Elektrondiffraktion - Rapport i Fysik A

Side 1

Fysik A Elektrondiffraktion

[navn fjernet] 3.y

1

Elektrondiffraktion

Formål

Formålet med dette forsøg er at påvise elektroners bølgenatur, samt at bestemme afstanden mellem forskellige atomare gitterplaner i grafit (gitterkonstanten 𝑑).

Procedure

Ved brug af et elektronrør, der består af en elektronkanon med en katode i form af en glødetråd og en anode, kan elektroner accelereres op. Med en spændingsforskel på nogle kV mellem anode og katode frembringes nemlig en stråle af elektroner, hvor elektronerne meget nær har samme hastighed. Elektronerne passerer derefter igennem et folie med et polykrystallinskgrafitlag, hvorefter de rammer et fluorescerende lag på rørets forende, hvilket gør at de interfereres og dermed udsender lys. Når elektronerne bliver accelereret, afhænger accelerationen af spændingsforskellen 𝑈. Des højere spændingsforskel, des hurtigere acceleration, og jo højere accelerationen bliver, jo mindre bliver cirklerne. Cirklerne er synlige ved konstruktiv interferens, hvor eksempelvis to bølgetoppe eller to bølgedale rammer hinanden.

Ved forskellige spændingsforskelle mellem anode og katode aflæste vi diametrene af ringene med en skydelære. Her forsøgte vi så vidt muligt aflæse midt i ringene hver gang.

Teori

Hvis en elektrons bevægelsesmængde er veldefineret (hvilket den er her, da vi kender spændingsforskellen), så følger det af Heisenbergs usikkerhedsrelation, at elektronens position er ubestemt. Vi kan altså kun tale om en sandsynlighed for at elektronen er et bestemt sted. Dermed

Side 2

Fysik A Elektrondiffraktion

[navn fjernet] 3.y

2 skal elektronen beskrives ved en bølgefunktion, og elektronen vil kunne interferere. Derved opstår interferensmønstrene på glasset. Elektronens bølgelængde (de Broglie bølgelængden) er givet ved

𝜆=

ℎ 𝑝

Her er ℎ Plancks konstant og 𝑝 er bevægelsesmængden, hvor 𝑝=𝑚∗ 𝑣. Det vil sige udtrykket kan

udtrykkes ved:

𝜆=

ℎ 𝑚∗ 𝑣

Elektronernes fart er bestemt af det elektriske felt hvori de accelereres og deres kinetiske energi er:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} =𝑈 ∙𝑒
Her er 𝐸_{𝑘𝑖𝑛} den kinetiske energi, 𝑈 er spændingsforskellen og 𝑒 er elektronens elementarladning.

Da vi her opfatter elektronen som en bølge, kan vi finde dens energi ved hjælp af spændings-forskellen mellem anode og katode. Ud fra udtrykket af den kinetiske energi og de Broglie bølgelængden kan følgende udtryk udledes (udledning følger):

𝜆=

ℎ

√ 2 ∙ 𝑚∙ 𝑈∙ 𝑒

Som før beskrevet er den kinetiske energi:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} =𝑈 ∗𝑒
½𝑚𝑣^{2} =𝑈 ∗𝑒

Ved at isolere 𝑣 kan denne indsættes i de Broglie bølgelængden:

𝑣=

√

𝑈∗ 𝑒∗ 2 𝑚

𝜆=

ℎ 𝑚

√

2𝑈𝑒 𝑚

Herefter reduceres udtrykket:

𝜆=

ℎ

√

𝑚^{2} ∗ 2𝑈𝑒

𝑚

𝜆=

ℎ

√ 2𝑈𝑒𝑚

Dermed er formlen udledt.

Side 3

Fysik A Elektrondiffraktion

[navn fjernet] 3.y

3

Når elektronerne rammer grafitlaget sker der en diffraktion. Dermed vil elektronerne interferere som i et gitter. Der gælder den samme ligning for elektronbølgernes interferens i et krystalgitter som for røntgenstråling, nemlig Braggs ligning [1]:

𝑛 ∙ 𝜆=2∙ 𝑑∙ sin (𝜃)

hvor 𝑑 er gitterafstanden i grafitkrystallerne, 𝑛 er antal ordenspletter, 𝜆 er bølgelængden og 𝜃 er den vinkel elektronerne bliver affyret med. 2-tallet i Braggs ligning skyldes, at der er tale om diffraktion i et krystalgitter (se også figuren til højre).

I vores forsøg har vi kun 1. ordens spektret,

altså n = 1. Hvis der regnes i radianer er

sin(θ)≈θ når θ er lille, og Braggs ligning bliver dermed:

𝜆=2 ∙ 𝑑∙ 𝜃

Diffraktionen frembringer to lysende cirkler med radier R i y og R på den fluorescerende skærm, da vi ved denne øvelse har diffraktion i to forskellige gitterplaner. Om cirklerne gælder at:

2 ∙ 𝜃=

𝑅

𝐿

Her er L afstanden fra grafitgitteret til glasskærmen (𝐿=0,135 𝑚), mens radius af cirklen betegnes

med 𝑅. Hvis al viden fra det foregående sammensættes kan nedenstående udtryk for 𝑅 findes

(udledning følger):

𝑅= ∙

ℎ∙ 𝐿 1

𝑑∙ √ 2 ∙ 𝑚∙ 𝑒 √ 𝑈

Fra de Broglie bølgelængden udledte vi følgende udtryk:

𝜆=

ℎ

√ 2 ∗ 𝑈∗ 𝑒∗ 𝑚

Ved indsættelse af bølgelængden fra Braggs ligning fås:

2 ∙ 𝑑∙ 𝜃=

ℎ

√ 2 ∗ 𝑈∗ 𝑒∗ 𝑚

                 𝑅
Da vi ved at 2 ∙ 𝜃= gælder for de to cirkler, kan udtrykket reduceres til:
                 𝐿

1

Fysikkens spor, s. 174

Side 4

Fysik A Elektrondiffraktion

[navn fjernet] 3.y

4

𝑑∗ =

𝑅 ℎ

𝐿

√ 2 ∗ 𝑈 ∗𝑒∗ 𝑚

Ved isolering af 𝑅 bliver udtrykket nu:

𝑅=

ℎ ∗𝐿

𝑑∗ √ 2 ∗ 𝑈 ∗𝑒∗ 𝑚

I ovenstående formel for radius 𝑅 er spændingsforskellen 𝑈 den eneste afhængige variabel. Dermed udskilles 𝑈 fra brøkstregen og formlen lyder nu således:

𝑅= ∗

ℎ∗ 𝐿 1

𝑑∗ √ 2 ∗ 𝑒∗ 𝑚 √ 𝑈
Dette udtryk bruges senere i rapporten, hvor det er en forskrift for en lineær funktion (𝑦=𝑎𝑥 +𝑏).

                              1
Her er 𝑥-værdien af funktionen 𝑥= , 𝑦-værdien er 𝑅 og hældningen af funktionen er 𝑎=
                             √ 𝑈

ℎ∗𝐿

𝑑∗ √ 2∗𝑒∗𝑚

. Grafen skulle gerne blive omvendt proportional, når man tager kvadratroden af 𝑈.

Desuden bør den lineære funktion ikke have en b-værdi – det vil sige den burde gå gennem ( 0,0) – da der, lige meget hvor høj spændingsforskellen bliver, altid vil blive dannet en cirkel. Ydermere

                      1
kan udtrykket fra x-aksen: ≠0.
                      √ 𝑈

Databehandling og resultater

Data fra forsøget

Spændingsforskel 1 2 x-koordinat

Diameter Diameter

U / V D_1 / m D_2 / m 1/√U

6000 0,01023 0,018695 0,4

5500 0,011065 0,01946 0,7

5000 0,01137 0,020075 0,6

4500 0,01224 0,021345 0,

4000 0,012875 0,022915 0,8

3500 0,014095 0,02494 0,5

3000 0,01542 0,02706 0,9

2500 0,01684 0,02995 0,02

Side 5

Fysik A Elektrondiffraktion

[navn fjernet] 3.y

5

Overskueliggørelse af resultater og konstanter

Elektronrørets længde 0,135 m

𝐿 =

Elektronens masse | 9,109E-30 | kg

𝑚_{𝑒} =

Elementarladningen | 1,602E-19 | C

𝑒=
Plancks konstant 6,626E-34 J*s
ℎ=

Indre gitterkonstant | 1,540E-01 | m

𝑑_{𝑖} =
Ydre gitterkonstant 𝑑_{𝑦} = 2,700E-01 m

Graf 1 – Målinger af den ydre cirkel

Graf 2 – Målinger af den indre cirkel

y = 0,6157x + 0,0016
R² = 0,997

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035

Diameter 2

1/√U

Ydre cirkel

y = 1,0736x + 0,0018
R² = 0,997

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0 0,005 0,01 0,015 0,02

Diameter 1

1/√U

Indre cirkel

Side 6

Fysik A Elektrondiffraktion

[navn fjernet] 3.y

6

På begge grafer er x-aksens variabel diameteren for henholdsvis den ydre og den indre cirkel.

Derudover er y-aksens variabel_{√}^{1}_{𝑈}. På begge grafer ses det, at punkterne ligger på en lineær linje

                                                          ℎ∗𝐿     1
med meget lille afvigelse. Dette burde også gælde, hvis formlen: 𝑅= ∗ skal kunne
                                                        𝑑∗ √ 2∗𝑒∗𝑚 √ 𝑈

anvendes. Ud fra funktionen ses det, at der er en værdi af 𝑏, nemlig 𝑏=0,0018. Denne værdi

burde ikke forekomme ligesom beskrevet sidst i teori-afsnittet, og den forekommer dermed kun på grund af måleusikkerheder eller andre fejlkilder.

a) Hvordan kan grafens hældning bruges til at bestemme afstanden mellem forskellige atomare gitterplaner i grafit?

                                                              ℎ∗𝐿
Ud fra udledningen af 𝑅-formlen, ved vi at hældningskoefficienten er 𝑎= . Her er ℎ
                                                            𝑑∗ √ 2∗𝑒∗𝑚

Plancks konstant, 𝐿 er elektronrørets længde, 𝑑 er gitterkostanten, 𝑒 er elementarladningen, 𝑚 er

elektronens masse. Ved at aflæse og indsætte hældningskoefficienten 𝑎 fra graferne og 𝐿=

0,135 𝑚 samt de andre konstanter i ligningen for 𝑎, kan en værdi af afstanden mellem forskellige atomare gitterplaner i grafit bestemmes:

Den inderste cirkel:

𝑎=

ℎ∗ 𝐿

𝑑_{𝑖} ∗ √ 2 ∗ 𝑒∗ 𝑚

0,5368 =

𝑚^{2} 6,626176 ∗ 10^{−34} 𝐽 ∗ 𝑠∗ 0,135𝑚
𝑠^{2} ∗ 𝐴
𝑑_{𝑖} ∗ √ 2 ∗ 1,602189 ∗ 10^{−19} 𝐴 ∗ 𝑠∗ 9,1094∗ 10^{−31} 𝑘𝑔
𝑑_{𝑖} =1,54 ∗ 10^{−10} 𝑚=0,154𝑛𝑚

Den yderste cirkel:

𝑎=

ℎ∗ 𝐿

𝑑_{𝑦} ∗ √ 2 ∗ 𝑒∗ 𝑚

0,3078 =

𝑚^{2} 6,626176∗ 10^{−34} 𝐽 ∗ 𝑠∗ 0,135𝑚
𝑠^{2} ∗ 𝐴
𝑑_{𝑦} ∗ √ 2 ∗ 1,602189∗ 10^{−19} 𝐴 ∗ 𝑠∗ 9,1094∗ 10^{−31} 𝑘𝑔
𝑑_{𝑦} =2,70 ∗ 10^{−10} 𝑚=0,270𝑛𝑚

Side 7

Fysik A Elektrondiffraktion

[navn fjernet] 3.y

7

Fra øvelsesvejledningen fik man oplyst to tabelværdier af gitterkonstanten. Udregner nu hvor stor

en afvigelsesprocent mine udregnede data har i forhold til tabelværdierne 𝑑 og 𝑑 , hvor 𝑑 er
                                                            1    2      1

gitterkonstanten for den yderste cirkel og 𝑑
                                   2

er for den inderste (

𝑑_{1} =0,123 𝑛𝑚
𝑑_{2} =0,213 𝑛𝑚

) :

Den inderste cirkel

𝑎𝑓𝑣.%= ∗ 100%

0,154𝑛𝑚− 0,123𝑛𝑚

0,123𝑛𝑚

𝑎𝑓𝑣.%=25,2%

Den yderste cirkel

𝑎𝑓𝑣.%= ∗ 100%

0,270𝑛𝑚− 0,213𝑛𝑚

0,213𝑛𝑚

𝑎𝑓𝑣.%=26,8%

Ud fra de beregnede afvigelsesprocent fra tabelværdierne, ser mit beregnede data nogenlunde rimelig ud, hvis man tager fejlkilderne i betragtning.

                                                                0,213
Forholdet mellem tabelværdierne for gitterkonstanterne i indre og ydre cirkel er =1,732,
                                                                0,123

mens forholdet mellem vores værdier er^{0,270}_{0,154} =1,753. Afvigelsesprocenten i dette tilfælde er:

𝑎𝑓𝑣.%= ∗ 100%

1,753 − 1,732

1,732

𝑎𝑓𝑣.%=1,2 %

Det vil sige, at forskellen af forholdet mellem de beregnede værdier og tabelværdierne er 1,2 %.

Med henblik på dette tal ses det, at jeg målte diameteren af cirklerne nogenlunde samme sted på cirklerne hver eneste gang. Dette afspejler, at min afvigelsesprocent på hhv. 25,2 % og 26,8 % skyldes, at jeg ikke har målt diameteren perfekt ud til ydersiden af cirklerne. Altså, er forholdet mellem konstanterne fornuftigt, men pga. manglende viden om hvor jeg nøjagtigt skulle måle diameteren af cirklen, er min afvigelsesprocent fra tabelværdierne stadig høj.

Taget afvigelsesprocenterne i betragtning vil jeg konkludere, at den brugte formel og model godt kan anvendes til bestemmelse af afstanden mellem forskellige atomare gitterplaner i grafit.

Side 8

Fysik A Elektrondiffraktion

[navn fjernet] 3.y

8

Fejlkilder

1. Lokalet var ikke helt mørkelagt, hvilket gjorde at cirklerne ikke var så tydelige. Dermed var de også sværere at se og dermed sværere at måle.

a. Det kan give en afvigelse af diameteren og dermed radius af cirklerne. Hermed vil graferne se anderledes ud og tendenslinjerne ville afvige en smule. Med andre hældningskoefficienter ville gitterkonstanten for både ydre og indre cirkel dermed afvige negativt eller positivt.

2. Målingerne har måske ikke været helt præcise, da man måske ikke har målt det samme sted på cirklerne hver gang med skydelæren. Da man målte diametrene af cirklerne målte man dem i luften, hvor kroppen og ens hånd måske ikke kunne holdes fuldstændig rolige.

a. Dette kan give de samme afvigelser som ved fejlkilde #1.

3. Ved indstillingen af voltmeteret har dette måske ikke været indstillet til præcist fx 4000 V.

a. Dette kan have givet en afvigelse i spændingsforskellen, hvilket kunne give

                                               1
afvigelser på x-aksen af graferne – herved var 𝑥 netop lig . Dette kunne have
                                              √ 𝑈

medført en anden hældningskoefficient og dermed negative eller positive afvigelser af den beregnede gitterkonstant i forsøget.

Konklusion

Formålet med denne øvelse var at påvise elektroners bølgenatur, samt at bestemme afstanden mellem forskellige atomare gitterplaner i grafit (gitterkonstanten 𝑑).

Forsøget gik som det skulle, da jeg ved hjælp af indsamlet data kunne bestemme en værdi af

gitterkonstanten for ydre og indre cirkel, der henholdsvis var 𝑑 =0,270 𝑛𝑚 og 𝑑 =0,154 𝑛𝑚.
                                                  𝑦               𝑖

Dog afveg de beregnede resultater med henholdsvis 26,8 % og 25,2 % fra tabelværdierne. Dette skyldes nok fejlkilde #2, da vi ikke målte cirklernes diameter med 100 % præcision. Men alt i alt kan jeg konkludere, at man godt kan bruge den samlede model, udledt af de Broglies og Braggs formler for bølgenatur, til bestemmelse af afstanden mellem forskellige atomare gitterplaner i grafit.