Bestemmelse af tyngdeaccelerationen - rapport i fysik

Side 1

Tyngdeacceleration

Eftervisning af tyngdeaccelerationen

[Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse

HTX 2. år normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold.]

2011

HTX 2. år

HTX - Randers, Tradium

Side 2

Indholdsfortegnelse

Formål ................................................................................................................................................................ 2 Teori ................................................................................................................................................................... 3 Bevægelse med en konstant hastighed ......................................................................................................... 3 Bevægelse med en konstant acceleration ..................................................................................................... 4 Newtons 2. lov – Kraftloven .......................................................................................................................... 5 Galileo ............................................................................................................................................................ 6 Tyngdeacceleration ....................................................................................................................................... 6 Betegnelser og benævnelser ............................................................................................................................. 6 Forsøgsfremstilling ............................................................................................................................................ 6 Apparatur ...................................................................................................................................................... 6 Forsøgsfremstilling ........................................................................................................................................ 7 Resultater .......................................................................................................................................................... 7 Resultatbehandling ............................................................................................................................................ 8 Vurdering ........................................................................................................................................................... 8 Fejlkilder ........................................................................................................................................................ 9 Formål

Formålet med det følgende forsøg er følgende:

- Vi skal først og fremmest få et bedre kendskab til tyngdeaccelerationen

- Vi skal derefter have eftervist vores teori om tyngeaccelerationen

Side 3

Teori

Den følgende teori (Bevægelse med en konstant hastighed og Bevægelse med en konstant acceleration, samt Newtons anden lov)har jeg kopieret fra min tidligere rapport: Newtons love

Bevægelse med en konstant hastighed

Når vi snakker om bevægelse med en konstant hastighed, snakker vi om sammenhænget mellem tilbagelagt strækning (s), forbrugt tid (t) og hastigheden (v), som kan skrives som en følgende formel:

𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡

Hvis vi derimod gerne ville have tiden (t), skal vi bare isolere den så vi får følgende:

𝑡 =

𝑠 𝑣

Man kan gøre det samme med hastigheden (v) så kommer formlen til at se lidt anderledes ud:

𝑣 =

𝑠 𝑡

For at gøre det hele meget nemmer, og at der ikke skulle ske nogle fejl regner vi altid strækning i meter og

tiden i sekunder, vi kan derfor nemmer omregne hastigheder fra m/s til km/h eks:

  𝑚   1𝑚             𝑘𝑚
           1000
1   =    =      = 3,6
  𝑠   1𝑠              ℎ

1 𝑘𝑚

1

3600 ℎ

Dette vil sige at hastigheden 1m/s svarer til 3,6 km/h

Tegner vi en (t,v) – graf for en konstant hastighed med 10 m/s vil
den se således ud. Vi har hastigheden (v, som måles i m/s.) op ad y-

aksen, mens tiden (t, som måles i sekunder) er langs x-aksen. På grafen kan vi passende se hvor hurtigt vores legeme bevæger sig efter X tid.

Hvis vi så tegner en (t,s) – graf for den selvsamme bevægelse vil den se således ud. Her har vi så strækningen (s, som er angivet i meter) hen ad y-aksen og tiden (t, som er angivet i sekunder) hen ad x-aksen.

Vores ligning for denne graf kommer til at se således ud:

𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡 ↔ 𝑠 = 10^{𝑚}_{𝑠} ∙ 𝑡

Side 4

Vi kan også komme ud for at vi ikke starter vores tidsmåling, når

strækning (s) = 0, dette vil resultere i at vores (t,s) – graf ikke

kommer til at gå igennem punktet (0,0). For at kunne regne hastigheden (v) ud skal vi bare følgende:

𝑣 =

Δ𝑠

Δ𝑡

Δ𝑠 er ændring af strækning (s) og Δ𝑡 er ændring af tiden (t).

For at regne hastigheden (v) med hjælp fra en graf kan vi gøre det på en simpel måde.

Hvis vi kigger på (t,s) – grafen kan vi se på kurven i tidsrummet fra 10 sekunder til 20 sekunder. Ved at tage

                                               200𝑚     𝑚
højden, og dele den med længden får vi hastigheden (v): = 20 vi kan samtidig også aflæse på (t,v) –
                                               10𝑠      𝑠

grafen at hastigheden (v) imellem tidsintervallet 10 sekunder til 20 sekunder svarer til vores tidligere

resultat, nemlig 20^{𝑚}_{𝑠}. Vi kan også se på hældningen på vores (t,s) – graf. Hældningen til linjen, fra punktet

                                       𝑚
(10s, 100m) til punktet (20s, 300m), svarer til 20 .
                                        𝑠

                                                                    𝑚
Hvis vi tegner en tangent til tiden 25 sekunder (t,s) - grafen, vil hældningen være 10 som svarer til
                                                                    𝑠

hastigheden (v) på (t,v) – grafens punk ved tiden 25 sekunder.

Ud fra disse observationer kan vi sige følgende:

Hældning til tangenten til et hvilket som helst punkt på (t,v) – grafen svarer til hastigheden til dette punkt.

Vi kan også sige, tager vi arealet under (t,v) – grafen vil det svare til strækningen (s) som vi aflæser på (t,s) – grafen.

Bevægelse med en konstant acceleration

Vi skal også se på en anden form for bevægelse, nemlig bevægelse med en konstant acceleration. I vores følgende formel kan vi så definere acceleration (a) på følgende måde:

𝑎 =

Δ𝑣

Δ𝑡

Side 5

Δ𝑣 er hastighedsændringen i tidsrummet Δ𝑡

Vi kan fx sige at en bil, i tidsrummet (Δ𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟) har en hastighedsændring (Δ𝑣 = 10^{𝑚}_{𝑠}), vi kan

derfor udregne accelerationen (a) således:

𝑎 = = 2 𝑚/𝑠^{2}

10 𝑚 𝑠

5 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

Her har vi fået accelerationen givet ved hastighedsændringen per tid.

Vi vælger nu v og t til at have værdier 0, så at vi kan skrive formlen op således:

    Δ𝑣  𝑣−0  𝑣
𝑎 =   =    =   ↔ 𝑣 = 𝑎 ∙ 𝑡
    Δ𝑡  𝑡−0  𝑡

Vi kan nu tegne en graf for denne bevægelse, mens vi bruger

𝑎 = 2 𝑚/𝑠^{2}. Her har vi så vores acceleration (a) op ad y-aksen og

tiden (t) hen ad x-aksen.

Vi kan tegne en tilsvarende (t,v) – graf.

Her har vi hastigheden (v) op ad y-aksen og tiden (t) hen ad x-aksen.

Vi kan således nu tegne en (t,s) – graf, ved at se at arealet

                                   1
under (t,v) – grafen fra tidspunktet 0 til t er ∙ ℎø𝑗𝑑𝑒 ∙
                                   2

𝑙æ𝑛𝑔𝑑𝑒, dvs:

1

2

∙ 𝑣 ∙ 𝑡 men fordi vi allerede ved at 𝑣 = 𝑎 ∙ 𝑡 skal vi blåt

sætte de to udtryk samme for at få følgende:

    1
         2
𝑠 =  ∙ 𝑎 ∙ 𝑡 og vi får derfor en (t,s) – graf, hvor y-aksen er
    2

strækning (s) og x-aksen er tiden (t).

Newtons 2. lov – Kraftloven

"Et legeme med massen m, der påvirkes af en resulterende kraft F, vil have en acceleration a, som opfylder:

F = m * a," er Newtons 2. lov, og bliver også kaldt kraftloven, man skal dog lige huske på at den

resulterende kraft (F) og accelerationen har samme retning. Det var egentligt ikke Newton selv der brugte

F, m og a, i stedet brugte han ordene. Det var efter hans tid at man fandt på F, m og a, og lavede dermed

også ligningen 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎

Side 6

Galileo

Galileo Galilei var en Italiener, som levede i Han var den første til at bruge kikkerten, og opdagede derved Jupiters måner. Han var vild med eksperimenter, så han lavede en masser af dem ved det skæve tårn i Pisa. Han prøvede at lade kugler med forskellige masser falde ned, og det viste sig hurtigt at de fløj med samme hastighed, og ramte derved jorden på samme tid. Begge disse beretninger var i strid med den katolske kirke, som forbandede Galileo. Senere kunne han forklare hvordan alting bevæger sig. Og ikke nok med det, lavede han en rigtig model for kastebevægelsen – det skrå kast.

Tyngdeacceleration

Gravitation er den tiltrækning som alle legemer har. Nogle har større og andre har mindre. Jorden har en kæmpe gravitation, som gør at vi ikke ”falder af”. Det er også gravitationen som er skyld i at planeterne har en måne, og nu tænker man nok, ”Hvorfor styrter planeterne så ikke sammen med månerne?” Det findes der en simpel forklaring på, nemlig at planeterne er runde, og har derved en hældning som gør at når månen bliver tiltrukket, driver den fremad, og derfor er det som at den går ”ned ad bakken”. Italieneren

Galileo fandt ud af at alle legemer som er påvirket af samme gravitation falder med samme, konstante acceleration, som vi kalder tyngdeacceleration. Men i hans tid havde man ikke meget kendskab til denne del af fysikken, så man forestillede sig mere at tunge ting faldt hurtigere end lette ting, da man mente at tyngdekraften var større ved tunge genstande.

Dette fik Newton dog modbevist med sine mekaniske love, som siger at tyngdekraften er proportional med legemets masse, men alle de forskellige tyngdekræfter som påvirker en genstand med hver sin masse, skal tilsvarende accelerere de forskellige masser. Derfor er det således at tung og lette ting falder med samme konstant acceleration.

Betegnelser og benævnelser

Vi har i følgende teori afsnit arbejdet med følgende betegnelser og benævnelser:

𝑠 = 𝑠𝑡𝑟æ𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔,𝑠𝑜𝑚 𝑚å𝑙𝑒𝑠 𝑖 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟(𝑚)
𝑡 𝑜𝑔 𝑡_{𝑖𝑑} = 𝑡𝑖𝑑𝑒𝑛,𝑠𝑜𝑚 𝑚å𝑙𝑒𝑠 𝑖 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 (𝑠)
𝑣 = ℎ𝑎𝑠𝑡𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑒𝑛 ( 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡𝑦),𝑠𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑔𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑖 =

𝑙æ𝑛𝑔𝑑𝑒 𝑚 𝑡𝑖𝑑𝑠𝑒𝑛ℎ𝑒𝑑 𝑠

𝑎 = 𝑎𝑐𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛,𝑠𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑔𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑖 𝑙æ𝑛𝑔𝑑𝑒/𝑡𝑖𝑑𝑠𝑒𝑛ℎ𝑒𝑑^{2}
𝐹 = 𝑑𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑒𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡 ( 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒) 𝑚å𝑙𝑒𝑠 𝑖 𝑒𝑛ℎ𝑑𝑒𝑛 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 = 𝑁 = 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠^{2}
𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒,𝑠𝑜𝑚 𝑚å𝑙𝑒𝑠 𝑖 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚
Δ= 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 = 𝑒𝑛 æ𝑛𝑑𝑟𝑖𝑛𝑔,𝑠å ℎ𝑣𝑖𝑠 𝑣𝑖 ℎ𝑎𝑟 Δt,er en ændring i tiden.

Forsøgsfremstilling

Apparatur

Side 7

- En tæller

- Tre forskellige kugler, med hver sin masse, hvoraf den ene skal være en bordtennisbold

- Faldapparatsudstyr – bestående af en plade (som stopper tiden) og en magnet til at holde på vores kugle

(som starter tiden)

- En jernstang hvor forsøget skal være sat op på.

Forsøgsfremstilling

Hver gruppe finder de nødvendige apparater til forsøget, og får dem samlet samme så de vil se ud som på billedet til højre. Det er vigtigt at vores stang og bordet ikke vipper, da det kan forårsage en unødvendig fejlkilde.

Vi afvejer vores kugle og sætter den fast i magneten. Derefter slipper vi for kuglen, og resultaterne måles og noteres ned.

Dernæst ændrer vi på højden og bruger den samme kugle igen.

Igen noterer vi resultaterne ned. Efter dette forsøg skifter vi kuglen ud og bytter den ud med en anden kugle, med en anden masse. Forsøgene gentages. Til sidst bytter vi kuglen ud med bordtennisbolden og vi laver nu atter to forsøg. Efter to forsøg noter vi resultaterne ned og er hermed færdige med forsøget.

Resultater

Forsøg m_{kugle} s t_{id} a g Afvigelse

nr.

[kg] [m] [s] [m/s^{2}] [m/s^{2}] %

1 | 0,008 | 0,678 | 0,3745 | 9,66 | 9,82 | 1,53 | Bordtennisbold

2 | 0,008 | 0,845 | 0,4187 | 9,64 | 9,82 | 1,83

3 | 0,005 | 0,708 | 0,3797 | 9,82 | 9,82 | 0,00 | Lille kugle

4 | 0,005 | 0,874 | 0,4218 | 9,82 | 9,82 | 0,00

5 | 0,017 | 0,703 | 0,3819 | 9,64 | 9,82 | 1,83 | Stor kugle

6 | 0,017 | 0,871 | 0,4218 | 9,79 | 9,82 | 0,29

De tal som er ”fede” er nogle vi har noteret ned, hvoraf de andre tal er vores udregninger, på nær ”g” som var givet i forvejen.

Side 8

Resultatbehandling

Forsøg m_{kugle} s t_{id} a g Afvigelse

nr.

[kg] [m] [s] [m/s^{2}] [m/s^{2}] %

1 0,008 0,678 0,3745 9,67 9,82 1,53 Bordtennisbold

For ikke at skulle gentage mig selv vil jeg kun vise et eksempel på vores udregninger.

Som vi kan se, har jeg taget forsøg nummer 1 som vores eksempel.

Ved hjælp af følgende form er vi i stand til at kunne regne den praktiske tyngdeacceleration ud.

𝑠 = ∙ 𝑎 ∙ 𝑡_{𝑖𝑑}^{2}

1

2

Der er dog lige det at vi først skal have isoleret a, så at vores formel vil se sådan ud.

𝑎 =

𝑠

1

2

∙ 𝑡_{𝑖𝑑}^{2}

Vi sætter herefter tallene ind, så vores udregning kommer til at se således ud:

𝑎 = = 9,67𝑚/𝑠^{2}

0,678𝑚

0,5 ∙ 0,3745𝑠^{2}

Dernæst bruger vi vores simpel matematisk viden for at regne den procentvise afvigelse, og får følgende:

𝑔 − 𝑎 9,82𝑚/𝑠^{2} ∙ 9,67𝑚/𝑠^{2}
𝑔 9,82𝑚/𝑠^{2}

∙ 100 ⟺ ∙ 100 = 1,53% 𝑎𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒

Da der ikke er de store forskelle i vores resultater, hvad angår den store og den lille kugle, betyder det at

Galileo havde ret hvad angår legemer i frit fald. Det er lige meget hvor meget de vejer, da de bliver trukket med den samme tyngdekræft.

Vi kan se at vores afvigelse ved bordtennisbolden er stor i forhold til de andre. Dette skyldes den store fejlkilde luftmodstand, som jeg kommer ind på under afsnittet Fejlkilder.

Vurdering

Vi er nu færdige med vores forsøg og alle udregninger. Der har ikke været problem under forsøget, da det var nemt og forståeligt forsøg. Der var ikke nogle store fejlkilder, hvilket har resulteret i nogle pæne resultater. Da vi jo runder af til få decimaler, synes jeg faktisk det er meget flot at vi i vores 3. og 4. forsøg får en afvigelse på 0%. Der er dog stadig nogle fejlkilder, som provokerer vores forsøg, da det jo ikke alle forsøgene som har en afvigelse på 0%.

Vi kan hermed godt konkludere at man kan regne accelerationen med følgende formel:

Side 9

𝑆 = ∙ 𝑎 ∙ 𝑡_{𝑖𝑑}^{2}

1

2

Fejlkilder

- Luftmodstand

Da vi jo bruger en bordtennisbold vil den være påvirker af luftmodstand, mere end begge kugler, da den jo har et større overfladeareal. Fordi den bliver påvirket af luftmodstand, vil vores tid være større, og vil derfor få et andet resultat. I vores første forsøg fik vi vores acceleration til at være

𝑎 = = 9,67𝑚/𝑠^{2}

0,678𝑚

0,5 ∙ 0,3745𝑠^{2}

Men hvis vores tid lige pludselig bliver større vil det se anderledes ud med accelerationen. Vi kan nu sige at tiden i stedet for 0,3745𝑠 er 0,4𝑠:

𝑎 = = 8,48𝑚/𝑠^{2}

0,678𝑚

0,5 ∙ 0,4𝑠^{2}

For at undgå luftmodstand skal dette forsøg laves i et vakuum rum. Dette kan illustreres nemmere ved at vi kigger på en fjer som har samme masse som et lod. Hvis vi giver slip på de to genstande vil loddet selvfølgeligt ramme jorden først, fordi fjeret bliver påvirket af luftmodstanden. Hvis vi derimod laver dette i et vakuum rum, vil fjeren og loddet ramme jorden på samme tid.

- Måleusikkerhed

Der kan selvfølgeligt være en lille måleusikkerhed i vores afmåling af 𝑠, men da det kan give en bedre og en dårligere resultat, og fordi vi afrunder ved 1-2 decimaler, er dette ikke den store fejlkilde.

- Rystelser i bordet og vores magnet

Under forsøget kunne vi have rørt ved bordet, så vi lavede en lille rystelse, dette vil kunne vores kugle til at flyve anderledes, og derved få en mindre 𝑠 end afmålt. Vi kan sige at vi i stedet for 0,678m har 0,670m og får derved følgende resultat

𝑎 = = 9,55𝑚/𝑠^{2}

0,670

0,5 ∙ 0,3745𝑠^{2}

Vi kan herved se at resultatet bliver mindre, og derved en større afvigelse. Men pga. måleusikkerheden, og fordi vi afrunder ved 1-2 decimaler er dette ikke den store fejlkilde.

Det samme gælder for magnet, for når vi trykker på knappen, kan vi komme ud for at nærmest bukker den fremad, og bolden får derved en kortere 𝑠.