SRP: Aerodynamik og komplekse tal

Side 1

Aerodynamik

Studieretningsprojekt

STX 3.g

Side 2

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

1

Indholdsfortegnelse

Abstract ............................................................................................................................................2 Indledning .........................................................................................................................................2 Fysiske principper for flyvning ..................................................................................................3 Kræfter på et fly ........................................................................................................................3 Opdrift ...........................................................................................................................................4 Vingens grænselag ....................................................................................................................8 Joukowski transformationen ................................................................................................... 11 De komplekse tals legeme ..................................................................................................... 12 Fra det komplekse plan til det komplekse plan .............................................................. 14 Joukowski transformationen til en vingeprofil ............................................................. 17 Opdrifts- og modstands koefficienten ................................................................................... 20 Beregning af opdrift ............................................................................................................... 23 Konklusion ..................................................................................................................................... 24 Bilag ................................................................................................................................................ 25 Bilag A: Bernoullis princip fra Newtons 2. lov ............................................................... 25 Bilag B: Bevis for den kommutative, associative og distributive lov .......................... 26 Bilag C: Konstruktion af vingeprofil ................................................................................. 28 Bilag D: Forsøg i Vindtunnel ................................................................................................. 30 Bilag E: Målinger fra vindtunnel ........................................................................................ 32 Bilag F: Modstand og opdrift som funktion af hastighed ............................................. 34 Bilag G: Opdrifts-koefficienten, modstands-koefficienten og forholdet mellem disse, som funktion af indfaldsvinklen .............................................................................. 35 Litteraturliste ............................................................................................................................. 36

Side 3

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

2

Abstract

When the Wright brothers flew the first airplane in 1903, no one could have foreseen that the airplane would become as important to the world as it is today. This paper examines which laws of physics that allow us to fly, and how research about the effectiveness of an airplane wing was done in the early days of airplanes, by using the Joukowski-transform, when the computer had yet to be invented. Through an analysis of streamlines around an airfoil, it can be seen that the velocity on the upper side of the wing is significantly higher than the velocity on the bottom side.

This leads to a difference in pressure and therefore a lift on the airplane. The Joukowski-transform is explained mathematically, starting with an introduction to the complex numbers. From the Joukowski-transform, an airfoil is constructed and an experiment has been done in a wind tunnel to examine the lift and drag on an airfoil and compare them with expected results. The research proves that the lift is proportional to the second power of the velocity. The critical angle of attack was not reached in the experiment, due to the restrictions on a maximum angle of thirty degrees in the wind tunnel.

Indledning

Lige siden brødrene Wright i december 1903 fløj det første fly som var tungere end luften, har flyvningen og dens egenskaber haft en stor interesse for menneskeheden. Mange ingeniører, fysikere og matematikere har været en del af flyverens udvikling, og spoler man tiden 111 år frem fra Wright brødrenes første flyvning som varede fire sekunder er der sket en kæmpe udvikling. [1]

Flyet er blevet til en af de

hurtigste og sikreste former for transportmiddel der findes, og hver dag^{2. flyvemaskine.}
letter og lander op imod 100.000 fly.^{2}

Men hvordan er vi nået så langt? Hvordan kunne man, før computerens tid, undersøge effektiviteten af flyvinger? Og hvad er grunden til, at flyvning kan lade sig gøre? Hvilke fysiske og aerodynamiske principper gør, at vi kan lette fra jordens overflade i en maskine?

Disse spørgsmål vil jeg besvare i denne opgave.

1

http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./Luftfart/Luftfartens_historie/Wilbur_Wright

2

”Travel and media; 100.00 flights a day.” – Gunnar Garfors

Figur 1: Brødrene Wright i 1904 med deres

Figur 2: Brødrende Wright i 1904 med deres 2. flyvemaskine

Figur 3: Brødrende Wright i 1904 med deres 2. flyvemaskine

Figur 4: Brødrende Wright i 1904 med deres 2. flyvemaskine

Side 4

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

3

Fysiske principper for flyvning

I dette afsnit vil jeg undersøge hvilke fysiske love der ligger bag at et fly kan holde sig i luften, samt hvordan forskellige variable afgør et flys evne til at holde sig i luften.

Kræfter på et fly

Når et fly er i luften er det påvirket af tre kræfter.

Tyngdekraften (𝐹_{𝑡} =𝑚∗ 𝑔) som afhænger af massen på det

pågældende fly, fremdriften (𝐹 ) som er den
                         𝑓𝑟𝑒𝑚

fremadrettede kraft udøvet af flyets motor og luftkraften

(𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡}) som er luftens kraftpåvirkning på flyet. Tyngdekraftens

retning vil altid gå lodret ned mod jorden, fremdriftens retning vil gå horisontalt fremad og luftkraftens retning vil gå skråt bagud ved vandret flyvning.

Luftkraftens vektor opdeles ofte i en vandret komposant og en lodret komposant. Den vandrette

komposant kaldes luftmodstanden (𝐹_{𝑙𝑢𝑓𝑡,𝑥} =𝐹_{𝐷}) og er modsatrettet fremdriften, mens den

                                                                      3
lodrette komposant kaldes opdriften (𝐹 =𝐹 ) og er modsatrettet tyngdekraften.
                                𝑙𝑢𝑓𝑡,𝑦  𝐿

Ifølge Newtons 1. lov kræver det, at for at et fly i bevægelse flyver vandret med konstant fart, skal luftmodstanden og motorkraften udligne hinanden langs den horisontale akse, og opdriften og tyngdekraften skal udligne hinanden langs den vertikale akse.

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =( | 𝐹_{𝐷} | − |𝐹_{𝑓𝑟𝑒𝑚} |) + (| 𝐹_{𝐿} | − | 𝐹_{𝑡} |) =0

For at et fly kan lette og accelerere skal størrelsen af fremdriften overgå luftmodstanden og størrelsen af opdriften overgå tyngdekraften.

𝐹_{𝑓𝑟𝑒𝑚} >𝐹_{𝐷}, 𝐹_{𝐿} >𝐹_{𝑡}

Da tyngdekraften og fremdriften er givet ud fra henholdsvis flyets masse og flyets motor er der en interesse i at fremstille fly med en evne til at udøve en høj opdrift og en lav modstand.

3

”Aerodynamik” – Karl Erik Widell - side 37

Figur 2: Skitse af kræfter på et fly

Figur 5: Skitse af kræfter på et fly

Figur 6: Skitse af kræfter på et fly

Figur 7: Skitse af kræfter på et fly

Side 5

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

4

Opdrift

Opdriften på et fly sker hovedsageligt på flyets vinger. De vigtigste begreber når det kommer til en vinges struktur er gennemgået herunder.

• Forkanten er det forreste punkt på vingen

• Bagkanten er det bagerste punkt på vingen, som ofte ender ud i en spids.

• Kordelinjen er den rette linje fra flyets forkant til flyets bagkant.

• Camberlinjen er linjen igennem vingeprofilen der konstant holder en lige stor afstand til flyets underside og overside. Den største distance mellem camberlinjen og kordelinjen angiver hvor meget vingen krummer. Dette kan angives som en distance, men angives dog oftest som en procentdel af længden af kordelinjen. Ligger camberlinjen over kordelinjen, siges vingen at have positiv krumning hvorimod hvis camberlinjen ligger under kordelinjen, siges den at have en negativ krumning. Ligger camberlinjen på kordelinjen, er vingen

symmetrisk.^{4}

Når man arbejder med flyvinger er indfaldsvinklen også et vigtigt begreb. Indfaldsvinkel angiver størrelsen på vinklen mellem den position kordelinjen er i når der ikke genereres nogen opdrift og kordelinjens aktuelle position. [5] Som der diskuteres senere i opgaven, er indfaldsvinklen afgørende for opdriften.

For at forstå opdriften på en vingeprofil er det relevant at undersøge strømningslinjer for luft omkring en vingeprofil. På Figur 4 ses strømningen af luft omkring en vingeprofil med en positiv indfaldsvinkel. [6] Det er her en vigtig pointe at luftpartiklerne i strømningslinjerne ikke kan gå fra én strømningslinje til en anden strømningslinje. Hvis dette kunne ske ville det kunne ses på strømningslinjerne da de skiftende luftpartikler ville føre røgen med sig.

4

”Aerodynamik” Karl Erik Widell - side 20, ”Matematik i virkeligheden” – A. Baktoft - side 137

5

Indfaldsvinklen bruges ofte som vinklen mellem flyveretningen og kordelinjens position. I denne opgave vil jeg dog benytte mig af vinklen mellem positionen ved ingen opdrift og den aktuelle position.

6

I luften der kan ses på figuren er der blevet indskudt røg, for at give synlige strømningslinjer. Der er altså luft både foran og bag ved strømningslinjerne. Luften bevæger sig fra venstre mod højre. Billedserien udgør en tidslinje på få millisekunder.

Figur 3: De vigtigske begreber for flyvingens struktur illustreret på et tværsnit af en vinge.

Figuren er hentet fra:

http://www.esru.strath.ac.uk/EandE/Web_sit
es/11-12/MORE/hydrofoil/introduction.html

Figur 8: De vigtigske begreber for flyvingens struktur illustreret på et tværsnit af en vinge.

Figur 9: De vigtigske begreber for flyvingens struktur illustreret på et tværsnit af en vinge.

Figur 10: De vigtigske begreber for flyvingens struktur illustreret på et tværsnit af en vinge.

Side 6

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

5

På billederne kan der ses flere essentielle processer for opdriften på et fly. Først og fremmest kan det ses, at alle strømningslinjer bevæger sig med samme hastighed før de kommer i nærheden af vingeprofilen (billede 1). Når luften rammer vingen, vil strømningslinjerne dele sig over og under vingen omkring det forreste stagnationspunkt. [7] Det kan også ses at strømningslinjerne over vingeprofilen mases sammen, mens de derimod spredes ud på undersiden (billede 2). Mens luften passerer vingeprofilen kan det ses, at luften på oversiden bevæger sig hurtigere end undersiden.

Strømningslinjerne tættere på vingeprofilens overflade er også langsommere end strømningslinjer med større afstand til overfladen (billede 3). Lige før luften forlader vingeprofilen ses det, at luftstrømmene langs overfladen har bevæget sig betydeligt hurtigere end strømmene på undersiden. Ud over dette ses det også at strømmene har en svagt nedadrettet retning når de har forladt vingens overflade. Strømningen forlader vingeprofilen ved bagenden.

For at forklare hvordan hastighedsforskellen langs over- og

undersiden har relevans for opdriften, tages der https://www.youtube.com/watch?v=6UlsArvbTeo

udgangspunkt i loven om energibevarelse. Der kan hverken forsvinde eller opstå energi i et lukket energisystem. Langs en strømningslinje vil der være bevaret en konstant mængde energi. Denne energi består af tre bestanddele. Den kinetiske energi, den potentielle energi og den statiske energi. Summen af disse tre energiformer vil være konstant.

Dette betyder dog ikke at energien ikke kan gå fra den ene form til den anden. Tværtimod er netop denne overgang essentiel for opdriften.

7

Når der arbejdes med strømning omkring en vingeprofil vil det forreste stagnationspunkt angive punktet på vingen som er skillelinje mellem strømningslinjerne der bevæger sig over og under vingeprofilen. Det bagerste stagnationspunkt (også kaldet separationspunktet) vil angive strømningslinjen hvor luften skilles fra profilen igen.

Figur 4: Luftens strømningslinjer over en vingeprofil.

Billederne er klippet ud fra nedenstående video:

Side 7

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

6

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} + 𝐸_{𝑝𝑜𝑡} + 𝐸_{𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑘} = ∗ 𝑚_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ∗ 𝑣^{2} + 𝑚_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ∗ 𝑔 ∗ℎ + 𝐸_{𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑘} =𝐸_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

1

2

Da vi arbejder med mængder luft er vi interesseret i et undersøge mængden af energi per volumen. Dette giver at:

𝑣^{2} 𝐸_{𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑘}

2 𝑉

∗ 𝜌_{𝑙𝑢𝑓𝑡} + 𝜌_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ∗ 𝑔∗ ℎ+ =𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Når vi arbejder inden for aerodynamikken og flyvinger ses der oftest bort fra den potentielle energi. Da både højdeforskellen mellem under- og oversiden af vingen samt luftens densitet er lille vil ændringer i den potentielle energi være ubetydelige for det samlede energiregnestykke og ovenstående ligning skrives ofte som:

1

2

∗ 𝜌_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ∗ 𝑣^{2} + 𝑝_{𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑘} =𝑝_{𝑑𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑠𝑘} + 𝑝_{𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑘} =𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Ovenstående formel kendes som Bernoullis princip. [8]

Bernoullis princip er opkaldt efter den hollandske matematiker Daniel Bernoulli (8. februar 1700 – 17. marts 1782). [9] Formlen er relevant for aerodynamikken idet den siger at luftens tryk vil være:

𝑝_{𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑘} =𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡− 𝑝_{𝑑𝑦𝑛𝑎𝑚𝑖𝑠𝑘} =𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡− ∗ 𝜌_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ∗ 𝑣^{2}

1

2

Når hastigheden stiger vil det statiske tryk falde, hvorimod hvis hastigheden falder vil det statiske tryk stige. [10] Fra figur 4 konkluderede vi, at hastigheden over vingen var hurtigere end hastigheden under vingen. Bernoullis princip fortæller os, at der dermed må være et lavere tryk på oversiden end på undersiden hvilket vil føre til en opadrettet kraft.

For denne forklaring på opdrift er der dog lavet nogen antagelser som ikke altid vil gælde i den

             11
virkelige verden.

• Luften er inkompressibel. Dette vil sige at densiteten af luften ikke ændres langs en

                                                      90𝑚
strømningslinje selv hvis trykket ændres. Ved lave hastigheder (< ) vil luftens
                                                       𝑠

                           12
kompressibilitet være ubetydelig.

8

Bernoulli’s princip kan også udledes direkte fra Newtons 2. lov. Se bilag A.

9

”Daniel Bernoulli” – Famous Scientists

10

”Aerodynamik” – Karl Erik Widell - side 10

11

“Bernoulli’s equation” - NASA

12

”The Lift Coefficient” - NASA

Side 8

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

7

• Der er ingen viskositet i luften. Dette vil sige at der hverken vil være indre friktion eller friktion mellem luft og vinge, og der vil dermed ikke blive udført noget arbejde af friktion.

Denne antagelse er især ikke gyldig, grundet vingeprofilens grænselag, som diskuteres i et

           13
senere afsnit.

Man kunne umiddelbart tro, at da trykket er lavere langs oversiden af vingen, vil luftstrømmen langs undersiden af vingen bevæge sig op i lavtryksområdet på oversiden af vingen når det når til vingens bagkant. Men hvis dette skete ville trykket udlignes på begge sider af vingeprofilen og der ville dermed ikke være nogen opdrift.

Dette sker dog ikke, og dette faktum kaldes Kutta-betingelse. Kutta-betingelsen siger at luften ikke drejer om skarpe kanter, og vinden langs oversiden dermed vil fortsætte indtil det bagerste stagnationspunkt på vingens bagkant.

Strømning omkring en vingeprofil kan opdeles i to teoretiske former for strømning. Den uniforme strømning

og cirkulære strømning. Den uniforme strømning kan_{Gentry}

beskrives som strømningen omkring en vingeprofil når der ikke produceres noget løft.

Strømningen flyder med samme hastighed og tryk på begge sider af profilen. Det skal her noteres at Kutta-betingelsen også i dette tilfælde er opfyldt.

Den anden form for strømning er cirkulationen. Cirkulationen kan beskrives som en cirkulation der går med uret omkring vingen. [14]

Cirkulationen er et udtryk for den samlede difference, for en lukket kurve omkring vingeprofilen, mellem den aktuelle vindhastighed og den uniforme strømnings hastighed. Ved enhver indfaldsvinkel vil cirkulationen, opnå en værdi, som således sikrer at Kutta-betingelsen er opfyldt. Matematisk er cirkulationen defineret som summen af hastighedsvektorerne på en lukket strækning omkring vingeprofilen. [15]

13

”Grænselag og viskositet”

14

Det er her vigtigt at pointere at vinden, rent fysisk, ikke cirkulerer omkring vingen.

15

”Matematik i virkeligheden” – A. Baktoft - side 142

Figur 5: Uniform strømningen omkring en tynd vingeprofil. Denne skitse er dog unaturlig da

Kutta-betingelsen ikke er opfyldt. Der ville ikke være nogen opdrift på denne vingeprofil.

Figur 6: Naturlig strømning hvor Kutta-betingelsen er opfyldt. Denne figur og figur 7 er taget fra artiklen ”The Origin of Lift” af Arvel

Side 9

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

8

Γ=∑𝑣⃗∗ 𝑑𝑠⃗

𝐾

Bliver distancerne små nok bliver summen til et lukket kurveintegral:

Γ=∮ 𝑣⃗∗ 𝑑𝑠⃗

𝐾

En interessant egenskab ved cirkulationen er, at den ikke kun foregår tæt ved vingens overflade.

På figur 4 ses det at hastighedsforskellen forsætter selv i større distancer fra overfladen.

Cirkulationseffekten vil dog stadig aftage som funktion af distancen.

En populær forklaring på opdrift er, at da der er en længere distance langs oversiden end undersiden af vingen, skal luften bevæge sig en længere distance på kortere tid, for at luftstrømmene kan mødes samtidig ved bagkanten af vingen. Dermed må hastigheden være højere på oversiden end på undersiden og ifølge Bernoullis princip vil der produceres opdrift. [16] Det kan dog tydeligt ses på Figur 4 at luftstrømmene ikke mødes ved flyets bagkant men luftstrømmene over vingen har bevæget sig betydeligt hurtigere, trods den længere distance. Der er desuden ingen fysisk lov der siger at strømningslinjer skal møde igen.

Vingens grænselag

Mellem vingen og luftstrømningerne vil der være en friktionskraft. Denne gnidningskraft forekommer tæt inde langs vingens overflade i det såkaldte grænselag. Der vil her være en lavere hastighed end strømmen længere fra vingens overflade, da friktionen er modsatrettet bevægelsesretningen. Ifølge den såkaldte ”no-slip condition” vil der, hvis man går helt ind til overfladen, slet ikke være nogen hastighed [17].

At hastigheden bliver lavere i grænselaget skyldes luftens viskositet. Viskositet angiver en gas eller væskes tilbøjelighed til at hæfte sig til overflader. Luft har en meget lav viskositet i forhold til f.eks.

vand, men det at luften har en viskositet, har stadig en stor betydning for både opdrift og modstand. Tykkelsen på grænselaget siges at være fra overfladen og ud til den afstand hvor

16

” Fluid Dynamics and Statics and Bernoulli's Equation” – Yale Courses

17

“Fluid Mechanics” – Frank M. White – No-slip condition

Side 10

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

9 hastigheden er 0,99 gange den frie strømningshastighed.

For et typisk fly kan modstanden i grænselaget udgøre op til

50 procent af den samlede modstand.^{18}

Når der arbejdes med grænselaget er to vigtige begreber, turbulent og laminar strømning. Laminar strømning er karakteriseret ved en stabil strømning der viser sig som rette og organiserede strømlinjer uden dannelse af strømningsudsving. [19] Et eksempel på laminar strømning kan

ses på Figur 4 hvor strømningslinjerne lægger sig^{aminar+flow}

organiseret ovenpå hinanden. Denne form for strømning opstår generelt ved lavere hastigheder og i væsker og gasser med en høj viskositet. Hastighed og tryk ændres gradvist og roligt ved den laminare strømning.

Ved højere hastigheder og lavere viskositet vil en væske eller gas dog ofte slå over i turbulent strømning. Modsat den laminare strømning er den turbulente strømning karakteriseret ved kaotisk og ustruktureret strømning. Hastighed og tryk ændres drastisk og uforudsigeligt i tid og sted, og det kan være svært at lave matematiske beregninger på denne form for strømning.

Reynolds tallet anvendes til at vurdere om der vil være en overgang fra laminar til turbulent strømning på en overflade:

𝑅𝑒= =

𝜌 ∗𝑉∗ 𝑙 𝑉∗ 𝑙 η 𝑣

Her angives Reynoldstallet ved længden af legemet 𝑙 (når der arbejdes med vingeprofiler vil denne længde angive længde af kordelinjen), den kinematiske viskositet [20] og hastigheden 𝑉 (stort v da

der skelnes mellem hastighed og viskositet). Ved højere Reynolds tal vil væsken/gassen have en

større tilbøjelighed til at slå om til turbulent strømning fra laminar strømning. Reynolds tallet kan benyttes til at beskrive de generelle forhold i grænselaget, men kan dog ikke alene bestemme om

18

”Turbulence: When Is the Reynolds Number High Enough?” - A. J. Hultmark

19

”Laminar flow” - Frank M. White

20

                                 η
Den kinematiske viskositet angiver 𝑣= hvor η er den dynamiske viskosistet og 𝜌 er densiteten.
                                 ρ

Figur 7: Skitse af den laminare strømning samt den turbulente strømning. Figuren er hentet fra:

http://glossary.periodni.com/glossary.php?en=l

Side 11

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

10 en strømning er laminar eller turbulent. Strømningen i grænselaget kan blive turbulent af andre årsager, heriblandt ujævn overflade og turbulens i den indkommende strømning. [21]

Den turbulente strømning vil producere langt mere friktion i grænselaget, end den laminare strømning. Friktionen er generelt proportional med hvor hurtigt hastigheden vokser fra overfladen. Da det turbulente grænselag er tykkere end det laminare vil friktionen således være

                              22
større når grænselaget er turbulent.

Som det kan ses fra Reynolds tallet afhænger

                               23
strømningens tilstand, ligesom trykket , af

hastigheden. Trykket, og dermed hastigheden, ændres dog også ned langs flyets overlade. I det forreste stagnationspunkt på vingen er luften bremset helt op og det dynamiske tryk vil være nul.

Hastigheden stiger dog hurtigt langs oversiden og bliver maksimal omkring vingens største tykkelse.

Derfra aftager hastigheden igen og trykket stiger.

Strømningen vil hurtigt blive ustabil. Dette sker ved det såkaldte indifferenspunkt. Kort efter indifferenspunktet vil strømningen blive turbulent ved omslagspunktet (Figur 8).

Når trykket stiger på den bagerste del af vingen vil den, i forvejen langsomme, luft i den inderste del af grænselaget ikke kunne modstå det højere tryk og vil derfor gå i stå. Grænselaget vil blive tykkere grundet den lave hastighed og hvis trykstigningen bliver stor nok, vil luften i grænselaget begynde at løbe baglæns. Dette vil skabe et separationspunkt, der ikke længere ligger tangent til vingens bagkant, men nu befinder sig oppe langs vingens overside. Når separationspunktet ligger ved vingens bagkant er trykket ved det forreste stagnationspunkt og separationspunktet lige store.

Når separationspunktet ikke ligger langs bagkanten, vil der dannes et lavtryksområde i separationspunktets kølvand som medfører at der opstår en trykforskel mellem forkant og bagkant. Der vil på grund af denne trykforskel opstå en modstand. Modstanden der dannes kaldes

21

”Aerodynamik” – Karl Erik Widell - side 16

22

”Aerodynamik” – Karl Erik Widell - side 13

23

Her refereres til Bernoullis princip.

Figur 8: Ændringen af tryk langs undersiden og oversiden samt illustration af strømningen langs vingens overside.

Fra ”Aerodynamik” –Karl Erik Widell. Afløsningspunktet svarer til hvad der i teksten beskrives som separationspunktet.

Side 12

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

11 formmodstand. [24] Selvom den turbulente strømning er skyld i en større friktionskraft vil den også være til nytte. [25] Den turbulente strømning er mere modstandsdygtig mod trykpresset, da der hele tiden vil være en strømning af nye luftpartikler til grænselaget fra den frie strømning, og hastigheden dermed opretholdes. Det kræver altså et større tryk at skabe formmodstand når strømningen i grænselaget er turbulent.

Når en vinge når en vis indfaldsvinkel vil separationspunktet nå så langt op langs vingens overside, at opdriften vil begynde at falde drastisk og modstanden vil stige ligeså drastisk. Dette kaldes et stall. Stallingspunktet vil være unikt for alle fly og afhænger hovedsageligt af indfaldsvinklen.

Joukowski transformationen

I dag kan man ved hjælp af computere lave komplicerede simulationer af fly-vinger. Før computerens tid var muligheden for at teste vinger dog mindre end den er i dag. Til de første test af flyvinger, måtte man fremstille dem i fuld størrelse, og derefter teste dem i en vindtunnel. Dette var dog ikke en særlig effektiv måde at undersøge flyvinger på da det både var omkostningsfuldt og besværligt.

Et gennembrud kom, da en af de helt store pionerer inden for aerodynamikken, russeren Nikolay Yegorovich Joukowski (17. januar 1847 – 17. marts 1921), som var fysiker og matematiker og specialiserede sig særligt inden for aero- og hydrodynamikken. Joukowski fandt en matematisk måde til at forstå og undersøge effekten af forskellige vingeprofiler, det som vi i dag kender som

                         26
”Joukowski transformationen”. Jeg vil i dette afsnit undersøge transformationen, og hvad den

kan bruges til i den fysiske verden.

24

Aerodynamik – Karl Erik Widell - side 15

25

”Boundary-layer flow” – Frank M. White

26

“Zhykovsky Biography” – E.F. Robertson

Figur 9: Separationspunkter forskellige steder langs vingens overflade. Den turbulente strømning kan ses på billede 2 og 3. Billederne er klippet ud fra nedenstående video:

https://www.youtube.com/watch?v=6UlsArv

bTeo

Side 13

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

12

De komplekse tals legeme

27

For at forstå Joukowski transformationen kræver det en grundlæggende forståelse for de komplekse tals legeme. Når man arbejder med de komplekse tal arbejder man med mængden af reelle tal-par ( 𝑎,𝑏). De komplekse tals legeme består altså af mængden af tal-par hvor 𝒂,𝒃 𝝐 𝑹.

Et eksempel på et komplekst tal kunne være ( 4,2), hvor 𝑎=4 og 𝑏=2. Et komplekst tal noteres
ofte som z hvor 𝑧=(𝑎,𝑏).

Ligesom de reelle tal har regneregler for addition og multiplikation, har de komplekse tal det også.

For addition med de komplekse tal 𝑧_{0} 𝑜𝑔 𝑧_{1} gælder definitionen:

𝑧_{0} + 𝑧_{1} = ( 𝑎_{0},𝑏_{0}) + ( 𝑎_{1},𝑏_{1}) =(𝑎_{0} + 𝑎_{1},𝑏_{0} + 𝑏_{1})

Ud fra ovenstående definition kan man addere og subtrahere de komplekse tal. Vi ser at ligesom for de reelle tal har hvert komplekst (z) tal et komplekst tal(-z) hvor:

𝑧 + ( −𝑧) = ( 𝑎,𝑏) + ( −𝑎,−𝑏) = ( 𝑎− 𝑎,𝑏− 𝑏) =(0,0)

Og et neutralt element hvor:

𝑧 + ( 0,0) = ( 𝑎,𝑏) + ( 0,0) = ( 𝑎+ 0,𝑏+ 0) =(𝑎,𝑏)

For multiplikation af de to komplekse tal 𝑧 𝑜𝑔 𝑧 gælder definitionen:
                                  0    1

𝑧_{0} ∗ 𝑧_{1} = ( 𝑎_{0},𝑏_{0}) ∗ ( 𝑎_{1},𝑏_{1}) =(𝑎_{1} ∗ 𝑏_{1} − 𝑎_{2} ∗ 𝑏_{2},𝑎_{1} ∗ 𝑏_{2} + 𝑎_{2} ∗ 𝑏_{1})

Hvor der, endnu engang, ligesom de reelle tal er et neutralt element for multiplikation hvor det gælder at:

𝑧 ∗ ( 1,0) = ( 𝑎,𝑏) ∗ ( 1,0) = ( 𝑎∗ 1 − 1 ∗ 0,𝑎∗ 0+ 1 ∗ 𝑏) =(𝑎,𝑏)

Den kommutative, associative og distributive lov gælder også for de komplekse tals legeme. [28] For at gøre beregninger med de komplekse tal lettere, er der blevet indført en anden måde at skrive tallene på. For at komme frem til dette, starter vi med at kalde det komplekse tal ( 𝑎,0) for 𝑎, tallet (𝑏,0) for 𝑏 og det komplekse tal (0,1) for 𝑖. Vi kan nu se at:

27

Dette afsnit er inspireret af ”Komplekse tal – teori og anvendelse” side 6-18 og ”Komplekse tal” fra DTU’s e-Note side 3-11

28

Beviset for den kommutative, associative og distributive lov kan findes i Bilag 2

Side 14

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

13

𝑖∗ 𝑏= ( 0,1) ∗ ( 𝑏,0) = ( 0 ∗ 𝑏− 1 ∗ 0,0 ∗ 0 + 1 ∗ 𝑏) =(0,𝑏)

Det komplekse tal 𝑧= ( 𝑎,𝑏) bliver dermed:

𝑧= ( 𝑎,𝑏) = ( 𝑎,0) + ( 0,𝑏) =𝑎+ 𝑖∗ 𝑏

                            2
Det interessante ved tallet 𝑖 er at 𝑖 =−1. Dette kan ses ved at:

𝑖^{2} =𝑖∗ 𝑖= ( 0,1) ∗ ( 0,1) = ( 0 ∗ 0 − 1 ∗ 1,0 ∗ 1 + 1∗ 0) = ( −1,0) =−1

Dette er anvendeligt, da vi nu, i stedet for at regne med tal-par, kan regne med komplekse tal med

regnereglerne fra de reelle tal. Når et komplekst tal skrives på formen 𝑧=𝑎 + 𝑖𝑏 siger man at det
skrives på den rektangulære form. Når dette er tilfældet kaldes a for den reelle del (𝑎=𝑅𝑒(𝑧)) og
b for den imaginære del (𝑏=𝐼𝑚 ( 𝑧)). Tallet 𝑧̅=𝑎− 𝑖∗ 𝑏 kaldes det komplekst konjugerede tal

til 𝑧. Det konjugerede tal kan benyttes til at simplificere division og bestemme reciprokke værdi af de komplekse tal. Ved division gøres følgende:

𝑎_{1} + 𝑏_{1} ∗ 𝑖 (𝑎_{1} + 𝑏_{1} ∗ 𝑖) ∗ (𝑎_{2} − 𝑏_{2} ∗ 𝑖) 𝑎_{1} 𝑎_{2} − 𝑎_{1} 𝑏_{2} 𝑖+ 𝑎_{2} 𝑏_{1} 𝑖− 𝑏_{2} 𝑏_{1} 𝑖^{2}
𝑎_{2} + 𝑏_{2} ∗ 𝑖 ( 𝑎_{2} + 𝑏_{2} ∗ 𝑖) ∗ (𝑎_{2} − 𝑏_{2} ∗ 𝑖) 𝑎_{2}^{2} − 𝑎_{2} 𝑏_{2} 𝑖+ 𝑎_{2} 𝑏_{2} 𝑖− 𝑏_{2}^{2} 𝑖^{2}

= =

Da 𝑖^{2} =−1 reduceres udtrykket:

𝑎_{1} 𝑎_{2} − 𝑎_{1} 𝑏_{2} 𝑖+ 𝑎_{2} 𝑏_{1} 𝑖+ 𝑏_{2} 𝑏_{1} 𝑎_{1} 𝑎_{2} + 𝑏_{1} 𝑏_{2} 𝑎_{2} 𝑏_{1} − 𝑎_{1} 𝑏_{2}
𝑎_{2}^{2} + 𝑏_{2}^{2} 𝑎_{2}^{2} + 𝑏_{2}^{2} 𝑎_{2}^{2} + 𝑏_{2}^{2}

= + ∗ 𝑖

Og så har vi endnu engang resultatet stående på rektangulær form. For at finde den reciprokke værdi er det omtrent samme strategi som ved division:

1 𝑎− 𝑏∗ 𝑖 𝑎− 𝑏∗ 𝐼 𝑎 𝑏
𝑎+ 𝑏∗ 𝑖 ( 𝑎+ 𝑏∗ 𝑖) ∗ (𝑎− 𝑏∗ 𝑖) 𝑎^{2} + 𝑏^{2} 𝑎^{2} + 𝑏^{2} 𝑎^{2} + 𝑏^{2}

= = = − ∗ 𝑖

I det komplekse plan afbilder man den reelle del af et komplekst tal langs den horisontale akse og den imaginære

del langs den vertikale akse. Det komplekse tal 𝑧=4 + 2𝑖 vil

altså afbildes i det komplekse plan som vist på figur 2 𝑣

(𝑅𝑒 ( 𝑧) =4 𝑜𝑔 𝐼𝑚 ( 𝑧) =3). Det kan siges at de komplekse tal

er en udvidelse af de reelle tal da de reelle tal, som sagt ligger 𝑣 langs den horisontale akse, og den imaginære del dermed er udvidelsen.

𝑧=4 + 3𝑖

𝑧=4 + 3𝑖

𝑧=4 + 3𝑖

𝑧=4 + 3𝑖

𝑧̅=4 − 3𝑖

𝑧=4 − 3𝑖

𝑧=4 − 3𝑖

|𝑧|

|𝑧|

|𝑧|

|𝑧|

Figur 10: Tallet 𝑧=4 +3𝑖 og dets komplekst konjugerede tal 𝑧̅=4 − 3𝑖

Figur 11: Tallet 𝑧=4 +3𝑖og dets komplekst konjugerede tal 𝑧̅=4 − 3𝑖

Side 15

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

14

Som det fremgår af figur 2, kan de komplekse tal også skrives på polær form. Ved den polære form skrives det komplekse tal ud fra dens modulus (|𝑧|) og dens argument (𝑣). For at finde modulus for et komplekst tal på rektangulær form benyttes Pythagoras sætning da vi er interesseret i at finde hypotenusen i den retvinklede trekant der dannes af 𝑎 𝑜𝑔 𝑏:

| 𝑧 |^{2} =𝑎^{2} + 𝑏^{2} ↔ | 𝑧 | = √ 𝑎^{2} + 𝑏^{2}

Ved argumentet kan trekantsberegninger benyttes, til at bestemme argumentet mellem realaksen og stedvektoren for det komplekse tal:

tan ( 𝑣) = ↔𝑣=tan (),𝑎≠0

𝑏 𝑏 𝑎 𝑎

−1

Hvis 𝑎=0 vil argumentet enten være^{𝜋}_{2} 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟^{3𝜋}_{2} da der i disse tilfælde ikke vil være nogen realdel.

                         cos (𝑣)
Har vi en enhedsvektor 𝑂𝑃 =(  ) vil det komplekse tal være | 𝑧 | -gange så langt som 𝑂𝑃 . Det
                          sin (𝑣)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ vil sige:

𝑧= | 𝑧 | ∗ 𝑂𝑃 = | 𝑧 | ∗ ()=()= | 𝑧 | ∗ cos ( 𝑣) + | 𝑧 | ∗ sin ( 𝑣) ∗ 𝑖

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ cos ( 𝑣) | 𝑧 | ∗ cos ( 𝑣) sin ( 𝑣) | 𝑧 | ∗ sin ( 𝑣)

= | 𝑧 | ∗ (cos (𝑣+ sin ( 𝑣) ∗ 𝑖)

Vi har nu det komplekse tal 𝑧 stående på polær form. Bruges eksemplet 𝑧=4 + 3𝑖 igen får vi:

𝑧= | 𝑧 | ∗ (cos ( 𝑣+ sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) = 4 + 3^{2} ∗ (cos (tan^{−1} ()) + sin (tan^{−1} ()) ∗ 𝑖)

√^{2}

3 3

4 4

=5 ∗ cos ( 0,643501109) + 5 ∗ sin ( 0,643501109) ∗ 𝑖=4 + 3𝑖

Overgangen fra den polære form til den rektangulære form illustreres her.

Fra det komplekse plan til det komplekse plan

Da Joukowski studerede vingeprofiler benyttede han sig af afbildning fra det komplekse plan til det komplekse plan. Hvad der forstås ved afbildning fra det komplekse plan til det komplekse plan er

at det komplekse tal 𝑧=𝑎+ 𝑖∗𝑏 sendes igennem en funktion 𝑓(𝑧), hvormed man kommer frem
til det nye komplekse tal 𝑤=𝑢+ 𝑖∗ 𝑣 i 𝑓-

planen. Man går fra det komplekse plan 𝑧 til det

komplekse plan 𝑓. Sættes 𝑓 ( 𝑧) =2 ∗ 𝑧 vil 𝑧→

2 ∗ 𝑧 og dermed blive to gange dens originale størrelse.

Figur 11: Fra z-planet til f-planet for det komplekse tal

z=4+3i hvor f(z)=2*z

Figur 12: Fra z-planet til f-planet for det komplekse tal

z=4+3i hvor f(z)=2*z

Side 16

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

15

Afbildningerne kan blandt andet bruges til at illustrere forskellige egenskaber for de komplekse tal.

Ses på tallet 𝑧=𝑎+ 𝑖∗4 kan det for eksempel ses, at for alle værdier af 𝑎 vil de komplekst

konjugerede tal til 𝑧 være en spejling i den reelle akse.

I det komplekse plan dannes en cirkel ved at tage mængden af alle de komplekse tal ved en fastholdt numerisk værdi. Tages enhedscirklen som eksempel vil den numeriske værdi være én og cirklen ville derfor angives ved:

𝑧= | 𝑧 | ∗ ( cos ( 𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) =1 ∗ ( cos ( 𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖)
=cos ( 𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖 , 𝑣=[0;2𝜋[

For at ændre cirklens centrum adderer man det ønskede centrum til alle værdier i cirklen. En vilkårlig cirkel i det komplekse plan, hvor centrum angives ved C, vil derfor blive:

𝑧= | 𝑧 | ∗ ( cos ( 𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) + 𝐶 , 𝑣=[0;2𝜋[

En særlig kendt transformation er Joukowski transformationen, som er kendt ved følgende funktion. Når en cirkel afbildes fra 𝑧-

                                          1
planen til 𝑓-planen gennem funktionen 𝑓 ( 𝑧 ) =𝑧+ =𝑤 med
                                          𝑧

centrum i 𝑧=0 dannes en ellipse. Det komplekse tal 𝑤 vil blive:

Figur 12 De komplekse tal 𝑧=𝑎+ 4 ∗ 𝑖 i z-planen
Figur 13 De komplekse tal 𝑤=𝑎 −4 ∗ 𝑖 i f-planen

Figur 14: Enhedscirklen i det komplekse plan.

Figur 15: Enhedscirklen med centrum 𝐶=
0,5 + 0,5 ∗ 𝑖

Side 17

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

16

𝑤=𝑧+ =𝑎+ 𝑖𝑏+ =𝑎+ 𝑖𝑏+ =𝑎+ 𝑖𝑏+

1 1 𝑎− 𝑖𝑏 𝑎− 𝑖𝑏
𝑧 𝑎+ 𝑖𝑏 ( 𝑎+ 𝑖𝑏) ∗ (𝑎− 𝑖𝑏) 𝑎^{2} + 𝑏^{2}

=𝑎+ 𝑖𝑏+ − =(𝑎+) + (𝑏−) ∗ 𝑖

𝑎 𝑖𝑏 𝑎 𝑏

𝑎^{2} + 𝑏^{2} 𝑎^{2} + 𝑏^{2} 𝑎^{2} + 𝑏^{2} 𝑎^{2} + 𝑏^{2}

Da det gælder at | 𝑧 |^{2} =𝑎^{2} + 𝑏^{2} og at 𝑎= | 𝑧 | ∗ cos (𝑣) og 𝑏= | 𝑧 | ∗ sin (𝑣) kan udtrykket for 𝑤

reduceres:

𝑤=(𝑎+) + (𝑏−) ∗ 𝑖

𝑎 𝑏

𝑎^{2} + 𝑏^{2} 𝑎^{2} + 𝑏^{2}

=(cos ( 𝑣) ∗ | 𝑧 | +) + (sin ( 𝑣) ∗ | 𝑧 | −) ∗ 𝑖

cos ( 𝑣) ∗ | 𝑧 | sin ( 𝑣) ∗ | 𝑧 |

| 𝑧 |^{2} | 𝑧 |^{2}

=(cos ( 𝑣) ∗ | 𝑧 | +) + (sin ( 𝑣) ∗ | 𝑧 | −) ∗ 𝑖

cos ( 𝑣) sin ( 𝑣)

| 𝑧 | | 𝑧 |

= + ∗ 𝑖

cos ( 𝑣) ∗ (| 𝑧 |^{2} + 1) sin ( 𝑣) ∗ (| 𝑧 |^{2} − 1)

| 𝑧 | | 𝑧 |

𝑅𝑒 ( 𝑤) =, 𝐼𝑚 ( 𝑤) =

cos ( 𝑣) ∗ (| 𝑧 |^{2} + 1) sin ( 𝑣) ∗ (| 𝑧 |^{2} − 1)

| 𝑧 | | 𝑧 |

                                                                     1
Hvis den numeriske værdi fastholdes dannes der en ellipse med halvakser 𝑎=|𝑧| + og 𝑏=
                                                                     |𝑧|

      1
||𝑧|−  | (der benyttes numerisk værdi ved den vertikale halvakse da halvaksen vil blive negativ
     |𝑧|

hvis |𝑧|>1). Ellipsen dannes dog kun hvis centrum ligger i tallet 𝑤=0 og |𝑧|≠1.
For distancen til brændpunkterne gælder det at | 𝐹 | =√𝑎^{2} − 𝑏^{2}^{29} og dermed 𝐹^{2} =𝑎^{2} − 𝑏^{2}.

𝐹^{2} =𝑎^{2} − 𝑏^{2} =() − () = −

| 𝑧 |^{2} + 1^{2} | 𝑧 |^{2} − 1^{2} | 𝑧 |^{4} + 2 ∗ | 𝑧 |^{2} + 1 | 𝑧 |^{4} + 1 − 2 ∗ | 𝑧 |^{2}
| 𝑧 | | 𝑧 | | 𝑧 |^{2} | 𝑧 |^{2}

= = =4

| 𝑧 |^{4} + 2 ∗ | 𝑧 |^{2} + 1 − | 𝑧 |^{4} − 1 + 2 ∗ | 𝑧 |^{2} 4 ∗ | 𝑧 |^{2}
| 𝑧 |^{2} | 𝑧 |^{2}
|𝐹|= √ 4=2

Ellipsen dannes dog, som nævnt (|𝑧|≠1) ikke, for afbildning af enhedscirklen igennem denne

funktion. Ved afbildning af enhedscirklen fås:

29

”Mathematical Handbook” – Murray R. Spiegel - side 38

Side 18

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

17

𝑤= + ∗ 𝑖= + ∗ 𝑖

cos ( 𝑣) ∗ (| 𝑧 |^{2} + 1) sin ( 𝑣) ∗ (| 𝑧 |^{2} − 1) cos ( 𝑣) ∗ ( 1^{2} + 1) sin ( 𝑣) ∗ ( 1^{2} − 1)

| 𝑧 | | 𝑧 | 1 1

=cos ( v) ∗ 2 + sin ( v) ∗ 0=cos ( v) ∗ 2

                                             1
Ved afbildning af enhedscirklen i afbildningen 𝑤=𝑧+ fås en linje på intervallet 𝑎=[−2;2]
                                             𝑧

Joukowski transformationen til en vingeprofil

                                     1
Joukowski fandt dog at afbildningen 𝑤=𝑧+ kunne benyttes til andet end afbildning fra cirkler
                                     𝑧

til ellipser. Ud fra geometrien opdagede Joukowski at man ved denne afbildning, kan danne geometriske vingeprofiler med en spids bagkant. Dette kan opnås ved at afbilde en cirkel med et

forskudt centrum, så længe cirklen går igennem tallet 𝑧=1 og indeholder tallet 𝑧=−1 hvor.^{30}

For at forskyde centrum for en cirkel i det komplekse plan adderes det nye centrum 𝑐 til de komplekse tal 𝑧.

𝑧= | 𝑧 | ∗ ( cos ( v) + sin ( v) ∗ i) + c= | 𝑧 | ∗ ( cos ( v) + sin ( v) ∗ i) + | 𝑐 | ∗ ( cos ( 𝑢) + sin ( 𝑢) ∗ 𝑖)

                            1
Afbildes denne igennem 𝑤=𝑧+  fås udtrykket:
                            𝑧

𝑤=𝑧+ = | 𝑧 | ∗ ( cos ( v) + sin ( v) ∗ i) + c +

1 1

𝑧 | 𝑧 | ∗ ( cos ( v) + sin ( v) ∗ i) + c

30

”Theoretical Aerodynamics” – L. M. Milne-Thompson - side 96

Figur 16: Cirkler med fastholdt modulus

                                     1
Figur 17: Cirklerne afbildet gennem 𝑤=𝑧 +
                                     𝑧

Side 19

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

18

For at cirklen først og fremmest indeholder tallet 𝑧=−1 og
går igennem tallet 𝑧=1 kræver det at centrum ligger i 2.

kvadrant, 3. kvadrant eller langs den imaginære akse (𝑐 ∈
                                             1

] − ∞;0]). Hvis 𝑐_{1} har en positiv værdi vil centrum altid
ligge tættere på 𝑧=1 end 𝑧=−1 og cirklen vil aldrig

opfylde kravene for dannelse af en Joukowski vingeprofil.

Derudover kræver det at cirklen har et modulus hvor | 𝑧 | =
√ ( 1 − 𝑐_{1})^{2} + 𝑐_{2}^{2} for at cirklen går igennem 𝑧=1 ved alle

gældende værdier for centrum. Et udtryk for cirklen der opfylder kravene til dannelse af en Joukowski vingeprofil bliver således:

𝑧= | 𝑧 | ∗ ( cos ( 𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) = √( 1 − 𝑐_{1})^{2} + 𝑐_{2}^{2} ∗ (cos ( 𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖)

På figur 19 og 20 ses eksempler på vingeprofiler hvor kravene for dannelse af en Joukowski-vingeprofil er opfyldt. Centrum for de forskellige cirkler ligger ved forskellige værdier langs den

    indeholder -1
reelle akse. For at danne symmetriske vingeprofiler som disse skal centrum ligges langs den reelle

akse så 𝑅𝑒 ( 𝑐) =𝑐 og 𝐼𝑚 ( 𝑐) =0.

    indeholder -1
Det kan altså ses at der dannes en vingeprofil med spids bagkant når Joukowski transformationen

benyttes ved de opfyldte krav. For at lave en mere velegnet vinge med en positiv krumning kan

centrum med en imaginær værdi benyttes:
    indeholder -1

Figur 19: Alle cirkler i ovenstående figur går gennem 1 og indeholder -1

Figur 13: Alle cirkler i ovenstående figur går gennem 1 og

Figur 14: Alle cirkler i ovenstående figur går gennem 1 og

Figur 15: Alle cirkler i ovenstående figur går gennem 1 og

Figur 20: Cirkler fra Figur 19 afbildet

Figur 18: Forholdet mellem |𝑧| og centrum.

Side 20

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

19

Figur 21 er en cirkel med forskriften 𝑧= | 𝑧 | ∗ ( cos ( 𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) + 𝑐=

√

       1       1                        1   1                 1
          2
(1 − (−  )) + ( )  ∗ ( cos ( 𝑣 ) + sin ( 𝑣 ) ∗ 𝑖 ) − + 𝑖 afbildet i 𝑤=𝑧+ .
       10      10                       10  10                𝑧

2

Som det kan ses er der dannet en velformet vingeprofil med positiv krumning. Denne komplekse afbildning kan anvendes til at afbilde strømningslinjer fra en cirkel til en vingeprofil.

Strømningslinjer omkring en cylinder var velkendte og kunne beregnes matematisk. Dette var nyttigt da man dermed kunne afbilde præcise strømningslinjer omkring den designede vingeprofil og derfra analysere på hastigheder og tryk, for så at beregne f.eks. opdrift. [31]

31

”The Joukowski Airfoil” – John H. Matthews og “Conformal Mapping” - NASA

                              1   1
Figur 21: Cirkel med centrum 𝑐=− + 𝑖
                             10  10

Figur 22: Vingeprofil med krumning.

Figur 23: En roterende cylinder og dens strømningslinjer, afbildet via Joukowski-transformationen.

Figuren er hentet fra

”Conformal Mapping” -

NASA

Side 21

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

20

Opdrifts- og modstands koefficienten

Opdriften og modstanden afhænger af mange faktorer. Opdriften og modstanden i luft afhænger af hastigheden, densiteten, arealet af vingen, vingens form, indfaldsvinklen, kompressibiliteten og viskositeten. Flere af disse variable kan være svære at måle og er derfor ofte samlet i hvad der

kendes som opdrifts-koefficienten (𝐶 ) og modstands-koefficienten (𝐶 ). Koefficienterne
                              𝐿                          𝐷

udtrykker effekten af luftens kompressibilitet, viskositeten, indfaldsvinklen og vingens form.

Samler man disse i en koefficient er opdriften på en vinge givet ved [32]:

𝐹_{𝐿} =𝐶_{𝐿} ∗ 𝐴 ∗𝜌_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ∗ 𝑣^{2}

1

2

Og modstand på en vinge givet ved: [33]

𝐹_{𝐷} =𝐶_{𝐷} ∗ 𝐴 ∗ 𝜌_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ∗ 𝑣^{2}

1

2

For at eftervise formlen for opdrift og modstand og bestemme koefficienterne laves et forsøg med en symmetrisk vinge i en vindtunnel. Profilen er designet ved hjælp af Joukowski-transformationen og derefter bygget fysisk. [34] Forsøget blev udført i en vindtunnel på

Danmarks Tekniske Universitet, hvor der ved forskellige vindhastigheder og indfaldsvinkler blev

                        35
målt opdrift og luftmodstand.

Da densiteten af luft og arealet af vingeprofilen er kendte værdier forventes følgende forskrifter for opdrift og modstand:

𝐹_{𝐿} = ∗ 𝐴 ∗𝜌_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ∗ 𝐶_{𝐿} ∗ 𝑣^{2} = ∗ 𝐶_{𝐿} ∗ 𝑣^{2} =0,015 ∗ 𝐶_{𝐿} ∗ 𝑣^{2}

1 𝑘𝑔

2 2 𝑚^{2}

0,0232𝑚^{2} ∗ 1,293_{3}

𝑘𝑔 𝑚

𝐹_{𝐷} =0,015 ∗ 𝐶_{𝐷} ∗ 𝑣^{2}

𝑘𝑔

𝑚^{3}

32

”The Lift Equation” - NASA

33

”The Drag Equation” - NASA

34

For nærmere gennemgang af konstruktion af vingeprofil, se Bilag C .

35

For nærmere gennemgang af forsøgets opstilling, forsøgsgang samt målingsresultater, se Bilag D og E.

𝜌_{𝑙𝑢𝑓𝑡} ( 0℃) =1,293 =1,293

𝑔 𝑘𝑔

𝐿 𝑚^{3}
𝐴_{𝑣𝑖𝑛𝑔𝑒} = 0,0232𝑚^{2}

Figur 24: Lufts densitet (”Databog – Fysik Kemi” side

147. Areal af vinge anvendt i forsøg, se Bilag C.

Side 22

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

21

Indsættes opdriften og luftmodstand som funktion af hastigheden fås graferne som kan ses på Figur 25. [36] Som forventet kan det ses at både opdriften og modstanden afhænger af hastigheden i anden potens.

Fra graferne får vi yderligere givet tilnærmelsesvis korrekte koefficienter. Det ses at både opdrifts-koefficienten og modstands-koefficienten stiger som funktion af indfaldsvinklen. For at undersøge hvordan koefficienterne afhænger af indfaldsvinklen sættes de som funktion af indfaldsvinklen.

36

Se bilag F, for større billede af graferne.

Indfaldsvinkel (grader) Opdrifts-koefficient Modstands-koefficient

5,0 0,0588 0,0192

10,0 | 0,1431 | 0,0373
15,0 | 0,2214 | 0,0635
20,0 | 0,3228 | 0,1210
25,0 | 0,4295 | 0,2279
30,0 | 0,4847 | 0,3473

Figur 25: Opdrift (til venstre) og modstand (til højre) som funktion af hastigheden ved forskellige indfaldsvinkler Figur 26: Opdrifts- og modstands-koefficienten som funktion af indfaldsvinklen

Side 23

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

22

Det ses her at opdrifts-koefficienten vil stige proportionelt med indfaldsvinklen indtil omkring 25 grader hvor hældningen falder en smule. Dette kan tyde på at vingens stallingspunkt er ved at være opnået. Dette bekræftes yderligere af grafen for modstands-koefficienten, der ved 20-25 grader får en mere voksende hældning end tidligere. [37]

På Figur 27 er forholdet mellem opdrifts-koefficienten og modstands-koefficienten illustreret.

𝐸𝑓𝑓𝑒𝑘𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡𝑒𝑡 𝑎𝑓 𝑣𝑖𝑛𝑔𝑒=

𝐶_{𝐿}
𝐶_{𝐷}

Fra denne graf kan det ses at den største effektivitet af vingen er allerede ved 10-15 grader. Ved effektivitet menes det hvor meget opdrift der produceres i forhold til modstand. En høj effektivitet af vingen betyder at mindre fremdrift (motorkraft) er krævet for at få flyet til at flyve opad.

For at eftervise formlen for både opdrift og modstand fuldstændigt, havde det krævet at forsøget blev udført med alle de variable som den eneste variable. Et forsøg med varierende vingeareal, samt et forsøg med varierende densitet skulle have været udført, for en komplet eftervisning. Da der kun var en enkelt flyvinge til rådighed, samt begrænsede mængder tid kunne dette ikke lade sig gøre med arealet. Et forsøg med varierende densitet er praktisk meget svært at udføre da det kræver en tunnel med en anden gas eller væske end luft. Dette har ikke har været til rådighed. Det lykkedes ikke at nå stallingsvinklen for vingen da den maksimale indfaldsvinkel i vindtunnellen var begrænset til 30 grader. Det kan dog, som sagt, ses at vingen nærmer sig et stall og stallingsvinklen vurderes til at ligge mellem 30-40 grader.

37

Se bilag G, for større billede af graferne.

Figur 27: Opdrifts- og modstands-koefficienten som funktion af indfaldsvinklen

Side 24

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

23

En væsentlig faktor der har påvirket målingerne for luftmodstanden har været modstanden på stangen, vingeprofilen var monteret på. Denne fejlkilde er der ikke blevet taget hensyn til under databehandlingen og modstandskoefficientens sande værdi vil derfor være lavere end den beregnede. Ukorrekt indstilling af indfaldsvinklen samt upræcise aflæsninger af målinger (både værdierne for opdrift og modstand svang meget) kan have betydet, at de noterede målinger har været upræcise. Dette har dog højest sandsynligt ikke haft nogen væsentlig betydning for den overordnede sammenhæng.

Beregning af opdrift

Kendes opdrifts-koefficienten kan opdriften ved forskellige hastigheder, densitet og arealer nemt beregnes. Det er dog sådan at opdrifts-koefficienten skal bestemmes eksperimentelt for hver eneste type flyvinge. Dette er ikke nogen praktisk eller nem måde at teste flyvingers opdriftspotentiale på. Den mest korrekte måde der endnu eksisterer for beregning af opdrift kaldes Navier-Stokes ligning. Formlen tager, i modsætning til andre formler, også højde for viskositeten af væsken eller gassen. Blandt andet NASA henviser til denne metode som den mest korrekte, når det kommer til beregning af opdrift. Ses der bort fra viskositeten i luften kan opdriften også beregnes ved hjælp af Eulers bevægelsesligninger. [38]

En tredje måde at beregne opdriften af en vinge er ved at benytte sig af Kutta-Joukowskis sætning.

Denne sætning siger at:

𝐹_{𝐿} =𝜌∗ 𝑣∗ 𝑙∗ Γ

For at beregne opdriften ved at benytte Kutta-Joukowskis sætning kræver det dog en kendt cirkulation. Denne cirkulation kan dog beregnes med den rette kendskab til Joukowski-

               39
transformationen.

38

”Matematik i virkeligheden” – A. Baktoft - side 144 og 147

39

”Theoretical Aerodynamics” – L. M. Milne-Thompson - side 85-86

Side 25

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

24

Konklusion

Når luftstrømninger strømmer over en vinge med positiv indfaldsvinkel, vil luftens hastighed over vingen være betydeligt hurtigere end luften under vingen. Dette fører ifølge Bernoulli’s princip til en trykforskel som medfører en opadrettet kraft kaldet opdriften. Hvis opdriften bliver større end tyngdekraften vil flyet flyve opad. Den væsentligste forklaring til trykforskellen er Kutta-betingelsen om at der ikke sker en trykudligning ved bagkanten af en fly-vinge. Når et fly flyver, vil der med opdriften også opstå en modstand. Denne modstand består af gnidning mellem vinge og luft samt formmodstanden der opstår i kølvandet på det såkaldte separationspunkt. Disse modstande afhænger af strømningsforholdene i vingens grænselag. Den laminare strømning skaber mindre friktion i grænselaget end den turbulente strømning. Den laminare strømning er dog mere tilbøjelig til at separere fra vingen og der vil dermed skabes mere formmodstand ved laminar strømning end ved turbulent strømning. Reynolds tallet kan benyttes til at vurdere hvorvidt der sker en overgang fra laminar til turbulent strømning langs en overflade.

Før computerens tid benyttede man sig af de komplekse tal til at beregne teoretiske egenskaber ved forskellige vingeprofiler. De komplekse tal er en udvidelse af de reelle tal som gør det muligt at afbilde en cirkel fra det komplekse plan til et nyt komplekst plan hvormed der kan dannes en vingeprofil. Denne afbildning er kendt som Joukowski-transformationen.

Mange faktorer afgør størrelsen af opdriften og modstanden på en vinge. Herunder hastigheden af

den frie strømning, densiteten af væsken/gassen vingen bevæger sig igennem, arealet af vingen,
viskositeten af luften/gassen, formen af vingen og væskens/gassens kompressibilitet. Flere af disse

variable er samlet i en konstant for at gøre beregninger af opdrift og modstand på forskellige vingeprofiler lettere. Denne konstant fastlægges gennem eksperimentelt arbejde.

Der findes dog andre måder at beregne opdrift på. Eksempler på disse måder er Navier Stokes ligning, Eulers bevægelsesligninger og Kutta-Joukowskis sætning.

Side 26

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

25

Bilag

Bilag A: Bernoullis princip fra Newtons 2. lov

Newtons 2. lov siger at:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =𝑚∗ 𝑎=𝑚∗

𝑑𝑣 𝑑𝑡

En ændring i masse vil derfor føre til en ændring i kraft og Newtons 2. lov kan skrives som:

𝑑𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =𝑑𝑚∗

𝑑𝑣 𝑑𝑡

Kraften der arbejdes med i dette tilfælde skyldes en trykforskel, og idet strømningen accelerer kan ovenstående ligning omskrives som:

𝐴 ∗ −𝑑𝑝=𝑑𝑚∗

𝑑𝑣 𝑑𝑡

Ændringen af masse kan også skrives som:

𝑑𝑚=𝑑𝑉∗ 𝜌=𝐴∗ 𝑑𝑥∗ 𝜌

Indsættes dette fås udtrykket:

𝐴 ∗ −𝑑𝑝=𝐴∗ 𝜌 ∗𝑑𝑥∗ =𝐴 ∗ 𝜌∗ ∗ 𝑑𝑣=𝐴 ∗𝜌 ∗ 𝑣∗ 𝑑𝑣

𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Divideres der med arealet på begge sider af lighedstegnet og ganges der med -1 fås ligningen:

𝑑𝑝=−𝜌 ∗ 𝑣∗ 𝑑𝑣

Dette udtryk integreres:

∫1 ∗ 𝑑𝑝=−𝜌 ∗ ∫𝑣∗ 𝑑𝑣

𝑝=−𝜌 ∗ 𝑣^{2} + 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

1

2

Hvilket fører til Bernoullis princip:

𝑝 + ∗ 𝜌 ∗ 𝑣^{2} =𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡^{40}

1

2

40

”Matematik i virkeligheden” – A. Baktoft - 144

Side 27

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

26

Bilag B: Bevis for den kommutative, associative og distributive lov

Kommutative lov for addition

( 𝑎_{1},𝑏_{1}) + ( 𝑎_{2},𝑏_{2}) = ( 𝑎_{2},𝑏_{2}) + ( 𝑎_{1},𝑏_{1})
𝑉𝑒𝑛𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑓 𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑠𝑡𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡: ( 𝑎_{1},𝑏_{1}) + ( 𝑎_{2},𝑏_{2}) = ( 𝒂_{𝟏} + 𝒂_{𝟐},𝒃_{𝟏} + 𝒃_{𝟐})
𝐻ø𝑗𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑓 𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑠𝑡𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡: ( 𝑎_{2},𝑏_{2}) + ( 𝑎_{1},𝑏_{1}) =(𝒂_{𝟐} + 𝒂_{𝟏},𝒃_{𝟐} + 𝒃_{𝟏})

Da den kommutative lov gælder for addition af de reelle tal er sætningen bevist.

Kommutative lov for multiplikation

( 𝑎_{1},𝑏_{1}) ∗ ( 𝑎_{2},𝑏_{2}) = ( 𝑎_{2},𝑏_{2}) ∗ ( 𝑎_{1},𝑏_{1})
𝑉𝑒𝑛𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑓 𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑠𝑡𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡: ( 𝑎_{1},𝑏_{1}) ∗ ( 𝑎_{2},𝑏_{2}) = ( 𝒂_{𝟏} ∗ 𝒂_{𝟐} − 𝒃_{𝟏} ∗ 𝒃_{𝟐},𝒂_{𝟏} ∗ 𝒃_{𝟐} + 𝒃_{𝟏} ∗ 𝒂_{𝟐})
𝐻ø𝑗𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑓 𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑠𝑡𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡: ( 𝑎_{2},𝑏_{2}) ∗ ( 𝑎_{1},𝑏_{1}) =(𝒂_{𝟐} ∗ 𝒂_{𝟐} − 𝒃_{𝟐} ∗ 𝒃_{𝟏},𝒂_{𝟐} ∗ 𝒃_{𝟏} + 𝒃_{𝟐} ∗ 𝒂_{𝟏})

Da den kommutative lov gælder for addition og multiplikation for de reelle tal er sætningen bevist.

Associative lov for addition

( 𝑎_{1},𝑎_{2}) + ( ( 𝑏_{1},𝑏_{2}) + ( 𝑐_{1},𝑐_{2}))=( ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) + ( 𝑏_{1},𝑏_{2})) + ( 𝑐_{1},𝑐_{2})
𝑉𝑒𝑛𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑓 𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑠𝑡𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡: ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) + ( ( 𝑏_{1},𝑏_{2}) + ( 𝑐_{1},𝑐_{2}))= ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) + ( 𝑏_{1} + 𝑐_{1},𝑏_{2} + 𝑐_{2})
= ( 𝒂_{𝟏} + 𝒃_{𝟏} + 𝒄_{𝟏},𝒂_{𝟐} + 𝒃_{𝟐} + 𝒄_{𝟐})
𝐻ø𝑗𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑓 𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑠𝑡𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡:( ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) + ( 𝑏_{1},𝑏_{2})) + ( 𝑐_{1},𝑐_{2}) = ( 𝑎_{1} + 𝑏_{1},𝑎_{2} + 𝑏_{2}) + ( 𝑐_{1},𝑐_{2})
=(𝒂_{𝟏} + 𝒃_{𝟏} + 𝒄_{𝟏},𝒂_{𝟐} + 𝒃_{𝟐} + 𝒄_{𝟐})

Sætningen er bevist.

Associative lov for multiplikation

( 𝑎_{1},𝑎_{2}) ∗ ( ( 𝑏_{1},𝑏_{2}) ∗ ( 𝑐_{1},𝑐_{2}))=( ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) ∗ ( 𝑏_{1},𝑏_{2})) ∗ ( 𝑐_{1},𝑐_{2})
𝑉𝑒𝑛𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑓 𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑠𝑡𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡: ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) ∗ ( ( 𝑏_{1},𝑏_{2}) ∗ ( 𝑐_{1},𝑐_{2}))
= ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) ∗ ( 𝑏_{1} ∗ 𝑐_{1} − 𝑏_{2} ∗ 𝑐_{2},𝑏_{1} ∗ 𝑐_{2} + 𝑏_{2} ∗ 𝑐_{1})
= ( 𝑎_{1} ∗ ( 𝑏_{1} ∗ 𝑐_{1} − 𝑏_{2} ∗ 𝑐_{2}) − 𝑎_{2} ∗ ( 𝑏_{1} ∗ 𝑐_{2} + 𝑏_{2} ∗ 𝑐_{1}),𝑎_{1} ∗ ( 𝑏_{1} ∗ 𝑐_{2} + 𝑏_{2} ∗ 𝑐_{1}) + 𝑎_{2}
∗ (𝑏_{1} ∗ 𝑐_{1} − 𝑏_{2} ∗ 𝑐_{2}))
=𝒂_{𝟏} ∗ 𝒃_{𝟏} ∗ 𝒄_{𝟏} − 𝒂_{𝟏} ∗ 𝒃_{𝟐} ∗ 𝒄_{𝟐} − 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒃_{𝟏} ∗ 𝒄_{𝟐} − 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒃_{𝟐} ∗ 𝒄_{𝟏},𝒂_{𝟏} ∗ 𝒃_{𝟏} ∗ 𝒄_{𝟐} + 𝒂_{𝟏}
∗ 𝒃_{𝟐} ∗ 𝒄_{𝟏} + 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒃_{𝟏} ∗ 𝒄_{𝟏} − 𝐚_{𝟐} ∗ 𝐛_{𝟐} ∗ 𝐜_{𝟐}
𝐻ø𝑗𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑓 𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑠𝑡𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡:( ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) ∗ ( 𝑏_{1},𝑏_{2})) ∗ ( 𝑐_{1},𝑐_{2})
= ( 𝑎_{1} ∗ 𝑏_{1} − 𝑎_{2} ∗ 𝑏_{2},𝑎_{1} ∗ 𝑏_{2} + 𝑎_{2} ∗ 𝑏_{1}) ∗ ( 𝑐_{1},𝑐_{2})
=(𝑐_{1} ∗ ( 𝑎_{1} ∗ 𝑏_{1} − 𝑎_{2} ∗ 𝑏_{2}) − 𝑐_{2} ∗ ( 𝑎_{1} ∗ 𝑏_{2} + 𝑎_{2} ∗ 𝑏_{1}),𝑐_{1} ∗ ( 𝑎_{1} ∗ 𝑏_{2} + 𝑎_{2} ∗ 𝑏_{1}) + 𝑐_{2}
∗ ( 𝑎_{1} ∗ 𝑏_{1} − 𝑎_{2} ∗ 𝑏_{2}))
=𝒂_{𝟏} ∗ 𝒃_{𝟏} ∗ 𝒄_{𝟏} − 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒃_{𝟐} ∗ 𝒄_{𝟏} − 𝒂_{𝟏} ∗ 𝒃_{𝟐} ∗ 𝒄_{𝟐} − 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒃_{𝟏} ∗ 𝒄_{𝟐},𝒂_{𝟏} ∗ 𝒃_{𝟐} ∗ 𝒄_{𝟏} + 𝒂_{𝟐}
∗ 𝒃_{𝟏} ∗ 𝒄_{𝟏} + 𝒂_{𝟏} ∗ 𝒃_{𝟏} ∗ 𝒄_{𝟐} − 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒃_{𝟐} ∗ 𝒄_{𝟐}

Hermed er sætningen bevist.

Distributive lov

( 𝑎_{1},𝑎_{2}) ∗ ( ( 𝑏_{1},𝑏_{2}) + ( 𝑐_{1},𝑐_{2}))= ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) ∗ ( 𝑏_{1},𝑏_{2}) + ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) ∗ ( 𝑐_{1},𝑐_{2})

Side 28

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

27

𝑉𝑒𝑛𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑓 𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑠𝑡𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡: ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) ∗ ( ( 𝑏_{1},𝑏_{2}) + ( 𝑐_{1},𝑐_{2}))= ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) ∗ ( 𝑏_{1} + 𝑐_{1},𝑏_{2} + 𝑐_{2})
=(𝑎_{1} ∗ ( 𝑏_{1} + 𝑐_{1}) − 𝑎_{2} ∗ ( 𝑏_{2} + 𝑐_{2}),𝑎_{1} ∗ ( 𝑏_{2} + 𝑐_{2}) + 𝑎_{2} ∗ ( 𝑏_{1} + 𝑐_{1}))
=(𝒂_{𝟏} ∗ 𝒃_{𝟏} + 𝒂_{𝟏} ∗ 𝒄_{𝟏} − 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒃_{𝟐} − 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒄_{𝟐},𝒂_{𝟏} ∗ 𝒃_{𝟐} + 𝒂_{𝟏} ∗ 𝒄_{𝟐} + 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒃_{𝟏} + 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒄_{𝟏})
𝐻ø𝑗𝑟𝑒 𝑠𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑓 𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑠𝑡𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡: ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) ∗ ( 𝑏_{1},𝑏_{2}) + ( 𝑎_{1},𝑎_{2}) ∗ ( 𝑐_{1},𝑐_{2})
= ( 𝑎_{1} ∗ 𝑏_{1} − 𝑎_{2} ∗ 𝑏_{2},𝑎_{1} ∗ 𝑏_{2} + 𝑎_{2} ∗ 𝑏_{1}) + ( 𝑎_{1} ∗ 𝑐_{1} − 𝑎_{2} ∗ 𝑐_{2},𝑎_{1} ∗ 𝑐_{2} + 𝑎_{2} ∗ 𝑐_{1})
=(𝒂_{𝟏} ∗ 𝒃_{𝟏} − 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒃_{𝟐} + 𝒂_{𝟏} ∗ 𝒄_{𝟏} − 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒄_{𝟐},𝒂_{𝟏} ∗ 𝒃_{𝟐} + 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒃_{𝟏} + 𝒂_{𝟏} ∗ 𝒄_{𝟐} + 𝒂_{𝟐} ∗ 𝒄_{𝟏})

Sætningen er bevist.

Side 29

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

28

Bilag C: Konstruktion af vingeprofil

Ved konstruktion af flyvinge benyttedes Joukowski-transformationen til at designe vingeprofilen.

𝑧=1,2 ∗ ( cos ( 𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) − 0,2

Ovenstående cirkel blev afbildet fra 𝑧-planet til 𝑓-planet og en symmetrisk vingeprofil blev matematisk dannet:

𝑤=𝑧+ =1,2 ∗ ( cos ( 𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) − 0,2 +

1 1

𝑧 1,2 ∗ ( cos ( 𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) − 0,2

For at få give vingeprofilen den korrekte størrelse i forhold til vindtunnellen blev den skaleret op:

𝑤_{𝑓𝑜𝑟𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑡} =3,35 ∗(𝑧+)

1 𝑧

Vingeprofilen blev printet ud og tegnet på en fire centimeter tyk flamingoplade. To af disse plader blev skåret ud og sat samme, så vingen fik en bredde på otte centimeter.

𝑧=1,2 ∗ ( 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑣) + 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑣) ∗ 𝑖) − 0,2 𝑤=𝑧 +

1 𝑧 𝑧

Vingeprofilen tegnet på flamingo, før udskæring.

Vingeprofil efter udskæring og sammensætning.

𝑤_{𝑓𝑜𝑟𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑡} =3,15∗ (𝑧 +)

1

Side 30

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

29

For at gøre overfladen mindre ujævn blev et stykke karton sat på ydersiden af vingeprofilen.

Kartonen blev klippet til, tæt langs vingeprofilens kant og en blomsterpind blev placeret i bunden af vingen.

Karton dækkes i lim så den kommer til at sidde tæt over hele vingeprofilen.

Kartonen placeret omkring vingeprofilen.

Færdig vingeprofil.

Side 31

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

30

Bilag D: Forsøg i Vindtunnel

Opstilling til forsøget:

1. En vingeprofil placeres i vindtunnelen, så tæt på tunnellens centrum som muligt.

                                          𝑚
2. Indfaldsvinklen sættes til 0° og hastigheden til 0 .
                                           𝑠

3. Et voltmeter forbindes til opdriftsmåleren og modstandsmåleren, til aflæsning af kraftpåvirkning.

Fremgangsmåde:

1. Spændingen i voltemetret afmåles ved den valgte indfaldsvinkel for både modstand og opdrift ved en

hastighed på 0^{𝑚}_{𝑠}. Dette gøres da både modstand og Vingeprofil i vindtunnel. Nederst til venstre ses

opdrift er lig 0𝑁, og spændingen i starten af forsøget dermed skal trækkes fra samtlige målinger.

2. Hastigheden skrues op så der kommer en ændring på 3^{𝑚}_{𝑠}

og igen noteres spændingen for modstand og opdrift.

3. Dette gentages indtil der nås en hastighed på 15^{𝑚}_{𝑠}.

Derefter ændres indfaldsvinklen med 5° og forsøget gentages.

Databehandling:

For omregning fra spænding til kraft blev konstanter opgivet så omregninger til opdrift og modstand var mulig:

• 𝐹_{𝐷} =(𝑈_{𝐷,𝑚å𝑙𝑡} − 𝑈_{0^{𝑚}_{𝑠}}) ∗ 9,786_{𝑚𝑉}^{𝑁}

,𝑚å𝑙𝑡

• 𝐹_{𝐿} =(𝑈_{𝐿,𝑚å𝑙𝑡} − 𝑈_{0^{𝑚}_{𝑠}}_{,𝑚å𝑙𝑡}) ∗ 9,599_{𝑚𝑉}^{𝑁}

Som det kan ses på ovenstående formler blev der ved alle

omregninger trukket spændingen ved 0^{𝑚}_{𝑠} fra.

Areal af vingeprofil:

Arealet af vingeprofilen findes matematisk. Vingeprofilen er udtryk ved z hvor:

𝑤=𝑧+ ℎ𝑣𝑜𝑟 𝑧=1,2 ∗ ( 𝑐𝑜𝑠𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) − 0,2

1 𝑧 voltmetrene der er koblet til vindtunnelen. Den runde skive under vingeprofilen blev benyttet til at ændre indfaldsvinklen.

Computeren der benyttes til at justere vindhastigheden. På skærmen kunne man følge med i hvornår den ønskede hastighed var nået og dermed hvornår, man skulle notere sine målinger.

Maksimalhastigheden der kunne bruges var 16^{𝑚}_{𝑠}.

Side 32

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

31

𝑤=1,2 ∗ ( 𝑐𝑜𝑠𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) − 0,2 +

1

1,2 ∗ ( 𝑐𝑜𝑠𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) − 0,2
=1,2 ∗ ( 𝑐𝑜𝑠𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) − 0,2

+

1,2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2 − 1,2 ∗ sin ( 𝑣) ∗ 𝑖
( 1,2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2 + 1,2 ∗ sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) ∗ ( 1,2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2 − sin ( 𝑣) ∗ 𝑖)
=1,2 ∗ ( 𝑐𝑜𝑠𝑣) + sin ( 𝑣) ∗ 𝑖) − 0,2 +

1,2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2 − 1,2 ∗ sin ( 𝑣) ∗ 𝑖
( 1,2 ∗ cos ( v) − 0,2)^{2} + ( 1,2 ∗ sin ( 𝑣))^{2}
=(1.2 ∗ cos (𝑣) − 0,2 +) + (1,2 ∗ sin (𝑣)

1,2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2
( 1,2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2)^{2} + ( 1,2 ∗ sin ( 𝑣))^{2}
−) ∗ 𝑖

1,2 ∗ sin ( 𝑣)

( 1,2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2)^{2} + ( 1,2 ∗ sin ( 𝑣))^{2}

𝑅𝑒 ( 𝑤) =1.2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2 +

1,2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2
( 1,2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2)^{2} + ( 1,2 ∗ sin ( 𝑣))^{2}
𝐼𝑚 ( 𝑤) =(1,2 ∗ sin (𝑣) −) ∗ 𝑖

1,2 ∗ sin ( 𝑣)

( 1,2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2)^{2} + ( 1,2 ∗ sin ( 𝑣))^{2}

Da vingen blev forstørret op bliver:

𝑤=3,35∗ ((1.2 ∗ cos (𝑣) − 0,2+) + (1,2 ∗ sin (𝑣)

1,2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2
( 1,2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2)^{2} + ( 1,2 ∗ sin ( 𝑣))^{2}
−) ∗ 𝑖)

1,2 ∗ sin ( 𝑣)

( 1,2 ∗ cos ( 𝑣) − 0,2)^{2} + ( 1,2 ∗ sin ( 𝑣))^{2}

For at regne omkredsen af vingen ud benyttes formlen for kurveintegraler:

𝑂𝑚𝑘𝑟𝑒𝑑𝑠=∫ () + () 𝑑𝑣

√

𝑑𝑅𝑒 ( 𝑤)^{2} 𝑑𝐼𝑚 ( 𝑤)^{2}

𝑑𝑣 𝑑𝑣

2𝜋

0

En omkreds på 29 centimeter stemmer overens med den konstruerede vingeprofil.

Bredden af vingeprofilen er 8 centimeter.

𝐴𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑎𝑓 𝑣𝑖𝑛𝑔𝑒𝑝𝑟𝑜𝑓𝑖𝑙=𝑂∗ 𝑏=0,29𝑚∗ 0,08𝑚=0,0232𝑚^{2}

Side 33

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

32

Bilag E: Målinger fra vindtunnel

Resultater ved indfaldsvinkel på 0 grader

Hastighed (m/s) Modstand (mV) Opdrift (mV) Modstand (N) Opdrift (N)

0,0 0,077 0,233 0 0

3,0 0,078 0,233 0,009786 0

6,0 0,080 0,234 0,029358 0,009599

9,0 0,083 0,235 0,058716 0,019198

12,0 | 0,087 | 0,236 | 0,09786 | 0,028797
15,0 | 0,092 | 0,239 | 0,14679 | 0,057594

Resultater ved indfaldsvinkel på 5 grader

Hastighed (m/s) Modstand (mV) Opdrift (mv) Modstand (N) Opdrift (N)

0,0 | 0,089 | 0,247 | 0 | 0

3,0 | 0,090 | 0,248 | 0,009786 | 0,009599

6,0 | 0,091 | 0,25 | 0,019572 | 0,028797

9,0 0,094 0,253 0,04893 0,057594

12,0 | 0,094 | 0,259 | 0,04893 | 0,115188
15,0 | 0,094 | 0,269 | 0,04893 | 0,211178

Resultater ved indfaldsvinkel på 10 grader

Hastighed (m/s) Modstand (mV) Opdrift (mv) Modstand (N) Opdrift (N)

0,0 | 0,081 | 0,243 | 0 | 0

3,0 | 0,082 | 0,245 | 0,009786 | 0,019198

6,0 | 0,084 | 0,25 | 0,029358 | 0,067193

9,0 0,086 0,259 0,04893 0,153584

12,0 0,087 0,274 0,058716 0,297569

15,0 0,095 0,295 0,137004 0,499148

Resultater ved indfaldsvinkel på 15 grader

Hastighed (m/s) Modstand (mV) Opdrift (mv) Modstand (N) Opdrift (N)

0,0 | 0,081 | 0,247 | 0 | 0

3,0 | 0,083 | 0,25 | 0,019572 | 0,028797

6,0 | 0,083 | 0,258 | 0,019572 | 0,105589
9,0 | 0,088 | 0,274 | 0,068502 | 0,259173

12,0 | 0,091 | 0,296 | 0,09786 | 0,470351
15,0 | 0,106 | 0,326 | 0,24465 | 0,758321

Resultater ved indfaldsvinkel på 20 grader

Hastighed (m/s) Modstand (mV) Opdrift (mv) Modstand (N) Opdrift (N)

0,0 | 0,077 | 0,243 | 0 | 0

3,0 | 0,079 | 0,247 | 0,019572 | 0,038396
6,0 | 0,083 | 0,257 | 0,058716 | 0,134386
9,0 | 0,094 | 0,279 | 0,166362 | 0,345564

12,0 | 0,107 | 0,314 | 0,29358 | 0,681529

15,0 0,116 0,36 0,381654 1,123083

Side 34

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

33

Resultater ved indfaldsvinkel på 25 grader

Hastighed (m/s) Modstand (mV) Opdrift (mv) Modstand (N) Opdrift (N)

0,0 0,065 0,245 0 0

3,0 | 0,067 | 0,249 | 0,019572 | 0,038396

6,0 0,079 0,265 0,137004 0,19198

9,0 | 0,094 | 0,296 | 0,283794 | 0,489549

12,0 0,114 0,34 0,479514 0,911905

15,0 0,144 0,399 0,773094 1,478246

Resultater ved indfaldsvinkel på 30 grader

Hastighed (m/s) Modstand (mV) Opdrift (mv) Modstand (N) Opdrift (N)

0,0 0,071 0,25 0 0

3,0 0,076 0,257 0,04893 0,067193

6,0 | 0,088 | 0,275 | 0,166362 | 0,239975

9,0 0,113 0,31 0,411012 0,57594

12,0 0,150 0,361 0,773094 1,065489

15,0 0,190 0,42 1,164534 1,63183

Side 35

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

34

Bilag F: Modstand og opdrift som funktion af hastighed

Opdriften som funktion af hastigheden ved forskellige indfaldsvinkler:

Modstanden som funktion af hastigheden ved forskellige indfaldsvinkler:

Side 36

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

35

Bilag G: Opdrifts-koefficienten, modstands-koefficienten og forholdet mellem disse, som funktion af indfaldsvinklen

Side 37

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

36

Litteraturliste

Anders, E. S. (2007). Databog - Fysik Kemi. København: F&K Forlaget.

Baktoft, A. (2014). Matematik i virkeligheden - Bind 3.

Danmarks Tekniske Universitet. (27. august 2014). eNote 29: Komplekse Tal. Hentet fra 01005

Matematik 1: http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/NUID43-tn29/

Danske, D. S. (u.d.). Den Store Danske. Hentet fra Wilbur Wright:

http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./Luftfart/Luftfartens_historie/W

ilbur_Wright

Famous Scientists. (14. december 2014). Daniel Bernoulli. Hentet fra Famous Scientists:

http://www.famousscientists.org/daniel-bernoulli/

Fogh, K. E. (2009). Komplekse tal -teori og anvendelse. Silkeborg : Forlaget HAX.

Garfors, G. (9. december 2014). Travel and media; 100.000 flights a day. Hentet fra

http://www.garfors.com/2014/06/100000-flights-day.html

Gentry, A. (5. december 2014). The Origins of Lift. Hentet fra Arvel Gentry:

http://arvelgentry.jimdo.com/articles/

Hultmark, A. J. (15. december 2014). Turbulence: When Is the Reynolds Number High Enough.

Hentet fra AccessScience (Adgang via GenBib netmedier):

http://www.accessscience.com.bib157.bibbaser.dk/content/turbulent-flow/716800

Matthews, J. H. (17. december 2014). The Joukowski Airfoil. Hentet fra MathFaculty:

http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/JoukowskiTransMod.html

Milne-Thomson, L. M. (1952). Theoretical Aerodynamics. Glasgow: The University Press.

NASA. (17. december 2014). Bernnoulli's Equation. Hentet fra NASA:

http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/bern.html

NASA. (17. december 2014). Conformal Mapping. Hentet fra NASA:

http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/map.html

Side 38

Fysik/Matematik Studieretningsprojekt: Aerodynamik 18. december 2014

37

NASA. (13. december 2014). Conformal Mapping - Joukowski Transformation. Hentet fra

Conformal Mapping: http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/map.html

NASA. (16. december 2014). The Drag Equation. Hentet fra NASA:

http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/drageq.html

NASA. (15. december 2014). The Lift Coefficient. Hentet fra NASA:

http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/liftco.html

NASA. (14. december 2014). The Lift Equation. Hentet fra NASA:

http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/lifteq.html

Pedersen, U. (11. december 2014). Vinge. Gentofte.

Robertson, J. J. (9. december 2014). Zhukovsky biography. Hentet fra http://www-history.mcs.st-
andrews.ac.uk/Biographies/Zhukovsky.html

Sceenivasan, K. R. (16. december 2014). Turbulent flow. Hentet fra AccessScience (Adgang via

GenBib netmedier): http://www.accessscience.com.bib157.bibbaser.dk/content/turbulent-
flow/716800

Spiegel, M. R. (1968). Mathematical Handbook. New York: McGraw-Hill Book Company.

White, F. M. (16. december 2014). Fluid Mechanics. Hentet fra AccessScience (Adgang via GenBib

netmedier): http://www.accessscience.com.bib157.bibbaser.dk/content/fluid-
mechanics/262300#262300s006

White, F. M. (16. december 2014). Laminar flow. Hentet fra AccessScience (Adgang via GenBib

netmedier): http://www.accessscience.com.bib157.bibbaser.dk/content/laminar-
flow/369100

Widell, K. E. (2000). Aerodynamik. Roskilde: Slagelsestryk A/S.

Yale Courses. (12. december 2014). Fluid Dynamics and Statics and Bernoulli's Equation. Hentet fra

Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=lfXDJKKPGfY#t=55m50s