Rotation og kraftoverførsel i en cykel | Fysik A

Side 1

Projekt: Cyklen

Klasse 2.1, Fysik, RTG

HTX 2. år

Sider: 15

Udarbejdet af

HTX 2. år

HTX 2. år

HTX 2. år

HTX 2. år

Cyklen

Et projekt med fokus på rotationen og kraftoverførslen i en cykel

Side 2

2

Indholdsfortegnelse

Formål ................................................................................................................................................................ 3 Teori ................................................................................................................................................................... 3 Vores øvelser ................................................................................................................................................. 4 Rotation af cykelhjul .......................................................................................................................................... 7 Materialer og apparatur ................................................................................................................................ 7 Metode og opstilling ...................................................................................................................................... 7 Resultater ...................................................................................................................................................... 8 Vurdering ....................................................................................................................................................... 9 Trækkraft i cykelhjul ........................................................................................................................................ 10 Materialer og apparatur .............................................................................................................................. 10 Metode og opstilling .................................................................................................................................... 10 Målinger....................................................................................................................................................... 11 Beregninger ................................................................................................................................................. 12 Vurdering ..................................................................................................................................................... 13 Konklusion ....................................................................................................................................................... 15 Kildemateriale ................................................................................................................................................. 15

Side 3

3

Formål

Formålet med dette projekt har været at få overblik over og praktisk erfaring med de rotationsbevægelser og kraftoverførsler, som driver en cykel. Dette er blevet gjort igennem følgende to øvelser:

1. Rotation af cykelhjul: I denne øvelse opfattede vi et cykelhjul som et såkaldt fysisk pendul, og herudfra fandt vi frem til en værdi for cykelhjulets inertimoment.

2. Trækkraft i cykelhjul: I denne øvelse lod vi et frit ophængt cykelhjul blive trukket af en række lodder fastgjort med snor og fandt nogle værdier for cykelhjulets kraftmoment samt for dets inertimoment.

Øvelse 1 blev udført d. , imens Øvelse 2 blev udført d.

Teori

I en cykel roterer hjulene, når der cykles på den. Dette sker i kraft af, at man træder på pedalerne og derved overfører kraft igennem pedalerne og ud til hjulene. Rent fysisk sker der det, at man udøver et kraftmoment (τ) givet ved krydsproduktet imellem den kraft (F), man tilfører, og den (vinkelrette) afstand

(r), der er imellem kraftens angrebslinje og omdrejningspunktet (cykelhjulet):

𝜏 =𝐹 ⤬ 𝑟 (1)

(1) gælder generelt for alle legemer, som foretager en cirkelbevægelse. Man kan dermed sige, at kraftmomentet – også blot kaldet for momentet – er et udtryk for den tilførte krafts drejende virkning.

Specielt i tilfælde, hvori vinklen imellem F og r (θ) ikke er ret (90˚), definerer man også τ som følgende, idet

                                            1
der tages udgangspunkt i definition på et krydsprodukt :

𝜏 =𝐹𝑟sin𝜗 (2)

Ud fra (2) ses det især, at hvis vinklen θ er ret, kan τ findes alene som produktet af F og r, idet sin(90˚) = 1.

                                                                                    2
En anden væsentlig størrelse inden for rotationsmekanikken (beskrivelsen af roterende bevægelser ) er

inertimomentet (I). Det siger noget om, hvor svært det er at dreje et legeme rundt i en rotation. Jo større

                                                                             2
inertimoment, jo større modstand imod at blive bevæget rundt (inerti). Enheden for I er [kg·m ], og tager vi

udgangspunkt i et legeme med massen m, der roterer i en afstand, r, fra omdrejningspunktet, er I givet ved følgende:

𝐼 = 𝑚𝑟^{2} (3)

Inertimomentet kan umiddelbart sidestilles med massebegrebet inden for den translatoriske mekanik, da begge størrelser beskriver en ”modstand” mod at blive bevæget.

1

Se fx Holck et al. (2007), s. 322.

2

Som i parentes bemærket står i modsætning til translationsmekanikken, der beskæftiger sig med beskrivelsen af retlinede bevægelser.

Side 4

4

Det skal bemærkes, at inertimomentet for et legeme er defineret i forhold til selvsamme legemes massemidtpunkt. Dvs. at dette inertimoment kan bruges til at beskrive legemets inerti, når det drejer sig

omkring sit massemidtpunkt. Lad os kalde dette inertimoment for I_{0}. I de tilfælde, hvor legemet roterer om

en anden omdrejningsakse, må man bruge den såkaldte Steiners sætning. Den siger, at det totale

inertimoment (I_{total}) for et legeme omkring en vilkårlig omdrejningsakse (der er parallel med den igennem
massemidtpunktet) er givet ved summen af I_{0} og produktet af legemets masse, m, og afstanden (d) imellem

massemidtpunktet og den vilkårlige omdrejningsakse opløftet i anden:

𝐼_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝐼_{0} + 𝑚𝑑^{2} (4)

Hvis vi kigger på det legeme med massen m, der bevæger sig i en cirkelbevægelse med afstanden r ind til et omdrejningspunkt (O), er det logisk nok, at vinklen (φ) vil ændre sig med tiden, idet legemet bevæger sig med hastigheden v. Vinkelhastigheden (ω) vil nu være defineret som ændringen i φ (dφ) pr. ændring i tid

(dt):

    𝑑𝜑
𝜔 =   (5)
    𝑑𝑡

Tilsvarende fås vinkelaccelerationen (α) som ændringen i vinkelhastighed (dω) pr. ændring i tid (dt):

    𝑑𝜔
𝛼 =   (6)
    𝑑𝑡

Det skal bemærkes, at de rotationsmekaniske størrelser ω og α har en klar sammenhæng med hastigheden v og accelerationen a fra den translatoriske mekanik. De hænger nemlig sammen på følgende måde:

    𝑣
𝜔 =  (7) ; 𝛼 =    (8)
    𝑟

𝑎 𝑟

Til sidst vil vi indfører den såkaldte momentsætning, som er rotationsmekanikkens pendant til translationsmekanikkens Newtons 2. lov (som kommer her, hvor F er den resulterende kraft på et legeme, m er massen af legemet, og a er dets acceleration):

𝐹 = 𝑚𝑎 (9)

Idet vi siger, at τ er pendanten til F, I er pendanten til m og α er pendanten til a, kan vi opstiller følgende

ligning kaldet momentsætningen^{3}:

𝜏 =𝐼𝛼 (10)

Det skal bemærkes, at (10) dermed kan lighedssættes med (1) og (2).

Vores øvelser

I dette afsnit gør vi kort rede for den konkrete teori til hver af vores to øvelser, idet vi – til dels – tager udgangspunkt i forrige afsnit.

3

Det skal bemærkes, at denne sætning normalt udledes ud fra impulsmomentbegrebet (Øhlenschlæger (1993), s. 23), hvilket vi dog ikke har fokus på i denne rapport, da vores øvelser ikke undersøger noget relevant ift. impulsmomentet.

Figur 1 Rotation af legeme (markeret med rødt)

Side 5

5

1. Rotation af cykelhjul

I denne øvelse fandt vi som sagt frem til inertimomentet for et cykelhjul ved at betragte det som et fysisk pendul ophængt omkring et omdrejningspunkt. Tricket er, at der gælder følgende formel mht. et sådant penduls svingningstid (T):

𝑇 = 2𝜋 √_{𝑚𝑑𝑔}^{𝐼_{𝑑}} (11)

4

Her følger en forklaring på de resterende størrelser:

• I_{d} = inertimomentet for det fysiske pendul (hjulet) omkring omdrejningsaksen
• m = massen af det fysiske pendul (hjulet)
• d = afstand fra ophængspunkt til pendulets massemidtpunkt (her tolket som hjulets midte)
• g = tyngdeaccelerationen = 9,82 m/s^{2} (tabelværdi^{5})

Ved isolering af I kommer (11) til at se sådan her ud:
             d

     2
    𝑇
𝐼 =      (12)
 𝑑

𝑚𝑑𝑔

4𝜋^{2}
Dette efterlader tre ubekendte, T, m og d, som vi fandt frem til igennem øvelsen, så vi kunne udregne I_{d}.

2. Trækkraft i cykelhjul

I denne øvelse fandt vi frem til nogle værdier for cykelhjulets kraftmoment og derigennem dets inertimoment ved at lade det frit ophængte hjul blive trukket af nogle forskellige lodder fastgjort med snor.

Vi tog udgangspunkt i (2) og kombinerede denne med (9) således:

𝜏 =𝑚𝑎𝑟sin𝜗 (13)

Idet man sørger for at montere snoren så tæt på hjulets massemidtpunkt som muligt og samtidig lader

                                      6
lodderne foretage et tilnærmelsesvist frit fald

, kan man nu omskrive (13) til følgende, idet man kalder afstanden fra hjulets massemidtpunkt og ud til snorens fastgørelsespunkt for b:

𝜏 =𝑚𝑔𝑏 (14)

7

4

Kilde: http://www1999215.thinkquest.dk/teori/bev/penduler.html (besøgt ). Grunden til, at vi ikke

udleder den, er bl.a., at den inkluderer løsning af såkaldte ”anden ordens differentialligninger”, som vi endnu ikke har lært at løse. Desuden er det vigtigt at gøre sig klart, at formlen er en approksimation, der kun gælder for små udsving

af pendulet. Det tog vi hensyn til, da vi udførte øvelsen.
5

Se fx Øhlenschlæger (2000), s. 239.

6

Dette er en antagelse, som vi gjorde os. Vi ignorerede snoren og opfattede situationen som om, at lodderne alene trak i hjulet. Simpelthen for at gøre den nemmere at regne på, da vi således ikke skulle forholde os til snorkraften.

                                                        2
Samtidig angav vi hermed, at loddernes acceleration var g = 9,82 m/s .
7

Bemærk, at det her er medtaget, at vinklen imellem b og kraften F (mg) er ret, hvilket er anskueliggjort på Figur 2.

Figur 2 Cykelhjulet bliver trukket rundt af et lod

Side 6

6

For at kunne bruge (14) målte vi os frem til loddernes masse, m, og målte desuden afstanden fra

                                         8
massemidtpunktet til snorens fastgørelsespunkt, b .

Ud fra (10) og kan man nu finde I (ift. hjulets massemidtpunkt) ved at isolere denne således:

    𝜏
𝐼 = (15)
   𝛼

Jf. (14) havde vi et målbart udtryk for τ, hvorfor vi dog stadig skulle finde vinkelaccelerationen, α. For at finde den tager man her udgangspunkt i følgende udtryk for et legeme, der – med en konstant acceleration, a – bevæger sig strækningen s i tidsrummet t:

   1
       2
𝑠 =  𝑎𝑡 (16)
   2

9

Ved isolering af a kommer (16) til at fremstå således:

    2𝑠
𝑎 =  (17)
     2
    𝑡

Ud fra (17) kunne vi bestemme den acceleration, som lodderne tilfører til hjulet ved at måle hhv. s (målt som snorens længde, idet vi monterede lodderne i enden af snoren) og t (et stopur). For at beregne vinkelaccelerationen, α, kunne vi nu anvende (8), idet vi samtidig var opmærksomme på, at angive r som b

(da b netop er den afstand, hvori rotationen foregår ift. hjulets massemidtpunkt):

    𝑎
𝛼 =  (18)
    𝑏

Endelig kunne vi nu udregne I ud fra (15), idet τ var givet ved (14), og α var givet ved (18). Det skal bemærkes, at vi alt i alt indsamlede målinger af følgende størrelser i denne øvelse:

• m = loddernes masse
• b = afstanden fra hjulets massemidtpunkt til snorens fastgørelsespunkt
• s = loddernes faldvej = snorens længde
• t = loddernes faldtid

Med disse målinger kunne vi bestemme kraftmoment samt inertimoment for hjulet. Vi fandt frem til at anvende tre forskellige lodder og en lettere elastisk snor.

8

Dette gjorde vi ud fra en knude på snoren, som vi bandt stramt fast tæt på hjulets massemidtpunkt.

9

Galileis 2. lov: ”Faldvejen er proportional med faldtidens kvadrat” (Øhlenschlæger (2000), s. 85). Bemærk, at vi hermed angav, at loddet tilførte hjulet en konstant acceleration, a.

Side 7

7

Rotation af cykelhjul

Materialer og apparatur

Materialer Apparatur

• 1 cykelhjul (fra fysikdepotet) • 1 stopur

• 2 cylindriske metalstænger (a ca. 1 m)

• 2 hængsler • 1 tommestok

• 2 muffer • 1 skydelære

• 1 firkantet metalstang (ca. 1 m)

• 1 vægt (5000 g med 2 decimalers nøjagtighed)

Metode og opstilling

• Vi ophængte cykelhjulet som vidst på Figur 3.

• Vi satte blødt hjulet i gang med håndkraft og ventede, imens det indstillede sig til at udføre en harmonisk svingning.

• Vi talte x antal svingninger og tog samtidig tid (t) på disse (denne del udførte vi fire gange).

• Vi beregnede svingningstiden (T) ved at dividere t med x antal svingninger (denne del udførte vi fire gange).

• Vi afmonterede hjulet fra opstillingen og afvejede dets masse (m) med vægten (denne del udførte vi tre gange).

• Vi afmålte længderne l (hjulets bredde), l (afstand fra
                      1              2

ophængspunkt til hjulets cylindriske metalkerne) og l
                                            3

(diameter på hjulets metalkerne). Se Figur 4. l målte vi
                                     2

med tommestok, imens vi målte l_{1} og l_{3} med

skydelære.

• Vi beregnede afstanden fra ophængspunktet til hjulets massemidtpunkt (midten i metalkernen) (d) ved at

lægge l_{2} sammen med halvdelen af l_{3} (radius på hjulets metalkerne).

• Vi beregnede inertimomentet (I) ved at indsætte de fundne (gennemsnits)størrelser i (12).

Figur 3 Øvelsesopstilling

Figur 4 Skitse af hjulet

Side 8

8

Resultater

Svingningstid

                                                     10
Måling (nr.) Svingninger (antal sving) t (s) T (s/antal sving)

1 | 20 | 24,96 | 1,248
2 | 10 | 11,24 | 1,124
3 | 50 | 62,34 | 1,246
4 | 40 | 49,96 | 1,249

                       11
Gennemsnitlig svingningstid : 1,217 s

Masse

Måling (nr.) m (g)

1 2085,34

2 2085,32

3 2085,31

Gennemsnitlig masse: 2085,32 g ≈ 2,09 kg

Længder

Størrelse (navn) Målt værdi (cm)

l_{1} 4,3
l_{2} 20,3
l_{3} 2,8

Udregning af d:

𝑑 = 𝑙_{2} + =20,3 cm + =21,7 cm= 𝟎,𝟐𝟏𝟕 𝐦

𝑙_{3} 2,8 cm

2 2

Inertimoment

Via (12)

𝐼_{𝑑} = = ≈0,167 kg ∙ m^{2}

𝑇^{2} 𝑚𝑑𝑔
4𝜋^{2} 4𝜋^{2}

(1,217 s)^{2} ∙ 2,09 kg ∙ 0,217 m ∙ 9,82_{2}

m s

10

Enheden er dog s.

11

Beregnet som gennemsnittet af de fire værdier i skemaet ovenover.

Side 9

9

Vurdering

Vi fik udført øvelsen og målt/beregnet inertimomentet for hjulet (ift. ophængspunktet) til at være på 0,167
kg·m^{2}.

For at vurdere dette resultat udregner vi nu hjulets inertimoment (ift. ophængspunktet) vha. Steiners

sætning (4), idet I_{0} sættes til at være inertimomentet for en homogen cylinder (ift. massemidtpunktet),

                                                  12
I     , hvori massen, m, er jævnt fordelt over hele cylinderen :
 0,cylinder

           1
               2
𝐼        =  𝑚𝑟 (19)
 0,𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟
           2

13

r udregnes i den forbindelse ved at lægge l_{1}, l_{2} og l_{3} sammen således:

           𝑙                    2,8 cm
            3
𝑟 = 𝑙 + 𝑙 +  =4,3 cm + 20,3 cm+      =26,0 cm =0,26 m (20)
    1   2
            2                     2

Nu udregner vi I_{total} ud fra (4), (19) og (20):

𝐼_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝐼_{0} + 𝑚𝑑^{2} =𝑙_{0,𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟} + 𝑚𝑑^{2} = 𝑚𝑟^{2} + 𝑚𝑑^{2} = ∙ 2,09 kg ∙ (0,26 m)^{2} + 2,09 kg ∙ (0,217 m)^{2}

1 1

2 2

≈0,169 kg ∙ m^{2}

For at udregne vores resultats validitet beregner vi nu dets afvigelse fra l
                                                           total

ud fra Øhlenschlæger (2000), s.

237, idet Y er I (vores resultat), og Y er I (beregningen ovenfor):
         målt d                 tabel total

𝑌_{𝑚å𝑙𝑡} − 𝑌_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙} 𝐼_{𝑑} − 𝐼_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} 0,167 kg ∙ m^{2} − 0,169 kg ∙ m^{2}
𝑌_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙} 𝐼_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} 0,169 kg ∙ m^{2}

∙ 100 %= ∙ 100 %= ∙ 100 %≈ −1,17 %

Altså en afvigelse på ca. 1,17 % rent numerisk.

Det må alt andet lige siges at være udmærket, hvis man tager vores metode med i betragtning. Som bekendt fandt vi frem til svingningstid, masse og længde forskellige steder på cykelhjulet. Og af disse tre slags målinger var længdemålingerne langt de mest upræcise. Vi havde problemer med at måle med tommestokken, da der var mange eger i det cykelhjul, som vi benyttede. Men øjensynligt passer vores endelige resultat rigtig godt overens med virkeligheden.

Dog er det vigtigt at huske på, at også I_{total} (den beregnede værdi af inertimomentet) ikke har en eksakt

sand værdi, da denne også bygger på en model af virkeligheden. Men når de to værdier alligevel ligger rimelig tæt på hinanden – med en afvigelse på 1,17 % - tager vi det som om, at vores metode er god nok.

Det væsentligste sted, der kunne forbedres, er som sagt længdemålingerne, men dette er samtidig svært, da et cykelhjul (og ikke kun det vi brugte) indeholder mange eger. De andre målinger, synes vi selv, er meget præcise, også taget i betragtning at vi gentog dem op til fire gange (mht. svingningstiden).

12

Bemærk, at dette er en forenklende antagelse, da hjulet i princippet ikke kan opfattes som en homogen cylinder, se

fx Figur 3.
13

Kilde: Holck et al. (2007), s. 53.

Side 10

10

Trækkraft i cykelhjul

Materialer og apparatur

Materialer Apparatur

• 1 cykelhjul (fra fysikdepotet) • 1 tommestok

• 2 cylindriske metalstænger (a ca. 1 m) • 1 skydelære

• 2 hængsler • 1 stopur

• 2 muffer • 1 vægt (5000 g med 2 decimalers nøjagtighed)

• 2 gribere

• 1 snor

• 3 lodder med forskellig masse

Metode og opstilling

• Vi ophængte cykelhjulet som vise på Figur 5.

• Vi bandt snoren stramt fast tæt ved hjulets massemidtpunkt og gav snoren en sådan længde, at den fuldt udtrukket endte lige over gulvniveau. Vi målte derpå dens længde og kaldte denne for s.

• Vi målte afstanden fra snorens knude til hjulets midte og kaldte denne for b.

• Vi rullede snoren helt op omkring sin egen knude på hjulet og hængte et lod i den frie ende af snoren (denne del af øvelsen gentog vi op til flere gange med tre forskellige lodder).

• Vi lod derpå loddet trække snoren nedefter, idet vi samtidig tog tid (t) på dette fra start til slut, hvor snoren igen var blevet helt udtrukket

(gentagelse med de tre forskellige lodder).

• Vi afmonterede loddet fra snoren og målte dets masse som m (dette gjorde vi op til flere gange for hver af de tre lodder).

• Vi afmålte også hjulets masse, m, samt dets forskellige længder l_{1}, l_{2} og l_{3} (ligesom i Rotation af

cykelhjul, se Figur 4) og beregnede på denne baggrund hjulets radius via (20). Dette gjorde vi med henblik på den efterfølgende vurdering.

• Vi lavede beregningerne som omtalt i Vores øvelser, idet vi, hvor det var muligt, anvendte gennemsnitsværdier for de forskellige størrelser, fx faldtiderne.

Figur 5 Øvelsesopstilling (minus snor og lodder)

Side 11

11

Målinger

Længder

Snorlængde, s: 115,5 cm = 1,155 m

Måling (nr.) b (cm)

1 2,25

2 2,30

Gennemsnitlig afstand, b: 2,28 cm ≈ 0,023 m

1. lod

Måling (nr.) t (s) m (g)

1 15,15 100,87

2 100,87

Gennemsnitlig faldtid: 15,15 s

Gennemsnitlig masse: 100,87 g ≈ 0,10 kg

2. lod

Måling (nr.) t (s) m (g)

1 22,87 49,94

2 21,50 49,94

3 49,94

Gennemsnitlig faldtid: 22,19 s

Gennemsnitlig masse: 49,94 g ≈ 0,05 kg

3. lod

Måling (nr.) t (s) m (g)

1 9,82 199,70

2 10,13 199,70

3 10,63 199,70

4 10,15

Gennemsnitlig faldtid: 10,18 s

Gennemsnitlig masse: 199,70 g ≈ 0,20 kg

Side 12

12

Masse af cykelhjul

Måling (nr.) m (g)

1 2070,44

2 2070,54

3 2070,60

Gennemsnitlig masse: 2070,53 g ≈ 2,07 kg

Længder på cykelhjul

Størrelse (navn) Målt værdi (cm)

l_{1} 4,3
l_{2} 20,5
l_{3} 2,8

Udregning af radius, r:

𝑟 = 𝑙_{1} + 𝑙_{2} + =4,3 cm + 20,5 cm + =26,2 cm =0,262 m

𝑙_{3} 2,8 cm

2 2

Beregninger

Kraftmomenter

Via (14)

Lod (nr.) τ (N·m)

1 0,023

2 0,011

3 0,045

Beregningseksempel, 1. lod:

𝜏_{1.lod} =𝑚_{1.lod} 𝑔𝑏 =0,10 kg ∙ 9,82 ∙ 0,023 m≈ 0,023 N∙ m

m

s^{2}

Accelerationer og vinkelaccelerationer

Via (17) og (18)

Lod (nr.) a (m/s^{2}) α (s^{-2})

1 0,010 0,44

2 0,005 0,21

3 0,022 0,98

Beregningseksempel, a, 1. lod:

𝑎_{1.lod} = = ≈0,010

2𝑠 2 ∙ 1,155 m m

𝑡_{1.lod} (15,15 s)^{2} s^{2}

2

Side 13

13

Beregningseksempel, α, 1. lod:

𝛼_{1.lod} = = =0,44 s^{−2}

𝑎_{1.lod}

𝑏 0,023 m

0,010_{2}

m s

Inertimomenter

Via (15)

Lod (nr.) I (kg·m^{2})

1 0,051

2 0,054

3 0,046

Beregningseksempel, 1. lod:

𝐼_{1.lod} = = = ≈0,051 kg ∙ m^{2}

𝜏_{1.lod} 0,023 N ∙ m
𝛼_{1.lod} 0,44 s^{−2} 0,44 s^{−2}

0,023 kg ∙_{2} ∙ m

m s

Vurdering

Vi fik udført øvelsen og målt/beregnet os frem til en række værdier for kraftmoment og inertimoment ift.

et cykelhjul.

Kraftmomenterne udøvede vi vha. en række lodder med forskellige masser, og kvalitativt mener vi, at disse passer meget godt sammen. Jo mere loddet vejede, jo større var det kraftmoment, det kunne udøve. Dette ses også ved, at accelerationen blev større og større i takt med loddernes masse. Men vi kan ikke direkte udtale os kvantitativt om kraftmomenterne, men kun sige at beregningerne bag passede overens med det ventede.

I modsætning hertil kan vi godt vurdere inertimomenterne kvantitativt. Vi fik som bekendt indhentet tre

(nogenlunde ensartede) værdier for denne størrelse (ift. hjulets massemidtpunkt), og gennemsnitsværdien har vi beregnet her ud fra tallene i forrige afsnit:

                                      2
Gennemsnitligt inertimoment: I = 0,050 kg·m
                          snit

For at vurdere dette resultat udregner vi nu hjulets inertimoment (ift. massemidtpunktet) ud fra (19), idet vi opfatter hjulet som en homogen cylinder med en jævnt fordelt masse (værdierne for m og r stammer fra afsnittet Målinger ovenfor):

𝐼_{0,𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟} = 𝑚𝑟^{2} = ∙ 2,07 kg ∙ (262 m)^{2} ≈0,071 kg ∙ m^{2}

1 1

2 2

Side 14

14

For at påvise vores gennemsnitsresultats (I_{snit}) gyldighed beregner vi her dets afvigelse fra I_{0,cylinder} (på

samme måde som i Rotation af cykelhjul, afsnittet Vurdering):

𝑌_{𝑚å𝑙𝑡} − 𝑌_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙} 𝐼_{𝑠𝑛𝑖𝑡} − 𝐼_{0,𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟} 0,050 kg ∙ m^{2} − 0,071 kg ∙ m^{2}
𝑌_{𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙} 𝐼_{0,𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑒𝑟} 0,071 kg ∙ m^{2}

∙ 100 %= ∙ 100 %= ∙ 100 %≈−29,37 %

Altså en afvigelse på ca. 29,37 % rent numerisk.

Det er i vores øjne en meget markant afvigelse, der tyder på, at vores metode ikke er så pålidelig, som vi kunne håbe på. Vi mener selv, at dette er fordi, at vores model over denne øvelse var en anelse for simplificeret. Fx: Vi ignorerede snorkraften og dennes betydning, hvilket sandsynligvis har forårsaget, at kraftmomenterne blev udregnet med en del afvigelse. Desuden har vi størrelsen b, afstanden fra snorens knude til hjulets massemidtpunkt. Denne er efter alt at dømme også en alt for simpel model af virkeligheden. Bl.a. fordi vi ikke har taget højde for, at snoren i oprullet tilstand lagde sig rundt om snorens knude og ikke oven på den. Dette gør, at b alene egentlig ikke er et udtryk for den afstand, der indgår i kraftmomentudregningen.

                                                                                  2
I øvrigt vil vi dog bemærke, at vores inertimomenter lagde sig rimeligt stabilt om værdien 0,050 kg·m . Ikke

at dette gør dem mere nøjagtige, men det viser, at vores øvelse udmøntede sig i nogle meget præcise indbyrdes værdier. Og selvom de gennemsnitligt afviger 29,37 % fra den beregnede værdi (som i parentes bemærket også bygger på en model) ligger de dog samtidig så tæt på denne værdi, at vi mener, at vores øvelse vil kunne gøres mere nøjagtig med en række modifikationer.

Først vil det måske hjælpe, at bruge en bedre metode ift. opmålingen af snoren og afstanden fra dennes knude til massemidtpunktet. Dette kunne evt. gøres ved at tælle omdrejningerne for cykelhjulet og sammenholde dette tal med den opmålte længde af snoren. Derved ville man med inddragelse af en beregning af omkredsen i hjulets metalkerne kunne (dobbelt)tjekke snorens længde.

Idet vi konsekvent fik nogle for lave værdier for inertimomentet ift. den beregnede værdi, er der endvidere noget der tyder på, at vi enten fandt frem til nogle for lave værdier til kraftmomenterne eller for høje værdier til vinkelaccelerationerne jf. (15). Det er en kende uoverskueligt, hvad grunden til dette er, men vi mener selv, at det antageligvis handler om, at vores længde- og tidsmålinger ikke var indbyrdes præcise nok. Fx skete det ofte, at loddet, der trak snoren nedad, begyndte at trække den op igen, når det havde været nede og vende det laveste niveau. Dette besværliggjorde vores måling, selvom vi dog sørgede for, at det konsekvent var den samme person, der foretog målingen.

Man kan desuden sige, at vores tidsmålinger var for lave ift. de øjensynligt for lave inertimomenter, idet vi dermed rent fysisk angav, at cykelhjulet var nemmere at dreje rundt end tilfældet var (dvs. at vi udregnede inertien til at have en for lav værdi). Det, at vores tidsmålinger var for lave, kan også – jf. (17) – forklare, hvorfor vores accelerationer (og dermed også vinkelaccelerationer) fik for høje værdier.

Alt i alt vil vi slå fast, at vores øvelse øjensynligt kan optimeres mht. dens nøjagtighed. Måske er det virkeligt nødvendigt at inddrage snoren og dennes kraftpåvirkning for at kunne få mere rimelige resultater.

Side 15

15

Konklusion

Konklusion på øvelserne:

1. Rotation af cykelhjul: Vi fik gennemført øvelsen og bestemt cykelhjulets inertimoment til 0,161

kg·m^{2} ift. et ophængspunkt – da vi netop opfattede det som et pendul – og denne værdi stemmer

meget godt overens med et beregningsresultat – afvigelsen er på ca. 1,17 %. Alt i alt er vi tilfredse med gennemgangen af øvelsen; dog var nogle af målingerne sværere at foretage end andre, især længdemålinger besværliggjordes af egerne i cykelhjulet.

2. Trækkraft i cykelhjul: Vi fik gennemført øvelsen og bestemt en række værdier for cykelhjulets kraftmomenter samt dets inertimoment. Kraftmomentresultaterne stemmer godt overens med det forventede ift. de forudgående beregninger. Anderledes er det med inertimomenterne. Selvom de er indbyrdes meget præcise ift. deres værdier, er de ikke specielt nøjagtige sammenlignet med en beregnet værdi. Den gennemsnitlige afvigelse er på ca. 29,37 % - meget markant. Vi mener selv, at grunden hertil kan være, at vores øvelse er for simplificeret. Fx ignorerede vi kraftpåvirkningen fra snoren. Desuden var der øjensynligt problemer med bl.a. målingen af længder og faldtider.

Generelt set fik vi også sat os ind i, hvordan en cykel virker, og hvad der i virkeligheden får den til at drive fremad, når man cykler på den.

Kildemateriale

Litteratur

• Holck, Per et al. (2007): ORBIT A htx, Systime A/S, 1. udgave, 1. oplag

• Øhlenschlæger, Erik (1993): Grundlæggende Fysik 2 – for HTX-højniveau, Nordisk Forlag A.S., 3. udgave, 1.

oplag

• Øhlenschlæger, Erik (2000): Grundlæggende fysik 1, Nordisk Forlag A/S, 4. udgave, 1. oplag