Centripetalkraft i en cirkelbevægelse - rapport i fysik

Side 1

Fysikrapport: Jævn cirkelbevægelse 24/9-2010

August 3.x 1

Formål

                                                                       3
                                                                     4π
                                                              2
At eftervise formlen for centripetalkraften i en cirkelbevægelse: F = m · r · ω = m · r ·
                                                     c
                                                                       2
                                                                      T

Teori

Figuren til venstre viser et objekt, der bevæger sig med konstant hastighed v rundt i en cirkel. I dette tilfælde siger man, at legemet udfører en jævn cirkelbevægelse. I stedet for at anvende det almindelige hastighedsbegreb vælger man ofte at beskrive legemets hastighed, som det antal vinkler det tilbagelægger pr. tid.

Idet vi benævner omløbstiden med T, er vinkel hastigheden lig:

   2π
ω =
    T

Betingelsen for at et legeme udfører en jævn cirkelbevægelse er, at det er påvirket

STX 3.g kraft kalder man centripetalkraften. Den er ikke en naturkraft men den resulterende indadrettede kraft af alle de kræfter, som

virker på legemet. Man kan vise, at der gælder følgende formel for centripetalkraften F :
                                                                      c

                               3
                             4π
                      2
(1) F        = m · r · ω = m · r ·
                               2
                              T

c

Det er denne formel vi skal eftervise i vores forsøg. Det gøres ved at lade et newtonmeter trække en vogn rundt i en cirkelbevægelse ved forskellige kræfter, som aflæses på newtonmetret, og måle omløbstiden for dem hver især. Forsøget er imidlertid mere kompliceret end som så. Vi kan nemlig ikke holde r konstant og på den måde lave regression af sammenhængen mellem F og T. Det skyldes, at et newtonmeter er en fjeder, som adlyder hookes lov:

Hookes lov:

Den kraft som en fjeder udfører ind mod sin ligevægtsstilling er proportional med dens forlængelse eller forkortelse efter formlen:

F = -k · y

Omvendt gælder der også, at den kraft som man skal bruge for at forlænge eller forkorte en fjeder er proportional med fjederforkortelsen eller forlængelsen:

F = k · y

Her er k en konstant, som kaldes fjederkonstanten og har enheden:

    N
[k] =
    m

Vi kan således ikke holde r konstant i vores målinger, da den stiger proportional med den kraft, som vi trækker i vognen med. Problemet løses ved i første del af vores forsøg at bestemme fjederkonstanten for vores newtonmeter, og i anden del så koble den med formlen for centripetalkraften. Det smarte ved dette uddybes i anden del af forsøget.

Del 1 – bestemmelse af newtonmetrets fjederkonstant

Newtonmetrets fjederkonstant bestemmes ved simpel lineær regression: Hvis vi benævner afstanden, hvor

fjederkraften er 0 som r_{0}, vil der jvf. ovenstående teori for fjedre gælde:

Side 2

Fysikrapport: Jævn cirkelbevægelse 24/9-2010

August 3.x 2

(2) F = k · (r-r_{0})

fjeder

⬄

(3) r = · F_{fjeder} + r_{0}

1 k

Dette er vores teoriligning for første del af forsøget. Af den ses det, at vi kan bestemme newtonmetrets

fjederkonstant ved at måle sammenhørende værdier af r og F_{fjeder}. Plottet ind som graf med r som funktion
af F_{fjeder} burde dette nemlig give en ret linje med hældning^{1}_{k} og skæring på y-aksen r_{0}.

Del 2 – påvisning af formlerne for centripetalkraften

Med newtonmetrets fjederkonstant bestemt, kan det egentlige forsøg igangsættes. Idet F = F , som vi
                                                                         fjeder c

nu blot kalder F, kan vi indsætte teoriligningen fra første forsøg i formlen for centripetalkraften, dvs.:
             ,

F = m · r · ω^{2}

⬄

F = m ( ·F + r_{o}) ω^{2}

1 k

⬄

F· = ·F + m r_{o}

1 m

ω^{2} k

⬄

1 m mr_{o}
ω^{2} k F

= +

⬄

T^{2} m mr_{o}
4 π^{2} k F

= +

⬄

T^{2} m mr_{o}
4 π^{2} k F

– =

⬄

1 1 1

mr_{o} 4 π^{2} kr F

·T^{2} – =

o

⬄

(5) = ·T^{2} –

1 1 1

F mr_{o} 4 π^{2} kr_{o}

Dette er vores teoriligning i anden del af forsøget. Det smarte ved den er, at den ikke afhænger af

størrelsen af r men i stedet af konstanterne k og r_{0}, som vi har bestemt gennem første del af forsøget.

Herfra er det således bare standardregression: Ved at måle sammenhørende værdier af F og T og lave en

           1
         2
graf over (T , ) burde vi jvf. ovenståend få en ret linje med hældningskoefficient og skæring på
           F

1

mr_{o} 4 π^{2}

anden-aksen –. Dette kan så sammenholdes med resultaterne fra første forsøg ved at isolere og

1

kr_{o}
beregne r_{0} og sammenholde med den bestemte værdi fra første del af forsøget for hældningskoefficienten

og herefter indsætte den fundne værdi for r i den anden konstant, isolere k og sammenholde den med
                                    0
                                                                            1

                                                                              2
                                                                                   k
                                                                          mr 4π
                                                                           0
værdien bestemt i første del af forsøget. Det er desuden interessant at udregne størrelsen = ,
                                                                            1
                                                                                   2
                                                                                 4π ∙m

kr

0

Side 3

Fysikrapport: Jævn cirkelbevægelse 24/9-2010

August 3.x 3

da den, som det ses, er uafhængig af r_{0}. Vi kan således kontrollere om eventuelle upræcise resultater
skyldes usikkerhed på r_{0} – f.eks., at længden har forskudt sig under forsøget.

Apparatur

Vogn med massen m = 0,2kg

Cirkelapparat

10N-meter

Stationær spole

Impo funktionsgenerator

Fremgangsmåde

Forsøget anvendte en opstilling som vist på figuren. Princippet i konstruktionen er, at vi nederst har en motor, som driver en platform rundt i en cirkelbevægelse. På platformen står så vores vogn med massen m

= 0,200kg, som vil følge med i cirkelbevægelsen, idet den er fastholdt af en snor, som er forbundet til

newtonmetret over en trisse, som ligger således, at newtonmetret trækker fra cirkelbevægelsens centrum.

På den måde udfører vognen i teorien en cirkelbevægelse, hvor centripetalkraften er kraften fra newtonmetret.

Skitse af forsøgsopstillingen. Hugget fra Bo Brøndsted himself <3

(1) Bestemmelse af newtonmetrets fjederkonstant:

Første del af forsøget var som sagt at bestemme newtonmetrets fjederkonstant. Det blev gjort ved at sætte vognen i en startposition, konkret blev den sat ved starten af en 10cm-streg, således at større værdier for r let kunne aflæses. Vognen blev nu trukket ud så F antog værdierne 1, 2, 3.., 10N og de tilsvarende værdier for r blev aflæst.

(2) Påvisning af formlen for centripetalkraften i en jævn cirkelbevægelse

Herefter blev cirkelapparatet startet. Apparatet fungerede således, at man kunne regulere på hastigheden.

På den måde kunne vi måle ved forskellige omløbstider og F kunne så aflæses på newtonmetret.

Omløbstiderne blev målt ved at indlægge en magnet i lommen på cirkelapparats platform og stille en stationær spole ved siden af. Hver gang platformen så passerede spolen, inducerede den en lille strøm,

Side 4

Fysikrapport: Jævn cirkelbevægelse 24/9-2010

August 3.x 4 som blev registreret som en elektrisk puls og overført til Impo Funktionsgeneratoren, hvor omløbstiden så kunne aflæses.

Resultater

(1) Bestemmelse af Newtonmetrets fjederkonstant:

F_{fjeder} /N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r/m 0,118 0,13 0,139 0,150 0,162 0,172 0,182 0,193 0,204 0,214

(2) Påvisning af formlen for centripetalkraften i en jævn cirkelbevægelse:

Databehandling

(1) Bestemmelse af Newtonmetrets fjederkonstant:

I det følgende ses en graf over sammenhængen mellem F_{fjeder} og r målt i første del af forsøget. Idet

punkterne med god tilnærmelse lå på en ret linje, er der tilføjet en tendenslinje med regressionsligning:

Sammenholder vi regressionsligningens koefficienter med vores teoriligning for første del af forsøget

   1
r = · F  + r , ser vi at:
      fjeder 0
   k

1 k

= 0,0107^{m}_{N} ⬄ k = 93,5_{m}^{N} og r = 0,108m

0

r = 0,0107m/N · Ffjeder + 0,1078m
R² = 0,9997

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

2

r/m

Ffjeder/N

Ffjeder som funktion af r

F/N 1 2,4 3 4 4,4 5,4 8,3

T/s 0,901 0,602 0,457 0,399 0,387 0,355 0,304

Side 5

Fysikrapport: Jævn cirkelbevægelse 24/9-2010

August 3.x 5

(2) Påvisning af formlen for centripetalkraften i en jævn cirkelbevægelse:

Første del af databehandlingen for anden del af forsøget er at udregne de størrelser, som vi skal bruge til

regressionen (T^{2} og F^{-1}) ud fra vores målte variable. Dette er gjort i nedenstående skema:

Herefter kunne grafen for sammenhængen mellem F^{-1} og T^{2} laves. Idet punkterne så ud til at ligge på en ret

linje, er der blevet lavet lineær regression af dataserien:

Sammenholder vi regressionsligningen med vores teoriligning: = ·T^{2} –, ser man straks, at

1 1 1

F mr_{o} 4 π^{2} kr_{o}
der er noget galt. For konstanten 0,0445N^{-1} i regressionsligningen burde jo iflg. vores teori have en negativ
værdi (= -). På den måde viser vores forsøg altså at en af de 2 værdier k eller r_{0} er negativ, hvilket vi jo

1

kr_{o}

ved ikke er muligt. Bortforklarer vi dette med forsøgets store usikkerhed (dette uddybes under diskussionen), kan vi dog stadig regne med at den anden konstant i regressionsligningen har den teoretiske værdi:

1,1666N^{-1} ·s^{-2} =

1

mr_{o} 4 π^{2}
Ved at isolere r_{0} og indsætte m=0,2kg får vi:

1/F = 1,1666N^{-1} ·s-^{2} · T²+ 0,0445N^{-1}
R² = 0,9896

0

0,2

0,4

(1/F)/(1/N) 0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

T²/s²

1/F som funktion af T²

F/N 1 2,4 3 4 4,4 5,4 8,3

T/s 0,901 0,602 0,457 0,399 0,387 0,355 0,304

T^{2} /s^{2} 0,812 0,362 0,209 0,159 0,150 0,126 0,092

F^{-1} /N^{-1} 1 0,42 0,33 0,25 0,23 0,19 0,12

Side 6

Fysikrapport: Jævn cirkelbevægelse 24/9-2010

August 3.x 6

1,1666N^{-1} ·s^{-2} =

1

mr_{o} 4 π^{2}

⬄

       -1 -2
1,1666N ·s · r =
            0
                  2
               m4π

1

⬄

r =          =            = 0,109m
 0
         −1          −1
   1,1666N      1,1666N

1 m4π

2

∙s^{−2} ∙s^{−2}

1

0,2kg ∙ 4π

2

En værdi, der umiddelbart stemmer godt overens med den værdi for r_{0} vi målte i første del af forsøget. Det

interessante ville nu være at sammenholde anden konstant i vores regressionsligning med den teoretiske
                           1

                              2
 1                               k
                         mr 4π
                           0
(  ) samt udregne størrelsen  =    , hvilket svarer til den første koefficient i vores
                           1
  0                               2
 kr                             4π

kr

0 regressionsligning divideret med den negative værdi af den anden. Udregningerne giver imidlertid slet ingen mening med vores data, idet vores anden konstant i regressionsligningen er positiv. Vi har således

kun udregningen af r_{0} til at konkludere på.

Diskussion

Første del af forsøget er der egentlig ikke så meget at konkludere på. Det var jo blot et nødvendigt skridt på vejen mod anden del af eksperimentet, som var det egentlige forsøg. I anden del er der til gengæld en del

at snakke om. Vha. andet forsøg bestemmes r_{0} til:
r_{0} = 0,109

Procentvis afviger dette fra værdien for r
                                 0

, som vi bestemte i del 1 af forsøget med:

%_{afvigelse} = · 100% = 0,01%

0,109m – 0,108m

0,109𝑚

En meget lille procentvis afvigelse, som dog ikke skal tages for gode varer, da r jo egentlig bare
                                                               0

sammenlignes med en værdi bestemt gennem et andet eksperiment og på den måde ikke med en særlig pålidelig værdi. Det kan derfor lige så godt være tilfælde som nøjagtighed, at afvigelsen er så lille. Men det taler selvfølgelig ikke desto mindre for formlen for centripetalkraften, som vi ønsker at påvise. Det er dog lidt ringe grundlag at konkludere på, især når det andet led i regressionsligningen passer så dårligt. Som det

ses af grafen for (T^{2},F^{-1}) afviger de sidste 2 punkter væsentligt fra den næsten perfekte rette linje, som de

første punkter ligger på. Og udelades fås også et regressionsresultat, som umiddelbart passer bedre med teorien:

1/F = 1,787N^{-1} ·s-^{2} · T² - 0,039N^{-1}
R² = 0,9963

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

(1/F)/(1/N) 0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

T²/s²

1/F som funktion af T²

Side 7

Fysikrapport: Jævn cirkelbevægelse 24/9-2010

August 3.x 7

Som det ses bliver det dels en pænere ret linje og mere vigtigt har den anden koefficient denne gang rent faktisk en negativ værdi, som teorien foreskriver den burde.

Ved at sammenligne koefficienterne med teorien ser vi:

1,787N^{-1} ·s^{-2} =

1

mr_{o} 4 π^{2}
Hvoraf r_{0} kan isoleres til:

1,787N^{-1} ·s^{-2} =

1

mr_{o} 4 π^{2}

⬄

      -1 -2
1,787N ·s · r =
           0
                 2
              m4π

1

⬄

r =          =          = 0,07m
 0
        −1          −1
   1,787N      1,787N

1 m4π

2

∙s^{−2} ∙s^{−2}

1

0,2kg ∙ 4π

2

Som det ses passer r_{0} her til gengæld ikke lige så godt.

Mere interessant er det, at anden konstant har en negativ værdi denne gang. Ved at sammenholde med teorien fås:

-0,039N^{-1} = -

1

kr_{o}

⬄

0,039N^{-1} =

1

kr_{o}

⬄

           1
      -1
0,039N ·r =
        0
           k

⬄

1

0,039N^{−1} ∙r0

= k
Ved indsættelse af r_{0} fås nu:

1

0,039N^{−1} ∙0,07m

= 366_{m}^{N}

Hvilket dog overhovedet ikke passer med den værdi, som vi bestemt i første del af forsøget. Men mest interessant er dog også udregningen:

1 mr 4π

0

2

1 kr

0

             −1
        1,787N
                         -2
=     =           = 45,82s
    2
  4π

k ∙s^{−2}
∙m 0,039N^{−1}

Hvilket sammenholdes med den teoretiske værdi, hvor k er den værdi, som vi bestemte i del 1 af forsøget: k

4π^{2} ∙m ∙0,2kg

      N
   93,5
               -2
      m
=       = 11,8s
    2
  4π

Hvilket ligger langt fra den værdi, som vi får med regressionsresultaterne – således endnu en gang et skævt resultat.

Alt i alt er det altså svært at konkludere på vores data. Med det hele datasæt fik vi en værdi for r_{0}, der

stemte godt overens med værdien fra første del af forsøget. Til gengæld viste regressionsresultatet også en skæring på anden-aksen, som slet ikke passede med teorien. Ved at udelade de første 2 punkter kunne man få en pænere ret linje og en negativ skæring på anden-aksen, som der burde være. Her passede

                                                                    2
                                                                mr 4π
                                                                  0
værdien for r til gengæld dårligt med resultatet fra første forsøg og størrelsen , som er uafhængig af
           0                                                      1

1 kr

0

Side 8

Fysikrapport: Jævn cirkelbevægelse 24/9-2010

August 3.x 8

r_{0}, passede heller ikke. Der er derfor ikke nok grundlag for at påvise formlen for centripetalkraften, især
fordi det jo åbenbart er de 2 afvigende punkter, som gør, at vi overhovedet får en værdi for r_{0}, som er tæt

på den vi bestemte i forsøg 1.

Men da vi rent faktisk ved, at formlen gælder for en cirkelbevægelse, må det være usikkerhederne ved selve forsøget, som har givet os de ringe data. Usikkerhederne er mange men af de vigtigste kan nævnes:

- At platformen nok ikke har kørt i en 100% jævn cirkelbevægelse, altså med fuldstændig konstant hastighed hele tiden.

- At spolen ikke har registreret magneten præcist samme punkt for hver omdrejning.

- At newtonmetret ikke har peget direkte lodret ned mod trissen.

- At generelle forstyrrelser og gnidning har medført tab i hastighed eller usikre målinger af kraften.

- At det konkret var svært at lave en nøjagtig aflæsning af et drejende newtonmeter. Kan virke lidt tynd, men den var reel nok, da man stod med forsøget i hånden.

Med denne type eksperiment kunne man med fordel have foretaget langt flere målinger for på den måde at eliminere tilfældige usikkerheder, som nok har været det udslagsgivende.

Konklusion

Vi kan ikke antage formlen for centripetalkraften som påvist, men vores data pegede dog et stykke hen ad vejen på, at den gælder.