SRP: Poker og Sandsynlighedsregning i Matematik A og Dansk A

Side 1

1

Indhold

De grundlæggende principper: ........................................................................................................................ 2

Sandsynlighedsregning + kombinatorik: .......................................................................................................... 3

Sandsynlighed ......................................................................................................................................................... 3 Sandsynlighed for komplicerede begivenheder ........................................................................................ 4 Kombinatorik .......................................................................................................................................................... 5 Binomialfordelingen ............................................................................................................................................ 6 Simple eksempler på et pokerspils vinder .................................................................................................. 6 Spilteori: ........................................................................................................................................................................ 8 To spilleres sandsynligheder i et pokerspil ................................................................................................ 8 Pokerstrategier ......................................................................................................................................................... 11 Pot Odds .................................................................................................................................................................. 11 Expected Value ..................................................................................................................................................... 12 Artikel ........................................................................................................................................................................... 14 Pokerspillets typer og psykologi. .................................................................................................................. 14 Den matematiske del af poker ........................................................................................................................ 15

Jo flere Outs = Jo højere chance for at vinde ........................................................................................... 16

Analyse af artikel ...................................................................................................................................................... 17 Konklusion .................................................................................................................................................................. 18 Litteraturliste............................................................................................................................................................. 18

Side 2

2

Spilteori og sandsynlighedsregning

I min opgave vil jeg undersøge hvorvidt poker er ren held, eller om intellektuelle færdigheder som kendskab til matematisk sandsynlighed regning og viden om forskellige spillertyper man spiller mod, gør at held ikke bliver en så stor faktor, dvs. at poker snarere er et strategispil. Jeg vil bruge kombinatorik som virkemiddel til at udregne specifikke eksempler i en poker hånds sandsynligheder af forskellige udfald.

Jeg vil fokusere på spillet mellem to spillere. Med eksempler fra specifikke hænder vil jeg beskrive, hvordan vi kan bruge forskellige midler såsom Pot odds og Expected Value (EV) til at forklare hvilke handlinger er korrekt i den givne situation.

Poker er et kortspil der har eksisteret i århundreder, men spillet vinder først frem i midten af

1800-tallet. Oprindeligt spillede man 4 spillere med 5 kort hver, hvor kortdækket kun bestod af de 20 kort der blev delt ud blandt spillerne (4 Esser, 4 Konger, 4 Dronninger, 4 Bønder og 4 Ti’ere). Senere blev det indført at man spillede med 52 kort for at variere mulighederne af kombinationer, og spillerantallet blev mere fleksibelt. Dette spil hedder i dag ”Five Card Draw”. I denne opgave vil jeg kun beskæftige mig en variation af poker kaldet ”Texas Hold’em”. Texas Hold’em er en version der ikke har eksisteret helt så lang tid som Five Card Draw, men som allerede nu er det mest populære spil af de forskellige pokervarianter der eksisterer.

De grundlæggende principper:

Poker har alt i alt 4 grundlæggende handlinger: Fold – Check – Call – Raise. Man kan smide sine kort: Fold. Checke, betyder at man ikke ønsker at lægge flere penge i puljen men bare sende turen videre til den næste spiller. Man kan Calle: gå med på det en andet spiller har hævet med. Og endelig kan man Raise: hæve, altså smide flere penge i puljen.

Der findes følgende kombinationer af hænder:

1) højt kort (ingen af spillerne har et par eller højere, derfor vinder spilleren med det højeste kort, fx en konge)

2) et par (fx to knægte)

3) to par (fx et par damer og et par 5’ere)

4) tre ens (fx 3 10’ere)

5) straight (fem kort i rækkefølge fx: 10-bonde-dame-konge-es)

6) Flush (fem kort i samme farve fx: fem klør)

7) Fuldt hus (et par + tre ens fx: 2 esser + 3 fem’ere)

8) Fire ens, også kaldet poker (fx 4 konger)

9) Straight flush (fx: 5-6-7-8-9 i ruder)

I Texas Hold’em sidder hver spiller med 2 kort på hånden. Hver runde indledes med at der betales ”blinds”, dette er et indskud som to af spillerne ved bordet betaler, for at nødvendiggøre at alle spillere skal betale for at spille med. Der er to ”blinds”: small blind og

Side 3

3 big blind, det kunne eksempelvis være $0,10 og $20. Hånden (dvs. dette ene pokerspil) starter

med at spiller der sidder efter big blind skal beslutte om han/hun vil betale minimum $0,20 til
puljen. Vil spilleren ikke det, må han/hun folde, og vente til den næste hånd bliver givet. Når

spillerne har taget stilling til hvorvidt de vil spille med eller ej, bliver der åbnet tre kort på bordet, disse tre kort er ”dele kort” også kaldet ”community cards”. Alle spillere ved bordet må altså bruge de kort på bordet for at opnå den bedst mulige hånd. Når disse tre kort kommer kalder man det at ”floppet” er kommet. På floppet kommer der nu endnu en runde hvor man kan byde. Når spillerne alle har indskudt det samme i puljen eller alle har valgt at checke, kommer der et fjerde kort ”The Turn”, hvorefter der igen bydes. Når de spillere igen har indskudt det samme i puljen kommer ”The River” (femte og sidste kort), hvorpå der igen bydes. Efter denne byderunde viser hver af de spillere så deres to kort på hånden, og vinderen vinder puljen. Den bedste hånd dannes ud fra de 5 fælles kort, og de 2 kort på hånden. Du kan vælge at bruge alle 5 på bordet, 4 på bordet og 1 på hånden, eller 3 på bordet og 2 på hånden.

Sandsynlighedsregning + kombinatorik:

For at kunne forstå poker, er det nødvendigt at være velfunderet i sandsynlighedsregning. Jeg vil her lidt mere systematisk introducere nogle begreber fra sandsynlighedsregning og kombinatorik hvilket jeg senere vil bruge til beregninger med hensyn til pokerspillet.

Sandsynlighed

Sandsynlighedsregning fortæller hvor stor chance, en begivenhed har for at finde sted. Det er populært sagt en måde at forudse hvor ofte der vil forekomme en ”succes” (det resultat vi håber på).

Generelt defineres sandsynligheden P for at opnå ”succes” som:

1

P =

antal "gode" udfald samlede antal udfald

Heraf ses at P er et tal mellem 0 (ingen gode udfald) og 1 (alle udfald er gode) .

Lad os først se på mønt kast. På en mønt er der to sider, plat og krone. Da vi har to forskellige

                                                                1
udfald der kan forekomme må sandsynligheden for hver af disse være P = , dvs. 50%.
                                                                2

Dette kan undersøges ved at kaste flere gange. Hvis vi kun kaster få kast, kan P(krone)afvige

meget fra^{1}_{2}. Hvis vi derimod har mange gentagelser, vil resultatet gå mod sandsynligheden af

hændelsen.

Denne egenskab kendes også i sandsynlighedsregningens verden som Store Tal Lov:

Lad X

1 n i

…….X være n uafhængige forsøg, hvor hver x kan antage værdien 1 med sandsynlighed for succes P eller 0 med sandsynlighed 1-P.

Så vil^{𝑋1+⋯…+𝑋𝑛} 🡪 P, når n går mod uendelig.

𝑛

1

Mat A2, side 235

Side 4

4

Sandsynlighed for komplicerede begivenheder

Vi har forskellige regneregler til at beregne sandsynligheder for mere komplicerede begivenheder.

Hvis vi vil finde sandsynligheden for at flere uafhængige hændelser finder sted i træk skal vi gange sandsynlighederne for de enkelte hændelser sammen.

a) Hvis vil for eksempel have 3 * ”plat” i træk ud af tre kast med en terning.

          1
P(én plat) =
          2

                1  1 1  1
P (tre plat i træk) = * * =
                2  2 2  8

Det er i øvrigt samme sandsynlighed som hvis man kaster alle tre terninger på en gang og spørger om sandsynligheden for at få 3 plat. Det er fordi der er 8 mulige udfald, og kun én af disse har 3 plat.

b) Vi kan også beregne sandsynligheden for at ramme mindst 2 * ”plat” på tre kast. Altså

sandsynligheden af at få en ”succes” to ud af tre gange. For at finde sandsynligheden af dette, må vi finde summen af sandsynlighederne for at få en ”succes” i forskellige kombinationer.

Vi kan lave et skema for visuelt at kunne se hvor stor sandsynlighed der er for at opnå en ”succes”.

Vi kaster tre gange, med tre kast er der disse mulige udfald, ”P” er Plat og ”K” er Krone:

P + P + P
P + P + K
P + K + P
P + K + K
K + K + K
K + K + P
K + P + P
K + P + K

                                                            4
Fra tabellen kan vi se at mulighederne for at få mindst to Plat på tre kast er nemlig; P+P+P,
                                                            8

P+P+K, P+K+P og K+P+P

Vi kan også udtrykke sandsynlighederne for ikke at få en plat i et kast som:

P(ikke plat) = 1 ‒ P(plat) = 1 -^{1}_{2}^{1}_{2} 🡪 = P(krone).

Denne formel gælder altid, selv om sandsynlighederne ikke er ½, fordi sandsynlighederne for succes og ikke-succes altid skal give 1.

Side 5

5

Kombinatorik

Vi har regneregler til at finde antal mulige kombinationer af udfald. Dette kaldes kombinatorik. Det vil vi nu se nærmere på.

For at forstå de givne formler, må vi først lære begrebet ”fakultet”. Et antal i fakultet er skrevet som n!

n! = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-…..)…2*1
Tallet n! er for eksempel antallet af måder man kan arrangere n kort på. Lad os antage at n = 5:
n! = 5! 🡪 5! = 5*4*3*2*1 🡪 5! = 120

Man kan også udtrykke antallet af mulige kombinationer af et delantal r, ud af n kort:

         𝑛!
C(n,r) =
       ( 𝑛−𝑟 )

!∗𝑟!

n er fx antal kort i et kortspil, n = 52. r er antallet af kort der kan bruges på en hånd.
Fx i et klassisk pokerspil gives 5 kort, derfor er r = 5.

Hvis vi nu indsætter disse tal i vores formel finder vi antallet af mulige kombinationer for netop 5 kort.

2

           52!
C(52,5) =      🡪 C(52,5) =
        ( 52−5             (

)!∗5! 47∗46∗45∗44∗43….∗2∗1) ∗5∗4∗3∗2∗1

52∗51∗50∗49∗48∗47∗46…..∗2∗1

Dette bliver et kæmpe antal af muligheder som er meget svært at regne ud. Mange lommeregnere kan ikke beregne dette tal. Derfor må vi se hvad der går ”ud” i vores formel. Vi kan se at

47*46*45….. både står over og under vores brøkstreg, derfor kan vi forkorte ligningen og der står

nu:

52∗51∗50∗49∗48∗47∗46…..∗2∗1

( 47∗46∗45∗44∗43….∗2∗1) ∗5∗4∗3∗2∗1 5∗4∗3∗2∗1

🡪^{52∗51∗50∗49∗48}.

                                   311.875.200
                                                                   6
Antallet af kombinationer er altså C(52,5)= = 2.598.960 🡪 ca. = 2,6 * 10
                                      120

kombinationer.

Dette er altså antallet af mulige hænder med 5 kort.

Dette vil jeg bruge i afsnittene om spilteori for at beregne muligheder for at få forskellige kombinationer med kortspil, møntspil og terningespil. Lad os se på et eksempel med møntkast så vi kan bygge videre på dette senere.

c) Hvad er sandsynligheden for præcis ”tre kroner” i et møntspil, hvor der kastes 5 gange.

• Antal måder hvorved vi kan udvælge 3 kroner på 5 kast er givet ved C(5,3)

2

Mathematical Methods in the physical sciences, side 689

Side 6

6

                                                      1
                                                       5
• Sandsynligheden for et bestemt sæt af udfald på 5 kast er: P = ( )
                                                      2

Disse formler kan vi nu sammensætte til et generelt udtryk:

                                            𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑒𝑟
                                                       n
P(r succeser ud af n hændelser) = C(n,r) (             )
                                            𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑

Hvis vi indsætter i vores formel får vi:

P(præcist 3 kroner ud af 5 kast)=(antal kombinationer med 3 kroner) * P(for hver udfald)^{n kast}

             1
              5
P(n,r) = C(5,3) ( )
             2

           1    5
P(n,r) = 10 * 🡪  = 31%
           32  16

Binomialfordelingen

Det er ikke altid, som vi så i mønt-kast eksemplet, hvor sandsynligheden for både plat og

       1
krone = . Generelt kan sandsynlighederne for ”succes” være p og sandsynligheden for ”fiasko”
       2

være q. Sandsynligheden for at få enten succes eller fiasko er p+q=1.

Binomialformlen udtrykker sandsynligheden for at få r succeser ud af n forsøg:

P(n,r) = C(n,r) * p^{r} * q^{n-r}

10) Denne formel kan vi forstå som produktet af antal mulige kombinationer (C) ganget med

                                                         r
sandsynligheden for at få de rigtige kombinationer (dem er der r af) : p og, ganget med

sandsynligheden for ikke at få de gode kombinationer (dem er der n-r af) :q^{n-r} = (1-p)^{n-r}.

Simple eksempler på et pokerspils vinder

Lad os nu prøve at se på nogle forskellige (simple) hænder og prøve at regne os frem til nogle sandsynligheder for at vinde den pågældende hånd. Lad os antage at alle kort er åbne – dvs. et prøvespil.

a) Lad os antage at vi sidder med - . (Es - Es)

Vores modstander sidder i den givne situation med - . (9-9)

På bordet ligger: , , og , dvs. der mangler kun ét fælleskort

Hvad er sandsynligheden for at vi vinder denne hånd?

Vi ved: Der er 52 kort i et spil kort.

Es-Es er lige nu den bedste håndkombination, skal og modstanderen har kun mulighed for at danne en vindende håndkombination med tre ens, tre 9’ere. Der er ialt fire brugbare kort -

Side 7

7

9’ere (hjerte 9, ruder 9, klør 9 og spar 9). Modstanderen har allerede to af disse 9’ere på hånden.

Dermed er der to 9’ere tilbage i dækket ud af 44 kort (da vi kan se 8 kort, 52-8 = 44)

                                                              2   1
Derfor ved vi at chancen for at modstanderen får det rigtige og vinder er = , dvs. ca 4,5 %.
                                                              44 22

Vi er altså højt favoriserede i denne situation, idet vi har den højeste hånd, og modstanderen kun har 5% chance for at vinde. Desuden har vi ifølge samme argumentation, selv 5% chance for at få et ekstra Es, og derved selv få 3 ens.

b) Lad os antage at vi sidder med på hånden.

Vores modstander sidder med .

Floppet er kommet og viser .

Hvad er vores chancer for at vinde denne hånd?

Vi ved: der er 45 kort tilbage i dækket. Vi kan få den bedste hånd lige nu hvis en 2’er eller en

7’er kommer på the turn/river, fordi vi enten får 2 par (2-2 og 7-7) eller 3 ens. Da en 2’er og to

7’ere allerede er givet (dvs. er i spil) har vi 5 outs (kort vi kan vinde på).

Chancen er nu altså 5/47 = ca. 10% for at have den bedste hånd efter 4. kort er kommet

Lad os nu antage at der kommer en 2’er på turnen. Nu er vi altså i front med vores to par:

2’ere og 7’ere mod modstanderens par konge.

Hvad er chancen for at modstanderen vinder denne hånd?

Vi ved: der er 44 kort tilbage. Modstanderen kan vinde på at der kommer en konge (hvilket giver ham 3 ens), en 4’er og en bonde (dette er fordi hvis enten en 4’er eller B kommer på

riveren får han to par der er højere en vores par 2 + par 7)
Altså erhans brugbare kort: to konger + tre firere + tre bønder = 8 outs

                                                             8  4
Altså har modstanderen 8 outs ud af de resterende 44 kort i dækket 🡪 = 🡪 ca 18%
                                                             44 22

Vi er altså klart favoriserede men modstanderen vinder stadig hånden ca hver femte gang.

Side 8

8

Spilteori:

To spilleres sandsynligheder i et pokerspil

Vi skal nu se hvordan viden om sandsynlighederne kan påvirke beslutningsprocessen i Texas Hold’em. Lad os se på nogle eksempler:

a) Vi vil først se på chancen som to spillere med to håndkort har for at vinde den givne hånd. En

poker hånd kan inddeles i 4 faser/trin. Første fase er spillet, før der er vist nogle åbne kort på bordet,

og er den første runde hvor der bydes. Anden fase er ”floppet” hvor der vises tre kort på bordet.

Tredje og fjerde fase er så ”turn” og ”river” der hver viser ét ekstra kort på bordet. Lad os for at holde det overskueligt fokusere på første og anden fase af pokerspillet. Der er to spillere: spiller A og spiller B.

Spiller A sidder med håndkortene - (Es-Es)

Spiller B sidder med håndkortene - (Konge-Dame)

Obs. Hver gang der står K-D i eksempler om kortspil menes der Konge-Dame

Da Es-Es er den bedste start hånd (bedste mulige hånd i første fase) vil spiller A selvfølgelig forsøge at lokke modstanderen til at smide alle sine penge i puljen. Spiller B sidder også med en god hånd i første fase, men han er langt efter spiller A hvilket han dog ikke ved, da de ikke kan se hinandens kort, men han kan måske frygte det. I dette henseende er det interessante at se på hvilke kort de to spillere frygter mest.

Set fra A: Spiller B må ikke ramme én konge + én dame ud af de 3 kort på floppet, fordi så har B to

par der slår Es-Es.

Set fra B: Spiller A skal ikke have et Es på floppet, for så har A tre ens (Es-Es-Es), der også slår to par. A kan naturligvis også få endnu et par og få to par med Es-Es højest, hvilket slår andre to par.

Hvad er nu P (sandsynligheden) for at A får endnu et Es på det første kort der vendes?:

           2  1
P(Es til A)= = , dvs. 4%, idet vi altså har to esser tilbage i vores kortspil ud af de 50 kort vi
          50  25

ikke kan se. Læg mærke til at B også har 2 kort på hånden, men de er skjulte, defor ved vi ikke om han har nogle af dem vi kunne ønske os. Derfor udregner vi sansynligheden på basis af 50 kort og ikke 48 kort.

Hvad er P for at spiller B får en konge på første kort og en dame på andet når B allerede sidder med K-D på hånden?

= P(en konge til) * P(en dame til)

Side 9

9

  3  3
=  *   🡪     =    🡪 = 0,37 %
  50 49   50∗49 2450

3∗3 9

Altså er B’s sandsynlighed for at vinde hånden efter første fase er overstået meget lille, fordi hvis spiller A vender et Es på floppet så vinder spiller A næsten altid hånden. Derfor er spiller B’s muligheder begrænsede. Vi kan også se at spiller B’s sandsynlighed bliver produktet af de to sandsynligheder fordi han skal bruge en af hver. Det mindsker hans chancer drastisk.

Lad os nu se på sandsynligheden for at de to spillere samtidig får hvad de skal bruge på de 3 kort der vendes.

                                                2  2   2
Spiller A skal bruge et Es, han har 3 chancer: P(Es til A) = + + = 12,3 %
                                               50  49  48

Spiller A’s sandsynlighed bliver summen af sandsynlighederne for hver chance.

Spiller B skal bruge K-D for at vinde, dog kan han også bruge 2 konger eller 2 damer for at have tre ens og vinde hånden.

                          6  5
P     (K-D/K-K/D-D til B) = * 🡪 dette er chancen for at begivenheden finder sted på de
                          50 49

kort 1+2

første to kort. Chancen for at vi rammer en dame og en konge eller to af samme slags på det næstsidste og det sidste kort er (da vi har færre kort i dækket):

                          6   5
P     (K-D/K-K/D-D til B) = *  🡪 vi bliver nu også nødt til at regne sandsynligheden for den
                          49 48

kort 2+3

sidste mulighed som er at spiller B rammer på første og sidste kort:

                          6   5
P     (K-D/K-K/D-D til B) = *
                          50 48

kort 1+3

Nu finder vi summen af de tre sandsynligheder:

P(K-D/K-K/D-D til B) = P + P + P
kort 1+2 kort 2+3 kort 1+3

                      6   5   6   5    6  5
P (K-D/K-K/D-D til B) = ( * ) + ( * ) + ( * )
                      50 49   49 48   50  48

                        30
=              +     +
                  2352 2400

30 30

2450

= 3,75%

Spiller B’s chancer forøges ca med en faktor 10 fra før hvor vi kun trak to kort, der var B’s chance for at vinde hånden 0,37% og nu er den 3,75%. En kæmpe forøgelse, men hvis vi sætter spiller A ind i hånden, vil spiller A altså have ca 95% chance for at vinde.

Til B’s vinderchancer skal man også lægge sandsynligheden for at han får 2K eller 2D, idet han så har 3 ens, der slår Es-Es. Men hvis A får et Es til, vinder han alligevel.

Lad os nu se på B’s chancer for at ramme K-D og at spiller A ikke rammer et Es.

Chancen for at B rammer K-D, K-K eller D-D er som før produktet af sandsynligheden for at der både kommer K-D, K-K eller D-D. Hvis hændelserne var uafhængige, ville sandsynligheden for at B rammer og A ikke gør, være sandsynligheden for at B rammer ganget med sandsynligheden for at

Side 10

10

A ikke rammer. Men da hændelserne er afhængige (hvis A ikke får et Es, så er der større chance for at B rammer en K eller D), bliver formlen:

P(B får K-D/K-K/D-D og A får ikke et Es)

= P(B får K-D/K-K/D-D, givet at A får ikke et Es)* P(A ikke får et Es)

= P(B får K-D/K-K/D-D, givet at A får ikke et Es) * (1-P(A får et Es)),

hvor vi har udnyttet at sandsynligheden for at en begivenhed ikke finder sted, er 1 minus sandsynligheden for at begivenheden finder sted. Altså fås nu:

                                          6  5
P(B får K-D/K-K/D-D, givet at A ikke får et Es) = ( * )
                                          46 45

Vi antager at spiller B ikke ved at A sidder med to Esser på hånden. Derfor er der 46 mulige kort, fordi vi fratrækker de fire Esser der burde være tilbage i bunken.

             2
P(A får et Es) =
             50

                                      6  5      2
P(B får K-D/K-K/D-D og A får ikke et Es) = ( * ) * (1- ) = 1,39%
                                     46  45     50

b) Lad os nu se hvad mulighederne er for at spiller A (der har 2 Es’er på hånden) får et Es på de 5 kort der i alt kommer på bordet, ved brug af binomialformlen. For at kunne udregne dette må vi forstå et nyt symbol og en ny formel. Vi må kende q, som er sandsynligheden for at få alt andet end et bestemt kort: i dette tilfælde et Es, dvs. sandsynligheden for ’fiasko’.

Vi bruger binomialformlen fra et tidligere afsnit. Sandsynligheden for at få et Es på de næste 5 kort er:

P(5,1) = C(5,1)*p^{1} *q^{4}

C(5,1) er som tidligere antal mulige kombinationer på de fem kort, når vi vil ramme ét

                                        5!
bestemt kort, i dette tilfælde et Es: C(5,1) =
                                     ( 5−1 ) !∗ 1!

                                                            2
p er sandsynligheden for at få et Es blandt de resterende 50 kort. p = da vi allerede har
                                                           50

brugt to Esser fra kort dækket.

q er sandsynligheden for at få alt andet end et Es 🡪^{48}_{50}.

Nu indsætter vi vores tal i formlen P(5,1) = C(5,1)*P^{1} *q^{4}

          5!     2    48
                   1     4
P(5,1) =      * ( ) * ( )
       ( 5−1 )  50    50

!∗ 1!

       5   2     48
             1     4
P(5,1) = * ( ) * ( )
       1   50    50

P(5,1) = 0,1699 = 16,99 %

Side 11

11

Altså er sandsynligheden for at spiller A får netop ét Es på de 5 kort der trækkes ca 17%.

Hvad så hvis spiller A vil have begge resterende Esser på de 5 kort der trækkes? Formlen ændres nu til:

P(5,2) = C(5,2)*p^{2} *q^{3}

P og q er her samme værdier som før.

          5!     2   48
                   2   3
P(5,2) =      * ( ) *( )
       ( 5−2 )  50   50

!∗ 2!

P(5,2) = 0,0142 = 1,42 %

Altså er sandsynligheden for at to hændelser i træk på fem kort meget lille i forhold til kun at skulle have én hændelse til at finde sted.

Sandsynligheden for at få et Es eller mere er derfor 16,99% + 1,42% = 18,41%.

Heraf ses at A’s chance for vinde spillet med 3 eller flere Es’ser er god, og han står stærkt med den gode start hånd. Med det udgangspunkt skal han nok satse stort tidligt i spillet, håbe på at få B med. På denne måde kan man se at kendskab til sandsynlighedsregning påvirker måden at spille på –eller bør påvirke den!

Pokerstrategier

En god pokerstrategi skal sørge for at man vinder. Den må være baseret på kendskab til sandsynligheden for de forskellige hændelser i spillet.

Eksemplet er spillet mellem A og B fra før. A har Es-Es og B har K-D.

Idet A har ”x” procent chance for at vinde hånden når floppet er vist og B kun har ”y” procent chance, så må en god strategi for A være at satse maksimalt på de to Esser for at søge at afslutte spillet hurtigt, når han mener at han er foran i hånden. Det er farligt at afvente hvad der sker, for så giver han spiller B en mulighed at ramme og få en bedre hånd end spiller A.

I dette afsnit om pokerstrategier vil jeg gennemgå hvilke virkemidler vi kan bruge udover kun at bruge de forskellige sandsynligheder. Her vil jeg gennemgå begreber såsom ”Pot Odds”, ”Implied Odds” og ”Expected Value”

Pot Odds

Vi har nu den grundlæggende sandsynlighedsregning vi skal bruge til at bestemme vores chancer for at vinde hånden over vores modstander. Et aspekt af pokerspillet er at udregne hvor stor chance den givne hånd du sidder med, men nu integreret med aspektet: Hvornår skal vi blive ved med at spille hånden selvom vi (måske) ved, at vi er slået af modstanderens hånd? Hvis modstanderen har en bedre hånd end os, bliver vi nødt til at ramme et eller flere kort, af de kort der kommer på bordet, for at vinde hånden. For at kunne retfærdiggøre at spille videre i hånden, må vi se på hvor stor puljen af den givne hånd er, samt

sandsynligheden af at vi rammer det/de kort der er nødvendige for at vinde. Vi må se på

Side 12

12 hvilke ”Outs” vi har for at vinde hånden, som tidligere forklaret er Outs det antal kort der kan vinde hånden for os.

Definition: ”Pot odds are a mathematical expression giving your risk-to-reward ratio for

calling a bet”^{3}.

Lad os se på et eksempel:

Blind $1-$2

Vi sidder med

Vi raiser til $3, og modstanderen går med, puljen er $6.

Floppet kommer

Vi sidder med et flush draw, dvs. vi mangler én hjerter for en flush. Det vurderes at hvis vi får vores flush vil vi højst sandsynligt vinde puljen, da en flush er en stærk hånd med de kort der ligger på bordet. Modstanderen forhøjer 4$, så puljen er nu i alt $10. Hvad gør vi? Kan det ved hjælp af Pot odds retfærdiggøres at gå med?

Vi ser nu på tabellen på bilag 1, og ser at vores chancer for at få endnu en hjerter på de næste

                                                                   100
to kort er 35%. Dette kan vi omskrive til odds 2.9 til 1 🡪       =   dvs. 2.9
                                                                   35

𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑛𝑑𝑠𝑦𝑛𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑 𝑣𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑎𝑛𝑑𝑠𝑦𝑛𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑

Vi ved altså nu at puljen skal være 2.9 gange større end det beløb vi skal betale for stadig at være med i hånden. da puljen er $10, og vi skal betale 4$ er pot oddsene 2.5 – 1, derfor er det rigtige valg i dette tilfælde at folde hånden fordi vores ”risk-to-reward ratio” er for høj.

Havde modstanderen i stedet kun forhøjet med $2, ville vi kun skulle betale $2 for at kunne vinde $8, dvs. pot oddsene er 4 til 1. I dette tilfælde ville det derfor være korrekt at betale de

$2, da gevinsten klart opvejer risikoen. I hver eneste pokerhånd man spiller er det således vigtigt altid at beregne pot odds.

Expected Value

”Your expected value (EV) tells you how many chips youexpect to gain or lose, on average,

from a particular play”^{4}.

Expected value er altså et begreb, der kan hjælpe os med at vurdere om vores beslutning forventes at tjene eller tabe penge i det lange løb.

Princippet er følgende:

3

Heads-up no-limit hold’em, side 5

4

Heads-up no-limit hold’em, side 8

Side 13

13

Antag som i tidligere eksempel at vi sidder med , og modstanderen sidder med - . og at alle kort er åbne. Ligesom før ligger der: , , og . Dvs. at der kun mangler at komme ét kort fælleskort.

Vi har beregnet at modstanderen har 4,5 % chance for at vinde. Antag at der er $10 i puljen,

og vi forhøjer med $1. Modstanderen kan nu beregne hans forventede gevinst/tab for hver

beslutningsmulighed han har:

Han kan folde, dvs. lade være med at betale 1$ i puljen, men til gengæld miste chancen for at vinde $11. I dette tilfælde har hans beslutning følgende expected value:

(Han betaler $0 med sandsynligheden 1)

EV = 0 * 1 = 0

Hvis han caller vil han tabe $1 med 95,5 % sandsynlighed og vinde $10+$1+$1, dvs.

EV = -$1 * 0,955 + $12 * 0,045
= -$0,955 + $0,90
= -$0,055 🡪 ca = -$0,06

Dvs. hvis han caller vil han i gennemsnit tabe 6 cent pr spil. Men hvis han folder, vil han ikke tabe noget, dvs. han bør folde sin hånd nu, ellers vil han miste penge i det lange løb. Det skal bemærkes at man normalt ikke kan se hinandens kort! Derfor er det i praksis nødvendigt selv

at kunne estimere sine chancer for at vinde/tabe, og det er i høj grad et spørgsmål om erfaring

at kunne vurdere dette tilstrækkeligt godt. Men selv om en nybegynder ikke kan estimere præcis, vil han stadig have stor fordel af at anvende begreber som pot odds og EV.

Side 14

14

Artikel

Til dig der vil forbedre dine pokerfærdigheder (Pokerens A-B-C)

Spillet poker har mange forskellige facetter og aspekter. Når du som pokerspiller vil være en vindende pokerspiller, må du bruge alle de midler der er til rådighed, for at blive så effektiv som muligt. At læse poker bøger og artikler er vigtigt for at kunne overvinde modstanderens spil, og forstå modstanderens psykologi. Derfor ”aggressive”. En passiv modstander er en har jeg skrevet denne artikel. Den er til dig der vil blive en bedre pokerspiller, til dig der spiller om lave pengebeløb og gerne vil mere end bare dét. modstander er derimod tilbøjelig til at

For at blive bedre end resten af hoben af pokerspillere må vi først lære om de forskellige typer af spillere vi kan møde ved bordet. Jeg bruger mange forkortelser for kortene der gives i de eksempler fra en hånd der spilles i poker. Til dig der ikke er bekendt med disse forkortelser er de som

følger (alle forkortelser er på engelsk): A =
Ace, K = King, Q = Queen, J = Jack og T =

Ten. Alle tal der vil forekomme er

nummeret på kortet fx en 9’er = 9. Når der
skrives to bogstaver/tal i træk menes der Lad os tage en situation og i korte træk

håndkortene enten vi eller modstanderen gennemgå vores beslutningsproces for holder, evt. hvilke mulige hænder vores hver type modstander: modstander kunne sidde med.

Pokerspillets typer og psykologi.

I poker kan man inddele de forskellige spillere i forskellige kategorier. Disse kategorier kan hjælpe os til at tage de rigtige beslutninger i vanskelige situationer. Der er spillere som spiller meget ”tight” (sikre spillere), det er spillere der spiller få hænder, men når de spiller, sidder de med gode kort på hånden, altså en spillertype som venter på at få gode kort før de vil spille med i puljen. Vi bruger de engelske betegnelser for spillertyperne i det følgende. Derefter har vi typen ”loose”

(vilde spillere). Det er kategorien af spillere som spiller langt flere hænder end en

”tight” spiller. Standarden af hænder den loose spiller vil spille er altså langt lavere.

Derefter har vi to kategorier mere vi kan inddele spillere i nemlig ”passive” og modstander der ikke hæver puljen men ofte bare caller (denne type kan også kaldes en ”calling station”). En ”aggressive” raise ofte. Men hvilken betydning bør det have for vores spil at vi kan inddele spillerne i disse kategorier? Det gør at vi får en bedre mulighed for at skyde os ind på hvad modstanderen sidder med på hånden, og udfra dette at vurdere vores chancer for at vinde udfra sandsynlighedsregning og en vurdering af modstanderens psykologi.

Vores mål må jo være at regne ud hvad modstanderen sidder med uden at vi reelt ser hans kort.

På bordet ligger: , ,

Vi sidder selv med ,

Vi spiller mod en tight spiller og han har hævet puljen før floppet, vi er gået med og det er hans tur til at agere. Han hæver puljen. Hvad gør vi? Da vi har kategoriseret ham som værende tight, antager vi at han sidder med en hånd værende et stykke

Side 15

15 over middel. Vi kan prøve at sætte ham på nogle forskellige hænder som vi tror han kan sidde med: han kan sidde med et højt par på hånden såsom AA-KK-QQ-JJ måske

TT (10-10), derefter kan han også sidde med et es plus et højt side kort såsom AK-

AQ-AJ-AT. Måske kan han endda sidde med

KQ - KJ, hvilket vi finder usandsynligt eftersom han har spillet meget tight førhen. Derfor er vi slået af stort set hver en hånd vi tror han kan sidde med. Derfor er det rigtige valg her at vi folder.

Men hvad så hvis vi i samme situation spiller mod en Loose spiller? Se så ændrer situationen sig jo drastisk. Vi ved vores modstander er tilbøjelig til at hæve puljen, hvor han mange gange ikke sidder med en god hånd, vi ved også at han er tilbøjelig til at hæve puljen uden at have noget for simpelthen at stjæle puljen.

Altså er situationen: en Loose spiller har hævet før floppet, vi er gået med og floppet er 4-J-A, vi sidder med K-J. Han hæver på floppet. Hvad gør vi? Igen må vi prøve at sætte ham på forskellige hænder: han kunne sidde med de samme hænder som ovenfor vist med eksemplet for en tight spiller, men dette føler vi usandsynligt eftersom han har været meget aktiv på bordet og de gange han har vist sine kort, ikke har haft gode kort. Vi tror han kunne sidde med et lavt par på hånden såsom 55- han kunne også sidde med et godt kort med et lavt sidekort som: A5-A6-

A7-KT-K9-K8 eller måske KJ-KQ. Lad os sige at 80% sikre på at han ikke sidder med en god hånd, og at vi formentligt er favoritter med ca 60-70% chance til at vinde hånden hvis vi caller, derudover hvis han sidder med et es og et lavt sidekort har vi ca 10% for at vinde hånden. Vi går derfor med på hans raise.

Altså ændrer det vores beslutning drastisk, hvilken type modstander vi sidder overfor.

Den matematiske del af poker

Nu forstår vi hvilke typer modstandere vi kan sidde overfor, samt hvilke forholdsregler vi må foretage i forsøget på at udregne modstanderens hånd. Dette er dog kun en brøkdel af de virkemidler pokerspillet har, men det er også en meget essentiel del. Den formentligt bedste tilgang til poker er at tænke på spillet som en matematisk ligning:

Profit = Erfaring + Viden.

Erfaring siger sig selv, den kommer ved timers træning ved et pokerbord eller bag computeren ved på et online kasino. Viden derimod kommer ved læsning og matematiske overvejelser. Disse matematiske overvejelser vi må foretage, vi tager udgangspunkt i sandsynlighedsregning. Pokerens sandsynlighedsregning fortæller dig chancen for at få et eller flere kort som vil vinde hånden for dig. Vi har udregnede eksempler som vi her vil bruge. Vi må forstå hvor stor sandsynligheden er for at én bestemt type af kort kommer på bordet

(fx at Es, eller en ruder). Fx hvis du skal bruge et Es for at vinde hånden, og du allerede sidder med ét Es på hånden, er der derfor to mulige Esser tilbage i kortspillet.

Hvis dette finder sted på ”turnen”, altså med kun ét kort der mangler at blive vist, ved vi at der er 46 kort tilbage. Nu har vi

                    2   1
altså sandsynligheden =  . hvilket er en
                    46  23

chance på ca 5%. Nu kender vi sandsynligheden af at det kort vi skal bruge kommer på bordet. Så tænker du måske,

”Det er da flot at vi kender sandsynligheden af at dette sker, men hvad skal jeg bruge det til?”. Dette skal du bruge til at fastslå hvor meget en hånd er ”værd”, hvis du ikke sidder med en aktuel hånd

(men derimod skal ramme et eller flere af de fælleskort der mangler at trækkes).

Værdien af denne hånd udtrykker vi i

”Outs”.

Side 16

16

Jo flere Outs = Jo højere chance for at vi enten vinder med 100 % sandsynlighed

vinde (altså vi rammer det kort vi skal bruge),

Disse outs kan vi så koble sammen med sandsynligheden for at ramme en sådan

”out” og dermed vinde. Til at koble disse to sammen må vi forstå begrebet Pot Odds.

Pot Odds er et matematisk udtryk for en

begivenhed finder sted, udtryk i hvor sandsynligheden 🡪 54,1 % når n 🡪 ∞.

meget du henholdsvis vil vinde i forhold til at tabe. Det bliver vi nødt til at eksemplificere for at kunne forstå dette til fulde. mange gange! Altså må du aldrig spille for

Vi sidder med et flush draw samt et straight draw.

Vi estimerer at vi vinder hånden hvis vi rammer en kort til vores flush eller straigt.

Hvis vi derimod ikke får et af de kort vi kan bruge, taber vi hånden. Vi kan se på bilaget der tidligere er publiceret, at det antal outs

vi har for et flush draw + et straight draw

er 15. Ud fra tabellen kan vi dér se at vi nu sidder med 54,1% chance for at vinde hånden, når der er kommet de første 3 fælleskort på bordet. Da vi her har højere spillestil, hvilke genkendelige træk chance end modstanderen for at vinde definerer ham som spiller?

hånden, er det rigtige valg at raise. Hvis modstanderen derimod raiser, så vi nu sidder med valget om at vi skal calle må vi med, og beslut hvad udregne pot oddsene. For at finde det beløb sandsynligheden er for dette.

vi kan gå med på i forhold til hvor stor 3) Tæl outs = alle de kort der vinder

puljen er finder vi sådan: hånden for dig!

100

54,1

= 1,85 🡪 altså må vi gå med på

modstanderens raise hvis han hæver så vi skal betale 1,85 eller færre penge til puljen.

Dette kalder man at vi har pot odds 1,85 til

1. Men for at vi reelt kan bruge disse tal til noget, bliver vi nødt til at spille mange hænder. Dette er fordi der i hver situation er to mulige udfald: Vi kan vinde og vi kan tabe. Dvs. at de to udfald der kan ske er at eller vi vinder med 0 % sandsynlighed (når vi ikke rammer det kort vi skal bruge).

Disse to mulige udfald vil gå mod vores

”sandsynlighed baseret på outs”, ved at gentage spillet mange gange. Altså, at

Dette fortæller os, at for at vi skal udligne få den rette procentsats af vinderprocenter, må vi være i stand til at spille hånden flere penge end din bankroll er i stand til at håndtere. Altså behold penge på din konto, i stedet for at have alle dine penge ved bordet, så du altid kan tage flere penge på bordet hvis du taber en stor hånd (så har du nemlig altid penge til at spille, så dine

54,1 % i ovenstående tilfælde vi gå mod

54,1 %)

Det du skal fokusere på for at forbedre dit spil er:

1) Tag altid højde for din modstanders

2) Betragt alle de variationer af hænder din modstander kan sidde

4) Udregn altid pot odds!

5) Bevar den matematiske tilgang til poker i hver eneste hånd!

6) Spil med en bankroll, hvor du altid har plads til at lave eventuelle fejl i din vurdering af modstanderen.

7) Hold hovedet koldt og mist aldrig koncentrationen af tidligere dårlige beslutninger du har truffet i spillet!

Jesper Jørgen Gaardhøje

Side 17

17

Analyse af artikel

Denne artikel er en artikel der kunne forekomme i et pokermagasin eller på en poker side på internettet.

I denne artikel er der fokuseret på at ramme én bestemt målgruppe. Målgruppen der er forsøgt ramt, er pokerspillere med mindre erfaring i pokermiljøet. Artiklen er en guide til den

uuddannede pokerspiller, til at hæve hans/hendes pokeregenskabers til et højere stadie end

før. Artiklen er ment som en ABC til den uerfarne spiller, hvor der til sidst er en huskeliste over gøremål der skal betragtes i hver eneste situation af en pokerhånd.

For at bibeholde den pokerfaglige tilgang til artiklen er der engelske ord i teksten. De fremmedord der influerer i teksten er tænkt som en pokerlæser ville kunne referere til reklamer og pokerspil personen tidligere har stødt på, dette er virkemidler der direkte bruges, for at vække læserens interesse og forsøge at skabe en ”Deja-Vu” oplevelse for læseren, som kan genkende sig selv i de forskellige beslutninger der hele tiden er nødvendige i et intenst pokerspil. For at indblande læseren i teksten bruges også ord som ”Vi” og ”Du” så læseren bedre engageres i teksten. Der bruges samtidig eksempler fra aktuelle hænder med masser af billedsprog for at forenkle ellers svære begreber til læseren.

Artiklen er bygget op med korte sætninger, for både at gøre teksten let læselig for en nybegynder indenfor pokerverden. Samt for at give teksten et hurtigt, punchy flow. Stilen minder om en artikel der kunne udgives fra et ugebladsmagasin som eksempelvis ekstra bladet, hvor læseren ikke skal finde stilen (sætningsopbygningen) for svær, da læseren kort bladrer igennem siderne af bladet, og kun læser i dybden, i de artikler læseren kan relatere eller føler interesse for. Man kunne have valgt at ændre opbygningen, og i stedet bruge længere sætninger, men dette ville muligvis blive for kompliceret, og læseren måske derfor ville miste koncentrationen. Der er klare argumentationer på baggrund af de matematiske formler der fremkommer i teksten (se de matematiske udregninger på de foregående sider før artiklen), som er nødvendige virkemidler for en vindende pokerspiller.

Side 18

18

Konklusion

Jeg ville beskrive om at en vindende pokerspiller var heldigere end tabene pokerspillere. Held er en faktor i poker. Men med de midler der er stillet til rådighed i løbet af denne opgave kan vi minimere chancen for at tabe. Dette kan vi gøre ved hjælp af sandsynlighedsregning for at finde vores sandsynlighed for at vinde den pågældende hånd. Ved hjælp af kombinatorik, til at udregne sandsynligheden af komplicerede begivenheders sandsynlighed for at finde sted. Da vi forstår dette, kan vi bruge pot odds til at optimere vores chance for at træffe det korrekte valg i den givne situation. Derefter kan vi udregne EV værdier til at udregne den gennemsnitlige profit spillet pr. hånd og derved også udregne hvad den korrekte beslutning i situationen er. Til sidst må vi vurdere modstanderens tendenser af spillestil til at kunne lave en endnu mere kvalificeret beslutning om hvilken handling vi skal foretage.

Hvis man følger disse komponenter der nu er stillet til rådighed, kan vi minimere risikoen for at tabe. Derved minimerer vi også heldets indflydelse af poker, da målet for en poker spiller ikke vil være at vinde på ren og skær held, men derimod egenskaber der egner sig til spillet poker.

Litteraturliste

Cartensen Frandsen Studsgaard. Mat A2. Narayana Press, Gylling

Moshman, Collin. Heads-up no-limit holdʼem. Las Vegas, Nevada: Creel Printing Co.

Harrington, Dan. Harrington on Cash Games Vol. 1. Las Vegas, Nevada: Creel Printing Co.

Harrington, Dan. Harrington on Cash Games Vol. 2. Las Vegas, Nevada: Creel Printing Co.

Boas, M.L. Mathematical Methods in the Physical Sciences. New York: John Wilery & Sons, Inc.