SRP: Fysikkens udvikling & Den Specielle Relativitetsteori

Side 1

SRP vinteren

2012

STX 3.g

[RELATIVITETSTEORI]

Side 2

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 2

Abstract

In this paper we will through math and physics examine some of the consequences of Albert Einstein’s spe-cial theory of relativity.

I will with physics focus a lot on explanation of some of the theory in Einstein’s special relativity, and with math try to support my argumentation. Furthermore I will try to use examples and try to solve some prob-lems to show my understanding with the subject.

You shall with the paper be introduced to the classical physics, which was highly influenced by the ideas of Issac Newton and Galileo Galilei. We shall see how the classical physics reaches its end, and how Einstein’s conclusions of the speed of light through the Michelson Morley disproof of the ether theory, and the showdown of Newtons absolute time and space, leads to the special theory of relativity.

Furthermore there will be a focus on the Lorentz-transformation, which replaced the galilei-transformation from the classical physics, and we shall with the new transformation see, how space and time and there-fore simultaneity become relative measures, which depend on the observer’s velocity.

Additionally, the paper will introduce the mathematics of limits and continuity, and we shall with this look at some of the consequences of relativistic addition of velocity, and for example see, that no solid can reach higher velocity than the light!

Side 3

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 3

Indhold

Indledning .......................................................................................................................................................... 4

1. Den klassiske fysik ..................................................................................................................................... 5

1.1 Newtons verden ....................................................................................................................................... 5

1.2 Galilei-transformationen ......................................................................................................................... 5

1.3 Den klassiske fysiks begrænsning ............................................................................................................ 7

1.4 Michelson-Morley forsøget ..................................................................................................................... 7

2. Den specielle relativitetsteori .................................................................................................................. 10

2.1 Fundamentet ......................................................................................................................................... 10

2.2 Konsekvenser af den specielle relativitetsteori ...................................................................................... 10

2.3 Lorentztransformationen ....................................................................................................................... 11

2.4 Tidsforlængelse ...................................................................................................................................... 14

2.5 Længdeforkortelse ................................................................................................................................. 15

2.6 Bilagsopgave.......................................................................................................................................... 16

3. Grænseværdi og kontinuitet ................................................................................................................... 17

3.1 Om grænseværdi og kontinuitet ............................................................................................................ 17

3.2 Regning med grænseværdier ................................................................................................................. 19

3.3 Relativistisk addition af hastigheder ..................................................................................................... 20

4. Bestemmelse af lysets hastighed ............................................................................................................ 22

4.1 Formål og fremgang .............................................................................................................................. 22

4.2 Teori ....................................................................................................................................................... 22

4.3 Data og behandling ............................................................................................................................... 24

4.4 Vurdering og konklusion af forsøget ..................................................................................................... 25 Konklusion ....................................................................................................................................................... 27 Perspektivering ................................................................................................................................................ 27 Litteraturliste ................................................................................................................................................... 28 Bilag ................................................................................................................................................................. 29

1. Eksempel 2, epsilon og delta ............................................................................................................... 29

2. Materiale og fremgangsmåde for forsøg med lysets hastighed ......................................................... 29

3. Grafer for målepunkter af forsøget ..................................................................................................... 30

Side 4

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 4

Indledning

De fleste ved hvem Albert Einstein er, og ”Einstein” er vel gået hen og blevet mere end bare en ualminde-ligt dygtig fysiker, men nærmest et symbol for klogskab, ligesom Sherlock Holmes er det inden for detektiv-arbejdet. Forskellen er bare lige, at Einstein ikke er nogen fiktiv person, men et vaskeægte geni fra Tysk-land, som har grundlagt teorier, som i et godt århundrede nu har været fundamentet for meget forståelse af den naturvidenskabelige verden.

Mit overordnede emne er relativitetsteori, men relativitetsteori består egentlig af to teorier. Begge teorier udarbejdet og formuleret af Albert Einstein. Den første, navnlig: den specielle relativitetsteori, var et af Einsteins tre banebrydende postulater i 1905, og den anden: den generelle relativitetsteori, publicerede Einstein, efter nogle års arbejde, i 1916. Den specielle relativitets teori behandler forholdsvist simple anta-gelser og konklusioner, og store dele af den kan behandles med enkle matematiske midler. Om denen ge-nerelle relativitetsteori derimod, er mit indtryk, at man nok ikke kaste sig ud i den, med mindre man er usædvanligt skarp indenfor både fysik og matematik.

I denne opgave er der lagt fokus på den specielle relativitetsteori. Opgaven dækker ikke alle konsekvenser-ne af den specielle relativitetsteori, som fx dem indenfor masse og energi, men vil i høj grad, have fokus på den betydning, den har haft, for vores forståelse af rum og tid. Jeg vil undersøge hvilke opfattelser der kom før Einsteins, og vi skal derfor et kig tilbage i tiden, til det man kalder ”den klassiske fysik”. Derefter vil jeg gå til den specielle relativitetsteori hvor jeg ved hjælp af Lorentz-transformationen, eksempler og opgave-regning, vil forsøge at forklare nogle af konsekvenserne for relativitetsteorien.

Vi skal desuden også se på regning med grænseværdier, og kigge lidt på relativistisk addition af hastighed, hvorefter jeg til slut vil vise et forsøg, hvor jeg med forholdsvis enkle midler vil forsøge at bestemme lysets hastighed.

Jeg vil i høj grad forsøge at benytte tankeeksempler bag forståelsen af fysikken i denne opgave, og med matematikken underbygge og støtte de fysiske antagelser og konklusioner, som der vil være mange af.

Fysik vil altså i høj grad blive brugt som et tanke-fag, med kvalitative forklaringer mere end formler, hvor-imod jeg vil forsøge at bruge matematikken til vise de kvantitative forhold for fx Lorentz-transformationens på visning af relativ tid og længde.

Side 5

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 5

1. Den klassiske fysik

1.1 Newtons verden

Isaac Newton() er nok i almindelighed mest kendt for hans beskrivelse af tyngdekraften, samt hans 3 toneangivende love, som i dag stadig er fundamentale i forhold til forståelsen af legemers bevægel-se og deres påvirkning fra kræfter.

Den klassiske fysik var baseret på Newtons tanker om et absolut rum og absolut tid. Jeg tillader mig her, selvom det er tidligt, at gøre brug af et af Newtons egne citater, simpelthen fordi jeg synes, at det er den bedste måde at introducere begreberne på:

”Fuldkommen, sand og matematisk tid, som går af sig selv og er af sin egen natur, flyder jævnt uden relati-oner til noget ydre, og med et andet udtryk kaldes det varighed. Tilsvarende er det fuldkomne rum af sin

                                                                      1
egen natur og uden relation til noget ydre, og det forbliver altid ensartet og urokkeligt.

Under Newtons klassiske fysik, hører altså, og det skal netop vise sig, at være kontrasten til Einsteins relati-vitetsteori, at tid og rum er absolutte. Det betyder altså, at opfattelsen af tid og afstand er ens uanset un-der hvilke forhold de observeres. Ja for tiden, som Newton siger: forløber altid konstant, og rummet forbli-ver ensartet, altså begge uafhængige af hvor eller under hvilke omstændigheder de konstateres!

Newton beskriver imidlertid også relativitet til en hvis grad, for selvfølgelig kan en person i hvile stå på land og iagttage en sømand bevæge sig af sted med skibets fart, og nok kan en person fra rummet, observere denne stationære person på land, flytte sig af sted med en relativ stor hastighed, nemlig jordens hastighed i

rummet, men Newton forestillede sig dog, ét absolut rum, som den primære scene for alt mekanik.^{2}

1.2 Galilei-transformationen

En anden toneangivende fysiker under den klassiske fysik, var Galileo Galilei(). Det var ham der for alvor satte gang i den moderne naturvidenskabelige metode, baseret på erfaring samt systematiske eksperimenter og observation af naturens gang. Det var fx ham der indså, at jorden ikke kunne være uni-versets centrum. Det jeg vil beskæftige mig med, i denne omgang, omfatter dog en af Galileis andre indsig-ter, nemlig det vi i dag kalder ”Galileisk relativitet”. Det var nemlig Galilei der under den klassiske fysik erkendte at

                                                                      3
”Identiske eksperimenter udført i forskellige inertialsystemer giver identiske resultater” .

Dette beskrev Galilei godt, i det han observerede, at alle mekaniske bevægelser på et skib, var ens, uaf-hængig af om skibet var i bevægelse eller ej.

Et inertialsystem som jeg lige nævnte, er en referenceramme, et koordinatsystem, hvori Newtons første lov, inertiens lov: et legeme, der ikke påvirkes af ydre kræfter, vil enten være i hvile eller udføre en jævn, retlinjet bevægelse, gælder! Det vil altså sige, at alle legemer i inertialsystemet, er uden påvirkning af ydre kræfter og bevæger sig med den samme konstante, retlinede bevægelse. Inertialsystemer fremkommer både i den klassiske og fysik og relativitetsteorien, som referencerammer over det hele, til beskrivelse af tid

1

EOR Side 44

2

ISR Afsnit 1.1

3

Citat fra TRV, Kapitel om relativitetsteori, side 46

Side 6

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 6 og sted, og forholdet mellem sådanne to inertialsystemer blev under den klassiske fysik forbundet med galileitransformationen.

Vi vil betragte to inertialsystemer, som bevæger sig med en konstant jævn bevægelse i forhold til hinanden.

Det ene system har koordinaterne 𝑆(𝑥,𝑦,𝑧) og det andet 𝑆ʼ(𝑥′,𝑦′,𝑧′). Overalt i de to systemer er tiden

defineret ens, henholdsvis som t og t’. De to systemer er sammenfaldne i tiden 𝑡=𝑡^{′} =0, men grundet de

indbyrdes hastigheder glider systemet S’ ud af S.

Figur 1: Skitse lånt fra Introduktion til den specielle relativitetsteori, af Mogens Dam. Vi ser hvordan system S’ glider ud af S grundet hastighedsforskellen v.

Figur 1, hjælper med at illustrere de følgende sammenhænge mellem koordinaterne for de to systemer, idet S’ som sagt bevæger sig med hastigheden v i forhold til S:

Disse sammenhænge kalder vi for Galilei-transformationen.

Jeg kender fra både matematik og fysik til Newtons infinitesimalregning (differential- og integral-regning) som kan bruges til, at beskrive forholdene mellem sted, hastighed og acceleration. Differentierer vi eksem-pelvis en stedfunktion, får vi hastighedsfunktionen idet

𝑠^{ʹ} ( 𝑡) =𝑣 ( 𝑡)

Galilei-transformationerne må derfor kunne omsættes til sammenhæng mellem hastigheder ved at diffe-rentiere venstresiden med hensyn til t og højresiden med hensyn til t’.

𝑑𝑥 𝑑𝑥^{′}
𝑑𝑡 𝑑𝑡^{′}

= + 𝑣

𝑑𝑦 𝑑𝑦′ 𝑑𝑡 𝑑𝑡′

=

𝑑𝑧 𝑑𝑧′ 𝑑𝑡 𝑑𝑡′

=

Jeg vælger hastighederne

(,,)= ( 𝑢_{𝑥},𝑢_{𝑦},𝑢_{𝑧}) 𝑜𝑔 (,,) =(𝑢_{𝑥} ′,𝑢_{𝑦ʹ},𝑢_{𝑧ʹ})

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥^{′} 𝑑𝑦′ 𝑑𝑧′
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡^{′} 𝑑𝑡′ 𝑑𝑡′

Der må gælde at derfor gælde

𝑑𝑥 𝑑𝑥^{′}
𝑑𝑡 𝑑𝑡^{′}

= + 𝑣⟺𝑢 =𝑢_{𝑥′} + 𝑣

𝑥

𝑥=𝑥^{′} + 𝑣𝑡^{′}
𝑦=𝑦^{′}
𝑧=𝑧^{′}
𝑡=𝑡^{′}

𝑥^{′} =𝑥+ ( −𝑣) ∗ 𝑡=𝑥− 𝑣𝑡
𝑦^{′} =𝑦
𝑧^{′} =𝑧
𝑡^{′} =𝑡

Uddybning:

Vi kan altså ifølge Galilei transformationen, foretage simpel addition af hastigheder. Jeg kan vælge transportbåndet i lufthavnen som et inertialsystem S’, som bevæger sig med en hastighed v i forhold

til gulvet som har referencerammen S. Går vi på transportbåndet med 5 km/t (u_{x’}), mens transport-
båndet løber med 20 km/t (v), vil vi altså alt i alt bevæge os med 25 km/t (u_{x}), i forhold til gulvet ved

siden af transportbåndet.

Side 7

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 7

Da v er konstant får vi ved fortsat differentiation af hastigheden, accelerationen som jeg betegner a:

𝑎_{𝑠} =𝑎_{𝑠′}

Det fremgår altså, at accelerationen i de to systemer S og S’ er den samme! Man siger at accelerationen er

                                      4
invariant overfor Galilei-transformationerne. Da accelerationen er invariant, så må Newtons 2. lov

𝐹=𝑚 ∗ 𝑎 også være uafhængig af hvilket system vi befinder os i.

                              5
1.3 Den klassiske fysiks begrænsning

Newtons love og Galilei transformationen var i et par århundrede, fundamentet for verdensopfattelsen.

Men i slutningen af 1800 tallet opstop nogle opsigtvækkende antagelser, især i forhold til lysets og dets udbredelse, der for alvor satte spørgsmålstegn ved den klassiske fysik.

For det første var det et problem, at legemer jo tilsyneladende, ifølge Galilei-transformationen, kunne opnå uendeligt høje hastigheder. Der var ikke nogen øvre grænse for et legemes bevægelseshastighed, og det var lidt underligt, eftersom der aldrig var målt nogen hastigheder større end lysets!

For det andet var det et centralt problem, at det efterhånden tydede på, at lyset havde samme hastighed i alle inertialsystemer, på trods af inertialsystemets bevægelse, hvilket jo ikke stemte overens med Galilei-transformationens simple addition af hastigheder.

I slutningen af 1800-tallet fremlagde en skotsk matematiker ved navn James Clark Maxwell, et sæt af lignin-ger til beskrivelse af lysets udbredelse. Maxwell beskrev lysets udbredelse som elektromagnetiske bølger,

og lyset skulle tilsyneladende bevæge sig med en konstant hastighed c^{6}. Man kunne dog ikke forklare igen-

nem hvad, lyset udbredte sig, og til det brugte man derfor den såkaldte ”æter”, som skulle være fysikernes

desperate forsøg på at forklare det medium som lysets, måtte udbrede sig igennem.^{7} Æteren skulle være i

hvile i forhold til solen, og med hensyn til den Newtonske og Galileiske mekanik, måtte det betyde, at jor-den eksempelvis bevægede sig med en hastighed v i forhold til æteren, som måtte svare til jordens bevæ-gelsesfart rundt om solen.

                         8
1.4 Michelson-Morley forsøget

4

ISR Afsnit 1.4

5

Bygget på FIG Afsnit 9.3

6

http://videnskab.dk/verden-pa-formler/maxwell-ligningerne-inspirerede-einstein

7

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Relativitetsteori_og_gravitation/relativitetsteori

8

Bygget på FIG Afsnit 9.32

Side 8

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 8

Det var altså undertiden af stor interesse, at bevise den såkaldte æters eksistens, ved direkte måling. De to omtalte fysikere, kendt Michelson og Morley, forsøgte i slutningen af 1800-tallet, at vise, at lysets hastighed måtte være højere, når den udbreder sig med jordens bevægelsesretning, end når den udbreder sig på

tværs af den. Jorden bevæger sig nemlig med en hastighed på 30 km/s i sin bane omkring solen, og ifølge

Galilei-transformationen, måtte lysets hastighed i jordens bevægelsesretning jo have en større hastighed, end på tværs! Det skulle dog vise sig, at lysets hastighed var den samme i alle retninger.

Forklaring til figur 2: Lyset som udsendes fra lysgiveren P’ rammer det halvgennemsigtige spejl A’, som del-vist sender lyset opad mod C’, og delvist lader lyset passere imod B’. Lyset tilbagelægger afstanden A’B’, i jordens bevægelsesretning, mens lyset tilbagelægger afstanden A’C’ på tværs af jordens bevægelsesret-ning. Begge disse lysstråler reflekteres i de faste spejle(C’ og B’) og opfanges af en detektor i O’, efter altså at have tilbagelagt den samme afstand, men i forskellige bevægelsesretninger. Jeg angiver symbolerne med mærke, idet de antages i det inertialsystem, S’, som har reference til jorden.

”Ifølge Galileitransfomrationen vil lyset bruge forskellige tider på at tilbagelægge de to afstande A’B’A’ og

                                                      9
A’C’A’, hvorved der opstår interferens fænomener ved skærmen O’” .

Disse to omtalte tider, kalder vi t’ og t’ (tiden henholdsvis parallelt og vinkelret på jordens bevægelse) og
                            p    v

dem kan vi beregne. Vi ved at afstandene 𝐴^{′} 𝐵^{′} 𝑜𝑔 𝐴′𝐶′ er lig hinanden og sætter disse afstande lig l’.

Lad os først se på tiden for det lys der bevæger sig parallelt med jordens bevægelsesretning, 𝑡 idet vi hu-
                                                                             𝑝′

sker fra galileitransformationen at 𝑢 =𝑢 + 𝑣:
                             𝑥    𝑥′

𝑐_{𝑠} =𝑐_{𝑠}^{′} + 𝑣⟹𝑐_{𝑠} =𝑐_{𝑠} − 𝑣

′

Lyshastigheden for afstanden A’B’ i systemet S’, må kunne beskrives som 𝑐_{𝑆} ′=𝑐_{𝑠} − 𝑣. Og lyshastigheden i
𝑐_{𝑆} ′ for afstanden B’A’ kunne beskrives som 𝑐_{𝑆′} =𝑐_{𝑆} − ( −𝑣) =𝑐_{𝑠} + 𝑣 i det hastigheden af S i forhold S’

netop er –!

                                𝑠
Tiderne må kunne udtrykkes som 𝑡= altså tiden lig strækning/hastighed, og strækningen havde vi jo i
                                𝑐 ′
                                𝑠

begge tilfælde defineret som l’. Jeg kan ved substitution udtrykke om tiden 𝑡 ′
                                                              𝑝

9

Fra FIG Afsnit 9.3.2

Figur 2 Til illustration af Michelson-Morley forsøget samt hastighedstrekanten til udregning af c ’
                                                                                s

Side 9

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 9

𝑡_{𝑝}^{′} =𝑡_{𝐵′𝐴′}^{′} + 𝑡_{𝐴′𝐵′}^{′} = +

𝑙^{′} 𝑙^{′}
𝑐_{𝑠} + 𝑣 𝑐_{𝑠} − 𝑣

Jeg finder fælles nævner og sætter under fælles brøkstreg:

𝑡_{𝑝}^{′} = + = + =

𝑙^{′} 𝑙^{′} 𝑙^{′} ( 𝑐_{𝑠} + 𝑣) 𝑙^{′} ( 𝑐_{𝑠} − 𝑣) 𝑙^{′} ( 𝑐_{𝑠} + 𝑣) + 𝑙^{′} (𝑐_{𝑠} − 𝑣)
𝑐_{𝑠} − 𝑣 𝑐_{𝑠} + 𝑣 ( 𝑐_{𝑠} − 𝑣) (𝑐_{𝑠} + 𝑣) ( 𝑐_{𝑠} + 𝑣)( 𝑐_{𝑠} − 𝑣) ( 𝑐+ 𝑣)( 𝑐− 𝑣)

Jeg løser kvadratsætningen som nu er fælles nævner:

𝑡_{𝑝}^{′} =

𝑙^{′} (𝑐_{𝑠} − 𝑣) + 𝑙^{′} ( 𝑐_{𝑠} + 𝑣)
𝑐^{2} − 𝑣^{2}
Udregner vi parenteserne i tælleren ser vi at –l’v og +l’v går ud med hinanden og tilbage er:

𝑡_{𝑝}^{′} =

2𝑙^{′} 𝑐_{𝑠}
𝑐^{2} − 𝑣^{2}
Tiden 𝑡_{𝑣} ′ altså tiden for lyset vinkelret på jordens bevægelsesretning, i det vi benytter hastighedstrekan-
ten(se figur 2) hvor hypotenusen er 𝑐_{𝑠}, og kateterne henholdsvis 𝑐_{𝑠} ′ og v, hvorfor vi af pythagoras sætning
får 𝑐_{𝑠}^{2} =𝑐_{𝑠′}^{2} + 𝑣^{2} →𝑐_{𝑠}^{′} =√𝑐_{𝑠} 2 − 𝑣^{2}:

𝑡_{𝑣}^{′} =𝑡_{𝐴′𝐶′}^{′} + 𝑡_{𝐶′𝐴′}^{′} = + = + =

𝑙^{′} 𝑙^{′} 𝑙^{′} 𝑙^{′} 2𝑙^{′}
𝑐_{𝑠} ′ 𝑐_{𝑠} ′
√ 𝑐_{𝑠}^{2} − 𝑣^{2} √ 𝑐_{𝑠}^{2} − 𝑣^{2} √ 𝑐_{𝑠}^{2} − 𝑣^{2}

Vi kan nu finde forskellen Δ𝑡′ mellem de to tider, idet jeg finder fælles nævner, samler brøkerne under en brøkstreg, og til slut flytter 2l’ udenfor parentes:

                           ′              ′                   ′       ′
                          2𝑙            2𝑙                   2𝑙    2∗𝑙
                  ′   ′
Δ𝑡             =𝑡  − 𝑡 =      −       =      −             =     −           =
                  𝑝   𝑣   2              2                    2
                          𝑐             𝑐                    𝑐
                          𝑠              𝑠                    𝑠

′

∗𝑐_{𝑠} 2𝑙^{′} ∗𝑐_{𝑠} 2∗𝑙^{′} ∗√𝑐^{2} −𝑣^{2} ∗𝑐_{𝑠} ∗√𝑐^{2} −𝑣^{2}
−𝑣^{2} −𝑣^{2} −𝑣^{2} 𝑐_{𝑠}^{2} −𝑣^{2}
√ 𝑐_{𝑠}^{2} −𝑣^{2} √ 𝑐_{𝑠}^{2} −𝑣^{2} ∗ √ 𝑐_{𝑠}^{2} −𝑣^{2}

2𝑙^{′} ∗𝑐_{𝑠} −2𝑙′∗√𝑐^{2} −𝑣^{2} √_{𝑠} 2_{−𝑣} 2
𝑐_{𝑠}^{2} −𝑣^{2} 𝑐_{𝑠}^{2} −𝑣^{2} −𝑣^{2}

= =2𝑙^{′} ∗^{𝑐_{𝑠}}^{−}_{𝑐_{𝑠}}

2𝑙^{′} ( 𝑐_{𝑠} − √ 𝑐_{𝑠}^{2} −𝑣^{2})

𝑐

2

Her af følger at

Δ𝑡^{′} ≠0 ℎ𝑣𝑖𝑠 𝑣 ≠0

Det betyder altså, at lyset som oprindeligt udsendtes fra P’, ifølge disse ligninger får forskellig fase, alt af-hængig af, om det tilbagelægger afstanden A’B’A eller A’C’A – hvilket som sagt ydermere resulterer i et bestemt interferensbillede i O’. Michelson og Morley roterede nu forsøgsopstillingen 90 grader, således at det var A’B’A der kom vinkelret, mens A’C’A’ nu kom parallelt med jordens bevægelsesretning. Nu forven-tede man, at interferensstriberne rykkede sig under drejning af forsøgsopstillingen, men det viste sig, at interferensstriberne slet ikke rykkede sig! Lysudbredelsen stemte ikke overens med Galilei-transformationen, og en af de mulige forklaringer på dette var, at lyshastigheden kunne være uafhængig af bevægelsesretningen!

Side 10

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 10

2. Den specielle relativitetsteori

2.1 Fundamentet

De mange spørgsmål og undren som efterhånden lagde sig op ad den Newtonske og Galileiske fysik, nåede en sammenfatning og revolutionering igennem Einstein og hans relativitetsteori.

Den specielle relativitetsteori er baseret på 2 grundlæggende postulater:

1. Fysikkens love er ens i alle koordinatsystemer også på trods af deres indbyrdes hastigheder (inspi-reret af Galileis relativitet)

                                                              𝑚
                                                             8
                                                                10
2. Lysets hastighed er endelig og konstant for alle observatører (3.00∗ 10 )
                                                               𝑠

Ifølge det første postulat, kan der ikke være noget særpræget æter eller absolut rum. Alle inertialsystemer er nemlig fuldstændigt ligeværdige, og alle fysikkens love gælder uforandret i dem alle.

Det fremgår desuden, ligesom med Galileitransformationen, at den specielle relativitetsteori er defineret indenfor de samme referencerammer, nemlig inertialsystemerne. Der skal dog vise sig at være den be-grænsning, at ingen legemer kan antage højere hastighed end lysets.

Det andet postulat var løsningen på mange spørgsmål omkring lysets opførsel, der altså siger, at lysets ha-stighed er endelig og konstant, i alle systemer. Man kunne jo forestille sig, at lys der udbreder sig fra en lysgiver med allerede høj hastighed, udbreder sig hurtigere end lys fra en lysgiver i hvile. Sådan er det bare ikke. Lys bevæger sig nemlig altid men med den samme konstante hastighed, igennem det tomme rum,

uanset observatørens bevægelse. Forestil dig, at du kører 130 km/t på motorvejen og tænder for lygterne,

da udbreder lyset sig altså, ”set” fra lygterne, med ja, lysets hastighed! Hverken mere eller mindre. I det europæiske forskningscenter CERN kan fysikere via kilometer lange partikelacceleratorer, accelerere elek-troner op til hastigheder på 0,9998 gange lystes hastighed, og selv hvis du ”sad på elektronen” og betragtede lyset som det udsender, så ville du kunne konstatere at det bevægede sig med netop lystes

hastighed!^{11}

2.2 Konsekvenser af den specielle relativitetsteori

De konsekvenser som jeg vil beskæftige mig med, i forhold til den specielle relativitetsteori, ligger i den nye opfattelse af tid og rum. Hverken absolut rum eller absolut tid fandtes ifølge Einstein, men både tid, rum, og dermed samtidighed er relative begreber!

                             12
Et eksempel på Einsteins tankegang:

Forstil dig, at du sidder i et tog og kigger ud af det bagerste vindue imod et stort ur på et tårn. Hvis toget nu bevægede sig med op imod lysets hastighed, så ville det forekomme, for dig der sad i toget, at uret på tår-net var gået i stå. Havde du derimod et ur i lommen, som altså ”følger med dig” i bevægelsen, så ville det lade til at gå normalt, selvom tiden faktisk går langsommere (i forhold til omgivelserne). Umiddelbart var den første tanke der faldt mig ind: ”Jamen hvad er så den rigtige tid?” Men der findes nemlig ikke nogen

10

Ifølge min DATABOG fysik kemi

11

TRV, Om lysets konstante hastighed, side 46

12

Bygget på EOR, side 49

Side 11

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 11

”rigtig tid”. Absolut tid eksisterer ikke. Tiden, og længden også, gælder kun i forhold til det sted den bliver målt!

”Den indbyrdes hastighed mellem emne og observatør spiller en afgørende rolle for beskrivelsen af, hvordan

                 13
tingene opfører sig”.

Ifølge Einsteins relativitetsprincip, viser det sig, at tiden går langsommere for et legeme i bevægelse i for-hold til hvile, og at et legeme i bevægelse bliver forkortet i bevægelsesretningen, i forhold til hvis det blev målt i hvile.

Et andet eksempel er Einstein klassiske tog-eksperiment. Vi forestiller os to fysikere, en der står på bane-gården, F, og en der sidder præcis midt i et tog, F’. Vi antager nu, at dette tog bevæger sig med en ha-stighed nær lysets, og idet det passerer F på banegården slår et lyn ned i begge togets ender. F vil påstå at lynene ramte samtidigt, idet han registrerer, at han modtager lysglimtene samtidigt. Han kan desuden måle sig til, at der er lige stor afstand til lynnedslagenes mærker, og derfor må de også have ramt samtidigt. F’ derimod, påstår, at lynnedslagene ikke ramte samtidigt, hendes argumenter er, 1) at hun befinder sig lige langt fra de to nedslag, 2) Lysets har konstant hastighed i begge retninger i hendes system. (Da lysets ha-stighed er konstant i begge retninger, kan hun ikke afgøre om hun bevæger sig mod det ene nedslag, eller væk fra det andet). 3) hun modtog lysglimtet fra forenden først – ergo må lynet i forenden have ramt først.

De to fysikere er altså uenige om, hvorvidt de to lynnedslag ramte samtidigt, F siger ja og F’ siger nej. Begge personer har ret i deres argumenter, og det betyder altså, at samtidighed er et relativt begreb, som afhæn-ger af iagttagerens bevægelse.

                        14
2.3 Lorentztransformationen

Lorentz transformationen beskriver forholdet mellem de nye relative begreber, tid og længde imellem 2 inertialsystemer med grundlag i Einstein postulater.

Lad os endnu engang betragte to koordinatsystemer 𝑆 ( 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) og 𝑆^{′} (𝑥′,𝑦′,𝑧′,𝑡′), hvor S er fast og S’ be-

væger sig med en hastighed v i forhold til S. Med grundlag i Einsteins postulater vil vi beskrive sammen-hængen mellem koordinaterne for x og t, hvilke ifølge Einsteins relativitet opfattes forskelligt afhængigt af hastigheden af det system de observeres i. Det er vigtigt at forstå, at ethvert koordinatsystem har sin egen tid, som måles med ure i hvile i forhold til det pågældende system, og også sine egne afstande, som ligele-des måles ud fra målestokke i hvile i forhold til det repræsentative system.

De to koordinatsystemer er ligesom ved Galilei transformationen sammenfaldne i tinden 𝑡=𝑡^{′} =0, men

derudover er tiden ikke ens. Newtons første lov, inertiens lov, gør sig stadig gældende, men den Newtonske opfattelse af absolut tid, holder ikke længere. I denne nye transformation vil lyset desuden, ifølge Einsteins andet postulat, transformers over i den samme hastighed i alle inertialsystemer.

En person i S’ måler hvilelængden af en stang i afstanden O’P’ til længden x’. En person i F måler vandre-

længden af stangen til 𝑥 − 𝑣∗ 𝑡.

13

14

Bygget på FIG Afsnit 9.5

Side 12

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 12

Figur 3 Skitse lånt fra Fysik i grundtræk 2 A Mekanik, 1. udgave 1. oplag Afsnit 9.5. I S’ måles hvilelængden x’. i S måles hvile-længden x-vt.

De to personer er klar over at de to resultater for længden ikke er ens, og personen i S kan derfor beskrive længden som personen i S’ måler som

𝑥^{′} =𝑘(𝑥− 𝑣 ∗ 𝑡)

De to systemer er ligeberettigede, og derfor drager personen i S’ den konklusion, at vandrelængden målt i S’ skal ganges med den samme faktor, k, for at være lig hvilelængden i S

𝑥=𝑘∗ ( 𝑥^{′} − ( −𝑣) ∗ 𝑡^{′}) =𝑘∗ ( 𝑥^{′} + 𝑣𝑡)

v er negativ da hastigheden af S i forhold til S’ er netop – v.

Vi forestiller os nu, at der til tiden 𝑡=𝑡^{′} =0 opstår en begivenhed der udsender et lysglimt fra et punkt
𝑂=𝑂′.

Dette lysglimt opfanges i koordinater på x-aksen P’ (P), til tiderne

𝑡= 𝑜𝑔 𝑡^{′} =

𝑥 𝑥^{′}

𝑐 𝑐

Disse udtryk for t og t’ indsættes i udtrykkene for længderne x og x’

𝑥^{′} =𝑘∗ (𝑥− 𝑣 ∗) 𝑜𝑔 𝑥=𝑘∗(𝑥^{′} + 𝑣∗)

𝑥 𝑥^{′}

𝑐 𝑐

Flyttes x og x’ udenfor parenteserne får vi

𝑥^{′} =𝑘𝑥 (1 −)𝑜𝑔 𝑥=𝑘𝑥^{′} (1 +)

𝑣 𝑣 𝑐 𝑐

Hvis vi ganger de to udtryk med hinanden, får vi mulighed at udtrykke et k i forhold til begge udtryk for x og x’

𝑥𝑥^{′} =𝑘^{2} 𝑥𝑥^{′} ∗ (1 −) ∗ (1 +)

𝑣 𝑣 𝑐 𝑐

Isoleres k^{2} fås

𝑘^{2} = =𝑘^{2} =

1 1

                          2
    𝑣       𝑣            𝑣
(1 − ) ∗ (1 + )       1 −
                          2
    𝑐       𝑐            𝑐

K kan altså antage 2 værdier, henholdsvis

𝑘= 𝑜𝑔 𝑘=

1 1

       2               2
      𝑣               𝑣
+ √ 1 −        − √ 1 −
       2               2
      𝑐               𝑐

Den negative rod forkastes da 𝑥 𝑙𝑖𝑔 𝑥^{′} for v=0!(ellers ville 𝑥=−𝑥′)

Side 13

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 13

Deraf følger desuden at

1 − () >0⟹ <1⟹ | 𝑣 | <

𝑣^{2} 𝑣^{2}
𝑐 𝑐^{2}

Deraf kan jeg konkludere, at den numeriske værdi af v, som er hastigheden mellem de to inertialsystmer S og S’, aldrig kan være større end c! Intet legeme kan altså opnå større hastighed end lysets.

Jeg kan nu indsætte udtrykkene for k i de oprindelige udtryk for x og x’:

𝑥′=𝑘 ( 𝑥− 𝑣𝑡) ⟺𝑥′= ∗ ( 𝑥− 𝑣𝑡) ⟺𝑥^{ʹ} = 𝑜𝑔 𝑥=𝑘 ( 𝑥ʹ ∗ 𝑣𝑡′) ⟺𝑥

1 𝑥− 𝑣 ∗ 𝑡

      2
     𝑣
√ 1 −                  √
      2
     𝑐

    𝑣
1 − ( )
    𝑐

2

= ∗ (𝑥′ ∗ 𝑣𝑡′)⟺𝑥=

1 𝑥′ + 𝑣 ∗𝑡^{′}

      2
     𝑣
√ 1 −                  √
      2
     𝑐

    𝑣
1 − ( )
    𝑐

2

                                                           𝑣
Vi ser fra disse to udtryk, at ved små hastigheder, | 𝑣 | <<𝑐 så er 1 − ( ) ≈1 (vi vil nemlig få en meget,
                                                           𝑐

2 meget lille brøk, som tilnærmelsesvis svarer til 0) og formlerne går derfor over og er identiske med Gali-

                  ′               ′
leitransformationen 𝑥 =𝑥− 𝑣𝑡 og 𝑥=𝑥 − 𝑣𝑡′. Transformationerne har altså kun betydning ved høje

hastigheder!

Vi vil nu beskrive overgangsformlerne for t og t’

For at sammenfatte har vi altså vist at

𝑡^{′} = 𝑜𝑔 𝑥^{′} =

𝑥^{′} 𝑥− 𝑣∗ 𝑡

𝑐 2

√

     𝑣
1 − ( )
     𝑐

𝑡= 𝑜𝑔 𝑥=

𝑥 𝑥^{′} + 𝑣∗ 𝑡^{′}

𝑐 2

√

    𝑣
1 − ( )
    𝑐

                                  ′
                                 𝑥
                             ′                            ′
Jeg vil starte med at indsætte x’ i 𝑡 = . Isoleres x’ i denne får jeg 𝑥 =𝑐∗ 𝑡′. Jeg substituerer x’ og får
                                 𝑐

derfor at

𝑐∗ 𝑡^{′} =

𝑥− 𝑣 ∗ 𝑡

√

     𝑣
1 − ( )
     𝑐

2

Ganger jeg med^{1}_{𝑐} på begge sider af lighedstegnet får jeg at

     𝑐
 ′
𝑡 =

𝑥

  𝑣
−  ∗ 𝑡
  𝑐

√

    𝑣
1 − ( )
    𝑐

2

Side 14

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 14

                   𝑥
Indsætter jeg nu at 𝑡= får jeg at
                   𝑐

𝑡^{′} = ⟺𝑡^{′} =

   𝑣  𝑥              𝑣𝑥
𝑡−   ∗           𝑡 −
                     2
   𝑐  𝑐              𝑐

√ √

    𝑣                𝑣
1 − ( )         1 − ( )
    𝑐                𝑐

2 2

Vi gør det samme for x og t

                                                                 ′
                                        𝑥                       𝑥
                                                             ′
𝑥=                               𝑜𝑔 𝑡=    ⟹𝑡=         𝑜𝑔 𝑑𝑎 𝑡 =   𝑓å𝑟 𝑗𝑒𝑔:
                                        𝑐                       𝑐

𝑥^{′} +𝑣∗𝑡^{′}
√ √

    𝑣                           𝑣
1−( )                       1−(  )
    𝑐                           𝑐

2 2 𝑥

′ 𝑐

 𝑣
    ′
+ ∗𝑡
 𝑐

𝑡= ⟺𝑡=

    𝑣 𝑥′            𝑣𝑥′
𝑡′ + ∗          𝑡′ +
                     2
    𝑐  𝑐            𝑐

√ √

    𝑣               𝑣
1 − ( )         1 − ( )
    𝑐               𝑐

2 2

Jeg har nu vist, at Lorentz transformation udgør en sammenhæng mellem koordinaterne for x og t(rum og tid) mellem 2 forskellige inertialsystemer. Sammenfatning:

                15
2.4 Tidsforlængelse

Vi har set, at tiden i et inertialsystem S kan beskrives i forhold til tiden i et inertialsystem S’, ved hjælp af lorentztransformationen. Det betyder altså, at kender vi et tidsrum for en begivenhed i S’, længden fra be-givenheden(set fra S’) samt den relative hastighed mellem de to systemer, så kan vi altså beregne tiden som personen i S vil opfatte begivenhedens varighed til.

Hvis nu denne begivenhed foregår i kun i ét punkt, nemlig 𝑥^{′} =0, og personen i S’ tager varigheden til Δ𝑡′,

så vil det fremgå, at personen i S vil mene at begivenheden har varigheden Δ𝑡 som kan beskrives ved lo-rentztransformationen:

15

Afsnit bygget på FIG Afsnit 9.5.4

𝑥^{′} =

𝑥− 𝑣∗ 𝑡

√

    𝑣
1 − ( )
    𝑐

2

𝑦^{′} =𝑦

𝑧^{′} =𝑧

𝑡^{′} =

   𝑣𝑥
𝑡−
   𝑐

                                         𝑣𝑥′
2                                    𝑡′ +
                                          2
                                         𝑐

√

    𝑣
1 − ( )
    𝑐

2

𝑥=

𝑥^{′} + 𝑣∗ 𝑡^{′}

√

     𝑣
1 − ( )
     𝑐

2

𝑦=𝑦^{′}

𝑧=𝑧^{′}

𝑡=
√

    𝑣
1 − ( )
    𝑐

2

Side 15

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 15

Δ𝑡= ↔Δ𝑡=

     𝑣∗0
  ′
Δ𝑡 +
      2
      𝑐

√ √

    𝑣                𝑣
1 − ( )         1 − ( )
    𝑐                𝑐

2 2

Δ𝑡^{′}

                                   𝑣
Idet vi tidligere havde konkluderet at 1 − ( ) ≤1 så vil Δ𝑡>Δ𝑡′, og der er altså tale om en tidsforlængel-
                                   𝑐

2 se af personen i bevægelse, idet tiden for ham går langsommere end for personen i S.

Det er da vigtigt at huske, at den tid som den enkelte observatør aflæser på ure, som følger med dem i be-vægelsen, de stemmer jo overens med bevægelsen, idet de går tilsvarende langsommere, selvom tiden måske går langsommere i forhold til omgivelserne! Du kan derfor ikke registrere nogen tidsforlængelse ved at aflæse ure der følger med dig i bevægelsen. Enhver person vil altid mene, at en begivenhed tager kortest tid, hvis begivenheden opfattes i hvile i forhold til ham og hans ure. Så snart begivenheden er i bevægelse i forhold til ham, så vil den forekomme at gå langsommere.

Eksempel:

Tvilling-paradokset forholder sig eksempelvis paradoksalt til konsekvenserne af begrebet tidsforkortelse.

Kort fortalt forholder det sig sådan, at den ene tvilling begiver sig ud på en rumrejse med en bevægelsesha-stighed nær lyset, mens den anden bliver hjemme. Ifølge relativitetsteorien, så vil tiden, for den tvilling der bevæger sig ud på rejsen, gå langsommere end for tvillingen der blev tilbage, og summa-summarum, så må tvillingen der kommer tilbage fra rejsen jo være yngre end tvillingen der blev tilbage! I teorien vil tvillingen på jorden altså få en yngre tvilling hjem tilbage på jorden. Rumraketten er dog påvirket af store accelerati-oner, fx når den skal vende tilbage mod jorden, og sådanne situationer behandler den specielle relativitets-

teori som sagt ikke.^{16}

2.5 Længdeforkortelse^{17}

Ligesom med tiden, så kan lorentztransformationen altså også bruges til at beskrive sammenhængen mel-lem længdeopfattelserne for en person i hvile, og en person i bevægelse. En person i S måler eksempelvis længden af et væltet træ til Δ𝑥, mens personen i S’ måler hvilelængden til Δ𝑥′. Personen i S måler længden

Δ𝑥 til efter hans opfattelse samme tidspunkt som S’, dvs Δ𝑡=0.

Indsætter vi oplysningerne i lorentztransformationen får vi at

Δ𝑥^{′} = ⇔Δ𝑥^{′} = ⇔Δ𝑥^{′} = ⇔Δ𝑥=Δ𝑥′ ∗ 1 − ()

Δ𝑥− 𝑣 ∗ Δ𝑡 Δ𝑥− 𝑣 ∗ 0 Δ𝑥 𝑣^{2}

√ √ √

     𝑣                𝑣                 𝑣
1 − ( )           1 − ( )          1 − ( )
     𝑐                𝑐                 𝑐

2 2 2 𝑐

√

                                      𝑣
Vi minder endnu engang os selv om at 1 − ( ) ≤1, og vi kan derfor konkludere, at personen i bevægel-
                                      𝑐

√

2 se i forholdet til det væltede træ, vil måle en kortere længde, end en person i hvile i forhold til det væltede

                    𝑣            𝑣
træ! (Δ𝑥>Δ𝑥′ ∗  1 − ( ) i det 1 − ( ) ≤1)
                    𝑐            𝑐

√ √

2 2

16

EOR Side 49

17

Afsnit inspireret af Fysik FIG Afsnit 9.5.2

Side 16

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 16

2.6 Bilagsopgave^{18}

I den kosmiske stråling forekommer kernepartikler som benævnes K-mesoner. Deres middellevetid er 12 ns i deres eget system. Beregn mesonernes hastighed i forhold til et koordinatsystem, hvor de i middellevetiden tilbagelægger 18 m.

K-mesoner er partikler der dannes i jordens atmosfære med meget stor hastighed.

Grundet disse partiklers store hastighed, i forhold til os(jorden), så bliver de i følge Einstein pålagt tidsfor-længelse, og deres levetid, set fra et system i stor relativ bevægelse, opfattes derfor anderledes. Det frem-går af opgaven, at k-mesonerne i deres eget system, som jeg kalder S', har en middellevetid på 12 ns.

Derfor:

Set fra et andet system, S (det jeg kalder jorden) i relativ bevægelse i forhold S' tilbagelægger mesonerne

18 meter på en tid som opfattes anderledes. Jeg formoder altså, at tiden her måles større end 12 ns, idet tiden i dette system som er i hvile, går hurtigere!

Hastigheden , mellem de to systemer S og S' må kunne beskrives som

Mesonernes hastighed v og levetid t, set fra systemet S, er altså ubekendte.

I følge lorentztransformationen er sammenhængen mellem de to systemer:

I det x = 18 meter og t'= og c lig lysets hastighed, m/s får vi at

Vi har altså 2 ligninger med 2 ubekendte som jeg løser via Maple:

Mesonerne bevæger sig altså i forhold til S, med en stor hastighed på , nær lysets, og tilbagelæg-ger afstanden 18 m på tiden Det fremgår altså, at mesonernes levetid set fra S, er noget længere

end deres middellevetid i deres eget system( >12 ∗ 10^{−9} 𝑛𝑠), i det tiden i S altså netop går hurti-

gere end tiden i S’, grundet partiklernes store hastighed! Det bekræfter altså Einsteins teori om tidsforkor-telse.

18

Opgaven er for at spare tid beregnet i matematik programmet Maple, og kopieret ind i word

Side 17

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 17

Mesonerne bevæger sig med en 98 % af lysets hastighed!

3. Grænseværdi og kontinuitet

3.1 Om grænseværdi og kontinuitet

At finde en grænseværdi går lidt løst sagt ud på, at bestemme en værdi som et matematisk udtryk, som 𝑓(𝑥), nærmer sig, når en variabel(ofte x) i det matematiske udtryk, nærmer sig en bestemt værdi.

Altså så simpelt som jeg kan beskrive det:

𝑓 ( 𝑥) →?𝑛å𝑟 𝑥→𝑥_{0}

Hvad går funktionsværdien imod, når variablen x nærmer sig 𝑥_{0}?

Note: 𝑓 ( 𝑥) er kontinuert i 𝑥_{0}, hvis og kun hvis grænseværdien for 𝑓(𝑥) når x går mod 𝑥_{0} er lig 𝑓(𝑥_{0}):

lim 𝑓 ( 𝑥) =𝑓(𝑥_{0})
𝑥→𝑥_{0}

Begrebet ”limit”(latin: limes) er et udtryk for grænseværdien.

Note: funktionsværdien for 𝑓(𝑥_{0}) kan godt eksistere, selvom grænseværdien for 𝑥→𝑥_{0} ikke eksiste-

rer.(Hvis fx funktionen laver et spring, dvs. pludselig er defineret i en anden omegn). En funktion kan desu-

den også godt have en grænseværdi for 𝑥→𝑥_{0}, selvom funktionen ikke er defineret i 𝑥_{0}.

Jeg kan derfor også konkludere om kontinuitet, at en funktion er kontinuert, når grænseværdien for 𝑥→𝑥_{0}
er det samme tal som 𝑓 ( 𝑥_{0}), for alle værdier af 𝑥_{0} i definitionsmængden.

lim 𝑓 ( 𝑥) =𝑓(𝑥_{0})
𝑥→𝑥_{0}

Men hvordan kan vi forklare grænseværdien mere matematisk end bare ”det tal som 𝑓(𝑥) nærmer sig når

𝑥→𝑥_{0} ”?

Vi kan starte med at sige lidt mere præcist, at en funktion f har grænseværdien b i punktet a, hvis man kan opnå funktionsværdier uendelig tæt på b ved at gøre afstanden mellem x og a tilstrækkeligt lille.

Lad os fx kalde ω(f ( x_{0})) en vilkårlig omegn omkring f(x_{0}). Til enhver omegn ω(f ( x_{0})) findes der en omegn
ω(x_{0}), således at når x ligger i denne omegn, da ligger 𝑓 ( 𝑥) i ω(f ( x_{0}))

Dette er netop kontinuitetsdefinitionen og kan via symboler udtrykkes:

(1.1) ∀𝜔 ( 𝑓 ( 𝑥_{0})) ∃𝜔 ( 𝑥_{0}) ∀𝑥𝜖𝜔 ( 𝑥_{0}): 𝑓(𝑥)𝜖𝜔(𝑓 ( 𝑥_{0}))

Eller

Side 18

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 18

( 1.1) ʹ ∀𝜔 ( 𝑓 ( 𝑥_{0})) ∃𝜔 ( 𝑥_{0}): 𝑥𝜖𝜔 ( 𝑥_{0}) ⟹ 𝑓(𝑥)𝜖𝜔(𝑓 ( 𝑥_{0}))

I matematikken bruger man imidlertid ofte 2 tal, delta(𝛿) og epsilon(𝜀) til at beskrive ”omegnene” omkring

𝑥_{0} og 𝑓(𝑥_{0}). Det kan illustreres således

Figur 4 Så længe x tilhører | 𝒙 − 𝒂 | <𝜹 så vil | 𝒇 ( 𝒙) − 𝒃 | <𝜺, i det 𝜹 og 𝜺 er større end 0

Jeg kan omskrive kontinuitetsdefinitionen (1.1)’ således at symbolerne 𝜀 og 𝛿 er inddraget:

( 1.1)^{ʹʹ} ∀ 𝜀>0∃𝛿>0: 0< | 𝑥− 𝑥_{0} | <𝛿⟹ | 𝑓 ( 𝑥) − 𝑓 ( 𝑥_{0})| <𝜀

Altså for alle epsilon større end 0 eksisterer et delta større end 0, for hvilket der gælder, at så længe af-

standen mellem 𝑥 og 𝑥_{0} er mindre end delta, så er afstanden mellem 𝑓 ( 𝑥) og 𝑓(𝑥_{0}) mindre end epsilon.
Note: Jeg vælger | 𝑥− 𝑥_{0} | >0 i det vi jo godt kan risikere at funktionen ikke er defineret i 𝑥_{0}.

Her følger nogle eksempler på anvendelse af delta og epsilon i forhold til grænseværdien.

Eksempel 1:

                                      2
Jeg vil vise, at grænseværdien for en funktion 𝑥

er 4 når x går mod 2

lim 𝑓 ( 𝑥 ) =4
𝑥→2

Lad os tænke på intervallet [0;4] hvor f(x) er voksende.

Vi lader 𝜀>0 være givet. Vi betragter en omegn omkring 2 på x-aksen som kan beskrives

[2 − 𝛿;2 + 𝛿]

Den ”tilsvarende” omegn med funktionsværdier på y-aksen må da kunne udtrykkes som

[ 𝑓 ( 2 − 𝛿);𝑓 ( 2 + 𝛿)]

Udregner vi funktionsværdierne får vi at

[ 𝑓 ( 2 − 𝛿);𝑓 ( 2 + 𝛿)] = [ ( 2 − 𝛿)^{2}; ( 2 + 𝛿)^{2}] =[4 + 𝛿^{2} − 4𝛿;4 + 𝛿^{2} + 4𝛿]

                                                   2         2
De tilsvarende funktionsværdier tilhører altså intervallet [4 + 𝛿 − 4;4 + 𝛿 + 4𝛿]

Lad os nu fx antage at 𝛿=2 og jeg vil forsøge at finde et delta så lille delta, at 𝜀<𝛿^{2} + 4𝛿

Side 19

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 19

4𝛿+ 𝛿^{2} = ( 4 + 𝛿) ∗ 𝛿< ( 4 + 2) 𝛿=6𝛿

               𝜀
Ved at vælge 𝛿= kan vi altså, til ethvert epsilon,(uanset hvor lille) udtrykke et delta 𝛿>0 der ifølge
               6

(1.1)’’ opfylder

0< | 𝑥− 2 | <𝛿⟹ | 𝑓 ( 𝑥) − 4 | <𝜀

og derfor har funktionen altså grænseværdien 4, når x går mod 2, da vi egentlig har vist, at det er muligt at komme vilkårligt tæt på grænseværdien!

Et eksempel 2 er vedlagt i bilag.

3.2 Regning med grænseværdier^{19}
Lad f og g være to funktioner med definitionsmængderne 𝐷_{𝑓} og 𝐷_{𝑔}. Ved 𝑓+ 𝑔,𝑓− 𝑔,𝑓∗ 𝑔,𝑓:𝑔 forstår vi

de funktioner der er fastlagt:

( 𝑓+ 𝑔)( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥) + 𝑔(𝑥) ( 𝑓− 𝑔)( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥) − 𝑔(𝑥)

𝑓𝑔 ( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥) 𝑔(𝑥) ( 𝑓:𝑔)( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥):𝑔(𝑥)

For disse funktioner består funktionsværdierne naturligvis af alle de x for hvilke det pågældende regneud-

tryk er defineret. Det betyder, at de 3 første funktioner vil have definitionsmængderne 𝐷 ⋂𝐷 mens 𝑓:𝑔
                                                                          𝑓   𝑔

har definitionsmængden 𝐷_{𝑓} ⋂𝐷_{𝑔} ⋂{𝑥|𝑔 ( 𝑥) ≠0}.

Det er givet at

𝑓 ( 𝑥) →𝑎 𝑓𝑜𝑟 𝑥→𝑥_{0} og 𝑔 ( 𝑥) →𝑏 𝑓𝑜𝑟 𝑥→𝑥_{0}

For 𝑥→𝑥_{0} har f og g grænseværdierne a og b.

Hvis 𝜀>0 er givet, kan vi ifølge kontinuitetsdefinitionen sige for alle x der gør, at distancen mellem x og 𝑥
                                                                                      0

er mindre end delta, så vil distancen mellem 𝑓 ( 𝑥) og a/b være mindre end epsilon! Det er jo hvad vi tidlige-

re lærte om epsilon og delta. Vi kan fx skrive det således for f(jeg vælger epsilon til ½ for at gøre beviset mere overskueligt)

0< | 𝑥− 𝑥_{0} | <𝛿 ⇒ | 𝑓 ( 𝑥) − 𝑎 | < 𝜀

1

2

Og for g

0< | 𝑥− 𝑥_{0} | <𝛿 ⟹ | 𝑔 ( 𝑥) − 𝑏 | < 𝜀

1

2

Da er

|𝑓 ( 𝑥) + 𝑔 ( 𝑥) − ( 𝑎+ 𝑏) |=| ( 𝑓 ( 𝑥) − 𝑎) + 𝑔 ( 𝑥) − 𝑏)|≤|𝑓 ( 𝑥) − 𝑎| + |𝑔 ( 𝑥) − 𝑏|

Har vi at så længe

19

Afsnit bygget på MNG, Kapitel om regning med grænseværdier

Side 20

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 20

0< | 𝑥− 𝑥_{0} | <𝛿

for både f og g. Så vil summen være

| 𝑓 ( 𝑥) + 𝑔 ( 𝑥) − ( 𝑎+𝑏)| < 𝜀+ 𝜀=𝜀

1 1

2 2

Heraf ser vi at

𝑓 ( 𝑥) + 𝑔 ( 𝑥) →𝑎+ 𝑏 𝑓𝑜𝑟 𝑥→𝑥_{0}

                                 20
3.3 Relativistisk addition af hastigheder

Sætningen om division af grænseværdier( ( 𝑓:𝑔)( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥):𝑔(𝑥)) siger, at skal vi dividere to funktioner
der har grænseværdierne a og b for 𝑥→𝑥_{0} med hinanden, så kan vi bare dividere de to grænseværdier

med hinanden.

𝐻𝑣𝑖𝑠 𝑓 ( 𝑥) →𝑎 𝑓𝑜𝑟 𝑥→𝑥_{0} 𝑜𝑔 𝑔 ( 𝑥) →𝑏 𝑓𝑜𝑟 𝑥→𝑥_{0} 𝑜𝑔 𝑏≠0,𝑣𝑖𝑙 = 𝑓𝑜𝑟 𝑥→𝑥_{0}

𝑓 ( 𝑥) 𝑎 𝑔 ( 𝑥) 𝑏

Ved hjælp af lorentztransformationen kan vi udlede et utryk for hastigheden 𝑢_{𝑥} i forhold til et system S,

                                   ʹ
hvis vi kender hastigheden af en partikel 𝑢 i forhold til S’ samt den konstante hastighed v, som S’ har i for-
                                  𝑥

hold til S.

Vi har tidligere set at

Δ𝑥=

Δ𝑥^{ʹ} + 𝑣∗ Δ𝑡^{ʹ}

√

    𝑣
1 − ( )
    𝑐

2

Og

Δ𝑡=

        ʹ
     𝑣∗Δ𝑥
  ʹ
Δ𝑡 +
       2
      𝑐

√

     𝑣
1 − ( )
     𝑐

2

                                                                    Δ𝑥
Jeg vil gerne se på hastigheder, hvilket netop er forholdet mellem længde og tid dvs . Heraf får jeg
                                                                    Δ𝑡

Δ𝑥 Δ𝑥 Δ𝑥^{ʹ} + 𝑣∗ Δ𝑡^{ʹ}

Δ𝑡 Δ𝑡

= ⟺ =

Δ𝑥^{ʹ} +𝑣∗Δ𝑡^{ʹ}
√

   𝑣
1−( )
   𝑐

2

    𝑣∗Δ𝑥
  ʹ
Δ𝑡 +
     𝑐

ʹ

2

√

    𝑣
1−(  )
    𝑐

2

     𝑣∗Δ𝑥
  ʹ
Δ𝑡 +
       2
      𝑐

                                                                                       ʹ
Da jeg også gerne vil have noget der ligner hastigheder på højre side af lighedstegnet, dividerer jeg med Δ𝑡

i tæller og nævner på højre side

20

Afsnit bygget på FIG, Afsnit 9.6

Side 21

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 21

Δ𝑥 Δ𝑥

Δ𝑡 Δ𝑡

                       ʹ
                     Δ𝑡
=            ⟺    =

   ʹ    ʹ
 Δ𝑥  𝑣∗Δ𝑡
(   +    )           + 𝑣
   ʹ    ʹ
 Δ𝑡   Δ𝑡

Δ𝑡^{ʹ}
Δ𝑡^{ʹ}

   Δ𝑥               Δ𝑥
  𝑣∗              𝑣∗
     ʹ               ʹ
   Δ𝑡               Δ𝑡
+              1 +
    2               2
   𝑐               𝑐

ʹ ʹ

Δ𝑥^{ʹ}

Jeg kan ved grænseovergange finde hastigheder, idet

lim_{Δ𝑡→0} =𝑢_{𝑥} og lim =𝑢_{𝑥} ʹ

Δ𝑥 Δ𝑥^{ʹ}
Δ𝑡 Δ𝑡^{ʹ}

Δ𝑡ʹ→0

Benytter vi vores sætning om division af grænseværdi som sagde at

            ʹ
          Δ𝑡
lim     =

Δ𝑡ʹ→0 𝑓 ( 𝑡ʹ)

𝑔 ( 𝑡ʹ ) lim 𝑔(𝑡ʹ)
         →0

lim 𝑓 ( 𝑡ʹ )
 →0

Δ𝑡^{ʹ}

Kan jeg forklare det således, at om^{Δ𝑡}^{ʹ}_{𝑣∗}^{+𝑣}_{Δ𝑥}_{ʹ} i det jeg betragter tælleren som en funktion f(x) der afhænger af

Δ𝑥

ʹ

1+
    𝑐

Δ𝑡

ʹ

2

Δ𝑡^{ʹ} og nævneren som en funktion g(x) der også afhænger af Δ𝑡^{ʹ} i det funktionerne har grænseovergangene
𝑢_{𝑥}^{′} 𝑓𝑜𝑟 Δ𝑡^{′} 𝑔å𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑 0, blot dividere de to grænseovergange med hinanden så:

lim^{Δ𝑡^{ʹ}} =𝑢_{𝑥}^{ʹ} →

Δ𝑡ʹ→0

Δ𝑥^{ʹ}
+ 𝑣

      ʹ
     Δ𝑥
   𝑣∗
      ʹ
     Δ𝑡
1 +
     2
    𝑐

𝑢_{𝑥}^{ʹ} + 𝑣

   𝑣∗𝑢
      𝑥
1 +
     2
    𝑐

ʹ

Samlet set får jeg idet jeg benytter begge grænseovergange

𝑢_{𝑥} =

𝑢_{𝑥}^{ʹ} + 𝑣

    𝑣∗𝑢
      𝑥
1 +
     2
     𝑐

ʹ

Det fremgår altså, at kender vi fx hastigheden for en partikel 𝑢
                                                   𝑥

ʹ i forhold til et system S’, som allerede har

en konstant bevægelseshastighed v i forhold til et system S, så kan vi finde hastigheden 𝑢_{𝑥} som partiklen

har i forhold til systemet S.

Eksempel

Jeg forestiller mig, at en rumraket i fremtiden bevæger sig med 0,5 ∗ 𝑐 i forhold til jorden. Vi kalder inertial-systemet som rumraketten bevæger sig i for S’, og inertialsystemet i reference til jorden for S. I denne fremtid har man imidlertid opfundet et våben som kan affyre et projektil med en hastighed på 0.8 ∗ 𝑐. Det-

te projektil affyres fra rumraketten og bevæger sig altså med hastigheden 𝑢_{𝑥}^{ʹ} i forhold til S’. Vi kan nu be-

regne projektilets hastighed i forhold til jorden:

𝑢_{𝑥} = = =2.8 ∗ 10^{8}

𝑢_{𝑥}^{ʹ} + 𝑣 𝑚

     ʹ
                                     𝑚
    𝑢                               8
    𝑥
                          ))∗(0.5∗(3∗10 ))
1 +                       𝑠          𝑠
     2
    𝑐

∗𝑣

(0.8 ∗ (3 ∗ 10^{8}^{𝑚}_{𝑠})) + (0.5 ∗ (3 ∗ 10^{8}^{𝑚}_{𝑠}))

            𝑚
           8
   (0.8∗(3∗10
1 +

(3∗10^{8}^{𝑚}_{𝑠})

2 𝑠

Side 22

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 22

Projektilet har en hastighed på 2.8 ∗ 10^{8} m/s, i forhold til jorden. Projektilet bevæger sig desuden med

2.8∗10^{8}^{𝑚}_{𝑠}
3∗10^{8}^{𝑚}_{𝑠}

∗ 100%=93% Altså 93 % af lysets hastighed!

Havde vi brugt galileitransformationens ligefremme addition af hastigheder, så havde vi fået at projektilet

bevægede sig med 𝑢_{𝑥} =𝑢_{𝑥}^{ʹ} + 𝑣= ( 0.8 ∗ 𝑐) + ( 0.5 ∗ 𝑐) =1.3 ∗ 𝑐

Altså 30 % hurtigere end lysets hastighed! Hvilket ifølge relativitetsteorien ikke er muligt!

4. Bestemmelse af lysets hastighed

4.1 Formål og fremgang

Formålet med forsøget er at bestemme lysets hastighed.

”Man sender lys fra en laser mod et roterende spejl hvorfra det sendes videre til et andet spejl der kaster lyset tilbage. På grund af lysets udbredelsesfart tager det et vist tidsrum for det at vende tilbage til det rote-rende spejl. I dette tidsrum har spejlet roteret en (lille) vinkel hvorfor lyset ikke længere returneres til den oprindelige kilde, men til en skærm hvorpå forskydningen kan registreres. Kender man rotationshastigheden

                                                     21
for det roterende spejl og afstandene kan lysets fart bestemmes.”

Materiale-liste og nærmere fremgangsmåde, er vedlagt i bilag!

4.2 Teori

For ikke at skabe nogen forvirring skal det lige siges af afstanden LR i praksis er lig afstanden OR og afstan-

den 𝐹𝑅=3 ∗ 𝑂𝑅(se evt skitse).

For at kunne beskrive lysets hastighed, skal vi have en afstand og et tidsrum

𝑐=

Δ𝑠

Δ𝑡

Det vi måler på underforsøget er henholdsvis spejlets rotationsfrekvens (v), altså omløb pr tid, samt flytnin-gen af den returnerede laserplet (s).

21

Forsøgsvejledning fra Aarhus universitet: Øvelse 1: Måling af lysets hastighed

Figur 5 Her ser vi en skitse for forsøgsopstillingen hvor F=fast spejl, O=Optisk linse, R=Roterende spejl, B=Beamsplitter, S=Skærm og
L=laser. I bilaget kan ses flere billeder af forsøget.

Side 23

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 23

Afstanden som lyset passerer, mens spejlet roterer vinklen ϕ, er ,(d=distance), altså 2 gange afstan-

den mellem det faste og roterende spejl.

𝑠(𝑡𝑖𝑙𝑏𝑎𝑔𝑒𝑙𝑎𝑔𝑡 𝑎𝑓𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑)=2 ∗ 𝑑_{𝐹𝑅}

Vi benytter at afstanden d_{OF} er lig afstanden 3* d_{OR} og vi kan derfor sige om tiden at:

𝑡= =

2 ∗ 𝑑_{𝑂𝐹} 6 ∗ 𝑑_{𝑂𝑅}

𝑐 𝑐

Den vinkel, ϕ, som spejlet roterer med rotationsfrekvensen v, kan beskrives ved hjælp af jævn cirkelbevæ-gelse, da vi ved at

𝜔=2 ∗ 𝜋∗ 𝑓

Altså at vinkelhastigheden (𝜔) kan beskrives som 2 ganget med PI ganget med frekvensen. Ganger vi det med tiden får netop vinkelændringen af spejlet:

ϕ_{spejl} =2 ∗ π ∗ v ∗ t

Flytningen af laserpletten(som vi måler

på), må svare til 2 * vinkelændringen af

spejlet. Hvorfor det? Jo for når vi lyser med en laser på et spejl, så vil udfalds-vinklen altid være 2 gange den ændre-de vinkel for spejlet. Dette er illustreret på figuren ved siden af, hvor spejlets vinkelændring eksempelvis er 45 gra-der, og lysets udfaldsvinkel derfor 90 grader.

ϕ_{laser} =2 ∗ ϕ_{spejl}

Hvordan kan vi så teoretisk set beskri-ve den afstand som laserpletten flyt-ter sig? Jo hvis vi betragter en retvink-let trekant hvor strækningerne som dannes af de 2 laserstråler, hvor den ene er den fra laseren til det roteren-de spejl, og den anden, den med æn-dret vinkel, fra det roterende spejl tilbage til skærmen, så er afstanden mellem de to laserstråler altså netop

Figur 6 Figuren illustrerer hvorfor udfaldsvinkel af en lysstråle vil være

2*ændringen spejlets vinkel

Figur 7 Den retvinklede trekant som dannes mellem den faste og returnerede lysplet, samt altså afstanden mellem dem, s.

Side 24

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 24 flytningen af laserpletten, s. Da vinkelændringen er så lille i forhold til den forholdsvis store afstand mellem laser og spejl (5 meter), så kan vi tillade os at sige at både den lange katete og hypotenusen er lig afstanden

d_{OR}.

Jeg benytter da tangens forhold i en retvinklet trekant

𝑇𝑎𝑛 ( ϕ_{laser}) = ↔Tan ( ϕ_{laser}) =

a s

b d_{OR}

Da tangens, sinus og radiantallet i sig selv, er så godt som det samme, ved meget, meget små vinkler, og der er netop tale om så små vinkler i dette forsøg, så kan vi se bort fra tangens, og blot bruge radiantallet for ϕ.

ϕ_{laser} =

s

d_{OR}
Jeg indsætter nu vores udtryk for ϕ_{laser} fra før

ϕ_{laser} = ↔2 ∗ ϕ_{spejl} = ↔ϕ_{spejl} =

s 𝑠 𝑠

d_{OR} 𝑑_{𝑂𝑅} 𝑑_{𝑂𝑅} ∗ 2
Indsættes vores udtryk for tiden og vinkelændringen i udtrykket ϕ=2 ∗ π ∗ v ∗ t fås
𝑠 ( 6 ∗ 𝑑_{𝑂𝑅})
𝑑_{𝑂𝑅} ∗ 2 𝑐

=2 ∗ 𝜋∗ 𝑣 ∗

Nu har vi altså kun 2 ubekendte, nemlig s, flytningen af laserpletten og v, rotationsfrekvensen for spejlet.

Isoleres c fås

𝑐=

24 ∗ 𝜋 ∗ 𝑣∗ 𝑑_{𝑂𝑅}^{2}

𝑠

Vi har altså nu et udtryk for c som kan regnes hvis vi kender netop rotationsfrekvensen, v, samt flytningen af lyspletten, s.

Da vi gerne vil lave en serie af målinger af henholdsvis v og s, så vil vi afbilde s som funktion af v. Isolerer vi derfor s fås:

𝑠= ∗ 𝑣

24 ∗ 𝜋∗ 𝑑_{𝑂𝑅}^{2}

𝑐

                                                                                 2
                                                                            24∗𝜋∗𝑑
                                                                                 𝑂𝑅
Vi genkender her formen for en lineær regression, y=a*x, hvor altså y er lig s, hældningen lig og v
                                                                               𝑐

lig x.

Isolerer vi c i udtrykket for hældningen får vi at

𝑎= ↔𝑐=

24 ∗ 𝜋 ∗ 𝑑_{𝑂𝑅}^{2} 24 ∗ 𝜋 ∗ 𝑑_{𝑂𝑅}^{2}

𝑐 𝑎

Dette betyder altså, at kan vi opstille en lineær regression med flytningen af laserpletten som funktion af

                                                                                     2
rotationsfrekvensen, så vil vi kunne beregne lysets hastighed(for vores forsøg) ved at dividere 24 ∗ 𝜋 ∗𝑑
                                                                                     𝑂𝑅

med hældningen for funktionen!

4.3 Data og behandling

Vi målte sammenhængen mellem s (laserplettens flytning) og v (det roterende spejls rotationsfrekvens) over 3 omgange. Vores data så således ud:

Strømstyrke (i volt) Rotationsfrekvens, v(i Hz)(Halveret)

Flytning af laserplet, s (i meter)

80 221,5 0,0015

160 384 0,0025

Side 25

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 25

240 538 0,0035

Vi skitserer altså en lineær regression med flytningen af laserplettern som funktion af rotationsfrekven-sen.(Se graf i bilag).

Vi får da en funktion:

𝑦=0,000006534 ∗ 𝑥

Dette kan vi oversætte til fysik, da y jo er lig med flytningen af laserpletten, hældningen(0,000006534) er

lig^{24∗𝜋∗𝑑_{𝑂𝑅}^{2}} og x lig rotationsfrekvensen. Enheden på hældningen må være^{𝑚}_{1} eller 𝑚 ∗ 𝑠.

𝑐 𝑠

𝑠 ( 𝑣) =0,000006534 ( 𝑚 ∗ 𝑠) ∗ 𝑣

                                                              2
                                                         24∗𝜋∗𝑑
                                                              𝑂𝑅
Benytter vi hældningen til at udregne lysets hastighed via formlen 𝑐= fra teorien, får vi at
                                                            𝑎

𝑐= =2.885 ∗ 10^{8}

24 ∗ 𝜋∗ ( 5.00𝑚)^{2} 𝑚

0,000006534 𝑚 ∗ 𝑠 𝑠

Lysets hastighed er ifølge databogen defineret som 3.00 ∗ 10^{8}^{𝑚}_{𝑠}.

Dette giver en afvigelse på

𝑎𝑓𝑔𝑖𝑣𝑒𝑙𝑠𝑒= ∗ 100%= ∗ 100%=3.84%

𝑣 ( 𝑚å𝑙𝑡) − 𝑣 ( 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙)

𝑣(𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙)

|2.885 ∗ 10^{8}^{𝑚}_{𝑠} − 3.00 ∗ 10^{8}^{𝑚}_{𝑠} |
3.00 ∗ 10^{8}^{𝑚}_{𝑠}

4.4 Vurdering og konklusion af forsøget

Vi har tvunget regressionen igennem punktet (0.0), for at undgå en eventuel systematisk fejl som udtrykker sig ved b. b i den lineære regression er et udtryk for skæringen med y-aksen, men da skæringen med y-aksen jo egentlig gerne skulle være (0.0) – så har jeg altså tvunget regressionen igennem punktet, og så at sige, brugt (0.0) som et fjerde målepunkt.

Vores resultat blev som det fremgår, ret godt, idet vi på forhånd kunne forvente en afvigelse på op til 10 %.

Der ligger dog, i den måde vi registrerer flytningen af laserpletten på, en vis usikkerhed. Vi skal jo først teg-ne en streg, mens spejlet ikke er i rotation, og derefter nye streger få millimeter ved siden af, som resultat af spejlets rotation. Det er svært at tegne præcise streger med så få millimeters afstand og det kræver en rolig, koncentreret hånd. Stregen som vi tegnede med blyant er jo omtrent en millimeter bred i sig selv, og når vi derfor skal sætte os ned og vurdere afstanden mellem de to streger, så udgør stregens bredde altså en vis usikkerhed i aflæsningen. Usikkerheden bliver da udlignet en smule, idet vi bruger 3 målepunkter, men skulle vi have gjort den usikkerhed mindre, så kunne vi fx have laver flere målepunkter.

Vi lavede kun 3 målinger, fordi fræseren, som sørgede for spejlets rotation, kun fungerede optimalt ved 240 volt. Lavere strømstyrker resulterede i nogle svingninger på frekvens-målingen, så valgte vi kun at lave 3 målinger ved ()volt. Forholdet mellem rotationsfrekvens og flytning er jo netop det vi måler på.

Det at beamsplitteren jo faktisk 2 gange har halveret strålens intensitet med ned til ¼, når den rammer skærmen, har som sådan ikke nogen betydning, betyder jo bare at strålen bliver en smule mere utydelig, og det er jo selvfølgelig at foretrække at den er så tydelig som mulig, så det er lettere at sætte stregerne.

Side 26

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 26

Derudover ligger der jo også en lille fejlkilde i, at vi sammenligner vores målte lys-hastighed, med hastighe-den for lys i vakuum! Lyset bevæger sig jo i vores forsøg primært igennem luft men også glas (igennem be-amsplitteren 2 gange). Forskellen mellem lysets hastighed i luft og vakuum er bare så lille, at det er næsten uden betydning, og samtidig er den afstand som lysstrålen passere igennem beamsplitteren (glas, ca 20 cm i alt) meget lille i forhold til den samlede afstand lyset passerer(30 meter).

Vi har vist at lysets hastighed kan måles med laser og roterende spejl, i det, det roterende spejl roterer en hvis vinkel i den tid det tager lyset at gennemløbe en valgt afstand. Denne vinkelændringen kunne vi regi-strere som en flytning af laserpletten, og ved at sammenligne forholdet mellem rotationsfrekvens og flyt-

                                                                 8
ning af laserplettet, har vi via forsøget udregnet lysets hastighed til 2.885 ∗10 m/s hvilket gav en relativ

afvigelse på 3,84 %, i forhold til lysets reelle hastighed.

Side 27

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 27

Konklusion

Vi har i opgaven set, hvordan Newtons opfattelse af absolut tid og rum, sammen med Galileitransformatio-nen, var grundlaget for de fysiske opfattelser af rum og tid, som kom før Einstein. Einsteins specielle relati-vietsteori reviderede disse forståelser, med blandt andet klargørelsen af lysets hastighed som endelig og konstant. Med hjælp fra Michelson-Morley forsøget, kunne Einstein forkaste æter-teorien, Newtons abso-lutte rum samt Galileis ligefremme addition af hastigheder. Einstein formede en ny fysik, hvor både tid, rum og derfor samtidig er relative størrelse, som afhænger af observatørens bevægelse. Vi har igennem Lo-rentz-transformationen set på konsekvenserne af tidsforlængelse og længdeforkortelse for legemer i be-vægelse, og set: at legemer i bevægelse påligges tidsforlængelse, i forhold til legemer i hvile, og at legemer i bevægelses forkortes i bevægelsesretning, i forhold til i hvile! Vi har set, at grænseværdi er et udtryk for

hvad funktionsværdien nærmer sig når x nærmer sig 𝑥_{0} og i denne sammenhæng anvendt størrelserne

epsilon og delta. Jeg har bearbejdet opgaver og eksempler om K-mesoner og relativistisk addition af ha-stigheder, som viser sig at tilfredsstille Einsteins postulater om tidsforlængelse, og at ingen legemer desu-den kan opnå større hastighed end lysets!

Perspektivering

Der har i opgaven generelt været meget fokus på begrebet relativitet. Einstein formulerede hans teorier, som relativitetsteorier, og hvorfor gjorde han det? Ja det er jo fordi, at den fysik som Einstein beskriver, bygger på, at forståelsen for rum og tid, er relativ, og jo afhænger af observatørens bevægelse! Man kan spørge sig selv, hvad er relativitet egentlig i almindelighed? Det almindelige menneske kender jo næppe til Einsteins egentlige formulering af relativitetsteorien, og idet teorierne jo faktisk først gør sig gældende, ved meget høje hastigheder, så er det jo ikke noget vi som sådan kan forholde os til i hverdagen. Som Einstein selv sagde det: ”Put your hands on a stove for a minute, and it feels like an hour. Sit with that special girl for

                                           22
an hour, and it feels like a minute THAT’S relativity”

. Det er tydeligt, at relativitet forstås forskelligt om man er naturvidenskabelig eller humanistisk. Naturen er jo konkret, faktisk og egentlig ikke diskutabel. Na-turen er baseret på kausalitet, og den er, uanset om vi (mennesket) er der eller ej. Naturvidenskaben er jo egentlig bare vores forsøg på at forklare den natur som egentlig er uforståelig for os. Den humanistiske gren derimod er baseret på subjektivitet, følelser og mening. Det, at tiden kan ”føles” som om den flyver af sted, når vi har det godt, er en menneskelig følelse, som jo sådan set ikke har noget at gøre med den natur-videnskabelige forståelse af relativisme. I fremtiden måske, vil mennesket kunne rejse med tilpas høje ha-stigheder, at vi rent faktisk vil skulle komme til, at forholde os til tidsforlængelse og længeforkortelse i hverdagen. Hvis altså, at disse teorier overhovedet gør sig glædende til den tid! Relativitetsteorien er i dag blevet bekræftet gang på gang med eksperimenter og beregninger, og Einsteins teorier er derfor anerkendt inden for forståelsen af den naturvidenskabelige verden. Men erfaringen siger jo, at naturvidenskabens love og teorier, vil ændre sig med tiden. Det er svært for os at forestille os, at forholdene pludselig skulle ændre sig, men sådan var det jo også svært at acceptere en revidering af forståelsen for rum og tid, for fysikerne i den klassiske fysik! Og om vi vil det eller ej, så er det netop styrken ved den naturvidenskabelige verden, at den er korrigerbar, og kan ændre sig, hvis først tilfredsstillende forklaringer og forsøg kan vise at gammel teori må forkastes og en ny derfor formes, ligesom Einstein gjorde med relativitetsteorien.

22

http://www.goodreads.com/quotes/370132-put-your-hand-on-a-hot-stove-for-a-minute

Side 28

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 28

Litteraturliste

Kompendier

Dam, Mogens, Introduktion til den specielle relativitetsteori, Niels Bohr Institutet, 18. september 2007, 7.

udgave. Forkortes i opgaven ISR

Anderson, Bengt. Johansson Karl-Eriik. Steffanson, Eva. Fysik i grundtræk 2 A Mekanik, 1. udgave 1. oplag,

1971, Góteborg. Forkortes i opgaven FIG

Forsøgsvejledning fra Aarhus Universitet, Øvelse 1: Måling af lysets hastighed, fra september 2011. (forsøg

lavet d. 29/11 2012).

Bøger

Kristensen, Erik og Rindung, Ole. Matematik 2 Naturfaglig Gren, København, GEC GADS FORLAG, 1964. For-kortes i opgaven MNG

Strathern Paul, Einstein og relativitetsteorien, Polyteknisk Forlag, Lyngby, 2. oplag 2002. Forkortes i opga-ven EOR

Uggerhøj, Ulrik, Tid Den relative virkelighed, Udgivet af Univers(Århus universitetsforlag), specialudgave

2006. Forkortes i opgaven TRV

Øvrige Hjemmesider

http://videnskab.dk/verden-pa-formler/maxwell-ligningerne-inspirerede-einstein

http://illvid.dk/spoerg-os/hvad-sker-der-hvis-man-bevaeger-sig-med-lysets-hast

http://www.matx.dk/Differential.pdf

http://www.youtube.com/watch?v=-ejyeII0i5c

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Fysik_generelt,_selskaber_og_tidsskri
fter/fysik/fysik_(De_store_skridt)

http://da.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei

http://da.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

http://da.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

http://www.goodreads.com/quotes/370132-put-your-hand-on-a-hot-stove-for-a-minute

Side 29

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 29

Bilag

1. Eksempel 2, epsilon og delta

Lad os se på funktionen

𝑓 ( 𝑥) =

3𝑥 ( 𝑥− 1)
(𝑥−1)

Grafisk vil denne funktion blot være en lineær regression igennem (0,0) med hældningen 3. Men funktio-

nen er dog ikke defineret i x=1, idet vi ikke kan dividere med 0. Det er altså en lineær regression igennem
(0,0), med et såkaldt ”hul” i x=1.

Note: selvom funktionen ikke er defineret i x=1, er funktionen stadig kontinuert, idet funktionen er konti-
nuert i alle x som ligger i definitionsmængden(funktionen er jo ikke defineret i x=1).

Om funktionen siger vi at

lim         =3
𝑥→1

3𝑥 ( 𝑥− 1)
(𝑥−1)

Jeg vil altså gerne vise, at grænseværdien, i 1 er lig 3.

Ifølge (1.1)’’ skal jeg altså finde et 𝛿>0, som så længe 0< | 𝑥− 1 | <𝛿, så vil 𝑓 ( 𝑥) − 3<𝜀.

𝑓 ( 𝑥) − 3 må også kunne skrives som_{)}^{)} |^{3𝑥}_{(}_{𝑥−1}^{(}^{𝑥−1} − 3 | <𝜀.

Jeg vil gerne forsøge, at udtrykke noget der ligner | 𝑥− 1 | <𝛿 via epsilon. Jeg omskriver:

| − 3|<𝜀⟺ | 3𝑥− 3 | <𝜀⟺ | 3(𝑥− 1) | <𝜀⟺3 | 𝑥 − 1 | <𝜀⟺ | 𝑥− 1 | <

3𝑥 ( 𝑥− 1) 𝜀
( 𝑥− 1) 3

Nu kan^{𝜀}_{3} altså vælges som netop 𝛿, og igen kan jeg, uanset hvor lille et tal epsilon du vælger, i dette tilfæl-
de, kunne dividere epsilon med 3, og dermed få det delta som gør at så længe 0< | 𝑥− 1 | <𝛿 vil
|^{3𝑥}_{(}_{𝑥−1}^{(}^{𝑥−1} − 3 | <𝜀. Der findes altså en grænseværdi for 𝑥→1 som er 3, i det vi kan komme vilkårligt tæt på

)

) grænseværdien.

2. Materiale og fremgangsmåde for forsøg med lysets hastighed

Materiale

• Roterende spejl + strømforsyning

• Fast spejl

• Helium-Neon Laser

• Beamsplitter. Splitter strålen i 2, halvdelen af intensiteten fortsætter mens halvdelen forskydes or-togonalt til enten højre eller venstre.

• Skærm. Er et hvidt stykke milimeterpapir opsat så den opfanger den ortogonale stråle som beamsplitteren laver.

Side 30

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 30

• Borde til at hæve og sænke materiale

• Optisk linse. Fokuserer strålen.

• Fotodiode + computer til aflæsning af frekvens

Fremgangsmåde

Når vi har fået indstillet laseren således, at det passer med, at den først rammer det roterende spejl, deref-ter ned igennem midten af den optiske linse, hvorefter den rammer det faste spejl og returneres til det roterende spejl som til sidst sender strålen tilbage mod laseren(ikke nogen nem proces☺ ), så er vi klar til at gå i gang!

Da laserplettens flytning, er svær at måle, hvis den rammer lige tilbage oven i laseren, så arrangeres denne beamsplitter, således at den første stråle der rammer den, reflekteres til venstre(modsat retning af skær-men), mens den tilbagevende stråle, halveres således at halvdelen reflekteres mod højre, over på skær-men. Flytningen af laserstrålen viser sig altså også på skærmen(se figur). Dette gør det lettere for os, at

måle på flytningen, men det betyder også at intensiteten af strålen til slut bliver 1/4 – da strålens intensitet

halveres 2 gange.

Når spejlet ikke roterer, vil vi altså kunne se en lysplet på skærmen som altså blot er den returnerede laser-stråle. Når vi sætter spejlet i rotation op til fx 0,5 kHz, så vil vi kunne se en ny laserplet på skærmen, få mi-limeter ved siden af den tidligere, og det er altså netop den flytning som spejlets rotation har forudsaget!

Vi måler altså forskellige afstande for flytningen af laserpletten, under forskellige frekvenser. Vi skulle jo gerne se, at jo højere rotationsfrekvens som spejlet har, jo større en afstand flytter laserpletten sig! Forhol-det skulle tilmed gerne være ligefrem proportionalt.

Ved siden af det roterende spejl sætter vi desuden fotodioden som tilsluttes en computer hvorfor vi kan aflæse frekvensen.

Note: Da det roterende spejl er dobbeltsidet, hvilket vil sige at det på en omgang faktisk reflekterer strålen

2 gange, så skal vi huske at dividere rotationsfrekvensen med 2, da lysdioden jo registrerer ”2 lys pr om-gang”.

3. Grafer for målepunkter af forsøget

Forsøg med 3 målinger

Side 31

Relativitetsteori

SRP vinteren 2012

Side 31 y, flytning af la-serplet (meter)

x, Frekvens(1/s)

y-akse, flytning af laserplet (meter)

x, Frekvens(1/s)