SRP om Bevægelse i Tyngdefelt i Matematik A og Fysik A

Side 1

STX 3.g

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

1

Abstract

This study examines different curves between two points on a vertical plane: the straight path, the circular path and the cycloid curve. Main focus is on the descent time, meaning the time needed for a body - starting at the first point with zero speed - to move to the second point under the action of constant gravity and assuming no friction.

The curves and descent times are compared by means of mathematical calculations and physical experiments carried out at Hauchs Physical Cabinet.

It is proven that the cycloid curve has the shortest descent time between the two points - which makes the cycloid curve the brachistochrone curve. Further it is shown that the cycloid curve also is a tautochron curve, meaning that the descent time is independent of the starting point of the body. The descent time is only depending on radius of the cycloid.

Finally it is proven that it - in theory - is possible to construct a tautochron pendulum.

Side 2

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

2

Indholdsfortegnelse

Abstract .................................................................................................................................. 1 Indholdsfortegnelse ............................................................................................................... 2

1. Indledning .......................................................................................................................... 3

2. Teori ................................................................................................................................... 3

3. Den brachistochrone bane................................................................................................. 4

3.1. Kapløbet – matematiske beregninger ......................................................................... 4

3.1.1. Den lige bane ........................................................................................................ 5

3.1.2. Cirkelbanen ........................................................................................................... 6

3.1.3. Cykloidebanen ...................................................................................................... 8

3.2. Forsøg med faldapparat ............................................................................................ 12

4. Den tautochrone bane ..................................................................................................... 14

4.1. Cykloidebanen – matematiske beregninger ............................................................. 15

4.2. Forsøg med cykloidebanen ....................................................................................... 20

5. Det tautochrone pendul .................................................................................................. 21

6. Konklusion ........................................................................................................................ 25 Litteraturliste ....................................................................................................................... 26 Bilag:

Bilag 1 Målskitse af faldapparat ........................................................................................... 27 Bilag 2 Tabeller over tider målt på baner ............................................................................ 28 Bilag 3 Sinus formler ............................................................................................................ 29 Bilag 4 Differentiering af invers ........................................................................................... 31 Bilag 5 Tabel over tider målt på cykloidebane .................................................................... 33

Side 3

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

3

1. Indledning

Gennem tiden har mange store fysikere og matematikere interesseret sig for, hvordan legemer påvirkes i tyngdefeltet. Og mennesket har altid haft en trang til at søge efter det ypperligste - lige meget hvad vi koncentrerer os om. Så selvfølgelig har spørgsmålet, om hvilken bane et legeme skulle følge for at komme fra et punkt i en højde A til et andet punkt i en anden højde B på den korteste tid, særligt været interessant. At den lige bane fra A til B er den korteste, vil de fleste tage som en selvfølge, men er det også den hurtigste? I denne opgave vil jeg beskrive og undersøge en række forskellige baner, som et legeme kan følge, og desuden sammenligne de tider, det tager for legemet at komme fra A til B ad de forskellige baner. Der vil specielt blive fokuseret på den hurtigste bane og på den bane, som har den specielle egenskab, at legemet vil være den samme tid om at nå til bunden af banen – uanset hvor på banen legemet starter.

2. Teori

Når et legeme ligger på en lige bane og kun er påvirket af tyngdekraften, vil den

resulterende kraft på legemet være udtrykt ved formlen:  sin⋅⋅= ugmF , hvor F er
                                                res

res den resulterende kraft på legemet, g er tyngdeaccelerationen, m er massen af legemet og u er vinklen mellem vandret og banen. Hvis legemet er placeret på en bane, der ikke er lige, vil u være vinklen mellem tangenten til banen – på det punkt legemet er placeret – og vandret. Heraf følger, at den resulterende kraft på et legeme i starten af fx en cirkelbane vil være større end den resulterende kraft på et legeme på en lige bane, da vinklen u til cirklens start vil være større end vinklen u på den lige bane. Da begge baner starter og slutter i samme punkt, og da vi ser bort fra friktion, dvs. energien er bevaret, vil begge legemer have samme hastighed, når de kommer til B. Men legemet, der har fulgt cirkelbanen, vil i starten af faldet have opnået en høj hastighed, mens legemet på den lige bane kun accelererer langsomt. Det betyder, at gennemsnitshastigheden på cirkelbanen er højere end på den lige bane, og dermed er det ikke nødvendigvis den korteste bane, der er den hurtigste.

Side 4

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

4

3. Den brachistochrone bane

Som nævnt er der i tidens løb mange, der har undret sig over, hvilken bane, der mon var den ”hurtigste”. Denne bane er gennem tiden blevet kaldt for den brachistochrone bane.

Ordet brachistochron stammer fra græsk, hvor brachistos betyder kortest og chronos betyder tid. [1] Den brachistochrone bane betyder dermed ”den korteste tids bane”. Den brachistochrone bane er defineret som den bane - mellem 2 punkter A og B i et lodret plan – ad hvilken et legeme, der starter i hvile i A og som kun bliver accelereret af konstant tyngdekraft, vil komme til B på den korteste tid, når der ses bort fra enhver form for friktion.

Galileo var en af dem, der kiggede på problemet tilbage i slutningen af 1630’erne. Han konkluderede, at hvis man lod legemet følge en cirkelbane, ville dette være den hurtigst mulige måde for legemet at komme fra A til B. Nogle år efter hans død var den svejtsiske matematiker Johann Bernoulli dog ikke helt tilfreds med Galileos resultat. Derfor lavede han i 1696 en konkurrence, i hvilken han udfordrede alle store matematikere og fysikere til at finde den brachistochrone bane – og endelig lykkedes det. Deres resultat var

            2
cykloidebanen.

3.1. Kapløbet – matematiske beregninger

Når man skal undersøge, hvilken bane der er den ”hurtigste”, kan det være en fordel at antage, at legemet i løbet af faldet i alt bevæger sig 1 m lodret og 1 meter vandret. Denne antagelse vil derfor blive benyttet ved beregningerne i de følgende afsnit.

Hvis man lægger bevægelsen ind i et koordinatsystem, og starter i punktet A=(0,1) vil man
slutte i punktet B=(1,0). Hvis man udregner tiderne for baner med det samme fald, kan

man nemt se, hvilken bane der har været hurtigst. I dette afsnit beregnes tiderne for følgende tre baner: den lige bane, cirkelbanen og cykloidebanen. Lad os først kigge på den lige bane fra A til B.

1

http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_problem

2

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Brachistochrone.html

Side 5

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

5

3.1.1. Den lige bane

Den lige bane er illustreret i Figur 1, og afstanden fra A til B beregnes ved hjælp af den

                                 222
pythagoræiske læresætning:      bac += . I dette tilfælde medfører det

=⇒=+= mcmmmc 2211

222222

Da vores legeme falder 1 m og bevæger sig 1 m vandret, vil den vej, legemet skal bevæge sig, altså være.

m2

Figur 1 Den lige bane.

Da der under banen opstår en ligebenet retvinklet trekant, med den rette vinkel placeret i

origo, vil vinklen u, mellem vandret og banen, være_{2}^{90180}^{°−°} u = 45 °=

Den resulterende kraft på legemet er som nævnt udtrykt ved formlen_{res} sin⋅⋅= ugmF

og accelerationen af legemet, a, er udtrykt ved m m 2

F_{res} ⋅⋅ sin ugm 2
a == ggaug 45sinsin ⋅=°⋅=⇒⋅=

                                                1
                                                     2
Herfra kan vi så nemt finde tiden ved at bruge formlen tas ⋅⋅= , hvor s er
                                                2

strækningen, som legemet skal bevæge sig, og t er tiden. ⇒

t == 22 = =⋅ == 6382,0 s

s m s 2 m ⋅ m 222 ⋅ m 422 m a g ⋅ g g ⋅

2 a

1 s

 22
ttas 2       ⇒=⇒⋅⋅=

2 2 82,9_{2}

2

Side 6

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

6

Når der ikke er nogen friktion tager det altså 0,6382 s at komme de m2 ned ad den lige bane med en hældning på 45⁰.

3.1.2. Cirkelbanen

Når man skal se på en cirkelbane, der går igennem punkterne (0,1) og (1,0), er det oplagt at vælge den cirkel, der har centrum i (1,1) og som har radius 1 m. Hvis man gør det,

foregår faldet fra vinklen 0 til vinklen
                               2

π

, da det er en kvart cirkel. Cirkelbanen er illustreret i Figur 2. Da radius er 1 m, vil legemet skulle bevæge sig

  2
=       =  mm for at nå fra A til B.
         24

2 ⋅⋅ r ⋅

4 πππ

                                   x     −     )cos(1
                                  ⎛ ⎞ ⎛        ⎞
Cirklen vil have parameterfremstillingen: ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟  rda 1 ⇒=
                                  ⎜ ⎟ ⎜        ⎟
                                   y     −    )sin(1

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• θ θ

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

y ' −)cos('

x ')sin(' θθ θθ

Her er θ den funktion, der angiver vinklen som funktion af tiden.

Figur 2 Cirkelbanen.

Hastigheden v på et givet punkt på cirkelbanen kan udtrykkes på denne måde:

 222                                     2222
yxv ( ) ( )                              )cos(')sin(')cos(')sin(''' ⇒+=−+=+=

( ) vv =⇒=+= '')(cos)(sin'

22222

22 θθθθθ θθθθθθθθ

Side 7

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

7

Da der i disse beregninger ses bort fra friktion, kan man antage, at den mekaniske energi er bevaret. Herfra kan vi gå videre med følgende forudsætninger: h er starthøjden, v er

1 1 starthastigheden, og h og v er henholdsvis højden og hastigheden et tilfældigt sted på

2 2 banen.

22211

vmh =−====)sin(1,0,1 hvedhastighedvogyh

s m θ

2 ( ) hhgv ⇒−=
      21

gv ( )( ))sin(112 ⇒−−=
gv ( ))sin(112 ⇒+−=

vdag == '2

)sin(

'

2 g ⇒=

)sin(

gv)sin(2 ⇒=

gv)sin(2 ⇒=

22 ghghv ⇒−=
    21

220 ghvgh ⇒+=+
    2

22 ghvghv ⇒+=+
    2

2 2 2

1 1 1

v_{2}

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

21

2 2

1 21

mghmvmghmvEEogmghmvE ⇒+=+⇒=+=
    2

2 2 2 mekmekmek 121 21 θ θ θ θ θ θ θ θ

Nu kan vi integrere begge sider fra 0 til tiden t, hvor legemet ankommer til B.

t == 591659,0 s

2 g d

2 ⋅= tgd

=⋅ dtgdt

dt

1 d

∫∫^{2}^{dtgdt}

tt tt

)sin(

1

)sin(

1

  2
∫∫
00

)sin(

)sin(
      00

'

2

∫_{0}

2

∫_{0}

=

θ θ θ θ θ θ θ θ π π

Teoretisk, dvs. når der ingen friktion er, tager det altså 0,591659 s at bevæge sig ned ad cirkelbanen. Allerede nu kan man se, at Galileo ikke var helt gal på den, da han sagde, at

Side 8

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

8 cirkelbanen var den brachistochrone bane – den tog i hvert fald kortere tid end den lige

banes 0,6382 s på trods af, at legemet her skulle bevæge sig_{2} m og ikke bare m2.

π

3.1.3. Cykloidebanen

Den bane, som Johann Bernoulli selv have fundet frem til var den hurtigste, var cykloidebanen. [3] Et af de problemer, datidens matematikere havde med cykloidebanen, var, at den var forholdsvis svær at konstruere. Cykloidebanen fremkommer, når man tager et ”fikspunkt” på periferien af en cirkel med radius r, og lader cirklen trille ad en lige linje. Den bue, som punktet på periferien vil følge, er en cykloidebane, som vist på Figur 3.

Reflekserne på et cykelhjul vil dermed også følge en cykloidebane, når cyklen kører.

4

Figur 3 Konstruktion af en cykloidebane.

Når cirklen er trillet en fuld omgang, vil vores punkt på cirklen være tilbage i samme position, som vi startede, og man kalder dette en fuld cykloidebue. Da cirklen har en vinkelsum på 2π, og cirklen netop skal trille én omgang for at lave en fuld bue, får cykloiden også vinkelsummen 2π. Cykloidens ”bredde” bliver dermed lig cirklens omkreds, altså 2πr, og i vinklen π, hvor cirklen netop har trillet en halv omgang, vil ”højden” af cykloiden være på sit maksimum, nemlig 2r.

                                                        x        sin +− k
                                                       ⎛ ⎞   ⎛          ⎞
Parameterfremstillingen for en cykloide kommer til at se sådan ud: ⎜ ⎟ = r ⎜ ⎟
                                                       ⎜ ⎟   ⎜          ⎟
                                                        y     cos + n

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ θ θθ hvor r er radius i den cirkel, som har konstrueret cykloiden, k og n er konstanter og θ er igen den funktion, der angiver vinklen som funktion af tiden.

Men den cykloidebane, der går fra punktet (0,1) til (1,0), er ikke nær så nem at finde som cirkelbanen. F.eks. er det ikke muligt at konstruere en cykloide, der vil slutte i vinkel π,

3

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Brachistochrone.html

4

Billedet er taget fra http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ParaArea.aspx hvorefter jeg selv har

redigeret det

Side 9

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

9 hvis man skal bevæge sig fra A til B. Derfor er det smart at gå ud fra, at man starter i vinklen 0.

Når A er vores startpunkt, B er vores slutpunkt, og θ

2 er den vinkel, vi slutter i ved B, så kan cykloidebanen findes på følgende måde:

⎜_{⎜}^{⎛}^{x}_{y} ⎟_{⎟}^{⎞} r ⋅= ⎜_{⎜}^{⎛}_{cos} ⎟_{⎟}^{⎞} ( ) ( ) BogA 0,11,0,0, ⇒==≤≤

( ) rdakkrkrx ≠=⇒=⋅⇒=+−⋅= 00000sin0

                                       1
( ) ( )                   1110cos   nnrnry −=⇒=+⋅⇒=+⋅= 1
                                       r

                                         1
( ) ( )                  1sinsin   rrkrx =⇒=−⋅=+−⋅=
                                        − sin
                                             22

                             1
                      ⎛         ⎞
( )                 rnry cos0cos −+⋅⇒=+⋅= 01 ⇒=
                          22
                             r
                      ⎝         ⎠

cos rda cos001_{22} +⇒≠=−+ 01 ⇒=−

− sin_{22}

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ n

sin +− k

1

1 1

B 2222

2 θθ θθ θθ θθ θθθθ θθ θ θθ r

B

A

A

nog 1 n =⇒−=−= 7454 53,01

r 5729 17,0

1 1

= = rrog =⇒ 5729 17,0
− sin_{22} − 4120 1,2sin4120 1,2

1 1

eller =⇒==⇒=−−+ 4120 1,24120 1,2001sincos

222222 θθ θθθθθθ

θ er altså lig 2,41201, r=0,572917 m, n=0,745453 og k=0 i den cykloide, der netop går

2 igennem A og B. I dette tilfælde får man altså en parameterfremstilling, der ser sådan ud:

⎜ ⎟ 572917,0 ≤≤ ⋅= ⎜ ⎟ hvor 41201,20
y + 745453,0cos

x − sin

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ θ θ θθ

Cykloidebanen er illustreret i Figur 4.

Side 10

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

10

Figur 4 Cykloidebanen der går gennem A og B.

Nu da parameterfremstillingen for banen er fundet, kan man langt om længe beregne tiden, det tager for legemet at bevæge sig ned ad cykloiden.

⎜ ⎟ r ' ⋅⋅= ⎜ ⎟ ⇒

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

y ' − sin

x ' − cos1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ r ⋅= ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = 572917,0 ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

y cos + n y + 745453,0cos

x − sin x − sin

θ θ θ θ θθ θ θθ

Hastigheden v på et givet punkt på cykloidebanen kan udtrykkes på denne måde:

                     22
( )( ) ( )( ) rryxv sin'cos1''' ⇒−⋅+−⋅=+=

( ) rrv ( ) cos22'sincoscos21' ⇒−⋅⋅=++−⋅⋅=

θθθθ θθθθθθ θθθθ

vrv −⋅⋅=⇒−⋅⋅= cos22'572917,0cos22'

2222222

222

Nu har vi fundet et udtryk for hastigheden v på et tilfældigt punkt på cykloiden og kan fortsætte.

h er starthøjden, v er starthastigheden, og h og v er henholdsvis højde og hastighed et

1 1 2 2 tilfældigt sted på banen.

vmh ( ) +==== 745453,0cos572917,0,0,1 ogyh

=                hvedhastighedv
                  22

211 s m θ

Side 11

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

11

Da vi regnede på cirkelbanen fandt vi at_{2}^{2} 2 hhgv −= ( )_{21}

Da vi stadig regner uden friktion, hvilket medfører at den mekaniske energi er bevaret, kan vi gå videre derfra.

2 ( ) hhgv ⇒−=
       21

( )( )( ) cos12 nrgv ⇒+−=

( )( ) 1cos12 rrgv ⇒−+−=

( ) rrgv cos2 ⇒−=

rgv ( ) cos12 ⇒−⋅⋅=

r ( ) −⋅ cos1

2 g ⇒=

⎜ rgv cos12 −+−= 1 ⎟ nda 1 ⇒−=

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠
⎛ | ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ 1 ⎞ 1

⎜ | ⎟
⎝ | ⎠
⎛ | ⎞

v_{2}

r r

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 θ θ θ θ θ θ r ( ) −⋅ cos1

( ) −⋅ cos1572917,0^{2}^{g}

⇒=

−⋅⋅ cos22'572917,0

rvdag cos22'2 ⇒−⋅⋅==

r −⋅⋅ cos22' θ θθ θθ θ θθ

Igen kan vi integrere begge sider fra 0 til tiden t, hvor vi ankommer til B.

( ) −⋅ cos1572917,0_{00}

( ) −⋅ cos1572917,0

( ) −⋅ cos,0

( ) −⋅ cos1572917,0

datgd 41201,202 ⇒≤≤⋅=

⇒=⋅

−⋅ cos,0 d

⇒=

             tt
−⋅⋅ cos22'572917,0

∫_{0}

  2 dtgdt
∫∫
00

∫∫^{2}^{dtgdt}

41201,2 θθ θ θ θ θ θ θ θθ dt tt

Side 12

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

12

     0
t 58 2599,0 =          =          s

2 g

572917,02 d

41201,2

∫^{⋅}

θ

Ved at følge en cykloidebane kan legemet altså bevæge sig fra A til B på 0,582599 s, hvilket jo er hurtigere end både cirklens 0,591659 s og den lige banes 0,6382 s. Galileo havde altså ikke ret da han mente, at cirklen var den brachistochrone bane, men det havde Johann Bernoulli derimod med cykloiden. Cykloidebanen er længere end den lige bane, men kortere end cirkelbanen. Helt præcist er cykloidebanens længde lig

( ) ( )^{2} rdrryxl 1cos21sincos1'' ⇒+−⋅=−⋅+−⋅=+=

=−⋅=−⋅= 47411,1cos,0cos22 mrl

41201,2 41201,2

∫∫
0

0

41201,2 41201,2 41201,2

∫∫∫
0

0 0

2

22 2 2 θθ θθθθ

Når vi regner længden på denne måde, kan vi antage at^{cos1} ⎜_{⎜}^{⎛}^{x}_{y}_{'}^{'} ⎟_{⎟}^{⎞} r ⋅= ⎜_{⎜}^{⎛}_{−}^{−}_{sin} ⎟_{⎟}^{⎞} da vi ikke

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ θ θ behøver at differentiere θ - som hvis den er en funktion - når det kun er længden, vi er interesserede i.

Længden af cykloidebanen er altså imellem cirklens_{2} = mm 5708,1 og den lige banes

π

mm 41421,12 =. Man kunne fristes til at sige, at cykloiden er den gyldne mellemvej.

3.2. Forsøg med faldapparat

På Hauchs Physiske Cabinet på Sorø Akademi har de et faldapparat, der har alle de 3 baner, der behandles i denne opgave: en lige bane, en cirkelbane og en cykloidebane. For at eftervise teorien har jeg lavet forsøg med dette faldapparat.

Alle banerne starter i samme punkt og slutter i samme punkt så de er oplagte til dette forsøg. Apparatet er afbildet i Figur 5. Den øverste af banerne er den lige bane med længden 58 cm og den midterste er cirkelbanen med længden 60 cm. Den nederste bane er cykloidebanen, der i alt er 63 cm lang, men fra startpunktet er der 40 cm til det nederste punkt på cykloiden. I Bilag 1 er vist en målskitse af faldapparatet.

Side 13

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

13

Figur 5 Faldapparat med både en lige bane, en cirkelbane og en cykloidebane.

Her er cykloidebanen altså den længste og ikke nok med det, legemet skal også bevæge sig opad det sidste stykke for at komme til slutpunktet. I alt svarer faldene til et lodret fald på 25 cm og en vandret bevægelse på 51,5 cm, men cykloidebanen falder altså 29 cm, hvorefter den går 4 cm op igen.

Som ”legeme” blev der i alle forsøgene benyttet jernkugler, der i startpositionen blev fastholdt af en elektromagnet. Når jeg ønskede at ”starte” faldet, afbrød jeg strømmen til magneten, så kuglerne blev frigivet.

Til at bestemme faldtiderne benyttede jeg et videokamera, der var tilsluttet en bærbar computer, hvorpå programmet Logger Pro3 var installeret. Jeg lod videokameraet optage faldene og behandlede derefter videofilmene i Logger Pro3. I Logger Pro3 kan jeg plotte ind hvor kuglen befinder sig til forskellige tider af videoen. Ved så at trække starttiden fra sluttiden fandt jeg faldtiden for hver enkelt bane.

Dataene fra Logger Pro3 er vist i Bilag 2. Heraf fremgår det også, at der blev foretaget 2 målinger på den lige bane og på cykloidebanen, samt 3 målinger på cirkelbanen.

Side 14

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

14

Af måleresultaterne ses det, at det tog 0,537 s for kuglen at trille ad den lige bane, 0,4 s at trille ad cirkelbanen og kun 0,335 s at trille ad cykloidebanen. Og det på trods af, at cykloiden var den længste, og at kuglen skulle bevæge sig opad det sidste stykke.

Resultaterne stemmer fuldstændig overens med vores teori, nemlig at cykloiden er den hurtigste, cirkelbanen den næsthurtigste og den lige bane er langsomst.

Som fejlkilder kan vi bl.a. se på friktionen. Men da cykloidebanen er længst og ”hurtigst” må kuglen, når den triller ad denne, opnå højere hastighed end ved de andre baner. Og da friktionen vokser ekspotentielt med hastigheden vil kuglen da den triller af cykloidebanen have større friktion her end ved de andre baner. Derfor vurderes det ikke at være relevant at se på friktionen som en fejlkilde, der vil kunne bevirke, at ”tidsrækkefølgen” mellem banerne ændres.

Til gengæld er det nødvendigt at se nærmere på kameraets evner. Når vi ser på tiderne i bilag 2 er de næsten for ens til det kan være sandt. Dette skyldes, at kameraet, som blev

brugt, kun tager 15 billeder pr. s og det er dermed kun inden for 1/15 s nøjagtighed, vi

kan måle. Men som kontrol udførte jeg også en række forsøg, hvor jeg sammenlignede to baner ad gangen, dvs. jeg lod to ens kugler trille ad hver sin bane samtidigt. Alle banekombinationer viste samme resultat: cykloiden var hurtigst, cirkelbanen var næsthurtigst og den lige bane var langsomst. Da jeg benyttede elektromagnet til at ”starte” faldene, var jeg sikker på, at de to kugler blev frigivet på samme tid.

Så alt i alt er det klart, at cykloiden er den brachistochrone bane!

4. Den tautochrone bane

Én ting er at finde den ”hurtigste” bane, men der er også en anden bane, der har interesseret matematikere gennem tiden. Spørgsmålet om, hvorvidt der findes en bane, hvor tiden, det tager at komme ned til det laveste punkt på banen, er uafhængigt af hvor på banen man starter, har også haft stor interesse. En af grundene hertil er, at man altid har haft et ønske om at kunne bestemme tid nøjagtigt. Men desværre var de ure, man kunne konstruere - selv helt op til 1700-tallet - ikke helt præcise. En af grundene hertil var, at svingtiden for urets pendul blev kortere i takt med, at pendulet tabte energi. Men hvis man kunne få pendulet til at svinge i en bane, hvor en svingning tog den samme tid -

Side 15

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

15 lige meget hvor stor eller lille banen var - så ville det problem være løst. Den bane, hvor tiden, det tager at komme til det laveste punkt på banen, er uafhængig af startstedet, kaldes for den tautochrone bane. Tauto stammer, ligesom brachistos, fra græsk og betyder samme. Da chronos som tidligere nævnt betyder tid, vil det sige, at den tautochrone bane kan oversættes til ”den samme tids bane”. [5]

Også her ses der bort fra enhver form for friktion.

Løsningen på spørgsmålet blev første gang fundet i 1673 af Christiaan Huygens. Han viste, at den tautochrone bane – ligesom den brachistochrone bane - er en cykloide. [6]

4.1. Cykloidebanen – matematiske beregninger

Når vi skal bevise, at cykloidebanen er en tautochron bane, er det nødvendigt at kende nogle formler for sinus og cosinus foruden den trigonometriske grundrelation:

( ) ( )^{22} =+ vv 1sincos. Jeg vil referere til disse formler som henholdsvis formel 2 og

formel 3:

          v
         ⎛ ⎞
        2
( ) v ⋅=− sin2cos1 formel 2
          2
         ⎝ ⎠

          v
         ⎛  ⎞
        2
( ) v ⋅= cos2cos − formel 31
          2
         ⎝  ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

Disse formler er udledt i Bilag 3.

Det er også nødvendigt at vide at ( ) ( ) ( )^{−}^{1} 'sin xfpxf =⇒=
1 + p^{2}

1 og beviset for dette findes i Bilag 4.

For at bevise, at cykloiden er en tautochron bane, går vi ud fra, at vores cykloide er placeret i første kvadrant. Vi får dermed parameterfremstillingen: πθ θ θθ

⎜ ⎟ ⋅= ⎜ ⎟ hvorr 0 ≤≤

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

y + 1cos

x − sin

Denne cykloide vil hermed have startpunktet ( ) r2,0 og slutpunktet ( ) 0,r som vist i π

Figur 6.

5

http://en.wikipedia.org/wiki/John_Harrison

6

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/T/tautochrone_problem.html

Side 16

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

16

Figur 6 General cykloidebane i første kvadrant

Vi ser på cykloiden i netop dette interval, da cykloiden har den størst mulige afstand til x-aksen ved vinklen 0, og da man til vinklen π er i bunden af cykloiden.

⎜ ⎟ r ' ⋅⋅= ⎜ ⎟ ⇒

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

y ' − sin

x ' − cos1

⎜ ⎟ r ⋅= ⎜ ⎟ ⇒

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

y + 1cos

x − sin

θ θ θ θ θθ

                    22
( )( ) ( )  rryxv sin'cos1''' ⇒⋅⋅−+−⋅⋅=+=

     2
                     22222      2
( ) ( )           rrrv ( )   sincos1'sin'cos1' ⇒+−⋅⋅=⋅⋅+−⋅⋅=
                      2222222

( ) rrv ( ) 1cos21'sincoscos21' ⇒+⋅−⋅⋅=++⋅−⋅⋅=
rv ( ) cos22' ⇒⋅−⋅⋅=
( ) ( ) ogvdarrv 00cos22'cos22' ≤≤≥⋅−⋅⋅=⋅−⋅⋅=

πθθθθθ θθ θθθθθθ θθθθθθθ θθθθ

22

222

2

222

222

I det følgende er h

1 1 2 starthøjden, θ startvinklen, h er højden et tilfældigt sted på banen, v er starthastigheden og v er hastigheden ved h.

1 2 2

( ) ( ) ( ) rvogvrhrh cos22'01cos1cos ⇒⋅−⋅⋅==+⋅=+⋅=

θθθθ

21211

Side 17

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

17

Startvinklen kan ikke være π, da legemet så slet ikke skulle bevæge sig. Det betyder, at πθπθ

00 <≤⇒≤≤

1

Da vi stadig ser bort fra friktion, vil den mekaniske energi være bevaret =>

2 ( ) hhgv ⇒−=
       21

2 ( ) hhgv ⇒−=
       212

                       2 g
( )( ) ( )( ) rr +⋅−+⋅ 1cos1cos
    1

                     2 g
r ( )          −−+⋅ 1cos1cos
      1

2' g ⇒=⋅
− coscos

r ⋅−⋅ cos22

⇒=

r ⋅−⋅⋅ cos22'

⇒=

r ⋅−⋅⋅ cos22'

2 g ⇒=
− hh_{21}

v_{2}

1

2

2 θ θθ θ θθ θθ θθ θθ

Nu integrerer vi fra tiden 0 til tiden t, hvor legemet lander i vinklen π.

t ⋅= d ⇒
2 g − coscos

− cos1

⋅ 2 tgdr ⇒⋅=
− coscos

−⋅ cos12

r ⋅ 2 tgdt ⇒⋅=⋅
− coscos

⋅− cos22

⇒=⋅
− coscos

r ⋅−⋅ cos22

∫_{1}

∫_{1}

∫_{0}

  2' dtgdt
∫∫
00

θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ π θ π θ

2 r dt d t tt

1

1

1

1

Side 18

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

18

⋅ ( )^{2} sin2_{2}
⎜_{⎜}_{⎝}_{⎝}^{⎛} cos2^{1}_{2} − ⎟_{⎟}_{⎠}^{⎞} ( ) cos21_{2}^{2} −− 1_{⎠}^{⎞}

t ⋅= d ⇒

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎠ ⎝

⎞ ⎛

∫_{1}_{⎛}

t ⋅= ⇒ 32 nævnereniformelogtællerenianvendesformelnård
g − coscos

r − cos1
∫_{1}

θ θ θ θ θ θθ θ π θ π θ g r

2

1

( )^{2} sin2_{2}
cos2^{1}_{2} − ( )^{2} cos_{2}

cos^{1} − ( )^{2} cos_{2}

t ⋅= d ⇒

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎞^{2}

∫_{1}_{⎛}

t ⋅= d ⇒

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞^{2}

∫_{1}

θ θ θ θ θ θ θ θ π θ π θ g r g r

2

2 sin

Tæller og nævner forkortes med_{2} cos^{1}

θ

cos^{1} − ( )^{2} cos_{2}

( )^{2} cos_{2_{2}}

t ⋅= d ⇒

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞^{2} ⎛ ⎞

−

⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

⎞^{2}

∫_{1}_{⎛}

t ⋅= d ⇒

⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

⎞^{2}

∫_{1}_{⎛}

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ π θ π θ g r g r

cos^{1} cos^{1}

cos^{1}

cos^{1}

cos^{1}

cos^{1}

2 2

2

2

2 sin

2

2

2

2 sin

Side 19

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

19

t ⋅= d ⇒

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟

⎝ 2 ⎠

⎛ ⎞^{2}

1 −

∫_{1}

θ θ θ θ θ π θ g r

cos^{1}

cos^{1}

2 cos

2

2 sin

Nu foretages en substitution, hvor^{2} bliver erstattet af p.

2

cos^{1}

cos θ θ

⇒

⎪

⎪

⎪

⎪

2 2 2 ⎭

⎪

⎪

⎪

2 2 2 ⎪

⎬

⎫

1 pogp ===⇒===⇒= 0

cos ⋅ cos2 ⋅ cos2^{111}

cos − sin − sin
p ' ==⇒= =⇒ ddpp

cos cos cos^{111}

0

2 2

cos^{1} cos

2 2 2

1 θθ π πθ θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θ d dp

t [ ] sin2^{−}^{1} ( )_{1} p^{0} ⇒⋅⋅−=

t ( ) ( ) ( )^{−−}^{11} 1sin0sin2 ⇒−⋅⋅−=

g 2 − 2 g g g

r − 2 r r r
t ⎜ 02 −⋅⋅−= ⎟ = t ⋅=⇒⋅=⋅

g r g r

t 2 ⋅⋅−= dp ⇒
p^{2}

g r 1

t 2 ⋅⋅−= d ⇒
1 − p^{2}

g r

⎝ ⎠

⎛ ⎞

∫_{1}_{1}_{−}

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟

2 ⎠

⎛ | ⎞

∫_{1}^{⎝}

⋅ cos2^{1}

− sin

ππ ππ θ θ θ π θ

2

0

Efter substitutionen ses det, at θ

1 forsvinder ud af ligningen og at vores udtryk for tiden ender med kun at have radius af den cirkel, der har dannet cykloiden, som variabel.

Side 20

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

20

Da den tid, det tager for et legeme at bevæge sig ned ad cykloidebanen, således er uafhængig af startvinklen, er det hermed bevist, at cykloiden er en tautochron bane

4.2. Forsøg med cykloidebanen

Da jeg var ude på Hauchs Physiske Cabinet, undersøgte jeg naturligvis også, om deres cykloidebane var en tautochron bane. Her brugte jeg igen Logger Pro3, men da det i dette tilfælde var vigtigt at få meget nøjagtige tider, brugte jeg fotoceller - i stedet for videokamera - til at registre tiden.

Den ene fotocelle blev placeret i cykloidens laveste punkt og den anden blev flyttet rundt, så den hele tiden var placeret lige efter kuglens startsted. Jeg gentog forsøget flere gange

– med startstedet i forskellige højder. I Logger Pro3 blev dataene fra fotocellerne lagt ind og for hver måling fik jeg følgende 4 tider: Tiden kuglen kommer ind i første fotocelle, tiden kuglen kommer ud af første fotocelle, tiden kuglen kommer ind i anden fotocelle og tiden kuglen kommer ud af anden fotocelle.

Ved at trække tid 1 fra tid 3 fik jeg dermed tiden det tog for kuglen at trille ned ad cykloide banen. I alt foretog jeg målinger fra 7 forskellige afstande. Dataene fra disse målinger findes i Bilag 5.

Tabel 1 Eksempel på tid målt på cykloidebane.

Forsøg 1

Ind port 1 / s 1,881692
Ud port 1 / s 2,160782
Ind port 2 / s 2,173786
Ud port 2 / s 2,173786

Ind port 2 - Ind port 1 / s 0,333274
Afstand mellem porte / cm 47

Side 21

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

21

I eksemplet i tabel 1 var kuglen 0,333274 s om at komme 47 cm ned ad cykloidebanen.

Middelværdien af de målte tider var 0,341857 s og standardafvigelsen var under 2 % af middelværdien, jvf. Bilag 5.

Jeg var meget overrasket over, hvor præcise resultaterne blev. Jeg havde troet, at friktionen mellem kuglen og banen ville have en meget større påvirkning, men ud fra forsøget var det ikke tilfældet.

Cykloiden er virkelig en tautochron bane!

5. Det tautochrone pendul

Da Christiaan Huygens havde fundet frem til, at cykloiden var den tautochrone bane, var hans næste problem at få konstrueret et pendul, hvor loddet i pendulet netop ville følge sådan en bane. Han fandt frem til at en måde at opnå dette var ved at konstruere en cykloideafvikler og placere den som vist på Figur 7. Når vi skal bevise, at pendulet vil følge en cykloidebane må vi lave nogle antagelser først. Vi antager at vores pendul har længden

                                            x      − sin
                                           ⎛  ⎞ ⎛       ⎞
4 og cykloideafvikleren har parameterfremstillingen: ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ og den vil være i
                                           ⎜  ⎟ ⎜       ⎟
                                             y        + 1cos

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ θ θθ

intervallet ≤≤−. Røringspunktet mellem de to halve cykloidebaner vil dermed

πθπ være (0,2) dette punkt kaldes S. Her fastgøres pendulet. Når pendulet svinger fra venstre mod højre, vil pendulet følge cykloideafvikleren indtil punktet R. ”Resten” af pendulet vil fortsætte som en tangent til cykloideafvikleren og slutte i punktet P.

Side 22

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

22

Figur 7 Pendul med cykloide afviklere

Da ⎜_{⎜}^{⎛}^{x}_{y} ⎟_{⎟}^{⎞} = ⎜_{⎜}^{⎛}^{−} ⎟_{⎟}^{⎞} ⇒ ⎜_{⎜}^{⎛}^{x}_{y}^{'}_{'} ⎟_{⎟}^{⎞} = ⎜_{⎜}^{⎛}_{−}^{−}_{sin} ⎟_{⎟}^{⎞}

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ 1cos

θ θ θ θθ sin cos1

Længden af en af cykloideafviklerene kan nu findes på følgende måde:

( ) ( ) ( ) cos12cos22sincos1'' ddddyx

     −⋅=−=−+−=+
∫∫∫∫
000

ππππ θθθθθθθθ

22

0

22

Ved brug af formel 2 bliver det til:

                                               0
    ⎛ ⎞                        ⎤
   2
⋅⋅ sin22          dd       cos22      cos4 −⋅−= cos  ( )  =−⋅−= 4104
                               ⎥
     2                        2          2     2
    ⎝ ⎠                        ⎦
                                0

    ⎛ ⎞     ⎡
  ⋅= sin2    −⋅=
∫∫          ⎢
     2
    ⎝ ⎠     ⎣
00

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ πθ θ θ θ θ π ππ

Og afstanden langs cykloidebanen kan findes på samme måde:

2 2 2 2 2

dyx cos22'' cos4 −⋅−= cos cos4 −⋅−= −= cos441

0

∫_{0} ⎢_{⎣}^{⎡}^{−⋅=+} ⎥_{⎦_{0}}^{⎤}

22 θθθθ θ θ θ

⎜ | ⎟ | ⎜ | ⎟
⎝ | ⎠ | ⎝ | ⎠
⎛ | ⎞ | ⎛ | ⎞

Og da pendulet har længden 4 vil længden af vektoren RP være lig

2 2

−−=RP cos444 = cos4

θθ

⎜ | ⎟
⎝ | ⎠
⎛ | ⎞

Side 23

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

23

Og da RP er tangent til cykloide afvikleren har den retningsvektoren_{sin}^{cos1} ⎜_{⎜}^{⎛}^{x}_{y}_{'}^{'} ⎟_{⎟}^{⎞} = ⎜_{⎜}^{⎛}_{−}^{−} ⎟_{⎟}^{⎞}

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ θ θ

RP vil dermed have parameter fremstillingen:

⋅ ⎜ ⎟ ⇒

⎜ ⎟

+ yx ''^{22} ⎝ ⎠

⎛ ⎞

− sin

RP − cos1

θ θ

For at kunne forkorte denne for jeg brug for formlen:

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

v ⋅= sin2sin ⋅ cos

2 2 vv

Den er udledt i bilag 4 og jeg vil referere til den som formel 4.

                  ⎜                            ⎜
                                             2222
                   −                            −
( ) ( ) ( ) ( ) −+− sincos1            −+− sincos1

RP = ⋅ = ⇒

⎜ | ⎟

⎜ sin ⎜ ⎟ ⎟

⎜ | ⎟

⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎜ ⎝ ⎠ ⎟

sin ⎜ ⎟ ⎜ ⋅− sin2 ⋅ cos ⎟ ⎜ − cos2 ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜ ⎟

cos2 ⎜ sin2^{2} ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ sin ⎜ ⎟ ⎟

⎜ | ⎟

⎜ ⎝ ⎠ ⎟

⎜ cos2 ⎟

⎝ | ⎠
⎛ | ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅⋅ sin2 ⋅ cos

⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠

2 ⎛ ⎞

⋅ sin2^{2}

2 ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎛ ⎞ 2

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⋅ ⎜ ⎟ formelogformelafbrugvedogRP 42 ⇒

⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 ⎛ ⎞

− sin

− cos1

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

RP = ⋅ ⎜ ⎟ = ⋅ ⎜ ⎟ ⇒

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 ⎛ ⎞ 2 ⎛ ⎞

− sin − sin

− cos1 − cos1

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

      2
⋅ sin22

= ⋅ ⎜ ⎟ ⇒ formelafbrugvedRP 2

⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 ⎛ ⎞

− sin

− cos1
− cos22

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

RP = ⋅ ⎜ ⎟ = ⋅ ⎜ ⎟ ⇒

⎟ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 ⎛ ⎞ 2 ⎛ ⎞

− cos1 − cos1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 2

2

2 2

2

2 sin cos2

2 sin2 cos4 cos4

2 cos4 sin sin cos4 cos4 θθ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θθ θ

Side 24

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

24

       ⎟ = ⎜       ⎟
       ⎟  ⎜        ⎟
( )  +⋅− 1cos2   −− 2cos2
       ⎠  ⎝        ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜

RP = ⎜

⎝

= = ogformelafbrugvedRP 43 ⇒

⎜ | ⎟ | ⎜ | ⎟
⎜ | ⎟ | ⎜ | ⎟
⎜ | ⎟ | ⎜ | ⎟

⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟

⎜ cos2 ⋅ sin2 ⎟ ⎜ cos4 ⋅ sin ⎟

⎝ | ⎠ | ⎝ | ⎠
⎛ | ⎞ | ⎛ | ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅− cos2 ⋅⋅ cos2 ⋅− cos4^{2}

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ sin2 sin2

2 2 2

2 2 2 2 θ θ θ θ θ θθ θθ θθ

                                     x        −            −
                                    ⎛    ⎞  ⎛         ⎞  ⎛       ⎞
Vektoren SR har parameterfremstillingen: ⎜ ⎟ = ⎜      ⎟ = ⎜      ⎟ da den
                                    ⎜    ⎟  ⎜         ⎟  ⎜       ⎟
                                     y − 1cos 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−+ 21cos −

sin sin θ θθ θ θθ starter i punktet (2,0)

Og fra vektorregning ved vi at: RPSRSP =+= ⎜_{⎜}^{⎛}^{−} ⎟_{⎟}^{⎞} + ⎜_{⎜}^{⎛}^{sin2} ⎟_{⎟}^{⎞} ⇒

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− 1cos −− 2cos2

sin θ θ θ θθ

          ⎟ = ⎜     ⎟
          ⎟  ⎜      ⎟
( )    −−+− 2cos21cos − 3cos
          ⎠  ⎝      ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+− sin2sin + sin

⎜

SP = ⎜

⎝ θ θθ θθ θθθ

                                                    + sin         + sin
                                                  ⎛          ⎞ ⎛       ⎞
Og da SP starter i (0,2) vil den bane P vil bevæge sig i være: ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
                                                  ⎜          ⎟ ⎜       ⎟
                                                          +− 23cos

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− 1cos

θ θθ θ θθ

Dette er parameterfremstillingen for en cykloide. Dermed er det bevist, at den bane, et pendul der følger en cykloideafvikler vil svinge, er en cykloide!

Da Christiaan Huygens havde opdaget dette, var hans næste idé naturligvis at konstruere dette pendul og indsætte det i et ur. Det gjorde han også, men desværre viste det sig, at friktionen mellem snoren i pendulet og cykloideafvikleren gjorde pendulet endnu mere upræcist end et almindeligt pendul.

Side 25

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

25

6. Konklusion

Ved hjælp af matematiske beregninger for 3 forskellige baner (den lige bane, cirkelbanen og cykloidebanen) er det bevist, at den brachistochrone bane, dvs. den bane mellem to punkter A og B i et lodret plan, ad hvilken et legeme– kun accelereret af tyngdekraften – på den korteste tid vil komme fra A til B, er en cykloidebane. Dette er også dokumenteret ved hjælp af forsøg udført med et faldapparat i Hauchs Physiske Cabinet.

Desuden er det bevist, at den tid, det tager at bevæge et legeme fra et vilkårligt punkt på en cykloidebane til bunden af samme, er uafhængig af, hvor på cykloiden man starter, og

det er bevist, at faldtiden er_{g}^{r} t ⋅=, hvor den eneste variabel er radius af den cirkel,

π der har dannet cykloiden. Det betyder, at cykloidebanen også er en tautochron bane.

Denne egenskab ved cykloidebanen er også eftervist ved forsøg med ovennævnte faldapparat.

Endelig er det bevist, at man teoretisk set kan lave et tautochront pendul, dvs. et pendul med konstant svingtid, selv når pendulet taber energi. Dette kræver, at pendulet er forsynet med cykloideafviklere, for så bliver pendulets bane også en cykloidebane.

Side 26

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

26

Litteraturliste

Elvekjær, Finn og Benoni, Torben, FysikABbogen 2, Systime, 1. Udgave, 2006

http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_problem

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Brachistochrone.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Brachistochrone.html

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ParaArea.aspx

http://en.wikipedia.org/wiki/John_Harrison

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/T/tautochrone_problem.html

Side 27

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

27

Bilag 1 Målskitse af faldapparat

Side 28

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

28

Bilag 2 Tabeller over tider målt på baner

Cykloidebanen

start tid / s

1,205 0,

1, 0,135

1, 0,

1,405 0,27

1, 0,

slut tid / s

1,54 0,

delta t / s 0,335 0,335

Cirkelbanen

start tid / s

1, 2,615 1,47

1,805 2, 1,

1, 2, 1,

1, 2, 1,67

2,005 2, 1,

2, 2,95 1,

slut tid / s

2, 3, 1,87

delta t / s

0,4 0, 0,4

Den lige bane

start tid / s

2, 1,81

2, | 1,
2, | 1,
2, | 2,

2,41 2,

2, 2,145

2, | 2,

2,61 2,

slut tid / s

2, | 2,

delta t / s 0, 0,

Side 29

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

29

Bilag 3 Sinus formler

På Figur 8 ses en enhedscirkel og 2 vektorer, hver med længden 1. Den ene er drejet vinklen u fra x-aksen og den andet er drejet vinklen v fra x-aksen. Dette medfører at skalarproduktet af de 2 vektorer er:

cos11 ( ) vu =−⋅⋅ ⎜_{⎜}^{⎛}_{sin}^{cos} ( ) ( ) ( ) ( ) sinsincoscos vuvu ⇒⋅+⋅=

( )_{⋅}_{⎜_{⎜}^{⎛}} u_{⎟_{⎟}^{⎞}} cos ( ) v_{⎟_{⎟}^{⎞}}
( )_{⎝} u_{⎠} sin ( ) v_{⎠}

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sinsincoscoscos vuvuvu ⇒−⋅+−⋅=−−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sinsincoscoscos vuhvisogvuvuvu ⇒=⋅−⋅=+

              22
( ) ( ) ( ) sincos2cos vvv ⇒−=

       ⎛ ⎞    ⎛
              22
( ) v = coscos − sin formel 1
        2
       ⎝ ⎠    ⎝

      22                          ⎪
( ) ( ) += sincos1              iongrundrelatrisketrigo nometvvatvedviog
                                  ⎭

formeliongrundrelatrisketrigonomet 1 ⇒−

2 ⇒

⎪

⎬ vv ⎫

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎠

⎞

⎝

Figur 8 Enhedscirkel med vektorer

Side 30

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

30

( ) v =− ⎜_{⎜}^{⎛} coscos1 ⎜^{⎛}_{2} ⎟^{⎞} + sin ⎜^{⎛}_{2} ⎟^{⎞} ⎟_{⎟}^{⎞} − ⎜_{⎜}^{⎛} cos ⎜^{⎛}_{2} ⎟^{⎞} − sin^{2222} ⎜^{⎛}^{vvvv}_{2} ⎟^{⎞} ⎟_{⎟}^{⎞} ⇒

( ) v =− coscos1 ⎜^{⎛}_{2} ⎟^{⎞} − cos ⎜^{⎛}_{2} ⎟^{⎞} + sin ⎜^{⎛}_{2} ⎟^{⎞} + sin^{2222} ⎜^{⎛}^{vvvv}_{2} ⎟^{⎞} ⇒

          v
         ⎛ ⎞
        2
( ) v ⋅=− sin2cos1 ⎜ ⎟ formel 2
          2

og

⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) v = coscos_{⎝}^{⎛}_{2}_{⎠}^{⎞} − sin^{22}_{⎝}^{⎛} formel 1 ⇒

( ) v = coscos_{⎝}^{⎛}_{2}_{⎠}^{⎞} ⎜_{⎜}^{⎛} −− cos1_{⎝}^{⎛}_{2} ⎟_{⎟}^{⎞} = cos_{⎝}^{⎛} +− cos1^{2222}_{⎝}^{⎛}_{2}^{vvvv} ⇒

          v
         ⎛ ⎞
        2
( ) v ⋅= cos2cos − formel 31
          2
         ⎝ ⎠

2

2 vv

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎠ ⎠ ⎠

⎞ ⎞ ⎞

⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎠

⎞

Ved hjælp af formel 2 og 3 kan vi også finde at:

                            ⎛        vv  ⎞
                        ⎛ ⎞        ⎛  ⎞
                                   2222
( ) ( )( )      vvvv =+−=−= sin2cos1cos1cos1sin ⎜ +⋅ cos21 − 1 ⎟ ⇒
                            ⎜            ⎟
                         2           2
                        ⎝ ⎠        ⎝  ⎠

    2             vv
          ⎛ ⎞    ⎛
  2             22
( ) v = sin2sin ⋅ cos2 ⇒
           2      2
          ⎝ ⎠    ⎝

v ⋅= sin2sin ⋅ cos formel 4

2 2 vv

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎠

⎞

⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Side 31

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

31

Bilag 4 Differentiering af invers

Vi starter med at antage følgende om f:

( ) xf_{0} ≠ 0'

         1
  −− 1
( ) ' ( ) yfogyiabeldifferentif ⇒=⇒
     0
         ' ( ) xf
           0

( ) = yxf
      00

            ⎬
( )       +=+ kyhxf
            ⎭

( ) ( ) ( ) ( )_{00} +=+==−+⇒ hxkyfogxyfogkxfhxf

         −− 1
( ) ( ) −+ yfkyf          −+ xhx          h
  0                         000
               =

                            =                =
k              ( ) ( ) ( ) ( ) −+ xfhxf −+ xfhxf
                                           0000

( ) ( ) −+ xfhxf
          00

' ( ) xf_{0}

         −− 1
( ) ( ) −+ yfkyf
  0         0

                      − 1
                                                      ⎪
og                  ( ) ( ) ( ) ( )               hforxfhxfkdayf →→−+=→ 00'
                                                      ⎪

( )^{−}^{1} ' ( ) yf_{0} =
' ( ) xf_{0}

000

1

1

00 00

1 −− 1

00

0

1

0

1 hfor →→ 0

11

Beviset: k h

    ⎬
∈  Ixiabeldifferentif
    ⎪

Iimonotonf

Iikontf

⇒

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎫

⎪

⎭

⎪

⎪

⎫

Hvis f(x)=sin(x) medfører dette:

Side 32

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

32

( ) = sin xxf

                ⎪
( )       ≠= 0cos' Iixxf
                ⎪

( ) ( ) ( ) = sin^{−−}^{11} yyf

  − 1
( ) ' ( ) yf              ====      =      ⇒
     0
                             −

' ( ) cos xxf
         00

( ) ( )^{2} cos_{0} sin1 xx_{0}^{2}

                        1
      − 1
( ) ( ) ( )      'sin pfppf =⇒=

1 − p_{0}^{2}

1 − y_{0}^{2}

00

1 1 1 1 1

2 2 ikontinuertf,

22 ⎪

Iivoksendef

x ≤≤

⇒

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎢ ⎥ ⎬

⎫

⎣ ⎦

⎡ ⎤

−

− ππ ππ

Side 33

Øregård Gymnasium 3.y

Studieretningsprojekt 2008 – 2009

33

Bilag 5 Tabel over tider målt på cykloidebane

Kolonne1 forsøg 1 forsøg 2 forsøg 3 forsøg 4 forsøg 5 forsøg 6 forsøg 7

Ind port 1 / s 1,8275084 5,7128852 0,3289852 7,6621864 0,4309096 4,4134856 0,3941844
Ud port 1 / s 1,881692 5,7695848 0,397186 7,7392864 0,4963104 4,5278852 0,4995948
Ind port 2 / s 2,1607824 6,0548852 0,6712852 8,004584 0,7807164 4,7628844 0,7280096
Ud port 2 / s 2,1737856 6,0699852 0,6875852 8,0267064 0,805992 4,8002232 0,7760016

Faldtid =
Ind port 2 - Ind port 1 / s 0,333274 0,342 0,3423 0,3423976 0,3498068 0,3493988 0,3338252

Afstand mellem porte / cm 47 41 38 30 22 16 10

Middelværdi af faldtider = 0,341857 s.

Standardafvigelse = 1,92 % af middelværdien.