL dp}_{dt dt} = × = × = r r F M

Derfor får vi at:

M betegner altså kraftens moment.

Ovenstående form el kalder vi for im pulsm omentsætningen dp

= F

dt

Her betegner kraftens moment og ovenstående formel 1.3 kaldes impulsmomentsætningen.

Hvis impulsmomentet og kraftmomentet beregnes med hensyn til samme punkt origo, O, gælder det at:

1.4 = M

dL dt gælder stadigvæk hvis legemet er påvirket af flere kræfter med forskellige angrebspunkter, da er vektorsummen af alle virkende kraftmomenter. Derfor gælder 1.4 stadigvæk i disse tilfælde.

Side 13

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

13 af 36

Formel for G udledes

Når systemet er i yderstilling (situation 2) er torsionspendulet vredet i vinklen Θ, påvirket af gravitationskraften F samt i ro. Vridningskraften M i pendulet må derfor være lige så stor og g modsatrettet som gravitationskraften F gange afstanden d fra en af de små kugler til centrum for g drejningen. Her gælder vægtstangsprincippet hvor kraft (her F g

) gange længden d skal være lige store og modsatrettet for at opnå ligevægt. Vridningskraften M i pendulet er ligeledes lig snoningsmomentet D gange den vredne vinkel Θ. Da M som nævnt er modsatrettet F, men da der g her regnes på størrelser uden retning, udelades det negative fortegn:

(1)        F d M D⋅ = = ⋅ Θ
            g

For at bestemme et udtryk til at beregne G, bestemmes først et udtryk til at beregne konstanten D:

DꞏΘ gælder fordi Hooks lov gælder, da princippet bag dem er ens.

I Hooks lov, F = − x ꞏ k, øges kraften F jo mere en given fjeder presses sammen eller trækkes ud i
forhold til hvilestillingen x = 0. I dette eksperiment, er det blot en vridning D der påvirker systemet

og ikke en fjederkonstant k. D er altså konstant for det enkelte system.

Kraften F kan isoleres fra ovenstående formel (1): g

F_{g} =−

D ⋅Θ d

Heraf ses det, at Kraften F g 1 hvormed de to små kugler med massen m påvirkes, afhænger af den uafhængige variable, udsvingsvinklen Θ, da både snoningsmomentet D og afstanden d er konstanter. Fortegnet for de modsatrettede kræfter M og F g medtages i denne regning, fordi kraften peger modsat den vej der vrides.

Der huskes at der er to kugler med massen m, og ved at benytte Newtons 2. lov (F = m · a)^{17} kan

1 res der findes et udtryk for den kraft de to små kugler påvirkes med:

F m a = ⋅ ⋅ = − ⇔ 2
 res     1

2 ⋅⋅ md_{1}

D ⋅Θ d

D ⋅Θ

a =−

Da accelerationen a(t) er den dobbelt-differentierede fås:

17

Se uddybende forklaring i afsnittet ”Newtons fire love og Keplers tre” side 9

Side 14

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

14 af 36

2 ⋅⋅ md_{1}

(2) '' der også kan skives på formen: Θ = − ⋅ Θ ←
                           2

2 ⋅⋅ md_{1}
'' (2a) (bruges længere nede i re Θ = − ⋅ Θ degørelsen) k^{2}

'' ad = Θ ⋅ = − ⇔

D ⋅Θ

D

Vi ved, at det kun er sinus og cosinus, der giver sig selv gange en negativ konstant efter dobbelt differentiation og dette vises her:

Det er givet at (3) er løsningen til 2. ordens differentialligningen (2)

(3) Θ= ( ) sin( )tt

ω

Ved at differentiere (3) to gange og sætte (3)’’ lig (2) kan løsningen eftervises:

18

Ved hjælp af ovenstående differentiation kan (2) omskives:

2

2 ⋅⋅ md_{1}

   2
− ⋅ = ⋅ ⇔ sin( ) sin( ) tt

2

2 ⋅⋅ md_{1}
−⋅^{2} sin( ) sin( ) t D t

2

sin( ) 2 sin( ) t m d t ⋅⋅_{1}

− = ⇔^{2}

2

2 ⋅⋅ md_{1}

2

2 ⋅⋅ md_{1}

2 ⋅⋅ m d T_{1}^{2}

Θ = ⋅ Θ ⇔ ''

D 2

= = ← Jf. enhedscirklen Bilag 2, samt afsnittet "K eplers 3. lov" ang.

D

D

D

D ω ω ω ω ω ω ωω ω ω π ω

= ⋅ ⇔

= ± ⇔

sidste lighedsstegn

Grunden til at der ikke skal stå ± foran kvadratrodstegnet er, vinkelhastigheden ω ikke kan være

negativ ved positiv omløbsretning i enhedscirklen (Se bilag 2) og løsningen forkastes. Hermed er

det vist at Θ= ( ) sin( )tt er en løsning til (2).

ω

Ifølge Mat 3H side 90 er nedenstående den fuldstændige løsning til (2), der også kan skrives som

(2a), der er den type af funktion Mat 3H benytter til beviset.

18

Reglen for sammensat differentiation: (g о f)’(x ) = g’(f(x ) ꞏ f’(x ) side 61 i Mat 2B
                                       0       0     0

Θ = − ⋅ '' sin( )^{2} t

Θ = ⇒ ← ( ) sin( ) differencieres vha. reglen for sammensat differentiation: tt
Θ = ⋅ ⇒ ← ' cos( ) sættes uden for parantes: t

ω ω ω ω ωω

Side 15

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

15 af 36

y c kx c kx = ⋅ + ⋅ ⇔ cos sin
    12

Θ = ⋅ + ⋅ ( ) cos sin t r t r t

ωω

Først vises at ⋅ cosrt også kan være en løsning til (2): ω

Da bevægelsen i torsionspendulet og altså bevægelsen af de små kugler er en cirkelbevægelse

beskrevet som d · Θ, med d = radius r i cirklen kan bevægelsen skrives vha. parameterfremstillingen

for en cirkel:

fd ( ) Θ = ⋅ Θ ⇒

x t r t ( ) sin( ) ⋅

ft ( ) der differencieres vha. reglen for samm ensat differentiation (se note 16): = = ⇔ ←

y t r t ( ) cos( ) ⋅ cos( ) t ⋅

f t v t r '( ) ( ) sættes uden for p = = ⋅ ⇔ ← arantes:

−⋅ sin( ) t ω ω ωω ω ωω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

f t a t r ''( ) ( ) = = − ⋅ ⋅^{2}

−⋅ sin( ) t

f t a t r ''( ) ( ) og -1 sættes uden for parantes: = = ⋅ ⋅ ⇔ ←

−⋅ cos( ) t sin( ) t cos( ) t ωω ωω ωω ω ω ω

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Hermed er det igen vist, at 2. ordens differentialligningen opfører sig som sinus og cosinus samt at

⋅ cosrt også er en løsning til (2). Startbetingelserne for svingningen giver imidlertid en ω

bemærkning: Ved forsøgets begyndelse er Θ = 0º, t = 0 sek og dermed ω = 0º. Da
cos( ) cos(0 0) 1t = ⋅ = og

ω

sin( ) sin(0 0) 0t = ⋅ = vil cosinus forskyde svingningen lodret, og ud fra nedenstående figur 5 over

ω forsøgets data ses, at svingningen tilnærmelsesvist skærer i (0,0) og ikke (0,1). Det betyder, at den

fuldstændige løsning til differentialligning (2) er (3): Θ= ( ) sin( )tt.

ω

Da vi fandt at

2 ⋅⋅ m d T_{1}^{2}

D 2 π ω

==

Side 16

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

16 af 36 kan D isoleres og der er hermed fundet et udtryk herfor:

2 ⋅⋅ m d T_{1}^{2}

2

2 ⋅⋅ m d T_{1}^{2}
4^{2}

2

D m d = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔_{2}_{1} 2

8^{22} ⋅⋅ md_{1}
T^{2}

D 2

D 2

T

D =

π π π π

=⇔

⎛⎞

=⇔

⎜⎟

⎝⎠

Nu kan der vendes tilbage til (1):

Når torsionspendulet er faldet til ro igen, vil den afstand S lyspletten har flyttet sig være et udtryk for at pendulet er vredet fra startstilling til slutstilling, altså en vinkel 2ꞏΘ. Ud fra trigonometriske betragtninger er

2 tan(2 ) ⋅ Θ ≈ ⋅ Θ = ⇔

2 ⋅ L

4 ⋅ L

S

S

Θ=

eftersom lyspletten spejles over på den anden væg og derfor flytter sig 4ꞏΘ.

Benyttes gravitationsloven og formlen for Θ kan et udtryk for G opstilles ved at indsætte i (1):

F d M D⋅ = = ⋅ Θ
 g

F d D F F m a m ⋅ = ⋅ Θ ⇔ = − ⇔ = ⋅ ⋅ = − 2 (2, fordi der er to kugler af m assen )_{11}

m m m d ⋅ ⋅ ⋅ 8^{22} S

1 2 1

2 ⋅ = ⋅ ⇔_{22} G

m m m d S ⋅ ⋅ ⋅ ⋅^{2}

1 2 1

 22
a T L        ⋅

2

⋅ ⋅ ⋅ m d S_{1}
TL^{2} ⋅
⎛⎞_{12}
a^{2}

a T d L ⋅⋅ 4 g g res

DD ⋅ Θ ⋅ Θ dd

G =⇔

G = ⇔

mm ⋅ π π π

⎜⎟

⎝⎠

22

     2
m T L ⋅⋅
 2

⋅ ⋅ ⋅ a d S

G =

π

Side 17

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

17 af 36

Databehandling

Se bilag 7 for de eksperimentelle data.

Når systemet er faldet til ro (sit. 3) og alle nødvendige målinger er foretaget, tages papiret hvorpå lysplettens bevægelse er noteret, ned fra væggen og afstandene mellem tidsintervallerne måles.

Grafen (t,Δs) plottes og denne ses i nedenstående figur 5, som en dæmpet svingning.

Svingningstiden, T findes ved at finde det tendenslinien for det bevægelige gennemsnit af

punktserien og evaluere denne. Låses til y-max to steder og T = 945-240 = 705 sek. Svingningstiden

T er konstant trods den dæmpede svingning, fordi svingningens amplitude er omvendt proportional med tiden. Dvs. jo større hastighed lyspletten svinger sig med, des større er afstanden fra yderstilling til yderstilling.

Figur 3: Graf for den dæmpede svingning

Ud fra den fundne værdi for svingningstiden, T kan gravitationskonstanten G beregnes. (Formel her for: Jf. ovenstående udledning)

Side 18

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

18 af 36

22

     2
m T L ⋅⋅
 2

22

1,5019 (705 ) 5, 788^{2} kg s m ⋅⋅

2 2 3 2 2 2

G = ⋅ ← = = = 3, 354 10 da^{−}^{11}

2 2 2 2 2

⋅ ⋅ ⋅ (0, 045 ) 0, 05 0,145 m m m

/

⋅ ⋅ ⋅ a d S

G =⇒

G =⇔

N m m m m m kg m s m N m kg kg s m kg s kg kg ⋅ ⋅ ⋅ π π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Fejlkilder og usikkerhedsberegninger

N m N m ⋅⋅^{22}
6, , 35363 10 ⋅ − ⋅^{−−}^{11 11}

  22
kg kg

Nm ⋅^{2}
6, 67259 10^{−}^{11} ⋅
kg^{2}

%-vis afvigelse 100% = ⋅ ⇒

%-vis afvigelse 100% = ⋅ ⇔

%-vis afvigelse 50% =

tabelværdi forsøgsværdi − tabelværdi

Der forekommer måleusikkerheder i alle mål af afstande samt alle andre former for egne målinger.

Da G er så lille en værdi (gange ti i minus ellevte potens) vil en lille afvigelse i opmålingen forårsage store påvirkninger af den eksperimentelt bestemte værdi for G. Disse usikkerheder kunne være markant mindsket ved at foretager alle afstandsmålinger med en laser. Bevægelser og rystelser i omgivende luftrum, vægge og lokale har også en negativ effekt på den eksperimentelt bestemte værdi for G.

Da G er en universel kraft vil systemet, der ikke kan afskærmes, kan systemet ikke isoleres, men påvirkes derimod af alle de andre vekselvirkninger med og i omgivelserne. Samlet vil disse vekselvirkninger være udtryk for en mere eller mindre konstant fejlkilde og dermed en systematisk afvigelse i måleresultaterne.

Da massen m er beregnet med fem betydende cifre antages der, at der ingen usikkerhed er at finde

2 her. Mht. a og d er de værdier vi målte herfor overensstemmende med de angivne værdier i øvelsesvejledningen og usikkerhedsberegning foretages heller ikke herfor.

Usikkerheden på målingen af S sættes ± 0,25 cm = ± 0,0025 m da et fast fikspunkt på den ca. 4 cm

udtværede lysplet ikke er muligt at fastslå. Usikkerheden herfor skrives: σ0,0025 m.

Side 19

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

19 af 36

Usikkerheden på målingen af L er ± 1,5 cm = ± 0,015 m da den er foretaget med en 1m lang lineal.
Usikkerheden herfor skrives: σ0,015 m. Usikkerheden på T sættes til ± 0,5 sek. Usikkerheden herfor

skrives: σ0,5 m.

Når G = kan usikkerheden på de faktorer dette fremkommer inden for beregnes. I det

22

m T L_{2} ⋅⋅^{2}

⋅ ⋅ ⋅ a d S π følgende beregnes den relative spredning σ på S, T og L da det antages usikkerheden er størst på disse målinger. Derfor regnes a, d og m

2 som konstante, lig k og uden usikkerheder. Det er dog ikke helt korrekt, når disse størrelser også er målt og vejet af menneskelige hænder. Det skrives dog:

22

G k f S T L = = ⋅ = ( , , ) hvor
           22

m T L T L ⋅ ⋅ ⋅
 2

22

− 4

⋅⋅ (0, 045) 0, 05

k = = ⋅ 6, 4232 10

1,5019

⋅ ⋅ ⋅ a d S S π π

Ved at benytte reglen for partiel differentiation

( )

( )

( )

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 3

2

2 4 2 −

    2
705 5, 788 ⋅

f S T L k S k T k L ( , , ) ( ) ( ) ( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

1 SS

f S T L k S k L k T ( , , ) ( ) ( ) ( ) = ⋅ + − ⋅ + − ⋅ ⇒

⎛⎞ 1

f S T L ( , , ) 6, 0 (0, 002 = ⋅ ⋅ 5) +

df df df dS dT dL

T L T L L T ⋅ ⋅ ⋅ σ σ σ σ σ σ σ σ σσ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜⎟

⎝⎠

( )

( )

2

− 42

    22
705 5, 788 ⋅

2

− 42
5, 788 705^{3} ⋅

2 25

− 25

⎛⎞ 0,145

6,0 (0, 015) − ⋅ ⋅ +

⎛⎞ 0,145

6,0 (0, 5) − ⋅ ⋅

f S T L ( , , ) 3, 42448 10^{−} =⋅

f S T L ( , , ) 3, 42448 10 =⋅
f ( , , ) 5, 85191 10S T L^{−}^{13} = ± ⋅

σ σ σ σ σ

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

( )

19

Når der efterfølgende tages højde for den beregnede relative spredning σ vil den eksperimentelt bestemte værdi for G blive:

19

Helvedsnoten er udledt ud fra side 8 i ”Usikkerheder og lineær regression”

Side 20

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

20 af 36

( )

               − 11
G f S T L = ⋅ ± ⇔ 3, 35363 10 ( , , )

G = ⋅ ± ⋅ 3, ,85191 10^{−−}^{11 13}

σ

Dvs. at vi nu har bestemt G til G = ⋅ ± ⋅ 3, ,85191 10^{−−}^{11 13}. Det betyder, at hvis vi

Nm ⋅^{2}
kg^{2}

foretog flere målinger, vil der med stor sandsynlighed fremkomme resultater i intervallet

N m N m ⋅⋅^{22}
[3, 295 10 , 3, 412 10 ]_{22} ⋅⋅^{−−}^{11 11}

kg kg

Hvis forsøget skulle have været fuldkommen vellykket, skulle tabelværdien [20] for G have ligget inden for intervallet.

Konklusion på eksperimentet

Som forventet var der en stor afvigelse i måleresultatet af gravitationskonstanten G, grundet dennes lille værdi og den manglende mulighed for at arbejde med forsøget i et lukket system, da gravitationskraften ikke kan afskærmes.

Der forekom en del fejlkilder, dvs. der sker en forskydning fra tabelværdien, da vekselvirkningen med omgivelserne er mere eller mindre konstant under hele forsøget.

Ligeledes beregnedes en måleusikkerhed på svingningstiden T og afstandene S og L. Vha. partiel differentiation kunne den relative spredning σ og dermed den relative usikkerhed beregnes, og denne blev der medførte et interval for G på:

( )

( , , ) 5, 85191 10f S T L^{−}^{13} = ± ⋅

σ

N m N m ⋅⋅^{22}
[3, 295 10 , 3, 412 10 ]_{22} ⋅⋅^{−−}^{11 11}

kg kg

. Tabelværdien for G burde have ligget inden for dette interval for at forsøget kan erklæres fuldkommen vellykket og teorien eftervist. Der forekommer imidlertid stadig en afvigelse på ca. en faktor 2, hvor fejlkilder som vekselvirkninger med og i omgivelserne og måske en større usikkerhed end beregnet, er aktuel. Med menneskets nuværende viden, er det ikke muligt at afskærme eller neutralisere den universelle gravitationskraft og dermed isolere systemet [21]. Måleusikkerhederne kunne være væsentligt mindsket ved at foretage alle afstandsmålinger med en laser, samt holde forsøget inde i stor kasse uden ”luftvirvler”, rystelser fra dagligdagen omkring samt varierende vekselvirkninger rundt langs svingningshuset.

I betragtning af alle fejlkilde og usikkerheder er en afvigelser på 50% et rimeligt resultat.

20

Tabelværdi for G: G = 6,67259·10^{-11}, Jf. side 273 i Fysik 112 – førstehjælp til formler.

21

Side 140 i Orbit 3

Side 21

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

21 af 36

Energibevarelse ved satellitbevægelser

I min redegørelse af energibevarelsen ved satellit- og eller planetbevægelser har jeg valgt at fokusere på H.C. Ørsted satellitten. De følgende data kan findes på hjemmesiden, der er vedhæftet som fodnote.

Ørsted satellitten

Ørsted-satellitten er den første satellit bygget i Danmark, og formålet med dens konstruktion var at måle styrken, retningen og variationen i Jordens magnetfelt. Jordens magnetfelt er vigtigt mht.

navigation samt for klodens beskyttelse af energirige partikler fra rummet og dermed den menneskelige eksistens. Den blev endelig sendt op i feb. 1999 som sekundær last med en meget større amerikansk satellit efter en række forstyrrelse som forsinkelse af ”hovedsatellittens” bygning

            22
og dårligt vejr.

På nedenstående figur 7 er Ørsted-satellittens bane om Jorden indtegnet, med undtagelsen af, at Serie 3

Jorden er givet som et punkt liggende i (0,0). Årsagen er, at Jordens radius er så stor i forhold til^{Serie 4}

satellittens afstand til Jordoverfladen, og det er svært på en grafisk fremstilling at se banen er elliptisk.

x(t)=870*cos(t) , y(t)=655*sin(t)

Serie 1

Serie 2

Serie 2b

-1400

-600

-400

-200

200

400

600 x y

v = 7584 m/s

v = ? m/s
m = 60,7 kg

sat

Omløbstid T ≈ 100 min

M = 5,974*10^{24} kg

Jord

r = 6371 km

jord

Figur 4: Ørsted-satellitten i kredsløb om Jorden

22

Internet adressen herfor: http://www.rumfart.dk/vis.asp?id=352 . Er gemt på min computer.

Side 22

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

22 af 36

Der er under ”Indledende betragtninger” gennemgået formlerne for den mekaniske og kinetisk energi for et legeme med massen m der er i kredsløb om et større legeme med massen M:

             2
      1
E m v E r = ⋅ ⋅ = − ⋅ og m ens vi tidligere (jf. fodnote) fandt at ( ) G er
       2
 kin pot

             2
       1
E m v = ⋅ ⋅ − ⋅ G (4)
       2
 mek

Da konstant, E E E = + =

mek kin pot mM r mM r

For at beregne Ørsted-satellittens mekaniske energi indsættes de kendte værdier (se ovenstående figur 6) i (4):

6, 0, 7 5, 974 10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅^{−}^{11 24}^{Nm}_{kg}^{⋅^{2}}_{2} kg kg

             2
       1
E m v = ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ G
       2
 mek

2

         1
E kg m s = ⋅ ⋅ − ⇔ 60, 7 (7584 / )
         2
 mek sat ,

EJ_{mek sat}_{,} = − ⋅ 1, 69818 10^{9}

(6371 655) 1000 +⋅ m mM r

Energisætning siger, at den mekaniske energi for system, er uændret så længe systemet ikke påvirkes af en ydre kraft. Da gravitationskraften ikke er en ydre kraft som fx luftmodstanden på jordoverfladen er, men derimod en konservativ kraft uden gnidning, er E for satellitbanen mek bevaret.

Side 23

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

23 af 36

Konklusion

Efter at have behandlet Newtons 4. lov, loven om en universel gravitationskraft, kan jeg konkludere at massetiltrækningen, der virker mellem alle legemer i universet, er bestemt ved:

r^{2}

FG_{g} =

Mm ⋅

med gravitationskonstanten G 6, 6764 10 =⋅. Gravitationskraften virker og styrer

Nm ⋅^{2}
− 11
kg^{2}

bevægelser i det uendelige, der giver den en potentiel energi^{mM}_{r} E r G_{pot} () =−, der er negativ fordi

det kræver energi, at føre et legeme ud til det uendelige, uanset om legemet bevæger sig i en lukket elliptisk eller cirkulær orbit omkring et andet legeme eller foretager paraboliske eller hyperbolske baner. Legemer i de to førstnævnte banekurver har en mekanisk energi < 0 J, der kan beregnes via formlen

.

Da Johannes Kepler () offentliggjorde sine tre empiriske naturlove om planetbevægelser, var det ham ikke muligt matematisk at bevise, hvorfor den 3. lov var gældende. De var alle tre bygget på læremesteren Tycho Brahes omhyggelige observationer af nattehimlen. Newton beviste matematisk i udgivelsen af den epokegørende Principia bl.a. hvorfor Keplers 3. lov var gældende, og denne opgave er dette bevis med moderne notation eftergjort i det specialtilfælde hvor banekurven er en cirkel.

Ved at beregne den danske Ørsted-satellits mekaniske energi samt hastighed i punktet længst fra Jorden, som den er i et elliptisk kredsløb om. kan Keplers tre love eftervises. Det kan den, fordi beskrivelsen af Ørsted-satellittens kredsløb er målt og kendt og det er derfor muligt matematisk at efterberegne værdier i kredsløbet.

Gravitationskonstanten G kan bestemmes ved et forsøg opstillet af kemiker Henry Cavendish.

Fejlkilderne var store, omkring en faktor 2, som skyldes at systemet i den grad ikke er isoleret, men tværtimod vekselvirker med alle omgivelser, grundet det gravitionelle træks ovennævnte egenskaber. Selv ikke en mere dybdegående analyse af måleusikkerhederne på afstande og svingningstid medførte en markant mindskning i den procentvise afvigelse på 50 %. Der forekom for mange ukontrollerbare, ydre påvirkninger. Så trods disse, var forsøget pænt.

Side 24

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

24 af 36

Litteraturliste

Bog skrevet af flere forfattere:

Forfatterefternavn, forfatterfornavn : Bogens titel, udgivelsessted, udgivelsesdato

- Andersson, Bengt, Johansson, Karl-Erik og Staffanson, Eve og oversat af Fabricius, Otto,

Munksgaard og Nielsen, Ralf, Fysik i grundtræk, Göteborg/Vojens:
Läromedelsförlaget/Schmidts bogtrykkeri, 1971/1972, side 31 (Om Newtons tre første love)

- Both, Claussen og Hartling, Spektrum, Fysik II, København, Gyldendal 2004, side 344-359

(Om historien bag Tycho Brahe, Kepler og Newton, Keplers love, ellipsen og Newtons gravitations lov. Gode formuleringer og forklaringer der er brugt som baggrundsviden samt i denne opgaves historiske afsnit)

- Brydensholt, Morten, Gøje, Tommy, Lis Jespersen m.fl., Orbit 3, Gylling, Systime 2002, 2.

udgave. Side 104-105 (Om jævne cirkelbevægelser), 118-119 (om konservative kræfter),

139-140 (om gravitationsloven), 145-150 (om banebevægelse, mekanisk og potentiel energi

i tyngdefeltet), 152-153+156 (om mekanisk energi for legemer i cirkelbevægelser og

Keplers 3. love)

- Brydensholt, Morten, Gøje, Tommy, Lis Jespersen m.fl., Orbit BA, Viborg, Systime 2006,

1. udgave. Side 295-296 (Om jævne cirkelbevægelser).

- Carstensen, Jens, og Frandsen, Jesper, Mat 2B, Viborg, Systime 2000, 1. udgave, 4. oplag.

Side 61.

- Carstensen, Jens, og Frandsen, Jesper, Mat 3H, Viborg, Systime 1999, 1. udgave, 1. oplag.

Side 252-269

- Gadegaard, Mona (forfatter), Usikkerheder og lineær regression, Side 8 om partiel differentiation og helvedsnoten

- Pedersen, Lars: Matematik 112 – førstehjælp til formler, København, Nyt Teknisk Forlag

2007, 2. udgave. Side 233+243-245 (keglesnit), 125 (svingninger)

- Pedersen, Lars: Fysik 112 – førstehjælp til formler, København, Nyt Teknisk Forlag 2007,

1. udgave. Side 130-133 (Epot, Ekin og Emek herunder mekanikkens energisætning)

- Rees, Martin (hovedredaktør), Frances, Peter, Garner, Georgina, Houston, Rob, Summers, David m.fl. (redaktører), Dansk oversættelse: Teuber, Jan, Universet – illustreret opslagsværk, udgivet første gang i England 2005 af Dorling Kindersley, i Danmark af

Forlaget Aktium, 2006. Side 36-37 (om Newtons og Keplers love samt banebevægelser og banefaconer)

Side 25

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

25 af 36

- Øvelsesvejledning 2: ”Bestemmelse af gravitationskonstanten.” Ældre udgave af forsøget hvor den samme metode der her i opgaven er brugt, ikke benyttes præcist. Nogle af begrundelserne samt den historiske baggrund for bestemmelsen af G er brugt i opgaven.

Internetmateriale

- http://www.kdassem.dk/undervis/matematik/noter_pdf/Modul%205%20Geometri2.pdf
- http://www.rumfart.dk/vis.asp?id=352 ( Er brugt til at indsamle data om Ørstedsatelitten, er

gemt på min computer).

- Madsen, Jørn fra EMU, http://galathea3.emu.dk/klima_miljoe/havstigninger.html (Lille note
om Jordens rotation og). Siden er gemt på min computer. Sidste opdateret: 17/02 2007

- May, Robert M, Yoder, C. F, Pidwirny, Michael, Dalrymple, G.B., Newman, William L.,

Dalrymple, G. Brent , Stassen, Chris m.fl., http://en.wikipedia.org/wiki/Earth (supplerende ang.

Jordens rotation og fladtrykthed. Under ”Composition and structure”) Siden er gemt på min

computer. Sidste opdateret: 19/12 2007
- Miller, Melvia F., http://www.success-secrets.ws/page5.html (Billede af det de

ellipseformede planetbaner i solsystemet, under ”Indledende betragtninger”) Senest opdateret: ? i 2006

- Seligman, Courtney, Professor of Astronomy,

http://cseligman.com/text/history/ellipses.htm. (Billede af fire keglesnit i én kegle) Senest
opdateret: 17/12 2007

-

Side 26

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

26 af 36

Bilag 1: Ellipse

x(t)=2*cos(t) , y(t)=1*sin(t)

Serie 1

x(t)=.7*cos(t) , y(t)=0.65*sin(t)

Serie 3

-1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

Storrakse

Lille akse b a

F F F 2

1 2

F

1

P

Q

Figur 5

Ellipsens parameterfremstilling:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x t a t ( ) cos( ) ⋅

f t t ( ) , 0 2 = = ≤ ≤

y t b sin t ( ) ( ) ⋅ π

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Formel for ellipsens excentricitet, e:

b^{2}
1 −= e^{2}
a^{2}

Koordinaterne for ellipsens brændpunkter F og F

1 2:

F a e = − ⋅ ( , 0)
 1

F a e =⋅ ( , 0)
 2

Udregning af ellipse Q’s excentricitet og brændpunkter F og F:

1 2

1^{2}

    2
1 0,866025 hvor den negative værdi forkastes da 0 1 − = ⇔ = ± < < e e e
         2

F_{1} = − ⋅ = − ( 2 0,866025, 0) ( 1, 732, 0)
F_{2} = ⋅ = (2 0,866025, 0) (1,732, 0)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x t t ( ) 2 cos( ) ⋅

Q t t ( ) , 0 2 = = ≤ ≤

y t sin t ( ) 1 ( ) ⋅

2 π

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Udregning af ellipse P’s excentricitet og brændpunkter F og F:

1 2

0, 65^{2}

    2
1 0, 371154 hvor den negative værdi forkastes da 0 1 − = ⇔ = ± < < e e e
            2

F_{1} = − ⋅ = ( 0, 7 0, 371154, 0) (0, 2598, 0)
F_{2} = ⋅ = (0, 7 0, 371154, 0) (0, 2598, 0)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x t t ( ) 0, 7 cos( ) ⋅

P t t ( ) , 0 2 = = ≤ ≤

y t sin t ( ) 0, 65 ( ) ⋅

0, 7 π

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Side 27

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

27 af 36

Bilag 2: Cirkel

x(t)=1*(cos(t)) , y(t)=1*sin(t)
y=-0.7936x+1.2766
x(t)=0.2*cos(t) , y(t)=0.2*sin(t)

Serie 1

Serie 2

Serie 3

Serie 6

Serie 7

f(x)=x

-

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2 x y r v

(r cos(φ) , r sin (φ))

F =F

c g φ

Figur 6

Cirklens parameterfremstilling: x t a t ( ) cos( )

f t r t ( ) , 0 2 = = + ≤ ≤ med centrum i C(a,b), radius r og parameteren t.

y t b sin t ( ) ( ) π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ovenstående figur, 8 er enhedscirklen med parameterfremstillingen x t t ( ) 0 cos( )

ft ( ) 1 = = + ⇔

y t sin t ( ) 0 ( ) x t t ( ) cos( )

f t t ( ) , 0 2 = = ≤ ≤

y t t ( ) sin( ) π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Kraftpilene:

Da satellittens bevægelse foregår i to dimensioner, har både accelerationen a og hastigheden, v retning. Den sorte kraftpil angiver størrelse og retning af v og er derfor hastigheden i øjeblikket, da en hastighed i fysisk forståelse har retning og derfor hele tiden ændrer sig grundet retningsskift. v er derfor tangent til cirklen da den variere med vinklen φ som satellittens stedvektor r danner med x-aksen. Farten i den jævne cirkelbevægelse er stadig konstant. Da satellitten udelukkende er påvirket af gravitationskraften F som er tiltrækningskraften rettet mod centrum, kan denne angives som vist g

med den røde kraftpil.^{23}

23

Kilde: Orbit BA, side 295

Side 28

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

28 af 36

Bilag 3: Parabel

f(x)=(2*x)^(1/2)
f(x)=-(2*x)^(1/2)

Serie 1

Serie 2

f(x)=(5*x)^(1/2)
f(x)=-(5*x)^(1/2)

Serie 1

Serie 3

Serie 4

Serie 5

Serie 6

Serie 7

Serie 8

-1 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2 x y

F F m

P

1

P

2

P

3

1

Q

R

Figur 7

Parablens ligning:

( )y px y px y px= ⇔ = ± ⇔ = ±^{1}^{2}, med toppunkt i (0,0)

2

Ledelinien m:

    1
xp=−   er en linie m for de punkter P på det geometriske sted kaldt en parabel har samme afstand

4 til et givent brændpunkt F og en given linie m.

P, P og P opfylder denne betingelse og dvs.:

1 2 3

| | dist( , )P F P m=
  11

| | dist( , )P F P m=
  22

| | dist( , )P F P m=
  33

Koordinatsæt til brændpunkt F:

 1
( , 0)Fp
  4

På ovenstående figur 1 er der givet to eksempler på en parabel.

                              2
Forskriften for den røde parabel, R: y =2x

                             2
Forskriften for den blå parabel, Q: y =5x

Heraf ses, at p har betydning for parablens ”fladtrykthed”.

Side 29

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

29 af 36

Bilag 4: Hyperbel

x(t)=2/cos(t) , y(t)=1.5*tan(t)

Serie 1

Serie 1

Serie 2

Serie 3

x(t)=1/cos(t) , y(t)=2.5*tan(t)

Serie 4

Serie 5

Serie 6

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4 x y

F 1 F

2

P

1

P

2

P

3

Q

P

Figur 8

Hyperblens parameterfremstilling: x t a t ( ) cos

f t t ( ) , = = ∈

y t b t ( ) tan

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Hyperblens ligning:

xy^{22}
ab^{22}

+= 1

På ovenstående figur 10 er der givet to eksempler på en hyperbel.

                                           22
                                          xy
Forskrift/parameterfremstilling for rød hyperbel, Q: + = = = 1 / ( ) Qt
                                           22

x t t ( ) 1 cos

1 2, 5 y t t ( ) 2, 5 tan

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

                                           22
                                          xy
Forskrift/parameterfremstilling for blå hyperbel, P: + = = = 1 / ( ) Pt
                                           22
                                          2 1,5

x t t ( ) 2 cos y t t ( ) 1,5 tan

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Heraf ses, at a har betydning for hyperblens skæring med x-aksen og derfor placering af toppunkt og b har betydning for hyperblens ”fladtrykthed”. Jo større b jo mere ”blød” hyperbelbane. Y-aksen er midtnormal til F F. En midtnormal er en linje, som står vinkelret på et linjestykke i dettes

1 2 midtpunkt.

Punkterne F1 og F2 kaldes hyperblens brændpunkter og på figuren gælder:

|P F | - |P F | = |P F | - |P F | = |P3F | - |P3F |

1 1 1 2 2 2 2 1 1 2

Når F og F er de givne punkter i planen og når forskellen i afstanden betegnes 2a søges de punkter

1 2

P i planen for hvilke |P F | - |P F | = 2a eller |P F | - |P F | = 2a der giver to adskilte kurver der

1 1 1 2 1 2 1 1 tilsammen kaldes parablen.

Side 30

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

30 af 36

Bilag 5: De fire keglesnit

Figur 9: De fire skæringskurver

24

Hvis keglen ses i det todimensionelle plan ”lige fra siden”, og der skæres en plan, der ikke går gennem toppunktet, vil der fremkomme en skæringskurve mellem plan og kegleflade, afhængig af den vinkel, som planen danner med aksen.

På ovenstående figur, 11 ses disse skæringskurver, der hhv. kaldes cirklen, ellipsen, parablen og hyperblen navngivet efter og ”opfundet” af den græske astronom Apollonius (ca. 262 f.v.t. - 190

    25
f.v.t.)

24

Scannet ind fra Mat 3H, side 253

25

Kilde: http://www.matematiksider.dk/ellipser.html og http://da.wikipedia.org/wiki/Apollonius

Side 31

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

31 af 36

Bilag 6: Keplers tre love

Figur 10: Keplers 1. lov

Figur 11: Keplers 2. lov

26

Figur 12: Keplers 3. lovBilag 7: Forsøgsvejledning:

26

Kilde: Scannet ind fra side 153 i Orbit 3

Side 32

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

32 af 36

Bilag 7: Eksperimentel bestemmelse af G

Apparatur der bruges:

Skolens Lay-bold apparat (se figur 3), lineal, stopur, tape til ophængning af papir, papir.

Figur 13: Forsøgsopstilling

Figur 14: De tre stillinger/situationer systemet er i

På grund af G's ringe størrelse er målingen vanskelig, og det var først over et halvt århundrede efter Newtons død, at kemiker Henry Cavendish () eksperimentelt bestemte den præcise værdi af G (). Han brugte et apparat konstrueret af John Mitshel, der reelt blev bygget for at bestemme Jordens vægtfylde, ved at bestemme tiltrækningen mellem de to store og de to små

kugler.^{27}

27

Kilde: Forsøgsvejledning, ”Bestemmelse af gravitationskonstanten”, side 1 + 138midt i ”Solsystemet”

Side 33

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

33 af 36

Den eksperimentelle udførelse

Lay-bold-apparaturet består af to små kugler m

1

, fastmonteret på hver sin ende af en 10 cm lang stav (dens længde er 2d) hvorpå et spejl i midten er monteret, så dette følger

vridningen/svingningen med de to små kuglers bevægelse. Dette er det såkaldte torsionspendul eller

vridningspendul. Når pendulet drejer, vrides en tynd bronzetråd hvorpå spejlet er monteret.

Torsionspendulets drejning i vinklen Θ kan derved beregnes vha. en reflekteret lysplet fra spejlet over på den modstående væg i vinklen 4ꞏΘº (sit. 2). I punktet hvor spejlet er fastgjort, er der fastgjort den nævnte stav med de to store kugler med massen m

2

, der er vandret og drejelig (180º)

(sit. 1), Disse kugler er placeret sådan, at den kraft de påvirker de mindre kugler med, virker i samme omløbsretning på den cirkel torsionspendulet aftegner ved vridning. [28]

Ved forsøgets begyndelse har de to store kugler med massen m været drejet i begyndelsesstillingen

2 helt over til den ene side, så de kommer de små kugler inde i ”svingningshuset” så nær som muligt.

Denne begyndelsesstilling (Sit. 2) er indtaget mindst 12 timer forud for forsøgets begyndelse, så de svingende kugler er faldet helt til ro. Når dette er indtruffet er lyspletten på den modsatte væg også faldet til ro.

Nu drejes de store kugler om til modsatte stilling (slutstillingen, sit. 3) og et stopur startes.

Lyspletten bevæger sig (svinger) som følge af tiltrækningen mellem de store og små kugler. I passende intervaller (15-30 sek) noteres ud fra et ”fikspunkt” på pletten, hvor langt den har flyttet sig indtil man har mindst 1,5 svingninger. Pletten vil svinge frem og tilbage. Når systemet er faldet til ro (vent min. 12 timer) noteres hvor langt pletten har flyttet sig, S. De to store kugler m vejes og

2 afstanden fra spejlet til modstående væg, L måles.

Ved at beregne, svingningstiden, T, måle afstanden a, d, L og S og veje massen af de store kugler m

2 kan G beregnes. Denne formel udledes i det følgende:

28

Jf. den nye forsøgsvejledning side 1-2, hvor m_{1} = tidligere benævnte m og m_{2} = tidligere benævnte M

Side 34

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

34 af 36

Bilag 8: De eksperimentelle data a[m] L [m] d[m] S[m] mellem de to pletter i ro, før og efter forsøg

0,045 | 5,788 | 0,05 | 0,145

Δs [m] kummuleretΔs [cm] kummuleret t[sek.]

0 | 0 | 15 | 15
-0,0025 | -0,25 | 30 | 30
-0,009 | -0,9 | 45 | 45
-0,019 | -1,9 | 60 | 60
-0,0315 | -3,15 | 1,15 | 75
-0,043 | -4,3 | 1,3 | 90
-0,0555 | -5,55 | 1,45 | 105
-0,068 | -6,8 | 2 | 120
-0,08 | -8 | 2,15 | 135
-0,0905 | -9,05 | 2,3 | 150
-0,1 | -10 | 2,45 | 165
-0,1089 | -10,89 | 3 | 180
-0,115 | -11,5 | 3,15 | 195
-0,119 | -11,9 | 3,3 | 210
-0,121 | -12,1 | 3,45 | 225
-0,1225 | -12,25 | 4 | 240

yderstilling plus 15s herfra hele vejen ned

-0,1165 | -11,65 | 4,15 | 270
-0,1079 | -10,79 | 4,45 | 300
-0,09 | -9 | 5,15 | 330
-0,072 | -7,2 | 5,45 | 360
-0,0495 | -4,95 | 6,15 | 390
-0,037 | -3,7 | 6,3 | 405
-0,025 | -2,5 | 6,45 | 420
-0,014 | -1,4 | 7 | 435
-0,0025 | -0,25 | 7,15 | 450

0,0055

0,55 7,3 465

0,015 | 1,5 | 7,45 | 480
0,0285 | 2,85 | 8,15 | 510
0,037 | 3,7 | 8,45 | 540
0,039 | 3,9 | 9,15 | 570
0,0405 | 4,05 | 9,45 | 600

yderstilling

0,0375 | 3,75 | 10,15 | 630

Side 35

[navn fjernet] gymnasium

Lærere: Per Max Askløf & Niels Holm Larsen

Emne: Bevægelse i gravitationsfelter

35 af 36

0,0305 | 3,05 | 10,45 | 660
0,0247 | 2,47 | 11 | 675
0,0185 | 1,85 | 11,15 | 690
0,011 | 1,1 | 11,3 | 705
0,004 | 0,4 | 11,45 | 720
-0,014 | -1,4 | 12,15 | 735
-0,031 | -3,1 | 12,45 | 765
-0,042 | -4,2 | 13 | 780
-0,05 | -5 | 13,15 | 795
-0,0585 | -5,85 | 13,3 | 810
-0,0655 | -6,55 | 13,45 | 825
-0,0789 | -7,89 | 14,15 | 855
-0,088 | -8,8 | 14,45 | 885
-0,093 | -9,3 | 15,15 | 915
-0,0945 | -9,45 | 15,45 | 945

yderstilling

-0,091 | -9,1 | 16,15 | 975
-0,085 | -8,5 | 16,45 | 1005
-0,076 | -7,6 | 17,15 | 1035
-0,0705 | -7,05 | 17,3 | 1050
-0,066 | -6,6 | 17,45 | 1065
-0,0595 | -5,95 | 18 | 1080
-0,054 | -5,4 | 18,15 | 1095
-0,048 | -4,8 | 18,3 | 1110
-0,043 | -4,3 | 18,45 | 1125
-0,033 | -3,3 | 19,15 | 1155
-0,0245 | -2,45 | 19,45 | 1185
-0,019 | -1,9 | 20,15 | 1215
-0,015 | -1,5 | 20,45 | 1245

yderstilling

-0,0155 | -1,55 | 21,15 | 1275
-0,017 | -1,7 | 21,45 | 1305
-0,02 | -2 | 22,15 | 1335
-0,025 | -2,5 | 22,45 | 1365
-0,032 | -3,2 | 23,15 | 1395
-0,04 | -4 | 23,45 | 1425
-0,0495 | -4,95 | 24,15 | 1455
-0,057 | -5,7 | 24,45 | 1485
-0,0645 | -6,45 | 25,15 | 1515
-0,069 | -6,9 | 25,45 | 1545
-0,072 | -7,2 | 26,15 | 1575
-0,074 | -7,4 | 26,45 | 1605