Dynamisk gnidningskoefficient - rapport i fysik

Side 1

, 2x HTX Side 1 af 9

Fysikrapport: Mekanik – gnidning HTX 2. år

Fysikrapport: Mekanik – gnidning

Forsøgsdato:

HTX 2. år

Klasse: 2.x, htx 2001/2002
HTX 2. år 9/10 2001

Lærer:

Fag: Fysik B

Side 2

, 2x HTX Side 2 af 9

Fysikrapport: Mekanik – gnidning Afl. dato:

Formål

Formålet med dette forsøg var, ved hjælp af Newtons 2. lov, at undersøge, om gnidningskraf-

ten F_{g} afhænger af fladens areal og/eller legemets masse (A og m). Desuden skal vi under-
søge, om den dynamiske gnidningskoefficient µ_{D} gør.

Ligeledes skulle vi undersøge sammenhængen mellem den statiske gnidningskoefficient

µ_{S} afhænger af arealet og/eller massen.

Teori

Newton 2. lov

Isaac Newton (f. 1687) er kendt for de tre love med de opfindsomme navne: Newton 1., 2. og

3. lov. I dette forsøg skal vi bruge Newton 2. lov, der siger:

Newtons 2. lov

Et legeme med massen m, der påvirkes af en resulterende kraft F_{res}, vil

have en acceleration a som opfylder:

F_{res} = ma

Denne lov gælder kun i et inertialsystem.

En resulterende kraft er den samlede kraft i samme retning som accelerationen. Det vil altså sige, at hvis en båd bliver trukket i to retninger vil den resulterende kraft være den vektor, der betegner bådens bevægelse, mens accelerationen vil være bådens acceleration i samme retning.

Et inertialsystem er egentlig et koordinatsystem, der står stille i forhold til fixstjernerne. Da det i realiteten ikke er muligt at skabe et sådant system, siger men, at jorden er et inertial-system, hvilket egentlig er forkert, men den bedst mulige tilnærmelse.

Hastighed, acceleration samt bevægelse med konstant acceleration

Vi har efterhånden brugt de forskellige formler til bestemmelse af hastighed, acceleration samt i forbindelse med bevægelse med konstant acceleration så tit, at jeg i denne rapport ba-re vil nævne dem uden at give en længere forklaring. De siger sig selv, og vi har udledt dem i forbindelse med andre forsøg (ex: mekanik – bestemmelse af tyngdeaccelerationen).

Aktion Nyttige formler

Hastighed (v) t s s m

    Δ                             Δ ]s[
v =   , hvilket giver v enheden: ]v[ ==
    Δ                             Δ ]t[

(Gælder kun når hastigheden er konstant (a = 0), men vi bru-

ger den alligevel. Se afsnittet Fejlkilder for at få uddybet fejlen)

Acceleration (a) t s

v s/m m

    Δ                             Δ ]v[
a =   , hvilket giver a enheden: ]a[ ===
    Δ                             Δ ]t[

s^{2}

Side 3

, 2x HTX Side 3 af 9

Fysikrapport: Mekanik – gnidning Afl. dato:

Bevægelse med konstant v = a · t + v_{0}

acceleration

    1
s =              stvta +⋅+⋅
                  00
    2

2

        2
      −−− vv
       0
)(v)(ass =⋅+⋅=−
      a2

2 a a

1 vv vv_{00}

0 0

2

2

Tabel 1: Nyttige formler i forbindelse med hastighed, acceleration samt bevægelse med konstant acceleration Gnidningskræfter

Når et legeme bevæges hen over en vandret flade er der fire kræf-ter, der virker på den. Disse kræfter er illustreret på figur 1, og er som følger:

• F er den kraft, der trækker legemet/klodsen. Det kunne for

eksempel være en mand, der trak i en snor. Vektorens an-grebspunkt er der hvor snoren er bundet på klodsen.

• F_{t} er tyngdekraften. Denne har altid angrebspunkt midt i legemet og peger altid lodret

nedad.

• F_{N} er en såkaldt normalreaktion, der er lige så stor som tyngdekraften (Newtons 3. lov
– aktion og reaktion), men modsat rettet (når fladen er vandret ≠ skråplan).
• F_{g} er gnidningskraften, der er modsat rettet trækkraften F.

Gnidningskraften afhænger af legemets masse, men ikke af kontaktfladens areal (formålet med dette forsøg var at eftervise dette). Desuden afhænger den af materialekombinationen.

Det kender vi jo fra vores hverdag; har vi en eller anden klods på 50 kilogram, der er beklædt med gummi på den ene side og en metalplade på den anden, vil det være væsentlig lettere at skubbe klodsen når metalpladen vender ned mod gulvet (træ). Dette skyldes, at den dy-namiske gnidningskoefficient er er større for gummi-træ end for metal-træ.

Gnidningskraften er bestemt ved følgende formel:

F = µ_{D} F_{N}

g

Det ses nu tydeligt, at en større gnidningskoefficient (µ_{D}) giver en større gnidningskraft. At
gnidningskraften afhænger af normalreaktionen (F_{N}) skyldes, at gnidningen vil forøges, hvis

man presser ned på klodsen (man modsat tyngdekraften, hvilket vil øge denne – jf. Newtons

3. lov). Gnidningskraften afhænger endvidere ikke af hastigheden, når legemet først er i be-vægelse.

Hvis vi igen kigger på ovenstående eksempel med klodsen, vil det også være sværere at få klodsen i bevægelse, hvis gummisiden vender nedad. Dette skyldes den såkaldt dynami-

ske gnidningskoefficient, der altid er mindre eller ligeså stor som µ_{D}. En klods der påvirkes af
en voksende kraft vil altså ligge stille så længe F_{g} er mindre end µ_{S} F_{N}. I det øjeblik klodsen
begynder at bevæge sig vil F_{g} være lig µ_{S} F_{N}. Herefter er F_{g} = µ_{D} F_{N}.

Figur 1: Kræfter

Side 4

, 2x HTX Side 4 af 9

Fysikrapport: Mekanik – gnidning Afl. dato:

Bevægelse på et skråplan

I dette forsøg glider en klods ned af et skrå-plan. I den forbindelse er der et par formler, der er særdeles nyttige. Til højre ses en illu-stration af forsøget med de kræfter, der virker på klodsen.

Tyngdekraften peger altid lodret ned, så det er en god idé at splitte den op i to kompo-

santer. Disse kaldes F_{tx} og F_{ty}, da de følger x-

og y-aksen i koordinatsystemet længst til højre. Vinklen mellem skråplanet og vandret kaldes

α. Ved at dele tyngdekraften op i komposanter bliver vinklen mellem F_{t} og F_{ty} og α, og vinklen
mellem F_{t} og F_{tx} må da blive 90° - α. Nu kan vi opstille to generelle formler:

αα

⋅=⇔= sinFFsin

ttx

F_{t}

F_{tx}

αα

⋅=⇔= cosFFcos

tty

F_{t}

F_{ty}

Med denne viden kan vi opstille en fritlegeme-analyse (se næste afsnit).

Fritlegeme-analyse

Når man har et mekanisk problem, er det en god idé at lave en såkaldt fritlegeme-analyse.

Det er en metode, der består af fire trin, der gør problemløsningen lettere at overskue.

Dette forsøg foregår på et skråplan, hvorfor det er en fordel at lade koordinatsystemet følge dette skråplan (som illustreret i afsnittet Bevægelse på et skråplan).

Trinene i fritlegeme-analysen for dette forsøg er som følger.

Trin 1+2 Legemet (klodsen) tegnes frigjort af underlaget, og de indvirkende kræfter indteg-

nes. Ligeledes tegnes akserne. Se figur 2.

Trin 3 Newtons 2. lov opstilles for legemet i begge retninger. I dette tilfælde bliver det som følger:

x→ : −⋅=⇒−⋅=−== masinmgFFsinmgFFmaF

gggtxres αα

y↑ : ⋅=⋅==⇒−=== cosmgcosFFFFF0maF

αα ttyNtyNres

Trin 4

Nu ved vi altså, at gnidningskraften kan findes ved_{g} −⋅= masinmgF.

α

Desuden kan vi finde den dynamiske gnidningskoefficient ved: α µαµµ

                 F
                  g
cosmgFF      =⇒⋅⋅=⋅=
                 ⋅ cosmg

DDNDg

Nu kan vi altså både finde F_{g} og µ_{D} ved hjælp af kendte størrelser.

Figur 2: Bevægelse på et skråplan

Side 5

, 2x HTX Side 5 af 9

Fysikrapport: Mekanik – gnidning Afl. dato:

Forsøgsopstilling

Figur 3: Forsøgsopstilling

Forsøgsbeskrivelse

Materialer

Apparatur: Væsker / stoffer:

• tidsmåler (accelerationsmåler)

• dynamometer

• klodser med forskelligt areal og masse (dog alle med glasbund)

• målebånd

• vægt

Tabel 2: Materialeliste

Fremgangsmåde

I dette forsøg lod vi nogle forskellige klodser glide ned ad en træplade. På pladen var fastsat to fotoceller, der skulle måle den tid det tog klodsen at passere. På den måde kunne vi be-stemme de to hastigheder, og dermed klodsens acceleration.

Vi startede med at udføre forsøget med en klods, hvor arealet blev fastholdt, mens mas-sen varieredes. Vi startede derfor med at veje klodsen, hvorefter vi lod den glide ned ad træ-

Side 6

, 2x HTX Side 6 af 9

Fysikrapport: Mekanik – gnidning Afl. dato: pladen. Herefter tog elektronikken over; en tidsmåler målte, hvor lang tid klodsen var om at passere en fotocelle, samt hvor lang tid der gik fra den passerede den første til den passere-de den anden. Dette gentog vi tre gange, hvor vi ændrede massen. Derefter gjorde vi stort set det samme igen. Denne gang var det blot med varieret areal.

Forsøget gik også ud på at finde den statiske gnidningskoefficient, hvilket vi gjorde ved at lade en klods blive trukket hen ad en træplade med et dynamometer. Vi foretog 2 målinger med forskelligt areal, og 2 med forskellig masse. Det foregik i al sin enkelthed ved, at vi satte et dynamometer fast i klodsen og begyndte at trække. Ved hele tiden at trække mere og me-re, begyndte klodsen til sidst at flytte sig. Det gjaldt altså om at aflæse trækket på dynamo-meteret lige inden klodsen satte i gang.

Resultater

I nedenstående tabel fremgår alle målte, aflæste og opslåede størrelser.

1: Skråplan, samme areal (A) α 31,31° g

9,82_{s^{2}}^{m}

1.1 1.2 1.3 m 0,06438kg 0,27866kg 0,09847kg

t_{1} 0,007s 0,005s 0,007s
t_{2} 0,003s 0,003s 0,002s

∆t 0,673s 0,616s 0,626s s 0,0078m 0,0078m 0,0095m

v_{1}
1,114^{m}_{s} 1,56^{m}_{s} 1,357^{m}_{s}
v_{2}
2,6^{m}_{s} 2,6^{m}_{s} 4,75^{m}_{s}

a

2,208_{s}^{m}_{2} 1,688_{s}^{m}_{2} 5,42_{s}^{m}_{2}
F_{g} 0,186N 0,952N -0,031N
µ_{D} 0,345 0,407 -0,038

2: Skråplan, samme masse (m) m 0,31269kg

2.1 2.2 2.3

A 36,6cm^{2} 64cm^{2} 100cm^{2}
t_{1} 0,006s 0,007s 0,007s
t_{2} 0,002s 0,003s 0,002s

∆t 0,574s 0,61s 0,571s

Side 7

, 2x HTX Side 7 af 9

Fysikrapport: Mekanik – gnidning Afl. dato: s 0,0095m 0,0092m 0,0093m

v_{1}
1,583^{m}_{s} 1,314^{m}_{s} 1,329^{m}_{s}
v_{2}
4,75^{m}_{s} 3,067^{m}_{s} 4,65^{m}_{s}

a

5,517_{s}^{m}_{2} 2,845_{s}^{m}_{2} 5,817_{s}^{m}_{2}
F_{g} -0,129N 0,697N -0,223N
µ_{D} -0,049 0,266 -0,085

3: Statisk gnidningskoefficient, samme areal (A)

m F_{g} µ_{S}

3.1 0,06438kg 0,22N 0,348

3.2 0,31289kg 0,84N 0,274

4: Statisk gnidningskoefficient, samme masse (m) m 0,31269kg

A F_{g} µ_{S}
4.1 36,6cm^{2} 0,90N 0,293
4.2 100cm^{2} 0,91N 0,296

Tabel 3: Tabel med alle målte, aflæste og opslåede størrelser

Databehandling

Før vi overhovedet kan begynde at regne på vores måledata, må vi opstille Newtons 2. lov for klodsen. Det har jeg gjort i teoriafsnittet fritlegeme-analyse.

Vi må kende de to hastigheder v_{1} og v_{2} (her med data fra forsøg 1.1):

                                        m
ex      :                        ===⇒= 114,1vv
                                        s

1.1,v

t t_{1x} s007,0

s s m0078,0 x 1

Så finder vi accelerationen a (samme data som ovenstående):

                                         m
ex      :                            208,2a ====
                                          2
                                         s

1.1,a

       m
−  114,16,2,0
       s

s m

Δ v − vv_{12}

Δ t Δ t s673,0

Endelig er det muligt at finde den gnidningskraften:

            g
ex       :

1.1,Fg

= N186,0

       m
⋅−°⋅⋅=−⋅= 208,2kg06438,031,31sin82,9kg06438,0masinmgF
        22
       s

s m α

Og derefter den dynamiske gnidningskoefficient:

ex: === 345,0

1.1,µD

31,31cos82,9kg06438,0 °⋅⋅

186,0^{m}_{2}

⋅ cosmg

F_{g}

D

2 s m s α µ

Sådan gjorde vi med de 2 gange 3 serier. Vi skulle dog også finde µ_{S} i forsøg 3 og 4:

ex: ===⇒⋅==⋅ 348,0FFF

3.1,µS

      m
⋅  82,9kg06438,0
       2

s

F_{g}

N22,0 mg

DtDgNS µµµ

Side 8

, 2x HTX Side 8 af 9

Fysikrapport: Mekanik – gnidning Afl. dato:

Fejlkilder

I ethvert fysikforsøg er der måle- og aflæsningsusikkerheder. Der er dog også egentlige fejl-kilder. I dette forsøg drejer det sig om:

• Ikke et inertialsystem

• Ikke ”rigtigt” areal

• For stor/lille modstand mellem klods og plade.
• Luftmodstand / aerodynamik

• Fejl i forbindelse med bredden af mærket på klodsen (s).

Vurdering

Det har ikke været muligt at slå gnidningskoefficienterne for træ-glas op i databogen. Det gør det unægtelig lidt mere vanskelligt at vurdere, hvorvidt resultaterne kan passe eller ej. De steder, hvor gnidningskraften er negativ er dog helt hen i vejret. Det kan simpelthen ikke lade sig gøre, så det er så let! De mest præcise målinger finder vi i forsøg 3 og 4, da tidsmåleren ikke var indblandet i disse forsøg. Skønt den ikke er en decideret fejlkilde, har usikkerheden i forbindelse med tidsmålinger haft enorm betydning, og er ganske sikkert skyld i de mange forkerte resultater i forsøg 1 og 2.

Newtons 2. lov gælder kun i et inertialsystem, der er et koordinatsystem, der står stille i forhold til fixstjernerne. Det er klart, at man ikke lige har adgang til et sådant system, men man har vedtaget, at jorden er et inertialsystem. Det må vi så gå ud fra, men i princippet er det en fejlkilde. Vi har bare ingen mulighed for at beregne den.

Selvom vi fra teorien véd, at arealet ikke har indflydelse vil jeg dog lige nævne denne ”fejlkilde”. Man kan jo ikke kalde det en fejlkilde (og ikke engang en usikkerhed). Problemet er dog, at glasset på nogle af klodserne var knækket, hvilket leder os hen på næste, egentli-ge fejlkilde.

Denne fejlkilde lyder måske lidt spøjs, men den er god nok. Da glasset under klodsen i nogle tilfælde var flækket, kan klodsen have skåret sig ned i træet, hvilket gør, at skal ikke vil accelerere så meget som den burde, da den først skal ”skære” sig fri igen (og newtons 2. lov i y-retningen vil da ikke være nul)! En for lav acceleration (for lav sluthastighed) giver for stor

gnidningskraft (F_{g}) og dermed også for stor dynamisk gnidningskoefficient (µ_{S}). Har der der-

imod ligget noget på pladen – eksempelvis noget sand – ville klodsen ”rulle” på det, og acce-lerationen ville blive for stor (lille gnidningskraft og gnidningskoefficient).

Luftmodstand er selvfølgelig en faktor, der spiller ind. Hvis man havde foretaget dette for-søg i vakuum, havde man med stor sandsynlighed fået bedre resultater. Desværre er det utroligt svært at beregne luftmodstanden, så vi må bare acceptere tingene, som de er. Der er

Side 9

, 2x HTX Side 9 af 9

Fysikrapport: Mekanik – gnidning Afl. dato: jo ikke så meget at gøre ved det, når man ikke lige har adgang til et lufttomt lokale. Luftmod-stand vil nedsætte hastigheden og dermed accelerationen. I princippet skulle man foretage forsøget i rummet, men der findes Jordens tyngdekraft jo ikke, og så er der heller ingen gnid-ning (med mindre man presser klodsen ned mod en overflade, men det er vist for hypotetisk)!

Bredden s er lidt af et kompromis. Vi bliver nødt til at antage, at hastigheden er konstant, når de to fotoceller måler den tid det tager klodsen at passere. Dette er selvfølgelig ikke rig-tigt, men det er den eneste mulighed. Man kan så sige, at det må gælde om at lave s så lille som overhovedet muligt. Er s eksempelvis 1 millimeter, vil hastigheden være ”mere konstant” end hvis den er 10 eller 25 mm. Problemet er bare, at tidsmåleren kun måler i tusindedele af sekunder, så det ville kun tage noget i retning af 1-2 millisekunder for s at passere en fotocel-le. En afvigelse på bare ét millisekund ville altså få enorm betydning for det endelige resultat, hvilket ikke er særlig smart. Havde man derimod mulighed for at måle tiden med 5 eller 6 de-cimaler, kunne man med fordel ændre s til 1 millimeter. I princippet er dette slet ikke en fejl-kilde, men jeg valgte at vurdere den alligevel, da den med garanti har haft indflydelse på re-sultatet (det er grunden til de negative resultater!). Ikke mindst i de forsøg, hvor hastigheden var forholdsvis høj (stor masse). Det er derimod en usikkerhed, da vi ikke havde den mindste mulighed for at gøre noget ved det.

Konklusion

I dette forsøg målte/beregnede vi os frem til, at den dynamiske gnidningskoefficient mellem

træ og glas er noget mellem 0,407 og –0,085. Dette noget af et spektrum at dække, og de negative resultater kan jo slet ikke passe (så burde klodsen ikke kunne ligge stille!). Det er lidt bedre med den statiske koefficient, da den enorme usikkerhed fra tidsmåleren ikke har haft indflydelse hér; resultatet blev noget mellem 0,274 og 0,348, hvilket nok skal passe.

Vi fandt ud af, at gnidningskraften ikke afhænger af arealet, men derimod af legemets masse. Dette fremgår ikke just af alle resultater, men sådan er det! Basta! Det ses tydeligst i forsøg 3 og 4, der generelt er mere præcise end 1 og 2.

Gnidningskoefficienterne afhænger derimod hverken af masse eller areal, men af materi-

alekombinationen. Det gælder både µ_{S} og µ_{D}. Igen må vi ty til resultaterne fra 3 og 4.

Alt i alt var det et yderst upræcist forsøg, der ikke lærte os meget andet, end det teorien sagde, men vi lærte da, hvor meget en enkelt usikkerhed kan betyde.

Det var lidt ærgerligt, at man ikke kunne slå koefficienterne for træ-glas op i databogen, da vi så ikke har noget at sammenligne med. Vi kan dog sammenligne med nogle andre

kombinationer: µ_{S} for træ mod metal er 0,2-0,6, mens den er 0,5-0,7 for glas mod metal. Et

sted derimellem kan altså godt passe. Den dynamiske er lidt sværere, men vi har jo heller in-gen ordentlige resultater at sammenligne med!