SRP: Den Specielle Relativitetsteori i Fysik A og Matematik A

Side 1

Indholdsfortegnelse

Indledning ............................................................................................................................................... 1

1. Før den specielle relativitetsteori ................................................................................................... 2

1.1 Inertialsystem .................................................................................................................... 2

1.2 Galileis relativitetsprincip .................................................................................................. 2

1.3 Galilei-transformationen ................................................................................................... 3

2. Samtidighed ....................................................................................................................................... 3

2.1 Tankeeksperiment til beskrivelse af samtidighed ............................................................. 4

2.2 Definition af samtidighed .................................................................................................. 4

3. Lorentz-transformationen ............................................................................................................... 5

3.1 Udledning af Lorentz-transformationen ........................................................................... 5

4. Relativistiske kinematik .................................................................................................................. 10

4.1 Tidsforlængelse ............................................................................................................... 11

4.2 Længdeforkortelse .......................................................................................................... 12

5. Eksperiment: Myonens levetid ...................................................................................................... 13

5.1 Formål ............................................................................................................................. 13

5.2 Teori ................................................................................................................................ 13

5.3 Databehandling ............................................................................................................... 15

5.4 Konklusion ....................................................................................................................... 17

6. Opgave: Hafele-Keatings eksperiment ......................................................................................... 17 Konklusion ............................................................................................................................................ 21 Litteraturliste ....................................................................................................................................... 22

Side 2

Indledning

Ved 1900-tallets begyndelse var man med bl.a. Newtons love for mekanikken og Maxwells ligninger indenfor elektricitets- og magnetismelæren kommet frem til så meget indenfor fysikken, at man regnede den for næsten fuldkommen. Man mente, at der kun var detaljer

                                                                      3
tilbage at beskrive. Der var enkle forsøgsresultater, som man endnu ikke kunne forklare . Et

af disse var Michelson-Morley-forsøget, der viste, at lysets hastighed ikke bliver påvirket af ætervinden. Lyset udbreder sig altså uden at have et medium at gøre det i. Dette skabte tvivl

om den daværende teori om æteren.^{1,4} Dog regnede man ikke med en så revolutionerende

teori som Einsteins specielle relativitetsteori. Denne ændrede med forholdsvis simple antagelser, de daværende opfattelser af tid og rum, samt forkastede teorien om æteren. Den

                                               2
ændrede også opfattelsen af massen med ligningen E mc= , der siger, at energi og masse er

                  1
ækvivalente størrelser. Dog vil jeg i denne opgave kun koncentrere mig om de overraskende

resultater den specielle relativitetsteori medførte for rum og tid.

Einsteins specielle relativitetsteori er fra år 1905. Det var denne, der revolutionerede fysikken.

Alle fysiske processer udfolder sig jo i rum og tid, og dermed har den betydning for stort set

         8
alle teorier! Den specielle relativitetsteori gjorde op med de Newtonske teorier om et absolut

                                                              1
rum og en absolut tid. Galilei havde også i sin tid antaget, at tiden var absolut. Det absolutte

rum blev defineret som det, der var i hvile i forhold til æteren. Denne definition kom på baggrund Maxwells teorier om elektronmagnetisme. Det absolutte rum skulle efter teorien eksistere uafhængigt af de genstande, der befandt sig i det. Einstein forkastede altså med den specielle relativitetsteori teorien det absolutte rum, den absolutte tid og æteren. Dette betyder,

                                                          1, 9
at der hverken ville eksistere rum eller tid, hvis alt i Universet forsvandt.

Den specielle relativitetsteori vækkede også opsigt i filosofiske kredse. Det kan være svært at

                                              2
forstå, at tid, længde og samtidighed er relative størrelser.

Selvom mange finder den specielle relativitetsteori absurd, er den blevet eksperimentelt

                                                  4
eftervist adskillige gange, hvor resultaterne var meget præcise.

Side 3

1. Før den specielle relativitetsteori

1.1 Inertialsystem

Før vi kigger på den specielle relativitetsteori, er det vigtigt at slå fast, hvad et inertialsystem er. Når vi skal se på en begivenhed, er det praktisk at benytte et koordinatsystem. For at benytte et koordinatsystem til at beskrive en fysisk hændelse, er det nødvendigt at have noget at referere til. Hændelsen kan f.eks. være, at jeg går en tur hen af vejen. Her vil jorden være referencen, og vi kan indsætte et koordinatsystem, hvorved vi kan beskrive min gang, og eventuelle andre begivenheden i referencesystemet, ved x,y,z t. Et andet referencesystem kunne være en bil, der kom kørende på vejen ved siden af mig. Dette referencesystem ville være i bevægelse i forhold til det, som jeg befinder mig i. Hvis Newtons love gælder i referencesystemet kaldes dette et inertialsystem. Dette kommer af Newtons 1. lov, inertiens lov. Når denne lov gælder, gælder de andre også. Inertialsystemer er altså i hvile eller i jævn bevægelse. Det er dog næsten umuligt, at finde et perfekt inertialsystem. Idet jorden roterer, vil den jo netop ikke være et inertialsystem. Dog ser man ofte bort fra de fiktive kræfter, der påvirker et inertialsystem på jorden. Hvis målingerne er kortvarige vil betydning af dem også være minimal. Nu længere tid målingerne varer, des større betydning vil kræfter have.

1, 2, 4

Et referencesystem, der bevæger sig jævnt i forhold til et inertialsystem er også et inertialsystem. Således vil bilens referencesystem, hvis vi antager jorden, hvor jeg går, er et inertialsystem, kun være et inertialsystem, hvis bilen kører med konstant fart og ikke

         7
accelererer.

Da enhver begivenhed finder sted i et bestemt punkt til en bestemt tid definerer man en begivenheds koordinater som (x, y, z, t). Et inertialsystem bestemmer således rum og tid for

                                                                      1, 2
en begivenhed. Den specielle relativitetsteori beskæftiger sig kun med inertialsystemer.

1.2 Galileis relativitetsprincip

Det er også vigtigt, at fremhæve Galileis relativitetsprincip, der siger, at mekaniske love gælder i ethvert inertialsystem. Det er altså ikke muligt at detektere, at man er i bevægelse i et inertialsystem. Galilei opdagede at på et skib, udfolder mekaniske fænomener sig på samme måde uafhængigt af, om skibet er i jævn bevægelse eller holder stille. Vi kender også alle dette fænomen. Sidder vi i et fly, der flyver i jævn bevægelse, kan vi ikke fornemme, om vi

Side 4

flyver eller ej, medmindre vi kigger ud af vinduet. Alle mekaniske love gælder altså, og f.eks.

                                                   1, 4
kaffen bliver i vores kop, præcis som hvis vi fandt os på jorden.

1.3 Galilei-transformationen

Vi betragter to inertialsystemer (se figur 1.). Vi kalder det ene inertialsystem S og det andet S’. De er placeret således, at x-akserne er sammenfaldne, mens y og y’ er parallelle, hvilket også er tilfældet med z og z’. Urene

nulstilles så '0tt==. En begivenhed har således koordinaterne (x,y,z,t) i S og (x’,y’z’,t’) i S’.

S’ bevæger sig med hastigheden v i forhold til S. Galilei-transformationen er dermed:

x x vt ' =+
yy ' =
zz ' =
tt ' =

Det fremgår af figur 1., at dette må være korrekt, da afstanden mellem de to inertialsystemer er vt. Det er dog her antaget, at tiden er absolut, dvs. den er identisk i de to systemer og

                                      1, 2
uafhængig af systemernes indbyrdes bevægelse.

2. Samtidighed

Da Einstein fremlagde den specielle relativitetsteori i 1905, gjorde han op med den tidligere herskede teori om æteren. Han to postulater er som følger:

Dette er altså en udvidelse af Galilies relativitetsprincip. Nu er det ikke blot mekaniske fænomener, men for alle fysiske eksperimenter. Dette postulat kaldes ofte det specielle relativitetsprincip.

Dette andet postulat er i modstrid med Galilei-transformationen og medførte opsigtvækkende konsekvenser for opfattelsen af rum og tid. Einstein lavede et tankeeksperiment, der kunne

            1
illustrere dette.

                                                                                    1
”I det tomme rum udbreder lyset sig retliniet med hastigheden c i enhver retning i ethvert inertialsystem.”

                                                                 1
”Alle inertialsystemer er ligevægtige for udførelsen af alle fysiske eksperimenter”

Figur 1^{2}

Side 5

2.1 Tankeeksperiment til beskrivelse af samtidighed^{1, 5}

Vi forestiller os et tog med en passager, der befinder sig i midten af toget. Desuden står der en person på jorden. Idet de tog personer befinder sig lige ud for hinanden (se figur 2), slår et lyn ned i hver ende af toget. Idet lyset bevæger sig med farten c i ethvert inertialsystem, vil personen på jorden se de to lynnedslag som samtidige. Han står nemlig i midten af toget, så lyset fra for- og bagenden har lige langt hen til ham, og de vil dermed nå ham samtidigt. Det ses nederst på figur 2.

Ser vi gengæld på, hvordan personen på toget oplever lynene, får vi et andet resultat. Set fra iagttageren på jorden bevæger toget sig hen mod lysglimtet fra togets forende. Hermed skal lysglimtet fra forende ikke så langt, som lysglimtet fra bagenden skal. Da lyset bevæger sig med c, vil personen på toget altså opleve lyset fra forenden først. Han vil konkludere, at de ikke er samtidige, da han jo befandt sig i midten af toget, da lynene slog ned, og lyset bevæger sig med fast hastighed, c, i hans system.

De to personer kan altså ikke blive enige om samtidigheden af lynene. Man kan ikke sige, at den ene iagttager har mere ret end den anden, da de to systemer er ligeberettigede.

Samtidighed er altså et relativt begreb.

2.2 Definition af samtidighed

Vi kan beskrive samtidighed ved følgende definition:

Figur 2^{1}

”To begivenheder, der foregår i punkterne A og B, vil være samtidige, såfremt et lyssignal udsendt fra A, når begivenheden her finder sted, og et lyssignal udsendt fra B, når begivenheden finder sted der, vil

nå frem til en iagttager i samme afstand fra A og B til samme tidspunkt.”^{1}

Side 6

Denne definition tillader, som set i overstående tankeeksperiment, at to begivenheder kan være samtidig for en observatør, mens de ikke nødvendigvis er for en anden, hvilket

                               1
understreger, at samtidighed er relativt.

3. Lorentz-transformationen

Det fremgår af overstående, at Galilei-transformationen må kastes. I denne antog man en

absolut tid, så 'tt=. Hvis dette var tilfældet ville to samtidige begivenheder være samtidige i

                                                 1
alle inertialsystemer, hvilket det som nævnt ikke er tilfældet.

Galilei-transformationen blev dog allerede forkastet før Einsteins postulater, da den var modbevist eksperimentelt. Det var vist bl.a. ved Michelson-Morley-forsøget, hvor man fandt at lysets hastighed var uafhængig af retning og bevægelse i forhold til en eventuel æter.

Desuden betragtede man også Sitters dobbeltstjerner, hvor man fandt, at lysets hastighed ikke

                                                               3
afhang af stjernernes bevægelse, trods de bevægede sig mod og bort fra jorden . Hermed

måtte man altså forkaste Galilei-transformationen, og der var behov for en ny transformation, der kunne sammenknytte en begivenheds koordinater i et inertialsystem med dens koordinater i et andet inertialsystem. Det var den hollandske fysiker Lorentz, der i 1904 udviklede Lorentz-transformationen, som erstattede Galilei-transformationen. Lorentz-transformationen ligger til grundlag for den specielle relativitetsteori. Einstein forkastede dog teorien om

                          3
æteren i modsætning til Lorentz.

3.1 Udledning af Lorentz-transformationen^{1}

Vi betragter en begivenhed i inertialsystemet S med koordinaterne (x, y, z, t), og ligesom ved Galilei-transformationen skal Lorentz-transformationen sammenknytte disse koordinater med dens koordinater (x’, y’, z’, t’), som det har i det vilkårlige inertialsystem S’. Vi ønsker at opskrive Lorentz-transformationen, ligesom vi opskrev Galilei-transformationen. Vi skal altså bestemme følgende funktioner:

x f x y z t v ' ( , , , ; ) =
     x

y f x y z t v ' ( , , , ; ) =
     y

z f x y z t v ' ( , , , ; ) =
     z

t f x y z t v ' ( , , , ; ) =
    t

Side 7

v fremgår, da funktionerne, udover de oprindelige x,y,z,t-værdier, kan afhænge af hastigheden mellem S og S’.

Koordinatsystemerne er placeret, så x og x’ i de to inertialsystemer er sammenfaldne, mens z og z’, ligesom y og y’, er parallelle (jf. figur 1.). Vi kigger først på y, y’, z og z’. Disse står begge vinkelret på x og x’, og dermed bevægelsesretningen, da S’ bevæger sig langs x og x’.

Vi kigger igen på tankeeksperimentet med toget. Denne gang kigger vi på en vognaksel i togets bredde. Vi forestiller os, at der står en person på toget, mens der står en på jorden.

Personen på toget er placeret i et plan vinkelret på midten af akslen. Idet et lyn slår ned på hver side af akslen, vil han se lysglimtene samtidigt, og de vil dermed være samtidige for ham. Personen på jorden befinder sig midt mellem skinnerne. Han har, ligesom personen på toget, også samme afstand til hvert af nedslagspunkterne. Dermed vil han også opleve lynene samtidigt. Idet der er enighed om samtidigheden, vil der også være enighed om den rumlige afstand. Hvis lynene sætter mærker på skinnerne, ville begge iagttagere mene, at afstanden mellem mærkerne, var længden på vognakslen. Vi kan altså konkludere, at når toget bevæger sig vil dimensionerne vinkelret på dennes bevægelsesretning være uforandrede. Dette er generelt gældende, hvilket må føre til at y, y’, z og z’ må være uforandrede ved transformationen. Vi har altså:

Vi betragter to begivenheder. Disse har samme x-værdi og er samtidige i S. Denne ene finder sted i (x, 0, 0, t), mens den anden finder sted i (x, y, z, t). Begivenhederne finder altså sted i samme plan vinkelret på bevægelsesretningen. Ifølge overstående tankeeksperiment med

vognakslen vil de dermed også være samtidige i S’. Vi har derfor: f x t f x y z t= ( ,0,0, ) ( , , , ) .
                                                      tt

Det samme gælder for f_{x}. f_{t} og f_{x} afhænger altså ikke af y og z og vi kan opskrive følgende:

Vi går ud fra, at transformationen er lineær. Hvis transformationen ikke havde været lineær, havde en bevægelse, der var jævn i forhold til S være jævnt accelereret i forhold til S’, hvilket

                                               1
strider mod, at begge systemer skulle være inertialsystemer . Transformationen kan altså

opskrives på formen:

Hvor, , , endnu er ukendte.

γ ρ κ σ

x f x t v ' ( , ; ) =
     x

t f x t v ' ( , ; ) =
    t

yy ' =
zz ' =

1

2

x x t k ' = + +
t x t k ' = + +

γρ κσ

Side 8

Da vi har placeret koordinatsystemerne, som vi har, er transformationen homogen, hvilket vil

sige, at ( , ) (0,0)xt = medfører ( ', ') (0,0)xt =. Vi har altså:
0 0 0 0 = ⋅ + ⋅ + ⇔ = kk_{11}
0 0 0 0 = ⋅ + ⋅ + ⇔ = kk_{22}

γρ κσ

Den homogene transformation indeholder altså ingen konstante led.

Da S’ bevæger sig med v i forhold til S, vil også begyndelsespunktet '0x = have hastigheden

v i forhold til S. Vi sætter x’ lig 0 i definitionen for x’ og kræver, at resulterende ligning tager

formen x vt=. Vi kan gøre dette, da vt er den længde, x, som S har bevæget sig. Først isoleres

x i definitionen for x’:

Denne indsættes i den krævede formel x vt= og vi bestemmer v:

t

− = ⇔ − = vt v

ρρ γγ

S vil nødvendigvis have hastigheden v− i forhold til S’. Tilsvarende til overstående vil
begyndelsespunktet 0x = altså have hastighed v− i forhold til S’. x sættes lig 0 i den
overstående definition af x’, og ligeledes som før kræves det, at ''x vt=−:
' 0 'x t x t = ⋅ + ⇔ =

γ ρ ρ

Vi benytter nu, at ''x vt=−:
=− 't vt

ρ

Definitionen for t’ benyttes:

= − + ()t v x t

ρ κ σ

Vi har tidligere krævet, at 0x =, så vi sætter denne lig 0 og ganger –v ind i parentesen:
t v t =−

ρσ

Vi benytter vores tidligere bestemte definition af v:

⎛⎞ tt

t t t = − − ⇔ = ⇔ = ⇔ =

t ρ ρσ ρσ ρ σ ρ γ γ σ γ γ ρ

⎜⎟

⎝⎠

De to overstående udregning har altså ledt os til = og −= v. Vi ønsker at få nye og

σγ ρ γ mere specifikke definitioner af sammenhængen mellem x’ og x samt t’ og t. Først isoleres i ρ vores definition for v:

x x t x t t x x '0 = + ⇔ = + ⇔ − = ⇔ − =

t ρ γ ρ γ ρ ρ γ γ

− = ⇔ = − vv

ρ ργ γ

Side 9

Denne indsættes i vores tidligere definition for x’:

' ' ' ( )x x t x x v t x x vt = + ⇔ = − ⇔ = −

γ ρ γ γ γ

Vi kan på samme måde omskrive t’. Her skriver vi på formlen − v, da det viser sig at

κ γα være smart:

' ' ' ( )t x t t vx t t t vx = + ⇔ = − + ⇔ = − Vi har dermed fået følgende nye definitioner

af x’ og t’:

x x vt ' ( ) =−
t t vx ' ( ) =−

γ γα

Dette er vores midlertidige Lorentz-transformationen. Vi ønsker dog at bestemmer og.

γ α

For at gøre dette betragter vi et lysglimt, der udsendes fra et fælles begyndelsespunkt i S og S’

til tiden '0tt==. Lyset vil udbrede sig i enhver retning og i begge inertialsystemer med

hastighed c. Lysets sfære har dermed en radius på ct i S og ct’ i S’. Vi kan derfor opstille følgende, som Lorentz-transformationen burde tilfredsstille:

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x y z c t ' ' ' ' + + =

x y z c t + + =

Vi benytter vores midlertidige Lorentz-transformation i udtrykket ' ' ' 'x y z c t+=:

2 2 2 2 2

      22
( ) ( ) ( ) ( ) x vt y z c t vx − + + = −

      22
( ) ( ) x vt y z c t vx − + + = −

2 2 2

2 2 2

2 2

x v t xvt y z c t c v x c xvt + − + + = + − 22

γ γ α γ γ γ γα γ γ γ γ γ α γ α

Vi ser, at to af leddene indeholder xvt. De to led står på hver side af lighedstegnet, samt er de eneste, der indeholder de uafhængige variable xt. Derfor må de være lig hinanden:

2 2 2 2

c^{2}

1

− = − ⇔ = ⇔ = 2 2 1c xvt xvt c

γ α γ α α

Vi har altså nu bestemt.

α

Vi kigger endnu engang på overstående formel, efter at leddene med xvt er gået ud med hinanden:

2 2 2 2 2 2 2

x v t y z c t c v x + + + = +

γ γ γ γ α κ σ γα γ γ α

Side 10

Vi omskriver denne, så den passer med x y z c t+ + = . Det benyttes, at = :
                                                                  2

2 2 2 2 2

1 c α

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

x v t y z c t c v x + + + = +

x c v x y z c t v t − + + = −

γ γ γ γ α γ γ α γ γ

( )

22

2 2 2

c^{2}

2 2 2

 2
x v y z c t − + + = −
        42

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ vv^{22}

 2
x y z c t − + + = −
        22

⎛⎞ v

x c v y z c t − + + = −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ cv cc cc γ γ γ α γ γ γ γ γ γ γ γ γ

⎜⎟

⎝⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Da denne jo skal være i overensstemmelse med x y z c t+ + =, må koefficienten

2 2 2 2 2

v^{2}

22

−     nødvendigvis være 1. Vi kan dermed udregne :
   2

c γγ γ

vv^{22} ⎛⎞ 1 1 1

2 2 2 2

cc vv^{22}

− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = = 1 1 1
   22

⎝⎠ v^{2}

11 −−
    22

1 −
    2

cc c γ γ γ γ γ

⎜⎟

Vi har altså nu også bestemt.

γ

Ved indsættelse af værdierne for γ og α i den midlertidige Lorentz-transformation, fås den endelige form:

v^{2}

1 −
    2

t −
    2

v^{2}

1 −
    2

x ' =

yy ' =
zz ' =

t ' =

x vt − c vx c c γ er en meget brugt afhængig variabel, og ofte skriver man den ikke ud som ovenfor. Den kaldes Lorentz-faktoren. Det er værd at bemærke, at ved små værdier for v, v<< c, vil

Side 11

Lorentz-faktoren være tæt på 1. Hermed vil Lorentz-transformationen ligne Galilei-transformationen. Det passer med, at man kan benytte Galilei-transformationen ved små

hastigheder. Hvis jeg kører med 50^{km}_{h} i 1 time, kan vi godt antage, at jeg har kørt 50 km i en

time i forhold til en person i hvile, selvom det ifølge Lorentz-transformationen ikke er helt korrekt. Ved store hastigheder nær lysets hastighed, vil Lorentz-transformationen til gengæld

                                                                        v
have stor betydning. Det fremgår figur 3, der afbilleder Lorentz-faktoren som funktion af .
                                                                         c

Transformationen gælder også omvendt og ved omskrivning af den overstående Lorentz-transformation fås følgende (hvor nu ikke er skrevet ud): γ

Lorentz-transformationen kan også skrive på differensform. Dette indses ved at betragte to begivenheder i S med koordinaterne

1 1 1 1 2 2 2 2

( , , , )x y z t og

( , , , )x y z t

. Vi kan da opstille følgende:

, , , x x x y y y z z z z z zΔ = − Δ = − Δ = − Δ = −

Lorentz-transformationen benyttes til at se, hvordan xΔ kan beskrives i S’:

Δ = − = − − − = − − − = − − + = ' ' 'x x x x vt x vt x vt x vt x vt x vt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) x x v t t x v t − − − = Δ − Δ ( )

1 1 2 2 1 1

2 1 2 1 γ γ γ γ γγ

Det kan gøres på lignende måde ved

, ,y z tΔ Δ Δ

. Resultatet er som følger:

4. Relativistiske kinematik

Som følge af relativitetsteorien og Lorentz-transformationen får vi en ændring i vores opfattelse af tid og rum. Vi har allerede set, hvordan samtidighed er blevet relativ. Jeg vil nu undersøge tidsforlængelse og længdeforkortelse, som følger af Einsteins postulater.

Figur 3^{1}

x x vt =+ ( ) ''

c^{2}

yy = '
zz = '

vx '

tt =+ '

γ γ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Δ = Δ − Δ x x v t ' ( )

c^{2}

Δ = Δ yy '
Δ = Δ zz '

Δ = Δ − tt '

vx Δ γ γ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Side 12

4.1 Tidsforlængelse

Vi betragter et lysur i hvile (se figur 4). Dette sender lys mellem to spejle. Hvis afstanden mellem de to spejle er L, vil tiden, hvor

lyset bevæger sig til det ene spejl og tilbage være: T_{0} =. Vi

2L c kalder denne tid for T

0

, da lysuret her er i hvile. Hvis vi bevægede os med lysuret i en jævn bevægelse, ville det stadig være i hvile i forhold til os, og resultatet ville være det samme.

Sætter vi til gengæld lysuret i bevægelse, hvor vi ikke bevæger os med det, vil vi få resultatet, som er illustreret på figur 5. Afstanden imellem punktet, hvor lyset udsendes og punktet hvor

det igen rammer spejlet, er 2s v T=⋅, hvor v er den hastighed lysuret bevæger sig med i

forhold til os. T er tiden, det har taget for lyset at bevæge sig frem og tilbage. Afstanden, som

lyset skal bevæge sig er: 2h c T=⋅. Vi kan nu omskrive de overstående udtryk og få følgende:
2 L Tc_{0} ⋅
TL_{0} = ⇔ =

c 2

2 s v T s = ⋅ ⇔ =

2

2 h c T h = ⋅ ⇔ =

2

Tv ⋅

Tc ⋅

Disse tre udtryk udtrykker siderne i den retvinklede trekant, der ses på figur 5 vha. den stiplede streg. Vi kan dermed opstille Pythagoras:

Tc ⋅^{2} T v T c ⋅⋅^{22}

2 2 2 2 2 2

⎛⎞_{0} ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = ⇔ ⋅ + ⋅ = ⋅    T c T v T c
                    0

2 2 2

⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Led med T samles nu på venstre side af lighedstegnet, mens led med T_{0} samles på højre side

2 2 2 2

T c T v T c T v T c T c⋅ + ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ − ⋅ = − ⋅
 00

                 2
Der deles nu med c− :

Tv^{22} ⋅

T v T c T c T T ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇔ − + =
                00

c^{2}
T^{2} sættes udenfor parentesen:

2 2 2

2 2 2 2

T T T T − = ⇔ − =  1
            00
      22

T v v ⋅ ⎛⎞ cc

⎜⎟

⎝⎠

T isoleres:

Figur 4^{6}

Figur 5^{6}

Side 13

⎛⎞ v^{2} 1 1 1

2 2 2 2 2 2

⎜⎟ 0 0 0 0 0

T T T T T T T T T 1 − = ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅ =
       2                   22

⎝⎠ v^{2}

11 −−
    22

1 −
    2

c vv cc c γ

Det ses, at her også indgår. Som tidligere nævnt har denne størst betydning, når v er meget γ stor og nær lysets hastighed. Hermed vil nævneren i brøken nemlig blive meget lille, hvorved brøken bliver meget stor, og T bliver meget større end T

0.

Ved alle positive værdier for v, der ikke er 0, vil T være større end T

0.

Perioden det tager, at komme fra det ene spejl til det andet er altså større ved uret i bevægelse. Lysuret måler netop tiden ved at måle de gange, lyset kommer frem og tilbage. Hermed kan vi konkludere, at et ur i bevægelse går langsommere end et ur i hvile. Nu hurtigere hastigheden er i forhold til observatøren, des langsommere vil uret gå. Dette er dog kun et argument for et lysur, men det er faktisk generelt gældende. Hvis vi f.eks. sætter en observatør med et armbåndsur i bevægelse med lysuret, må disse to ure naturligvis gå ens. Observatøren er jo i hvile i forhold til begge ure. Vi har bevist, at lysuret går langsommere i forhold til en observatør, der ikke er i bevægelse med det, og dermed må

                                            6
armbåndsuret, og alle andre ure, også gå langsommere!

Denne tidsforlængelse kan også indses ved Lorentz-transformationen. Til dette formål benyttes differensformen af Lorentz-transformationen. Vi kigger ligesom tidligere på to inertialsystemer S og S’. Vi antager, at der finder to begivenheder sted i S’ på samme sted,

men ikke samme tid. Hermed er '0xΔ=. Et ur anbragt i dette punkt vil være i hvile i forhold

til S’ og måle tiden

'tΔ

. Vi kigger på Lorentz-transformationen og ser, hvordan tidsforskellen mellem de to begivenheder vil blive beskrevet i S:

Δ = Δ + ⇔ Δ = Δ_{2} t t t t ''

vx ⋅Δ ' c γγ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Hvis vi erstatter symbolerne tΔ og 'tΔ med hhv. T og T fås samme resultat som før^{1}:

0

0

TT =

γ

4.2 Længdeforkortelse

Jeg viser længdeforkortelsen ved Lorentz-transformationen, selvom den også kan illustreres

                                                6
ved beregninger med lysuret, ligesom med tidsforlængelsen

. Et eksempel der viser længdeforkortelsen er tankeeksperimentet med toget. Idet de to observatøren ikke fandt lynnedslagene samtidige vil de også være uenige om togets længde. Vi forstiller os, at lynene satte mærker på skinnerne. Personen på jorden, der oplevede lynene samtidige, vil

Side 14

argumentere for, at længden af toget er afstanden mellem de to mærker på skinnerne.

Personen i toget vil argumentere for, at toget er mindre, da lynet fra forende jo slog ned først.

Der er altså uenighed om længden af toget.

For bedre at definere dette betragter vi en stang, der er anbragt i hvile i S’ langs x’-aksen.

Længden af stangen vil i S’ kunne måles til

'xΔ

. Til samme tidspunkt afsættes der mærker i S

ud for stangens endepunkter. Længden af stangen i S er altså: x x t x tΔ = − ( ) ( ) . Det er altså
                                                       ba

samme t, der indgår i begge led, da mærkerne afsættes til samme tidspunkt. Hermed er 0tΔ=.

Vi indsætter dette i Lorentz-transformationen, hvor vi skriver xΔ som L og 'xΔ som L:

0

Idet 1 −  jo altid vil være mindre end 1 ved en hastighed, v, større end 0, vil længden af et
         2

v^{2}

c legeme i bevægelse være mindre, end hvis det var i hvile. Længden målt i hvile kaldes hvilelængden, L, og er altså den størst mulige længde for et legeme. Som nævnt er det kun

0 længden i bevægelsesretningen, der oplever længdeforkortelse. Bredden af stangen vil altså

være den samme i S og S’.^{1}

5. Eksperiment: Myonens levetid^{10}

5.1 Formål

Forsøget formål er at bestemme myoners middellevetid, og inddrage resultaterne i en diskussion om tidsforlængelse og længdeforkortelse.

5.2 Teori

En myon er en tung udgave af en elektron. Da den vejer meget mere end en elektron, ca. 207 gange mere, er den ustabil og henfalder efter noget tid til en elektron. Myonens levetid er den tid, der går, indtil den henfalder til en elektron.

Myoner dannes i jordens atmosfære omkring 10 km oppe. De bliver dannet med meget høj energi, så de bevæger sig med en fart nær lysets hastighed. Deres middellevetid i hvile er bestemt til 2,2 s. Det er denne levetid, der er forsøgets formål at bestemme eksperimentelt.

µ

                                 ⎛⎞
Δ = Δ − Δ ⇔ = − ⋅ ⇔ = = ⋅ − x x v t L L v L L ' 0 1 ( ) ( ) ⎜⎟
              00
                                 ⎜⎟

L_{0} v^{2}
c^{2}

γγ γ

⎝⎠

Side 15

Hvis vi ved forsøget få verificeret middellevetiden til

2,2 s µ

, vil man kunne lede dette over til en verificering af tidsforlængelsen og længdeforkortelsen. Myonen kan nemlig ikke nå ned til jorden på 2,2 s. Det indses af følgende udregning, hvor det er antaget, at den bevæger sig µ med 99,8 % af lysets hastighed:

    5
     km km
3 10 0,3 ⋅=
       ss

µ

   km
0,3 0,998 2,2 0,659 ⋅ ⋅ = s km
     s

µ µ

Myonen vil altså ikke nå ned på jorden, hvis den kun levede 2,2 s og der hverken var µ tidsforlængelse eller længdeforkortelse. Dog kan vi måle dem på jorden!

Før konklusionen om tidsforlængelse og længdeforkortelse kan drages, skal myonens levetid altså bestemmes. Til dette benyttes en scintillator-tæller. Denne består af forskellige dele, der skulle samles, før forsøget kunne igangsættes. Den består først og fremmest af en scintillator.

En scintillator, der kan består af mange forskellige materialer, afgiver lys ved passagen af en ladet partikel, da ladningen eksiterer atomer i stoffer, som derefter henfalder til den oprindelige tilstand ved udsendelse af lys. Lyset transporteres videre i en lysleder.

Lysmængden er forholdsvis lille, og derfor benyttes en fotomultiplikator til at forstærke lyset.

Lyset rammer en metalplade, og ved den foto-elektriske effekt udsender fotonerne fra lyset elektroner. Disse accelereres ved et spændingsfald, hvorefter de rammer endnu en plade og afgiver mindst 2 nye elektroner. Disse accelereres så igen og rammer endnu en plade, hvor der igen afgives mindst 2 nye elektroner pr. elektron osv. Denne proces fortsætter en 10-12 gange, hvorefter de få elektroner, det startede med, nu er blevet til så mange, at der kan detekteres en elektrisk puls. Fordelingen af spændingsfald mellem pladerne styres af den såkaldte base. Det er sammensætningen af alt dette, der kaldes for en scintillator-tæller. Efter denne blev samlet var det også vigtig at mørklægge den, da fotomultiplikatoren naturligvis ikke må registrere lys fra omgivelserne. Udgangen af basen blev forbundet med et oscilloskop, der opfangede de elektriske ladninger.

Efter scintillator-tælleren var samlet, kunne vi begynde at måle myonens levetid. Det er vigtigt at understrege, at levetiden måles i hvile. Når myonen kommer igennem scintillatoren løsriver eller eksiterer den elektroner langs sin bane. Hermed mister myonen energi og i nogle tilfælde vil den tabe så meget energi, at den standes i scintillatoren. Den kinetiske energi, som

Side 16

myonen jo mister ved standsning, giver en impuls. Efter myonen er standset, vil den henfalde til en elektron ved udsendelsen af lys. Vi kan altså registrere to impulser. Den første impuls, når myonen bringes til standsning, og den anden når den henfalder til en elektron. Forskellen mellem disse to impulser er myonens levetid i hvile. Vi ser ikke på, at myonen skulle have ”brugt” noget af sin levetid på sin vej til jorden. Sandsynligheden for at en myonen henfalder, er jo altid den samme. Dermed vil henfaldskurven, vi får ud af målingerne altså være gældende for alle myoner.

I denne sammenhæng er det også vigtigt at påpege en oplagt fejlkilde. Vi ser på en myon, der når frem til scintillator-tælleren, og bringes til standsning. Lige efter dette er sket, og før myonen er henfaldet til en elektron, kommer der en ny myon, der bringes til standsning. Her vil vi registrere, at myonen levetid er den tid, der er mellem de to impulser, altså fra den første myon er standset til den anden myon er standset. Dette er en klar fejlkilde, og vores resultat på 3 timers måling, vil sandsynligvis være en anelse mindre end 2,2 s.

µ

5.3 Databehandling

Efter vi havde samlet scintillator-tælleren, satte vi den til at måle i 3 timer. Resultatet var som følger:

Det ses, at der bliver målt antal hændelser, altså antallet af myonen, op af 2-aksen, mens levetiden i s ses ud af 1-aksen. Formen af punkterne passer til en eksponentiel aftagende µ funktion, hvilket stemmer overens med henfaldsloven. Punkterne er altså fittet til funktionen:

Side 17

N t N e () =⋅_{0}, hvor er middellevetiden, altså i dette tilfælde myonens middellevetid. Det

t τ

− τ

ses på billedet af grafen, at den fittede funktion hedder: ( ) 588,7N t e^{−}^{2,183} =⋅

t τ

, myonens middellevetid, er altså ifølge målingerne

2,181 s µ

, hvilket stemmer godt overens med den forventede levetid på

2,2 s µ

. Rundede man resultatet op, så der var to betydende cifre, ville det jo netop være 2,2 s.

µ

Det er altså, uden tidsforlængelse og længdeforkortelse, ikke muligt at beskrive, hvorfor vi kan måle myoner på jorden, når de dannes i 10 kilometers højde.

Vi betragter en observatør af en myon, som står på jorden. Myonen vil bevæge sig med nær lysets hastighed i forhold til til ham, og vi kan benytte tidsforlængelsen. Vi antager, at myonen bevæger sig med 99,8 % af lysets hastighed, og kan dermed lave følgende udregning, hvor resultatet fra forsøget, 2,181 s, benyttes: µ

( )

( )^{2}

T T T s s = ⋅ ⇔ = ⋅ = 2,181 34,5
    0

v^{22}

1 −
    2

11

   km
0,3 0,998 ⋅
     s

1 −

0,3^{km}_{s}

c µ µ µµ

For observatøren på jorden, vil myonens levetid altså være

34,5 s µ

, når den bevæger sig med

99,8 % af lysets hastighed. Vi kan nu udregne om den så vil nå frem til jorden:

        km
0,3 0,998 34,5 10,3 ⋅ ⋅ = s km
          s

µ µ

Myonen vil altså nå ned på jorden, hvis vi regner med tidsforlængelse.

Forestiller vi os til gengæld, at vi sad på ryggen af myonen, ville vi bevæge os med jævn hastighed, og kan ikke ud fra fysiske hændelser detektere, at vi er i bevægelse. Det vil sige, at havde man eksempelvis et ur på, ville det gå normalt, også selvom det for observatøren på jorden ville gå langsommere. Her kan længdeforkortelse dog beskrive, at myonen når ned til jorden:

v^{2} ( )
( )^{2}

2

L L km km = ⋅ − = ⋅ − = ⎜⎟ 1 10 1 0,632
    0
            2

   km
0,3 0,998 ⋅
     s

0,3^{km}_{s}

c µ µ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

For myonen vil afstanden til jorden altså kun være 632 meter. Det indses af følgende udregning, at den altså vi nå ned til jorden:

Side 18

     km
0,3 10 0,998 2,181 0,653 653 ⋅ ⋅ ⋅ = = s km m
        s

µ µ

Det kan altså forklares med tidsforlængelse og længdeforkortelse, hvorfor myonerne kan måles på jorden, når hvilelevetiden er ca. 2,181 s µ

En af forsøgets fejlkilde er som nævnt, at målingerne kan blive forkerte, når der kommer en ny myon, før den tidligere er henfaldet. Der kan dog også være apparaturfejl. Mit resultat blev rigtig godt, men det er klart, at da myonerne henfalder efter en sandsynlighed, vil resultaterne blive bedre, nu længere tid man måler.

5.4 Konklusion

Myonen har ifølge målingerne en middellevetid på

2,181 s µ i hvile. En observatør på jorden vil opleve tidsforlængelse, og myonen har en levetid på

34,5 s µ i forhold til ham. En observatør på ryggen af myonen vil til gengæld opleve, at længden til jorden er 653 m. Det kan altså forklares ved tidsforlængelse og længdeforkortelse, hvorfor myonen når frem til jorden, når den dannes i 10 kilometers højde.

6. Opgave: Hafele-Keatings eksperiment

Vi betragter to fly, der flyver hver sin vej rundt om jorden. De flyver med farten u i forhold til jordens overflade. Jorden roterer med hastigheden v

0 langs ækvator. Det bliver angivet, at de

to fly bevæger sig med: v v u =− og v v u =+ , hvor v er hastigheden for flyet, der
                    −   0       +   0         +

bevæger sig med jordens rotation, mens v_{−} er hastigheden for flyet, der bevæger sig mod

jordens rotation.

Først bestemmes v. Vi kan bestemme denne, da vi ved, at jordens radius er 6400 km, samt

0 jorden langs ækvator har roteret helt på et døgn:

v_{0} == 1675,5^{km}_{time}

2 6400 ⋅⋅ km

24 timer π

På samme måde kan flyenes hastighed i forhold til jordens overflade bestemmes, da det bliver oplyst, at det tager 2 døgn for dem at flyve jorden rundt:

Side 19

2 6400 ⋅⋅ km

u == 837,8^{km}_{time}

48 timer π

Flyenes hastigheder i forhold til jordens centrum kan nu bestemmes:

v v u= − = − = _ 1675,5 837,8 837,8
     0

km time

                            km
v v u = + = + = 1675,5 837,8 2513
                              time
 +   0

Flyenes -faktorer bestemmes: γ

( )

v^{22}

1 −
    2

2

3 10^{km}_{s} ⋅^{5}

11

_ 1,305 = = =
837,8_{km}
60 60^{s} ⋅

1 − c γ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

( )

v^{22}

1 −
    2

2

3 10^{km}_{s} ⋅^{5}

11

= = = 1197
2513_{km}
60 60^{s} ⋅

1 − c γ

+

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Det ses, at -faktorerne er meget tæt på 1, da flyenes hastighed jo er meget mindre end lysets γ hastighed.

Det bliver oplyst, at flyvetiden, målt med et tænkt ur, der følger jordisk centertid, sættes til 2 døgn. Tiden for flyveturene bestemmes af et ur, der følger centertiden, samt et ur, der flyverjorden rundt. Forskellen i disse ure bestemmes:

( )

9

             9
0 208,07 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ns ns

2

2

3 10^{km}_{s} ⋅^{5}

0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ns

1

1675,5_{km}_{s}

3600

1 −

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Forskellen mellem urene er altså 208,07 ns.

Tidsforskellen mellem et ur, der flyver med flyet øst om jorden og et ur, der flyver med flyet vest om jorden bestemmes. Det er forskellen i egentiden, T

0

, for disse ure, der ønskes at bestemmes. Vi kender T, som er tiden relativt til jordens centrum:

Side 20

( ) ( )

T T ns ns 10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅^{99}

Δ = − = − = T ns                                415,8
  0

837,7 2513^{22}

3 10 3 10_{ss}^{22} ⋅⋅^{55}^{km km}

11

11 −−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{km km}
⎝ ⎠ ⎝ ⎠^{ss}

γγ

−+

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Forskellen er altså 415,8 ns.

Det undersøges nu, om tidsforskellen havde været anderledes, hvis flyene havde bevæget sig langsommere. Vi antager, at det nu tager dem 4 døgn at flyve jorden rundt. Først bestemmes hastigheden, som flyene nu har i forhold til jordens overflade, altså u:

2 6400 ⋅⋅ km

u == 418,9^{km}_{time}

4 24 ⋅ timer π

Flyenes hastigheder i forhold jordens centrum kan nu bestemmes:

v v u= − = − = _ 1675,5 418,9 1256
     0

km km km time time time

v v u = + = + = 1675,5 418,9 2094
 +   0

km km km time time time

Tidsforskellen mellem et ur, der flyver med flyet øst om jorden og et ur, der flyver med flyet vest om jorden bestemmes:

( ) ( )

10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅^{99} ns ns

Δ = − = T ns                            415,8
  0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{km km}^{22}

3 10 3 10_{ss}^{22} ⋅⋅^{55}^{km km}

11

11 −−

⎝ ⎠ ⎝ ⎠^{ss}

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Det samme gøres, hvor det nu tager 50 døgn. Her er v_{+} og v_{−} hhv. 1709^{km}_{h} og 1642^{km}_{h}:

( ) ( )

60 10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅^{99} ns ns

Δ = − = T ns                              415,8
  0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞_{km km}^{22}

3 10 3 10_{ss}^{22} ⋅⋅^{55}^{km km}

11

11 −−

⎝ ⎠ ⎝ ⎠^{ss}

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Det er altså den samme værdi, vi får i de tre udregnede eksempel, hvilket tyder på at hastigheden af flyene ikke har indflydelse på tidsforskellen. Sendte man to skildpadder hver

Side 21

deres vej rundt om jorden med et ur på ryggen, ville tidsforskellen altså være den samme som for flyene. Dette er den såkaldte skildpaddeeffekt.

Side 22

Konklusion

Den specielle relativitetsteori har haft stor indflydelse på den nuværende fysik. Einstein opstillede to postulater, der ændrede den gamle fysiske opfattelse. Det første postulat mindede om Galileis relativitetsprincip. Galilei sagde, at det ikke var muligt at detektere ud fra

mekaniske fænomener, at man er i jævn bevægelse.^{4} Einstein gør dette generelt og siger, at

det gælder for samtlige fysiske love, altså også elektronmagnetiske og optiske love. Hans andet postulat siger, at lysets hastighed er den samme i ethvert inertialsystem. Dette er modstrid med Galilei-transformationen, der antog, at afstande mellem A og B var uafhængig

                                                                      1
af inertialsystem, at hastigheder simpelt kunne lægges samme, samt at tiden var absolut.

Einstein viste desuden med sit tankeeksperiment med toget, der bliver ramt af lyn i hver ende, at samtidighed er relativ, da en observatør på toget og en observatør på jorden vil være uenige

om, hvornår lynene ramte.^{5}

Som nævnt var Galilei-transformationen i modstrid med den specielle relativitetsteori. Den måtte altså forkastes og blev erstattet af Lorentz-transformationen. Ud fra denne får man en

helt ny opfattelse af tid og rum. Man kan udlede tidsforlængelsen, TT = , og
                                                           0

γ

                   L          1
                   0
længdeforkortelse L = ud fra denne . Både tidsforlængelsen og længdeforkortelsen er dog

γ

                                      6
også en konsekvens af Einsteins andet postulat.

I Lorentz-transformationen, og dermed også tidsforlængelsen og længdeforkortelsen, indgår faktoren γ

. Denne er bestemt ved

   2
   v
1 −
   2
   c

1

.

Den har størst betydning ved store hastigheder, der er nær lysets hastighed, c. Dermed vil Lorentz-transformationen også have størst betydning ved disse store hastigheder, og minde

                                                          1
meget om Galilei-transformationen ved hastigheder meget mindre end c.

Et eksempel hvor den har betydning er ved myoners levetid. Myoner har nemlig en middellevetid, der i opgaven blev bestemt til

2,181 s µ

. Idet de dannes i atmosfæren i 10 kilometers højde, vil de med denne levetid ikke kunne nå ned til jorden, trods de bevæger sig med en hastighed nær lysets. Ser vi dog relativistisk på det, vil en observatør på jorden opleve tidsforlængelse og middellevetiden vil være

34,5 s µ i forhold til ham. En observatør på ryggen af myonen vil opleve længdeforkortelse, og længden til jorden vil for ham være 632

m.^{10} Når hastighederne er nær lysets hastighed, har den specielle relativitetsteori altså en stor

betydning og kan forklare fænomener, der før var uforklarlige.

Side 23

Litteraturliste

Dokumenter:

1. Dam, Mogens, Introduktion til den specielle relativitetsteori, 2007, s. 1-45.

Bøger:

2 Bergstein, T., Speciel Relativitetsteori, Gyldendal, 1966

3. Hansen, Sten, Relativitetsteori, Dansk videnskabs forlag, 1965

4. Uggerhøj, Ulrik, Tid – den relative virkelighed, Aarhus Universitetsforlag, 2006, s. 1-90

5. Kragh, Helge, tid, F&K Forlaget, 1986, s.63-65

Internetsider:

6. Uggerhøj, Ulrik, Et detaljeret supplement til Tid – Den relative virkelighed:

http://whome.phys.au.dk/~ulrik/specrel3.pdf, 2006

7. Den store Danske, inertialsystem:

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Relativitetsteori_og_gravi
tation/inertialsystem, marts 2009

8. Den store Danske, relativitetsteori:

http://www.denstoredanske.dk/It%2c_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Relativitetsteori_og_g
ravitation/relativitetsteori , januar 2009

Den store Danske, absolut rum:

9.http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Relativitetsteori_og_gra
vitation/absolut_rum, januar 2009

10. Studieretningsprojekter i Speciel Relativitetsteori, Myonens levetid s. 6-10:

http://owww.phys.au.dk/tilbud/SRP_2008.pdf november 2008