Rapport om Bestemmelse af Adiabateksponenten

Side 1

HTX 3. år

Bestemmelse af

adiabateksponenten
      Fysik forsøg

HTX 3. år

Side 2

[navn fjernet] , 3A

Bestemmelse af adiabateksponenten den 10/11-2009

Side 2 af 12

Indholdsfortegnelse

Formål: ............................................................................................................................................................... 3 Teori: .................................................................................................................................................................. 3 Fremgangsmåde: .......................................................................................... Fejl! Bogmærke er ikke defineret.

Materialeliste: ................................................................................................................................................... 5 Grafer:................................................................................................................................................................ 7 Beregninger: ...................................................................................................................................................... 8 Fejlkilder: ...................................................................................................... Fejl! Bogmærke er ikke defineret.

Diskussion: ....................................................................................................................................................... 11 Konklusion: ...................................................................................................................................................... 12

Side 3

[navn fjernet] , 3A

Bestemmelse af adiabateksponenten den 10/11-2009

Side 3 af 12

Formål:

Formålet med dette forsøg var, at bestemme adiabateksponenten γ.

Teori:

En adiabatisk proces er en proces, hvor der ikke udveksles varme med omgivelserne. Dette er tilfældet, fordi processen foregår så hurtigt, at der ikke slipper nogen nævneværdig varmemængde bort gennem. Dermed må følgende også gælde:

Δ𝑈 = 𝑄+ 𝐴_{𝑡𝑖𝑙𝑓} = 0 + 𝐴_{𝑡𝑖𝑙𝑓}

Δ𝑈 = 𝐴_{𝑡𝑖𝑙𝑓}

Dette er f.eks. princippet i en dieselmotor. Her omdannes kemisk bundet energi til mekanisk energi, via forbrænding af dieselolie i motorens cylindere.

Da der ikke kan slippe nogen varmemængde bort i cylinderne, vil temperaturen stige så hurtigt, at brændstoffet antændes. Denne proces kan hverken siges at være isobar, isokor eller isoterm, derfor blev begrebet adiabatisk proces opfundet.

Lad os betragte en gas, som ekspandere adiabatisk:

Som det kan ses på skitsen, betragter vi en gas, som går fra T1 til T2. Først sker en isokor proces, som mindsker trykket mens volumen holdes konstant. For dette er muligt, er det nødvendigt at temperaturen køles ned til stuetemperatur. Dernæst sker en fri ekspansion, som gør vi kommer til T2. Denne proces kaldes en adaibatisk proces, fordi vi ikke kan beskrive den frie ekspansion med hverken en isobar, isokor eller isoterm proces.

Ved en isokor proces, bestemmes den tilførte varmemængde på følgende måde:

Side 4

[navn fjernet] , 3A

Bestemmelse af adiabateksponenten den 10/11-2009

Side 4 af 12

𝑄 = Δ𝑈_{𝑖𝑠𝑜𝑘𝑜𝑟} = 𝑛 ∗𝐶_{𝑚𝑉} ∗ Δ𝑇

Ved den frie ekspansion, lader man blot gassen ekspandere frit og derved sker der her ingen ændring i indre energi. Dermed bliver den samlede ændring i indre energi for disse to processer:

Δ𝐴_{𝑡𝑖𝑙𝑓} = Δ𝑈_{𝑖𝑠𝑜𝑘𝑜𝑟+𝑓𝑟𝑖 𝑒𝑘𝑠𝑝.} = 𝑛 ∗𝐶_{𝑚𝑉} ∗ Δ𝑇

Da vi ved, at det for en adiabat må gælde, at 𝑑𝐴_{𝑡𝑖𝑙𝑓} = 𝑑𝑈_{𝑖𝑠𝑜𝑘𝑜𝑟+𝑓𝑟𝑖 𝑒𝑘𝑠𝑝.} = −𝑝∗ 𝑑𝑉, må det også
gælde, at differentiel temperaturændring: Δ𝑇 = 𝑑𝑇. Dermed kan ovenstående formel skrives

således op:

−𝑝 ∗𝑑𝑉 = 𝑛∗ 𝐶_{𝑚𝑉} ∗ 𝑑𝑇

Hvor af det må gælde, at hvis vi ønsker at differentiere men hensyn til temperaturen T: 𝑑𝑇 𝑝

𝑑𝑉 𝑛∗ 𝐶_{𝑚𝑉}

= −

Vi kender tilstandsligningen, som lyder; 𝑝 ∗ 𝑉 = 𝑛 ∗ 𝑅∗ 𝑇, hvis denne differentieres med hensyn

til volumen V får vi at: 𝑑𝑝 𝑑𝑇 𝑑𝑉 𝑑𝑉

∗ 𝑉+ 𝑝∗ 1 = 𝑛∗ 𝑅∗

Indsætter vi dernæst udtrykket som vi netop har fundet for dT/dV får vi;

𝑑𝑝 𝑝

𝑑𝑉 𝑛 ∗𝐶_{𝑚𝑉}

∗ 𝑣+ 𝑝 = 𝑛 ∗𝑅∗ (−)

Hvor af det må gælde, at;

𝑑𝑝 𝑅+ 𝐶_{𝑚𝑉}
𝑑𝑉 𝐶_{𝑚𝑉}

∗ 𝑉 = − ∗ 𝑝

Vi kan nu se, at tælleren i brøken til højre er samme formel, som til bestemmelse af den molære

varmekapacitet ved konstant tryk (𝐶_{𝑚𝑝} = 𝑅+ 𝐶_{𝑚𝑉}). Derfor kan vi nu definere

adiabateksponenten γ:

𝛾 =

𝐶_{𝑚𝑝}
𝐶_{𝑚𝑉}

Side 5

[navn fjernet] , 3A

Bestemmelse af adiabateksponenten den 10/11-2009

Side 5 af 12

Med denne kan vi ”omforme” vores forrige ligning til: 𝑑𝑝 𝑑𝑉 𝑝 𝑉

= −𝛾∗

Herefter kan vi integrere ligningen og få følgende:

∫ = −𝛾∗ ∫ + 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝑑𝑝 𝑑𝑉 𝑝 𝑉

Her af følger:

ln𝑝 = −𝛾ln𝑉+𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

Bruger vi logaritmeregneregler, følger at;

ln𝑝 + ln𝑉^{𝛾} = ln𝑝𝑉^{𝛾} = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡

Tages eksponentialfunktionen får vi den færdige formel, som i så fald bliver;

𝑝𝑉^{𝛾} = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

Denne formel fortæller sammenhængen mellem tryk og volumen i en adiabat. Denne ligning kaldes Poissons ligning.

Kombinere man Poissons ligning med tilstandsligningen finder vi;

𝑝𝑉^{𝛾} = (𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡∗) ∗ 𝑉^{𝛾} = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝑇

𝑉

Derved kan vi udlede en alternativ formel for adiabaten:

𝑇𝑉^{𝛾−1} = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

Det afhænger altså af hvilke variabler vi kender, hvilken formel vi skal bruge for at bestemme adiabaten.

Desuden skulle vi udlede adiabateksponenten som funktion af p og V og V og T;

Da vi i vores rapport skal bruge formlen for γ da det er den vi skal finde, skal vi have lavet vores to formler vi har fundet om så vi kan finde γ ved hjælp af dem.

Side 6

[navn fjernet] , 3A

Bestemmelse af adiabateksponenten den 10/11-2009

Side 6 af 12

Da der gælder at

𝑝_{1} ∗ 𝑉_{1}^{𝛾} = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑝_{2} ∗ 𝑉_{2}^{𝛾} = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡

Må det betyde vi kan sætte dem lig med hinanden også isolerer γ.

𝑝_{1} ∗ 𝑉_{1}^{𝛾} =𝑝_{2} ∗ 𝑉_{2}^{𝛾} ↔ 𝛾 =

ln ()

𝑃_{1}
𝑃_{2}
−ln ( 𝑉_{1}) + ln (𝑉_{2})

Dette samme må gælde for

𝑇_{1} ∗ 𝑉_{1}^{𝛾−1} = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑇_{2} ∗ 𝑉_{2}^{𝛾−1} = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡

Må vi også kunne isolere γ ved at sætte dem lig med hinanden

𝑇_{1} ∗ 𝑉_{1}^{𝛾−1} = 𝑇_{2} ∗ 𝑉_{2}^{𝛾−1} ⇔ 𝛾 =

−ln ( 𝑉_{1}) + ln ( 𝑉_{2}) + ln ()

𝑇_{1}
𝑇_{2}
−ln ( 𝑉_{1}) + ln ( 𝑉_{2})

Nu har vi fundet de to formler vi skal bruge senere nede i vores resultatbehandling

For at finde γ ved brug af tryk og volumen.

𝛾 =

ln ()

𝑃_{1}
𝑃_{2}
−ln ( 𝑉_{1}) + ln (𝑉_{2})

For at finde γ ved brug af volumen og temperaturen.

𝛾 =

−ln ( 𝑉_{1}) + ln ( 𝑉_{2}) + ln ()

𝑇_{1}
𝑇_{2}
−ln ( 𝑉_{1}) + ln ( 𝑉_{2})

Materialeliste:

• PC med Datastudio

• Apparatet er bygget op omkring en plexiglascylinder hvori der kan glide et stempel

Side 7

[navn fjernet] , 3A

Bestemmelse af adiabateksponenten den 10/11-2009

Side 7 af 12

0

2

4

6

8 2

10

Y 12

14

16

18

20

0

T

R

K | L
K | O
E | G

T

VOLUMEN

Serie1

y = -1,2599x + 3,0429
R² = 0,9991

0

0,5

1

1,5

2,5

E 0 0,5 1 1,5

(

T

R

Y

K

K

T

)

LOG(VOLUMEN)

Adiabateksponenten

Adiabateksponenten

Lineær

(Adiabateksponente n)

• Diverse censor (Tryk, volumen og temperatur)

• Beholder med CO

2

• En stærk mand til at trykke stemplet ned

Forsøgsopstilling:

Grafer:

Jeg har herunder indsat en graf hvor jeg viser, hvordan adiabat eksponenten findes:

Side 8

[navn fjernet] , 3A

Bestemmelse af adiabateksponenten den 10/11-2009

Side 8 af 12

0 0

50 0,5

100 1

K 150 1,5

200 2 ADIABATEKSPONE

250 2,5

300 3 R² = 0,9985

350

400

T

R

Y

K

E

T

VOLUMEN LOG(VOLUMEN)

Serie1

y = -1,2079x + 3,5449

0 0,5 1 1,5

L

O

G

(

T

R

Y (ADIABATEKSPONE

K

K

E

T

)

ADIABATEKSPONENTEN

NTEN

Lineær

NTEN)

Graferne viser ekspansion af CO.

2

Som det kan ses på den første graf, har jeg indsat det trykket og volumen i et diagram. Jeg har kontrolleret, at tiden til de eksakte værdier er den samme. Dernæst har jeg taget logaritmen af trykket og volumen og sat disse data ind i et diagram, hvoraf jeg indsatte en tendens linje.

Hældningen af denne er adiabateksponenten.

Herunder ses en kompression af O:

2

Disse grafer er laver på samme måde, som for graferne for ekspansion af CO

2

. Jeg har vedlagt de resterende grafer samt måledata’en fra fra DataStudio i afleveringsmappen.

Beregninger:

Jeg har også beregnet afgivelserne i procent for samtlige forsøg og får;

Forsøg nr. | Adiabateksponenten | Afvigelse i %
Forsøg 1; Kompression O | 1,2079 | 13,72 %

2

Forsøg 2; Kompression O | 1,2467 | 10,95 %

2

Forsøg 1; Kompression CO | 1,1308 | 12,34 %

2

Forsøg 2; Kompression CO | 1,1299 | 12,41 %

2

Forsøg 1; Ekspansion O | 1,2243 | 12,55 %

2

Side 9

[navn fjernet] , 3A

Bestemmelse af adiabateksponenten den 10/11-2009

Side 9 af 12

Forsøg 2; Ekspansion O | 1,2200 | 12,86 %

2

Forsøg 1; Ekspansion CO | 1,2599 | 2,33 %

2

Forsøg 2; Ekspansion CO | 1,2385 | 3,99 %

2

Jeg har beregnet denne afvigelse i procent på følgende måde;

𝐴𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 𝑖 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡 = () ∗ 100

𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘− 𝑚å𝑙𝑡

𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘

Som det også kan ses på de forskellige afvigelser, er dette forsøg

Nu skal vi så til at udregne vores γ for henholdsvis atmosfærisk luft og 𝐶𝑂
                                                           2

, ved hjælp af vores formler fra vores teori afsnit.

𝛾 =

ln ()

𝑃_{1}
𝑃_{2}
−ln ( 𝑉_{1}) + ln (𝑉_{2})

𝛾 =

−ln ( 𝑉_{1}) + ln ( 𝑉_{2}) + ln ()

𝑇_{1}
𝑇_{2}
−ln ( 𝑉_{1}) + ln ( 𝑉_{2})

Jeg vil kun benytte mig af formel 2 til beregningen af γ. For at forstå udregningerne betyder eksempelvis V1

og V2 også volumen 1 og volumen 2 fra skemaet. 𝛾_{1} betyder resultatet for forsøg 1.

Eksempel på beregning af kompression af CO:

2

𝛾 =

ln ()

𝑃_{1}
𝑃_{2}
−ln ( 𝑉_{1}) + ln (𝑉_{2})

Side 10

[navn fjernet] , 3A

Bestemmelse af adiabateksponenten den 10/11-2009

Side 10 af 12

Sammenlignes dette med graf for kompression af CO_{2} (forsøg 1), kan man se at dette stemmer overens.

Den eneste forskel er decimaler og det er et spørgsmål og afrunding. På samme måde Finder jeg adiabateksponenten for de resterende forsøg;

Forsøg; Udregnet Excel

Ekspansion CO_{2} forsøg 1 1,299 1,259
Ekspansion CO_{2} forsøg 2 1,215 1,238
Ekspansion O_{2} forsøg 1 1,206 1,224
Ekspansion O_{2} forsøg 2 1,203 1,220
Kompression CO_{2} forsøg 1 1,137 1,130
Kompression CO_{2} forsøg 2 1,103 1,129
Kompression O_{2} forsøg 1 1,208 1,207
Kompression O_{2} forsøg 2 1,244 1,246

Som det kan ses i ovenstående tabel, er nogle af værdierne tæt ved hinanden, mens andre er et større stykke fra hinanden. Dette skyldes ene og alene det faktum, at afrundingen er forskellig.

Hvor Excel har taget samtlige decimaler, har jeg blot taget 2 efter kommaet.

Jeg kan sammenligne mine beregnede værdier, ligesom jeg gjorde med Excels adiabateksponent.

Dette gør jeg ved at finde gennemsnittet af eksponenterne for CO og O og beregne afvigelse i

2 2 procent i forhold til tabelværdien:

𝛾_{𝑒𝑘𝑠𝑝 𝐶𝑂_{2}} = = 1,257

(1,299 + 1,215)

2

𝛾_{𝑒𝑘𝑠𝑝 𝑂_{2}} = = 1,205

(1,206 + 1,203)

2

𝛾_{𝑘𝑜𝑚𝑝 𝐶𝑂_{2}} = = 1,120

(1,137 +1,103)

2

𝛾_{𝑘𝑜𝑚𝑝 𝑂_{2}} = = 1,226

(1,208 +1,244)

2

Jeg har slået tabelværdien for adiabateksponenten for CO og O til henholdsvis at være;

2 2

𝐶𝑂_{2} = 1,299 𝑜𝑔 𝑂_{2} = 1,399

Side 11

[navn fjernet] , 3A

Bestemmelse af adiabateksponenten den 10/11-2009

Side 11 af 12

𝐴𝑓𝑔𝑖𝑣𝑒𝑙𝑠𝑒𝑛 𝑖 %= ∗ 100%

|𝛾_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙} − 𝛾_{𝑥} |
𝛾_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙}

Jeg giver blot et eksempel. Man beregner samtlige afvigelser på samme måde (kompression O_{2} forsøg 2) ;

𝐴𝑓𝑔𝑖𝑣𝑒𝑙𝑠𝑒𝑛 𝑖 %= ∗ 100%

|1,399 − 1,244|

1,399

𝐴𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 𝑖 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠 = 11,01%

Diskussion:

Et ideelt instrument til denne øvelse, skal være helt tæt, og være i vakuum, så der hverken kan komme påvirkninger udefra eller sive noget ud som kan gøre at det ikke virker optimalt. Så skal kompressionen og ekspressionen ske i et hug med den samme fart igennem for at mindske at farten bliver sløvere eller er langsommere i starten ind til slut, eller at den ikke går i stå på noget tidspunkt, og at den hele tiden har samme start punkt og samme slutpunkt. Dette vil være det ideelle instrument. Instrumentet vil gøre p,V og T kurverne mere glatte ikke alle de der spræng og så vil der ske en væsentlig større udvikling med trykket og temperaturen. Disse specifikationer vil kunne ændre usikkerheden med en del. Men vil det være nok til at kunne skelne forskel mellem mono-, di- og tri-atomare molekyler, og forskellige di-atomare gasser. For at vide hvor meget fejlprocent man kan have for at kende skelne mellem disse ting er vi nød til at finde deres γ for nogle mono- di- og tri- atomare gasser. For at finde den skal vi bruge informationen som vi har

brugt for at finde γ for 𝐶𝑂_{2} og atmosfæriskluft, formlen

𝛾 =

𝐶_{𝑚𝑝}
𝐶_{𝑚𝑉}

Her under ses et skema for de for 𝐶_{𝑚𝑝}, 𝐶_{𝑚𝑉} og den udregnet γ- værdi for forskellige gasser.

Type gas 𝑪_{𝒎𝒑} [𝑱/𝒎𝒐𝒍 ∗ 𝑲)] 𝑪_{𝒎𝑽} [𝑱/𝒎𝒐𝒍 ∗ 𝑲)]
𝜸 =

𝑪_{𝒎𝒑}
𝑪_{𝒎𝑽}

He 20,9 12,8 1,0

Ne 20,8 12,5 1,0

Ar 20,9 12,7 1,1

Side 12

[navn fjernet] , 3A

Bestemmelse af adiabateksponenten den 10/11-2009

Side 12 af 12

N_{2} 29,1 20,7 1,1
O_{2} 29,4 21,0 1,0
H_{2} 28,4 20,2 1,4

Atmosfærisk luft 29,1 20,8 62

CO_{2} 36,9 28,4 75

Mono-atomare Di-atomare Tri-atomare

Man kan se ud fra skemaet at der er ikke er særlig stor forskel på mono-, di- og tri- atmomare, dette gør at hvis man skal have et apparat der kan kende forskel på dem skal have en maksimal fejlprocent på mellem 0 og 5 % får at vi kan være sikker på hvilken slags gas det er, hvis man skal kunne kende forskel mellem di- atomare må fejlprocenten ikke være større end 0,01% og endda mindre, da der er så lille en forskel mellem dem. Vores apparat vi brugte havde en fejlprocent mellem 0,7 – 15,8 % og vil de fleste gange kunne skelne mellem en mono-, di- og tri- atomare.

Konklusion:

Jeg kan hermed konkludere, at dette var et af de mindre præcise forsøg. Der var store afvigelser.

Dette tror jeg hovedsageligt skyldes, at dette er et svært forsøg, forstået på den måde, at det er utrolig svært, at adskille to gasser fra hinanden. Atmosfæren består af mange forskellige gas arter, og derfor vil der aldrig kun kunne forekomme ren O

2 i luften. Dette er tilfældet for forsøget med

CO. Det vil være umuligt at rense beholderen 100% for atmosfærisk luft. Dette er dog noget

2 nemmere i og med vi ved at det er ren CO

2 det vi putter i beholderen. Derfor bliver afvigelsen også lidt lavere her.

Alt i alt syntes jeg dog det har været et spændende forsøg med en masse udfordring i. En god måde, at blive sat ind i teorien om adiabateksponenten og dens muligheder.