STX Fysik A 2017 19. maj - Besvarelse af eksamenssæt

Side 1

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 19. maj 2017

1

STX Fysik A

19. maj 2017

1stx171-FYS/A-

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp STX 3.g

Opgave 1: Optøning af vandrør a)

Vi har størrelserne:

𝑃=425 𝑊

𝑈=1,13 𝑉

Vi bestemmer strømstyrken gennem jernrøret vha. formlen for elektrisk effekt:

𝑃=𝑈 · 𝐼

⇕

425𝑊=1,13𝑉 · 𝐼

⇕ Ligningen løses for I vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐼=376,1062 𝐴

Strømmen gennem jernrøret er bestemt til 376 A (afrundet til 3 betydende cifre).

b)

Vi aflæser jern og is’ specifikke varmekapacitet samt is’ smeltevarme i DATABOG fysik kemi:

𝑐_{𝑝−𝑗𝑒𝑟𝑛} =449

𝐽

𝑘𝑔 · 𝐾

𝑐_{𝑝−𝑖𝑠} =2040

𝐽

𝑘𝑔 · 𝐾

𝐿_{𝑠−𝑖𝑠} =334000

𝐽 𝑘𝑔

Side 2

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 19. maj 2017

2

Vi har, at både jern og is skal opvarmes til 0 °C, dvs. en temperaturændring på ΔT = 15 °C eller, hvad der
svarer til ΔT = 15 K. Vi har desuden, at isen smelter ved 0 °C, hvilket også kræver energi. Vi har, at effekt

generelt er givet ved, hvor den tilførte energi i dette tilfælde svarer til den varme som skal tilføres systemet for at det frosne jernrør når temperaturen 0 °C og optør.

𝑝=

Δ𝐸

Δ𝑡

=

𝑄_{𝑠𝑚𝑒𝑙𝑡𝑒} + 𝑄_{𝑣𝑎𝑟𝑚𝑒}

Δ𝑡

=

𝑚_{𝑖𝑠} · 𝐿_{𝑠} + ( 𝑐_{𝑝−𝑗𝑒𝑟𝑛} · 𝑚_{𝑗𝑒𝑟𝑛} + 𝑐_{𝑝−𝑣𝑎𝑛𝑑} · 𝑚_{𝑣𝑎𝑛𝑑}) · Δ𝑇

Δ𝑡

Dvs. vi har:

425𝑊=

2,04𝑘𝑔 · 334000 + (449 · 9,48𝑘𝑔+ 2040 · 2,04𝑘𝑔) · 15𝐾

𝐽 𝐽 𝐽

𝑘𝑔 𝑘𝑔 · 𝐾 𝑘𝑔 · 𝐾

Δ𝑡

⇕ Ligningen løses for Δt vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝛥𝑡=1900,31· 𝑠

                             3
Det vurderes, at det tager ca. 1,9·10 s at optø det frosne vandrør (afrundet til to betydende cifre).

Side 3

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 19. maj 2017

3

Opgave 2: Galaksen EGS-zs8-1 a)

Vi har størrelserne:

𝜆=1061,6 𝑛𝑚

𝑐=299792458

𝑚 𝑠

Vi beregner frekvensen af den observerede bølgelængde vha. formlen herunder for udbredelsen af elektromagnetisk stråling:

𝑐=𝜆 · 𝑓

⇕

299792458 =1061,6· 10^{−9} 𝑚 · 𝑓

𝑚 𝑠

⇕ Ligningen løses for f vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑓=2,823969· 10^{14} 𝑠^{−1}

                                                        14 -1
Frekvensen af den observerede spektrallinje er bestemt til 2,8240·10 s (afrundet til 5 betydende cifre).

b)

Vi har størrelserne:

𝜆_{𝑜𝑏𝑠} =1061,6 𝑛𝑚

𝜆_{𝑙𝑎𝑏} =121,6 𝑛𝑚

Vi bestemmer rødforskydningen for galakse EGS-zs8-1 vha. formlen herunder:

𝑧=

𝜆_{𝑜𝑏𝑠} − 𝜆_{𝑙𝑎𝑏}
𝜆_{𝑙𝑎𝑏}

⇕

𝑧=

1061,6 · 10^{−9} 𝑚 − 121,6 · 10^{−9} 𝑚
121,6 · 10^{−9} 𝑚

≈7,730263

Rødforskydningen for galaksen EGS-zs8-1 er bestemt til 7,730 (afrundet til 4 betydende cifre).

Side 4

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 19. maj 2017

4

Opgave 3: Forurening med jod a)

                                                   134                                −
Vi aflæser henfaldstypen, protontallet samt datterkernen Y for I i DATABOG fysik kemi til at være hhv. 𝛽 -

henfald, Z = 53 og Y = Xe. I databogen står det beskrevet, at isotopen I^{134} henfalder både ved 𝛽^{−} -henfald og
𝛾-henfald, vi antager, at der menes henfaldet til en anden isotop, som forekommer ved 𝛽^{−}. Henfaldet

forløber følgende:

𝑋 → 𝑌_{𝑍+1}^{𝐴} + 𝑒_{−1}^{0} + 𝑣 ̅_{𝑒}

𝑍

𝐴

⇕

𝐼 → 𝑋𝑒^{134}_{54} + 𝑒_{−1}^{0} + 𝑣 ̅_{𝑒}

53

134

                   134                                          134            −
Reaktionsskemaet for I er bestemt til reaktionen herover, vi ser, at isotopen I henfalder ved 𝛽 -henfald

          134
til isotopen 𝑋𝑒 .
           54

b)

Vi antager, at under hele helfaldsperioden forbliver kerneantallet pr. liter vand konstant. Det antages således, at der ikke sker en yderligere fortynding i havet af tætheden af kerner.

                                131
Vi aflæser halveringstiden for isotopen 𝐼
                                 53

i DATABOGEN fysik kemi til:

𝑇 =8,02𝑑𝑎𝑔𝑒

1

2

=8,02𝑑𝑎𝑔𝑒 · 24 · 60 · 60

𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑚𝑖𝑛 𝑠 𝑑𝑎𝑔𝑒 𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑚𝑖𝑛

=692928 𝑠

Radioaktiv aktivitet som funktion af tiden er givet ved formlen herunder:

𝐴=𝐴_{0} · ()^{𝑇}^{1_{2}}

1

2 𝑡

                                                       134      3
Vi har, at A betegner aktiviteten til tidspunktet, hvor aktiviteten for I er 20·10 Bq. Vi definerer en forskrift

0 for A som funktion af tiden t:

𝐴 ( 𝑡) ≔20· 10^{3} 𝑠^{−1} · ()^{692928𝑠}

1

2 𝑡

Vi bestemmer tidspunktet, hvor A(t) = 10 Bq ved løse for t i udtrykket herunder:

𝐴 ( 𝑡) =10 𝑠^{−1}

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=7598499 𝑠

Side 5

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 19. maj 2017

5

Det vurderes, at der vil gå mindst 76·10^{5} s, før at aktiviteten af^{131} I kommer ned under grænseværdien

(afrundet til 2 betydende cifre).

c)

I DATABOGEN fysik kemi er henfaldet af^{131} I oplyst til at være både 𝛽^{−} og 𝛾, hvor begge henfald udsender en
mængde energi. Vi antager, isotopen^{131} I først henfalder ved 𝛽^{−} og derefter ved 𝛾, dvs. at den samlede

mængde af energi udsendt ved ét henfald (henfaldene) er givet ved:

𝐸_{𝛽^{−}}_{+ 𝛾} =𝐸_{𝛽^{−}} + 𝐸_{𝛾}
=0,61 𝑀𝑒𝑉 + 0,364 𝑀𝑒𝑉
=0,974 𝑀𝑒𝑉
=974000 𝑒𝑉 · 1,6022 · 10^{−19}

𝐽 𝑒𝑉

=1,560543 · 10^{−13} 𝐽

Aktiviteten beskriver det gennemsnitlige antal af henfald pr. sekund, dvs. at effekten som 1,0 L havvand udsender pr. sekund er givet ved:

𝑃=𝐴 · 𝐸_{𝛽^{−}}_{+ 𝛾}
=20 ·10^{3} 𝑠^{−1} · 1,560543 · 10^{−13} 𝐽
=3,121086 · 10^{−9} 𝑊
Effekten, hvormed 1,0 L havvand udsender energi pga. henfaldet af isotopen^{131} I er bestemt til 3,1·10^{-9} W

(afrundet til 2 betydende cifre).

Side 6

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 19. maj 2017

6

Opgave 4: Squashbold i vand a)

Opdrift er givet ved Archimedes lov:

𝐹_{𝑜𝑝} =𝜌 · 𝑉· 𝑔

Vi antager, at squashbolden har form som en kugle. Vi beregner rumfanget af bolden:

𝑉_{𝑠𝑏𝑜𝑙𝑑} = · 𝜋 · 𝑟^{3}

4

3

= · 𝜋 · ( 20,2 · 10^{−3} 𝑚)^{3}

4

3

=3,452572 · 10^{−5} 𝑚^{3}

Densiteten af vandet er aflæst i DATABOG fysik kemi til:

𝜌_{𝑣𝑎𝑛𝑑} =998

𝑘𝑔

𝑚^{3}

Vi bestemmer størrelsen af opdriften ved:

𝐹_{𝑜𝑝} =𝜌_{𝑣𝑎𝑛𝑑} · 𝑉_{𝑠𝑏𝑜𝑙𝑑} · 𝑔

=998 · 3,452572 · 10^{−5} 𝑚^{3} · 9,82

𝑘𝑔 𝑚

𝑚^{3} 𝑠^{2}
=0,3383645 𝑁

Opdriften er bestemt til 0,338 N (afrundet til 3 betydende cifre), som er det samme som opgivet i formuleringen af opgaven.

b)

Der er tre kræfter som påvirker bolden i situationen, hvor bolden bevæger sig ned gennem vandet. De tre kræfter er hhv. tyngdekraften på bolden, opdriften på bolden samt gnidningsmodstanden fra vandet. Vi har da, at den resulterende kraft på bolden er givet ved summen af alle kræfter. Vi definerer tyngdekraftens retning som den positive krafts retning:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =𝐹_{𝑡} + 𝐹_{𝑜𝑝} + 𝐹_{𝑔𝑛𝑖𝑑}

⇕

𝑚 · 𝑎=𝑚· 𝑔 − 𝜌 ·𝑉_{𝑠𝑏𝑜𝑙𝑑} · 𝑔 + 𝐹_{𝑔𝑛𝑖𝑑}

Vi er oplyst med et datasæt, der viser sammenhængen mellem tiden og boldens fart ned igennem vandet. Vi opstiller tabel og foretager regression, for at bestemme en (t, v) - graf for boldens vej ned igennem vandet:

t/s 0,00 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050 0,060 0,070 0,080 0,090 0,10
v/(m/s) 2,68 2,31 2,00 1,73 1,44 1,20 1,01 0,85 0,72 0,63 0,58

Side 7

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 19. maj 2017

7

Polynomisk regression af grad 2 udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,

Vi vurderer, at R^{2} -værdien er tilstrækkelig til at godtage regressionsligningen som en beskrivelse af boldens

fart som funktion af tiden, når bolden bevæger sig ned igennem vandet:

𝑦=166,55012 · 𝑥^{2} − 37,791375 · 𝑥 + 2,6839161

Vi definerer en hastighedsfunktion v(t) for boldes vej ned igennem vandet:

𝑣 ( 𝑡) ≔166,55012 · 𝑡^{2} − 37,791375 · 𝑡 + 2,6839161

Vi har, at sammenhængen mellem hastighed og acceleration er givet ved:

𝑣^{′} =𝑎

Vi bestemmer da boldens acceleration til tidspunktet = 0,070 s ved at bestemme v’(0,070):

𝑣^{′} ( 0,070) ≈−14,47436

                                                          2
Accelerationen til tidspunktet t = 0,070 s er bestemt til -14,47436 m/s vi kan nu bestemme størrelsen af

gnidningskraften ved:

0,0224𝑘𝑔 · (−14,47436)=0,0224𝑘𝑔· 9,82 − 0,3383645 𝑁 + 𝐹_{𝑔𝑛𝑖𝑑}

𝑚 𝑚

𝑠^{2} 𝑠^{2}

⇕ Ligningen løses for F_gnid vha. CAS-værktøjet WordMat.

F_{gnid} =−0,2058292 N

Gnidningsmodstanden er bestemt til størrelsen 0,206 N (afrundet til 3 betydende cifre), og retningen for gnidningsmodstanden er bestemt til at være modsat boldens bevægelsesretning.

Side 8

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 19. maj 2017

8

Opgave 5: Hockey a)

Vi har størrelserne:

𝑣_{0} =39

𝑚 𝑠

𝑚_{𝑏𝑜𝑙𝑑} =160 𝑔

Vi bestemmer boldens kinetiske energi lige efter skudøjeblikket med formlen for kinetisk energi herunder:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} = · 𝑚 · 𝑣^{2}

1

2

⇕

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} = · 0,160 𝑘𝑔 · (39)

1 𝑚^{2}

2 𝑠

=121,68 𝐽

Boldens kinetiske energi lige efter skudøjeblikket er bestemt til 0,12 kJ (afrundet til 2 betydende cifre).

b)

Bevægelsesmængde er generelt givet ved:

𝑝=𝑚 · 𝑣

Vi har, at tilvæksten i bevægelsesmængde er givet ved:

Δ𝑝=𝐹· Δ𝑡

⇕

𝑚 · 𝑣 =𝐹· Δ𝑡

Dvs. vi beregner størrelsen af den gennemsnitlige kraft ved at løse for F i udtrykket herunder:

0,160𝑘𝑔 · 39 =𝐹· 97 · 10^{−3} 𝑠

𝑚 𝑠

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐹=64,3299 𝑁

Ved skuddet påvirker staven bolden med en gennemsnitlig kraft på 64 N (afrundet til 2 betydende cifre).

Side 9

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 19. maj 2017

9 c)

Vi har yderligere størrelsen:

𝑦_{𝑚𝑎𝑘𝑠} =40 𝑐𝑚

Vi antager desuden, at bolden er uden indflydelse fra friktion under bevægelsen.

Vi kender stighøjden for bolden til y = 0,40 m dvs. vi kan bestemme affyringsvinklen ved formlen herunder

maks for stighøjden i et kast i et homogent tyngdefelt, hvor 𝛼 > 0:

𝑦_{𝑚𝑎𝑘𝑠} = · sin^{2} ( 𝛼)

𝑣_{0}^{2}
2 · 𝑔

⇕

0,40𝑚= · sin^{2} ( 𝛼)

(39)

𝑚^{2}

𝑠

2 · 9,82_{2}

𝑚 𝑠

⇕ Ligningen løses for α vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: 𝛼 >0
𝛼=4,1212915°

Vi kan nu bestemme den maksimale kastelængde ved:

𝑥_{𝑚𝑎𝑘𝑠} = · sin ( 2 · 𝛼)

𝑣_{0}

𝑔

= · sin ( 2 · 4,1212915°)

(39)

𝑚^{2}

𝑠

9,82_{2}

𝑚 𝑠

≈22,20544 𝑚

Den maksimale kastelængde er bestemt til 22 m (afrundet til 2 betydende cifre).

Side 10

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 19. maj 2017

10

Opgave 6: Trappeløb a)

Vi tildeler passende værdier til relevante fysiske størrelser.

Vi antager, at kvinden vejer 60 kg:

𝑚_{𝑘} =60𝑘𝑔

Vi antager, at ét løb op ad trapperne svarer til en distance tilbagelagt i y-dimensionen (dvs. lodret) på 10 m:

𝑠_{𝑦} =10𝑚

Vi antager at, kvinden tilbagelægger ét løb op ad trapperne, dvs. 10 m i y-dimensionen, på 40 sekunder:

Δ𝑡=40𝑠

Kvinden befinder sig i Jordens tyngdefelt, som er en konservativ felt, dvs. at arbejdet som tyngdekraften udfører på kvinden kun afhænger af distancen, som kvinden tilbagelægger i y-dimensionen (lodret). Da kvinden ikke befinder sig i vakuum, skal kvinden udover at modarbejde tyngdekraften desuden modarbejde friktion, dertil kommer der pga. termodynamikken, at kvindens nyttevirkning, altså energien som kvindens krop omsætter til bevægelse (dvs. musklerne), vil være mindre end 1. Da det ikke er muligt at komme et kvalificeret bud størrelsen af gnidningskraften, medregnes denne i nyttevirkningen. Vi vurderer nyttevirkningen til at være 85%.

𝜂=0,85

Under opstigningen udfører tyngdekraften et arbejde på kvinden, som kvinden skal modarbejde. Vi har da:

0=𝐴_{𝑘𝑣𝑖𝑛𝑑𝑒} + 𝐴_{𝑓𝑒𝑙𝑡}

⇕

−𝐴_{𝑓𝑒𝑙𝑡} =𝐴_{𝑘𝑣𝑖𝑛𝑑𝑒}

⇕

− ( −Δ𝐸_{𝑝𝑜𝑡}) =𝐴_{𝑘𝑣𝑖𝑛𝑑𝑒}

⇕

𝐴_{𝑘𝑣𝑖𝑛𝑑𝑒} =Δ𝐸_{𝑝𝑜𝑡}
= ( 𝑚 · 𝑔· ℎ)
= ( 60𝑘𝑔 · 9,82 · ( 10𝑚))

𝑚

𝑠^{2}
=5892 𝐽

Kvindens krop har en nyttevirkning på 85% dvs. at kvinden reelt skal omsætte en energi svarende til:

Side 11

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 19. maj 2017

11

𝜂=

Δ𝐸_{𝑛𝑦𝑡𝑡𝑒}
Δ𝐸_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡}
=

𝐴_{𝑘𝑣𝑖𝑛𝑑𝑒}
Δ𝐸_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡}

⇕

0,90=

5892J

Δ𝐸_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡}

⇕ Ligningen løses for ΔE_tilfoert vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝛥𝐸_{𝑡𝑖𝑙𝑓𝑜𝑒𝑟𝑡} =6546,667 𝐽

Effekt er givet ved:

𝑃=

Δ𝐸

Δ𝑡

=

Δ𝐸_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡}

Δ𝑡

=

6546,667 𝐽

40𝑠

≈163,6667 𝑊

Det vurderes altså, at kvinden omsætter energi med en effekt svarende til 0,16 kW ved løb på trapper

(afrundet til 2 betydende cifre).

Side 12

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 19. maj 2017

12

Opgave 7: Tokamak a)

Vi har størrelserne, hvor 𝜇 betegner vakuumpermeabiliteten.
                     0

𝐵=5,3 𝑇

𝑁=120

𝑟=0,67𝑚

𝜇_{0} =1,25664 · 10^{−6} ·

𝑁

𝐴^{2}

Vi bestemmer strømstyrken i vindingerne under eksperimentet ved at løse for strømstyrken i udtrykket herunder for magnetfeltet i en torus.

𝐵=𝜇_{0} ·

𝑁· 𝐼
2 · 𝜋 ·𝑟

⇕

5,3 𝑇=1,25664 · 10^{−6} · ·

𝑁 120 · 𝐼
𝐴^{2} 2 · 𝜋· 0,67𝑚

⇕ Ligningen løses for I vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐼=147958 · 𝐴

Strømstyrken gennem vindingerne under eksperimentet er bestemt til 15 • 10^{4} A (afrundet til 2 betydende

cifre).

b)

Vi aflæser tætheden af n e af elektroner og det samlede tryk fra graferne i opgaveformuleringen til:

𝑛_{𝑒} =3,4 · 10^{20} · 𝑚^{−3}

𝑝=200 𝑘𝑃𝑎

Plasmaet består udelukkende af Deuterium dvs.^{2} H. Til hver Deuterium-ion tilhører én elektron, dvs.:

𝑛_{𝑒} =𝑛_{𝐷}

Den samlede tæthed for plasmaet er da givet ved:

𝑛=𝑛_{𝐷} + 𝑛_{𝑒}
=2 · 𝑛_{𝑒}
=2 · 3,4 · 10^{20} · 𝑚^{−3}
=6,8 · 10^{20} 𝑚^{−3}

Side 13

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 19. maj 2017

13

Vi antager, at plasmaet er i ligevægt, og kan derfor opfattes som en ideal gas, dvs. vi har:

𝑝=𝑛 · 𝑘_{𝐵} · 𝑇

Vi bestemmer temperaturen i centrum af plasmaet ved at løse for T i udtrykket herunder:

200 · 10^{3} 𝑃𝑎=6,8 · 10^{20} 𝑚^{−3} · 1,38065 · 10^{−23} · 𝑇

𝐽

𝐾

⇕ Ligningen løses for T vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑇=2,130284 · 10^{7} 𝐾

Temperaturen i centrum af plasmaet under eksperimentet er bestemt til 2,1 • 10^{7} K (afrundet til 2 betydende

cifre).