STX Fysik A maj 2007 Vejledende opgavesæt nr. 1 - Vejledende besvarelse

Side 1

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

1

STX Fysik A MAJ 2007

Vejledende opgavesæt nr. 1

STX071-FKA V

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp STX 3.g

Opgave 1. Messier galakser a)

Rødforskydningen er givet ved:

𝑧=

𝜆_{𝑜𝑏𝑠} − 𝜆_{𝑙𝑎𝑏}
𝜆_{𝑙𝑎𝑏}

Dvs. vi har:

𝑧=

121,894 · 10^{−9} 𝑚 − 121,567 · 10^{−9} 𝑚
121,567 · 10^{−9} 𝑚

≈0,0026898747

Rødforskydningen for galaksen M65 er bestemt til 0,(afrundet til 6 betydende cifre).

b)

Vi har, at en sammenhæng for Hubble konstanten H_{0} er givet ved:

𝑣_{0} =𝐻_{0} · 𝑟_{0}

Galaksernes nuværende fart væk fra os v_{0} bestemmer vi ved, hvor c betegner lysets hastighed i vakuum:

𝑣_{0} =𝑐· 𝑧

Vi beregner v_{0} for hver Galakse i Excel. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Galakse r_{0} (10^{6} ly) λ_{obs} (nm) λ_{lab} (nm) z v_{0} (m/s) v_{0} km/s

M94 | 14,5 | 121,692 | 121,567 | 0, | 308258,4686 | 308,2584686
M64 | 19,3 | 121,732 | 121,567 | 0,6 | 406901,1785 | 406,9011785
M106 | 25,8 | 121,748 | 121,567 | 0,1 | 446358,2625 | 446,3582625
M65 | 35,3 | 121,894 | 121,567 | 0,5 | 806404,1538 | 806,4041538
M105 | 38,6 | 121,94 | ½121,567 | 0,7 | 919843,2702 | 919,8432702
M104 | 50 | 122,009 | 121,567 | 0,5 | 1090001,945 | 1090,001945

Side 2

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

2

M109 55,4 121,992 121,567 0,5 1048078,793 1048,078793

M87 60,1 122,087 121,567 0,7 1282355,229 1282,355229

Vi tegner et diagram med baggrund i dataet fra ovenstående tabel og udgangspunkt i formlen v_{0} = H_{0} ·r_{0}. Vi

foretager en lineær regression, hvor regressionsligningen svarer til v = H ·r , dvs. at hældningskoefficienten
                                                       0   0 0

for regressionsligningen svarer til Hubblekonstanten:

Vi aflæser regressionsligningen til:

𝑦=20,937𝑥+ 5,9933

Hubblekonstanten aflæses som hældningskoefficienten for regressionsligningen til:

𝐻_{0} =20,937

𝑘𝑚 𝑠

10^{6} · 𝑙𝑦

Hubblekonstanten H_{0} er bestemt til 20,9 km/s / 10^{6} ly (afrundet til 3 betydende cifre).

y = 20,937x + 5,9933
R² = 0,9557

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 50 60 70 v

0

(km/s)

r_{0} (10^{6} ly)

Hubblekonstanten H_{0}

Side 3

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

3

Opgave 2. Tryk i vandrør a)

Vi har, at trykket i en væskesøjle er givet ved:

𝑝=𝑝_{0} + 𝜌 · 𝑔· ℎ

Vi betegner kælderhøjden som overfladen, dvs. at trykket ved overfladen er lig p_{0} = 620 kPa. Vi beregner
trykket i vandrørene i en højde af 23 m over kælderen dvs. h = -23. Densiteten af vandet er oplyst til ρ = 978
kg / m^{3}:

𝑝=620𝑘𝑃𝑎 +978 · 9,82 · ( −23𝑚)

𝑘𝑔 𝑚

𝑚^{3} 𝑠^{2}

≈399,1089 𝑘𝑃𝑎

Trykket i vandrørene i en højde af 23 meter over kælderen er bestemt til 399 kPa (afrundet til 3 betydende cifre).

Side 4

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

4

Opgave 3. Elproducerende rygsæk a)

Potentielenergi er givet ved:

𝐸_{𝑝𝑜𝑡} =ℎ · 𝑔· 𝑚

Vi har, at der sker en tilvækst for taskens højde i tyngdefeltet på 5 cm. Massen af tasken er opgivet til m=36

kg. Vi beregner tilvæksten i potentielenergi for tasken:

Δ𝐸_{𝑃𝑜𝑡} =Δℎ · 𝑔· 𝑚
=0,05𝑚 · 9,82 · 36𝑘𝑔

𝑚

𝑠^{2}
=17,676𝐽

Tilvæksten i potentielenergi for tasken er bestemt til 17,7 J (afrundet til 3 betydende cifre).

b)

Sammenhængen mellem fjederkraft og fjederdeformation er givet ved Hookes lov, hvor x betegner fjederens ligevægtsstilling. Vi har, at tyngdekraften og fjederkraften virker modsatrettet, dvs. den resulterende kraft i situationen bliver:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =𝐹_{𝑓𝑗𝑒𝑑𝑒𝑟} − 𝐹_{𝑡}

⇕

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =𝑘· 𝑥− 𝑚· 𝑔

⇕

𝑚 · 𝑔=𝑘· 𝑥

Vi løser for tilvæksten for fjederdeformation Δx:

36𝑘𝑔 · 9,82 =3200 · Δ𝑥

𝑚 𝑁

𝑠^{2} 𝑚

⇕ Ligningen løses for Δx vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝛥𝑥=0,110475 𝑚

Fjederen er strakt 0,11 m (afrundet til 2 betydende cifre) ud fra sin ligevægtsstilling når bæreren står stille.

c)

Det antages, at rygsækken er mest behagelig at gå med, når tasken svinger i takt med bærerens gang.

Desuden kan taskens bevægelse betragtes som en harmonisk svingning.

Side 5

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

5

Vi bestemmer svingningstiden for rygsækken ved:

𝑇=

2𝜋 𝜔

=

2𝜋

√

𝑘 𝑚

=

2𝜋

√ 𝑚

3200

𝑁

36𝑘𝑔

=0,6664324 𝑠

Rygsækkens svingningstid er bestemt til 0,67 s (afrundet til 2 betydende cifre).

Vi har, at bæreren skal foretage et skridt for hver svingning rygsækken foretager, dvs. manden skal bevæge sig 0,71 m for hver 0,6664324 s, farten bestemmes ved:

𝑣=

𝑠 𝑡

=

0,71𝑚

0,6664324𝑠

≈1,065374 𝑚 𝑠

For at rygsækken er behagelig at gå med, skal bæreren bevæge sig med en fart på 1,1 m/s (afrunde til 2

betydende cifre).

Side 6

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

6

Opgave 4. Elektrisk vandvarmer a)

Forbruget af vand for 10 minutters brug af bruser og håndvask antages til 25 l. Det antages derudover at vandet skal opvarmes fra stuetemperatur på 20 °C til 50 °C. Nyttevirkningen for vandvarmeren i rør sættes

til η = 0,90 = 90 %.

Vi informerer om kendte størrelser. Alle størrelser er aflæst i DATABOG fysik kemi.

Densiteten for vand ved 20°C er aflæst til:

𝜌=998

𝑘𝑔

𝑚^{3}

Varmekapaciteten for vand er aflæst til:

𝑐_{𝑃} =4,18

𝑘𝐽

𝑘𝑔 · °𝐶

Vi omregner fra liter til m^{3}. Forholdet mellem L og m^{3} er 1/1000, dvs. at 25 L svarer til:

𝑉=25𝐿 ·

1

1000

=0,025𝑚^{3}

Energien det kræves for at opvarme 25L vand fra 20 °C til 50 °C er givet ved:

𝑄=𝑚 · 𝑐· Δ𝑇
=𝜌 · 𝑉· 𝑐· ( 𝑇_{𝑣𝑎𝑟𝑚} − 𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡})
=998 · 0,025𝑚^{3} · 4,18 · ( 50°𝐶 − 20°𝐶)

𝑘𝑔 𝑘𝐽

𝑚^{3} 𝑘𝑔
=3128,73𝑘𝐽

Der skal kompenseres for nyttevirkning dvs.:

𝜂=

Δ𝐸_{𝑛𝑦𝑡𝑡𝑒}
Δ𝐸_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡}

⇕

0,90=

3128,73𝑘𝐽

Δ𝐸_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡}

⇕ Ligningen løses for ΔE_tilfoert vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝛥𝐸_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡} =3476,3667𝑘𝐽

På 10 minutter = 600 s skal vandvarmeren levere en mængde energi svarende til ovenstående, det svarer til

en effekt på:

Side 7

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

7

𝑃=

Δ𝐸

Δ𝑡

=

3476,3667𝑘𝐽

600𝑠

=5,793945 𝑘𝑊

Vandvarmeren skal altså levere en effekt på 5,79 kW (afrundet til 2 betydende cifre).

Side 8

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

8

Opgave 5. Standselængde a)

Vi har, at sammenhængen mellem tilbagelagt strækning ved en konstant hastighed er givet ved:

𝑠=𝑣· 𝑡· 𝑠_{0}

Reaktionstiden beregnes som tiden det tager at tilbagelægge afstanden tilbagelagt i reaktionstiden for hhv.

de to hastigheder.

Ved en fart på 130 km/h = 36,11 m/s (forholdet mellem km/h og m/s er 3,6):

36𝑚=36,11 · 𝑡+ 0

𝑚 𝑠

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=0,9969537 𝑠

Reaktionstiden er bestemt til 1,0 s (afrundet til 2 betydende cifre).

Ved en fart på 147 km/h = 40,83 m/s:

41𝑚=40,83 · 𝑡+ 0

𝑚 𝑠

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=1,004164 𝑠

Reaktionstiden er bestemt til 1,0 s (afrundet til 2 betydende cifre).

Vi kan altså konkludere, at reaktionstiden har været den samme for de to beregninger.

b)

Vi har, at bilen i bremseøjeblikket har en fart på 130 km/h = 36,11 m/s, derefter går bilen fra en fart på 130
km/h til 0 km/h over en strækning på 84 m. Vi beregner den gennemsnitlige acceleration ved:

𝑣^{2} − 𝑣_{0}^{2} =2 · 𝑎· ( 𝑠− 𝑠_{0})

⇕

0 − (36,11) =2· 𝑎 · ( 84𝑚 − 0)

𝑚 𝑚^{2}

𝑠 𝑠

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎=−7,7615

𝑚

𝑠^{2}

Side 9

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

9

                                                       2
Vi har, at bilens gennemsnitlige acceleration er bestemt til -7,8 m/s (afrundet til 2 betydende cifre). Netop

denne værdi er brugt som grundlag til beregningen af bremselængden ved 130 km/h.

Side 10

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

10

Opgave 6. To-proton henfald a)

Vi har, at massen af prøven er bestemt til 20 mg, dvs. antallet af nikkelatomer kan bestemmes ved:

𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙_{𝑁𝑖} =6,02 · 10^{23} 𝑚𝑜𝑙^{−1}

20 · 10^{−3} 𝑔

58,69 𝑔 𝑚𝑜𝑙

≈2,05146 · 10^{20}

Prøven på 20 mg nikkel indeholder 2,1 • 10^{20} nikkelatomer (afrundet til to betydende cifre).

b)

Strøm er pr. definition ladningen, der passerer et tværsnit i et tidsrum, dvs. antallet af nikkel ioner, der skal

til at danne en strøm med størrelsen 4,0 • 10^{-6} A kan bestemmes ved, hvor n betegner antal nikkelioner:

𝐼=𝑛· 26 · 𝑒

⇕

4,0 · 10^{−6} 𝐴=𝑛 · 26 · 1,6022 · 10^{−19} 𝐶

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛=9,602182 · 10^{11} 𝑠^{−1}

Hvert sekund rammer 9,6 • 10^{11} nikkelioner.

c)

             54                                  54          54
Protontallet for 𝑍𝑛 er aflæst i DATABOGEN fysik kemi til 𝑍𝑛 . Isotopen 𝑍𝑛 henfalder ved udsendelse
                                                 30

af 2 protoner dvs. reaktionen bliver:

𝑍𝑛 → 𝑁𝑖_{28}^{52} + 2𝑝

30

54

        54                                            52
Isotopen 𝑍𝑛 henfalder ved udsendelse af 2 protoner til isotopen 𝑁𝑖 .
                                                      28

Vi beregner massetilvæksten for reaktionen, hvor Q = 2,37 • 10^{-13} J:

𝑄=−Δ𝑚 · 𝑐^{2}

⇕

2,37 · 10^{−13} 𝐽=−Δ𝑚· (299792458)

𝑚^{2}

𝑠

⇕ Ligningen løses for Δm vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝛥𝑚=−2,636981 · 10^{−30} 𝑘𝑔

Side 11

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

11

=−0,001588027 𝑢

Desuden har vi, at under processen udsendes der 2 protoner, derfor bliver massen 2 protoners masse lettere. Massen af en proton er aflæst i DATABOGEN fysik kemi:

2𝑚_{𝑝} =2 · 𝑚_{𝑝}

⇕

2_{𝑚𝑝} =2 · 1,007276467

≈2,014553𝑢

         54                                                                 54
Massen af 𝑍𝑛 vil derfor være massen af datterkernen, samt den negative massetilvækst, 𝑍𝑛 mistede
         30                                                                 30

under henfaldet, og de to protoner udsendt. Vi har datterkernen vejer 51,9759 u:

𝑚_{𝑍𝑛} =𝑚_{𝑁𝑖} + Δ𝑚 + 2_{𝑚𝑝}

⇕

𝑚_{𝑍𝑛} =51,9757u + 0,001588027𝑢 + 2,014553𝑢
=53,991838954312598275𝑢

                54
Massen af isotopen 𝑍𝑛 er bestemt til 53,9918 u (afrundet til 6 betydende cifre).
                30

Side 12

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

12

Opgave 7. Vandbølger a)

Vi har udbredelsesfarten er givet ved:

𝑣=

√

𝑔 · 𝜆
2 · 𝜋

Udbredelsesfarten kan desuden beskrives ved:

𝑣=

𝜆

𝑇

Dvs. vi har:

𝜆 𝑔 · 𝜆
𝑇 2 · 𝜋

=

√

Vi indsætter kendte størrelser, hvor perioden T = 1,8 s og bestemmer bølgelængden λ:

𝜆 9,82 𝑚/𝑠^{2} · 𝜆
1,8𝑠 2 · 𝜋

=

√

⇕ Ligningen løses for λ vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝜆=5,063803 𝑚 ∨ 𝜆=0

Bølgelængden kan ikke være 0, derfor er λ = 0 ikke en løsning til opgaven.

Vi bestemmer bølgernes udbredelsesfart ved:

𝑣=

√ 𝑠

9,82_{2} · 5,063803𝑚

𝑚

2 · 𝜋

≈2,813223 𝑚 𝑠

Bølgernes udbredelsesfart er bestemt til 2,81 m/s (afrundet til 3 betydende cifre).

Side 13

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

13

Opgave 8. Golfslag a)

Vi har, at sammenhængen mellem kraft, masse og acceleration er givet ved N2:

𝐹=𝑚· 𝑎

Golfboldens største acceleration under slaget må derved være, der hvor golfbolden er påvirket af den største kraft, dvs. maksimum for F. Det antages desuden, at kraften fra slaget er den eneste kraft, der påvirker golfbolden under slaget.

Vi definerer grafen for F:

𝐹 ( 𝑡) ≔

7,1𝑘𝑁

1 + 3,6 · 10^{15} 𝑠^{−4} · ( 𝑡− 5,0 · 10^{−4} 𝑠)^{4}

Vi bestemmer maksimum for F:

𝐹^{′} ( 𝑡) =0

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=0,0005 𝑠

Vi undersøger differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet for den afledede funktion F’(t):

𝐹^{′} ( 0,0002𝑠) ≈3034,743 𝑘𝑁 · 𝑠^{−1}

𝐹^{′} ( 0,001𝑠) ≈−250,2154 𝑘𝑁· 𝑠^{−1}

Vi kan konkludere, at t = 0,0005 s er et maksimum.

Vi bestemmer kraftpåvirkningen for golfbolden til tiden t = 0,0005 s:

𝐹 ( 0,0005𝑠) =7,100 𝑘𝑁

Vi beregner accelerationen ved:

7,100𝑁=0,0455𝑘𝑔 · 𝑎

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎=156044 𝑚 · 𝑠^{−2}

                                                        2
Golfboldens største acceleration under slaget er bestemt til 156 km/s (afrundet til 3 betydende cifre).

b)

Vi har, at der under slaget sker en tilvækst i golfboldens bevægelsesmængde i de 1 ms = 0,001 s slaget

varer. Sammenhængen mellem bevægelsesmængde og kræft er generelt givet ved:

Side 14

Fysik A STX – Vejledende opgavesæt nr. 1 – MAJ 2007

14

Δ𝑝=𝐹· Δ𝑡

Vi har derved, at tilvæksten i bevægelsesmængde under slaget for golfbolden, hvor t ∈ [0; 1,0 ms] = [0;

0,001 s], er givet ved arealet under grafen i opgaveformuleringen. Vi bestemmer arealet under grafen ved nedenstående. WordMat har problemer med at løse integralet med enheder, derfor indsætter udtrykket for F uden enheden og i korrekt SI forhold:

𝐴=∫ 𝑑𝑡

7100

1 + 3,6 · 10^{15} · ( 𝑡− 5,0 · 10^{−4})^{4}

0,001

0

≈2,025688 𝑁 · 𝑠

Det antages, at golfbolden ligger stille inden slaget. Vi kan derved beregne golfboldens fart umiddelbart efter slaget ved:

𝑝=𝑚 ·𝑣

⇕

2,025688 𝑁 · 𝑠=0,0455𝑘𝑔 · 𝑣

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=44,52061 𝑚 · 𝑠^{−1}

Golfboldens fart umiddelbart efter slaget er bestemt til 44,5 m/s (afrundet til 3 betydende cifre).