Rapport om Det matematiske Pendul

Side 1

STX 3.g

Fysik rapport 1

Formål:

1. Teoretisk set er der ingen sammenhæng mellem svingningstiden for et ophængt lod og massen af loddet. Kan det eftervises eksperimentelt?

2. Er der til gengæld sammenhæng mellem længden af snoren og svingningstiden?

3. Beregn tyngdeaccelerationen ud fra svingningstiden

Teori:

Hvis man ser på et svingende pendul kan svingningstiden beskrives med følgende formel:

𝑇=2𝜋 ∗ √

𝐿 𝑔

Hvor T er svingningstiden, L er længden mellem loddet og den pind det er hængt op i og g er tyngdeaccelerationen.

Denne her formel forudsætter at der ikke er nogen luftmodstand. Og da vi arbejder i et miljø med luftmodstand kan det godt give anledning til en fejlkilde. Vi regner dog med at den er tilstrækkelig lille til ikke at have nogen betydning da vi arbejder med små hastigheder og et meget aerodynamisk lod.

Man kan altså se at der ikke er nogen sammenhæng mellem massen af et lod og svingningstiden teoretisk set. Det kan man undersøge eksperimentelt ved at måle svingningstiden på lodder med forskellige masser og se om svingningstiden ændrer sig.

Til gengæld viser formlen at længden af snoren har betydning for svingningstiden. Det kan man undersøge eksperimentelt ved at måle svingningstiden for forskellige længder og se om den ændrer sig.

Til sidst kan man regne tyngdeaccelerationen ud ved at isolere g i formlen da man har svingningstiden for flere længder.

Fremgangsmåde:

Forsøg med stopur:

• Først satte vi vores pendul op med en længde på 1 meter

• Så holdte vi det lette pendul 10 cm ud fra dets udgangsposition

• Så startede vi stopuret og tog tid på 20, 40, 60, 80 og 100 svingninger

• Derefter lavede vi de samme målinger med et tungere lod

Forsøg med fotocelle:

• Her brugte vi samme opstilling med vores pendul og med en længde på 1 meter

• Så holdte vi det tunge lod 10 cm ud fra dets udgangsposition og lod logger pro måle svingningstiden

Side 2

• Så gjorde vi længden kortere, vi målte svingningstiden for følgende længder: 100cm, 75cm, 50cm og 25 cm

Materialeliste:

• Stativ

• Bord

• Snor

• Et tungt og et let lod

• Fotocelle

• Stopur

• Tommestok

Forsøg med stopur Forsøg med Fotocelle

Databehandling:

1.

I vores forsøg med stopur og det lette lod fik vi følgende resultater:

n | 0 til 20 | 20 til 40 | 40 til 60 | 60 til 80 | 80 til 100 | Gennemsnit:
Tiden for 20 | 39,4 | 39,4 | 39,6 | 39,6 | 39,6 | 39,5

svingninger

I vores forsøg med stopur og det tunge lod fik vi følgende resultater:

n | 0 til 20 | 20 til 40 | 40 til 60 | 60 til 80 | 80 til 100 | Gennemsnit:
Tiden for 20 | 39,4 | 39,5 | 39,7 | 39,6 | 39,5 | 39,5

svingninger

Side 3

Måleusikkerheden på vores stopur er en tiendedel sekund. Vi kan gøre den endnu mindre ved at måle tyve svingninger, for derefter at dividere både tiden på vores stopur og måleusikkerheden med 20. På den måde bliver måleusikkerheden 20 gange mindre. Man fordeler måleusikkerheden ud over tyve målinger i stedet for kun en, da man kun skal starte og stoppe stopuret en gang lige meget hvor mange svingninger man måler på.

I formålet spørger jeg om man kan vise eksperimentelt at der ikke er nogen sammenhæng mellem massen og svingningstiden. Derfor vil jeg regne ud om måleusikkerheden er lige så stor som den relative afvigelse for tallene ovenover. Da vi har den samme tid for de første 0 til 20 svingninger og i gennemsnit vil jeg lave et regneeksempel med vores svingningstid mellem 20 og 40 svingninger i stedet i følgende eksempel:

Stopurets måleusikkerhed er en tiendedel sekund og det bliver fordelt på tiden for de 20 svingninger:

0,1𝑠

39,4

∗ 100%=0,3%

Så regner jeg den relative afvigelse ud for resultatet for det lette lod i forhold til det tunge:

39,4 − 39,5

39,5

∗ 100%=−0,3%

Man kan altså se at måleusikkerheden er lige så stor som den relative afvigelse. Det skyldes altså højst sandsynligvis kun måleusikkerhed at vi ikke får præcis den samme tid for de to lodder.

2.

a)

I vores forsøg med fotocellen fik vi denne graf da vi målte på en længde på en meter:

Side 4

Jeg har lavet statistik på den for at finde den gennemsnitlige svingningstid. Jeg sætter måleusikkerheden til

0,01 sekund. Her er resultaterne for alle længderne:

Længde i meter 1,00 0,75 0,50 0,25

Gennemsnitlig 2,0028 ± 0,01 1,7232 ± 0,01 1,4328 ± 0,01 1,026 ± 0,01

svingningstid i sekunder

Nu vil jeg se om jeg ved hjælp af ovenstående resultater kan se om jeg kan beregne en værdi for g. Derfor isolerer jeg g i formlen fra teoriafsnittet:

𝑇=2𝜋 ∗√ →𝑔=4𝜋

𝐿 𝐿

𝑔 𝑇^{2}

2

Man kan altså se at det er forholdet mellem længden og tiden i anden der sammen med konstanten 4pi i anden afgør hvad g bliver. Jeg vil derfor regne dette forhold ud for resultaterne ovenover. Jeg starter med resultatet for 1 meter:

1,00𝑚 𝑚

( 2,0028𝑠)^{2} 𝑠^{2}

=0,249

Så vil jeg bruge min-max metoden til at bestemme usikkerheden:

𝑚𝑎𝑥= =0,254

1,01𝑚

( 1.9928𝑠)^{2}

𝑚𝑖𝑛= =0,244

0,99𝑚

( 2,0128𝑠)^{2}

Så finder jeg forskellen og dividerer den med 2:

0,254 − 0,244

2

=0,005

Forholdet mellem længden og tiden i anden for 1 meter skal altså skrives:

𝐹𝑜𝑟ℎ𝑜𝑙𝑑𝑒𝑡_{1,00 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟} =0,249 ± 0,005

𝑚 | 𝑚

𝑠^{2} 𝑠^{2}

Jeg har regnet forholdet ud på samme måde for de tre andre længder:

𝐹𝑜𝑟ℎ𝑜𝑙𝑑𝑒𝑡_{0,75 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟} =0.253 ± 0,007

𝑚 | 𝑚

𝑠^{2} 𝑠^{2}

𝐹𝑜𝑟ℎ𝑜𝑙𝑑𝑒𝑡_{0,50 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟} =0.244 ± 0,009

𝑚 | 𝑚

𝑠^{2} 𝑠^{2}

Side 5

𝐹𝑜𝑟ℎ𝑜𝑙𝑑𝑒𝑡_{0,25 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟} =0.237 ± 0,010

𝑚 𝑚

𝑠^{2} 𝑠^{2}

Man kan her ligesom i første spørgsmål se at måleusikkerhed gør det op for forskellen mellem det største og det laveste tal. Det laveste tal 0,237 kan med måleusikkerheden komme op og blive 0,247 imens det højeste 0,253 kan komme ned og blive 0,246. Man kan altså se at der er en sammenhæng imellem længden af snoren og svingningstiden.

b)

Nu vil jeg gange mine tal med 4 pi i anden for at bestemme g:

𝑔_{1,00 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟} =(0,249 ± 0,005) ∗ 4𝜋^{2} =9.830 ± 0,197

𝑚 | 𝑚 | 𝑚 | 𝑚

𝑠^{2} 𝑠^{2} 𝑠^{2} 𝑠^{2}

𝑔_{0,75 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟} =(0.253 ± 0,007) ∗ 4𝜋^{2} =9.888 ± 0,276

𝑚 | 𝑚 | 𝑚 | 𝑚

𝑠^{2} 𝑠^{2} 𝑠^{2} 𝑠^{2}

𝑔_{0,50 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟} =(0.244 ± 0,009) ∗ 4𝜋^{2} =9.633 ± 0,355

𝑚 | 𝑚 | 𝑚 | 𝑚

𝑠^{2} 𝑠^{2} 𝑠^{2} 𝑠^{2}

𝑔_{0,25 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟} =(0.237 ± 0,010) ∗ 4𝜋^{2} =9.357 ± 0,395

𝑚 | 𝑚 | 𝑚 | 𝑚

𝑠^{2} 𝑠^{2} 𝑠^{2} 𝑠^{2}

Jeg kan bekræfte g for de tre øverste tal. Men det nederste ligger et godt stykke under g. Jeg havde også forventet at få resultater under g fordi svingningstiden bliver lidt længere på grund af luftmodstand og da den står under brøkstregen betyder det at g vil blive mindre.

c)

Hvis man laver et koordinatsystem i logger pro og indsætter snor længderne på x-aksen og svingningstiderne på y-aksen får man denne graf:

Side 6

Hvis man sætter funktionen for svingningstiden op som en potensfunktion a typen y=b*x^a kommer den til

at se sådan her ud:

𝑇=2𝜋 ∗ √ = ∗ 𝑙

𝑙 2𝜋 𝑔

√

𝑔

1

2

Hvor b er 2pi divideret med kvadratroden af g imens a er en halv. Man kan så ud fra b isolere g:

𝑏= →𝑔=()

2𝜋 2𝜋^{2}
√

𝑔 𝑏

I logger pro har den sat b til 1,995±0,01 det bruger jeg til at regne g ud:

𝑔=() =9,9190 ± 0,0998

2𝜋

1,995 ± 0,01

2

Man kan også lave en graf hvor T er i anden. Den bliver lineær:

Her kan man så bruge hældningskoefficienten til at bestemme g. Hældningen er nemlig:

𝑎=

4𝜋^{2}

𝑔

Og a har jeg fra regressionsresultatet så g beregnes:

𝑔= =9,9289

4𝜋^{2}

3,976

Side 7

Konklusion

Det første forsøg bekræfter fint inden for måleusikkerheden at der ikke er nogen sammenhæng mellem svingningstiden og massen. I det andet forsøg får vi også fint bekræftet at der er sammenhæng imellem svingningstiden og snorlængden. Men når vi skal til at bestemme g og har målt med fotocellen kan vi se at især det forsøg med kort snorlængde giver en tyngdeacceleration der er så lille at måleusikkerheden ikke helt kan forklare det længere. Vi ser altså nogle systematiske afvigelser, der skyldes at forudsætningerne for formlen ikke helt er opfyldt. Vi arbejder nemlig i et miljø med luftmodstand hvilket gør svingningstiden en smule større. Og da den står i anden og under brøkstregen kan den meget hurtigt få g til at blive mindre.

Men på trods af det får vi bestemt g inden for måleusikkerheden for de forsøg hvor vi har en lidt længere snorlængde.