De dynamiske stjerner | Fysik i det 21. århundrede | Vejledende opgaver

Side 1

Vejledende besvarelse fra Studiekompasset.dk

Fysik A

STX

Vejledende opgaver om de dynamiske stjerner

Fysik i det 21. århundrede

Side 2

Vejledende opgaver om de dynamiske stjerner

2

Opgave 1 - Stjernen CW Leonis a)

Den gennemsnitlige kinetiske energi for partiklerne kan bestemmes med følgende formel:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} = ∙ 𝑘_{𝑏} ∙ 𝑇

3

2

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Boltzmann konstantet: 𝑘_{𝑏} =1,381 ∙ 10^{−23}_{K}^{J}
• Temperaturen: 𝑇=8,0 ∙ 10^{8} K
𝐸_{𝑘𝑖𝑛} = ∙ 1,381 ∙ 10^{−23} ∙ 8,0 ∙ 10^{8} K

3 J

2 K

=1,6572 ∙ 10^{−14} J
=1,7 ∙ 10^{−14} J

b)

Rektionsskema for fusion af to kerner C-12 til en kerne Na-23 ser ud som følger, når der udsendes en proton ved reaktionen:

C + C^{12}_{6} → Na_{11}^{23} + H_{1}^{1}

6

12

Tip: I stedet for at skrive en proton som p i reaktionsskemaet, kan man skrive den som en hydrogenkerne

uden netronroner H_{1}^{1}. Dette kan være smart, når man skal regne Q-værdier ud, da der indgår elektroner i

atommasserne i Databogen.

Q-værdien for reaktionen kan bestemmes med følgende formel:

𝑄=−Δ𝑚 ∙ 𝑐^{2}

I denne opgave skal man regne på kernemasser, men Databogen angiver kun atommasser (altså kerne plus elektroner). Derfor skal antallet af elektroner før og efter reaktionen bestemmes for at se, om der skal tages højde for elektroner.

𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑓ø𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛=12 + 12=24
𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛=23 + 1

Tip: Netop da massen for et proton er blevet angivet med H_{1}^{1} i reaktionen, er mængden af elektroner den

samme både før og efter reaktionen, da den indgår i massen for hydrogenatomet. Dermed behøver vi ikke at trække elektroner fra, da de allerede nu går ud mod hinanden.

Side 3

Vejledende opgaver om de dynamiske stjerner

3

Da antallet af elektroner før og efter reaktionen passer, behøver vi ikke tage yderligere højde for elektroner. Det giver os følgende formel for Q-værdien, hvor start- og slutmassen er blevet sat ind i ovenstående formel:

𝑄= ( 𝑚_{𝑓ø𝑟} − 𝑚_{𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟}) ∙ 𝑐^{2} =(2 ∙ 𝑚_{𝐶} − 𝑚_{𝐻} − 𝑚_{𝑁𝑎}) ∙ 𝑐^{2}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Nuklidmassen for C-12: 𝑚_{𝐶} =12,000 000 00 u∙ 1,660 538 78 ∙ 10^{−27}^{kg}_{u} =1,992646536 ∙
10^{−26} kg
• Nuklidmassen for H-1: 𝑚_{𝐻} =1,007 825 032 u=1,673534909 ∙ 10^{−27} kg
• Nuklidmassen for Na-23: 𝑚_{𝑁𝑎} =22,989 769 28 u=3,81754034327∙ 10^{−26} kg
• Lysets fart i vakuum: 𝑐=2,997 924 58 ∙ 10^{8}^{m}_{s}

𝑄= ( 2 ∙ 1,992646536 u∙ 10^{−26} kg − 1,673534909 u∙ 10^{−27} kg − 3,81754034327∙ 10^{−26} kg)
∙ (2,997 924 58 ∙ 10^{8})

m^{2}

s

=3,590 291 659 33 ∙ 10^{−13} J
=3,590 291 65∙ 10^{−13} J

                                                                       -29
Q-værdien for masserne af de partikler, som indgår fusionsprocessen er 3,590 21 65 ∙ 10 J.

Tip: Antal af betydende cifre er ni.

Side 4

Vejledende opgaver om de dynamiske stjerner

4

Opgave 2 – En protostjerne a)

Bølgelængden λ_{max}, hvor intensitetsfordelingen som funktion af bølgelængden er maksimal, kan

bestemmes med formlen:

𝜆_{𝑚𝑎𝑥} =

2,898 ∙ 10^{−3} m ∙ K
𝑇_{𝑒𝑓𝑓}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Den effektive temperatur: 𝑇_{𝑒𝑓𝑓} =3,9 ∙ 10^{3} K

𝜆_{𝑚𝑎𝑥} =

2,898 ∙ 10^{−3} m ∙ K
3,9 ∙ 10^{3} K
=7,43077 ∙ 10^{−7} m
=7,4 ∙ 10^{−7} m

                                                                 -7
Intensitetsfordelingen er for protostjernen maksimal ved bølgenlængden 7,4 ∙10 m.

b)

Radius r kan bestemmes ved at sætte formlen for overfladearealet af en kugle ind i Stefan-Boltzmanns lov.

Vi antager således, at protostjernen er kugleformet. Først isoleres arealet i Stefan-Boltzmanns lov

𝐿=𝐴∙ 𝜎 ∙ 𝑇_{𝑒𝑓𝑓}^{4}

⇕

𝐴=

𝐿

𝜎 ∙𝑇_{𝑒𝑓𝑓}^{4}

derefter isoleres radius i formlen for kuglens overfladeareal og A fra ovenstående formel indsættes:

𝐴=4 ∙ 𝜋∙ 𝑟^{2}

⇕

𝑟= = =

√

𝐴 √ 𝐿
4 ∙ 𝜋 4 ∙ 𝜋 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝜎∙ 𝑇_{𝑒𝑓𝑓}^{4}

𝐿

𝜎 ∙ 𝑇_{𝑒𝑓𝑓}^{4}
√

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Lystyrken/ den udstrålede effekt: 𝐿=3,5 ∙ 10^{28} W
• Stefan-Boltzmann konstanten: 𝜎=5,670 ∙ 10^{−8}_{m^{2}}^{W}_{∙K^{4}}

Den effektive temperatur: 𝑇_{𝑒𝑓𝑓} =3,9 ∙ 10^{3} K

Side 5

Vejledende opgaver om de dynamiske stjerner

5

𝑟=
√

3,5 ∙ 10^{28} W
4 ∙ 𝜋 ∙ 5,670 ∙ 10^{−8}_{2}_{4} ∙ ( 3,9 ∙ 10^{3} K)^{4}

W m ∙ K

=1,4571 ∙ 10^{10} m
=1,5 ∙ 10^{10} m

                                10
Protostjernens radius er dermed 1,5∙10 m.

c)

Ændringer i protostjernens termiske energi ΔE
                                     term

kan beregnes ved følgende formel

𝐿=

𝛥𝐸_{𝑡𝑒𝑟𝑚}

Δ𝑡

⇕

Δ𝐸_{𝑡𝑒𝑟𝑚} =𝐿 ∙ Δ𝑡

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Lystyrken/ den udstrålede effekt: 𝐿=3,5 ∙ 10^{28} W
• Tidsændringen: 𝛥𝑡=1 år=1 ∙ 365 ∙ 24 ∙ 60 ∙ 60 s=31536000 s

Δ𝐸_{𝑡𝑒𝑟𝑚} =3,5 ∙ 10^{28} W ∙ 31536000 s

=1,10376 ∙ 10^{36} J
=1,1 ∙ 10^{36} J

                                                    36
Protostjernens ændring i termisk energi er i løbet af et år 1,1∙10 J.

Side 6

Vejledende opgaver om de dynamiske stjerner

6

Opgave 3 – Stjernedannelse a)

Skyens masse kan beregnes med følgende formel:

𝜌=

𝑚

𝑉

⇕

𝑚=𝜌∙ 𝑉=𝜌 ∙ ∙ 𝜋∙ 𝑟^{3}

4

3

Formlen for en kugles rumfang er blevet sat ind i ovenstående formel.

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Densitet: 𝜌=1,6 ∙ 10^{−18}_{m^{3}}^{kg}
• Radius: 𝑟=1,25 𝑙𝑦𝑠å𝑟=1,25 lysår ∙ 9,46053 ∙ 10^{15}_{lysår}^{m} =1,182566 ∙ 10^{16} m

𝑚=1,6 ∙ 10^{−18} ∙ ∙ 𝜋 ∙ ( 1,182566 ∙ 10^{16} m)^{3}

kg 4

m^{3} 3

=1,10837 ∙ 10^{31} kg

=1,1 ∙ 10^{31} kg

Vi omregner massen til solmasser, idet vi bruger at 𝑀_{𝑠𝑜𝑙} =1,989 ∙ 10^{30} kg

𝑚=1,1 ∙ 10^{31} kg ∙

1 𝑀_{𝑠𝑜𝑙}
1,989 ∙ 10^{30} kg

=5,5725 𝑀_{𝑠𝑜𝑙}

=5,6 𝑀_{𝑠𝑜𝑙}

Gasskyens masse er 1,1∙10^{31} kg, hvilket svarer til 5,6 gange solens masse.

b)

Trykket p i gasskyen kan beregnes med følgende formel:

𝑝=

𝜌 ∙ 𝑘_{𝑏} ∙ 𝑇

<𝑚>

• Skyens densitet: 𝜌=1,6 ∙ 10^{−18}_{m^{3}}^{kg}
• Boltzmann konstantet: 𝑘_{𝑏} =1,381 ∙ 10^{−23}_{K}^{J}
• Temperaturen: 𝑇=11 K

Side 7

Vejledende opgaver om de dynamiske stjerner

7

• Den gennemsnitlige partikelmasse: <𝑚>=2,45 u=2,45 u ∙ 1,66 ∙ 10^{−27}^{kg}_{u} =4,0683 ∙
10^{−27} kg

𝑝=

1,6 ∙ 10^{−18} ∙ 1,381 ∙ 10^{−23} ∙ 11 K

kg J

m^{3}

K

4,0683 ∙ 10^{−27} kg

=5,97435 ∙ 10^{−14}

J

m^{3}

=6,0 ∙ 10^{−14} Pa

Trykket i gasskyen er dermed 6,0· 10^{-14} Pa.

                                            J   N∙m   N
Tip: Enheden på facittet udregnes på følgende måde: = = =Pa
                                             3    3    2
                                           m    m     m

Husk at antallet af betydende cifre er to.

Side 8

Vejledende opgaver om de dynamiske stjerner

8

Opgave 4 – Solen a)

Trykket p i centrum af solen kan bestemmes med følgende formel:

𝑝=

𝜌 ∙ 𝑘_{𝑏} ∙ 𝑇

<𝑚>

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Densitet i solens centrum: 𝜌=1,5 ∙ 10^{5}_{m^{3}}^{kg}
• Boltzmann konstantet: 𝑘_{𝑏} =1,381 ∙ 10^{−23}_{K}^{J}
• Temperaturen: 𝑇=1,57 ∙ 10^{7} K
• Den gennemsnitlige partikelmasse: <𝑚>=0,62 u=0,62 u ∙ 1,66 ∙ 10^{−27}^{kg}_{u} =1,0295 ∙ 10^{−27} kg

𝑝 =

1,5 ∙ 10^{5}_{3} ∙ 1,381 ∙ 10^{−23} ∙ 1,57 ∙ 10^{7} K

kg J m

K

1,0295 ∙ 10^{−27} kg
=3,158956 ∙ 10^{16}

J

m^{3}
=3,2 ∙ 10^{16} Pa

Trykket i gasskyen er dermed 3,2·10^{16} Pa.

                                            J   N∙m   N
Tip: Enheden på facittet udregnes på følgende måde: = = =Pa
                                             3    3    2
                                           m    m     m

Husk at antallet af betydende cifre er to.

b)

Ved at antage at gasskyen, som solen bliver dannet af, har samme masse som solen, kan vi bestemme antal partikler N i gasskyen med følgende formel:

𝑁=

𝑀_{𝑠𝑜𝑙}

<𝑚>

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Solens masse: 𝑀_{𝑠𝑜𝑙} =1,989 ∙ 10^{30} kg
• Den gennemsnitlige partikelmasse: <𝑚>=0,62 u=0,62 u ∙ 1,66 ∙ 10^{−27}^{kg}_{u} =1,0295 ∙ 10^{−27} kg

𝑁=

1,989 ∙ 10^{30} kg
1,0295 ∙ 10^{−27} kg
=1,93186 ∙ 10^{57}

Virialsætningen siger, at energien, der ved sammentræning udsendes i form af lys, er lig med ændringen i

kinetisk energi ΔE , som netop er ændringen i termisk energi ΔE . Den samlede udstrålede energi E kan
              kin                                   term                           ud

således beregnes ud fra følgende formel:

Side 9

Vejledende opgaver om de dynamiske stjerner

9

𝐸_{𝑢𝑑} =Δ𝐸_{𝑡𝑒𝑟𝑚} =Δ𝐸_{𝑘𝑖𝑛}

Den samlede ændring i kinetisk energi ΔE_{kin} kan beskrives som den gennemsnitlige ændring af hver partikels

kinetiske energi ΔE ganget med antal partikler N:
               kin,par

𝐸_{𝑢𝑑} =𝛥𝐸_{𝑘𝑖𝑛} =𝛥𝐸_{𝑘𝑖𝑛,𝑝𝑎𝑟} ∙ 𝑁=( ∙ 𝑘_{𝑏} ∙ 𝛥𝑇) ∙ 𝑁= ( ∙ 𝑘_{𝑏} ∙ ( 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} − 𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡})) ∙ 𝑁

3 3

2 2

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Boltzmann konstantet: 𝑘_{𝑏} =1,381 ∙ 10^{−23}_{K}^{J}
• Slut-temperaturen: 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} =6,0 ∙ 10^{6} K
• Start-temperaturen: 𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} =3,0 ∙ 10^{4} K
• Antal partikler: 𝑁=1,93186 ∙ 10^{57}

𝐸_{𝑢𝑑} = ( ∙ 1,381 ∙ 10^{−23} ∙ ( 6,0 ∙ 10^{6} K − 3,0 ∙ 10^{4} K)) ∙ 1,93186 ∙ 10^{57}

3 J

2 K

=2,38920 ∙ 10^{41} J
=2,4 ∙ 10^{41} J

Den gennemsnitlige lysstyrke L (den udstrålede effekt) kan bestemmes med formlen:

𝐿= =

Δ𝐸 𝐸_{𝑢𝑑}

Δ𝑡 Δ𝑡

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• 𝐸_{𝑢𝑑} =2,38920 ∙ 10^{41} J
• Tidsændringen: Δ𝑡=30 ∙ 10^{6} år=30 ∙ 10^{6} år ∙ 365 ∙ 24∙ 60 ∙ 60_{år}^{s} =9,4608 ∙ 10^{14} s

𝐿=

2,38920 ∙ 10^{41} J
9,4608 ∙ 10^{14} s
=2,52537 ∙ 10^{26}

J s

=2,5 ∙ 10^{26} W

Den samlede udstrålede energi i denne fase af solen er 2,4·10^{41} J, hvilket betyder at dens gennemsnitlige

              26
lystyrke er 2,5·10 W.

Side 10

Vejledende opgaver om de dynamiske stjerner

10

Opgave 5 – Verdens største ballon a)

Ballonens masse kan beregnes med følgende formel:

𝜌=

𝑚

𝑉

⇕

𝑚=𝜌∙ 𝑉=𝜌 ∙ 𝐴∙ ℎ

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Plastmaterialets densitet: 𝜌=960_{m^{3}}^{kg}
• Ballonposens areal: 𝐴=5,5 ∙ 10^{4} m^{2}
• Ballonposens tykkelse: ℎ=0,095 mm=0,095 ∙ 10^{−3} m

𝑚=960 ∙ 5,5 ∙ 10^{4} m^{2} ∙ 0,095 ∙ 10^{−3} m

kg

m^{3}
=5,016 ∙ 10^{3} kg
=5,0 ∙ 10^{3} kg
Ballonposens masse er 5,0∙10^{3} kg.

b)

Ved starten af opstigningen siger tilstandsligningen for en ideal gas - idet vi antager at helium opfører sig som en ideal gas - følgende om gassen i ballonen:

𝑃_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} ∙ 𝑉_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} =𝑁 ∙ 𝑘_{𝑏} ∙ 𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡}

⇕

𝑁 ∙ 𝑘_{𝑏} =

𝑃_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} ∙ 𝑉_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡}
𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡}

Ved 40 kilometers højde vil der gælde følgende om gassen i ballonen:

𝑃_{40} ∙ 𝑉_{40} =𝑁∙ 𝑘_{𝑏} ∙ 𝑇_{40}

⇕

𝑉_{40} =

𝑁∙ 𝑘_{𝑏} ∙ 𝑇_{40}
𝑃_{40}

Ved at indsætte N·k_{b} i formlen for ballonens volumen i 40 kilometers højde fås følgende:

𝑉_{40} = =

𝑃_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} ∙ 𝑉_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡}
𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡}

∙ 𝑇_{40}
𝑃_{40} 𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} ∙ 𝑃_{40}

𝑃_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} ∙ 𝑉_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} ∙ 𝑇_{40}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

Side 11

Vejledende opgaver om de dynamiske stjerner

11

• Trykket ved starten: 𝑃_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} =101 ∙ 10^{3} Pa
• Ballonens rumfang ved start: 𝑉_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} =5300 m^{3}
• Temperaturen ved 40 kilometers højde: 𝑇_{40} =−25 °C= ( −25 + 273,15) K=248,15 K
• Temperaturen ved start: 𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} =15 °C= ( 15 + 273,15) K=288,15 K
• Trykket 40 kilometers højde: 𝑃_{40} =385 Pa

𝑉_{40} =

101 ∙ 10^{3} Pa ∙ 5300 m^{3} ∙ 248,15 K

288,15 K ∙ 385 Pa

=1,19738 ∙ 10^{6} m^{3}
=1,20 ∙ 10^{6} m^{3}

                                                          3 3
Heliumgassens i ballonposens rumfang er i 40 kilometers højde 1,20∙10 m .

Tip: Her har vi faktisk 3 betydende cifre, selvom vi kun får oplyst temperaturen med 2. Dette skyldes, at når man adderer, gælder der lidt andre regler. Når der adderes, kigger man på, hvor præcist man kender tallet, for at bestemme antal cifre. I tilfældet med temperaturen kender vi tallene til med kommaet.