Rapport om Effekt på en Cykel

Side 1

CYKELEFFEKT

Side 2

2

Indholdsfortegnelse

Formål ................................................................................................................ 3 Teori.................................................................................................................... 3 Middelhastighed ........................................................................................... 3 Momentanhastighed .................................................................................... 3 Numerisk differentiation ............................................................................. 4 Effekt ............................................................................................................. 4 Apparatur ........................................................................................................... 5 Fremgangsmåde ................................................................................................ 6 Måling af den resulterende effekt .............................................................. 6 Databehandling ................................................................................................. 6 Strækning som funktion af tiden ............................................................... 6 Hastighed som funktion af tiden ............................................................... 7 Acceleration som funktion af tiden ........................................................... 7 Den resulterende effekt som funktion af hastigheden ........................... 8

Baghjulets effekt som funktion af hastigheden ....................................... 8

Maksimal effekt ............................................................................................ 9 Vurdering ......................................................................................................... 10 Diskussion ................................................................................................... 10 Fejlkilder ...................................................................................................... 10 Anvendelse .................................................................................................. 10 Konklusion .................................................................................................. 10

Side 3

3

Cykeleffekt

F O RM ÅL

Formålet med denne rapport er dels, at måle en strækningen som funktion af tiden for en cyklist, der accelerer cyklen op til sin maksimale hastighed i 1. gear, og derefter holder friløb og lader cyklen blive bremset op af vindmodstanden.

Endvidere skal cyklens hastighed samt acceleration beregnes via differentiation af den tilba-gelagte strækning. Ved kendskab til cykel samt rytters samlede masse skal den resulterende effekt beregnes.

Til sidst skal rytterens afgivne effekt beregnes som funktion af hastigheden. Heraf kan den maksimale effekt beregnes samt, hvilket pedalomdrejningstal, der giver den maksimale effekt.

T E O R I

Verden som vi kender den er fyldt med stof i bevægelse. Regndråberne, det faldende æble i haven er eksempler på bevægelsesformer, der tidligere vakte fysikernes interesse.

For at få den rette forståelse af, hvad der ret praktisk sker under det praktiske forsøg, bør te-orien bag middel- og momentan hastighed og ligeledes middel- og momentan acceleration først gennemgås.

MIDDELHASTIGHED

Middelhastighed, også kaldet gennemsnitshastigheden, kan defineres som en given tilbagelagt vejstrækning over en bestemt tidsperiode. Den gennemsnitlige hastighed v kan da udtrykkes som nedenfor, hvor s er strækningen og t tiden.

(2.2.1) v =

dt ds

Fart kan betegnes som samme som hastighed, og dog har fart ingen retning og farten vil der-for altid være den numeriske værdi af hastigheden.

MOMENTANHASTIGHED

Til tider kan det have fordel at kunne bestemme hastigheden i et bestemt punkt, den såkaldte momentanhastighed. Dette sker via numerisk differentiation.

Hastigheden i ét bestemt punkt, momentanhastigheden, kan bestemmes ved at finde middel-hastigheden mellem to punkter på hver side af punktet der skal bestemmes, som kaldes hoved-punktet. Når disse to punkter rygges tættere og tættere ind mod hovedpunktet, ender linien mel-lem punkterne med at tangere hovedpunktet, hvorved man er uendelig tæt på hovedpunktet. Da hældningen af tangenten er lig hastigheden, kan hastigheden således bestemmes.

Momentanhastigheden kan altså udtrykkes

Side 4

4

            ds
(2.2.2) ( ) tv =
            dt

( ) ( ) = ′ tstv

NUMERISK DIFFERENTIATION

Når man på grafregneren bestemmer en differentialkvotient, sker dette ved numerisk diffe-rentiation. Her benyttes ikke den afledede funktion, men man tilnærmer med hældningskoeffici-enten for en sekant til grafen.

Ill. 1,00

Det tænkes, at enten funktionsforskriften eller en tabel over funktionsværdier er kendt. Målet er nu, at tilnærme den differentierede funktion, der er hældningskoefficient for tangenten t. Da punkterne P1, P2 og P0 er kendt kan hældningskoefficienterne for S, S1 og S2 bestemmes. jo nærmere punkterne ligger, jo nærmere vil sekanten ligge på tangenten i det på gældende punkt.

Dette kan beskrives via følgende formel

(2.3.1) ( ) xf ≈

( ) ( ) −−+ hxfhxf

2 h

00

′

Denne formel kaldes formlen for numerisk differentiation.

EFFEKT

Det mekaniske arbejde, som en given effekt udfører ved en given forskydning, er uafhængig af den tid, det tager at udføre arbejdet. I mange tilfælde er det dog interessant at kende arbejdsha-stigheden – arbejde pr. tid. Denne størrelse betegnes effekt og har SI-enheden watt – [W].

(2.4.1) Effekt =

tid

Arbejde

Udføres et arbejde af den konstante kraft fås

Side 5

5

(2.4.2) P ⋅= == vF

t t

A ⋅ sF hvor A er arbejde, s strækning og v er hastighed.

Via Newtons 2. lov, kraftloven, kan overstående udtryk omskrives til følgende

(2.4.3) vmaP ⋅⋅=

Her betegner a accelerationen, m massen og v hastigheden.

A P PAR A T U R

Apparaturet bestod af:

• Cykel

• Rytter

• Vægt

• Dataopsamlingsudstyr

Dataopsamlingsudstyret består af to optisk gafler placeret ved baghjulet. På baghjulet er der placeret en komponent, der afbryder lysstrålen mellem de optiske gafler. Herved kan hver hjul-omdrejning registreres. Data fra de optiske gafler overføres til en dataopsamlingsenhed, der end-videre registrer tiden mellem hver afbrydelse af lyset. Den benyttede dataopsamlingsenhed er Texas Instruments CBL2. Opstillingen er illustreret herunder.

Ill. 2,00

Side 6

6

F R E M G A N G S M Å D E

MÅLING AF DEN RESULTERENDE EFFEKT

I denne øvelse betragtes en cykel med monteret dataopsamlingsudstyr. Inden forsøgets start noteres rytter og cyklens samlede masse, da denne skal benyttes i den videre databehandling. Det sikres, at dataopsamlingsudstyret er forsvarligt monteret og installeret rigtigt.

Via TI-83 Plus grafregneren indstilles dataopsamlingsudstyret. Efter indstilling startes data-opsamlingen, og rytteren begynder at accelererer i cyklens første gear indtil benene ikke mere tilfører baghjulet energi – bare hjuler rundt. Herefter lades cyklen løbe frit og bremses kun op af vindmodstanden. Når cyklen igen står stille returnerer rytteren til udgangsstedet.

På udgangsstedet stoppes dataopsamlingen og data overføres til et lager i TI-83 grafregneren til senere databehandling. Målingen kan eventuelt gentages med en anden person.

DATAB E H A N D L I N G

STRÆKNING SOM FUNKTION AF TIDEN

Via dataopsamlingen kan en graf over forløbet genereres. Genereringsprogrammet kræver kendskab til forskellige parametre såsom hjulomkreds, moment, masse og udvekslingsforhold mellem hjul og pedal. Parametrene er givet herunder.

Gear: #1

Hjulomkreds: 2,09 meter

Masse: 88,00 kg

Udvekslingsforhold: 1,62

Efter indskrivning af de givne parametre genererer programmet en graf. Da målingen blev foretaget som en afstand til tiden, betegner den viste graf strækningen som funktion af tiden.

Side 7

7

Ill. 3,00

HASTIGHED SOM FUNKTION AF TIDEN

Via differentiation af strækningen, vil hastigheden kunne vises på samme måde som funktion af tiden. Da strækningen er målt som numerisk funktion, skal en numerisk differentiationsmetode ligeledes benyttes til differentiation. Dataopsamlingsenheden har ligeledes et program, der udfø-rer denne numeriske differentiation. Da dataopsamlingen fandt sted på både vejen ud og på vejen hjem, skal grafen skæret til, hvor hastigheden er nul, da kun delen før dette punkt er interessant.

Den tilskårede graf af hastigheden som funktion af tiden er illustreret herunder.

Ill. 4,00

ACCELERATION SOM FUNKTION AF TIDEN

Accelerationen for et legeme kan udtrykkes som den differerede hastighedsfunktion. Derfor differeres hastighedsgrafen på samme måde som før, via numeriske differentiation. Acceleratio-nen som funktion af tiden er illustreret herunder.

Side 8

8

Ill. 5,00

DEN RESULTERENDE EFFEKT SOM FUNKTION AF HASTIGHEDEN

Rytterens resulterende effekt som funktion til tiden er midlertidig ikke særlig interessant, da denne kun beskriver den forbrugte effekt pr. tidsenhed. Den resulterende krafts effekt som funk-tion af hastigheden er derimod mere interessant, da vindmodstandens kraft kan ses som negativ effekt, mens rytterens resulterende effekt kan ses som den positive del af effektgrafen. Grafen for den resulterende krafts effekt som funktion af hastigheden er illustreret herunder.

Ill. 6,00

BAGHJULETS EFFEKT SOM FUNKTION AF HASTIGHEDEN

Som beskrevet ses det på illustrationen for oven, at grafens positive del svare til en voksende hastighed – under accelerationen, mens den negative del er, hvor cyklen bremses af vinden. Den effekt rytteren tilfører baghjulet kan da udtrykkes som

(5.6.1)               FFF −=
                       vindresbaghjul

Rytterens tilførte effekt kan da beskrives som den resulterende effekts positive del minus den resulterende effekts negative del. Baghjulets effekt som funktion af hastigheden er grafisk illustre-ret herunder.

Side 9

9

Ill. 8,00

MAKSIMAL EFFEKT

Ud fra overstående graf, kan rytterens maksimale effekt bestemmes, samt ved hvilken hastig-hed det skete.

Grafen viser, at rytteren gav en maksimal effekt på 1051 watt ved hastigheden 7,48 meter pr.

sekund. Rytterens optimale omdrejningshastighed kan da beregnes ud fra følgende formel

(5.7.1) RPM =

⋅ ForholdOmkreds
            − pedalhjulhjul

Hastighed_{optimal}

optimal

RPM = = 55,132 RPM

m ⋅ 62,109,2 s m sek ⋅ 48,760 optimal

Ergo yder rytteren en optimal indsats, på 1051 watt, ved 132,5 pedalomdrejninger pr. minut, svarende til 2,21 omdrejninger pr. sekund.

Side 10

10

V U R D E R I N G

DISKUSSION

De fundne resultater virker troværdige, selvom de forskellige i klassen har fået forskellige maksimale effekter. Dette kan skyldes, at udglatningen blev foretaget af hver enkelt i klassen.

Værdierne virker som sagt troværdige da energiudladninger i intervallet 0 til 1.000 joule pr. se-kund er normalt, hvis man ønsker at accelerere et legeme på næsten 100 kg samme måde som rytteren gjorde.

FEJLKILDER

Blandt de største fejlkilder bør nævnes fejlen i differentiationsprogrammet og andre fejl un-der selve dataopsamlingen. Databearbejdningen forløb næsten uden problemer, hvis man ser bort fra episoden med differentiationsprogrammet. Da de fundne værdier også er i den pænere ende må eventuelle fejlkilder være minimale.

ANVENDELSE

Målinger som disse ville nok have størst effekt inden for den professionelle cykelsport. Via samme fremgangsmåde kan en professionel cykelrytter måle, hvornår effekten er optimal, både hastighed samt hvilket gear der bør benyttes. Endvidere kan teknikken være særdeles nyttig i motionscykler.

Numerisk differentiation finder dog stor udbredelse inden for den matematiske verden, hvor metoden kan anvendes til at analysere forskellige plot.

KONKLUSION

Konklusionen er, at jeg med ret god samvittighed kan sige, at teorien stemmer. Formålet blev opfyldt og rytterens maksimale effekt på 1050 watt blev beregnes. Hastigheden, hvorved rytteren afgav størst effekt blev beregnet til 7,48 meter pr. sekund, svarende til 132 RPM.

Resultaterne i forsøgene er også i den pænere ende. Trods fejlkilderne menes det, at forsøget er udført tilfredsstillende.