e/m - Elektronens specifikke ladning

Side 1

[navn fjernet] Fysik/A Svendborg Gymnasium og HF
3. z e/m-rapport

Side 1 af 6

e/m for elektroner

Formål

Formålet med forsøget er at bestemme forholdet mellem en elektrons ladning, e, og dens masse, m.

𝑒 2 ∗ 𝑈

𝑚 𝑟^{2} ∗ 𝐵^{2}

=

Forsøget tager udgangspunkt i afbøjning af elektroner i magnetfelt.

Teori

Laplace’s lov

Forsøget benytter, at elektroner (eller generelt, ladninger) som bevæger sig i et magnetfelt vil blive udsat for en kraft, som altid er vinkelret på både elektronens bevægelsesretning og magnetfeltets retning.

Elektronerne vil da blive afbøjet jf. følgende højrehåndsregel:

Højrehånd holdes med fingerspidserne i partiklens bevægelsesretning og med magnetfeltlinjerne pegende opad mod håndfladen. Da er kraftens retning mod lillefingersiden, hvis partiklens ladning er positiv. Hvis partiklens ladning er negativ er kraftens retning mod tommelfingersiden.

Kraften er i øvrigt givet ved Laplace’s lov:

𝐹=𝑞∗𝑣∗ 𝐵∗ sin ( 𝜃)

I dette forsøg sendes elektronerne vinkelret på magnetfeltet, så vinklen bliver 90 🡪sin(ϴ)=1. Sidste led går

altså væk. Indsættes også elektronens ladning fås:

𝐹=𝑒∗ 𝑣 ∗ 𝐵

Energibevarelse

Elektronerne i forsøget bliver accelereret af en elektronkanon. En elektronkanon kan ved vekselstrøm ”koge” elektroner ud af glødetråd hvorefter disse bliver accelereret gennem et spændingsfald, U.

Elektronernes potentielle energi i det elektriske felt (U*e) bliver til kinetisk energi så den samlede energi er

bevaret:

𝑼 ∗ 𝒆= ∗ 𝒎 ∗ 𝒗^{𝟐}

𝟏

𝟐

Dermed er den mekaniske energi bevaret. Man kan altså bestemme elektronens hastighed ved at kende accelerationsspændingen, U.

Magnetfeltets centripetalkraft

Som nævnt afbøjes en elektron altid vinkelret på både dens bevægelsesretning og magnetfeltets retning.

Elektronerne vil, i et magnetfelt, derfor altid bevæge sig i en cirkelbane med radius, r. Det er magnetfeltet,

Side 2

[navn fjernet] Fysik/A Svendborg Gymnasium og HF
3. z e/m-rapport

Side 2 af 6 der udgør den nødvendige centripetalkraft, som gør, at elektronerne ikke fortsætte ud af en tangent. Man kan altså sætte magnetfeltets kraft, som er givet ved Laplace’s lov, lig med centripetalkraften:

𝒆 ∗ 𝒗 ∗ 𝑩=

𝒎 ∗ 𝒗^{𝟐}

𝒓

Her er e elektronens ladning – v er dens hastighed – B er fluxtætheden – m er elektronens masse – r er radius i cirkelbevægelsen og altså afstanden fra elektronen til ledningen som danner magnetfeltet (i dette forsøg er dette Helmhotzspolerne).

e/m
Af de to for oven viste ligninger kan forholdet, e/m, isoleres.

I ligningen for energibevarelsen isoleres hastigheden, v:

𝑈 ∗ 𝑒= ∗ 𝑚 ∗ 𝑣^{2} ⟺𝑣=

1 2 ∗ 𝑈 ∗ 𝑒

2 𝑚

√

I ligningen for centripetalkraft isoleres e/m:

𝑒∗ 𝑣∗ 𝐵= ⟺ =

𝑚 ∗ 𝑣^{2} 𝑒 𝑣

𝑟 𝑚 𝑟 ∗𝐵

Heri indsættes udtrykket for v: 𝑒 𝑣 𝑒 𝑚 𝑟 ∗ 𝐵 𝑚 𝑟 ∗𝐵

= ⟺ =

√

2 ∗ 𝑈 ∗ 𝑒 𝑚

Der kvadreres på begge sider hvorefter der divideres med e/m:

𝑒 𝑒^{2} 2 ∗ 𝑈 𝑒 𝒆 𝟐 ∗ 𝑼
𝑚 𝑟 ∗𝐵 𝑚^{2} 𝑟^{2} ∗ 𝐵^{2} 𝑚 𝒎 𝒓^{𝟐} ∗ 𝑩^{𝟐}

= ⟺ = ∗ ⟺ =

√

2 ∗ 𝑈 ∗ 𝑒 𝑚

Det er netop dette forhold mellem elektronens ladning og dens masse der skal bestemmes. Da U, r og B er konstanter vil dette forhold i teorien også være konstant.

Styrken af magnetfeltet

Man kan vise, at magnetfeltet imellem de to Holmholtzspoler er:

𝐵= ∗

8 𝜇_{0} ∗ 𝑁 ∗ 𝐼
5 ∗ √ 5

𝑅

Hvor N er antal vindinger for hver spole, I er strømstyrken i spolerne og R er spolernes radius og dermed også afstanden mellem dem.

Producenten af vores apparatur har dog givet os en metode hvorpå man kan beregne B-feltet:

Side 3

[navn fjernet] Fysik/A Svendborg Gymnasium og HF
3. z e/m-rapport

Side 3 af 6

𝑩=𝑰 ∗ 𝟕.𝟐𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎^{−𝟒}

Det vil sige, at de har samlet antallet af vindinger, spolernes radius i én værdi:

8 𝜇_{0} ∗ 𝑁
5 ∗ √ 5

∗ =7.212 ∗ 10^{−4}

𝑅

Forsøg

Magnetfeltet i forsøget dannes af såkaldte Helmhotzspoler. De er to ens flade spoler, som er placeret i en afstand fra hinanden som svarer til deres radius, R. Netop i midten af de to er magnetfeltet tilnærmelsesvist homogent. I dette centrum placeres elektronkanonen i en glaskolbe. Glaskolben indeholder ædelgasser under lavt tryk, så man sikrer sig, at omgivende atomer ikke optager de accelererede elektroner i deres stræben efter at komme til at ligne en ædelgas.

Forsøgsopstillingen er vist nedenfor:

Figur 1 - Forsøgsopstilling med Helmhotzspoler og glaskolbe med elektronkanon i midten.

Inde i glaskolben sidder der som sagt en elektonkanon som skyder elektroner af sted. Da elektronerne bevæger sig i et magnetfelt, som er vinkelret på deres bane, vil de udføre cirkelbaner. Disse cirkelbaner kan observeres fordi der udsendes lys. Elektronerne vil nogle gange banke ind i gasatomerne og eksitere dem, så de senere udsender lys ved elektronspring. Derfor udføres forsøget bedst i mørke, så man kan se de lysende baner. Inde i kolben sidder der en lille lineal, hvormed man kan måle diameteren i cirkelbanen og deraf finde radius, r. Spændingsfaldet i elektronkanonen og strømstyrken i spolerne måles med måleapparatur.

Der var mulighed for at variere på strømstyrken i spolerne eller spændingsfaldet i elektronkanon. Linealen kan måle fra 2 til 10 cm og så er kolben også en begrænsning for cirkelbanens radius. Det var derfor vigtigt, at spændingen i elektronkanonen ikke var for høj i forhold til strømstyrken i spolerne. Dette ville nemlig betyde, at cirkelbanen stødte på glaskolbens side og blive ødelagt. Samtidig måtte strømstyrken i spolerne heller ikke være for høj i forhold til spændingsfaldet i elektronkanonen. Det ville nemlig betyde, at elektronerne blev afbøjet for meget, så at cirkelbanen slet ikke kunne måles.

Side 4

[navn fjernet] Fysik/A Svendborg Gymnasium og HF
3. z e/m-rapport

Side 4 af 6

Det var samtidig også vigtigt, at elektronkanonen skød elektroner ud nøjagtig vinkelret på magnetfeltets retning. Ellers ville der fremkomme en spiralbane og ikke en rigtig cirkelbane.

Måledata og databehandling

Nedenfor er data vist i de 3 første kolonner. B-feltet i 4. kolonne beregnes af strømstyrken (2. kolonne). I

sidste kolonne er vist resultatet for e/m.

Diameter I_{spoler} (A) U_{elektronkanon} B (T) e/m (coul/kg)

(cm) (V)

2.0 | 4.972 | 117.00 | 1
4.0 | 2.486 | 117.00 | 0
6.0 | 1.640 | 117.00 | 7
8.0 | 1.154 | 117.00 | 0
4.0 | 2.499 | 117.00 | 8
6.0 | 2.499 | 249.00 | 8
7.0 | 2.499 | 345.00 | 8
3.0 | 5.550 | 304.50 | 6
4.0 | 4.074 | 304.50 | 7
6.0 | 2.714 | 304.50 | 5
8.0 | 2.052 | 304.50 | 0
9.0 | 1.822 | 304.50 | 3
3.0 | 4.800 | 213.30 | 6
4.0 | 3.400 | 213.30 | 8
5.0 | 2.740 | 213.30 | 9
6.0 | 2.250 | 213.30 | 0
7.0 | 1.940 | 213.30 | 3
8.0 | 1.687 | 213.30 | 6
9.0 | 1.519 | 213.30 | 0
4.4 | 4.980 | 542.20 | 8
4.0 | 4.980 | 415.00 | 8

2.0 3.000 77.50 0

6.0 | 3.000 | 368.40 | 0
7.0 | 3.000 | 485.30 | 0

Gennemsnitsværdien for e/m bliver

𝑒 𝐶 𝑪 𝑚 𝑘𝑔 𝒌𝒈

=181487643946.348 ≈𝟏.𝟖𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎^{𝟏𝟏}

Vurdering

På den tyske forsøgsvejledning er der angivet, at tabelværdien for e/m er:

𝑒 𝐶 𝑚 𝑘𝑔

=1.7588 ∗ 10^{11}

                                         𝑒    2∗𝑈
Resultatet i rapporten her, er altså for højt. Ud fra = kan dette begrundes ved
                                              2 2
                                         𝑚   𝐵 ∗𝑟

Side 5

[navn fjernet] Fysik/A Svendborg Gymnasium og HF
3. z e/m-rapport

Side 5 af 6

• Fejl omkring spændingsfaldet i elektronkanonen, U.

                                                                1
                                                                        2
o Værdien af U er et udtryk for elektronens fart idet det antages, at 𝑈 ∗ 𝑒= ∗ 𝑚 ∗ 𝑣 .
                                                                2

Denne energibevarelse holder måske ikke helt, da noget energi kan være gået til udsending af lys (synligt eller ikke synligt). Desuden er kolben ikke helt lufttomt, og noget af den kinetiske energi går altså til at eksitere gassen i kolben.

o Der kan også være fejl i apparaturet til måling af spændingsfeltet.

• Fejl omkring magnetfeltet, B.

o Magnetfeltet er kun tilnærmelsesvist homogent imellem helmholtszspolerne. Kolben er jo også et område og ikke et punkt, så magnetfeltet kan variere alt efter hvor i cirkelbanen elektronerne befinder sig.

o Magnetfeltet blev beregnet ud fra strømstyrken, I. Der kan være fejl ved apparaturet til måling af strømstyrken.

o Endelig kan jordens magnetfelt have indvirket. Jordens magnetfelt i Danmark er omkring

50 μT mens vi her arbejdede med 1-4 mT. Det vil sige, at jordens magnetfelt er 1/20-1/80

af magnetfeltet imellem spolerne. Der kunne have været korrigeret for jordens magnetfelt evt. ved at placere spolerne så deres magnetfelt var parallelt med jordens og derpå trukket jordens magnetfelt fra.

• Fejl omkring radius, r.

o Radius blev målt på en lineal med upræcist øjemål, og der ligger nok en del fejl her. Da radius er i anden potens, skal der ikke en særlig stor fejl til før det kommer til at have indvirkning på resultatet.

• Relativitet o Hastigheden af elektronerne kan beregnes ud fra følgende energibevarelse:

𝑈 ∗ 𝑒= ∗ 𝑚 ∗ 𝑣^{2} ⟺𝑣=

1 2 ∗ 𝑈 ∗ 𝑒

2 𝑚

√

Indsættes forsøgets højeste spænding, 542 V samt elektronens ladning og elektronens hvilemasse fås:

𝑣= √ ≈43657004

2 ∗ 542 𝑉∗ 1.6 ∗ 10^{−18} 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑚
9.1 ∗ 10^{−31} 𝑘𝑔 𝑠

Sammenholdes med dette med lysets hastighed fås:

43657004 𝑚 𝑠

299792458 𝑚 𝑠

≈14.5%

Det vil sige, at der arbejdes med hastigheder, omkring lysets hastighed. Elektronens masse burde have været korrigeret for dette ved:

𝑚_{𝑘𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑒𝑟𝑒𝑡} =

𝑚_{ℎ𝑣𝑖𝑙𝑒}

√

1 −
    2

𝑣^{2}

𝑐

Dermed ville m blive større, og forholdet e/m ville blive mindre. Altså er der i forsøget

blevet målt på et forhold, som er mindre en normalt. Så resultatet er måske endnu længere fra tabelværdien.

Side 6

[navn fjernet] Fysik/A Svendborg Gymnasium og HF
3. z e/m-rapport

Side 6 af 6

Nedenstående graf viser forholdet (e/m) udtrykt ved spændingsfaldet i elektronkanonen,

U. Det ses, at jo højere spænding, jo mindre bliver det målte forhold fordi massen bliver større med hastigheden af en elektron, som igen er proportional med spændingsfaldet i elektronkanonen:

(om forholdet er lineært passer nok ikke, men den bedste rette linje illustrerer, at det gennemsnitlige forhold er aftagende ved voksende spændingsfald)

Konklusion

Forholdet mellem en elektrons ladning, e, og dens masse, m, blev ved en række forsøg bestemt til: 𝑒 2 ∗ 𝑈 𝑪

𝑚 𝑟^{2} ∗ 𝐵^{2} 𝒌𝒈

= =𝟏.𝟖𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎^{𝟏𝟏}