SRP om Einsteins Specielle Relativitetsteori

Side 1

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 1 af 41

STX 3.g

The study investigates Einstein’s special theory of relativity which we first published in an article in

1905. This theory completely goes against the way classical Newtonian Mechanics until then had described the world. The legendary Michelson-Morley experiment had defined that the speed of light was not dependent on the direction. Einstein took this outcome further and in his special theory of relativity one of his two postulates says that the speed of light has to be finit. Since the speed of light has an important role in the theory, this speed has again and again been measured by different scientist almost completely eradicating all uncertainties. We have ourselves measured the speed of light by using Foucaul’ method with the turning mirrors. We have also studied the Galileian-transformation. This was the backbone of the Newtonian Mechanics, until it was changed to the Lorentz-transformation, to accommodate Einsteins new Theories. We have also visited the University of Aarhus, where we have studied the cosmic particles, more precisely the muon. We have farely accurately found the meanlifetime of a muon in rest.

Side 2

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 2 af 41

Indholdsfortegnelse

................................................................................................................................... 1 Indledning ............................................................................................................................................ 3 Inertialsystemer: .................................................................................................................................. 3 Klassisk Mekanik: ................................................................................................................................. 4 Galilei-transformationen: ................................................................................................................. 4 Opgøret med den klassiske mekanik ................................................................................................... 6 Æterteorien: ..................................................................................................................................... 6 Michelson-Morley eksperimentet .................................................................................................... 7 Interferometeret: ......................................................................................................................... 8 Eksperimentet: .............................................................................................................................. 8 Det specielle relativitetsprincip: ........................................................................................................ 10 Grundlæggende begreber ved Einsteins postulat: ........................................................................ 11 Samtidighed: ............................................................................................................................... 11 Længde: ...................................................................................................................................... 12 Lorentz-transformationen: ................................................................................................................ 12

............................................................................................................................................................ 13 Udledning: ...................................................................................................................................... 13 Lorentz-transformationen på differens og differentialform: ......................................................... 18 Relativistisk Kinematik ....................................................................................................................... 19 Lorentz-transformationens hastighedstransformationer: ............................................................. 19 Særtilfælde med paralle hastigheder: ........................................................................................ 21 Længdeforkortning: ........................................................................................................................ 21 Tidsforlængelsen: ........................................................................................................................... 22 Feynman-uret: ............................................................................................................................ 22 Myonens levetid ................................................................................................................................. 23 Forsøget: ......................................................................................................................................... 25 Scintilatoren og PMT (Photo Multiplier Tube): .......................................................................... 25

Side 3

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 3 af 41

Databehandling: ......................................................................................................................... 26 Opgave: .............................................................................................................................................. 28 Eksperimentel bestemmelse af lysets hastighed .............................................................................. 29 eksperimentelle udvikling af bestemmelsen af lysets hastighed .................................................. 29 Apparatur og Opstilling: ................................................................................................................. 30 Fremgangsmåde: ............................................................................................................................ 31 Udledning af formel........................................................................................................................ 32 Måleusikkerheder: ......................................................................................................................... 35 Databehandling ........................................................................................................................... 37 Eksperimentel bestemmelse af lysets hastighed nr.1: ............................................................... 37 Måleusikkerhed: ......................................................................................................................... 38 Vurdering af fejlkilder: .................................................................................................................... 38 Konklusion: ......................................................................................................................................... 39 Litteraturliste: .................................................................................................................................... 40 Bøger: ............................................................................................................................................. 40 Indledning

I den følgende opgave vil Einsteins specielle relativitetsprincip fra 1905 blive gennemgået og gennembearbejdet. Jeg vil gennemgå Michelson-Morley forsøget, og jeg vil eksperimentelt finde lysets hastighed samt Myonen levetid i hvile.

Inertialsystemer^{12}:

Rummets geometri blev indtil fremkomsten af Einsteins generelle relativitetsteori betragtet Euklidisk, derfor skulle man, når man i fysikken ville bestemme fysiske størrelser det være

1

http://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system

2

Dam, 20007 s1-2

Side 4

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 4 af 41 position, hastighed, mm, ofte bruge et Kartesisk koordinatsystem. Det kartesiske koordinatsystem, som bygger på Euklidisk geometri udviklet af René Descartes, er et retlinet koordinatsystem med to eller tre indbyrdes ortogonale akser henholdsvis (x,y,z). Derudover er tiden defineret i hele rummet, da denne indgår i de fysiske lovmæssigheder. Et kartesisk koordinatsystem eller referencesystem, hvor Newtons 1. lov gælder, kaldes et inertialsystem.

Dette betyder imidlertid også at Newtons 2. og 3. Lov gælder, og dette vil senere blive vist ved Galileitransformationen.

Klassisk Mekanik:

Galilei-transformationen^{3}:

Betragt to inertialsystemer S og S’ der bevæger sig i en retlinet bevægelse således at origo i S’ rammer den positive x-akse i S, således at de to akser x og x’ er sammenfaldende, og henholdsvis y og y’ og z og z’ er parallelle. Inertialsystemerne bevæger i forhold til hinanden med den konstante hastighed v, da de opfylder Newtons første lov. Inddelingen af længde og tidsangivelser er lige stor i de to systemer og slutteligt gælder der, at i startpunktet for en given begivenhed er tiderne t og t’ lig nul i begge inertialsystemer.

3

Med inspiration fra Dam s3-5

Side 5

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 5 af 41

Hvis en begivenhed finder sted et sted i rummet fx et sammenstød af to partikler vil der ifølge Galilei-transformationen være følgende sammenhæng mellem begivenhedens position i S og S’ når en translation af koordinater finder sted:

x x v t ' = − ⋅
yy ' =
zz ' =
tt ' =

(1.1)

Det bemærkes, at begivenhedens position i henholdsvis (z,z’) og (y,y’)- akserne har samme koordinater, da disse akser bevæger sig parallelt med hinanden, hvorimod der ved forholdet

mellem koordinaterne på (x,x’) -akserne skal fratrækkes den hastighed v*t som er

koordinatsystemernes indbyrdes hastighed. Til sidst noteres det, at tiden er ens i de to koordinatsystemer, da vi i den klassiske fysik arbejder med tiden som en absolut størrelse ”den absolutte tid”.

Ved at differentiere de foregående udtryk for forholdet mellem begivenhedens koordinater i de to systemer ved tiden t er det muligt at få Galilei-transformationens hastighedstransformationer: dx dx dvt '

= − ⇔ = − v v v '_{xx}

dt dt dt '

(1.2) dz dz '

= ⇔ = vv '_{zz}

dt dt '

Det bemærkes igen, at ligesom ved positionen er hastighederne i de to systemer lige store på nær hastigheden i de to x-akser, som naturligvis afhænger af den fælles hastighed mellem systemerne

v. Det bemærkes også til senere brug, at da hastighederne er parallelle, kan disse adderes ved simple addition. (Dette bruges senere i opgaven.)

Ved igen at differentiere det foregående udtryk, her hastighedstranformationerne, fås nu Galilei-transformationens regler for acceleration:

(1.3) dy dy '

= ⇔ = vv '_{yy}

dt dt '

aa '_{xx} =
aa '_{yy} =
aa '_{zz} =

Side 6

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 6 af 41

Det ses, at accelerationen er ens i begge initialsystemer, accelerationen er derfor invariant og forbliver uændret overfor Galilei-transformationen.

Det ses af det forestående, at en partikel, som bevæger sig i en retlinet bevægelse i eet inertialsystem, vil bevæge sig med den samme retlinede bevægelse i et andet inertialsystem. Dog ses det også, at dette kun kan gælde i inertialsystemer, der bevæger sig parallelt med systemet S.

Alle punkter i et andet inertialsystem, må derfor bevæge sig med samme hastighed i forhold til S, for at systemet kan være stift uden ændringer. Man kan derfor tale om en gruppe af referencesystemer, som alle bevæger sig i samme retlinede bevægelse. Denne retlinede bevægelse må imidlertid være retlinet i forhold til et forudbestemt inertialsystem. Herfra fås tanken om det absolutte rum.

Da man ved Galileitransformationen betragter accelerationen som invariant kan man, vha. blot to aksiomer betragte Newtons love som gældende i alle inertialsystemer. Det første aksiom er en

betragtning af massens invarians dvs. m=m’ Det andet aksiom må være, at størrelsen på en kraft i
eet inertialsystem er lig kraftens størrrelse i et andet inertialsystem, dvs. 'FF=. Hvis disse

aksiomer accepteres, må Newtons tre love gælde i alle inertialsystemer. Denne resulterende egenskab inertialsystemerne imellem kaldes Det Newtonske Relavitetsprincip, eller Den klassiske mekaniks relativitetsprincip. Det vil sige:

Det er ikke muligt på grundlag af mekaniske fænomener at skelne mellem inertialsystemer eller at udpege et særligt udmærket inertialsystem. [4]

Opgøret med den klassiske mekanik

Æterteorien:

4

Citat fra Dam 2007 s5

Side 7

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 7 af 41

Det absolutte rum er tidligere nævnt som et særligt ”overordnet” inertialsystem. Heri regnedes æteren som udbredelsesmedium. I 1644 havde Descartes en teori om, at et rum uden masse ikke kan eksistere. Derfor ”fyldte” han det tomme rum med æter. Med æteren var det nu muligt at forklare vekselvirkninger, magnetismen og gravitationen, som før var uforklarlige. Æteren fik umiddelbart også en anden rolle, som udbredelsesmedium for lyset. Denne teori om lysæteren som udbredelsesmedium for lysets svingninger blev senere hovedhjørnesten i Maxwell’s elektromagnetiske teorier. Maxwells beskrev lyset som en elektromagnetisk bølge , og ved hjælp af sine ligninger var det muligt for ham at bestemme disse bølgers konstante hastighed c. Denne hastighed lå meget tæt på tidligere målinger af lysets hastighed, og man antog derfor hans teorier.

Den konstante hastighed c, blev derfor lysets hastighed i forhold til det absolutte rum (lysæteren.)

Michelson-Morley eksperimentet^{567}

I slutningen af 1800-tallet var lysæteren stadig et højst omdiskuteret emne blandt førende fysikere. Maxwells teorier havde vundet indpas blandt de fleste fysikere, men en egentlig eksperimentel undersøgelse af teorien om lysæterens rigtighed fandtes ikke. Dette forsøgte Michelson og Morley i 1887 at råde bod på vha. det berømte Michelson-Morley eksperiment.

Michelson og Morley ville bevise ætereren ved hjælp af en simpel betragtning:

Æteren anses for at være det absolutte

inertialsystem/rum. Man kender ved hjælp af

astronomien til jordens bevægelse rundt om solen.

Da jorden bevæger sig, må den umiddelbart bevæge sig igennem den stillestående æter, og må dermed bevæge sig i forhold til æteren. Vi må derfor opleve en ”ætervind.” Da lyset ifølge den på daværende tidspunkt gældende teori har en konstant hastighed c i æteren, må man ved hjælp af galilei-transformationens hastighedsaddition kunne forvente, at lyset vil ændre hastighed (i forhold til jorden) ,alt efter hvor jorden befinder sig i sin bane i forhold til æteren.

5

Inspiration af Hansen s18

6

http://en.wikipedia.org/wiki/Michelson–Morley_experiment

7

Inspiration Dam 2007 s8-11

Side 8

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 8 af 41

Michelson havde allerede i 1880 bestemt lysets hastighed, så i samarbejde med Morley forsøgte han at finde denne ændring af lysets hastighed. For ved hjælp af denne ændring at kunne bekræfte æterens eksistens. Da denne ændring i lysets hastighed formentlig var meget lille,

(jorden drejer om solen med 30 km/s,) var de nødt til at gøre brug af et meget følsomt

interferometer.

Interferometeret:

8

Et interferometer består af en monokromatisk (Lys med monoton bølgelængde) lyskilde Z .

Lysstrålen rammer S som består, af forskellige spejle eller prismer, som deler lystrålen i to. I F som også består af prismer eller spejle samles lysstrålen igen, hvorefter den rammer kikkertens okkular, og derefter projicerer et interferensmønster op på væggen. Mønstrene i dette interferensmønster skal ved ændring af en af de to lysstråler l1 eller l2’shastighed ændre beliggenhed, og hvis dette sker, kan man tolke det som en eftervisning af æterteorien. I det følgende vil jeg beskrive eksperimentet nærmere:

Eksperimentet:

I Michelson-Morley interferometret bliver en lysstråle sendt ind imod spejlet S. Spejlet S er halvforsølvet og lader en lysstråle passere igennem spejlet til S1. Samtidig sender S en lysstråle i en vinkel på 45° til spejlet S2. Disse lysstråler l1 og l2 sendes af de respektive spejle tilbage til

S, hvorfra de bliver samlet og sendt ind i kikkerten, som danner et interferensmønster på væggen.

Vi antager derefter at vi har opført opstillingen således at strækningen mellem S og S1 (Ss1) er parallel med jordens hastighed gennem æteren. Ved denne strækning kan vi derfor addere lysets konstante hastighed c

med jorden bevægelse gennem æteren v dvs. hastigheden i Ss1 er (c+v), når lyset bevæger sig den

modsatte retning vil vi i stedet subtrahere hastigheden v dvs. hastigheden i s1S er (c-v). Dermed må den tid det tager lysstrålen at bevæge sig stykket L1 være givet ved:

8

Figur Dam s9

L2

L1

Side 9

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 9 af 41

( ) ( )

L L L c v L c v L c L v L c L v L c ( ) ( ) 2 + − + −
 1

T_{1} = + = + = + = (1.4)

2 2 2 2 2 2

c v c v c v c v c v c v c v c v c v − + − + + − − − − ( ) ( )

Dette divideres med c^{2}:

(1.5) −− 1

Hvis interferometeret havde været i hvile i forhold til vores æter initialsystem, ville tiden i stedet

have været^{2L_{1}}_{c} men det ses at strålen imidlertid kan forventes at være forsinket, da faktoren

v^{2}

1 −
    2

1 c er mindre end 1:

Lysets hastighed ved strækningen Ss

2 kan findes vha. Pythagoras sætning idet der er tale om en retvinklet trekant, hvor c er hypotenusen da denne udbreder sig i alle

                                          22
retninger. Dermed fås at hastigheden må være cv−

.

Dermed må tiden det tager at bevæge sig strækningen L være givet ved:

2

(1.6)

Der forkortes nu med c^{2}

(1.7)

(2 ) / 2 2 L c c L c L^{2} 11

1 1 1

T_{1} = = ⋅ = ⋅

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

( ) / c v c c c − c v v

c c c

2L_{2}
T_{2} =
cv^{22} −

(2 ) / 2 2 L c L L^{2} 11

2 2 2

T_{2} = = ⋅ = ⋅

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

( ) / c v c c c v v −
−− 1

c c c c

Side 10

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 10 af 41

Også her gælder det at hvis vi antager at interferometeret er i hvile i forhold til æterens

                                                                   1
                             2L
                               2
inertialsystem vil tiden have været . Dog forsinkes lyset nu med en faktor som er
                              c

v^{2}

1 −
    2

c

mindre end^{1}_{v^{2}}. Derfor vil lyset nå hurtigere frem til S ved L2 end den vil ved L1.

1 −
    2

c

Dette vil danne et interferensmønster, men hvis vi imidlertid vælger at dreje vores opstilling 90° så de to Spejle bytter funktion burde vi se en ændring af placeringen af dette interferensmønster.

Dette sker ikke. Michelson og Morley lod i stedet forsøget vare et år hvormed jordens rotation om solen, selv sørgede for en drejning. De så aldrig denne ændring af interferensmønsteret og de kunne altså ikke påvise en ætervind.

Man kan ud fra dette forsøg derfor konkludere at lysets hastighed er invariant og uden hensyntagen til en ætervind. Man kan yderligere drage konklusionen at æteren ikke findes, og at mange af den klassiske fysiks teorier derfor er utilstrækkelige. Man havde dog ikke i sinde at droppe æterteorien, og en egentlig afskaffelse af denne kom da også først da Einstein udgav sit

specielle relativitetsprincip i 1905 som erstatning for det klassiske/newtonske relativitetsprincip.

Det specielle relativitetsprincip:

I 1905 udgav Albert Einstein artiklen ”Zur Elektrodynamik bewegter Koerper” i bladet Annalen der Physik [9] Denne artikel reetablerer sammenhængen mellem Maxwells ligning for elektricitet og magnetisme, med mekanikkens love, ved at etablere nogle fundamentale ændringer af mekanikken, når den nærmer sig lysets hastighed. Einstein kommer i artiklen med følgende postulater:

                                                                10
Alle inertialsystemer er ligeværdige for udførelsen af alle fysiske eksperimenter.

Med dette postulat afliver Einstein dermed æterteorien, da alle inertialsystemer nu er ligeværdige,

og der derfor ikke er brug for et absolut rum/ overordnet inertialsystem i form af æteren.

Postulatets anden del ”ligeværdighed af alle fysiske eksperimenter,” er Einsteins reetablering af

9

Bodanis, David E=mc^{2} s16

10

Dam 2007 s12

Side 11

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 11 af 41

Maxwells klassiske elektrodynamik. Dette postulat må derfor automatisk medføre endnu et postulat:

I det tomme rum udbreder lyset sig retlinet med hastigheden c i enhver retning og i

                  11
ethvert inertialsystem.

Disse postulater kunne imidlertid ikke konsolideres med den klassiske mekaniks Galilei-transformation, da en konstant lyshastighed er i strid med den klassiske hastighedstransformation

(1.2). Einstein var fandt dog en løsning på dette problem ved den såkaldte Lorentz-transformation.

I det følgende afsnit vil Lorentz-transformationen blive udledt, men først vil jeg præciserer de grundlæggende begreber som Einsteins nye postulater og relativitetsprincip dækker over:

Grundlæggende begreber ved Einsteins postulat:

Samtidighed:

Vi har tidligere ved Galilei-transformationen defineret en absolut tid. Når en begivenhed blev transformeret fra et inertialsystem til et andet bevaredes tiden. Ifølge Einsteins relativitetsprincip er dette dog ikke altid tilfældet. Einstein havde i 1902 stiftet bekendskab med den franske fysiker og matematiker Henri Poincares tanker i bogen ”La science et l’hypothèse” [12]. Poincare anså ikke tiden som værende absolut, og det har uden tvivl haft indflydelse på Einsteins betragtninger da han i 1905 udgav sin teori.

Ved at betragte Einsteins andet postulat kan man umiddelbart skabe følgende definition af samtidighed:

To begivenheder der foregår i punkterne A og B, vil være samtidige, såfremt et lyssignal udsendt fra A, når begivenheden her finder sted, og et lyssignal udsendt fra B, når begivenheden finder sted der, vil nå frem til en iagttager i samme afstand fra A og B til samme tidspunkt [13].

Denne definition medfører at det er iagttagernes indbyrdes beliggenhed i forhold til begivenhederne, der bestemmer om iagttagerne oplever en samtidig begivenhed. Dette formulerede Newton med følgende tankeeksperiment:

Vi har et scenarie hvor et tog kører med en retlinet konstant hastighed. Et lyn slår ned i hver ende af toget og efterlader derefter både mærker på tog og skinner. En iagttager som opholder sig i midten af toget

11

Dam 2007 s12

12

Poincare,Henri La science et l’hypothèse,

13

Dam 2004 s. 18 midt

Side 12

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 12 af 41 konkluderer at lynene ikke var samtidige dette gøres på baggrund af følgende antagelser.

Personen befinder sig midt imellem mærkerne på toget. Personen så det forreste lyn først, og da lysets hastighed er konstant må det første lyn derfor have ramt toget først. En person som står på jorden midt mellem nedslagspunkterne ser imidlertid lynene slå ned på samme tid.

Men hvem har ret? Ud fra dette tankeeksperiment er det muligt at konkludere at samtidighed ikke er et absolut begreb, samtidigheden afhænger udelukkende af iagttagernes inertialsystemer. Når samtiden ikke er absolut, men alligevel i særtilfælde kan forekomme, må en relativ samtidighed gælde.

Længde:

I det foregående har vi set hvordan samtidigheden ved overgangen fra den klassiske mekaniks princip, til Einstein relative princip, er gået fra at være absolut til at være relativ. Det samme gælder for længden. Dette kan vises ved hjælp af følgende definition af længden samt det foregående tankeeksperiment med lynene og toget:

Ved længden af en stang, der bevæger sig i sin længderetning parallelt med en målestok, forstår vi afstanden mellem to mærker afsat på målestokken ud for stangens endepunkter til samme

tidspunkt^{14}

Hvis de to iagttagere af lynnedslaget i toget blev bedt om at vurdere den længde der, er mellem lynenes nedslag, ville de give følgende svar. Iagttageren i toget ville vurdere afstanden til at være mindre end togets længde, da nedslaget forrest i toget blev mærket først. Samtidig vil personen på jorden som har mærket og set nedslagene samtidigt sige at længden mellem dem er lig toget længde. Der er altså forskel på hvordan man opfatter længder. Vi kan ud fra dette konkludere at den største mulige længde, er længden som bliver målt af en iagttager i hvile, denne kaldes hvilelængden. Samtidig har vi vist at længden også er en relativ størrelse.

Da de grundlæggende begreber nu er på plads, vil jeg udlede Lorentz-transformationen:

Lorentz-transformationen:

Fitzgerald-Lorentz transformationen blev egentlig skabt på grundlag af Michelson-Morley eksperimentets manglende succes. Denne transformation ville kunne forsvare ætervindens eksistens. Ved at forklare de manglende resultater i Michelson-Morleys eksperiment. Einstein vile imdertid senere bruge denne transformation sammen med sine postulater til at afkræfte ætervindens eksistens.

14

Dam 2004 s.18

Side 13

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 13 af 41

yy ' =
zz ' =

Udledning:

På samme måde som ved Galilei-transformationen betragtes to inertialsystemer S og S’, med koordinaterne S(x,y,z,t) og S’(x’,y’,z’,t’) disse bevæger sig i forhold til hinanden, som beskrevet ved Galilei-transformationen:

Ved Lorentz-transformation finder der imidertid en anden translation af koordinater fra et system til et andet, end den der er beskrevet i Galilei-transformationen. Den nye sammenhæng er som følger:

x f x y z t ' ( , , , ) =
     x

y f x y z t ' ( , , , ) =
      y

z f x y z t ' ( , , , ) =
     z

t f x y z t ' ( , , , ) =
     t

(2.1)

Hvor de fire funktioner f f f,, og f_{t} er fire funktioner som både afhænger af hastigheden i det

x y z oprindelige inertialsystem, samt den relative hastighed v mellem de to inertialsystemer.

Da de to akser/dimensioner står vinkelret på bevægelsesretningen vil disse i deres trivielle form

opfører sig på samme måde som ved Galilei-transformationen dvs:

(2.2)

Vi indser ved dette at de to funktioner f_{x} og f_{t} må være uafhængige af koordinater i y- og z-

akserne, da dette ellers vil bryde rummets homogenitet(initialsystemerne skal være parallelle).

Som eksempel kan man betragte to begivenheder der er samtidige i systemet S og har koordinaterne (x,0,0,t) og (x,y,z,t). Vi ser at de har samme x-værdi de må derfor også være

samtidige i inertialsystemet S’ (t=t’). Jævnfør dette må der derfor gælde at:

Side 14

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 14 af 41

t f x y z t= ' ( , , , ) og t f x t= ' ( , 0, 0, ) (2.3)
    t               t

Da vi i (3.2) beskrev funktionernes uafhængighed af z og y kan disse ses bort fra og de to funktioner i (3.3) bliver derfor ens:

t f x t= ' ( , )_{t} (2.4)

Det samme må gælder for funktionen f_{x} som derfor omskrives til:

x f x t= ' ( , )_{x} (2.5)

Da disse to funktioner er lineære kan de imidlertid omskrives, så f_{x} og f_{t} i stedet benævnes med

konstanterne a, b,d og e som kan afhænge af den relative hastighed v imellem de to inertialsystemer S og S’ , men altid vil være uafhængig af x og t Dvs:

x ax bt ' =+
t dx et ' =+

(2.6)

Det defineres at begyndelsespunkterne på x og x’ aksen er ens til tiden t=t’=0 . Vi fastlægger et
begyndelses punkt i S’ som har en x-værdi som er x=0. dette begyndelsespunkt har hastigheden v i
forhold til S. Derfor er x=vt i S. Ved at indsætte disse værdier i (3.6) kan hastigheden v bestemmes:

x ax bt a vt bt bt avt b av v a ' 0 ( ) = + ⇔ = + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = − ⇔ = − (2.7)

bb av

Vi fastlægger nu et begyndelsespunkt i inertialsystemet S hvor x=0. Da de to inertialsystemer

bevæger sig i forhold til hinanden gælder der at S’ har hastigheden v i forhold til S. Derfor må x

transformeret til S’ være x’=-vt’ Da x er sat til 0 indsættes dette i (3.6) og følgende fås:

x a bt bt '0 = ⋅ + =
t d et et '0 = ⋅ + =

(2.8)

Nu indsætter vi –vt i stedet for x’ i den første del af (3.8) samtidig med at t’ bliver indsat som et:

x bt vt bt v et bt ve e ' ' ( ) = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = = − (2.9)

b v

Af (3.7) og (3.9) ses det at e og a er ens e bliver derfor fra nu skrevet med notationen a

Side 15

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 15 af 41

Bestemmelse af konstanterne^{15}:

Da det tidligere er vist at: −𝑏𝑡=𝑎𝑣𝑡⇔𝑏𝑡=−𝑎𝑣𝑡 kan x’ (da x’ = ax + bt) nu skrives:

' ( )x a x vt=− (2.10)

På samme måde kan t’ nu bestemmes (For at gøre det mere overskueligt senere erstattes dx med

−𝑎𝑔)^{16}:

( )

''t dx at t agx at a t gx= + ⇔ = − + = − (2.11)

Herved er det kun konstanterne 𝑔 og 𝑎 der skal bestemmes.

Hvis der forestilles en lysbølge, der bevæger sig langs x-aksen, fås x = ct og x’ = ct’, da

lyshastigheden er c i alle inertialsystemer (jf. 2. postulat s.16).

Hvis disse indsættes i ovenstående ligninger for x’ og t’ på følgende måde bestemmes 𝑔:

' ( ) ' ( )x a x vt ct a ct vt= − ⇔ = − (2.12)

' ( )t a t gct=− (2.13)

t’ isoleres i x’ og sættes lig med ovenstående t’:

    () −
t a t gct ' ( ) = = − (2.14)
       c

a ct vt

Herudfra bestemmes konstanten 𝑔: a ct vt () −

= − ⇔ − = − ⋅ a t gct a ct vt a t gct c ( ) ( ) ( ) (2.15)

c

15

Det følgende på baggrund af Nielsen 1996 s. 10

16

(Dam 2007 s. 26) – Ellers stadig på baggrund af Nielsen 1996

Side 16

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 16 af 41

Der forkortes med 𝑎 på begge sider og c ganges ind i parentesen:

                      2
()ct vt c t gct ct vt ct gc t− = − ⇔ − = − (2.16)

ct trækkes fra på begge sider og der forkortes med t:

− = − ⇔ − = vt gc t v gc^{22}

c^{2}

v

g =−

(2.17)

Herved er konstanten 𝑔 bestemt.

Hvis der nu forestilles en lysbølge, der bevæger sig langs y-aksen, vil y = ct = y’ (da y = y’).

x er derfor lig med 0, hvilket medfører at x’ og t’ jf. de ovenstående ligninger bliver:

' (0 )x a vt avt= − = − (2.18)

' ( 0)t a t g at= − = (2.19)

Under Michelson-Morley eksperimentet blev lysets lodrette hastighed bestemt ved trekantsberegning. Dette princip kan umiddelbart også bruges, til at bestemme sammenhængen mellem de strækninger lyset bevæger sig. Da lyset altid bevæger sig med hastigheden c, er den

strækning det tilbagelægger c·t, sammenhængen bliver da:

2 2 2 2

' ' 'x y c t+ = ⋅ (2.20)

Hvor x’ er strækningen af x’-aksen og y’ er strækningen på y’-aksen. Dette kan også ses på trekanten.

De ovenstående bestemmelser for x’, t’ og y’, sættes nu ind i ovenstående ligning (trekanten):

2 2 2 2

( ) ( ) ( )avt ct c at− + = ⋅ (2.21)

x' y' ct'

Side 17

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 17 af 41

Ved at regne på dette kan konstanten 𝑎 bestemmes. Først skriver vi den ud og der divideres med

t^{2}:

2 2 2

a v t c a t a v c c a⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ + = + (2.22)

Der forkortes med c^{2}:

𝑎^{2} ∙𝑣^{2} 𝑐^{2} 𝑐^{2} 𝑎^{2} ∙𝑣^{2} 𝑎^{2} ∙𝑣^{2}
𝑐^{2} 𝑐^{2} 𝑐^{2} 𝑐^{2} 𝑐^{2}

+ = ∙𝑎^{2} ⇔ +1=𝑎 ⇔1=𝑎 −

2 2

=𝑎^{2} (1−)

𝑣^{2}
𝑐^{2}

(2.23)

                     2
                    𝑣
Der divideres med (1− ) og tages kvadratroden af det:
                     2
                    𝑐

𝑎^{2} = = 𝑎 =

1 √ 1
(1−)

𝑣^{2}
𝑐^{2}

√^{2}
√
(1−)

𝑣^{2}
𝑐^{2}

𝑎=

1

√ (1−)

𝑣^{2}
𝑐^{2}

(2.24)

Herved er konstanten 𝑎 bestemt.

Lorentz-transformationen er nu udledt, da alle konstanterne er fundet, og lyder nu:

𝑥^{′} =𝑎 ( 𝑥−𝑣𝑡) =

( 𝑥−𝑣𝑡)

√ (1−)

𝑣^{2}
𝑐^{2}

(2.25)

𝑦^{′} =𝑦 (2.26)

𝑧^{′} =𝑧 (2.27)

Side 18

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 18 af 41

𝑡^{′} =𝑎 ( 𝑡−𝑔𝑥) =𝑎(=

(𝑡−   )
     2

𝑣𝑥 𝑐

√ (1−)

𝑣^{2}
𝑐^{2}

(2.28)

Disse kan også skrives for x, y, z og t, her vil x blot udskiftes med x’ osv., og en ændring af fortegn vil være nødvendig.Da hastigheden nu er – v. For y og z gør det naturligvis ingen forskel.

Det bemærkes, at ved meget små hastigheder (v << c) kan Lorentz-transformationen gå over i Galilei-transformation. Dette er grunden til, at den klassiske fysiks love stadig kan bruges i hverdagen, da de fleste hastigheder, vi oplever er langt under lysets.

Desuden kan det af Lorentz-transformationen ses, at hastigheden v aldrig kan blive større eller lig med c, da 𝑎-faktoren så bliver uendelig stor eller umulig at udregne. Hastigheden mellem to

                                          17
inertialsystemer må derfor altid være mindre end c.

Lorentz-transformationen på differens og differentialform:

Vi betragter to punkter P1 og P2 med koordinaterne (x1,y1,z1,t1) og (x2,y2,z2,t2) i inertialsystemet S. Og dermed er der også den følgende koordinatdifference punkterne imellem:

()x x xΔ = − og ()y y yΔ = − og ()z z zΔ = − og ()t t tΔ = − (3.1)
  21            21           21           21

Nu findes koordinatdifferencernes tilsvarende størrelser i inertialsystemet S’. Her gøres brug af den netop udledte Lorenzt-transformation for koordinater (3.25). Og i stedet for at bruge koordinaterne for (x,y,z,t) gøres der i stedet brug af differenserne (∆x,∆y,∆z,∆t). Først findes den transformerede koordinatdifferens ∆x’:

2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) (( ) ( ) x vt x vt x x v t t − − − − − () Δ − Δ x vt
Δ = − = = x ' (3.2)
1 1 1 1 − − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ v v v v c c c c

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17

Dam 2004

Side 19

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 19 af 41

Den transformerede koordinatdifferens til y,z og t findes nu på samme facon:

'yyΔ = Δ (3.3)

'zzΔ = Δ (3.4)

v x x ()_{21} −

vx vx                                           vx Δ
  21

() tt_{21} −−
c^{2}

( ) ( ) ( ) t t t − − Δ −
  21

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

Δ = − = = t ' (3.5)
1 1 1 1 − − − −

c c c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ v v v v c c c c

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Det bemærkes at en udregning af differentialerne til koordinaterne udregnes på samme facon som de ovenstående ∆ erstattes blot med d jeg undlader derfor at medtage disse da transformationerne finder sted efter samme metode.

Det ses hermed at koordinatdifferencerne og differentialerne opfylder de samme transformationsligninger som punkterne.

Relativistisk Kinematik

Lorentz-transformationens hastighedstransformationer^{18}:

Ved Galilei-transformationen så vi hvordan man ved at differentiere udtrykkene for en given begivenheds position kunne finde hastigheden og dennes transformation. Det samme kan gøres under Lorentz-transformationen.

Hastighederne i inertialsystemet S kaldes følgende:

    dx      dy     dz
u =     u =    u  =   (4.1)
 x       y      z
    dt      dt      dt

Hastighederne i inertialsystemet S’

' ' '

     dx       dy       dz
u ' =    u ' =    u ' =   (4.2)
  x        y        z
     dt       dt       dt

' ' '

Nu findes hastighedsudtrykkene transformeret. u x y z

’, u

’ og u

’. Her indsættes de i (5.2-5.5) fundne transformationer for differens, hvor vi selvfølgelig udskifter ∆ med d. Da der her er tale om differentialer. Vi starter med u ’ : x

18

Linhard, Winther side 41

Side 20

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 20 af 41

v^{2}
⎛⎞ v^{2}
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟^{2}

1 −
    2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞^{2}

−          1 −
   2

dt c dt c^{2}
c^{2}
v^{2} ⎜⎟

dt − ⋅ −  ⎜⎟ 1
      22

1 +                  ⎝⎠
    2

( dx vdt −

dx vdt −− ⎜⎟ 1

          c
      ⎝⎠
u ' = = = = =                                                     (4.3)
  x
     (  −⋅

dx vdt − uv_{x} −

x dx vdt c dt dt dt vdx dt vdx u v vdx vdx v dt − cc c

⎛⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

−

⎜⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎛⎞ ⎝⎠

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

                      𝑑𝑥
Der gøres her brug af at u = :
                      𝑑𝑡

x

Udregningen laves også med u y:

     22
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ v dy v

dy ⋅ − ⋅ − 11
          22

c^{2}

2 2 2

⎛⎞ v^{2}
⎛⎞ v^{2}

1 −
    2

⎝⎠ c^{2}

u '_{y} = = = =

() dt −

dt u u − − ⋅ − ⋅ 11

⎜⎟ 1 −

c dt c u_{y}

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ yy dy vdx vdx v v c c c c

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜⎟

⎝⎠

(4.4)

                   𝑑𝑦
Her gøres brug af at u =
                   𝑑𝑡

y

Davi ved at koordinaterne y og z transformeres på samme facon, må der også gælde at deres hastighedstransformation er ens. Derfor finder jeg det unødvendigt at udregne u og denne z noteres derfor blot.

(4.5)

Af Galilei trrransformationens hastighedstransformation havde vi at u’ =u. Hvis vi ser på (6.5) ser

z z vi at dette næsten vil være tilfældet når hastigheden v har en tilpas lav værdi. Der gælder derfor at man ved hastigheder langt under lysets sagtens kan bruge Galilei-transformationen. Den Newtonske mekanik kan derfor bruges som en approksimation i de tilfælde hvor hastigheden v er forholdsvis lav. En grænse for dette er dog ikke klart defineret.

⎛⎞ v^{2}
c^{2}
⎛⎞ v^{2}
c^{2}

u '_{z} =
1 −⋅ u_{y}

1 −

u_{z}

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

Side 21

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 21 af 41

Særtilfælde med paralle hastigheder:

I særtilfælde af Lorentztransformationen, hvor en bevægelse af fx en partikel i inertialsystemet S er parallel med x-aksen og, den dermed også er parallel med x’-aksen i det transformerede inertialsystem S’. Der gælder da følgende:

uu=    og uu= '' (4.6)
    x

x

Dette skyldes naturligvis at der kun forekommer en bevægelse i x-aksernes retning. Derfor kan hastighedstranformationen vha. (6.3) blot skrives som:

c^{2} c^{2}

u ' = og u =
1 − 1 +

uv − uv ' +

uv ⋅ uv ' ⋅

(4.7)

Det er nu muligt at kontrollere, om vores transformation rent faktisk opfylder Einsteins

forudsætning om lysets konstante hastighed c. Dette ved at sætte u’=c ind i (6.7):

1 ( ) 1 ( )_{2} ++

c v c v

      ++
uc = = =             (4.8)
        ⋅

c v v cc

Vi har dermed vist at Einsteins postulater ved Lorentz-transformationene er sande.

Længdeforkortning:

Jeg har tidligere redegjort for de grundlæggende begreber længde og samtidighed, jeg vil derfor ikke gentage disse betragtninger, men i stedet gå direkte til en udledning af længdeforkortningen vha. Lorentz-transformationen:

Længden beskrives som differensen mellem to punkter A, og B, som bliver afsat på et retlinet legeme, på præcis det samme tidspunkt Dvs, at længden kan beskrives som følgende:

2 2 2 2

2 2 2 2

( ' ') ( ' ') ' ' x vt x vt x x + + − Δ x '

1 1 1 1 − − − −

B A B A

Δ = − = − = = x x x_{BA} (5.1)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ v v v v c c c c

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Vi definerer her at ∆x er legemets hvilelængde også kaldet (L

0

) set i inertialsystemet S, og at ∆x’ er legemets vandrelængde (L) set i legemet S’. Disse indsættes på deres respektive pladser og v længdeforkortningen kan dermed opskrives på følgende måde:

Side 22

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 22 af 41

⎛⎞ v^{2}

       L
        v
L L L = ⇔ = ⋅ −        1     (5.2)
 00

c^{2}
v^{2} ⎝⎠

(1 ) − v ⎜⎟ c

                                                        2
                                                   ⎛⎞  v
Det ses derfor at den faktor som et legeme forkortes med er 1 − og v er derfor den variabel,
                                                   ⎜⎟
                                                        2
                                                       c

⎝⎠ der bestemmer forkortningens omfang.

Tidsforlængelsen:

Tidsforlængelsen kan udledes ud fra Lorentz-transformationen på stort ses samme måde som længdeforkortningen, men jeg vil i stedet udlede den via et tankeeksperiment Det såkaldte Feynmann-ur

Feynman-uret:

Et Feynmann-ur er et lysur, som er opbygget af to parallelle spejle hvor der er en lyspuls imellem.

Tiden er defineret som den tid det tager lysstrålen at komme fra et spejl og tilbage til (dette igen Dette registreres af en fotocelle).

Figur 8: Feynmam-uret i hvile og bevægelse^{19}

Hvis et Feymann-ur U anbringes parallellet med y-aksen i et inertialsystem S og et fuldstændig identisk ur U’ anbringes parallelt med y-aksen i et andet inertialsystem S’. To iagttagere, som befinder sig i hvert sit koordinatsystem, vil dermed være enige om afstanden mellem de to spejle.

Hvis vi antager at de to spejle passerer hinanden netop når A udsender et lysglimt. Idet fotocellen registrerer lysets tilbagekomst til A vil der gælde den situation, som se på figuren. I mens dette er foregået har iagttageren i S haft et lyssignal løbende tilbage i sit ur. Da lyshastigheden er

uafhængig af retning må de to ture have varet lige lang tid T0. der gælder så at 2L=2cT0.

Iagttageren i S’ kan på samme måde beskrive hvad der er sket i hans ur. Men hvis iagttageren i S

19

Figur: Dam 2004 s. 46

Side 23

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 23 af 41 skal beskrive, hvad der er sket i dette, må han tage hensyn til urets relative bevægelse. Han får derfor ved analyse af figuren følgende relation. Som kan udledes til tidsforlængelsen:

2 2 2 2

c T v T c T c T c T v T ⋅ = ⋅ + ⇔ = ⋅ − ⋅_{00}

2 2 2

2 2 2

⇔ = − = ⋅ − T T T         1
    0

cc^{22}
TT_{00}^{2}
⇔ = ⇔ = = ⋅_{2} T T T^{2}

0

v^{2}

1 −
    2

1 −
    2

v T v ⋅ ⎛⎞

⎛⎞ v c c γ

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎝⎠

(5.3)

Dvs. at tiden forlænges proportionalt med Lorentzfaktoren. Da Lorentzfaktoren sjældent bliver meget større end 1 i vores dagligdag oplever vi derfor ikke nogen tidsforlængelse.

For at vise at tidsforlængelsen, længdeforkortelsen og dermed også den specielle relativitetsteori, gælder i praksis vil jeg nu beskrive et forsøg hvori levetiden for en myon bestemmes.

Myonens levetid

Myonen er en negativt ladet elementarpartikel. Den har en masse, som er 207 gange så stor som elektronens og den er derfor radioaktivt ustabil med en hvilelevetid på 2,1970 µsekunder.

Myonerne bliver dannet i toppen af jordens atmosfære hvor kosmisk stråling i form af højenergi-ladede partikler (98% protoner og andre tungere partikler og 2% elektroner.) Når disse protoner kolliderer med luftmolekyler i atmosfæren skabes en regn af forskellige partikler både protoner, neutroner, pioner(ladede og neutrale) kaoner, fotoner elektroner og positroner. Disse nyligt dannede partikler vil derefter igen gennemgå en nuklear proces hvor de enten igen vil reagerer med luftmolekyler ved den stærke kernekraft, eller vil henfalde spontant ved den svage kernekraft. Af speciel interesse for os er de ladede pioner, da disse ved spontant henfald kan danne leptonerne myon, antimyon , myonneutrino og antimyonneutrino. Dette henfald af pioner til myoner sker i en relativt stor højde ca. 10 km over havoverfladen. Myonen bliver dannet med en meget høj energi, en så høj kinetisk energi at den har en hastighed tæt på lysets. [20]

20

T.E Cohan and J. Ye Muon physics

Side 24

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 24 af 41

Myonen vil derfor hvis dens levetid er ens i bevægelse og i hvile kunne bevæge sig ca:

       8
sm ⋅ ⋅ =

m s µ inden den henfalder. Op imod en fjerdel af den kosmiske stråling, der rammer jorden og får Geiger-tælleren til at give et udsving er forårsaget af Myoner, men hvordan kan dette være tilfældet, hvis Myonen kun kan bevæge sig ca. 660m? Dette skyldes Myonens høje hastighed. Myonen har en så stor hastighed at den begynder at opføre sig relativistisk.

Dermed skal man huske at Myonens levetid, set fra en iagttager på jorden, vil blive forlænget som følge af tidsforlængelsen. Hvis vi forudsætter at en Myon bevæger sig med en hastighed på 99,9 % af lysets hastighed, dvs. med en Lorentzfaktor på ca. 20, vil myonens levetid blive 20 gange så lang; dvs. 44 µs. Derfor vil en Myonen nu kunne nå at tilbagelægge en langt større afstand på:

          m
         8
00 sm ⋅ ⋅ =         . Dvs. at den derfor har rig mulighed til at nå hele vejen ned gennem
          s

µ jordens atmosfære og den er derfor mulig at observere.

Hvis myonen i stedet betragtes af en iagttager der er i hvile i forhold myonen (fx rider på ryggen af myonen,) må den dermed stadig have sin oprindelige hvilelevetid på 2.2 µs. Dvs. for at myonen nu kan rejse gennem atmosfæren er det ikke længere tidens gang der ændres, men stedet er det rummets udstrækning. Der skal tages højde for længdeforkortningen.

⎛⎞ (99.9% ) c⋅^{2}
c^{2}

L km m = ⋅ − 10 1 450
 v

⎜⎟

⎝⎠

Dvs. da rejselængden for myonen er blevet væsentligt forkortet kan den sagtens nå ned til jordoverfladen så vi kan måle på den.

Som sagt bliver myonen dannet i jordens atmosfære, og det er nemt at overbevise sig om at dette er tilfældet. For hvis myon fx skulle dannes i solen skulle den bevæge sig ca. 150 millioner

                                                        9
                                                  150 10 ⋅ m
kilometer. Dvs. at dens tidsforlængede levetid skulle være på = 500 s . Dette ville kræve
                                                    ⋅

3 10 ^ 8

en hastighed på 99,999 % af lysets hastighed [21], hvilket nærmest er en umulighed for en partikel med så høj en masse.

Derfor er myonen nødt til at blive dannet i jordens atmosfære ved sammenstød mellem andre partikler. Hvis fx en proton rammer en atomkerne i jordens atmosfære dannes der en byge af nye partikler og hvis protonen har en tilpas høj energi kan der dannes tusindvis af sekundære partikler.

Blandt disse sekundære partikler befinder myonen sig. Desuden befinder der sig også partikler som pioner og positroner.

21 fås ved at indsætte hvilelevetiden og den forlængede levetid i formlen for tidsforlængelse og dernæst isolere v

Side 25

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 25 af 41

         22
Forsøget:

En egentlig forsøgsudførelse medtages ikke, da vi ikke selv skulle opstille apparaturet, dog medtages teorien bag det apparatur vi brugte:

Scintilatoren og PMT (Photo Multiplier Tube):

En Scintillator består af et scintillerende materiale. Mange materialer kan her anvendes, men fælles for dem alle er, at når en ladet partikel (her en Myon) passerer igennem dem, vil de afgive lys i form af en foton. Denne foton vil derefter passere igennem scintillatoren. Hvor den på et tidspunkt vil nå foto-multiplikatoren. I fotomultiplikatoren, vil fotonen vha. den fotoelektriske effekt blive omdannet til en elektron. Denne elektron accelereres nu igennem et spændingsfald, og rammer derefter en plade, hvilket medfører at den afgiver mindst to sekundære elektroner.

Denne proces vil finde sted ca. 10-12 gange. Denne ”sneboldseffekt” skaber en så stor mængde elektroner at en elektrisk impuls bliver målbar.

Myonen rammer altså scintillatoren, dette kan måles vha. de elektriske impulser. Myon bremses i scintillatoren, og den bringes derfor i hviletilstand. Når Myonens ”liv” er forbi henfalder den og en ny impuls måles. Det burde derfor være muligt at bestemme Myonens levetid i hvile ved hjælp af afstanden mellem disse to impulser.

For at forstå hvordan denne levetid bliver bestemt er man nødt til at forstå hvordan elektronikken tæller impulserne. For det første bemærkes det at tælleren har en nøjagtighed på 50nsek. Dvs. at dette er det mindste tidsinterval den kan registrere. ”Read Counteren” som holder styr på hvor lang tid der er gået operere med 8-bit. Det vil sige at den kan registrere vores tidsinterval på

       8                                                  8
50nsek 2 gange. Det maksimale tidsinterval den kan aflæse er derfor 2 50 12,8nsek sek ⋅= . Man

µ kan i tælleren beskrive følgende tre scenarier [23].

22

Forsøgsvejledning udleveret på Århus universitet

23

Baseret på notater taget på Århus Universitet

Side 26

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 26 af 41

1. En Myon rammer scintillatoren og en impuls bliver målt. Myonen henfalder og en ny impuls måles. Denne måling accepteres af tælleren.

2. En Myon rammer scintillatoren og afgiver en impuls. Den bremses imidlertid ikke. Dette medfører at tiden mellem to impulser overstiger de 12,8µsek. Der bliver derfor et

”overflow” da tælleren ikke kan tælle højere, derfor bortkaster den denne måling.

3. En Myon rammer scintillatoren og en impuls afgives. Et øjeblik efter rammer en anden Myon scintillatoren og en impuls afgives. Dette registrerer Myonen som et henfald af den første Myon. Men imens henfalder den første Myon, og vi har derfor tre målinger over en meget kort periode. Dette medfører igen et overflow og målingen bortkastes.

En accepteret måling som den i scenarie nr.1 fås ca. en gang i minuttet.

Databehandling:

Tælleren overfører sine data til computeren og man får derved at vide antallet af henfald ved en given tid.

Disse data skal behandles. Det eksponentielle partikelhenfald, som myonen er udsat for i scintillatoren har følgende forskrift:

− t /
N t N e_{0} () =

τ

Hvor N(t) vores afhængige variabel er antallet af henfald pr. tid. N

0 er det antal partikler, der var i begyndelsen. –t er tiden, som er vores uafhængige variabel. τ er partiklernes middellevetid, Dvs. at det er denne, der gerne skulle være lig Myonens levetid i hvile, er tæt derpå.

Koordinaterne indsættes i Loggerpro og der ”fittes” efter den foregående forskrift. Både vores egen måling og en måling, der har kørt i 400 timer er medbragt:

400 timer

Side 27

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 27 af 41

Elevforsøg:

Det bemærkes at der i programmet optræder en anden notation dvs N(t)=y, N0=, τ=t1. Ved

elevforsøget fås en hvilelevtid på 2,80µsek, mens der i 400 timers forsøget fås en hvilelevetid på

2,18µsek. Dette er ganske naturligt da sandsynligheden for en præcis måling stiger jo længere man lader forsøget køre.

Side 28

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 28 af 41

Opgave:

I problemformuleringen har jeg fået denne opgave stillet.

Ved en pardannelse (dannelse af en elektron og en positron) får partiklerne

hastighederne 0,65*c og -0,65*c i forhold til deres massemidtpunkt.

Beregn deres indbyrdes hastighed efter Galilei-transformationen.

Beregn elektronernes hastighed i forhold til positronen ved relativistisk addition af hastigheder.

Vi går i det følgende ud fra at der er tale om to partikler, som bevæger sig parallelt med hinanden, i hver sin retning. Ved Galilei transformationen kan de to partiklers hastigheder umiddelbart findes ved simpel addition af hastigheder. Det huskes dog at der er tale om deres indbyrdes hastighed, og ikke deres hastighed i forhold til massemidtpunktet, derfor fjernes det negative foretegn og vi får følgende:

Side 29

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 29 af 41

0, 65 0, 65 1,3u c c c= + =

Dette viser fint Galilei transformationens mangelfuldhed, da de to partikler får en indbyrdes hastighed over lysets!

Nu findes de to partiklers indbyrdes hastighed, ved relativistisk hastighedsaddition. Her bruges den tidligere fundne formel for hastighedstransformation ved parallelle hastigheder. Den ene hastighed indsættes her på v’s plads det er deres indbyrdes hastighed, som skal findes, og vi husker igen at fjerne det negative fortegn:

11 ++
     22

u v c c ' 0, 65 0, 65 ++

u u c = ⇒ = = 0,9139

uv ' 0, 65 0, 65 ⋅⋅ cc

Vi ser her at hastigheden ligger under lysets og dette passer sammen med de gældende teorier.

Eksperimentel bestemmelse af lysets hastighed

eksperimentelle udvikling af bestemmelsen af lysets hastighed^{24}

Lysets hastighed er en størrelse, som i tidens løb har gennemgået en stor og fundamental ændring. I det syttende århundrede var der bred enighed om at lysets hastighed var infinit. Dette syntes mest plausibelt efter datidens betragtninger. Når et lyn slog ned kunne man se lysglimtet med det samme, hvorimod lydbølgen tog et vist antal sekunder om at nå øret, man konkluderede derfor at lyset ramte øjet øjeblikkeligt og derfor havde en infinit hastighed. Galilei accepterede imidlertid ikke denne opfattelse og han forsøgte derfor at bestemme lysets hastighed eksperimentelt. Galilei og en assistent placerede sig i ca. en mils afstand fra hinanden. Galilei havde en lanterne, som han lyste med, når assistenten så Galilei’s lys skulle han øjeblikkeligt tænde sin egen lanterne og Galilei ville derefter kunne måle tiden der gik imellem at de to lanterner blev tændt og han kunne ud fra dette tidsrum finde lysets hastighed. Det lykkedes selvfølgelig ikke Galilei at måle lysets hastighed da dette tidsrum var ca. 11 mikrosekunder, hvilket er meget kortere end den menneskelige reaktionstid. Hans måleusikkerhed forblev dermed så stor at det var umuligt at fastslå lysets hastighed som en finit størrelse.

Galilei’s forsøg var, som det kan ses på denne tabel blot den spæde start til en udforskning af lysets udbredelseshastighed. Denne skulle inden længde blive fastlagt med stor nøjagtighed. Det eksperiment, som vi laver er en videreudvikling af foucalt’s rotationsspejl eksperiment.

24

Physics, VOLUME 2, R. Resnick, D. Halliday, K. S. Krane, Fourth Edition, John Wiley & Sons, Inc. 1992

Side 30

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 30 af 41

25

Apparatur og Opstilling^{2627}:

Apparaturet, er produceret af Pasco Scientific ® og er en moderne udgave af Foucault’s forsøg og indeholder:

- 0,5mW He-Ne Laser

- Mikroskop med mikrometerskrue

- Beamsplitter

- To linser

- Et polarisationsfilter

- Et fast hulspejl

- Roterende spejl med motor

- Strømforsyning til rotationsspejl med omdrejningstæller

25 25

Physics, VOLUME 2, R. Resnick, D. Halliday, K. S. Krane, Fourth Edition, John Wiley & Sons, Inc. 1992

26

Pasco Guide

27

Guide udleveret af skolen

Side 31

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 31 af 41

- målebånd

Den optiske bænk: Hulspejlet:

Det forudsættes at den optiske bænk monteret korrekt med laseren, beamsplitteren linser og rotationsspejl korrekt monteret og justeret således at strålegangen fra laseren bliver sendt tilbage mod sig selv

Fremgangsmåde:

Dette forsøg blev heldigvis udført i Gymnasiets, meget affolkede kælder. Dette finmekaniske udstyr er nemlig meget sart og en enkelt rystelse vil kunne ødelægge en opstilling. Alle de optiske redskaber blev stillet op som vist på forsøgsopstillingen. Det faste spejl blev sat i afstande ,af cirka

12-14 meter fra rotationsspejlet. Dette gjorde vi fordi det faste hulspejl har en brænviddet på ca.

13,5 meter, dette ville altså derfor give de bedste resultater. Vi foretog fem målinger, hvor vi ved hver måling ændrede det faste spejls afstand til rotationsspejlet.

Side 32

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 32 af 41

Udledning af formel^{28}

Ved hjælp af fundne målinger er det muligt at opstille en formel, som ved kombination af de givne data gør det muligt at få en eksperimentelt funden værdi for lysets hastighed. Formlen er som følger:

( )_{cw ccw}

⋅ ⋅ ⋅ + A D f f^{2}

   8
c =                  (1.1)

( ) ´ D B s + ⋅ Δ

π

Udledning af denne formel vil ske ved hjælp figurer:

Figur 2a

29

Laseren sender en stråle imod rotationsspejlet Mr, som er drejet vinklen θ. Ifølge tilbagekastningsloven er indfaldsvinklen lig udfaldsvinklen. Laserstrålen bliver derfor sendt fra Mr til Mf med den samme vinkel θ. Dermed bliver vinklen mellem den indkommende stråle og den reflekterede stråle lig 2θ. Den reflekterede stråle rammer det faste spejl i punktet S. Efter et kort tidsinterval er det roterende spejl drejet vinklen θ+∆θ. Vinklen mellem de to stråler er derfor nu

2*( θ+∆θ).

Den reflekterede stråle vil derfor efter dette korte tidsinterval ramme fiksspejlet i S1

28

Vejledning til forsøget s 4-6 udleveret på gymnasiet

29

Vejledning

Side 33

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 33 af 41

Figur 2b

Afstanden mellem de to punkter på fiksspejlet S og S1 (∆S) kan nu beregnes. Hvor D er afstanden mellem rotationsspejlet og fiksspejlet. Afstanden mellem de to punkter findes ved at multiplicere de to vinkler med længden D. Der tages her højde for at vinklerne måles i radianer, da radianen jo

netop angiver forholdet mellem en cirkels radius (D) og dens buelængde/vinkelafstand (∆S).

Afstanden bliver derfor:

Δ = ⋅ + Δ − = + Δ − = ⋅ Δ (2( ) 2 ) 2 2 2 2S D D D D D (1.2)

θ θ θ θ θ θ θ

For at få et mere overskueligt overblik over strålegangen er det frugtbart at forestille sig at rotationsspejlet og beamsplitteren ikke er til stede således at strålegangen bliver fremadrettet og overskuelig.

Figur 3

Når okularet i mikroskopet er indstillet så et klart billede af pletten ses, vil de to trekanter, som dannes på hver side af linsen L2 være ensvinklede. Da de to trekanter er ensvinklede må der gælde at forholdet mellem mellem det to vinkelafstande ∆s og ∆S er lig forholdet mellem de to Længder

A og D+B og dette kan opstilles som følgende:

Δ + + S D B D B ( ) ( )

Δ ⋅ Δ s A A S

== (1.3)

Tidligere i formlen (1.2) er en værdi for ∆S fundet denne indsættes nu og der fås:

AD ⋅ ⋅ Δ 2

() DB +

Δ= s (1.4)

θ

Rotationspejlets vinkelhastighed ω er givet ved vinkelafstanden over tiden :

Side 34

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 34 af 41 t θ ω

  Δ
=    (1.5)
  Δ

Ændringen i tid ∆t er den tid det tager laserstrålen, som bevæger sig med lysets hastighed at bevæge sig fra rotationsspejlet til det faste spejl og tilbage igen dvs ∆t er:

2D

Δ= t (1.6)

c

Formlen i (1.6) indsættes i (1.5) og vinkelafstanden ∆θ isoleres

2 D

  Δ⋅
= ⇔ Δ =           (1.7)
  2 D

c c θω ωθ

Vinkelhastigheden er også defineret som:

=⋅ 2 f (1.8)

ωπ

Hvis denne værdi for vinkelhastigheden indsættes i (1.7) fås:

22fD ⋅⋅ c π θ

Δ= (1.9)

Formlen for vinkelafstanden i (1.9) kan nu indsættes i formlen for vinkelafstanden ∆s (1.4) og derefter kan lysets hastighed isoleres:

2 2 2

22 ⋅⋅ fD

AD ⋅⋅ 2

2 2 2 2 4 8 8

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D B D B c D B c D B c D B s + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ Δ

A D f D A D f A D f A D f

            c
Δ = = = = ⇔ = sc                                                     (1.10)

π π π π π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Da frekvensen f er det samme som frekvenserne med uret og mod uret adderet, og da vinkelafstanden ∆s er lig ∆s’ er udledningen fuldført.

Side 35

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 35 af 41

Måleusikkerheder^{30}:

Selvom apparaturet til dette forsøg er præcisionsudstyr af høj kvalitet vil der naturligvis være en del måleusikkerheder, som der skal tages højde for når lysets hastighed findes. Disse absolutte måleusikkerheder med notationen ∆ vil i det følgende blive forsøgt opsummeret. Der tages højde for at nogle af usikkerhedernes størrelser er vurderet ved et personligt skøn af målenøjagtigheden:

A: Linserne som var monteret på den optiske bænk var fastmonteret og bænken havde et meter mål som var inddelt i millimeter så en måleusikkerhed på cirka 0,5mm må være at forvente ved begge linsers montering dvs:

Δ = = ⋅ 1 1 10A mm m^{−}^{3}

B: Da længden B også afhang af to elementer monteret på den optiske bænk vurderes usikkerheden til at være på størrelse med A dvs:

Δ = = ⋅ 1 1 10B mm m^{−}^{3}

D: En opmåling af længden D blev foretaget med et målebånd, og selvom målebåndet har den samme inddeling som den optiske bænk dvs. i millimeter må der tages højde for en ”væsentlig” større måleusikkerhed da der både tages hensyn til den væsentligt større afstand, målebåndets elasticitet og udstrækning samt muligheden for at målebåndet buede en smule og derfor ikke gav en nøjagtig måling. Derfor vurderes måleusikkerheden på til en værdi på ca. 3cm dvs:

3 0, 03D cm mΔ = =

fcw+fccw: Omdrejningstælleren monteret på rotationsspejlets strømforsyning målte antallet af

omdrejninger i sekundet i hele omdrejninger. Problemet var, at displayet og tælleren ikke kunne følge motoren og omdrejningerne blev derfor registreret i ”ryk” hvor antallet af omdrejninger displayet steg et vist antal rpm indenfor hvert ryk. I de to første målinger lod vi omdrejningstælleren stabilisere sig. Dette gav dog nogle ret upræcise målinger. Derfor foretog i de

30

Lavet med inspiration fra Fysiske øvelser 1 af Pihl, Mogens og Storm, Henning s 8-10

Side 36

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 36 af 41 tre sidste målinger en aflæsning af omdrejningerne netop i det øjeblik hvor pletten blev aflæst, derfor vil måleusikkerheden være forskellig. I de to første målinger vurderes den til at være ca.

25Hz hvorimod den i de 3 sidste vurderes måleusikkerheden til at være ca. 5Hz. Dvs:

Δ + = 1( ) 25 f f Hz
    cw ccw

Δ + = 2( ) 5 f f Hz
     cw ccw

∆s’: Som ved de andre målinger af længden vil der være en vis usikkerhed ved måling med mikrometerskruen. Skruen er meget følsom og den mindste berøring kan få den til at flytte sig.

Derfor vurderes måleusikkerheden i skruen til at være ca. 0,1mm i begge omdrejningsretninger dvs:

Δ = = ' 0,02 2 *10s mm m^{−}^{5}

Bemærk! Der er naturligvis også en vis måleusikkerhed når pletten skal afsættes i trådnettet i mikroskopet, men denne usikkerhed er meget forskellig, forskellige personer imellem., da vurderingen og synet på den som foretager målingerne spiller ind, og det vil derfor ikke være muligt at få en definitiv vurdering af denne usikkerhedsfaktor, derfor ses der bort fra denne usikkerhed.

Alle absolutte usikkerheder er derfor umiddelbart fundet da den absolutte usikkerhed for lysets hastighed ∆c ønskes fundet findes først den relative måleusikkerhed, da formlen for lysets hastighed (1.1) kun indeholder produkter og kvotienter findes den relative måleusikkerhed for c ved at addere den relative væksthastighed for alle de fundne måleusikkerheder dvs:

Δ Δ Δ Δ Δ Δ + c A D s D B Δ+ () ff_{cw ccw} ( ') ( )
= + + + + 2 (2.1)

c A D f f s D B   ( ) ( ') ( ) + Δ +
                    cw ccw

Da laseren bevæger sig strækningen D to gange pr måling multipliceres denne med to. Ved at gange med c på begge sider fås den absolutte måleusikkerhed for lysets hastighed dvs:

Δ Δ Δ Δ Δ + A D s D B Δ+ () ff_{cw ccw} ( ') ( )
Δ = + + + + ⋅ cc^{⎛⎞}_{⎜⎟} 2 (2.2)

A D f f s D B ( ) ( ') ( ) + Δ +
               cw ccw

⎝⎠

Denne måleusikkerhed vil blive medregnet under databehandlingen.

Side 37

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 37 af 41

Databehandling

Et par af afmålingerne har samme værdi i de 5 målinger. Dette er tilfældet for:

Am = 0, 262
Bm = 0, 470

De værdier som ændrer sig målingerne imellem indsættes i et skema:

Måling nr. D/m s’_{cw} /m s’_{ccw} /m ∆s’/m f_{cw} /Hz f_{ccw} /Hz
1 14,67 11,85*10^{-3} 10,95*10^{-3} 0,90*10^{-3} 1461 1484
2 13,98 11,92*10^{-3} 11,06*10^{-3} 0,86*10^{-3} 1485 1478
3 13,36 11,78*10^{-3} 10,96*10^{-3} 0,80*10^{-3} 1448 1465
4 12,66 11,63*10^{-3} 10,83*10^{-3} 0,80*10^{-3} 1479 1447
5 11,99 11,52*10^{-3} 10,76*10^{-3} 0,76*10^{-3} 1472 1506

Ved hjælp af måling nr.1 gives et eksempel på udregning af lysets hastighed og en udregning af måleusikkerheden. Resten af målingerne vil være udregnet på samme facon vha. Micosoft Excel og udregningerne for disse vil derfor ikke være at finde i opgaven, men blot resultatet:

Eksperimentel bestemmelse af lysets hastighed nr.1:

De i måling nr.1 fundne værdier indsættes i den før udledte formel for lysets hastighed:

8 0, 262 (14, 67 ) ()^{2} ⋅ ⋅ ⋅ + m m Hz Hz

                                                       8
c m s = = ⋅                                     3,06 10 /

(14, 67 0, 470 ) 0,90 10^{−}^{3} m m m + ⋅ ⋅

π

Værdien er en smule over den definerede hastighed på ca. 2,998*10^{8} m/s. Man burde forvente at

hastigheden var en smule under den teoretiske definerede hastighed, da lyset her ikke bevæger sig i vacuum. Man burde derfor forvente en svag, men dog i dette tilfælde ubetydelig refraktion af

Side 38

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 38 af 41

   − 5
⋅+

88

− 3

0, 001 0, 03 25 2 10 (0, 03 0, 001 )

Δ = + + + + ⋅ ⋅ = ⋅ c 2 3, 06 10 0,118 10
0, 262 14, 67 () 0,90 10 (14, 67 0, 470 ) m m Hz Hz m m m s s + ⋅ +

m m Hz m m m m m

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠ lyset (Snells lov), hvormed den eksperimentelle værdi ”burde” være lavere end den definerede værdi i vakuum.

Måleusikkerhed^{31}:

Den absolutte måleusikkerhed af lysets hastighed ∆c, vil her blive bestemt vha. den fundne formel.

Måling nr.1 bruges som eksempel.

Lysets hastighed og måleusikkerheden bliver i de fire andre målinger fundet på samme facon, og disse resultater indsættes i følgende skema:

Måling nr: Lysets hastighed:

                            8
1             (3,06±0,118)*10 m/s

                            8
2             (3,06±0,122)*10 m/s

                            8
3             (3,02±0,104)*10 m/s

                            8
4             (2,94±0,104)*10 m/s

                            8
5             (2,98±0,110)*10 m/s

Det ses tydeligt at både måleusikkerheden og værdien for lysets hastighed er lavere i de tre sidste målinger. Dette skyldes som tidligere beskrevet at vi undlod at lade omdrejningstælleren stabilisere sig, og i stedet tog målingen med det samme. Dette medførte både en mindre måleusikkerhed af frekvensen, men samtidig også en mindre lyshastighed da frekvensen, hvis den får lov til at stabilisere sig vil stige.

Vurdering af fejlkilder:

Resultaterne ligger tilfredsstillende tæt på den faktiske lyshastighed. Der er en hvis variation i resultaterne, men det er at forvente når man arbejder med så finmekanisk apparatur hvor en sans for præcision er i højsædet.

Side 39

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 39 af 41

Konklusion:

Da Einstein i 1905 sendte en artikel på ca. tredive sider til bladet Annalen der Physik, men få uger indså han at han manglede noget. Han havde udeladt et supplement på 3 sider. Han var meget usikker på dette supplements rigtighed, og han skulle have sagt følgende til en ven. ”Ideen er morsom og tankevækkend, men om vorherre ler ad den og driver gæk med mig. Det ved jeg ikke. [32] ” At dette supplement på tre sider skulle vende op og ned på videnskabens betragtninger af verdenen, var der på dette tidspunkt ingen der vidste. Jeg har i denne opgave været vidne til, hvordan Einsteins postulater og betragtninger fundamentalt har ændret den måde vi betragter verden på. Man skal dog imidlertid ikke glemme at den klassiske Newtonske mekanik som approksimation, sagtens kan bruges, til udregning af dagligdagens problemstillinger.

32

Bodanis,David E=mc^{2} s18

Side 40

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 40 af 41

Litteraturliste:

Bøger:

- Andersen, Erik Strandgaard og Jespergaard, Paul og Østergaard, Ove Grønbæk: Databog, fysik kemi. F & K Forlag 2007 11. udgave 2. oplag

- Andersson, Bengt og Johansson, Karl-Erik og Staffansson, Eve: Fysik i grundtræk, 2A Mekanik. Munksgaard 1976 1. udgave 3. oplag.

- Bergstein, T.: Speciel Relativitetsteori. Gyldendal 1966, Fysik- og Kemilærerforeningens skrifter.

- Dam, Mogens: Introduktion til den specielle relativitetsteori. Niels Bohr Instituttet 2007 7.

udgave.

- Dixon, W.G: Special Relativity The foundation of macroscopic physics. Cambridge University Ekspress

- Hansen, Sten: Relativitetsteori. Dansk Videnskabs Forlag 1965.

- Hawking, Steven: Universet i en nøddeskal. Gads forlag 20002

- Lindhard, Jens og Winther, Aage: Den specielle relativitetsteori. Akademisk forlag 1978 7.

oplag.

- Nielsen, Niels Kjær: Speciel Relativitetsteori. Odense Universitets Trykkeri, Fysik Institut

1996.

- Pedersen, Jan: Fysik, Førstehjælp til formler. Nyt Teknisk Forlag 2007 2. udgave.

- Pihl, Mogens og Storm, Henning: Fysiske øvelser Gads forlag 1972

- Rosser, William Geraint Vaughan: Introductory Special Relativity. Taylor & Francis 1991

- Uggerhøj, Ulrik: Den relative virkelighed. Univers 2005.

Side 41

Frederikshavn Gymnasium Studieretningsprojekt [navn fjernet] 3.t

Den Specielle relativitetsteori d. 21/12/2009

Side 41 af 41