SRP om Raketbevægelser i Fysik A og Matematik A

Side 1

STX 3.g

STX 3.g

Raketbevægelser

3b

Side 2

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Abstract

2

Indhold

Abstract ............................................................................................................................................................. 3 Indledning .......................................................................................................................................................... 4 Raketprincippet .................................................................................................................................................. 5 Rakettens ydeevne ......................................................................................................................................... 5 Raketligningen ................................................................................................................................................... 6 Flertrinsraketter ................................................................................................................................................. 9

Kredsløb/Omløbsbane ..................................................................................................................................... 13

Undvigelseshastighed .................................................................................................................................. 13 Hohmann-bane ............................................................................................................................................ 15 Rejsetid i Hohmann-bane ............................................................................................................................ 16 Ellipse teori .................................................................................................................................................. 17 Med Base på Månen .................................................................................................................................... 19 Vandraketten.................................................................................................................................................... 20 Brændstof ................................................................................................................................................ 21 Resultater ................................................................................................................................................. 21 opgave 1........................................................................................................................................................... 24 Konklusion ...................................................................................................................................................... 34 Bilag ................................................................................................................................................................ 35 Litteraturliste ................................................................................................................................................... 37 Primærlitteratur............................................................................................................................................ 37 Internetlinks ............................................................................................................................................. 37

Side 3

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Abstract

3

Abstract

In the present century rocket science has been a phenomenon much studied. The purpose in this assignment is to analyze some of the main problems in space travels. One of the subjects was to argument on why single stage rocket never has attained orbit. Until now, it has never succeeded any physicist to create such a rocket. Space travels are very advanced and expensive, the main problem is to find the most propellant efficient way to travel. Orbit trajectories seem to be the most efficient way so far. Another good example on how rockets works is the water rocket, and therefore I analyzed its movements and determined the optimal water mass in the rocket.

Through examining material about the physics behind rocket movements and orbits, plus experimenting with water rockets I have achieved knowledge leading me to conclusions.

I figured that single state rockets are impossible to build with our present technology, but I am certain that single stage rocket will be a reality in the future. I discovered that Hohmann-trajectory was the most efficient way to travel without lots of propellant. Apart from that, space travel could be much more efficient by changing launch location to the moon. At last the optimal water mass in the rocket was determined to half of the volume and the obtainable velocity was calculated through the rocket equation.

Side 4

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Indledning

4

Indledning

Raketter er et avanceret og spændende fænomen, det at de rejser i tomheden hvor de normale fysiske love er ophævet er meget specielt. Derudover finder jeg også hvordan de rejser og af hvilke ruter de benytter sig af meget interessant. I denne opgave vil jeg fokusere på fysikken i de forrige omtalte fænomener, derudover vil jeg inddrage matematik til at understøtte mine argumentationer via beregninger. Først vil jeg først kort redegøre for raketprincippet og derefter udligne raketligningen via impulsbevarelse. Senere vil jeg bl.a. inddrage denne ligning til at argumentere for hvorfor kun flertrinsraketter har været brugt til rumrejser. Via Keplers 3.love og ellipse teori, vil jeg forklare om Hohmann-banen og fortælle om en tur til Mars via denne. Derudover vil jeg argumentere for at en opsendelse fra Månen ville være meget mere ressource billig og til sidst regne opgaver med ellipser.

Side 5

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Raketprincippet

5

Raketprincippet

Raketter er ligesom alle andre former for fremdrivningsmidler, de forbruger energi for at producere et skub enten fremad eller bagud. Dette skub fremkommer, fordi den omsatte energi reagerer på en modvirkende masse i overensstemmelse med Newtons 3. Lov; aktion er lig reaktion.

Forskellen ved raketter er, at de selv opbevarer denne modvirkende masse og er derfor uafhængige af omgivelserne. Andre fremdrivningsmidler bruger luft, vand eller vind, som modvirkende masse, hvorimod raketten anvender raketbrændstof. Raketter forbrænder brændstoffet i motoren under højt tryk og skyder ud igennem dysen bag i raketten. Raketten bevæger sig via samme princip, som en oppustet ballon. I den oppustede ballon er der tryk, og slippes ballonen siver luften ud af mundingen som kan sammenligne med rakettens dyse. Aktionen er i dette tilfælde den ud af sivende luft, men da luften samtidigt skubber ligeså meget tilbage vil raketten få en fremad rettet kraft [1]. [2] Rakettens ydeevne

Når man snakker om rakettens ydeevne spiller der flere forskellige parametre ind, de vigtigste er reaktionskraften (thrust) og mass ratio.

Reaktionskraften er den kraft, som forårsager rakettens fremadrettede acceleration og er den mængde af kræft som motoren producerer. Det er reaktionskraftens størrelse som sammen, med massen bestemmer rakettens acceleration. På billedet er vist et forbrændingskammer med dyse. De små pile er lokale kraftvektorer pr. arealenhed, som angiver størrelse af trykket i forbrændingskammeret. Man ser at den totale vektor sum i forbrændingskammeret må være 0 og at ingen acceleration derfor vil forekomme. På grund af hullet i kammeret vil det høje tryk prøve at udligne sig selv ved at undslippe gennem dette og skaber herved acceleration. [3]

Ved brug af en dyse forbedres

1

http://space.au.af.mil/primer/rocket_theory.pdf s1

2

http://www.rumfart.dk/vis.asp?id=155

3

Orbit BA af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben s.482

Side 6

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Raketligningen

6 accelerationen yderligere, hvilket giver den netto-fremadrettede reaktionskraft (ifølge Newtons

3.lov ). Reaktionskraften kan beregnes ved brug af følgende formel [4]:

Hvor er den masse, som udskydes pr. sekund og u er udstødningshastigheden.

En anden vigtig parameter for en rakets ydeevne er mass ratio. Dette er et tal, som fortæller hvor meget brændstof raketten kan bære, udover dens nettovægt. Mængden af brændstof som raketten kan opbevare uden at blive for tung har indflydelse på dens endelige hastighed. Mass ratio er på den måde et udtryk for forholdet mellem rakettens og brændstoffets masse. Jo højere mass ratio er jo mere brændstof vil raketten kunne opbevare udover dens egen vægt. Ved at forhøje rakettens nettovægt, vil mass ratio formindskes og derfor formindske den maksimale hastighed og

rejselængde også^{5}.

Raketligningen

Når raketter rejser i rummet sker det hverken via propeller eller jetmotorer, da disse ikke ville kunne fungere, uden at have et medium at ”sætte af fra”, såsom atmosfærisk luft. Da der ikke eksisterer luft i rummet, har man opfundet en anden måde at rejse på. Det sker via raketmotorer, som virker igennem det fysiske begreb impulsbevarelse. I fysikken defineres impuls ved bevægelsesmængden , som en størrelse i forhold til hastigheden v og massen m af et objekt, såsom en raket i et given inertialsystem. Man kan definere en impuls som en vektor.

Impulsen er derved defineret:

Hvor m er massen i Kg, v er hastigheden i og p impulsen i

Ved impulsændring sker der en ændring af impulsen dp over en tidsperiode dt, dette medfører acceleration og kan ses af følgende ligning.

4

Orbit BA af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben s 481

5

http://space.au.af.mil/primer/rocket_theory.pdf s4

Side 7

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Raketligningen

7

Dette er Newtons 2.lov. , hvor man af omskrivning kan finde et udtryk for

impulsændringen.^{6}

I et system, hvor der er tale om flere genstande med hver deres impuls dvs. vil den samlede impuls være givet ved:

I et isoleret system, hvor der ikke fremkommer nogle ydre kræfter dvs. et inertialsystem vil impulsændringen være lig 0.

Derved gælder det, at den samlede impuls er konstant i et inertialsystem og man siger at impulsen er bevaret.

Vi betragter en raket med begyndelsesmassen og slutmassen . For at holde det enkelt kan man under opsending se bort fra gnidning og tyngde på systemet. Rakettens hastighed betegnes v og

6

2A MEKANIK S 22

Side 8

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Raketligningen

8 raketbrændstoffets mundingshastighed betegnes u og er negativt. Ændringen af raketbrændstofsmassen, som sker da raketten forbruger brændstoffet kaldes dm, og vil være negativt, da det er den masse som bliver forbrugt og derfor forsvinder, dvs. den positive masse som udstødes bagud er – og den forøgede hastighed er .

Når raketten har forbrugt brændstofsmassen dm og forøget hastigheden med dv, gælder det at rakettens impuls er givet ved:

Og impulsen af det udstødte gas er givet ved:

Da der gælder impulsbevarelse adderes de to impulser og dermed opnås et samlet udtryk for rakettens impuls.

Fordi vi snakker om udskudte partikler, som er uendelig små og lette, vil ændringen af massen og hastigheden være uendelig lille og derfor afrundes følgende led:

Ved integration kan man finde et udtryk for v i stedet for ændringen af v, dv. Her integreres med grænserne

Side 9

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Flertrinsraketter

9

Denne ligning kaldes raketligningen og angiver den maksimale hastighedstilvækst en raket kan opnå. Fordi der ses bort fra ydre kræfter, såsom vindmodstand og tyngdekraft, virker denne ligning kun i rummet. Ved raket opsendelser er formålet altid at opnå den størst mulige sluthastighed. Og det ses at sluthastigheden afhænger af gode masseforhold eller høj udstødningshastighed. Den naturlige logaritme funktion vokser relativt langsomt og derfor vil den bedste forbedring af hastigheden klar forekomme ved at forbedre udstødningshastighed.

Flertrinsraketter

Når raketter opsendes forbruges det meste af brændstoffet til opsendelsen, da raketten forbruger mest energi på at komme fri af jordens tyngdefelt. Derfor vil det meste af brændstoffet kort tid efter opsendelsen, allerede være forbrugt. For derfor ikke at skulle fortsætte rejsen med disse tunge brændstofstanke, udkaster man dem når de er forbrugt. Efterhånden som raketten undslipper jordens tyngdekraft, har den ikke brug for de kæmpe raketmotorer og derfor er det klart mest energi- og

Side 10

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Flertrinsraketter

1

0 hastighedsmæssigt en fordel at smide dem. I stedet for at man enkeltvis smider tanke og motorer, er de sammenbygget i et trin og er derfor lette af droppe af [7].

For at en raket kan undslippe jordens tyngdekraft, skal den nå en fart på omkring 11km/s, som er

den såkaldte undvigelseshastighed [8]. For at udnytte jordens rotation mest muligt og for at undgå modarbejdelse af tyngdekraften direkte, opsendes raketter for det meste nær ækvator og drejes

                                     91011
herefter mod øst så snart de har forladt jorden .

Ud fra raketligning (1,1) kan man lave en omskrivning, som beskriver masseproblemet i et-trins-raketten. Af (1,1) får jeg udtrykket for begyndelsesmassen ; forholdet mellem begyndelses- og slutmassen.

Der ses en sammenhæng mellem begyndelses- og slutmassen, som afhænger af den opnåelige hastighed- og udstødningshastighed. Begyndelsesmassen er tydeligvis meget let voksende, da udtrykket står i led med en eksponentielfunktion, hvilke vokser utroligt hurtigt. Det ses, at hvis man prøver at ændre farten v, vil begyndelsesmassen vokse. Ændres der derfor på slutmassen vil begyndelsesmassen vokse endnu mere.

For at tage et eksempel, kunne man forestille sig en totrinsraket og en et-trins-raket der begge skulle

                                         12
på en mission til den internationale rumstation ISS

og aflevere en nyttelast på 10 ton.

Foruden de 10 ton siger vi, at et-trins-rakettens motorer og tanke vejer 5 ton, hvilket vil sige at den

har en slutvægt på 15 ton. For at nå en destination skulle raketten have en fart på 8 km/s med en
udstødningshastighed u=4,5 km/s.

7

http://exploration.grc.nasa.gov/education/rocket/rktstage.html

8

Orbit BA af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben s 444

9

Orbit BA af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben s.482

10

http://www.nasa.gov/worldbook/rocket_worldbook.html

11

http://exploration.grc.nasa.gov/education/rocket/rktstage.html

12

Orbit BA af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben s.489

Side 11

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Flertrinsraketter

1

1

Her kan man bruge formlen (1,2) og finde forholdet mellem start og slutmassen.

Dvs. startmassen skal veje gange så meget som slutmassen. Startmassen ville derfor være, For en totrinsraket ville hvert trin opnå halvdelen af den nødvendige hastighed. Hvis vi siger at 1 trin har en dødvægt på 3 ton som består af motor og tanke vil dette trin skulle bære en dødvægt på samlet 13ton plus det andet trin med brændstof.

Forholdet mellem start og slutmassen beregnes som før:

Dvs. startmassen skulle være 2,43 gange så stor som slutmassen. Det er

Denne vægt er den det første trin skal løfte plus det næste trin. I det næste trin er der 4 tons nytte

(Dette tal er et gæt og baseret på at det første trin i to trins raketten skal løfte den samme masse som et trins raketten og derfor behøver motorer af samme størrelse, men motoren skal kun brænde indtil

en fart på 4,5km/s er opnået og derfor er kravene lidt mindre, hvilket resulterer i et mindre

massebudget for motorer og tanke) og derfor vil dødvægten for det første trin være

Dvs. slutmassen for det første trin er 34,81 ton. Nu kan begyndelsesmassen beregnes da .

Man ser altså, at begyndelsesmassen for flertrinsraketten er mindre end for et-trins-raketten. Denne differenceforskel mellem begyndelses- og slutmassen for de to raketter kan ikke sammenlignes direkte, men forskellen viser at flertrinsraketten har en langt større masse at gøre godt med. Derfor har man en større fejlmargen, når man snakker om massebudgetet for raketten.

Dette er det helt store problem ved et-trins-raketter, nemlig at de meget let bliver alt for tunge til at kunne rejse. Hvis man forestiller sig, at en raket som skal løfte sig fra jorden, skal dens motorer yde en kraft, der gør den i stand til at accelerere med 2g, samtidigt med at det er nødvendigt at komme

Side 12

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Flertrinsraketter

1

2 op på 3g for at raketten kan virke ordentligt. Dette betyder at motorerne skal yde en større kraft

(dvs. raketten bliver tungere) og der skal derfor mere brændstof til. Når der kommer mere brændstof skal motorerne løfte mere igen og man kommer derfor ind i en ond cirkel. Dette problem kunne selvfølgelig løses ved en designe en raket med en kæmpe mass ratio.

Ud fra raket ligningen har jeg udregnet den maksimal opnåelige fart for en flertrins- og et-trins-raket, hvor det tydeligt fremgår at et-trins-raketten ikke kan opnå en nær så høj hastighed som flertrinsraketten. Ved bare at tage et eksempel med en flertrinsraket med 2 trin.

1 trin vejer 1000 ton med 2 trin som dødvægt. 2 trin vejer 100 ton med brændstof og 20 uden.

Ved at se på en et-trins-raket der har samme udstødningshastighed u og en lidt mindre startmasse på

900 ton da den ikke skal bære ekstra tanke og motorer, og slut vægt på 40 ton altså kun 20 ton mere end flertrinsraketten (dette er selvfølgelig overdrivelse af start-slutmassen forholdet), ser man allerede et fald af den opnåelige hastighed.

De to hastigheder er selvfølgelig i et inertialsystem, hvor det mest af energien forbruges lige efter start, men det ses tydeligt at totrinsraketten opnår en meget højere fart end et-trins-raketten, selvom jeg har gjort et-trins-raketten slutmasse urealistisk let.

Grunden til, at der forskes meget i et-trins-raketter er, at de vil være 100 % genbrugelige og sikrere at anvende. Flertrinsraketten er utrolig kompliceret at bygge. Problemet er at fæstne de forskellige trin så godt sammen at de ikke kan adskilles. Derudover er der faren ved flertrinsraketten, som udspringer på det tidspunkt hvor trinnet skal droppes. Hvis man tænder det næste trin for hurtigt, vil det måske få det forrige trin til at eksplodere pga. udstødningsgasserne.

Side 13

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Kredsløb/Omløbsbane

1

3

Kredsløb/Omløbsbane

En omløbsbane eller planetbane er den rute en planet følger rundt om et himmellegeme. Alle de omløbsbaner vi kender til idag følger alle en ellipsebane, nogle mere end andre. Dette skyldes, at alle legemer opfylder gravitationsloven, som siger at:

- Alle legemer tiltrækker/påvirker hinanden med en gravitationskraft, som er proportional

med legemernes masse og omvendt proportional med kvadratet af længden mellem massecentrene på de to legemer.

Denne kraft mellem to legemer med masserne m og M i afstanden r fra hinanden kan beregnes ved denne formel:

Hvor , som kaldes gravitationskonstanten.

13

For at komme i kredsløb om en planet skal et legeme opnå en vis hastighed, og man vil i stedet for at falde ind mod jorden, falde forbi den. [14]

Grunden til at legemet ikke fortsætter ud i rummet, men

                                                        1516
kredser rundt om en given stjerne er, at tyngdekraften er eksisterende.

Det er muligt at komme i kredsløb om jorden i mange forskellige højder, den mest normale afstand kaldes Low Earth Orbit [17]

(LEO)^{18}, som er mellem 160 - 2000 km fra jorden overflade.^{19}

Undvigelseshastighed

Undvigelseshastigheden er defineret, som den fart der skal til, før en raket kan slukke for motorerne og fortsætte ud af rummet, uden at accelerere yderligere. Det kan sammenlignes med den fart en tennisboldt skulle have for, at den efter et kast ikke ville falde tilbage til jordens overflade [20].

13

Orbit BA af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben s 426

14

Orbit BA af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben s 433-434

15

http://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf3-4.html

16

http://www.nasa.gov/audience/forstudents/5-8/features/orbit_feature_5-8.html

17

http://www.nasa.gov/audience/foreducators/k-4/features/LEO_index.html

18

http://en.wikipedia.org/wiki/Low_Earth_orbit

19

Orbit BA af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben s 430

20

http://www.aeronautics.nasa.gov/fap/all_about_flight.html

Side 14

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Kredsløb/Omløbsbane

1

4

Vi ved, at den potentielle energi fra et legeme med massen m, som befinder sig i kredsløb om et andet legeme med massen M og afstanden r er givet ved:

Og af gravitationsloven ved vi så at

Så det sted hvor ’s energi er lig nul ligger uendeligt langt væk. Den mekaniske energi for legemet med massen m og farten v er derved givet ved:

Og af denne sætning ved vi, at hvis energiomsætningen foregår i et givent inertialsystem vil den mekaniske energi være konstant.

Under opsætning vil raketten opnå negativ potentiel energi og positiv kinetisk energi. Der ønskes en fart så legemet lige præcist vil undslippe jordens tyngdefelt, samtidigt med at jordens tyngdefelt udligner rakettens fart og raketten står stille uden for jordens tiltrækningskraft med farten 0.

Uden for tyngdefeltet vil den samlede mekaniske energi være lig 0 og da denne er konstant (da vi befinder os i et givent inertialsystem) vil denne energi være det samme under hele bevægelsen, af det ser vi følgende ligning:

Dette er den såkaldte undvigelseshastighed også kaldet ”escape velocity”. Denne hastighed er farten som er nødvendig fra jordens overflade for at undslippe jordens tyngdefelt. Hvor G er

Side 15

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Kredsløb/Omløbsbane

1

5 gravitationskonstanten, er M planetens masse og R dens radius. Af formlen ses tydeligt at det der bestemmer undvigelseshastighed er forholdet på planeten, da G er konstant.

Hohmann-bane

Walter Hohmann offentliggjorde i 1925 en afhandling om en måde at rejse i rummet, hvor man via 2 planeters baner sparede energi, dog på bekostning af at rejsetiden blev længere. Det går ud på at man ved brug af to impulsive hastighedsændringer (ændringer af reaktionskraften) skifter kredsløbsbane to gange, og derved rejser uden brug af særlig meget energi, men udelukkende via kredsløbsbanerne.

Som det ses på tegningen er Hohmann banen, en bane som præcist tangerer to cirkulerende omløbsbaner, hvilke man kan rejse imellem uden brug af større mængder brændstof. Af tegningen ses to planeter 1 og 3, som er i kredsløb om den samme stjerne i midten. Hohmann-banen fører væk fra omløbsbane 1 og mødes med omløbsbane 3 via en elliptiskbane, med det ene brændpunkt i stjernen. Ved at tilføje i ellipsen perihelium, kan man undvige stjernens tiltrækningskraft og fortsætte ud af en elliptisk bane. Denne bane kan igen undslippes ved at tilføje lige der hvor denne bane tangerer omløbsbane 3, altså i ellipsens aphelium. På den måde har man rejst fra en planet til en anden, kun ved at forbruge brændstof over

         2122
to perioder. Hvis ikke der forekommer en hastighedsændring ved aphelium, vil raketten fortsætte

dette elliptiske kredsløb om planeten. Hohmann-banen kan også anvendes til at rejse fra en større ydrebane til en indre mindre bane, i forrige eksempel vil det så være fra bane 3 til 1. Dette sker ved at man udfører samme impulsive hastighedsændring , bare modsat bevægelsesretningen. [23].

Delta v ( ) betegnes som den hastighedsændring der skal til for at undvige tyngdefeltet fra en

                 2425
planet og skifte bane.

21

http://pwg.gsfc.nasa.gov/stargaze/Smars1.htm

22

http://da.wikipedia.org/wiki/Hohmann-bane

23

http://www-spof.gsfc.nasa.gov/stargaze/Smars3.htm

24

http://en.wikipedia.org/wiki/Delta-v

Side 16

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Kredsløb/Omløbsbane

1

6

Rejsetid i Hohmann-bane

En rejse til Mars ville ske via Hohmann-banen som beskrevet i forrige afsnit. Ved at gå ud fra at Jordens og Mars bane er cirkulære (selvom det ikke helt er tilfældet), kan ejsetiden i Hohmann-banen kunne beregnes tilnærmelsesvis via keplers 3.lov.

Hvor a er lig radius i et cirkulært kredsløb om jorden.

Hvis man bruger enheden år for T og AU (astronomiske enheder) for a vil ligningen blive forenklet til:

Afstanden fra Jorden til Solen = 1 AU^{26}

Ved at gange begge sider med får man et udtryk for afhængig af

Længden fra pehelium til aphelium er lig storaksen, som er lig: som er lig Hohmann-banens storakse dvs.

Hvor er afstanden fra hhv. Jorden til Solen og Mars til Solen beregnet i AU.

Dette er tiden for en hel tur rundt i Hohmann-banen, den brugte tid på at rejse til Mars er derfor lig , som er omkring 8 måneder

25

http://www.braeunig.us/space/orbmech.htm#maneuver afsnit: Orbit Altitude Changes

26

http://neo.jpl.nasa.gov/glossary/au.html

Side 17

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Kredsløb/Omløbsbane

1

7

Hvor rejsen skal begynde kan også udregnes da vi ved at det tager Mars 1.881 år [27] at gennemføre en fuld omløbsbane gælder det at.

Dvs. at når Mars er placeret i en vinkel på fra

Hohmann-banens aphelium skal raketten affyres for at mødes med

Mars samtidigt^{28}.

Ellipse teori

En ellipse kommer af keglesnittet, dvs. en kegle som er skåret igennem af en plan. Den består af to brændpunkter, som er ligesom hvad centrum er for cirklen.

Mere præcist sagt er en ellipse det geometriske sted, hvoraf summen af afstanden mellem de to brændpunkter er konstant k, som er lig storaksen. Et geometrisk sted er en punktmængde, hvor punkterne har en karakteristisk egenskab, i dette tilfælde er det, at de danner en ellipse. Dette kan

også formuleres ved symboler^{29}:

Det linjestykke som går igennem ellipsens brændpunkter og skærer ellipses toppunkter kaldes storaksen og er lig 2a: (1.2)

Forholdet mellem afstanden mellem brændpunkterne og længden af storaksen kaldes excentriciteten e, og bestemmer hvor ”buet” ellipsen er, e’s størrelse er mellem 0 og 1, hvis ellipsen nærmer sig 0 bliver den mere og mere cirkelformet og hvis den nærmere sig 1 bliver den mere flad [30].

Excentriciteten er givet ved formlen:

27

DATABOG side 237

28

http://pwg.gsfc.nasa.gov/stargaze/Smars1.htm

29

MAT 3A s156

30

MAT 3A s 156

Side 18

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Kredsløb/Omløbsbane

1

8 af denne lignings ses også at:

Derudover er ellipsen med centrum i (0,0) og halvakserne a og b angivet ved ligningen:

Ellipsebanen blev beskrevet via Keplers 3. Love, som forklarer planeterne bevægelser i ellipsebaner.

1. Lov.

Ellipseloven, beskriver den måde planeter kredsløber solen i ellipsebaner med solen i det ene brændpunkt, mens det andet brændpunkt står tomt [31].

2. Lov.

Arealloven, beskriver hvordan arealet af en forbindelseslinje mellem solen og planeten altid er lige store i lige store tidsrum. Dvs. at forbindelses linjen overstryger lige så stort areal fra A til B som den gør fra H til I (se tegning). Dette betyder at ved ellipsens aphelium

(der hvor den er tættest på brændpunktet) bevæger omkredsende planeter sig ekstra hurtigt, mens at de ved perihelium (der hvor ellipsen er længst væk fra brændpunktet) bevæger sig langsommere. Dette skyldes solens tiltrækningskraft er langt kraftigere ved ellipsen aphelium end ved dens perihelium, dette er også i god overensstemmelse med gravitationsloven [32].

3. Lov.

Den harmoniske Lov viser at forholdet mellem omløbstiden T af en planet i anden potens og

31

Orbit BA af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben s.450

32

Orbit BA af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben s.450

Side 19

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Kredsløb/Omløbsbane

1

9 halvakserne a i tredje potens er konstant for alle planeter. Dvs. , sagt med andre ord, de er proportionale. I denne formel skal man dog bemærke at hvis T måles i år og a i AU

(atronomiske enheder som er lig med jorden middelafstand fra solen) bliver k=1. Det lykkedes dog

aldrig selv Kepler at finde denne konstant, men dette gjorde Newton som fastlagte at

Dvs. at , hvor M er solens masse.^{33}^{34}^{35}

Med Base på Månen

Med startsted fra månen ville man kunne udføre rejsen med en meget større nyttelast. Man ville herfra kunne tilføje ekstra nyttelast fra Månen, som ellers ikke ville have været muligt at have med fra en opsendelse fra jorden. På Månen er tyndekraften mindre og en raket ville derfor kunne have større nyttelast med end fra jorden. Dog ville det også koste mange penge at få transporteret nyttelasten op til månen først, men det ville gøre det muligt at have mere avanceret udstyr og materialer med på en given mission.

Ved at se på den såkaldte undvigelseshastighed kan man se at forholdet giver gode muligheder for en raketopsendelse fra månen, hvor M er månens masse og R dens radius. For at undvigelses hastigheden er mindst muligt skal dette forhold være mindst muligt, dvs. skal være størst muligt.

Månen har en radius på og massen . Derved kan

                                   36
undvigelseshastigheden for månen beregnes :

33

Orbit BA af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben s.450

34

http://www.rumfart.dk/vis.asp?id=185

35

MAT 3A s 163

36

DATABOG FYSIK KEMI s 236 + 246

Side 20

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Vandraketten

2

0

For at have noget at sammenligne med finder jeg også undvigelseshastigheden for jorden.

Af dette kan man se at jordens tiltrækningskraft er 4,7 gange så kraftigt. Derfor vil raketten kunne nøjes med en 4,7 gange så lille fart for at undslippe tyngdekraften. På den måde ville det være en stor fordel at starte fra månen, da der derfor ville kunne medbringes meget mere nyttelast.

Derudover kunne man også se på tyngdeaccelerationen for de to planeter, den kan beregnes via den før omtalte formel:

Men i denne formel er det igen forholdet som er den dominerende faktor, og det er tydeligt at jordens tyngdeacceleration vil være meget større end månens, da jordens masse og radius forhold er betydeligt større end månens.

En ulempe ved at starte fra månen, ville være at den er i kredsløb om jorden, derfor vil det tidsinterval, hvor månen vil være tættest på en given destination, være mindre end jorden, som er i bane om solen. Så hvor man måske havde et tidsinterval på 12 timer før jorden havde drejet sig for

meget til at det var økonomisk at sende den op, har man måske 1/5 af den tid på månen^{37}.

Vandraketten

En vandraket bevæger sig via de samme fysiske principper, som en rigtig raket gør. Vandet inde i raketten bliver tvunget ud vandrakettens dyse af samme princip, som raketbrændstof der bliver skudt ud af raket dysen. Dette sker på grund af trykforskellen mellem raketten og det atmosfæriske tryk. I dette sammenspil er reaktionsmassen her vandet, som forårsager accelerationen og dermed reaktionskraften. Vindmodstanden vil påvirke raketten i negativ retning, ligesom jorden

37

DATABOG side 246

Side 21

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Vandraketten

2

1 gravitationsfelt også vil, sammen vil disse to kræfter bremse raketten og tvinge den ned mod jorden efter brændstoffet i vandraketten er brugt op.

Brændstof

Brændstoffet i raketten består af to komponenter, vand og luft. Det er vigtigt at forstå at vandet ikke tilføjer noget energi til raketten. Vand er en usammentrykkelig væske og vil derfor ikke blive påført nogen energi af det forhøjede tryk. Det er derfor kun luft, da det er sammentrykkeligt, som lagrer energi og det er derfor luften som alene er energikilden i raketbevægelsen. Dog ville luften ikke kunne forårsage en effektiv acceleration uden vandets masse som reaktionsmasse. Lufts densitet er meget lav og derfor ville dette ifølge newtons 3. Lov ikke skabe en særlig stor reaktion

                      38
og derfor heller ikke aktion.

En korrekt balance af de to brændstofs komponenter er derfor vigtig at fastslå. Hvis vandmassen er for stor i forhold til luften, vil der ikke kunne blive gemt nok energi i luften, og derfor vil der ikke være nok energi i raketten til at tvinge alt vandet ud under tryk. På den anden side, hvis der er for lidt vand i raketten vil der som nævnt før, ikke være nok reaktionsmasse til at give raketten acceleration, og alt vandet vil være brugt op, inden trykket i raketten vil være udlignet. Derfor skal det perfekte forhold mellem vand og luft findes for at raketten er optimeret mest muligt. Dette har jeg undersøgt for s vandraket, som jeg senere vil komme ind på. [39]

Resultater

Via et digitalkamera optog vi forskellige opsendelser med optimal vand og luftmængde. Med disse videooptagelser har jeg analyseret bevægelserne ved brug af programmet tracker. Tracker er dog et program, som ikke regner med variabel masse, men med punktmasse. Man kan udregne kraftreaktionens kraft via følgende formel som er vist tidligere (s5):

Udstødningshastigheden u kan beregnes ved at aflæse på grafen til hvilket tidspunkt alt vandet er brugt op og hvilket højde raketten er i.

38

http://wrockets.trib-design.com/index.php?project=NICK&page=howtheywork

39

http://en.wikipedia.org/wiki/Water_rocket

Side 22

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Vandraketten

2

2

Dvs.

Af bilag 5 kan man se at højden af en raket med 100ml vand. Det ses at der er et knæk efter 0,462 sekunder hvor den har en højde på 7,806 meter.

Udgangshastigheden kan nu beregnes.

Nu kan reaktionskraften udregnes ved:

Af raketligningen som jeg før i opgaven har udledt ved impulsbevarelse kan man beregne hastigheden af raketten.

Resultaterne for alle videofilmene af raketopsendelser er indført i dette skema.

Vandmængde | 75ml | 100ml | 125ml

Tid til at vandet var 0,391 0,462 0,528 forbrugt (sek)

Højde til alt vandet er 5,042 7,806 6,775 forbrugt (m)

Reaktionskraft T (N) | 2,10 | 3,66 | 3,05
Opnåede hastighed | 11,09 | 17,50 | 15,21

(m/s)

Udstødningshastighed | 12,89 | 16,89 | 12,83

u (m/s)

Raketten uden vand vejede 0,055kg, og havde volumen 0,2 l.

Side 23

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Vandraketten

2

3

Man kan her sammenligne værdierne for og u. Forskellen mellem dem viser en sammenhæng mellem vandmængde og trykket inde i raketten. I forsøget, hvor der blev anvendt 125 ml vand vil trykket have været højere end i forsøget med 75 ml, da vi brugte samme målestok for trykket, nemlig 20 pump. Det egentlige tryk i pumpen er derfor ukendt, da pumpen var defekt. At udstødningshastigheden er større end den opnåelige hastighed for raketten med 75 ml vand, kan skyldes at trykket inde i raketten har været mindre, da vandvolumen af vandet også har været mindre. Derfor vil alt vandet ikke være blevet skudt ud før trykket er blevet udlignet. Derimod har det været omvendt i raketten med 125 ml vand, da trykket her har været højere. I denne har vandet være længere tid om at blive skudt ud og har derfor haft længere tid til at accelerere, derfor er den opnåelige hastighed her større end udstødningshastigheden. Ud fra forsøgsresultaterne kan det

fastlås at den optimale vandmængde er 100ml dvs.1/2 delen af rakettens volumen. Den største

usikkerhedsfaktor der har været for vores forsøgsdata er luftmodstanden, da raketligningen tager udgangspunk i et inertialsystem.

Side 24

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: opgave 1

2

4 opgave 1

I denne opgave er der givet en vektorfunktion med definitionsmængden, som udformer en ellipse.

2 tallet foran x(t) og y(t) kaldes vinkelfrekvensen og angiver hastigheden af ellipsens bevægelse. Det fortæller at ellipsen kører to gange rundt, dvs. alt gentager sig. Hvis

dm(f)= ville den kun kører rundt en gang.

Funktionen tegnes ved at skrive (se bilag 6)

1) Beregn halvakser, brændpunkter og excentricitet for den givne ellipse.

• Søger halvakser a og b

Ved at gå ud fra at ellipsen må være symmetrisk omkring origo, kan man finde akserne a og b ved at finde skæringen mellem ellipsen og hhv. x og y-aksen. På

Figur 1: Skitse taget fra min grafregner

Side 25

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: opgave 1

2

5 den måde vil man finde toppunkterne på ellipsen, og derved halvakserne. Dvs.

Finder skæring med y-aksen

Ifølge nulreglen må enten 5 eller være lig 0 for at utrykket kan give 0, og da må

Ifølge enhedscirklen (se bilag) er cosinus nul i , hvor , men pga. af er det kun som bruges.

Dvs.

Nu er tidspunkterne til hvor skærer y-aksen fundet og koordinaterne kan findes.

Dvs. at i skærer y-aksen

Af dette koordinat sæt kan man se at lilleaksen b har længen 4. For at tjekke sætter jeg også den anden t værdi ind for hvor

Side 26

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: opgave 1

2

6

Dvs. at i skærer y-aksen

Disse to koordinatsæt stemmer godt overens da en ellipse er symmetrisk og den derfor skærer y-aksen 2 steder modsat hinanden.

Finder skæring med x-aksen

Igen må enten 4 eller sin(u) være lig 0 ifølge nulreglen og da

.

Ifølge enhedscirklen (se bilag) er sinus lig 0 i, , hvor men pga. af er det kun der anvendes. Egentligt ville også kunne anvendes, men da er giver den samme værdi som er den ubetydelig.

Dvs.

Nu er værdierne for t fundet hvor skærer x-aksen og koordinaterne kan findes.

Side 27

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: opgave 1

2

7

Dvs. at i skærer y-aksen.

For at tjekke regnes der efter med den anden t-værdi.

Dvs. at i skærer y-aksens.

Disse to koordinatsæt for, hvor ellipsen skærer x-aksen, passer også godt overens da ellipsen som sagt er symmetrisk.

Af disse skæringer mellem hhv. x og y-aksen kan jeg se da a og b er lig afstanden fra ellipsens midte til dens toppunkter, som er de punkter jeg lige har fundet.

• Søger brændpunkter og for den givne ellipse.

Det gælder for brændpunkter at summen af afstanden mellem brændpunkterne og til et vilkårligt punkt på ellipsen er lig storaksen som er lig 10. dvs.

(1.1)

Ved at afsætte et punkt på ellipsen toppunkt (der hvor den skærer y-aksen) og projektere punktet ned på storaksen får jeg en linje b som er lig den halve

Side 28

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: opgave 1

2

8 lilleakse, som er en del af en retvinklet trekant. Hvor den ene katete er linjestykket og den anden er lilleaksen hvor afstanden er 4. Og er lig hypotenusen som ifølge (1.2) må være 5, da P er placeret symmetrisk imellem

.

Af Pythagoras læresætning ved jeg at,

Dvs.

• Søger excentricitet e for den givne ellipse.

Excentriciteten angiver forholdet mellem afstanden mellem ellipsen brændpunkter og storaksen 2a. Derved er e givet ved [40]:

Dette passer godt med ellipsens form, da ellipsen ville være meget flad hvis og rundt hvis .

2) Bestem en ligning for ellipsen.

                       41
Ellipsen ligning er givet ved :

40

MAT A side 156

41

MAT A side 161

Side 29

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: opgave 1

2

9

3) Bestem de tidspunkter hvor ellipsens hastighedvektorer og accelerationsvektorer er ortogonale.

For at en to vektorer er ortogonale gælder det at deres skalar produkt giver 0, derfor

gælder følgende^{42}.

Når de to vektorfunktioner er ganget sammen, får jeg et udtryk der skal være lig 0 hvori t indgår. Herefter kan jeg isolere t og finde tidspunkterne, hvor de to vektorer er lig hinanden.

Søger

, består begge af en sammensat funktion af hhv. cosinus og sinus til 2t ganget en konstant faktor.

Den indre funktion er lineær og vil derfor differentieret give dens

                  43
hældningskoefficient a .

Man kan tjekke resultatet ved at differentiere den med lommeregneren, i dette tilfælde bruger jeg Texas Instrument Voyage 200.

42

Matematiske formelsamling STX side 14 (65)

43

MATEMATISK FORMELSAMLING s 24

Side 30

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: opgave 1

3

0

Man differentierer funktionen ved at trykke:

Søger er af samme slags funktion som forrige, derefter vil jeg ikke gentage metoden til at differentiere den på.

Tjekkes på samme måde ved brug af lommeregner, blot ved at differentiere funktionen en ekstra gang.

Søger

Efter jeg nu har differentieret begge vektorfunktioner kan jeg finde deres skalarprodukt ved at prikke dem. To vektorer prikkes på følgende måde [44]:

Ifølge nulreglen må enten

Substituere u = 2t for at gøre det lettere at se hvornår hhv. cosinus og sinus er lig 0.

44

MATEMATISK FORMELSAMLING Side 9

Side 31

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: opgave 1

3

1

Søger værdier for t hvor cos(u) = 0

Ifølge enhedscirklen (se bilag) er cosinus lig 0 i π , hvor men da

Er det kun der kan bruges.

Derved kan t findes.

Søger værdier for t hvor sin(u) = 0

Ifølge enhedscirklen (se bilag) er sinus lig 0 i hvor men da

,er det kun der kan bruges. Men 0 og er det samme sted på enhedscirklen og vil de give den samme værdi.

Derved kan t findes.

Dvs. i følgende t-værdier er hastigheds- og accelerationsvektoren ortogonale.

De koordinat sæt hvor de to vektorer er ortogonale er:

Hvilke er udregnet i første opgave.

Side 32

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: opgave 1

3

2

4) Bestem de værdier for t (tidspunkter) hvor hastighedsvektoren, er ensrettet med vektoren .

For at to vektorer er parallelle skal vektor parrets determinant være lig 0. [45] Det vil sige at, findes resultaterne for t:

Nu kan hastighedsvektoren findes:

Det giver også god mening af de to vektorer er ens, da de sidder det samme sted på ellipsen, blot til to forskellige tidspunkter.

Nu kan det tjekkes om denne vektor er ensrettet og ikke bare parallel med er ensrettet med hvis. giver .

45

MATEMATISK FORMELSAMLING side 10

Side 33

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: opgave 1

3

3

Dvs. de er ensrettede.

Ved at indsætte de brugte t-værdier i den oprindelige funktion finder man koordinatsættende til hver af hastighedsvektorene.

Dvs. i ( sidder hastighedsvektoren.

Dvs. i ( sidder hastighedsvektoren

Og at de sidder det samme sted, bare til to forskellige tidspunkter i den ellipseformede bane er jo logisk, da bevægelsen har gentaget sig selv. Man kunne sammenligne denne hastighedsvektor med en rakets hastighedsvektor i omløb om en planet. Hvis den bare lod sig omløbe omkring en planet, uden at tænde motorerne ville dens fart heller ikke ændre sig efter en omgang om planeten. Derfor ville dens hastighedsvektor være den samme på begge tidspunkter.

Side 34

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Konklusion

3

4

Konklusion

I opgaven er der blevet gjort rede for raketprincippet ud fra newtons 3.lov, samt argumenteret for hvorfor kun flertrinsraketter har opnået kredsløb om Jorden. På trods af et-trins-raketter ikke kan overholde et acceptabelt massebudget pga. ekstra dødvægt af brændstofstanke, har det hidtil ikke være muligt med nutiden teknologi at sende en i kredsløb. Dog kunne det fastslås at ved en forøget mass ratio eller udgangshastighed u ville et-trinsraketter kunne blive en realitet. Flertrinsraketten har indtil nu været brugt, da kan opnå hastigheder som et-trins-raketten ikke kan. Derudover er raketligningen blevet udledt ud fra impulsbevarelse, og anvendt til at argumentere for hvorfor kun flertrins-raketter har opnået kredsløb fra jorden. Det fremgik ud fra raketligningen af denne tog udgangspunkt i farten af et legeme med variabel masse. Via programmet Tracker er videosekvenser fra forsøget med vandraketten, blevet analyseret og rakettens bane klargjort grafisk. Ved brug af Tracker er den optimale vandmængde i raketten blevet klargjort til 100 ml. Derudover er en rumrejse til Mars blevet beskrevet ved brug af Hohmann-banen og Keplser 3. Lov. Samt teori om ellipser. Det kan desuden konkluderes at et andet startsted såsom fra Månen, ville kunne anvendes med stor fordel, da Månens masse og radius forhold giver betingelser for en lav tyngdekraft og dermed undvigelseshastighed. Tilslut blev der regnet opgaver med ellipser, som med en klar rød tråd kan forbindes med moderne rumfart.

Side 35

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Bilag

3

5

Bilag

1.

2

.

3.

Side 36

Raketbevægelser
[navn fjernet] 3b FYMA
5.
masse F
Plots
(t, y)
y
14 12 10 8 6 4 2
0 0,5 1,0 1,5 2,0
t
masse F
Data
t | x | y
0 | 5,776 | 1,317
0,066 | 5,728 | 1,51
0,132 | 5,704 | 2,211
0,198 | 5,583 | 3,057
0,264 | 5,39 | 4,169
0,33 | 5,341 | 5,305
0,396 | 5,196 | 6,417
0,462 | 5,003 | 7,806
0,528 | 4,93 | 8,181
0,594 | 4,834 | 8,979
0,66 | 4,689 | 9,776
0,726 | 4,471 | 10,356
0,792 | 4,374 | 10,96
0,858 | 4,157 | 11,758
0,924 | 4,084 | 12,024
0,99 | 3,891 | 12,386
1,056 | 3,746 | 12,749
[Næste datarække er afklippet i originalens skærmbillede.]
F1 F2 Algebra F3 Calc F4 Other F5 PrgmIO F6 Clean Up
6.
DrawParm 5·cos(2·t),4·sin(2·t),0,π,.05
Done
MAIN
RAD AUTO
FUNC 1/30
Kapitel: Bilag
36
18.12.08

Side 37

Raketbevægelser

[navn fjernet] 3b FYMA

18.12.08

Kapitel: Litteraturliste

3

7

Litteraturliste

Primærlitteratur

Brydensholt Morten, Gjøe Tommy, Jessen Claus, Keller Ole, Møller Jan og Vaaben Jens: Orbit BA:

SYSTIME: 2007; side:425-427 + 430+433-434+440-446+449-353+480-482+488-489

Staffansson Eve, Andersson Bengt og Johansson Karl Erik; Fysik i grundtræk 1A mekanik;

Munksgaard:1972; side: 31

Staffansson Eve, Andersson Bengt og Johansson Karl Erik; Fysik i grundtræk 2A mekanik;

Munksgaard; 1973; side: 22+56-27

Andersen Strandgaard Erik, Jespersgaard Pauul, Østergaard Grønbæk Ove: Databog fysik kemi: F og K forlaget

Carstensen Jens, Frandsen Jesper: MAT 3A:SYSTIME:1999; side:76+151-156+159-165

Dejgaard Jørgen, Schomacker Gert: MATEMATIKFORENINGEN:2007; side: 9-10+14+24

Internetlinks

De mest anvendte links er:

http://www.nasa.gov/

http://www.wikipedia.org/ - her har jeg dog være kildekritisk, da alle kan skrive disse artikler, dog

er der fagfolk der løbene tjekker artiklerne.

www.rummet.dk