Vindmodstand - Rapport i fysik

Side 1

V V I I N N D D M M O O D D S S T T A A N N D D

Formål:

Formålet med dette forsøg og bearbejdelsen af denne rapport, er at få en forståelse af forskellige faktorers betydning for den luftmodstand et legeme bliver udsat for ved en given hastighed. Her i blandt, vil følgende formel ved eksperimentelt arbejde blive forsøgt eftervist:

  2
⋅⋅⋅⋅= vAcF

2

1

LUFTWLUFT ρ

Derudover eftervises at vindmodstanden, F

LUFT

, er proportionel med legemets hastighed i anden, v2,

                                                        3
samt at effekten, P, er proportionel med legemets hastighed i tredje, v .

Udstyr:

Cykel

Stopur

Dynamometer med plade (20cm*20cm) påmonteret

Målebånd

”Klo”

Termometer

Barometer

Procedure:

Vi startede med at definere og opmåle den strækning, Δs (=18,45m), vi ønskede at køre, og altså

finde tilhørende tidsværdier til. Derefter satte vi med ”kloen” dynamometeret fast på cyklen således at pladen var placeret til venstre for cyklisten. På den måde eliminerer vi en fejlkilde, idet kraften ville have været anderledes hvis hvirvlerne, der er forårsaget af pladens gennemstrømning af lufthavet, var blevet bremset umiddelbart efter pladen af cyklistens mave, og på den måde havde kunne påføre pladen en, af luftmodstanden, modsatrettet kraft – altså en fra cyklistens synspunkt fremadrettet kraft, således at pladens resulterende kraft ikke alene er luftmodstanden. Desuden valgte vi at udføre forsøget indendørs, i cykelkælderen, således at vindhastigheden ikke skulle korrigeres i henhold til med-, mod- og sidevind, hvilket betyder at vi kun behøvede et resultatsæt.

Desuden er en sådan korrigering forbundet med store usikkerheder og vi eliminerede på den måde

samtidig endnu en fejlkilde. Derudover målte vi med termometeret temperaturen, T (=19,2°C), og
med barometeret trykket, P (=1002mb).

Med banen opmålt, dynamometeret påmonteret samt stopuret og cyklisten klar, kunne vi begynde vores forsøgsrække. Resultaterne fra denne er listet under afsnittet: ”Målinger”. Disse målinger udgøres af en tid, t (i sekunder [s]) – altså tiden det tager at køre den opmålte strækning – samt en af cyklisten på dynamometeret aflæst kraft, F (I Newton [N]).

Side 2

Teori:

Ved en sådan fremdrift, som vi forsøger at beskrive i denne rapport, er det pappladen, der bevæger sig mod vindpartiklerne. For overskuelighedens skyld, og for at vi kan regne på det, antager vi i stedet, at det er luftpartiklerne der bevæger sig: med samme fart, men modsatrettet – altså ind mod pappladen. Det betyder da heller ikke noget i det kommende, da det er fuldstændigt underordnet, om det er legemet, eller luftpartiklerne der har en hastighed, v.

Fladens arbejde vil i tidsrummet Δt være:

Δ⋅= sFA

FLADERES

                                2
Da        EA Δ= og             ⋅⋅=Δ vmE kan ligningen omskrives til:
            KINRES

2

1

KIN

Δ⋅=⋅⋅ sFvm

FLADE

2

2

1

Vi ved at massen, m, er defineret ved:  ⋅= Vm og kan derfor atter omskrive:
                                    LUFT

ρ

Δ⋅=⋅⋅⋅ sFvV

FLADELUFT

2

2

1 ρ

Volumen er defineret som: sAV Δ⋅= og vi omskriver igen:
Δ⋅=⋅Δ⋅⋅⋅ sFvsA

FLADELUFT

2

2

1 ρ

Da der står Δs på hver side kan disse forkortes væk:

  2
⋅⋅⋅= vAF

2

1

LUFTFLADE ρ

Med henblik på Newtons 3. lov: aktion = reaktion, ræsonerer vi, at pladen bliver påvirket med en

ligeså stor, men modsatrettet kraft – altså tyngdekraften - som den i sin fremdrift påvirker luften

med. Kræfterne er altså numerisk lige store. Altså FF = . Vi får altså:
                                                 LUFTFLADE

  2
⋅⋅⋅= vAF

2

1

LUFTLUFT ρ

Dette er imidlertid en teoretisk formel, der ikke tager hensyn til, hvor strømlinet pladen – legemet – er. Denne model forudsætter, at al den luft, der befinder sig foran pladen får den samme fart som pladen. Dette er imidlertid ikke tilfældet, da luften i praksis vil strømme ud til siden. Hvor stor en del af luften dette drejer sig om afhænger af dens form – altså strømlinethed. Derfor indfører man begrebet luftmodstandskoefficient, der er et udtryk for hvor strømlinet et legeme er og hvor glat dets overflade er –altså dets aerodynamik. Den eksperimentelle formel hedder derfor:

  2
⋅⋅⋅⋅= vAcF

2

1

LUFTWLUFT ρ

Kigger man på elementerne i ligningen, ser man, at de fleste er konstanter. Kun luftmodstanden og hastigheden er variabler. Det er disse variabler vi har fundet ved vores målinger (Dog skal luftmodstanden på pladen omregnes til cyklistens luftmodstand). Man kan altså opskrive ligningen som:

Side 3

  2
⋅= vkF , hvor k er en konstant og for hvilken det gælder, at:

LUFT

Ack ⋅⋅⋅=
 CLUFTw

ρ

2

1

Dvs. at luftmodstanden og hastigheden i anden er direkte proportionelle størrelser med proportionalitetsfaktoren k. Indtegner man dem derfor på en graf, vil det danne en linie med en

ligning, som følger formen: xky ⋅=.

Heraf ses det, at man ved at finde grafens hældning, altså k, kan finde c -værdien for cyklisten. Det w sker ved følgende omskrivning:

2 ⋅ A_{CLUFT}

cAck =⇔⋅⋅⋅=
 wCLUFTw

1 2 k ρ ρ

Ud fra den tid vi måler og idet vi kender det cyklede interval finder vi hastigheden, v.

Δ t

Δ s

v =

For at beregne cyklistens areal, A

C

, bruger man almindelig forholdsregning. Man tæller hvor mange tern pladen og cyklisten udgør på den udleverede figur og sætter det i forhold til det kendte plade areal. Dvs.

A ⋅=            A    , hvor lille a er antal tern på den udleverede figur.
 CYKLIST         PLADE

a_{PLADE}

a_{CYKLIST}

Når man kender cyklistens areal, benytter man igen forholdsregning for at beregne cyklistens luftmodstand sammenlignet med pladens luftmodstand.

A_{PLADE}

A_{CYKLIST}

FF ⋅=
 PLADEGNIDNING

Dette er dog en omvej, da forholdet mellem plade og cyklist er det samme uanset om man snakker areal eller antal tern. Men ok….du bad om det, så her er det….

Derudover findes i ligningen for legemets gnidning en værdi for luftens densitet.

Denne udledes af idealgasloven:

T T_{0} V T P_{0} V P_{0} T

⋅ VP ⋅ VP_{00} V P T_{00} V_{0} P T_{0}
= ⋅=⇔⋅=⇔

                 m
Da           VVm =⇔⋅= hedder ligningen:

ρ ρ

m P_{00} T

m P T

LUFT 0

⋅=⋅

ρ ρ

Side 4

Masserne går ud med hinanden:

P_{00} T P_{0} T

P T_{0} P T

LUFT 0

LUFT 0

⋅⋅=⇔⋅=

ρρ ρ ρ

Hvis man kører med en konstant hastighed, gælder det, at den ydede effekt P (arbejde pr. tidsenhed) er givet ved:

Δ t

Δ A

P =
I det vi ved, at_{CYKLIST} Δ⋅=Δ sFA omskrives ligningen til:

Δ t

Δ⋅ sF

P =

CYKLIST

Idet hastigheden er konstant, er den resulterende kraft ligmed 0. Dvs. at den kraft cyklisten påvirker luften er ligeså stor som den luften påvirker cyklisten med, blot modsatrettet, således at summen af

de virkende kræfter giver en resulterende kraft på 0. Dvs. FF =
                                                         CYKLISTGNIDNING

Δ t Δ t

Δ⋅ sF Δ s

P = FP_{GNIDNING} ⋅=⇔

GNIDNING

       Δ
Idet v =  får vi:
       Δ

t s

⋅= vFP

GNIDNING

Målinger:

På forhånd givne værdier:

Δs

18,45m

T

19,2°C

P 1002mb = 100200Pa
A 0,04m^{2}

PLADE

a | 225 tern

PLADE

a | 2500 tern

CYKLIST

Målte værdier:

t/s F/N

6,47 | 0,20
5,00 | 0,35
4,41 | 0,60
4,40 | 0,40
4,19 | 0,60
3,97 | 0,70
3,17 | 0,90

Side 5

Resultater:

A 0,44m^{2}

CYKLIST ρ

LUFT

1,195g/L
F /N v/(m/s) v^{2} /(m/s)^{2} v^{3} /(m/s)^{3} P/s^{-1}

GNIDNING

2,22 | 2,85 | 8,13 | 23,19 | 6,34
3,89 | 3,69 | 13,62 | 50,24 | 14,35
6,67 | 4,18 | 17,50 | 73,23 | 27,89
4,44 | 4,19 | 17,58 | 73,73 | 18,64
6,67 | 4,40 | 19,39 | 85,38 | 29,36
7,78 | 4,65 | 21,60 | 100,37 | 36,15
10,00 | 5,82 | 33,87 | 197,16 | 58,20

Grafer:

Graf 1 (v^{2}, F

GNIDNING):

Det ses, at punkterne tilnærmelsesvist ligger på den rette linie, der går gennem origo (0,0).

Målingerne har altså været forholdsvis gode (eller også er vi bare heldige, at andre omstændigheder spiller ind, således at de passer ind i sammenhængen alligevel…), hvis der havde været en eller flere målinger, som tydeligt ikke passede ind i de andre punkters sammenhæng, skulle nogle sådan

-2.00

-5.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.0

v^2

Fgn

Side 6

udelades, men det er heldigvis ikke tilfældet her. At linien ikke skærer nøjagtigt i (0,0) skyldes fejlkilder – vil blive behandlet under afsnittet af samme navn. Vi kan altså tilnærmelsesvist regne på funktionen som en direkte proportionalitet. Dette vil bruges som afsæt til det følgende.

En direkte proportionalitet følger ligningen:

axy =.
Ud af x-aksen har vi v^{2} og ud af y-aksen har vi F. Sættes det ind i ligningen har vi

GNIDNING

⋅= VaF^{2}

GNIDNING

Dette har ledt os frem til det i teoriafsnittet udledte:

⋅= VkF^{2}

GNIDNING

                                             1
Hvor k er en konstant og for hvilken det gælder, at:    Ack ⋅⋅⋅=
                                                          CLUFTw
                                             2

ρ

Denne kan som tidligere nævnt omskrives:

2 ⋅ A_{cLUFT}

cAck =⇔⋅⋅⋅=
 wCLUFTw

1 2 ⋅ k ρ ρ

Vi kan altså nu finde c w

-værdien for en cyklist, hvis vi blot kender grafens hældning. Denne værdi vil blive fundet i afsnittet:”Udregninger”.

Fitningsresultat for grafen:

Den bedste rette linie gennem de angivne punkter er givet ved:

baxy +=, hvor:
311,0=a
102,0=b

Dvs.

102,0311,0 += xy

Da jeg antog at denne ligning for en ret linie tilnærmelsesvist følger ligningen for en proportionalitet, vil jeg regne med den ovennævnte hældningskvotient i stedet for, med DUO, at tvinge grafen til at følge proportionaliteten og dermed få en anden, og mere unøjagtig hældningskoefficient.

Side 7

Graf 2 (v, P):

Heraf ses det, hvor stor en effekt, P, der skal til for at overvinde luftmodstanden. Et punkt aflæst på grafen, udgør den effekt, hvormed man lige netop overvinder luftmodstanden. Ønsker man en positiv acceleration, skal man have en større effekt, end den til punktet aflæste.

-80.0

-1.00 00 6.00

-60.0

-40.0

-20.0

0.00

20.0

40.0

60.0 v

P

Side 8

Graf 3 (v^{3}, P):

Det ses, at grafen tilnærmelsesvist følger den rette linie, der skærer i origo (0,0), hvorfor linien må følge ligningen for en direkte proportionalitet. En sådan har ligningen:

axy =
Da v^{3} er afsat ud af x-aksen og P ud af y-aksen, hedder ligningen:

 3
vaP ⋅=

Effekten, P er altså proportionel med v^{3}, med konstanten a som proportionalitetsfaktor.

Fitningsresultat:

Den bedste rette linie gennem de angivne punkter er givet ved:

baxy +=, hvor:
301,0=a
37,1=b

Dvs.

37,1301,0 += xy

-10.0

-40.0 00

0.00

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

v^3

P

Side 9

Udregninger:

Udregning af luftens densitet:

                         T
                          0
Formel:                 ⋅⋅=
                         T

P_{0}

P

LUFT 0 ρρ

                    g
Værdier:      =  293,1 ,   =      KT 15,273 , = PaP 101325 ,                  KKT 35,292)2,1915,273( =+= ,
                                       0
                    L

0 0 ρ

PaP 100200=

Dvs.

L 101325 Pa 35,292 K L g 100200 Pa 15,273 K g

LUFT

293,1 ≈⋅⋅= 195,1

ρ

Udregning for cyklistens areal:

                a
                 C
Formel:    A ⋅=     A
            C        P
                a
                 P

                                                   2
Værdier:   a   2500= , a 225= ,             =⋅= 04,02,02,0 mmmA
            C         P        P

Dvs.

≈⋅= 44,004,0 mmA^{22}

225

2500

C

Udregning af fart:

              Δ
Formel:    v =
              Δ

t s

Værdier: ms 45,18=Δ, st 47,6=Δ

Dvs.

47,6 s s

45,18 m m

v 85,2 ≈=

Udregning af gnidningskraft:

Formel:    F ⋅=         F
            GNIDNING      PLADE

A_{P}

A_{C}

                     2          2
Værdier:      =  44,0 mA , = 04,0 mA ,      20,0= NF
                        P           PLADE

C

Dvs.

F_{GNIDNING} ≈⋅= 22,220,0 NN
04,0 m^{2}

44,0 m^{2}

Side 10

Udregning af effekt:

Formel: ⋅= vFP

GNIDNING

                                  m
Værdier:              22,2= NF , v 85,2=
                                  s

GNIDNING

Dvs.

                 − 1
NP        ≈⋅= s 34,685,222,2

s m

Udregning af c -værdi: w

Formel: c_{w} =
⋅ A_{cLUFT}

2 ⋅ k ρ

                                   g
                                               2
Værdier:           311,0== ka , 195,1= , =  44,0 mA
                         LUFT          C
                                  L

ρ

Dvs.

c_{w} = ≈ 17,1
⋅ 44,0195,1 m^{2}

⋅ 311,02

L g

Udregningerne er udført i DUO regneark, hvorfor alle decimaler er regnet med under alle mellemregninger.

Sammenligning:

Cyklisten:

c_{w} 17,1=

Biler:

- Mindst: c_{w} 28,0= (Opel Omega, Limousine Klassen)
- Størst: c_{w} 43,0= (Audi Quattro, Sportsvogne)

Procentvis forskel:

Cyklist i forhold til bilen med mindst luftmodstandskoefficient:

≈ %318%100*

28,0

− 17,128,0

Cyklist i forhold til bilen med størst luftmodstandskoefficient:

≈ %172%100*

43,0

− 17,143,0

Grunden til at cyklisten har en så meget større luftmodstandskoefficient, skyldes at en sådan, modsat biler, ikke er strømlinet. En cykel er ganske enkelt ikke lavet på den måde, ligesom biler er det. Ved biler bestræber man sig på at opnå den ultimative strømlinethed – dråbeformen. Det er imidlertid umuligt at få en bil, eller noget andet køretøj til at antage en vanddråbes strømlinethed, da denne, altså vanddråben, bliver tildannet af den forbifarende luft på den mest hensigtsmæssige måde – den ændrer altså opbygning under faldet. Det ville være omsonst at forestille sig noget

Side 11

sådant med en bil. Trods alt har man gjort tiltag, så man så vidt muligt kan nærme sig denne ultimative strømlinethed. Bl.a. med Kamm-hækken. Noget sådant er en cykel, eller cyklisten for så vidt, heller ikke udstyret med, hvilket igen kan forklare at disses samlede luftmodstandkoefficient er meget større end bilernes.

Desuden spiller det ind, at en cykel er meget kortere end en bil. Det viser sig nemlig at længden har betydning for luftmodstandkoefficient. Jo længere bil, jo mindre luftmodstandkoefficient og omvendt. Overvejer man situationen med en logisk, rationel tankegang, kan man argumentere herfor, idet vinden brydes på hver side af bilen, og denne ved en længere bil, ligesom har tid til at falde lidt til ro, tid til at blive ensrettet, inden den igen slipper ud i lufthavet – man undgår altså ved længere biler at der dannes hvirvler lige umiddelbart efter bagenden. Dette kan også ses af ovennævnte luftmodstandskoefficienter, idet bilerne i limousineklassen generelt har lavere c -værdi w end sportsvogne.

Ydermere har cyklisten ikke, som bilerne, hverken en glat eller homogen overflade. I stedet udgøres

cyklistens overflade af det tøj han/hun har på – altså forskellige typer stof, der vil blafre i vinden, og

dermed forårsage større luftmodstand.

Grunden til, at man ikke arbejder på at nedsætte luftmodstandskoefficienten for cykler, tror jeg, hænger sammen med, at denne værdi ikke alene er et udtryk for luftmodstanden. Det ligger også i navnet: koefficient. Ganger man imidlertid c w

-værdien med frontarealet har man det, man kalder luftmodstandstallet, hvilket er meget mere sigende for, hvor stor luftmodstanden bliver. Idet cykler har et meget mindre frontareal ind biler, vil man i langt de fleste tilfælde (selvfølgelig afhængig af cyklistens kropsbygning) have et luftmodstandstal, der er mindre end bilernes. Desuden spiller det ind, at biler kan spare brændstof ved en lav c w

-værdi, da det næsten er umuligt at sænke frontarealet yderligere, og dette økonomiske aspekt har uden tvivl pacet en udvikling i gang.

Luftmodstandstal:

Opel Omega, Limousine Klassen 58,0=
Audi Quattro, Sportsvogn 80,0=

                          2
Cyklisten:          ⋅=⋅ 44,017,1 mAc           52,0≈

Cw

Heraf ses det, at cyklisten rent faktisk har en mindre luftmodstand end de forskellige biler.

Der kan gøres noget ved cykler og cyklisters c w

-værdi, hvilket man også kan erfare, hvis man har set Tour de France eller et andet cykelløb. Bl.a. har de aerodynamiske – dråbeformede cykelhjelme, samt et tætsiddende, glat-overfladet kunststof-outfit. Derudover sættes der skærme over egerne, således at man undgår lufthvirvler i og omkring hjulene.

Fejlkilder:

- Farten vi måler, er en gennemsnitsfart, mens kraften er en øjebliksmåling. Den gennemsnitlige fart kan meget vel afvige fra hastighed hvorved man aflæser kraften.

- Desuden er et dynanometer et upræcist værktøj, i det indikatoren ikke forbliver nogenlunde stabil ved en kraftværdi, men ”hopper” op og ned over hele spektret af værdier, når man sætter i gang, stopper, eller kommer til at dreje styret bare den mindste smule.

- Det er ikke det rigtige areal vi har af cyklisten. Arealet, der er fundet ud fra en gennemsnitsfigur, må som følge deraf, også være en slags gennemsnitsareal og har måske ikke nogen forbindelse til testpersonerne i vores forsøgsrække.

- Der var to, der kørte cyklen i vores forsøgsrække, hvorfor frontarealet ikke er konstant. Dette har vi imidlertid antaget, hvorfor der er en lille fejlkilde her også.

Side 12

- Selvom forsøget er lavet inden døre, kan der godt være noget træk. Forsøget blev lavet i cykelkælderen på tværs af indgangen. Dvs. at der kan være noget sidevind fra indgangen.

Desuden kan vinden brydes og reflekteres af cykelkælderens forskellige elementer, i formationer der slet ikke er til at forudse eller beregne. Derfor kan der ligeså godt have været med- eller modvind som en sidevind. Dog har man med indendørs målinger om ikke elimineret, så i hvert fald begrænset denne fejlkilde mest muligt.

- Cyklen udgør også en andel af frontarealet – ikke kun cyklisten.

Konklusion:

Efter forsøgets udførsel og bearbejdelsen af denne rapport, har jeg fået et større indblik i

aerodynamikken og dens mysterier. Bl.a. hvilke faktorer der forringer/forbedrer et legemes

vindmodstand. Det er faktorer som: strømlinethed (heri er overfladens beskaffenhed inluderet) samt frontareal. Det er imidlertid vanskeligt at lave beregninger på et legemes brydning af lufthavet, da der dannes hvirvler bagved legemet og disse er svære, næsten umulige, at regne på. Desuden har jeg

                        1
                                       2
eftervist, at formlen:               ⋅⋅⋅⋅= vAcF gælder, samt at vindmodstanden og hastigheden i
                        2

LUFTWLUFT ρ anden tilnærmelsesvist er proportionelle størrelser, hvorfor de danner en ret linie gennem (0,0), hvis man indtegner dem på en graf. På samme måde eftervistes at effekten og hastigheden i tredje er proportionelle størrelser, hvorfor de ligeledes danner en ret linie gennem (0,0).