Inertimoment - forsøg i fysik

Side 1

HTX 3. år

Bestemmelse af inertimomentet

For et cykelhjul

HTX 3. år

Side 2

[navn fjernet] , 3A

Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009

Side 2 af 13

Indholdsfortegnelse

Formål: ............................................................................................................................................................... 3 Teori: .................................................................................................................................................................. 3 Materialeliste: ................................................................................................................................................... 7 Fremgangsmåde: ............................................................................................................................................... 7 Forsøgsopstilling: ............................................................................................................................................... 7 Beregninger (efterbehandling): ......................................................................................................................... 8 Fejlkilder: ......................................................................................................................................................... 12 Konklusion: ...................................................................................................................................................... 12

Side 3

[navn fjernet] , 3A

Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009

Side 3 af 13

Formål:

Formålet med dette forsøg var, at bestemme inertimomentet. I dette tilfælde for et cykelhjul.

Teori:

Hvis man skal beregne impulsmomentet for et legeme, tager man summen af impulsmomenterne, for samtlige partikler som udgør legemet. Hvis man betragter et plant legeme, der roterer med en vinkelhastighed ω, omkring en akse kan man finde impulsmomentet. Dette kræver at man betegner den i’te partikels masse m i i i

, afstanden fra omdrejningsaksen r

, og dens hastighed v

.

Herved kan impulsmomentet bestemmes ved;

𝐿 = ∑𝑟_{𝑖} 𝑝_{𝑖} = ∑𝑟_{𝑖} 𝑚_{𝑖} ωr_{i} = (∑m r_{i}^{2})ω

i

Her indsætter man impulsen for hvert enkelt partikel, udtrykt ved;

𝑝_{𝑖} = 𝑚𝑣_{𝑖} = 𝑚ωr_{i}

Da sættes ω udenfor summationen, da dette er en fælles faktor, der gælder for alle partiklerne.

Parentesen derved, indeholder en sum af masser multipliceret med kvadratet på afstandene fra omdrejningsaksen. Hvis et legeme først er fæstnet til omdrejningsaksen, vil denne sum være konstant. Derfor har man valgt at give denne sum et specielt navn. Inertimomentet for et legeme omkring en given afkse, forstås derved ved;

𝐼 = ∑𝑚_{𝐼} 𝑟_{𝑖}^{2}

På baggrund af formel for inertimomentet, kan man så omskrives impulsmomentet til;

𝐿 = 𝐼ω

Der findes en yderst simpel måde til at finde inertimomenter på, så længe inertimomentet om en akse gennem legemets massemidtpunkt er kendt. Denne metode kaldes Steiners sætning. Hvis man betragter en akse parallel med en anden aksen, som går igennem massemidtpunktet;

Side 4

[navn fjernet] , 3A

Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009

Side 4 af 13

Vektoren d forbinder de to akser, imens stedvektoren for masseelementet m i forhold til i massemidtpunktet betegnes r’. Stedvektoren i forhold til den anden akse betegnes r; i i

𝑟_{𝑖} = 𝑑 + 𝑟_{𝑖} ′

Inertimontet kan da bestemmes ved;

𝐼 = ∑𝑚_{𝑖} 𝑟_{𝑖}^{2}

𝐼 = ∑𝑚_{𝑖} ( 𝑑 +𝑟_{𝑖}^{′})^{2}

𝐼 = ∑𝑚_{𝑖} ( 𝑑^{2} + 𝑟_{𝑖}^{′2} + 2𝑑 ∗ 𝑟_{𝑖}^{′})

𝐼 = (∑𝑚_{𝑖}) 𝑑^{2} + ∑𝑚 𝑟_{𝑖}^{′2} + 2𝑑 ∗ ∑𝑚_{𝑖} 𝑟_{𝑖} ′

𝑖

Betegnes den samlede masse ∑ 𝑚_{𝑖} = 𝑚 fås det da at;

𝐼 = 𝑚𝑑^{2} + 𝐼_{0}

Ovenstående er derved Steiners sætning. Denne sætning, eller lov om man vil, gør det muligt at beregne inertimomenter, om akser parallelle med aksen gennem massemidtpunktet. Sidste er det gældende at inertimomentet aldrig kan antage nogen lavere værdi, end den værdi den antager om en akse gennem massemidtpunktet.

Side 5

[navn fjernet] , 3A

Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009

Side 5 af 13

Desuden havde vi 3 metoder til at bestemme inertimomentet. Disse skal bruges til efterbehandlingen. (Disse er kopieret direkte ind fra oplægget).

Metode 1:

Den resulterende kraft på loddet kan udtrykkes således:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝐹_{𝑡} − 𝐹_{𝑠}

Heraf fås 𝐹_{𝑠} = 𝐹_{𝑡} − 𝑚 ∙ 𝑎. Det er snorkraften F der trækker hjulet rundt med kraftmomentet

s

𝐹_{𝑠} ∙ 𝑟

Vi kan da opstille følgende ligning for kraftmomentet (det er en såkaldt bevægelsesligning)

𝐼 ∙ 𝛼 = 𝐹_{𝑠} ∙ 𝑟 − 𝑀_{𝑓}

Hvor I er inertimomentet og α er vinkelaccelerationen. M f er det kraftmoment der skabes af friktionen i lejerne. Ligningen kan omskrives til

𝐼 ∙ 𝛼 = (𝐹_{𝑡} − 𝑚 ∙ 𝑎) ∙ 𝑟 − 𝑀_{𝑓}

Ved at indsætte F = m·g og den lineære acceleration a=α·r fås

t

𝐼 ∙ = ( 𝑚 ∙ 𝑔 − 𝑚 ∙ 𝑎) ∙ 𝑟 − 𝑀_{𝑓} ⇒

𝑎 𝑟

𝐼 =

𝑚 ∙ ( 𝑔 − 𝑎) ∙ 𝑟^{2} − 𝑀_{𝑓} ∙ 𝑟

𝑎

Her af ses at hvis man kender m og r og måler a og M, kan I bestemmes.

f

Metode 2:

Hvis loddets acceleration a er meget mindre end g kan man lave den tilnærmelse at man ser bort fra a i tælleren. Herved får man

𝐼 ∙ = ( 𝑚 ∙ 𝑔 − 𝑚 ∙ 𝑎) ∙ 𝑟 − 𝑀_{𝑓} ⇒

𝑎 𝑟

𝐼 =

𝑚 ∙ ( 𝑔 − 𝑎) ∙ 𝑟^{2} − 𝑀_{𝑓} ∙ 𝑟

𝑎

𝐼 =

𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑟^{2} − 𝑀_{𝑓} ∙ 𝑟

𝑎

Som igen kan omskrives til

Side 6

[navn fjernet] , 3A

Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009

Side 6 af 13

𝑎 = = ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑟^{2} −

𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑟^{2} − 𝑀_{𝑓} ∙ 𝑟 1 𝑀_{𝑓} ∙ 𝑟

𝐼 𝐼 𝐼

                                  2
Dette er ligningen for en ret linie når m·g·r afsættes ud ad 1.aksen og a ud ad 2. Aksen. Ved

bestemmelse af hældningskoefficienten hk, kan inertimomentet findes som

𝐼 =

1 ℎ𝑘 a måles ved hjælp af rotationssensoren. M f f findes ud fra den masse, m

, som netop kan trække

hjulet rundt med konstant vinkelhastighed: M = m ·g·r.

f f

M kan også findes ud fra den grafiske afbildning.

f

Metode 3:

Alternativt kan I bestemmes ud fra energiomsætningen: Idet loddet trækker hjulet rundt, mister det potentiel energi, dette tab i potentiel energi genfindes som rotationsenergi i hjulet, kinetisk energi af loddet samt gnidningsarbejde. Hvis vi bruger et tilstrækkeligt tungt lod, kan vi se bort fra gnidningskræfternes arbejde, og vi får

1 1

2 2

∙ 𝐼 ∙ 𝜔^{2} + ∙ 𝑚 ∙ 𝑣^{2} = −𝑚 ∙ 𝑔 ∙ Δℎ

som omskrives til

1 1

2 2

∙ 𝐼 ∙ 𝜔^{2} + ∙ 𝑚 ∙ 𝑟^{2} ∙ 𝜔^{2} = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ | Δℎ |

Hvilket giver

| Δℎ | = ∙ 𝜔^{2}

𝐼 + 𝑚 ∙ 𝑟^{2}

2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔

Det ses, at ved en afbildning af ∆h mod ω^{2} fås en ret linie, hvis hældning hk er

ℎ𝑘 =

𝐼 + 𝑚 ∙ 𝑟^{2}

2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔

Hvoraf man får

𝐼 = 2 ∙ ℎ𝑘 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 − 𝑚 ∙ 𝑟^{2}

Side 7

[navn fjernet] , 3A

Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009

Side 7 af 13 rotationssensor cykelhjul m

Materialeliste:

- Cykelhjul

- Lodder

- snor

- Pasco rotationssensor

- Datastudio.

Fremgangsmåde:

Cykelhjulet opspændes så det roterer i det vandrette plan. På hjulet er en nylonskive med en line der kan vikles rundt i en fure. Et passende stykke fra hjulet monteres en rotationssensor således at linen kan trækkes hen over den midterste skive. For enden af linen hænges et lod.

Rotationssensoren tilsluttes via et USB link en computer med datastudio. I datastudio sættes rotationssensoren op til at måle den lineære position, og hastighed.

Mål så nøjagtigt som muligt nylonskivens radius r. Husk at den skal måles til bunden af furen.

Der laves en forsøgsserie med en række lodder, hvor man for hvert lod måler den lineære position, og hastighed af loddet som trækker hjulet rundt.

Bestem den masse m der lige netop kan trække hjulet rundt med konstant hastighed (brug evt.

f datastudio til at kontrollere).

Forsøgsopstilling:

Side 8

[navn fjernet] , 3A

Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009

Side 8 af 13

Beregninger (efterbehandling):

Metode 1;

Som jeg også beskrev det i mit teoriafsnit kan M bestemmes således; f

𝑀_{𝑓} = 𝑚_{𝑓} ∗ 𝑔 ∗ 𝑟

Da jeg kender m, som er klipsens masse (klipsen benyttes til, at bestemme for at finde f bevægelsen med konstant acceleration), som er 2,1 gram, tyngdeaccelerationen og vi har målt radius til 11,24 cm, kan M bestemmes; f

𝑀_{𝑓} = 0.0021𝑘𝑔 ∗ 9.82𝑚/𝑠^{2} ∗ 0.112𝑚 = 0.00231𝑁𝑚

Herunder har lavet en række eksempler, hvor jeg bestemmer inertimomentet ved hjælp af følgende formel;

𝐼 =

𝑚 ∙ ( 𝑔 − 𝑎) ∙ 𝑟^{2} − 𝑀_{𝑓} ∙ 𝑟

𝑎

M er den konstant, som jeg har beregnet ovenfor, mens g er tyngdeaccelerationen, r er radius og f accelerationen findes for hver måling. Dette gøres ved at dele stigningen i hastighed med stigningen i tid;

Udregning med massen 50g:

Acceleration:

𝑎 =

Δ𝑉

Δ𝑡

𝑎 = = 0.0757𝑚/𝑠^{2}

0.292𝑚/𝑠 − 0.027𝑚/𝑠
4.35𝑠 − 0.85𝑠

Inertimoment:

𝐼 =

𝑚 ∙ ( 𝑔 − 𝑎) ∙ 𝑟^{2} − 𝑀_{𝑓} ∙ 𝑟

𝑎

𝐼 = = 0.0773𝑘𝑔 ∗ 𝑚^{2}

0.05𝑘𝑔 ∙ ( 9.82𝑚/𝑠^{2} − 0.0757𝑚/𝑠^{2}) ∙ 0.112𝑚^{2} − 0.00231𝑁𝑚 ∙ 0.112𝑚
0.0757𝑚/𝑠^{2}

Udregning med massen 70g:

Acceleration:

Side 9

[navn fjernet] , 3A

Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009

Side 9 af 13

𝑎 =

Δ𝑉

Δ𝑡

𝑎 = = 0.108𝑚/𝑠^{2}

0.334𝑚/𝑠 − 0.033𝑚/𝑠
3.75𝑠 − 0.95𝑠

Inertimoment:

𝐼 =

𝑚 ∙ ( 𝑔 − 𝑎) ∙ 𝑟^{2} − 𝑀_{𝑓} ∙ 𝑟

𝑎

𝐼 = = 0.0766𝑘𝑔 ∗ 𝑚^{2}

0.07𝑘𝑔∙ ( 9.82𝑚/𝑠^{2} − 0.108𝑚/𝑠^{2}) ∙ 0.112𝑚^{2} − 0.00231𝑁𝑚 ∙ 0.112𝑚
0.108𝑚/𝑠^{2}

Udregning med massen 110g:

Acceleration:

𝑎 =

Δ𝑉

Δ𝑡

𝑎 = = 0.170𝑚/𝑠^{2}

0.427𝑚/𝑠 − 0.036𝑚/𝑠
3.05𝑠 − 0.75𝑠

Inertimoment:

𝐼 =

𝑚 ∙ ( 𝑔 − 𝑎) ∙ 𝑟^{2} − 𝑀_{𝑓} ∙ 𝑟

𝑎

𝐼 = = 0.0768𝑘𝑔 ∗ 𝑚^{2}

0.110𝑘𝑔∙ ( 9.82𝑚/𝑠^{2} − 0.170𝑚/𝑠^{2}) ∙ 0.112𝑚^{2} − 0.00231𝑁𝑚 ∙ 0.112𝑚
0.170𝑚/𝑠^{2}

Udregning med massen 150g:

Acceleration:

𝑎 =

Δ𝑉

Δ𝑡

𝑎 = = 0.234𝑚/𝑠^{2}

0.479𝑚/𝑠 − 0.057𝑚/𝑠
2.65𝑠 − 0.85𝑠

Inertimoment:

𝐼 =

𝑚 ∙ ( 𝑔 − 𝑎) ∙ 𝑟^{2} − 𝑀_{𝑓} ∙ 𝑟

𝑎

Side 10

[navn fjernet] , 3A

Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009

Side 10 af 13

𝐼 = = 0.0760𝑘𝑔 ∗ 𝑚^{2}

0.150𝑘𝑔∙ ( 9.82𝑚/𝑠^{2} − 0.234𝑚/𝑠^{2}) ∙ 0.112𝑚^{2} − 0.00231𝑁𝑚 ∙ 0.112𝑚
0.234𝑚/𝑠^{2}

Udregning med massen 190g:

Acceleration:

𝑎 =

Δ𝑉

Δ𝑡

𝑎 = = 0.295𝑚/𝑠^{2}

0.563𝑚/𝑠 − 0.062𝑚/𝑠
2.45𝑠 − 0.75𝑠

Inertimoment:

𝐼 =

𝑚 ∙ ( 𝑔 − 𝑎) ∙ 𝑟^{2} − 𝑀_{𝑓} ∙ 𝑟

𝑎

𝐼 = = 0.0761𝑘𝑔 ∗ 𝑚^{2}

0.190𝑘𝑔∙ ( 9.82𝑚/𝑠^{2} − 0.295𝑚/𝑠^{2}) ∙ 0.112𝑚^{2} − 0.00231𝑁𝑚 ∙ 0.112𝑚
0.295𝑚/𝑠^{2}

Metode 3;

I denne opgave skulle man vælge en måleserie for et af de tunge lodder, hvorefter vi skulle kopiere hastigheden af positionen over i et Excel og lave en afbildning af positionen og vinkelhastigheden, hvorefter man kan bestemme inertimomentet.

Side 11

[navn fjernet] , 3A

Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009

Side 11 af 13

Ovenfor ses et billede af dataen jeg har benyttet i denne opgave.

Vinkelhastigheden findes på følgende måde;

𝜔 =

𝑣 𝑟

Derefter er det blot at sætte denne i anden. Dernæst afsætter man vinkelhastigheden ud af x-aksen, mens positionen sættes ud af y-aksen. Hvis dette gøres får man en graf, som ser nogenlunde således ud;

Som det kan ses ud fra R^{2}, er dette tal meget tæt ved 1, dermed er resultatet yderst brugbart.

y = 0,0204x - 0,0078
R² = 0,9999

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

25

Metode 3

Metode 3

Lineær (Metode 3)

Side 12

[navn fjernet] , 3A

Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009

Side 12 af 13

Som jeg også beskrev det i min teori, kan inertimomentet nu bestemmes, da vi nu har opgivet hældningskoefficienten. Dette gøres ved brug af følgende formel;

𝐼 = 2 ∙ ℎ𝑘 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 − 𝑚 ∙ 𝑟^{2}

Dernæst indsættes de kendte tal og vi får;

𝐼 = 2 ∗ 0,020 ∗ 0,190 𝐾𝑔 ∗ 9,82 𝑚/𝑠^{2} − 0,190 𝐾𝑔 ∗ ( 0,112𝑚)^{2}

𝐼 = 0,0722 𝐾𝑔 ∗ 𝑚^{2}

Dernæst kan jeg bestemme afvigelsen i forhold til det inertimoment jeg beregnede for præcis samme lod via metode 1;

𝐴𝑓𝑔𝑖𝑣𝑒𝑙𝑠𝑒 𝑖 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡 = ∗ 100

(𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘 − 𝑝𝑟𝑎𝑘𝑡𝑖𝑠𝑘)

𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘

𝐴𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 𝑖 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡 = ∗ 100

( 0,0761 − 0,0722) 𝐾𝑔 ∗ 𝑚^{2}
0,0761 𝐾𝑔 ∗ 𝑚^{2}

𝐴𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 𝑖 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡 = 5,13 %

Fejlkilder:

Som det kan ses ovenfor i min beregning af afvigelsen i procent forekommer den en lille usikkerhed. Dette tror jeg skyldes, at tiden ikke præcis er den samme, forskellen imellem målingerne af positionen og hastigheden er 0,05 sekund. Dette har en lille betydning og kan sagtens være årsagen til den lille afvigelse ovenfor.

Desuden er det svært at bestemme hvornår hjulet bevæger sig med konstant acceleration og måle radius præcist.

Konklusion:

Jeg kan hermed konkludere at dette forsøg forløb godt og som ønsket. Vi fejlede i vores første måling, fordi vi havde foretaget målinger med det mindste af hjulene på måleinstrumentet. Det

Side 13

[navn fjernet] , 3A

Fysik forsøg – bestemmelse af inertimoment den 17/11-2009

Side 13 af 13 rigtige er det midterste og vi foretog derfor en række målinger, hvorefter vi fik de resultater, som jeg har benyttet til beregningerne i dette forsøg.

Efter denne lille svipser, syntes jeg forsøget forløb som ønsket, og vi har fået en række brugbare resultater.

Meget spændende og lærerigt forsøg, som var med til at belyse bestemmelse af inertimoment på en god måde vil jeg mene. God idé med at skulle finde inertimomentet på flere forskellige måder og sammenligne disse resultater.