SOP: Hohmannbanen i Fysik A og Matematik A

Side 1

HTX 3. år

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 2 af 36

1.0 Abstract

The following assignment will deal with the problem about the two controversial wishes when traveling to other planets. The two wishes can be described as the wish of a short travel time and the wish of minimal fuel consumption. No method of space travelling that can fulfill both wishes, has been discovered as of yet, and the safest method is the “Hohmann transfer orbit”. The following assignment will account for the principles of the modern rocket, and discuss the limitations when a rocket is launched from the Earth. I will furthermore describe the theory behind space traveling via the “Hohmann transfer orbit”, account for the tools required for describing a space travel to Mars, and furthermore calculate the requirements of the

“Hohmann transfer” orbit when traveling to Mars. I have calculated the travel time to Mars, from Earth, to be about 259 days, and the total time before arriving on Earth again is almost 3 years. Firstly, I have calculated the positions of the planets which the “Hohmann transfer orbit” requires. Secondly, I have calculated the position of the Mars, at launch; to be 44 degrees ahead of the Earth, and the required speed of the rocket to travel, via the “Hohmann transfer orbit” to Mars

will be 32,738km/s.

Side 2

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 3 af 36

Indhold

1.0 Abstract.................................................................................................................................................................. 2

2.0 Indledning .............................................................................................................................................................. 4

2.1 Opgaveformulering .................................................................................................................................................. 4

3.0 Raketligningen ....................................................................................................................................................... 5

3.1 Fysisk udledning af raketligningen........................................................................................................................... 5

3.2 Matematisk udledning af formlen for sluthastigheden ............................................................................................. 6

3.3 Delkonklusion – Raketligningen .............................................................................................................................. 8

4.0 Ellipsebanen .......................................................................................................................................................... 9

4.1 Hohmann-banen ....................................................................................................................................................... 9

4.1.1 Omløbs tiden i Hohmann-banen ..................................................................................................................... 12

4.2 Delkonklusion – Ellipsebanen ................................................................................................................................ 14

5.0 Rejsen til Mars ..................................................................................................................................................... 15

5.1 Overblik over Hohmann-banen til Mars ................................................................................................................. 15

5.2 Beregning af flyvetiden til Mars ............................................................................................................................. 16

5.3 Planeternes indbyrdes placering ............................................................................................................................. 16

5.3.1 Placering ved afrejse fra Jorden ...................................................................................................................... 17

5.3.2 Placering ved ankomst til Mars ....................................................................................................................... 19

5.4 Hastighederne i Hohmann-banen ........................................................................................................................... 20

5.5 Rejsen hjem ............................................................................................................................................................ 20

5.5.1 Ventetid og placering for hjemrejsen .................................................................................................................. 20

5.6 Delkonklusion – Rejsen til Mars ............................................................................................................................ 21

6.0 Konklusion .................................................................................................................................................................. 22

7.0 Litteraturliste .............................................................................................................................................................. 23

8.0 Bilag ........................................................................................................................................................................... 24 Bilag 1.1 – Ellipsens Geometri ..................................................................................................................................... 24 Bilag 1.2 - Bevægelse i ellipsebanen ............................................................................................................................ 26 Bilag 1.3 – Ellipsen som vektorfunktion ...................................................................................................................... 30 Bilag 2.1 – Opsendelseshastighed ................................................................................................................................ 31 Bilag 3.1 – Rakettens hastighed i Hohmann-banen ...................................................................................................... 32 Bilag 3.2 – Beregning af opsendelseshastigheden til Mars .......................................................................................... 33 Bilag 3.3 – Hohmann-banen til Mars som vektorfunktion ........................................................................................... 34 Bilag 4.1 – Opgaveformuleringen ................................................................................................................................ 36

Side 3

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 4 af 36

2.0 Indledning

Hvis man skal opgive en begyndelsesdato for den moderne rumfart, må det være d.

                                                          1
4. oktober 1957, hvor den første Sputnik blev opsendt af Sovjet Unionen . Siden da

er der kun gået 54 år, men selv om rumfartens historie er kort, har den tekniske udvikling af rumfarten, samt vores viden om universet, ændret sig enormt i de få år. Med den moderne rumfartsteknologi vi har i dag, er det muligt at udforske selv

de fjerneste dele af vores galakse med ubemandede rumsonder^{2}, og siden den første

bemandede rejse til Månen i 1969, har det været en stor drøm for rumfarten at få en bemandet rejse til vores nabo planet Mars. Dette er dog et mål som er blevet meget udskudt, da man regnede med at sende det første bemandet rumskib allerede

omkring år 2000^{3}, og indtil videre kun er blevet til robotter som har udforsket

planeten. Vi står her, 11år efter den estimerede afgang mod Mars, men rumfartens hidtil største udfordring står stadig for skud, og rumfartsindustrien forventer nu at opnå målet omkring 2025. Man har i lang tid undersøgt hvordan rejsen skal finde sted, nemlig ved at sende et rumskib fra Jordens cirkelbane til Mars’ cirkelbane ved hjælp af en ellipsebane som skærer de to cirkelbaner. Problemet er at finde den ellipsebane som kræver den mindste energitilførsel til rumskibet og som derved også er den mest økonomiske. Problemet blev allerede løst i 1925 af tyskeren dr.

Walther Hohmann som kaldte sin løsning for Hohmann-banen^{4}.

2.1 Opgaveformulering

Herunder ses opgaveformuleringen som udgivet af vejlederne, samt hvad jeg ud over ønsker at komme ind på. Opgaveformuleringen findes også under bilag 4.1 på side 36.

Jeg vil endvidere beskrive teorien bag rejsen til Mars via Hohmann-banen, herunder beskrive grundprincipperne ved Hohmann-banen og kravene til den, samt

1

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 7, linje 2

2 2

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 6, linje 11

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 6, linje 11

3

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 6, linje 14

4

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 50, linje 1 Gør rede for princippet bag raketfremdrift og udled raketligningen. Udled heraf en formel til beregning af sluthastigheden for en raket, når man kender rakettens masse og drivmidlets masse samt udstrømningshastigheden. Gør undervejs rede for, hvordan man kan løse en differentialligning ved hjælp af separation af de variable.

Beskriv en rumrejse via en Hohmann-bane, herunder medtages følgende:

En diskussion af de faktorer der har indflydelse på rakettens sluthastighed i forbindelse med opsendelse fra Jordens overflade.

En beskrivelse af ellipsebaner.

Den indbyrdes stilling af planeterne som Hohmann-banen kræver.

En beregning af flyvetiden

Side 4

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 5 af 36 komme ind på bevægelse i ellipsebanen, og skitsere Hohmann-banen til Mars som en vektorfunktion. Jeg vil yderligere finde den hastighed det kræves når man forlader Jordens atmosfære for at holde Hohmann-banen.

3.0 Raketligningen

Én af de største forudsætninger for at vi kan rejse ud i rummet, og samtidig er grundlaget for den moderne rumforskning, er raketten. Uden raketten ville det ikke være muligt for os at rejse til andre planeter, da det er den eneste metode vi kender

                                    5
til at sende rumskibe ud af Jordens atmosfære

. Raketprincippet, som er baseret på

Newtons 3. lov om ”aktion” og ”reaktion”^{6}, går primært ud på at i løbet af et kort

tidsrum ∆t, udslynger raketten brændstofmængden svarende til ∆m bagud med hastigheden c. Raketten får derved hastighedsforøgelsen ∆v. Princippet er vist grafisk på figur 1.

Figur 1: Raketprincippet, hvor brændstoffet ∆m bliver skudt bagud med hastigheden c, og

                                      7
raketten får derved hastighedsforøgelsen ∆v.

Raketten har dog sine begrænsninger, som det vil fremgå af raketligningen som de to næste afsnit kommer til at afspejle.

3.1 Fysisk udledning af raketligningen^{8}

Jeg ser på en fuldt lastet raket med massen M hvor brændstoffets masse udtrykkes

som m_{b}. Når alt brændstoffet er opbrugt vil raketten da have massen M-m_{b}. Ifølge

raketprincippet bliver dm kg gas skudt ud med hastigheden c i tidsrummet dt. I det

samme tidsrum vil rakettens hastighed blive forøget med v+dv. Hvis man ser bort

fra alle ydre kræfter, som f.eks. luftmodstanden, vil man kunne bruge impulssætningen da der vil være impulsbevarelse i systemet.

Og i sammenhæng med raketprincippet, kan impulssætningen omskrives således:

5

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 21, linje 14

6

http://www.langkaer.dk/vl/Astronomi/Projekt2/Raket.htm, anvendt d. 9-12-11

7

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 59, øverst

8

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 22

Side 5

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 6 af 36

Jeg indsætter dét jeg ved om raketten i impulssætningen og får følgende udtryk:

Jeg løser parenteserne og reducerer derved udtrykket til:

Hvor jeg vælger at bortkaste leddet –dm*dv og jeg står derfor tilbage med:

Jeg isolerer nu dv ved at trække leddet dm*c fra på begge sider af lighedstegnet og

endvidere dividere med m på begge sider af lighedstegnet, og udtrykket vil da se sådan ud:

Som jeg vælger at omskrive til:

Jeg står nu tilbage med en differentialligning med to variable, som kaldes raketligningen. I det næste afsnit vil jeg løse differentialligningen matematisk og komme frem til formlen for sluthastigheden.

3.2 Matematisk udledning af formlen for sluthastigheden

For at kunne udlede formlen for sluthastigheden V for raketten, skal jeg først løse differentialligningen med de to variable, som jeg fandt frem til i det forrige afsnit.

Da der er to variable, skal jeg benytte mig af metoden som kaldes separation af de variable eller bare separationsmetoden som den også kaldes. Metoden går ud på at man separerer de variable, dv og dm i dette tilfælde, på hver sin side af

                                                  9
lighedstegnet, hvor man derefter kan løse differentialligningen ved at integrere

9

Madsen, Preben: Teknisk matematik bind 3, Side 174, linje 14

Side 6

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 7 af 36 med hensyn til de to variable. Til alt held, har jeg allerede separeret de to variable, og jeg kan gå direkte til integrationsfasen. Jeg vælger i dette tilfælde at benytte mig af det bestemte integrale, og det vil se således ud:

Min begrundelse for disse intervaller er at, i tidsrummet ∆t går v fra 0 til sluthastigheden V. Endvidere går massen af rumskibet i samme tidsrum fra M til

M-m_{b}. Jeg vælger at gøre det nemmere for mig selv ved at omskrive udtrykket, da

jeg i dette tilfælde kan gange –c på uden for integralet, da –c bare er en konstant.

Jeg kan endvidere benytte mig af det omvendte interval for dm, i stedet for at integralet på højre side af lighedstegnet er negativt, da det vil være det samme.

Udtrykket kommer så til at se sådan ud:

Jeg kan nu frit integrere begge sider af lighedstegnet. Jeg skal bare først finde stamfunktionerne for begge sider af lighedstegnet, da løsningen til det bestemte integrale er:

Jeg får derfor stamfunktionerne for begge sider af lighedstegnet til:

Stamfunktionen for v bliver bare v, da man kun integrere 1. Endvidere bliver

stamfunktionen for m dog til ln(m) da 1/m er det samme som m^{-1}, som bliver til

ln(m) når det integreres. Når jeg nu har stamfunktionerne, kan jeg løse differentialligningen med det bestemte integrale.

Indsætter man så intervallerne på de variables pladser, fås følgende udtryk:

Side 7

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 8 af 36

Ln(x) er jo den naturlige logaritmefunktion, og da jeg trækker to af disse fra

                                                    10
hinanden, kan jeg samle dem under én naturlig logaritmefunktion som kommer til

at se sådan ud:

Udtrykket kaldes også for masseforholdet og udtrykkes med tegnet r.

Ved at benytte masseforholdet r, kan sluthastigheden for raketten udtrykkes ved:

Jeg har nu en formel til beregning af rakettens sluthastighed når man kender udstødningsgassen c samt masseforholdet r.

3.3 Delkonklusion – Raketligningen

Ser man udelukkende på raketligningen, og udelukker alle ydre kræfter, vil rakettens sluthastighed være afhængig af udstødningsgassens hastighed c og masseforholdet r. I praksis vil det være meget begrænset hvor meget man kan forøge masseforholdet r, man forsøger derfor at gøre udstødningsgassen så høj som

muligt^{11}, ved f.eks. at benytte sig af mere effektiv brændstof. Dette vil være de

første overvejelser når man skal sende en raket ud i rummet, men det er ikke de eneste man skal foretage sig. Når man skal opsende en raket fra Jordens overflade, er der to væsentlige faktorer som man skal tage højde for, da de har en stor

                                               12
påvirkning af rakettens ydeevne. Disse to faktorer vil være :

Tyngdekraften

Luftmodstanden

Betragter man en lodret opsendelse fra Jorden (se figur 2), bevæger raketten sig i

tiden t. Luftmodstanden vil give et tab på V_{luft}, da luftmodstanden vil påvirke

systemet i den modsatte retning. Endvidere vil tyngdekraften påvirke rakettens

acceleration med g, og tabet i hastigheden V kan udtrykkes som g*t. Rakettens
                                   tyngde

virkelige sluthastighed kan jeg så konkludere til at være:

10

Madsen, Preben: Teknisk Matematik, side 293, nederst.

11

http://www.langkaer.dk/vl/Astronomi/Projekt2/Raket.htm, anvendt d. 9-12-11

12

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 28, linje 12

Side 8

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 9 af 36

13

4.0 Ellipsebanen

Ellipsebaner er nogle af de mest anvendte baner inde for rumrejser og kredsløbsbaner. De fleste satellitter kredser ikke om Jorden i præcise cirkelbaner,

men derimod i ellipsebaner^{14}. Ellipsebaner er endvidere også en af

forudsætningerne for at vi kan rejse til Mars og de andre planeter i vores solsystem.

Men før jeg kan beskrive en rejse til Mars, skal jeg først have klargjort de vigtigste værktøjer når man rejser i ellipsebaner. Jeg vil derfor gennemgå Hohmann-banens principper og beskrive bevægelsen i ellipsebanen. Jeg vil endvidere beskrive ellipsens geometri, beskrive den hastighed man skal have for at rejse med en ellipsebane og komme ind på hvordan man tegner ellipsen i et koordinatsystem. De tre sidstnævnte afsnit kan findes under bilag 1.1 ”Ellipsens Geometri” (side 24), bilag 1.2 ”Bevægelse i Ellipsebanen” (side 26), og bilag 1.3 ”Ellipsen som vektorfunktion” (side 30).

4.1 Hohmann-banen

Der er en opgave som rumforskerne tit står overfor, og det er nemlig at skulle sende et rumskib fra en cirkelbane til en anden cirkelbane. Der vil primært være to

tilfælde hvor dette kommer i brug, og det er^{15}:

En satellit skal sendes fra en cirkelbane 200km over Jorden, til synkronbanen som befinder sig 36.000km over Jorden.

Et rumskib skal sendes fra Jorden og til en anden planet.

13

Billede fra http://i2-images2.tv2net.dk/s/29/d142b49f5ca50e0db8879d4.jpeg red. Mikkel

Pindstofte
14

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 43, linje 20

15

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 49, linje 3 Figur 2: De to væsentligste faktorer som påvirker rakettens sluthastighed. Ved en lodret opsendelse fra Jorden, vil de ydre kræfter påvirke rakettens lodrette hastighed

Side 9

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 10 af 36

Der er mange forskellige måder at sende et rumskib fra en cirkelbane til en anden cirkelbane, men i praksis er man nødt til at finde den bane som kræver den mindste energitilførsel. Dr. Walther Hohmann kom med løsningen til dette problem i 1925, da han fandt ud af at den mest økonomiske bane er en ellipsebane der netop

tangerer de to cirkelbaner i henholdsvis perigæum og apogæum^{16}, og med Solen i

ellipsens ene brændpunkt. Denne bane blev opkaldt efter tyskeren og hedder Hohmann-banen.

At sende et rumskib til en anden planet via Hohmann-banen er ikke bare en simpel affyring, men kræver meget forberedelse, da der er nogle forudsætninger som skal opfyldes før at man kan rejse til en anden planet via en Hohmann-bane. Rejsen til en anden planet via en Hohmann-bane bygger på præcision og rumskibet skal opsendes på et bestemt tidspunkt med en bestemt hastighed for at få det største udbytte af Hohmann-banen.

Figur 3: Brændstofforbruget stiger meget stærkt hvis man overskrider opsendelsesdatoen med

bare et par dage^{17}

Som det ses på figur 3, er Hohmann-banens økonomiske fordel ikke effektiv hvis startdatoen ikke overholdes. Dette skyldes at hvis startdatoen overskrides, vil de optimale forudsætninger ikke være til stede og man skal derfor benytte sig af en omvej, som har en negativ effekt på brændstofforbruget. Når man rejser til andre planeter, skal man altid tage højde for at planeterne bevæger sig, og det er ikke anderledes hvad det angår Hohmann-banen. Da både Jorden, og den planet vi ønsker at rejse til, bevæger sig, kræver det en indbyrdes placering af planeterne før det kan lade sig gøre.

16

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 50, linje 2

17

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 30, øverst

Side 10

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 11 af 36

18

Som det ses på figur 4, er planeternes indbyrdes placering ved opsendelsen én af de vigtigste faktorer når man rejser med en Hohmann-bane. På figur 4 er der skitseret en rejse til en indre planet, og symbolet ψ indikerer den vinkel der skal være mellem Planet-Sol-Jord ved opsendelsen. Symbolet φ indikerer endvidere den vinkel som planeten bevæger sig under rejsen. Som det ses på figur 4, så tangerer Hohmann-banen begge planeters cirkelbaner i dens yderpunkter perigæum og apogæum.

Hvis man ser på den hastighed man skal flyve med i Hohmann-banen, kan man bruge formlen jeg udledte i afsnittet ”Bevægelse i Ellipsebanen” under bilag 1.2

(side 26). Hvis man ser på hastigheden når man skal rejse fra Jorden og til en indre planet, f.eks. Venus, så skal den hastighed man rejser af sted med, v, være mindre end Jordens rotationshastighed om Solen. Dette betyder endvidere, at hvis man vil rejse til en ydre planet, f.eks. Mars, så skal hastigheden, v, som man rejser af sted med, være større end Jordens rotationshastighed om Solen.

18

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 55, nederst Figur 4: Én af forudsætningerne ved at rejse via Hohmann-banen er planeternes indbyrdes placering.

Side 11

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 12 af 36

4.1.1 Omløbs tiden i Hohmann-banen

Det er muligt at beregne flyvetiden for et rumskib som rejser fra Jorden og til en anden planet via Hohmann-banen. Jeg antager at begge planetbaner er cirkelbaner og at de ligger i samme plan. Når man beregner flyvetider og afstande i rummet,

                                                              19
benytter man sig af enhederne [år] samt [astronomisk enhed] også kaldet [AE] .

Den astronomiske enhed er defineret som Jordens middelafstand til Solen som er:

For at kunne beregne flyvetiden til en anden planet, skal man først beregne den halve storakse a i Hohmann-banen. Hvis man opsender rumskibet fra Jorden, som har afstanden 1 AE til Solen, og planeten man ønsker at rejse til, har afstand n til Solen, kan man beregne den halve storakse således:

Et helt omløb i Hohmann-banen varer T år, kan man benytte sig af Keplers 3. Lov

som siger^{20}:

Når man arbejder med Keplers 3. Lov sammenligner man med en anden kendt bane, i dette tilfælde sammenligner jeg med Jordens bane om Solen. Jordens halve storakse i dens bane om Solen er 1AE og Jordens omløbstid om Solen er 1 år, hvor jeg kan opstille følgende udtryk.

Hvorved man kan dividere igennem med a^{3} på begge sider af lighedstegnet:

19

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 18, linje 14

20

Holck, Per m.fl.: Orbit A – HTX, side 228, linje 20

Side 12

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 13 af 36

Jeg kan nu indsætte det udtryk jeg fandt for Hohmann-banens halve storakse:

Jeg tager nu kvadratroden på begge sider af lighedstegnet:

I stedet for kvadratroden kan man opløfte udtrykket i en halv:

Dette vil være formlen for omløbstiden for hele Hohmann-banen, men det er jo kun en halv Hohmann-bane man rejser ad, når man skal til en anden planet, og man skal derfor gange udtrykket med en halv for at få den korrekte formel for flyvetiden, t, til en anden planet via Hohmann-banen.

Side 13

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 14 af 36

21

4.2 Delkonklusion – Ellipsebanen

Nu har jeg de nødvendige værktøjer til at beregne en rejse til en anden planet via Hohmann-banen. Jeg kan konkludere at det handler om præcision, når man sender et rumskib af sted mod en anden planet via en Hohmann-bane og at placeringen af planeterne er én af de vigtigste forudsætninger for at man kan få det optimale ud af Hohmann-banen. Udover dette er en anden vigtig forudsætning nemlig hastigheden af rumskibet når den forlader Jordens atmosfære. Jeg kan konkludere at hvis man ønsker at rejse til en indre planet, skal hastigheden være mindre end Jordens rotationshastighed, og hvis man ønsker at rejse til en ydre planet, skal rumskibets hastighed være større end Jordens rotationshastighed.

21

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 51, Øverst

Figur 5: Skitsering af Hohmann-banen hvor n er afstanden fra den planet, man ønsker at rejse til, til solens centrum. Ønsker man at rejse til en indre planet vil n < 1 og hvis man ønsker at rejse til en ydre planet er n > 1.

Side 14

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 15 af 36

5.0 Rejsen til Mars

Når man ønsker at sende et rumskib til Mars, er der to ønsker som man gerne vil

have opfyldt, men som modstrider hinanden. Disse to ønsker er^{22}:

Ønsket om lavt brændstofforbrug

Ønsket om kort rejsetid

Det er tydeligt at man ikke kan benytte sig af en bane som opfylder disse to ønsker, endnu, og man må derfor prioritere. Hohmann-banen er en meget økonomisk bane at benytte sig af, men det kommer på den bekostning at rejsetiderne er meget lange, som jeg vil bevise i dette afsnit. Det er teknisk muligt at rejse til Mars på to eller tre måneder, men brændstofforbruget vil være så højt at rumskibet hverken kan lande eller rejse tilbage til Jorden igen. Man benytter sig derfor af Hohmann-banen indtil man har fundet en mere effektiv samt hurtigere måde at rejse til Mars på. Nu hvor jeg har gennemgået de nødvendige værktøjer kan jeg gå i gang med en gennemgang af en rejse til Mars via Hohmann-banen.

5.1 Overblik over Hohmann-banen til Mars

Ser man på Jordens og Mars’ baner, er Mars en ydre planet i forhold til Jorden, da afstanden til Solen er længere for Mars.

23

Som det ses på figur 6, så skal Mars befinde sig foran Jorden, da Mars’ vinkelhastighed vil være mindre end Jordens.

22

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 29, linje 5

23

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 54, nederst Figur 6: Grov skitse over planeternes indbyrdes placering ved rejse til en ydre planet

Side 15

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 16 af 36

5.2 Beregning af flyvetiden til Mars

I afsnittet ”Omløbstiden i Hohmann-banen” (side 12) fandt jeg frem til en formel som kunne beregne flyvetiden til en anden planet, når man benytter sig af Hohmann-banen. Denne formel bruger jeg her, men jeg skal først have klargjort de nødvendige oplysninger.

Mars’ middelafstand fra Solen kaldes n og er følgende: 1,523691AE. Denne oplysning var den eneste jeg manglede til at beregne rejsetiden til Mars, da jeg allerede kender Jordens middelafstand til Solen som er 1AE. Flyvetiden, t, til Mars bliver så følgende:

Flyvetiden til Mars fra Jorden vil da være 0,709år ≈ 259 dage.

5.3 Planeternes indbyrdes placering

For at kunne regne planeternes indbyrdes placering, skal jeg først have klargjort nogle oplysninger omkring Jordens og Mars’ vinkelhastigheder, ω, i deres baner.

Jeg ved at et år på Jorden varer 365 dage, og et år betegnes for de antal dage det tager for planeten at nå én omgang i dens bane, jeg kan derfor finde Jordens vinkelhastighed sådan:

Jorden bevæger sig derfor 0,986 grader om dagen i sin bane. Mars’ vinkelhastighed

kan endvidere findes da jeg ved at længden af et år på Mars varer 687 dage^{24}:

Mars’ vinkelhastighed bliver så 0,524 grader om dagen. Det kan tydeligt ses at Mars’ vinkelhastighed er mindre end Jordens, da Mars er en ydre plantet. Jeg kan endvidere nemt finde ud af differensen, ∆ω, imellem de to vinkelhastigheder:

24

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 29, linje 51

Side 16

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 17 af 36

Dette betyder at vinklen, Jord-Sol-Mars, ændrer sig 0,462 grader om dagen. Jeg har nu de nødvendige oplysninger for at finde planeternes indbyrdes placering ved afrejsen.

5.3.1 Placering ved afrejse fra Jorden

Da jeg ved at rejsetiden til Mars varer 259 dage, kan jeg finde ud af hvor mange grader, φ, de to planeter bevæger sig på rejsen når jeg nu kender deres vinkelhastigheder:

Jorden bevæger sig så 255,37 grader i sin bane om Solen imens man rejser til Mars.

Man kan endvidere finde φ for Mars på samme måde.

Mars bevæger sig dermed kun 135,71 grader på rejsen. Jeg kan nu finde ud af den Jord-Sol-Mars vinkel, ψ, som der skal være ved afrejsen. Jeg ved at der skal være

180grader mellem Jorden ved afrejsen og Mars ved ankomsten som det ses på figur

7. Jeg kan dermed finde den Jord-Sol-Mars vinkel der skal være ved afrejsen.

Den vinkel mellem Jorden, Solen, og Mars som det kræves ved afrejsen vil så være omkring 44grader. Dette betyder at Mars skal befinde sig 44grader foran Jorden, da Mars vil bevæge sig langsommere end Jorden og skal derfor være foran ved afrejsen.

Side 17

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 18 af 36

25

Nu hvor jeg ved at der skal være 44grader mellem Jorden og Mars ved afrejsen, kan jeg finde ud af hvor lang tid der går imellem opsendelserne, τ, da denne vinkel ikke er eksisterende i særlig lang tid. Til dette bruger jeg differensen i vinkelhastighederne imellem Jorden og Mars og dividerer igennem med 360grader da det er en fuld omgang i en cirkel.

Der vil derfor gå lidt over 779 dage før man kan rejse til Mars igen via Hohmann-banen.

25

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 30, øverst, red. Mikkel Pindstofte Figur 7: Den Jord-Sol-Mars vinkel som det kræves ved afrejsen skal være 44grader for at kunne benytte sig af den optimale Hohmann-bane

Side 18

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 19 af 36

5.3.2 Placering ved ankomst til Mars

Man kan endvidere finde placeringen af planeterne ved ankomsten. Jeg ved at Mars, ved ankomsten, har en vinkel på 180grader i forhold til Jorden ved afrejsen.

Ved at trække 180grader fra den vinkel som Jorden bevæger sig under rejsen, får jeg planeternes placering ved ankomsten.

Vinklen mellem Jorden og Mars ved ankomsten vil så være omkring 75 grader.

Dette betyder endvidere at Jorden vil befinde sig 75 grader foran Mars, da Jordens vinkelhastighed er betydelig større end Mars’.

26

Hohmann-banen kan endvidere tegnes som en vektorfunktion. Jeg henviser derfor til bilag 3.3 ”Hohmann-banen til Mars som vektorfunktion” (side 34) hvor jeg finder de nødvendige værdier til opstilling af vektorfunktionen og viser derefter min egen visualisering af Hohmann-banen til Mars.

26

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 30, øverst

Figur 8: Vinklen mellem planeterne ved afrejsen vil være 44 grader, hvorved at vinklen mellem planeterne efter rejsen vil være

75 grader

Side 19

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 20 af 36

5.4 Hastighederne i Hohmann-banen

Som jeg har redegjort i afsnittet ”Bevægelse i Ellipsebanen” under bilag 1.2 (side

26), skal man have en bestemt hastighed for at man kan rejse ad en ellipsebane. Jeg henviser til bilag 3.1 ”Rakettens hastighed i Hohmann-banen” (side 32), hvor jeg beregner den hastighed raketten skal have når den forlader Jordens atmosfære.

Opsendelseshastigheden fra Jorden kan endvidere findes, og jeg henviser derfor til bilag 2.1 ”Opsendelseshastighed” (side 31), hvor jeg redegør formlen for opsendelseshastigheden og endvidere til bilag 3.2 ”Beregning af opsendelseshastigheden til Mars” (side 33) hvor jeg finder opsendelseshastigheden ud af den udledte formel.

5.5 Rejsen hjem

Efter at raketten er ankommet på Mars, er ikke engang halvdelen af rumrejsen overstået. Man kan ikke rejse fra Mars i et stykke tid efter man har landet og det følgende afsnit vil afspejle rejsen hjem igen fra Mars.

5.5.1 Ventetid og placering for hjemrejsen

Der vil gå et stykke tid før det er muligt at rejse hjem fra Mars igen. Dette skyldes, at når man er landet på Mars, er forudsætningerne for at man kan rejse hjem igen af Hohmann-banen ikke opfyldt, og man skal derfor vente til disse er opfyldt. Da rejsetiden hjem er den samme som da man rejste til Mars, 259 dage, må det betyde at Jorden skal stå 75 grader bag Mars, da Jorden under rejsen bevæger sig omkring

255 grader. Da rumskibet ankom til Mars, stod Jorden 75 grader foran Mars, og før hjemrejsen kan påbegyndes skal Jorden altså bevæge sig følgende i forhold til

Mars^{27}:

Jeg fandt ud af i afsnittet ”Placering ved afrejse fra Jorden” (side 17) at vinklen Jord-Sol-Mars ændrer sig med 0,462 grader om dagen. Jeg kan derfor beregne ventetiden på Mars før forudsætningerne for Hohmann-banen er opfyldt igen:

Der vil derfor gå omkring 455 dage før man kan rejse hjem igen, og det er altså et ophold på Mars i over et år. Man kan derfor beregne den totale rejsetid for rumrejsen til Mars da rejsetiden hjem igen vil være 259 dage:

27

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 30, linje 38

Side 20

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 21 af 36

Den totale rejsetid for en rumrejse til Mars vil så være 973 døgn. Dette er meget lang tid og er omkring 2 år og 8 måneder. På figur 9 ses en grafisk visning af forudsætningerne for at hjemrejsen kan påbegynde.

28

5.6 Delkonklusion – Rejsen til Mars

Jeg har i de forrige afsnit gennemgået en rejse til Mars og hjem igen via Hohmann-banen. Jeg har beregnet flyvetiden til Mars via Hohmann-banen som viser sig at være hele 259 dage. Dette er en lang rejse, men den totale rejsetid for hele rumrejsen kommer op på 973 dage, eller næsten 3 år, som er meget lang og kræver rigtig meget af de mennesker som skal med på rejsen. Dette er den store ulempe ved Hohmann-banen, men den lange rejsetid opvejes selvfølgelig af et minimalt brændstofforbrug. Ved afrejsen fra Jorden skal Mars stå 44 grader foran Jorden, før at man kan benytte sig af Hohmann-banen, og der vil gå 779 dage før at planeterne indtager disse placeringer igen.

28

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 31, øverst

Figur 9: Planeternes placering ved hjemrejsen. M_{3} og J_{3} er Mars
samt Jordens placering ved afrejsen fra Mars og M_{4} samt J_{4} vil

være planeternes placering ved ankomst til Jorden

Side 21

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 22 af 36

6.0 Konklusion

Jeg har i denne opgave brugt fysiske beregninger og matematiske metoder til at forberede, og endvidere beskrive en rumrejse til Mars via Hohmann-banen.

Jeg har beskrevet princippet bag raketfremdrift, som er én af de vigtigste forudsætninger for rumforskningen ser ud som den gør i dag, og udledt en formel, via separation af de variable, til beregning af rakettens sluthastighed, når man kender masseforholdet samt udstødningsgassens hastighed. Jeg kan konkludere at de forhold som påvirker rakettens ydeevne ved opsendelse fra Jorden, er tyngdekraften og luftmodstanden.

Jeg har redegjort for ellipsebanen og beskrevet de vigtigste afsnit når det handler om at rejse ad en ellipsebane. Hohmann-banens princip er, at Hohmann-banen er den ellipsebane som tangerer de to planeters cirkelbaner i dens yderpunkter, og er derfor den mest brændstoføkonomiske metode at rejse i rummet på. Jeg har endvidere beregnet de hastigheder det kræver for at følge Hohmann-banen til Mars, samt skabt min egen visualisering af Hohmann-banen via en vektorfunktion. Da Hohmann-banen trods alt er den mest brændstof venlige bane at rejse til andre planeter ad, vil den største ulempe ved banen være de lange rejsetider som nemt kan løbe op i flere år for en enkelt rumrejse. Dette er én af de grunde til at der ikke er blevet sendt et bemandet rumskib til en anden planet, og det store problem med denne metode at rejse til andre planeter med. Dette vil dog højst sandsynligt blive løst i fremtiden, hvor der bliver fundet en metode som både opfylder ønsket om en kort rejsetid og ønsket om et lavt brændstofforbrug. Om rumforskningen overholder sin deadline til år 2025 denne gang er stadig uvist, og der kan hurtigt ske et gennembrug i rumforskningen, så måske vil de første mennesker betræde Mars’ jord om et årti.

Side 22

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 23 af 36

7.0 Litteraturliste

Holck, Per m.fl.: Orbit A – HTX, 1. Udgave, 1. Oplag, Systime 2007

Kerte, Jens: Mars og Marsmanden – På rejse til Den Røde Planet med Jens Martin Knudsen, Aschehoug 2003 Madsen, Preben: Teknisk Matematik, 3. Udgave, 1. Oplag, Erhvervsskolernes Forlag 2005

Madsen, Preben: Teknisk Matematik - +3, 1. Udgave, 1. Oplag, Erhvervsskolernes Forlag 2006

Madsen, Preben: Teknisk Matematik bind 3, Erhvervsskolernes Forlag 1997

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, 1. Udgave, 1. Oplag, 1980 Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, 1. Udgave, 1. Oplag, Gyldendalske Boghandel 1988

Stub, Henrik m.fl.: ”Vi skal tilpasses lange rumrejser”; i: Illustreret Videnskab, nr.12/2008

http://www.langkaer.dk/vl/Astronomi/Projekt2/Forord-indhold.htm, Anvendt fra d. 20-9-2011 til d.

http://www-istp.gsfc.nasa.gov/stargaze/Smars1.htm. Anvendt d. 8-10-2011

http://www.polaris.iastate.edu/EveningStar/Unit6/unit6_sub2.htm, Anvendt d. 8-10-2011

http://www2.jpl.nasa.gov/basics/bsf4-1.php, Anvendt d.

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=66956, Anvendt d.

Side 23

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 24 af 36

8.0 Bilag

Bilag 1.1 – Ellipsens Geometri

Ser man på en ellipsebane rundt om Jorden, vil Jordens centrum befinde sig i det ene af ellipsens to brændpunkter.

Figur 10: Ellipsebane rundt om Jorden med Jordens centrum i det ene brændpunkt.^{29}

På figur 10 kan man se en grafisk visning af en ellipsebane rundt om Jorden. Det punkt på ellipsebanen som er tættest på Jordens centrum kaldes perigæum og det punkt som befinder sig længst væk kaldes apogæum. Perigæum og apogæum afstandene kan findes med disse formler:

                                             30
Hvor a er ellipsens halve storakse og e er excentriciteten

. Ved at se på disse to formler, kan jeg opstille et udtryk for ellipsens excentricitet.

Hvor e kan isoleres og jeg står dermed tilbage med et udtryk for ellipsens excentricitet.

29

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 44, øverst

30

Excentriciteten fortæller noget om hvor ”langstrakt” ellipsen er.

Side 24

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 25 af 36

Ser man på selve ellipsen, kan den halve storakse a findes på følgende måde.

Endvidere kan ellipsens halve lilleakse b findes sådan:

Dette vil være de primære værktøjer når man arbejder geometrisk med ellipsen.

Side 25

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 26 af 36

Bilag 1.2 - Bevægelse i ellipsebanen

De baner som et rumskib kan følge er bestemt af tyngdeloven. Dette betyder at alt efter hvilken bane du vil følge, skal du have en bestemt hastighed så du holder dig i

banen^{31}. Dette gælder også ellipsebanen, og hastigheden det kræves for at bevæge

sig ad en bestemt ellipsebane findes i dette afsnit.

Ser man igen på en satellit som kredser rundt om Jorden, kan man finde hastigheden i perigæum og apogæum ved at se på impulsmomentsætningen da der

                                                  32
er impulsmomentbevarelse når tyngdekraften er en centralkraft

33

Impulsmomentsætningen siger at:

Som i denne sammenhæng kan omskrives til:

Indsætter man værdierne for impulsmomentet, får man følgende udtryk:

31

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 34, linje 3

32

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 46, linje 1

33

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 45, nederst Figur 11: Hastigheden i perigæum og apogæum for en satellit i kredsløb om Jorden

Side 26

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 27 af 36

Hvor m er rakettens masse, r_{p} er perigæumafstanden og v_{p} er hastigheden i
perigæum. På den anden side er r_{a} apogæumafstanden og ligeledes er v_{a}
hastigheden i apogæum. v_{a} kan så isoleres til:

Ser man nu på energisætningen, kan man opstille følgende udtryk for energien i systemet.

Ud fra dette udtryk kan jeg konkludere at energien i systemet er bevaret. Indsætter man værdierne for den mekaniske energi i punkterne perigæum og apogæum, får man:

Hvor G er gravitationskonstanten og M er Solens masse. v_{p}^{2} og v_{a}^{2} kan endvidere

isoleres til:

Før fandt jeg et andet udtryk for v_{a} som jeg nu kan indsætte på v_{a} ’s plads.

Og ved at udregne parentesen får jeg

Jeg mangler nu bare at isolere v_{p} og så får jeg:

Side 27

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 28 af 36

Under ”Ellipsens Geometri” i bilag 1.1 (side 24) fandt jeg ud af at:

Som jeg indsætter i udtrykket og jeg får derfor en formel for hastigheden i perigæum som er:

Gør man det samme med hensyn til v_{a} fås næsten det samme udtryk, hvor det kun

er perigæum og apogæum afstandene som er vendt om.

Alt efter hvilken hastighed man sender et rumskib op med giver forskellige ellipsebaner. Ser man på farten i en ellipsebane i forhold til en cirkelbane, rundt om

Jorden f.eks., vil man have en bestemt hastighed, v
                                         c

, for at holde den cirkelbane.

Cirkelbanen kan ændres til en ellipsebane alt efter hvordan man regulerer hastigheden.

34

34

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 50, øverst

Figur 12: Er hastigheden v < vc vil der dannes en

indvendig ellipsebane med en ra = r

Side 28

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 29 af 36

Som det ses på figur 12, vil der blive dannet en ”indvendig” ellipsebane i den oprindelige cirkelbane, hvis hastigheden v gøres mindre end den oprindelige

hastighed v_{c} i cirkelbanen

35

Som det ses på figur 13, bliver der endvidere dannet en ”udvendig” ellipsebane

hvis hastigheden gøres større end den oprindelige hastighed v
                                                 c.

35

Stub, Helle m.fl.: På Rumrejse i Solsystemet, side 50, øverst

Figur 13: Er hastigheden v > v_{c} vil der dannes en udvendig ellipsebane
hvor r_{p} = r

Side 29

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 30 af 36

Bilag 1.3 – Ellipsen som vektorfunktion

Ellipsen kan ikke betegnes som en regulær funktion, da en ellipse i et koordinatsystem vil have flere x-værdier med henholdsvis flere y-værdier. Ellipsen

kan derimod tegnes som en vektorfunktion^{36} og har forskriften:

Hvor a er ellipsens halve storakse, og b er ellipsens halve lilleakse. Med denne forskrift, vil ellipsen have centrum i punktet (0,0), men da jeg ønsker at rykke ellipsens centrum i koordinatsystemet, skal man lægge den værdi, man ønsker at forskyde med i henholdsvis x- og y-retningen, til forskriften.

Dette vil så være den rette forskrift jeg skal bruge til at tegne ellipsen i et koordinatsystem.

36

Madsen, Preben: Teknisk Matematik, side 418, linje 8

Side 30

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 31 af 36

Bilag 2.1 – Opsendelseshastighed

Hvis man ønsker at opsende en raket med en sådan hastighed, at raketten ”meget

                                                        37
langt væk” opnår hastigheden v i forhold til Jordens rotationshastighed , skal

raketten have hastigheden v igennem Jordens atmosfære. Hastigheden v skal
                      op                                  op

                                                        38
være større end undvigelseshastigheden for Jorden, som er 11,19km/s , før at

raketten kan forlade Jordens atmosfære.

Figur 14: Opsendelseshastigheden v_{op} i forhold til sluthastigheden v^{39}
Ser man på hastigheden v_{op} har man for rakettens hastighed i afstanden r ifølge

energisætningen:

Da r >> R ser jeg bort fra den potentielle energi i afstanden r, da den vil være ubetydelig lille.

V_{op} kan nu isoleres ved at dividere igennem med en halv og m i alle led på begge

sider af lighedstegnet, samt lægge den potentielle energi, i afstanden R, til på begge sider af lighedstegnet og jeg får derved:

37

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 38, linje 11

38

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 38, linje 7

39

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 39, øverst

Side 31

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 32 af 36

                                                     40
Jeg ved at formlen for Jordens undvigelseshastighed findes således :

Som jeg kan indsætte i det udtryk jeg fandt ovenover, og jeg får derfor den endelige formel for beregning af opsendelseshastigheden når man kender rakettens

sluthastighed i forhold til Jorden, v, samt Jordens undvigelseshastighed, v , til:
                                                          E

Bilag 3.1 – Rakettens hastighed i Hohmann-banen

Som det blev sagt i afsnittet ”Bevægelse i Ellipsebanen” under bilag 1.2 (side 26), kræver det en hvis hastighed at bevæge sig i en ellipsebane. Udover dette fandt jeg ud af at hvis man skulle rejse via en ydre ellipsebane, i forhold til den cirkelbane man befandt sig i, skulle sluthastigheden være større end den oprindelige cirkelbanehastighed. Dette kan jeg konvertere til Hohmann-banen, da den oprindelige cirkelbanehastighed vil være Jordens rotationshastighed. Jordens

                          41
rotationshastighed er 29,78km/s . Ifølge teorien skal hastigheden i Hohmann-

banen være større end 29,78km/s, og hastigheden kan jeg finde ved at benytte de

formler jeg udledte i afsnittet ”Bevægelse i Ellipsebanen” (side 26). Jeg skal bruge

formlen for v_{p}, da Jorden vil befinde sig tættest på Solen og Jorden vil da være i

perigæum ved afrejsen. Hastigheden bliver derved:

Den hastighed som raketten skal have, når den forlader Jordens atmosfære, er

32,738km/s. Denne hastighed passer med teorien, da hastigheden i Hohmann-
banen til Mars er omkring 3 km/s større end Jordens rotationshastighed..

40

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 38, linje 2

41

Stub, Helle m.fl.: Rumfartens Fysik – Emner og Opgaver, side 56, linje 16

Side 32

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 33 af 36

Bilag 3.2 – Beregning af opsendelseshastigheden til Mars

Med den udledte formel fra afsnittet ”Opsendelseshastighed”, under bilag 2.1 (side

31), kan jeg nu finde den opsendelseshastighed raketten skal have, når den sendes fra Jorden og ind i Hohmann-banen. I afsnittet ”Rakettens hastighed i Hohmann-banen” under bilag 3.1 (side 32), fandt jeg hastigheden i Hohmann-banen til

32,738km/s. Da jeg ved at Jordens rotationshastighed er 29,78km/s, kan jeg nemt

finde rakettens sluthastighed i forhold til Jordens rotationshastighed:

Da rakettens sluthastighed i forhold til Jorden er 2,958km/s, kan jeg finde rakettens

opsendelseshastighed.

Rakettens opsendelses hastighed skal så være 11,574km/s. Dette kan godt lade sig

gøre da opsendelseshastigheden i teorien er større end Jordens

undvigelseshastighed på 11,19km/s.

Side 33

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 34 af 36

Bilag 3.3 – Hohmann-banen til Mars som vektorfunktion

Ser man på forskriften for en ellipse som vektorfunktion, ser jeg at de eneste værdier jeg skal beregne, er henholdsvis Hohmann-banens halve storakse samt halve lilleakse. Jeg skal endvidere beregne de værdier, som jeg ønsker at forskyde, Hohmann-banen i koordinatsystemet, med. Jeg starter med at udregne den halve storakse for Hohmann-banen, som jeg nemt kan da jeg ved Jorden og Mars’ middelafstande til Solen.

Hohmann-banen til Mars’ halve storakse er så 1,262 AE. Til beregning af

Hohmann-banens halve lilleakse, skal jeg bruge formlen som jeg udledte i afsnittet ”Ellipsens Geometri” under bilag 1.1 (side 24). som ser sådan ud:

Til dette skal jeg bruge Hohmann-banens excentricitet. Som jeg kan beregne via Jorden og Mars’ middelafstande til solen:

Hohmann-banens excentricitet vil da være 0,208, og jeg kan nu beregne den halve lilleakse b.

Nu hvor jeg både har den halve storakse og halve lilleakse, kan jeg tegne Hohmann-banen som vektor funktion. Jeg vælger kun at flytte centrum hen af x-aksen, så Jordens placering ved afrejsen kommer til at ligge i origo (0,0). Jeg skal derfor flytte Hohmann-banen det der svarer til den halve storakse, hen ad x-aksen, da Hohmann-banen vil have sit oprindelige centrum i origo. Den endelige forskrift for Hohmann-banen til Mars som vektorfunktion vil derfor være:

Side 34

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 35 af 36

Og tegnes vektorfunktion i intervallet [0,2π] får man følgende visualisering:

Figur 15: Min visualisering af Hohmann-banen ved hjælp af en vektorfunktion

Side 35

Skole: HTX Lillebælt

Fag: Fysik A/Matematik A
Vejledere: LCJ/THN

Rejsen til Mars Side 36 af 36

Bilag 4.1 – Opgaveformuleringen