SOP om Multilagsstrukturer og lys i Fysik og Matematik

Side 1

Studieretningsprojekt

Fysik A– Matematik A

Multilagsstrukturer og lys

2013

3.bc

HTX 3. år

Side 2

Indhold

Indledning ........................................................................................................................................................................... 2 Forord ................................................................................................................................................................................. 2 Abstract .............................................................................................................................................................................. 3 Matricer .............................................................................................................................................................................. 4 Regneregler for generelle matricer ................................................................................................................................ 4 Simple matrixoperationer ........................................................................................................................................... 4 Transponering af matrix ............................................................................................................................................. 5 Matrixmultiplikation og enhedsmatricer .................................................................................................................... 5 Tyndfilmsinterferens........................................................................................................................................................... 6 Tyndfilm og interferens .............................................................................................................................................. 6 Tyndfilmsinterferens ved enkeltlagsstruktur .............................................................................................................. 7 Multilagsstrukturer ........................................................................................................................................................... 11 Eksempel på udregning af højreflektiv film ...................................................................................................................... 15 Konklusion ........................................................................................................................................................................ 17 Litteraturliste .................................................................................................................................................................... 18

Side 3

INDLEDNING

Multilagsstrukturer er overalt omkring os, når vi kigger nærmere på dagligdags objekter støder vi på dem, de er i briller, i linser og i mange former for glas, plastik og silikone. Men det er ikke der, de mest forunderlige strukturer er, det er i naturen at magien sker.

Det er multilagsstrukturer, der giver farve til sommerfugles vinger, det er multilagsstrukturer, der giver farve til billers skjolde, men så er der også sæbebobler og olie, deres changerende farve, er et produkt af tyndfilmsinterferens, når lyset reflekteres fra over- og undersiden af den tynde film.

I dette projekt vil der blive gjort rede for basal matrixregning samt matrixmultiplikation, der skal bruges som understøttelse af forklaringen af principperne for tyndfilmsinterferens og multilagsstrukturer. Derudover vil der også blive.

FORORD

Denne rapport er udarbejdet ved hjælp af bogen Introduction to optics skrevet af Leno Pedrotti, Frank Pedrotti og Leno Pedrotti, men det havde ikke været muligt, at skrive den uden hjælp fra Jeppe Clausen fra DTU, han har anbefalet mig ovenstående bog samt hjulpet mig med, at indsnævre og formulere min opgave.

Figur 1 J. R. Soc. Interface-2009-Seago-S165-84 af Ainsley E Seago, Parrish Brady, Jean-Pol Vigneron og Tom D Schultz

Side 4

ABSTRACT

This paper examines the use of transfer matrixes in finding the reflectance of light in single and multilayer films.

Multilayer films are used widely though the modern industry, to make antireflection and high reflectance surfaces. An example would be sunglasses with UV protection where the glass has been made to reflect the harmful UV light.

This paper focuses on light at normal incidence in single and multilayer films, due to the complications with light at an angled incidence.

To help the reader understand the theory in this paper, the equations used for single and multilayer films have been mathematically derived from their source, to some degree. This paper contains examples for calculating the reflectance of a single film layer structure and a simplified multilayer structure.

I will attempt to construct a multilayer film for glasses that is capable of reflecting the harmful UV light from the sun.

As expected it’s easy to theoretically construct a simple coating that reflects a certain wavelength but the use of more advanced mathematical programs are needed if I am to plot the resistance as a function of wavelength for a complex multilayer structure, which this paper doesn’t include.

In conclusion it is possible to construct multilayer structures with remarkable traits, if the right mathematical programs are at hand, in theory the possibilities are endless for a complex multilayer film.

Side 5

MATRICER

For at forstå visse dele af rapporten er en basal grundviden om matrixregning nødvendig, det meste af dette afsnit har ikke nogen betydning for resten af rapporten, med undtagelse af matrixmultiplikationen der bruges senere.

En matrix er en form for talskema, der karakteriseres ved antallet af søjler og rækker, der så angiver hvilken type matrix det er.

Her er et eksempel på en Matrix kaldet A:

𝐴=[ 2 1]

1 2

1 2

En matrix består af søjler og rækker, ovenstående matrix er derfor en 2 × 3 matrix. Tallene i en matrix kaldes
elementer, og matricen A har derfor 2 ⋅ 3=6 elementer

REGNEREGLER FOR GENERELLE MATRICER

For at tage det mere generelt kan man opstille en generel matrix, som vi her kalder A

𝐵=[ ⋮ ⋱ ⋮]

𝑏_{11} ⋯ 𝑏_{1𝑛}

𝑏_{𝑚1} ⋯ 𝑏_{𝑚𝑛}

Matricen B består af m søjler og n rækker, og kan både skrives: 𝐴_{𝑚×𝑛} eller m × n matricen A.

SIMPLE MATRIXOPERATIONER

Matrixsummen for to matricer af samme type, findes ved at lægge dem sammen ved at sige:

𝐴 + 𝐵=[] + [ ⋮ ⋱ ⋮]=[ ⋮ ⋱ ⋮]

𝑎_{11} ⋯ 𝑎_{1𝑛}

⋮ ⋱ ⋮

𝑎_{𝑚1} ⋯ 𝑎_{𝑚𝑛}

𝑏_{11} ⋯ 𝑏_{1𝑛} 𝑎_{11} + 𝑏_{11} ⋯ 𝑎 + 𝑏_{1𝑛}

𝑏_{𝑚1} ⋯ 𝑏_{𝑚𝑛} 𝑎_{𝑚1} + 𝑏_{𝑚1} ⋯ 𝑎_{𝑚𝑛} + 𝑏_{𝑚𝑛}

1𝑛

To matricer af samme type kan også trækkes fra hindanden på samme måde som de kan lægges sammen.

𝐴 − 𝐵=[] − [ ⋮ ⋱ ⋮]=[ ⋮ ⋱ ⋮]

𝑎_{11} ⋯ 𝑎_{1𝑛}

⋮ ⋱ ⋮

𝑎_{𝑚1} ⋯ 𝑎_{𝑚𝑛}

𝑏_{11} ⋯ 𝑏_{1𝑛} 𝑎_{11} − 𝑏_{11} ⋯ 𝑎 − 𝑏_{1𝑛}

𝑏_{𝑚1} ⋯ 𝑏_{𝑚𝑛} 𝑎_{𝑚1} − 𝑏_{𝑚1} ⋯ 𝑎_{𝑚𝑛} − 𝑏_{𝑚𝑛}

1𝑛

Produkt med skalar. Produktet af matricen og skalaren (𝑘) skrives således.

𝐴𝑘=𝑘⋅ []=[]

𝑎_{11} ⋯ 𝑎_{1𝑛} 𝑎_{11} ⋅ 𝑥 ⋯ 𝑎_{1𝑛} ⋅ 𝑥

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎_{𝑚1} ⋯ 𝑎_{𝑚𝑛} 𝑎_{𝑚1} ⋅ 𝑥 ⋯ 𝑎_{𝑚𝑛} ⋅ 𝑥

Side 6

TRANSPONERING AF MATRIX

Hvis man har en vilkårlig matrix 𝐴_{𝑚×𝑛} og skal bruge den transponerede matrix 𝐴^{⟙}:

𝐴^{⟙} = er den transponerede matrix af (𝐴^{⟙})^{⟙} =𝐴= 𝑐 𝑑

𝑎 𝑐 𝑒 𝑏 𝑑 𝑓 𝑎 𝑏 𝑒 𝑓

Dette gøres ved at bytte om på søjler og rækker, så 𝑎 bliver til 𝑎 sagt mere generelt: 𝑎 bliver til 𝑎 .
                                           23        32                  𝑛𝑚         𝑚𝑛

MATRIXMULTIPLIKATION OG ENHEDSMATRICER

                 1
Matrixmultiplikation er derimod en smule mere kompliceret.

for en 2 × 2 matrix gælder det at:

[][]=[]

𝑎_{11} 𝑎_{12}
𝑎_{21} 𝑎_{22}

𝑏_{11} 𝑏_{12} 𝑎_{11} ⋅ 𝑏_{11} + 𝑎_{12} ⋅ 𝑏_{21} 𝑎_{11} ⋅ 𝑏_{12} + 𝑎_{12} ⋅ 𝑏_{22}
𝑏_{21} 𝑏_{22} 𝑎_{21} ⋅ 𝑏_{11} + 𝑎_{22} ⋅ 𝑏_{21} 𝑎_{21} ⋅ 𝑏_{12} + 𝑎_{22} ⋅ 𝑏_{22}

Indenfor matrixmultiplikation. gælder det, at: 𝐴𝐵≠𝐵𝐴 så i modsætning til normal multiplikation er

matrixmultiplikation ikke kommutativ. Endvidere skal antallet af søjler i A være lig antallet af rækker i B.

Matrixmultiplikation er associativ, det vil sige, at det ikke betyder noget hvorvidt man siger 𝐴 ( 𝐵𝐶) eller ( 𝐴𝐵) 𝐶 så længe rækkefølgen ikke ændrer sig:

𝐴 ( 𝐵𝐶) = ( 𝐴𝐵) 𝐶

𝐴(𝐵𝐶)≠ ( 𝐵𝐴) 𝐶

Når man snakker matrixmultiplikation skal enhedsmatricen E også nævnes^{2}.

Enhedsmatricen er en kvadratisk matrix hvor der er 1-taller i diagonalen fra 𝑒 til 𝑒 og nuller på de resterende
                                                               11  𝑚𝑛

pladser.

𝐸=[]

1 0 ⋯ 0

0 1 ⋯ 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 ⋯ 1

For en enhedsmatrice gælder det at 𝐸𝐴=𝐴𝐸=𝐴 så en enhedsmatrice ændrer på ingen måde den originale matrix.

Så det er en undtagelse fra den tidligere skrevne regel om, at matrixmultiplikation ikke er kommutativ.

1 også kaldet Matrix-matrixprodukt.

2

Enhedsmatricen bliver kaldt I (identity matrix) i engelske værker.

Side 7

TYNDFILMSINTERFERENS

For at forstå tyndfilmsinterferens er man først nød til at forstå begrebet tyndfilm.

TYNDFILM OG INTERFERENS

Når vi snakker optik, er det vigtigt at vide hvad en tyndfilm er. En tyndfilm er en film med en tykkelse i omegnen af bølgelængden for synligt lys, og eftersom synligt lys har en bølgelængde på ca. 380 – 740nm er tyndfilmens tykkelse nød til at være i nogenlunde samme størrelsesorden, hvilket er derfor, man ikke ser samme effekt i termoruder, eller andre to-lags hverdagsobjekter.

Lag i den størrelsesorden kan have rigtig gode refleksive eller ikke-refleksive egenskaber.

Et sted hvor man kan se den form for interferens, kunne fx være i olie eller sæbebobler, det er fordi ”filmen” af olie og sæbe er så tynd, at den opfylder kravene for interferens, nemlig en tykkelse der svarer til bølgelængden af det synlige lysspektrum. Det der sker, er at man ser olien fra en ”skæv” vinkel, og dermed er afstandene i tyndfilmen anderledes end når man kigger lige på. Denne forskel kan bevirke til konstruktiv eller destruktiv interferens for nogle af ”lysstrålens” bølgelængder, så nogle bliver mere tydelige end andre.

Interferens er når to bølger går sammen og skaber en ny bølge.

Figur 2 http://en.wikipedia.org/wiki/Interference_(wave_propagation)

Figur 2 viser et eksempel på konstruktiv interferens og et på destruktiv interferens for en bølge. Eftersom vi arbejder med lys, så gør det, at vi ændrer amplituden, at lyset enten bliver mere eller mindre intensivt.

Side 8

TYNDFILMSINTERFERENS VED ENKELTLAGSSTRUKTUR

Tyndfilmsinterferens er summen af det tidligere afsnit og mere til.

Tyndfilmsinterferens er præcist hvad det hedder, det er når lysbølger tilbagekastet fra den øvre og nedre grænse af en tyndfilm rammer hinanden for at skabe en ny bølge med en ny amplitude.

Lysinterferens farver mange ting i naturen og industrien, blandt andet er oliefilm og sæbeboblers changerende farver et produkt af

tyndfilmsinterferens mellem olien/sæbeopløsningen og luften. Det er dog

ikke alle changerende objekter, hvor farven er produceret på denne måde, i andre tilfælde med fx en CD bliver lyset brudt i de ufatteligt små riller der er på CD’ens underside.

Endvidere er farverne i sommerfuglevinger samt påfuglefjer et produkt af en kompliceret multilagsstruktur, der tilbagekaster de korrekte farver.

De to lysstråler fra henholdsvis A og C kan blive forenet af en konvergerende linse som for eksempel det menneskelige øje, når de mødes, vil de afhængigt af brydningsindekset og tykkelsen af filmen være ude af takt og derfor enten producere konstruktiv eller destruktiv interferens.

Deres faseforskydning er bestemt af den ekstra afstand fra A til B til C ganget med brydningsindekset for den transparente film:

Figur 3

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Dieselrainbow.jpg

Figur 4 Introduction to Optics Third edition by Leno Pedrotti, Frank

Pedrotti and Leno Pedrotti

Som teoretisk eksempel på tyndfilmsinterferens med et enkelt lag kan man bruge en glasoverflade

med en tynd film af 𝑀𝑔𝐹_{2} (magnesiumflourid)

Som det fremgår af figur 4 rammer lyset den transparente film i punkt A, og bliver delt op i en reflekteret og en refrakteret(brudt) lysstråle. Den refrakterede lysstråle fortsætter videre, reflekterer på B og forlader den transparente film igennem C, i samme retning, som da den reflekterede på A. Hvis reflektansen for strukturen er høj, kan det være relevant, at arbejde med flere indvendige refleksioner mellem den øvre og nedre grænse af den transparente film.

Side 9

Δ =𝑛 ( 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶) =𝑛 ( 2𝑡)

Hvor Δ er faseforskellen, 𝑛 er brydningsindekset for den transparente film og t er tykkelsen af den transparente film.

Med udgangspunkt i ovenstående ligning kan vi sige at hvis 2𝑛𝑡= 𝜆_{0}, hvor 𝜆_{0} er bølgelængden på lys i vakuum, må

den refrakterede lysstråle være blevet forsinket med en hel fase, og de vil derfor skabe konstruktiv interferens. Der er dog en lille hage ved det her. For vi skal også tage hensyn til ekstern og intern refleksion.

For hvis:

𝑛_{𝑓} >𝑛_{0} 𝑜𝑔 𝑛_{𝑓} >𝑛_{𝑠}

Eller:

𝑛_{𝑓} <𝑛_{0} 𝑜𝑔 𝑛_{𝑓} <𝑛_{𝑠}

3

Så har man en lysstråle, der er produkt af en ekstern refleksion og en der er produktet af en intern refleksion. Hvis det er tilfældet vil man have en faseforskydning på 𝜋 mellem de to lysstråler, hvilket med andre ord vil betyde en

faseforskydning på^{𝜆}_{2} hvilket hvis 2𝑛𝑡= 𝜆_{0} vil give dem en forskydning på 1,5𝜆 og dermed placere dem i destruktiv

interferens. I tilfælde hvor ovenstående passer vil 𝑛 =𝑛 ofte være sandt fordi man har en sæbeboble i luften, eller
                                          0    𝑠

en tynd plade nedsænket i vand.

Der er derimod ingen problemer hvis:

𝑛_{0} <𝑛_{𝑓} <𝑛_{𝑠}

Eller

𝑛_{0} >𝑛_{𝑓} >𝑛_{𝑠}

4

Hvor man så enten kun har ekstern refleksion eller intern refleksion. Ekstern refleksion er, når man går fra et materiale med lavt brydningsindeks til et med et højt brydningsindeks, hvor lysets hastighed så bliver reduceret.

Derimod er intern refleksion det stik modsatte fordi, man går fra højt brydningsindeks til lavt, hvor lyset sætter hastigheden op.

Enkeltlagsfilm som den vi kiggede på ovenfor, kan være effektiv til at reducere et objekts reflektans, fx en linse eller et brilleglas.

Men lagtykkelsen (𝑡) er jo konstant, når laget først er påført, så ligger det der. Det giver en række problemer, for

naturen af interferensen er afhængig af forholdet mellem 2𝑛𝑡 og 𝜆_{0} for det synlige spektrum rækker fra 380nm til

3

Dette scenarie er ret usandsynligt, da 𝑛_{𝑜} for det meste er lysets brydningsindeks i vakuum (1.00) og det er ret svært

(hvis ikke umuligt) at komme under det. Det skal dog nævnes, da man fx kunne være i gang med at undersøge noget

under vand, for i så fald ville 𝑛 være 1.33.
                         𝑜
4

se note 3

Side 10

750nm og der er en verden til forskel på^{380𝑛𝑚}_{4}_{4} og^{750𝑛𝑚}, så hvis man ved hjælp af en enkelt film skal lave en

antireflektiv overflade, må man finde en middelvej.

Det menneskelige øje opfanger mest lys ved bølgelængder omkring 550 nm så det bedste resultat kan opnås hvis man

vælger 𝜆=550.

Det bare at opnå destruktiv/konstruktiv interferens er ikke nok i denne situation, vi vil forsøge at opnå to ens bølger

med samme amplitude så total destruktiv interferens opnås.

For at udregne refleksionskoefficienten:

𝑟= ℎ𝑣𝑜𝑟 𝑛=

1 − 𝑛 𝑛_{2}
1 + 𝑛 𝑛_{1}

Dette gælder dog kun ved normalt indfald, altså med en indfaldsvinkel på 0°. Det skal yderligere nævnes at 𝑟 ikke er refleksionen men kun refleksionskoefficienten.

Forskellen på refleksionen ( 𝑅) og refleksionskoefficienten ( 𝑟) er at refleksionen i procent fortæller, hvor stor en del af lyset der bliver reflekteret, mens refleksionskoefficienten fortæller, hvor stor en del af amplituden af det reflekterede lys der bliver kastet tilbage.

Så for at have to bølger af samme amplitude er man nød til, at sørge for at forholdet mellem 𝑛_{0} 𝑜𝑔 𝑛_{𝑓} 𝑠𝑎𝑚𝑡 𝑛_{𝑓} 𝑜𝑔 𝑛_{𝑠} er

det samme. Skrevet som ligning, ser det nogenlunde sådan ud:

𝑛_{𝑓}^{2} =𝑛_{0} ⋅ 𝑛_{𝑠}

⇕

𝑛_{𝑓} = 𝑛_{0} 𝑛_{𝑠}
√

Så hvis vi vil have en antirefleksiv coating på en overflade af glas, ser udregningen nogenlunde således ud:

𝑛_{𝑓} = √ 1 ⋅ 1.52

Eftersom lyset kommer fra: 𝑙𝑢𝑓𝑡 ( 𝑛=1) →𝑢𝑘𝑒𝑛𝑑𝑡 𝑓𝑖𝑙𝑚(𝑛_{𝑓})→𝑏𝑟𝑖𝑙𝑙𝑒𝑔𝑙𝑎𝑠 ( 𝑛=1.52)

Dette giver en optimal 𝑛_{𝑓} på 𝑛_{𝑓} = √ 1.52=1.23
Det materiale med et brydningsindeks der matcher det optimale er kryoli, men på grund af at det er ustabilt^{5} er et

                                                                6
andet alternativ 𝑀𝑔𝐹 (magnesiumflourid), der har et brydningsindeks på 1.38
                 2

Ud fra de tilgængelige oplysninger kan man se at: 𝑛_{0} <𝑛_{𝑓} <𝑛_{𝑠} og derfor skal 2𝑛𝑡= 𝜆_{0}
Som tidligere nævnt, regner man med en 𝜆_{0} =550𝑛𝑚 fordi det er der, det menneskelige øje er mest følsomt.

5

Det skifter brydningsindeks alt efter hvilken bølgelængde der går igennem den, hvilket alle materialer gør, det her

gør det bare meget.
6

Kilde: tabel 22-1 introduction to optics by Predrotti, Predrotti and Predrotti

Side 11

                                                                                             𝜆
                                                                                              𝑓
Nu kan man udregne tykkelsen af laget, og da vi vil opnå destruktiv interferens, skal filmens tykkelse være på: 𝑡=
                                                                                              4

         𝜆
          0
hvor 𝜆 =  er lysets bølgelængde i filmen.
     𝑓
         𝑛
          𝑓

              550𝑛𝑚                                                       398.55
Ved at sige 𝜆 =    =398.55 og vi kommer frem til, at laget skal have en tykkelse på =99.64𝑛𝑚 en
           𝑓
               1.38                                                        4

coating af denne tykkelse, vil ikke reflektere synligt lys i det grønlige spektrum, og det der bliver reflekteret, vil opleve destruktiv interferens, eller andre lysbølger i nærheden af 550, og derfor vil det reflekterede lys, hvis indfaldslyset er hvidt, se lilla ud pga. de røde og blå farver, der ikke oplever destruktiv interferens.

Et sted hvor man kan se nogenlunde samme fænomen, er i det reflekterede lys fra et par antirefleksivt behandlede briller.

Figur 5 http://www.hultafors.dk/produkter/om-vores-
produkter/valg-det-rigtige-vaterpas/avanceret-laser/

Side 12

MULTILAGSSTRUKTURER

Multilagsstrukturer er strukturer af to eller flere ”film”.

Fysikken bag enkeltlagsfilm er allerede blevet gennemgået i et tidligere afsnit. For at forstå den teori der bliver taget i brug for at gøre udregningerne mulige, er man nød til, at have kendskab til visse fysiske sammenhænge indenfor elektriske felter. Følgende sammenhænge er:

𝑆 =𝜀_{0} 𝑐^{2} 𝐸 × 𝐵

⃗ ⎯ ⃗ ⎯ ⃗

Hvor S er poynting-vektoren der er krydsproduktet af den elektriske feltstyrke(𝐸) og det magnetiske felt(𝐵)

.

𝐸=𝑣𝐵

Størrelsesordenen af det elektriske og magnetiske felt i bølgen er afhængige af hastigheden af bølgen i det givne materiale.

𝑛=

𝑐 𝑣

Det ovenstående bliver udregnet på baggrund af konstanten for lysets bølgehastighed i vakuum

𝑐=

1

√

𝜀_{0} 𝜇_{0}

Lysets hastighed bølgehastighed i vakuum

Dette kan omskrives til:

𝐵= =()𝐸=𝑛 𝜀_{0} 𝜇_{0} 𝐸

𝐸 𝑛 𝑣 𝑐

√

Læg mærke til den sidste da vi kommer til at vende tilbage til den, eller dele af den.

Det næste afsnit er baseret på vores viden fra ligningen: 𝑆 =𝜀_{0} 𝑐^{2} 𝐸 × 𝐵 hvor 𝐸 er placeret vinkelret på den

⃗ ⎯ ⃗ ⎯ ⃗ ⎯ ⃗ indfaldende bølge. Som man kan se på figur 5 på næste side, så sker der nogenlunde det samme med lyset som beskrevet i sidste ”afsnit” om tyndfilmsinterferens, mht. refleksion og refraktion.

Side 13

Det figur 6^{7} viser er:

( 𝑎) og (𝑏) er overgangen mellem filmen og omgivelserne.

𝐸_{𝑟1} er summen af lys der forlader filmen ved

punkt (a)

𝐸_{𝑖2} er summen af lys der når (𝑏) og ikke bliver

         8
reflekteret.

Og så videre.

Hvis vi går ud fra, at filmen er ensartet og har en tykkelse i nærheden af det synlige lys’ bølgelængde

Grænsebetingelserne for de elektriske og magnetiske bølger indfaldene på (𝑎) og (𝑏) følger Maxwell’s ligninger, da de tangerende komponenter af de resulterende 𝐸 𝑜𝑔 𝐵 felter

⎯ ⃗ ⎯ ⃗ løber på tværs af grænsefladerne ( 𝑎) 𝑜𝑔 (𝑏), og deres størrelsesorden er homogen over hele overfladen.

Hvis vi går ud fra, at ovenstående er sandt, kan man skrive det elektriske felts grænsebetingelser ved de to grænseflader således:

𝐸_{𝑎} =𝐸_{0} + 𝐸_{𝑟1} =𝐸_{𝑡1} + 𝐸_{𝑖1}

Og

𝐸_{𝑏} =𝐸_{𝑖2} + 𝐸_{𝑟2} =𝐸_{𝑡2}

Ligninger for det magnetiske felt ser lidt anderledes ud da feltet består både af en tangerende og en vinkelret komponent.

𝐵_{𝑎} =𝐵_{0} 𝑐𝑜𝑠𝜃_{0} − 𝐵_{𝑟1} 𝑐𝑜𝑠𝜃_{0} =𝐵_{𝑡1} 𝑐𝑜𝑠𝜃_{𝑡1} − 𝐵_{𝑖1} 𝑐𝑜𝑠𝜃_{𝑡1}

𝐵_{𝑏} = 𝐵_{𝑖2} 𝑐𝑜𝑠𝜃_{𝑡1} − 𝐵_{𝑟2} 𝑐𝑜𝑠𝜃_{𝑡1} =𝐵_{𝑡2} 𝑐𝑜𝑠𝜃_{𝑡2}

Dette kan så omskrives ved hjælp af ligningen:

𝐵= =()𝐸=𝑛 𝜀_{0} 𝜇_{0} 𝐸

𝐸 𝑛 𝑣 𝑐

√

Og vi kan skrive

𝐵_{𝑎} = 𝑛 𝜀_{0} 𝜇_{0} (𝐸_{0} − 𝐸_{𝑟1})𝑐𝑜𝑠𝜃_{0} =𝑛 𝜀_{0} 𝜇_{0} (𝐸_{𝑡1} − 𝐸_{𝑖1})𝑐𝑜𝑠𝜃_{𝑡1}
√ √

𝐵_{𝑏} =𝑛 𝜀_{0} 𝜇_{0} (𝐸_{𝑖2} + 𝐸_{𝑟2})𝑐𝑜𝑠𝜃_{𝑡1} =𝑛 𝜀_{0} 𝜇_{0} (𝐸_{𝑡2})𝑐𝑜𝑠𝜃_{𝑡2}
√ √

7

Der er også intern refleksion på indersiden af A, efter bølgen er reflekteret på B, men man har valgt ikke at tegne det,

da det ofte er så lidt, at det er irrelevant.
8

Noget der reflekterer, reflekterer jo så på (a) igen, men som der står i fodnote 7 så er det meget lidt.

Figur 6 Introduction to Optics Third edition by Leno Pedrotti, Frank

Pedrotti and Leno Pedrotti

Side 14

Da jeg i denne opgave arbejder med en indfaldsvinkel på 0° kunne jeg helt fjerne 𝑐𝑜𝑠𝜃 men jeg beholder den lige lidt endnu.

For at forsimple ovenstående antager jeg at:

𝛾_{0} =𝑛_{0} 𝜀_{0} 𝜇_{0} 𝑐𝑜𝑠𝜃_{0}
√
𝛾_{𝑠} =𝑛_{𝑠} 𝜀_{0} 𝜇_{0} 𝑐𝑜𝑠𝜃_{𝑡2}
√

Nu kan man skrive:

𝐵_{𝑎} =𝛾_{0} (𝐸_{0} − 𝐸_{𝑟1})=𝛾_{1} (𝐸_{𝑡1} − 𝐸_{𝑖1})

𝐵_{𝑏} =𝛾_{1} ( 𝐸_{𝑖2} − 𝐸_{𝑟2}) =𝛾_{𝑠} (𝐸_{𝑡2})

Vi ved, at den eneste forskel på det lys der kommer igennem (a),𝐸_{𝑡1}, og det der rammer (b), 𝐸_{𝑖2}, er faseforskellen der

forekommer ved én krydsning af filmen, vi bruger ligningen fra afsnittet om tyndfilmsinterferens:

Δ =𝑛 ( 𝐴𝐵 +𝐵𝐶) =𝑛_{1} 2𝑡 ⋅cos𝜃_{𝑡1}

Dette er sætningen for, hvor langt lyset skal rejse ved to gennemkrydsninger af en tynd film.

Derfor må sætningen for én være:

Δ_{1} = =𝑛_{1} 𝑡⋅ cos𝜃

Δ

2

Derfor må faseforskellen 𝛿 efter én gennemrejse af filmen være:

𝛿=𝑘_{0} ⋅ Δ_{1} =()𝑛_{1} 𝑡 cos 𝜃_{𝑡1}

2𝜋

𝜆_{0}

Og ud fra ovenstående, ved hjælp af Eulers formel, kan man sige:

𝐸_{𝑖2} =𝐸_{𝑡1} 𝑒^{−𝑖𝛿}

Og

𝐸_{𝑖1} =𝐸_{𝑟2} 𝑒^{−𝑖𝛿}

Og indsætter i tidligere sætninger for det elektriske og magnetiske felt ved (b):

𝐸_{𝑏} =𝐸_{𝑡1} 𝑒^{−𝑖𝛿} + 𝐸_{𝑖1} 𝑒^{−𝑖𝛿} =𝐸_{𝑡2}

Side 15

Hvis vi ignorere den yderste højre del af ligningen, kan vi løse ligningerne for 𝐸 og 𝐸 :
                                                                𝑡1   𝑖1

𝐸_{𝑡1} =()𝑒^{𝑖𝛿}

𝛾_{1} 𝐸_{𝑏} + 𝐵_{𝑏}
2𝑦_{1}

𝐸_{𝑖1} =()𝑒^{𝑖𝛿}

𝛾_{1} 𝐸_{𝑏} − 𝐵_{𝑏}
2𝑦_{1}

Hvis vi tager ovenstående ligninger og indsætter i ligningerne for felterne ved grænseværdierne for (a)

𝐵_{𝑎} =𝐸_{𝑏} 𝑐𝑜𝑠𝛿+𝐵_{𝑏} ()

𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛿

𝛾_{1}

𝐸_{𝑎} =𝐸_{𝑏} ( 𝑖𝛾_{1} 𝑠𝑖𝑛𝛿) + 𝐵_{𝑏} 𝑐𝑜𝑠𝛿

Da:

2cos𝛿=𝑒^{𝑖𝛿} + 𝑒^{−𝑖𝛿}

Og

2𝑖 sin𝛿=𝑒^{𝑖𝛿} + 𝑒^{−𝑖𝛿}

Kan vi skrive dem på matrix form:

[]=[ 𝛾_{1}][]

𝐸_{𝑎} 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝐸_{𝑏}
𝐵_{𝑎} 𝐵_{𝑏}

𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛿

𝑖𝛾_{1} 𝑠𝑖𝑛𝛿 𝑐𝑜𝑠𝛿

2 × 2matrixet kaldes filmens transfermatrix og bliver i følgende sætninger omtalt som 𝑀=[]

𝑚_{11} 𝑚_{12}
𝑚_{21} 𝑚_{22}

I tilfælde af flere lag vil det endelige transfer matrix for multilagsstrukturen være:

[]=𝑀_{1} 𝑀_{2} 𝑀_{3} ⋯𝑀_{𝑁} []

𝐸_{𝑎} 𝐸_{𝑁}
𝐵_{𝑎} 𝐵_{𝑁}

Generelt sagt:

𝑀_{𝑇} =𝑀_{1} 𝑀_{2} 𝑀_{3} ⋯𝑀_{𝑁}

Endvidere er transmissions og refleksions koefficienterne:

𝑡=

2𝛾_{0}
𝛾_{0} 𝑚_{11} + 𝛾_{0} 𝛾_{𝑠} 𝑚_{12} + 𝑚_{21} + 𝛾_{𝑠} 𝑚_{22}

Samt:

𝑟=

𝛾_{0} 𝑚_{11} + 𝛾_{0} 𝛾_{𝑠} 𝑚_{12} − 𝑚_{21} − 𝛾_{𝑠} 𝑚_{22}
𝛾_{0} 𝑚_{11} + 𝛾_{0} 𝛾_{𝑠} 𝑚_{12} + 𝑚_{21} + 𝛾_{𝑠} 𝑚_{22}

Ovenstående er udledt af:

𝑟=

𝐸_{𝑟1}
𝐸_{0}

Side 16

Og 𝑡≡

𝐸_{𝑡2}
𝐸_{0}

EKSEMPEL PÅ UDREGNING AF HØJREFLEKTIV FILM

Da jeg i eksemplet beskæftiger mig med en høj refleksiv multilagsstruktur, hvor lysindfaldet har vinklen 0, og tykkelsen

af lagene er^{𝜆}_{4} kan jeg forsimple visse dele af udregningen.

I stedet for transfermatricens generelle form, kan man benytte en forsimplet udgave af transfermatricen:

𝑀_{𝐻𝐿} =[ 𝛾_{𝐻}][ 𝛾_{𝐿}]=[]

0 0 𝛾_{𝐻}

𝑖 𝑖 0

𝑖𝛾_{𝐻} 0 𝑖𝛾_{𝐿} 0

−𝛾_{𝐿}

0

−𝛾_{𝐻}
𝛾_{𝐿}

Fordi indfaldsvinklen er 0 er forholdet mellem 𝛾 𝑜𝑔 𝛾 det samme som forholdet mellem 𝑛 𝑜𝑔 𝑛 så derfor kan man
                                       𝐿    𝐻                              𝐿   𝐻

skrive:

𝑀=[]

−𝑛_{𝐿}
𝑛_{𝐻}

0

0

−𝑛_{𝐻}
𝑛_{𝐿}

Ovenstående matrix beskriver et enkelt dobbeltlag, så hvis man tager princippet fra tidligere i brug:

𝑀_{𝑇} =𝑀_{1} 𝑀_{2} 𝑀_{3} ⋯𝑀_{𝑁}

Kan man konkludere at:

𝑀=[]

−𝑛_{𝐿}
𝑛_{𝐻}

0

0

−𝑛_{𝐻}
𝑛_{𝐿}

𝑁

𝑀=
⎣ 𝑛_{𝐿} ⎦

⎢ ⎥

⎢ 𝑁 ⎥

⎢ ⎥

⎡ () 0 ⎤

−𝑛_{𝐿}
𝑛_{𝐻}

𝑁

0 ()

−𝑛_{𝐻}

Da det er en høj reflektans der er målet indsættes ovenstående matrix i:

𝑟=

𝛾_{0} 𝑚_{11} + 𝛾_{0} 𝛾_{𝑠} 𝑚_{12} − 𝑚_{21} − 𝛾_{𝑠} 𝑚_{22}
𝛾_{0} 𝑚_{11} + 𝛾_{0} 𝛾_{𝑠} 𝑚_{12} + 𝑚_{21} + 𝛾_{𝑠} 𝑚_{22}

𝑟=

𝑛_{0} () − 𝑛_{𝑠} ()

−𝑛_{𝐿} −𝑛_{𝐻}
𝑛_{𝐻} 𝑛_{𝐿}

𝑁 𝑁

𝑛_{0} () + 𝑛_{𝑠} ()

−𝑛_{𝐿} −𝑛_{𝐻}
𝑛_{𝐻} 𝑛_{𝐿}

𝑁 𝑁

Side 17

𝑅_{𝑚𝑎𝑥} =()

()() − 1

𝑛_{0} 𝑛_{𝐿}
𝑛_{𝑠} 𝑛_{𝐻}

2𝑁

()() + 1

𝑛_{0} 𝑛_{𝐿}
𝑛_{𝑠} 𝑛_{𝐻}

2𝑁

2

Så hvis man vil lave en coating til glas der kan reflektere UV-lys (320-380nm) kan man bruge ovenstående ligning, hvor n er antallet af ”lag” af dobbeltlaget. Jeg indsætter:

𝑛_{0} =1 da lyset først befinder sig i luft, 𝑛_{𝑠} =1.52 da vores lagstruktur befinder sig på glas. Jo større forskellen mellem
𝑛_{𝐿} og 𝑛_{𝐻} er jo færre lag skal der til før man opnår en høj reflektans, så jeg vælger en film af magnesiumflourid
(𝑛=1.38) som min 𝑛_{𝐿} og en film af titaniumdioxid(𝑛=2.4) som min 𝑛_{𝐻}

()

()() − 1

1 1.38^{2𝑥}

1.52 2.4

()() + 1

1 1.38^{2𝑥}

1.52 2.4

2

Ved at plotte ligningen grafisk kan jeg se at jeg ved 4 dobbeltlags har en refleksion 𝑅=97%.

Og ved 8 dobbeltlag når en refleksion på 100% (99.96%)

Side 18

KONKLUSION

Ud fra opgaven, der næsten udelukkende har været af redegørende karakter, kan jeg konkludere, at jeg har redegjort for det matematiske matrixbegreb og for de almindeligste matrixregneregler.

Opgaven var at beskrive principperne for tyndfilmsinterferens og multilagsstrukturer i forhold til lys. Det har jeg gjort ved hjælp af teorien i ”introduction to optics” af Leno Pedrotti, Frank Pedrotti and Leno Pedrotti.

Ud fra mit eksempel kan jeg konkludere at multilags film er en yderst effektiv måde at ændre den måde lys opfører sig

på/i et gennemsigtigt objekt.

Jeg kan endvidere konkludere, at man sagtens kan konstruere en teoretisk multilagsfilm, der kan reflektere visse bølgelængder og lade andre passere, men for de mere specifikke egenskaber kan der være behov for bedre matematiske værktøjer, og flere forskelligartede lag.

Side 19

LITTERATURLISTE

Introduction to Optics, fagbog af: Leno Pedrotti, Frank Pedrotti and Leno Pedrotti.

Jeppe Clausen ph.d.-studerende på DTU Fotonik.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html til generel forståelse af stoffet.

Physics of structual colors, artikel af: S Kinoshita, S Yoshika og J Miyazaki.

Gold bugs and beyond, artikel af: Ainsly Seago, Parrish Brady, Jean-Pol Vigneron og Tom Schultz