Bølger | Vejledende opgaver i Fysik A-niveau

Side 1

Vejledende besvarelser til

Bølger

Fysikforlaget 2013

Side 2

Fysik A – Opgaver i Fysik. Fysikforlaget 2013

2

B1 Laserpen a)

Gitterligningen er generelt givet ved:

𝑛 · 𝜆 = 𝑑 · sin ( 𝜙_{𝑛})

⇕

Afbøjningsvinklen mellem 0 og 2. orden aflæses til 𝜙_{2} = 29,8°. Gitterkonstanten er oplyst til d = 2,66 𝜇m =
2,66 · 10^{-6} m. Vi indsætter kendte værdier i gitterligningen herunder, og løser for bølgelængden af laserlyser

𝜆:

2 · 𝜆 = 2,66 · 10^{−6} 𝑚 · sin ( 29,8)

⇕ Ligningen løses for λ vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝜆 = 6,6097537 · 10^{−7} 𝑚

Laserlysets bølgelængde er bestemt til 661 nm (afrundet til 3 betydende cifre).

Side 3

Fysik A – Opgaver i Fysik. Fysikforlaget 2013

3

B2 Gitter a)

Vi aflæser tabelværdierne for de fem kraftigste spektrallinjer i det synlige område for grundstoffet Cadmium i DATABOG fysik kemi:

Nummer 𝜆 / nm Farve

1 | 441,56 | Violet
2 | 480,00 | Blå
3 | 508,58 | Grøn
4 | 533,75 | Grøn
5 | 643,85 | Rød

VI bestemmer gitterkonstanten ved:

𝑑 =

1

600

≈ 0,0016666667 𝑚𝑚

Gitterligningen er generelt givet ved:

𝑛 · 𝜆 = 𝑑 · sin ( 𝜙_{𝑛})
Vi bestemmer afbøjningsvinklen for 1. orden for hhv. de 5 spektrallinjen, ved at løse for 𝜙_{n} i udtrykket

herover:

Nummer 1:

1 · 441,56 𝑛𝑚 = 0,0016666667 · 10^{6} 𝑛𝑚· sin ( 𝜙_{1})

⇕ Ligningen løses for ϕ_1 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝜙_{1} = 15,36315

Afbøjningsvinklen for den violette spektrallinje er bestemt til 15,4° (afrundet til 3 betydende cifre).

Nummer 2:

1 · 480,00 𝑛𝑚 = 0,0016666667 · 10^{6} 𝑛𝑚· sin ( 𝜙_{1})

⇕ Ligningen løses for ϕ_1 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝜙_{1} = 16,738256

Afbøjningsvinklen for den blå spektrallinje er bestemt til 16,7° (afrundet til 3 betydende cifre).

Nummer 3:

1 · 508,58 𝑛𝑚 = 0,0016666667 · 10^{6} 𝑛𝑚· sin ( 𝜙_{1})

⇕ Ligningen løses for ϕ_1 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝜙_{1} = 17,767068

Afbøjningsvinklen til den første grønne spektrallinje er bestemt til 17,8° (afrundet til 3 betydende cifre).

Side 4

Fysik A – Opgaver i Fysik. Fysikforlaget 2013

4

Nummer 4:

1 · 533,75 𝑛𝑚 = 0,0016666667 · 10^{6} 𝑛𝑚· sin ( 𝜙_{1})

⇕ Ligningen løses for ϕ_1 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝜙_{1} = 18,678044

Afbøjningsvinklen til den anden grønne spektrallinje er bestemt til 18,7° (afrundet til 3 betydende cifre).

Nummer 5:

1 · 643,85 𝑛𝑚 = 0,0016666667 · 10^{6} 𝑛𝑚· sin ( 𝜙_{1})

⇕ Ligningen løses for ϕ_1 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝜙_{1} = 22,72509

Afbøjningsvinklen til den røde spektrallinje er bestemt til 22,7° (afrundet til 3 betydende cifre).

Side 5

Fysik A – Opgaver i Fysik. Fysikforlaget 2013

5

B3 Lydens fart a)

Vi antager, at der er tale om en harmonisk bølge.

Vi indser vha. formlen for bølgens udbredelsesfart:

𝑣 = 𝜆 · 𝑓

⇕

𝑓 = 𝑣 ·

1 𝜆

At hældningskoefficienten for en (f, 1/λ) - graf betegner udbredelseshastigheden for lyden. Det er oplyst i
opgaveformuleringen, at bølgelængden er givet ved 2 · ΔL, dvs. vi får 1 / 2 · ΔL. Vi bestemmer den

reciprokke værdi for hver af bølgelængderne i Excel. Herefter bestemmer vi en lineær regressionsmodel for

f = v · 1 / λ, resultatet kopieres herefter ind i besvarelsen:

Tabel med data:

f / kHz 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
ΔL / m 0,144 0,11 0,083 0,07 0,06 0,053 0,05 0,043
1 / λ / m^-1 3,472222 4,545455 6,024096 7,142857 8,333333 9,433962 10 11,62791

Model:

Vi aflæser farten v som hældningskoefficienten i regression ligningen:

𝑣 = 0,3487

𝑘𝐻𝑧

𝑚^{−1}
= 0,3487

𝑘𝑚 𝑠

= 348,7

𝑚 𝑠

Lydens fart i luft er bestemt til 349 m/s (afrundet til 3 betydende cifre).

y = 0,3487x - 0,0404
R² = 0,994

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

2 14

f / kHz

1/λ /m^-1

(1/λ, f) - graf

Side 6

Fysik A – Opgaver i Fysik. Fysikforlaget 2013

6

B4 Lydoptagelse a.

Frekvens er generelt givet ved:

𝑓 =

1

𝑇

Vi aflæser perioden for den udsendte bølgelængde som tiden mellem to bølgetoppe. Vi ser, at tiden fra 0,8

ms til 2,4 ms svarer til to bølgetoppe dvs. en tidsperiode på 2 · T = 1,6 ms, dvs. T = 0,8 ms. Vi bestemmer

frekvensen for lydbølgerne:

𝑓 =

1

0,8𝑚𝑠

= 1,25 · 𝑚𝑠^{−1}
= 1,25 𝑘𝐻𝑧

Lydbølgernes frekvens er bestemt til 1,25 kHz (opgivet med 3 betydende cifre).

b.

Vi bestemmer bølgelængden af lyden:

𝜆 =

𝑣 𝑓

=

345 m s

1,25 · 10^{3} 𝐻𝑧
= 0,276 𝑚

Betingelsen for interferens for en bølge udsendt i fase er givet ved:

Δ𝑠 = (𝑛+ 𝐹 ·) · λ,n ∈ ℕ

1

2

Hvor:

𝐹 = {}

0 𝑓𝑜𝑟 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑘𝑡𝑖𝑣

1 𝑓𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑘𝑡𝑖𝑣

Vi undersøger, om der er konstruktiv interferens, vi har, at F = 0:

1,903𝑚 − 1,213𝑚 = (𝑛 + 0 ·) · 0,276𝑚

1

2

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛 = 2,5

Vi har, at n ∉ ℕ, dvs. betingelsen ikke er opfyldt.

Vi undersøger, om der er destruktiv interferens, vi har, at F = 1:

1,903𝑚 − 1,213𝑚 = (𝑛 + 1 ·) · 0,276𝑚

1

2

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 7

Fysik A – Opgaver i Fysik. Fysikforlaget 2013

7

𝑛 = 2

Vi har, at n ∈ ℕ, dvs. at betingelsen er opfyldt, vi kan dermed konkludere, at der er destruktiv interferens i mikrofonens placering, det medfører at lydsignalet bliver reduceret.

Side 8

Fysik A – Opgaver i Fysik. Fysikforlaget 2013

8

B5 Lys i vand a.

Afstanden mellem de to 4. ordener er oplyst til at være 39,4 cm, dvs. at afstanden mellem 0. orden og 4.

orden er lig 39,4 cm / 2 = 19,7 cm. Vi bestemmer afbøjningsvinklen for 4. orden vha. simpel trigonometri:

tan ( 𝜙_{𝑛}) =

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑠𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒

⇕

tan ( 𝜙_{4}) =

19,7𝑐𝑚

35,0𝑐𝑚

⇕ Ligningen løses for ϕ_4 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝜙_{4} = 29,373296

Vi benytter gitterligningen og bestemmer gitterkonstanten d, ved at løse for d i udtrykket herunder:

𝑛 · 𝜆 = 𝑑 · sin ( Φ_{𝑛})

⇕

4 · 632,8 · 10^{−9} 𝑚 = 𝑑 · sin ( 29,373296)

⇕ Ligningen løses for d vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑑 = 5,1604732 · 10^{−6} · 𝑚

                                  -6
Gitterkonstanten er bestemt til 5,160 · 10 m (afrundet til 4 betydende cifre).

b.

Vi bestemmer afbøjningsvinklen for 4. orden, når lyset bevæger sig igennem vandet. Afstanden mellem de

to 4. ordener er oplyst til at være 27,8 cm, dvs. at afstanden mellem 0. orden og 4. orden er lig 27,8 cm / 2
= 13,9 cm. Vi bestemmer afbøjningsvinklen for 4. orden vha. simpel trigonometri:

tan ( 𝜙_{𝑛}) =

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑠𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒

⇕

tan ( 𝜙_{4}) =

13,9𝑐𝑚

35,0𝑐𝑚

⇕ Ligningen løses for ϕ_4 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝜙_{4} = 21,660148

Vi benytter gitterligningen, og bestemmer bølgelængden for lyset, når lyset bevæger sig igennem vandet, ved at løse for 𝜆 i udtrykket herunder:

𝑛 · 𝜆 = 𝑑 · sin ( Φ_{𝑛})

⇕

4 · 𝜆 = 5,1604732 · 10^{−6} · 𝑚 · sin ( 21,660148)

Side 9

Fysik A – Opgaver i Fysik. Fysikforlaget 2013

9

⇕ Ligningen løses for λ vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝜆 = 4,7618319 · 10^{−7} · 𝑚
Vi bestemmer lysets frekvens ved at løse for f i udtrykket herunder, hvor c = 8 m/s betegner

lysets hastighed:

𝑐 = 𝜆 · 𝑓

⇕

299792458 = 632,8 · 10^{−9} 𝑚 · 𝑓

𝑚 𝑠

⇕ Ligningen løses for f vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑓 = 4,7375546 · 10^{14} · 𝑠^{−1}

Vi bestemmer lysets hastighed i vand ved:

𝑣 = 𝜆 ·𝑓
= 4,7618319 · 10^{−7} · 𝑚 ·4,7375546 · 10^{14} · 𝑠^{−1}
≈ 2,2559439 · 10^{8} · m · s^{−1}

                                     8
Lysets hastighed i vand er bestemt til 2,26 · 10 m/s (afrundet til 3 betydende cifre).

Side 10

Fysik A – Opgaver i Fysik. Fysikforlaget 2013

10

B6 Interferens a.

Betingelsen for destruktivinterferens er givet ved, hvor F = 1:

Δ𝑠 = (𝑛+ 𝐹 ·) · 𝜆, 𝑛 ∈ ℕ

1

2

Vi undersøger, om der er destruktiv interferens i punktet P, ved at løse for n i udtrykket herunder:

4,32𝑚 − 3,15𝑚 = (𝑛 + 1 ·) · 0,78𝑚

1

2

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛 = 1
Da n = 1 ∈ ℕ, kan vi konkludere, at der er destruktiv interferens i punktet P.

Vi forklarer fænomenet. I punktet P vil de to bølger fra hhv. de to højtalere udligne hinanden.