SOP: Dimensionering af Stålbjælker i Teknikfag og Fysik

Side 1

Studieretningsprojekt 2011

Dimensionering af stålbjælker

Jeppe A. Thomsen

Side 2

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 2 af 30

Opgaveformulering

Når en bygning projekteres, er der en række forhold, der gør sig gældende. Den skal kunne anvendes til det, den er beregnet til. I de fleste situation skal arkitekturen også være i orden. Bygningen skal være værd at se på, og den skulle gerne passe ind i omgivelserne. På et område er der ikke plads til kompromisser: bygnin-gen skal kunne holde til de påvirkninger, den udsættes for. Et vigtigt konstruktionselement er i denne for-bindelse bjælken.

Giv indledningsvis en uddybet forklaring af den centrale teori vedrørende kræfter og kraftmomenter, og forklar ligeledes de fysiske love, der bringes i anvendelse i forbindelse med reaktionsbestemmelse af sim-pelt understøttede bjælker. Inddrag i denne forbindelse især vektorregning.

Udarbejd en konstruktionstegning af en selvvalgt simpelt understøttet stålbjælke med udkraget ende.

Redegør for de belastninger, bjælken udsættes for. Lav derefter en belastnings- og beregningsfigur af bjæl-ken og forklar meningen med disse figurer.

Beregn reaktionerne og tegn og forklar tværkraftskurver (Q-kurver) og momentkurver (M-kurver).

Forklare begreberne inertimoment (arealkvadratisk arealmoment) og modstandsmoment samt forskelle på en dimensionering og en nedbøjningsundersøgelse.

Dimensioner bjælken og sikre dig, at den overholder forudsatte nedbøjningskriterier.

Opgavebesvarelse skal have et omfang på 10 – 15 sider, eksklusiv forside, indholdsfortegnelse, kildehenvis-ninger, bilag og evt. billeder.

Side 3

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 3 af 30

Abstract

This paper examines how to calculate the right dimensions for a 7 meter long simply supported steel beam, with a 2 meter overhang, supporting a balcony in a two storey building. In the beginning of this paper dif-ferent theories about forces will be examined, like gravitation and torque, but also how you can calculate forces using vectors. There will also be looked at how the weight on the beam is calculated into forces. The weight on the beam could be such as the floor, walls, furniture, people, but also snow on the balcony. The beam will be sketched with forces and calculated with different kinds of weight combinations using the rules for static equilibrium. When the biggest reactions are found, they will be used to determine the mo-ment of resistance and the area moment of inertia the beam needs to have, so that it doesn’t bend too much and collapse. Calculations will show that a steel beam with a HE140B profile can be used to support the weight in this building.

Side 4

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 4 af 30

Indholdsfortegnelse

Abstract ............................................................................................................................................................. 3 Indledning .......................................................................................................................................................... 5 Kræfter............................................................................................................................................................... 6 Kraftmoment ..................................................................................................................................................... 8 Statik .................................................................................................................................................................. 9 Inertimoment .................................................................................................................................................... 9 Modstandsmoment ......................................................................................................................................... 11 Dimensionering af bjælken .............................................................................................................................. 13 Last på bjælken ........................................................................................................................................... 13 Reaktionsbestemmelse ............................................................................................................................... 16 Dimensionering ........................................................................................................................................... 18 Nedbøjning .................................................................................................................................................. 19 Konklusion ....................................................................................................................................................... 20 Vurdering og perspektivering .......................................................................................................................... 20 Litteraturliste ................................................................................................................................................... 22 Bøger ........................................................................................................................................................... 22 Internet ....................................................................................................................................................... 22 Bilag 1. ............................................................................................................................................................. 23 Bilag 2. ............................................................................................................................................................. 24 Bilag 3. ............................................................................................................................................................. 25 Bilag 4. ............................................................................................................................................................. 26 Bilag 5 .............................................................................................................................................................. 27 Bilag 6 .............................................................................................................................................................. 28 Bilag 7 .............................................................................................................................................................. 29 Bilag 8 .............................................................................................................................................................. 30

Side 5

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 5 af 30

Indledning

Når en bjælke skal placeres i en konstruktion, skal den helst kunne ligge stille og klare de laster, den bliver udsat for. Det er derfor ikke lige meget, hvilken bjælke vi bruger. Der skal findes en passende bjælke, der kan klare lasten, men bare fordi bjælken kan klare lasten, er det ikke ensbetydende med, at det kommer til at se godt ud i konstruktionen. For som man nok kan forestille sig, vil bjælken begynde at bøje, og den må for alt i verden ikke knække.

I denne opgave vil der blive demonstreret fremgangsmåden i dimensioneringen af en bjælke med udkraget ende. Bjælken der skal dimensioneres kan ses på figur 1. Bjælken er en etagebjælke i stål, som er placeret i et 2 etagers hus, hvor den udkragede ende skal bruges til at bære en altan, langs siden af huset, men før vi kan gå i gang med dimensioneringen, bliver vi nødt til, at se på den centrale teori der gør sig gældende in-den for dimensionering.

Figur 1, bjælke til dimensionering, mål i mm.

Side 6

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 6 af 30 𝛼

A

Figur 2

Kræfter

Hvis vi har været nede og handle og skal have en bærepose med hjem, vil vi kunne mærke at den trækker i armen, når vi løfter den, dette skyldes jordens tiltrækningskraft. Denne tiltrækningskraft er også kendt som bæreposens tyngdekraft. Kommer vi ned i supermarkedet den næste dag og køber nogle tungere ting, vil vi også kunne mærke, at bæreposen trækker mere i armene på vejen hjem. Vi kan derfor sige følgende:

                                                                   1
”En kraft kan opfattes som en størrelse, der holder ligevægt med tyngdekraften.”

Hvis vi på vejen hjem bliver træt i armene og kommer til at tabe bæreposen, vil vi se, at den falder ned mod jorden. Dette skyldes tyngdekraften, som vil give posen en hastighedsændring. Vi kan derfor sige følgende:

                                                                     2
”En kraft kan opfattes som en størrelse, der giver et legeme en hastighedsændring.”

Denne hastighedsændring må fremkomme, fordi vi har med en acceleration at gøre. Den såkaldte tyngde-acceleration. Denne acceleration varier alt efter, hvor man befinder sig på jorden. Størrelsen på tyngdeac-celerationen afhænger bl.a. af, hvor langt væk vi er fra jordens centrum. I Danmark er tyngdeacceleratio-

nen sat til at være 9,82𝑚/𝑠𝑒𝑘^{2}. Hvis vi hænger et lod på 1 kg op i et newtonmeter, vil vi kunne aflæse, at
der bliver trukket med 9,82𝑁 (𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛), og tilsvarende med 2 kg vil vi kunne aflæse 2 ∗ 9,82=19,64𝑁. Vi

kan altså se, at massen og tyngdekraftens størrelse er proportionale, hvilket må betyde, at tyngdeaccelera-

tionen er en proportionalkonstant, som får enheden newton pr. kg. Altså 9,82𝑁/𝑘𝑔.^{3} Dette kan vi skrive på

følgende måde:

𝑇𝑦𝑛𝑔𝑑𝑒𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑠𝑡ø𝑟𝑟𝑒𝑙𝑠𝑒 𝑖 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛=𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑖 𝑘𝑔∗9,82𝑁/𝑘𝑔
Eller 𝐹 =𝑚∗ 𝑔

𝑡

Når vi arbejder med kræfter i konstruktioner, hvor der indgår bjælker, bliver kræfterne tit meget store. Det kan derfor være en fordel at skrive kiloNewton (kN) eller MegaNewton (MN). Som omregnes til Newton på følgende måde:

1𝑘𝑁=10^{3} 𝑁=1000𝑁
1𝑀𝑁=10 𝑁=1000000𝑁

6

Kræfter optræder ikke kun i form af tyngdekraften, kræfter kan nemlig også virke i mange andre retninger end lige lodret nedad. Vi bliver derfor nødt til at tage højde for tre ting, nemlig kraftens størrelse, kraftens retning og kraftens angrebspunkt. For at vise en kraft afbilder vi den i form af en pil. Pilens længde er da kraftens størrelse, punktet A viser kraftens angrebspunkt og pilens spids viser retningen, som kan være til en speciel vinkel 𝛼. I matematikken kaldes sådan en pil for en vek-tor, se figur 2.

1

Kilde 1 Side 10.

2

Kilde 1 Side 10.

3

Kilde 2 Side 19.

Side 7

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 7 af 30

35°

𝐹 =5𝑁
𝑉 =2,87𝑁

𝐻 =4,1𝑁

Figur 3

F_{1}

F_{2}

R

Figur 4

Måden vi beskriver en vektor på, er ved hjælp af vektorkoordinater i form af et x-koordiant og et y-

                                                             4
koordinat. For at finde disse deler man vektoren op i såkaldte komposanter.

Et eksempel på dette kan ses på figur 3 til højre, hvor vi har en kraft F på 5𝑁. Denne kraft kan deles op i en vertikal (lodret) og en horisontal (vandret) komposant på henholdsvis 2,87𝑁 og

4,1𝑁. Måden vi finder ud af dette på, er ved at se, at kraften danner en retvinklet trekant med sine to komposanter. Vi kan da ved hjælp af trigonometri finde disse komposanters størrelse.

Først finder vi den vandrette komposant:

cos ( 35°) = ⟹𝐻=cos ( 35°) ∗ 5𝑁=4,1𝑁

𝐻

5𝑁

Herefter den lodrette komposant:

sin ( 35°) = ⟹𝑉 =sin ( 35°) ∗ 5𝑁=2,87𝑁

𝑉

5𝑁

Vi har da vektorkoordinater, som kan skrives således:

𝐹 =()=()

⃗ 𝑥 𝑦

4,1

2,87

Hvis vi havde fået opgivet disse vektorkoordinater fra start, vil det være muligt at udregne størrelsen på F

                    5
ved hjælp af pythagoras:

| 𝐹 | = √ 𝑥^{2} + 𝑦^{2} ⟹ | 𝐹 | = √ 4,1^{2} + 2,87^{2} =5

⃗ ⃗

Kendte vi også vinkelen, kunne vi også have valgt at bruge trigonometri og så se F som hypotenusen i tre-kanten.

Der findes en lov for 2 vektorer, der angriber i samme punkt, som lyder:

”To kræfter, der angriber i samme punkt på et legeme, kan sammensættes og erstattes af en kraft R, som

                   6
du kalder resultanten.”

Dette hænger også sammen med udregningerne fra før, hvor H og V angriber i samme punkt og danner en resultant. H og V ville da også have været vektorer i sig selv blot med koordinaterne:

𝐻 =() 𝑜𝑔 𝑉 =()

⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⃗

4,1 0

0 2,87

Det betyder dog ikke nødvendigvis, at disse 2 kræfter skal angribe lodret og vandret. Loven gælder også hvis kræfterne angriber i hvilken som helst retning, som kan ses på figur 4.

4

Kilde 5 side 216.

5

Kilde 5 side 216.

6

Kilde 1 side 17.

Side 8

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 8 af 30

Måden vi så ville finde den resulterende kraft på er ved at lægge x-koordinaterne og y-koordinaterne sam-

men hver for sig. Eksempelvis hvis vi giver F og F følgende koordinater:
                                   1    2

𝐹_{1} =() 𝑜𝑔 𝐹_{2} =()

⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

3

−0,5

1,5

2

Vi kan da finde den resulterende krafts vektorkoordinater således:

𝑅 =𝐹_{1} + 𝐹_{2} =()=()

⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

3 + 1,5 4,5
−0,5 + 2 1,5

Kraftmoment

Hvis et legeme påvirkes af to lige store modsatrettede kræfter fra den samme virkelinje, vil vi kunne sige, at kræfterne holder legemet i hvile eller i ligevægt, eller som vi også kan sige, summen af alle kræfter er lig med 0. Dette fremgår af Figur 5 figur 5.

Hvis kræfterne ikke ligger i forlængelse af hinanden, så vil legemet ikke være i hvile, selvom summen af alle kræfterne er lig med 0. Kræfterne danner da et

såkaldt kraftpar, som vil få legemet til at roterer. Denne påvirkning af legemet_{Figur 6}

kalder vi for et moment og som symbol bruges M.^{7} Se figur 6.

Det er dog ikke kun to kræfter, som påvirker hver sin vej, der kan skabe et moment. Et moment optræder også, hvis vi har en enkelt kraft, der påvirker et legeme, hvor der kan skabes en form for rotation. Et eksem-pel på dette kan være svensknøglen på figur 7, der skal spænde møtrik-

ken. Momentets størrelse afhænger af størrelsen på kraften og den http://www.hjaelpemidler.esb

                                                                    jergkommu-
                                                                         8
vinkelrette afstand fra kraften til omdrejningspunktet. Dette kan udtrykkes som følgende:

↻𝑀=𝐹∗ 𝑎 (𝑁 ∗ 𝑚=𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟)

Pilen til venstre for M viser hvilken vej, der er den positive omdrejningsretning. I dette tilfælde viser pilen, at momentet skal regnes positivt, når det får svensknøglen til at dreje med uret. Vælger vi at regne positivt mod uret, vendes pilen om ↺. Det punkt som legemet drejer om, kan vi opgive ved at skrive det som et indeks til M. F.eks. hvis vi har et punkt A, skrives det således.

↻𝑀_{𝐴} =𝐹∗ 𝑎

7

Kilde 3 side 19.

8

Kilde 1 side 41.

F a

Figur 7, redigeret billede.

ne.dk/Hj%C3%A6lpemiddelcen
tralen/Specialfremstilling.aspx

F

F

F

F

Side 9

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 9 af 30

Uanset hvilket punkt vi vælger at tage moment om, vil vi altid få det samme resul-tat. Tager vi udgangspunkt i figur 6 fra før og indsætter punkterne A, B og C, og

                                              9
afstandene a og b, kan vi se dette ved følgende ligninger.

↻𝑀_{𝐴} =𝐹_{2} ∗ ( 𝑎+ 𝑏) − 𝐹_{1} ∗ 𝑏
↻𝑀_{𝐴} =𝐹_{2} ∗ 𝑎 + 𝐹_{2} ∗ 𝑏 − 𝐹_{1} ∗ 𝑏
Idet 𝐹_{1} 𝑜𝑔 𝐹_{2} er lige store, kan vi skrive følgende:
↻𝑀_{𝐴} =𝐹_{2} ∗ 𝑎
↻𝑀_{𝐶} =𝐹_{1} ∗ 𝑎
↻𝑀_{𝐵} =𝐹_{2} ∗ 𝑎
↻𝑀_{𝐴} =↻𝑀_{𝐵} =↻𝑀_{𝐶} =𝐹∗ 𝑎

Statik

                                                                    10
Statik er et ord, der kommer fra det græske statikos, som betyder ”bragt i stilstand”

. Statik vil derfor sige, at vi regner på legemer i ligevægt, altså legemer, som står stille og som ikke drejer. Et eksempel på dette har vi allerede set på figur 5, hvor summen af kræfterne var lig med 0.

Vi kan derfor opstille følgende ligevægtsbetingelse:

∑ 𝐹=0 som betyder, at summen af alle de kræfter der påvirker et legeme skal være lig med 0, før at le-
gemet vil være i ligevægt.^{11}

Vi fandt før ud af, at kræfter kan deles op i komposanter, vi kan derfor også bruge disse to ligevægtsbetin-gelser, som vil dække det samme.

∑ 𝐻=0 𝑜𝑔 ∑ 𝑉=0 som betyder, at summen af alle de horisontale og vertikale kræfter skal være lig med
0, før at legemet vil være i ligevægt.^{12}

Som sagt måtte legemet heller ikke dreje, og her af får vi vores sidste ligevægtsbetingelse:

∑ 𝑀=0 som betyder, at summen af alle de momenter der påvirker et legeme skal være lig med 0, før at

                    13
leget vil være i ligevægt.

Inertimoment

Når vi snakker inertimoment for bjælker, er det ikke det samme, som vi stødte på i fysiktimerne. I fysikti-merne fandt vi et inertimoment ved hjælp af en masse ganget med en afstand i anden potens, dette kaldes også et kvadratisk massemoment. For en bjælke er det derimod tværsnitsarealet, som er interessant, da

9

Kilde 3 Side 21.

10

Kilde 10

11

Kilde 1 side 55.

12

Kilde 1 side 77.

13

Kilde 1 side 55.

×

a b

F_{2}

F_{1}

Figur 8

×

×

C

B

A

Side 10

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 10 af 30

-4 0 profilet. Ser vi på figur 9, har vi et rektangel med læng- 4

T 3

-8

8

•

afstand x, fra det faktiske tyngdepunkt T. Inertimo-_{Figur 9}

                                                14
dette bliver brugt til at finde et kvadratisk arealmoment.

Så når vi for bjælker snakker om et inertimo-ment, menes der i virkeligheden et kvadratisk arealmoment, det har dog stadig bogstavet I som betegnelse.

                                                                         15
En bjælkes inertimoment er et mål for bjælkens tværsnits evne til at modstå nedbøjning, jo større inerti-

momentet er, jo stivere vil bjælken være og jo mindre vil den bøje. De fleste inertimomenter for profiler, som anvendes til bjælker, er udregnet og kan slås op i tabeller som f.eks. tabellen i bilag 1. Man kan dog komme ud for, at disse profiler ikke kan bruges, og man skal derfor selv være i stand til at opbygge og ud-regne inertimomentet for et nyt profil. Et inertimoment udregnes ved følgende formel:

𝐼=∑𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙∗ 𝑎𝑓𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑^{2} =∑𝐴 ∗ 𝑥^{2}

Hvor afstanden x er afstanden til tyngdepunktet på den 16 og højden 3. Hvis vi deler det op i to halvdele, får vi to nye rektangler, med to nye arealer og tyngde-punkter som virker ved pilene, som er placeret i en ment igennem den lodrette akse ved tyngdepunktet T kan derved udregnes til følgende.

𝐼=∑𝐴 ∗ 𝑥^{2} =8 ∗ 3 ∗ ( −4)^{2} + 8 ∗ 3 ∗ 4^{2} =768

Deler vi derimod figuren op i otte dele, kommer det til at se ud som figur 10, og inertimomentet om den lod-rette akse gennem tyngdepunktet bliver udregnet til.

𝐼=∑𝐴 ∗ 𝑥^{2} =2 ∗ 3 ∗ ( −7)^{2} + 2 ∗ 3 ∗ ( −5)^{2} + 2 ∗ 3 ∗_{Figur 10}
( −3)^{2} + 2 ∗ 3 ∗ ( −1)^{2} + 2 ∗ 3 ∗ 1^{2} + 2 ∗ 3 ∗ 3^{2} + 2 ∗
3 ∗ 5^{2} + 2 ∗ 3 ∗ 7^{2} =1008

Det ses da, at jo flere arealer vi deler figuren op i, jo større og tættere kommer vi på det præcise inerti-moment. Vi kan derfor bruge integration til at opde-le rektanglet i uendelig mange stykker og får da føl- x

gende bestemte integrale på baggrund af figur 11.^{16}

𝐼=∫ 𝑥^{2} 𝑑𝐴

8

−8

14

Kilde 3 side 74.

15

Kilde 6 side 88.

16

Kilde 3 side 75.

-7 -5 -3 -1 1 3 5 7

0

3

•

T

2

8 dA

•T

-8

3 dx

Figur 11

0

Side 11

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 11 af 30

0 dy

vandrette tyngdeakse. h/2

𝐼_{0} =∫𝑦^{2} 𝑑𝐴=∫ 𝑏∗ 𝑦^{2}_{ℎ} ∗ 𝑑𝑦 h/2

dA

𝐼_{0} = ∗ 𝑏 ∗ ℎ^{3} ( 𝑚𝑚 ∗ 𝑚𝑚^{3} =𝑚𝑚) b

y

Figur 12 h

0 0 y

Figur 13

Da vi ved, at højden af rektangelet er 3, må 𝑑𝐴 være lig med 3 ∗ 𝑑𝑥, og vi kan da omskrive integralet til følgende og løse det.

𝐼=3 ∗ ∫ 𝑥^{2} 𝑑𝑥 =3 ∗ [ ∗ 𝑥^{3}]

8

−8

1

3

−8

8

Indsætter vi de to grænser, får vi følgende inertimoment.

𝐼=3 ∗ ( ∗ 8^{3} − ∗ ( −8)^{3})=1024

1 1

3 3

Prøver vi i stedet at vende rektanglet på højkant, som figur 12, og indsætter nogle bogstaver i stedet for tal, så vil vi kunne finde en formel for inertimomen-

                                                       17
tet gennem tyngdepunktets vandrette akse ved hjælp af integration.

2 ℎ

−

2

𝐼_{0} =𝑏∗ ∫ 𝑦^{2^{ℎ}}_{ℎ}^{2} 𝑑𝑦 =𝑏∗ [ ∗ 𝑦^{3}]^{2}_{ℎ}

−

2

1

3

−

2 ℎ

Indsætter vi nu de to grænser, får vi følgende formel for inertimomentet om den

𝐼_{0} =𝑏∗ ∗ ( () − (−)) = ∗ 𝑏∗ ∗ ℎ^{3}

1 ℎ^{3} ℎ^{3} 1 1

3 2 2 3 4

1

12

4

Målene på b og h angives i mm, og derudfra kan vi også se, at enheden for et inertimoment bliver mm^{4}.^{18} Vi

skal dog være opmærksomme på, at h er målet vinkelret på aksen, uanset hvordan aksen vender, og også selvom at h er mindre end b. Afprøver vi formlen på figur 11, må højden være 16 og bredden 3, får vi føl-gende.

𝐼_{0} = ∗ 3𝑚𝑚 ∗ 16𝑚𝑚^{3} =1024𝑚𝑚

1

12

4

Modstandsmoment

Et modstandsmoment er et udtryk for tværsnittets styrke, altså dets bæreev-

ne.^{19} For at finde et tværsnits modstandsmoment tager man inertimomentet

igennem tyngdeaksen og deler med afstanden til det fjerneste punkt, målt vin-

17

Kilde 3 side 77.

18

Kilde 1 side 192.

19

Kilde 3 side 85.

Side 12

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 12 af 30 b h 0

Hvis man har to ens belastede bjælker, med lige store modstandsmomenter, vil de Figur 14

                   20
kelret fra tyngdeaksen. Ser vi på figur 13, som forestiller et T profil, må den længste afstand til tyngdeak-

sen være afstanden y. Modstandsmomentet som betegnes W kan derved udregnes som:

𝑊=

𝐼_{0}

𝑦

Ser vi igen på et rektangel som det på figur 14, kan vi udlede en formel til at finde et modstandsmoment. Vi udledte før formlen for et inertimoment igennem tyngdeak-sen, og vi kan se på figuren, at den længste afstand må være en halv højde.

𝑊= = ∗ 𝑏∗ ℎ^{3} ∗ ℎ^{−1} ∗ 2

1

12

∗ 𝑏 ∗ ℎ^{3}

ℎ

2

1

12

𝑊= ∗ 𝑏 ∗ ℎ^{2} ( 𝑚𝑚 ∗ 𝑚𝑚^{2} =𝑚𝑚)

1

6

3 have samme styrke, og vil derfor kunne bære samme last uden at knække. Men selvom bjælkerne kan bære samme last, kommer det måske ikke altid til at se godt ud, fordi bjælken begynder at bøje. Når vi skal dimensionere, er det derfor ikke kun styrken i bjæl-ken, vi skal tage højde for, men også nedbøjningen og derved inertimomentet. Et eksem-

pel på dette kunne være, hvis vi har en kvadratisk bjælke med et tværsnit på 100*100mm^{Figur 15}
(figur 15) og en bjælke med et rektangulært tværsnit på 142*50mm (figur 16). Deres mod-

standsmomenter bliver nogenlunde lige store.

𝑊_{𝑘𝑣𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑠𝑘} = ∗ 𝑏∗ ℎ^{2} = ∗ 100𝑚𝑚 ∗ 100𝑚𝑚^{2} =167 ∗ 10^{3} 𝑚𝑚^{3}

1 1

6 6

𝑊_{𝑟𝑒𝑘𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙æ𝑟} = ∗ 𝑏∗ ℎ^{2} = ∗ 50𝑚𝑚 ∗ 142𝑚𝑚^{2} =168 ∗ 10^{3} 𝑚𝑚^{3}

1 1

6 6

Regner vi derimod deres inertimomenter ud, får vi følgende.

𝐼_{𝑘𝑣𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑠𝑘} = ∗ 𝑏 ∗ ℎ^{3} = ∗ 100𝑚𝑚 ∗ 100𝑚𝑚^{3} =8,33 ∗ 10^{6} 𝑚𝑚^{4}

1 1

12 12

𝐼_{𝑟𝑒𝑘𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙æ𝑟} = ∗ 𝑏 ∗ ℎ^{3} = ∗ 50𝑚𝑚 ∗ 142𝑚𝑚^{3} =11,9 ∗ 10^{6} 𝑚𝑚^{4}

1 1

12 12

Det ses da, at det rektangulære profil får det største inertimomentet, bjælken med dette profil vil derfor også være mere stiv og bøje mindre. Prøver vi også at regne tværsnitsarealet ud på bjælkerne, kan vi se, at vi kan sparre på det materiale, bjælken er lavet af, ved at vælge det rektangulære tværsnit.

𝐴_{𝑘𝑣𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑠𝑘} =𝑏∗ ℎ=100𝑚𝑚 ∗ 100𝑚𝑚=10000𝑚𝑚

2

𝐴_{𝑟𝑒𝑘𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙æ𝑟} =𝑏∗ ℎ=50𝑚𝑚 ∗ 142𝑚𝑚=7100𝑚𝑚

2

20

Kilde 3 side 84.

100

100

50

142

Figur 16

Side 13

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 13 af 30

Dimensionering af bjælken

Det er nu blevet tid til at dimensionere bjælken som var vist i indledningen til denne opgave.

Bjælken skulle som sagt bære en eta-ge, og den udkra-gede ende skulle bruges til en altan langs siden af huset. Bjælken der skal dimensioneres er af et HE…B profil lavet af konstruktionsstål S235, men før vi kan gå i gang med dette, bliver vi først nødt til at finde ud af, hvordan denne bjælke er belastet.

Last på bjælken

Første og fremmest vil en bjælke være belastet med en såkaldt egen-last, som vil være der permanent, hvilket vil være last fra selve eta-geadskillelsen og bjælken selv. Til etageadskillelsens last bruger vi

                21
eksemplet til højre. Det ses da, at lasten er opgivet med en enhed

som er kilonewton pr. kvadratmeter. Denne enhed viser, at det er en areallast. For at vi kan regne videre, er det vigtigt, at vi får den om-regnet til en linjelast med enheden kilonewton pr. meter. For at vi kan gøre det, bliver vi nødt til at finde ud af, hvad bjælkens belastningsbredde er. En bjælkes belastningsbredde er illustre-ret ved figur 18. Som det kan ses er dette en afstand fra midt til midt, imellem de bjælker der befinder sig i konstruktionen. I denne konstruktion vælger vi, at belastningsbredden skal være på 0,9m, hvilket vil gøre at vi får mange bjælker, men de vil derimod også få et mindre tværsnit, hvilket er ok, da det vil se dumt ud med nogle alt for store bjælker til at holde altanen.

21

Kilde 11 Word dokumentet side 8.

Etageadskillelse

Lette skillevægge 0,50kN/m^{2}
Gulvopbygning 0,20kN/m^{2}
Installationer 0,20kN/m^{2}
Dækelementer 3,30kN/m^{2}
Loftsbeklædning 0,20kN/m^{2}
I alt 4,40 kN/m^{2}

Figur 17, bjælke til dimensionering, mål i mm.

Figur 18, kilde 1 side 230.

Side 14

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 14 af 30

Måden vi nu får omregnet areallasten til en linjelast er ved at gange lastens størrelse med belastningsbred-

den.^{22}
𝐸𝑡𝑎𝑔𝑒𝑎𝑑𝑠𝑘𝑖𝑙𝑙𝑒𝑙𝑠𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑗𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡=4,40𝑘𝑁/𝑚^{2} ∗ 0,9𝑚=3,96𝑘𝑁/𝑚

Bjælken i sig selv belaster også på grund af dens vægt. Skønner vi, at vi vil komme til at bruge en HE200B, så kan vi aflæse på tabellen i bilag 1, at denne bjælkes vægt ligger på 61,3 𝑘𝑔/𝑚. Ganger vi dette tal med

                                                                              −3
tyngdeaccelerationen, får vi bjælkens belastning i newton pr. meter, og ganges dette tal med 10 kan vi få

det omregnet til kiloNewton.

𝐹_{𝑡,𝑏𝑗æ𝑙𝑘𝑒} =61,3𝑘𝑔/𝑚 ∗ 9,82𝑁/𝑘𝑔 ∗ 10^{−3} =0,6𝑘𝑁/𝑚
Sammenlagt får vi altså en egenlast på bjælken, som vi kalder 𝑔_{𝑘}, der lyder på
𝑔_{𝑘} =3,96𝑘𝑁/𝑚 + 0,6𝑘𝑁/𝑚=4,56𝑘𝑁/𝑚

Udover egenlasten vil bjælken også være belastet af en nyttelast, som er en variabel last, altså en last som ikke er der hele tiden. Dette kunne f.eks. være mennesker og møbler. De nyttelaster man regner med, er

opgivet i DS/EN 1991, som er Danmarks konstruktionsnorm for last på bærende konstruktioner, en tabel
over disse kan ses på bilag 2. Der ud af ser vi, at nyttelasten på en bolig sættes til 𝑞_{𝑘,𝑏𝑜𝑙𝑖𝑔} =1,5𝑘𝑁/𝑚^{2} og
for en altan 𝑞_{𝑘,𝑎𝑙𝑡𝑎𝑛} =2,5𝑘𝑁/𝑚^{2}. Disse skal nu igen omregnes til en linjelast.
𝑞_{𝑘,𝑏𝑜𝑙𝑖𝑔} =1,5𝑘𝑁/𝑚^{2} ∗ 0,9𝑚=1,35𝑘𝑁/𝑚
𝑞_{𝑘,𝑎𝑙𝑡𝑎𝑛} =2,5𝑘𝑁/𝑚^{2} ∗ 0,9𝑚=2,25𝑘𝑁/𝑚

Den sidste last, som bjælken kan blive påvirket af, vil være last fra sne ude på altanen. Snelasten er også en

variabel last, som kan bestemmes ved følgende formel.^{23}
𝑠=𝜇_{𝑖} ∗ 𝐶_{𝑒} ∗ 𝐶_{𝑡} ∗ 𝑠_{𝑘}
𝜇_{𝑖} er en formfaktor for sne, som afhænger af, hvilken hældning der er på det sted, hvor sneen vil være, som

jo oftest er på taget. I dette tilfælde hvor det er på en altan, vil der ikke være nogen hældning, altså 0°.

Dette medfører, at vi sætter 𝜇_{𝑖} til 0,8. tabellen hvor af vi kan finde formfaktoren på baggrund af hældnin-
gen, kan ses i bilag 3. 𝐶_{𝑒} er en eksponeringsfaktor, som bestemmes ud fra konstruktionens eksponering for
vind, altanen vil ikke være afskærmet på nogen måde, så i dette tilfælde sættes 𝐶_{𝑒} til 1,0.^{24} 𝐶_{𝑡} er en termisk

faktor, som er afhængig af varmeisolering, igen i dette tilfælde sættes den til 1,0 da der ikke rigtig er noget

varmetab fra konstruktionen, som kan være med til at få sneen til at forsvinde.^{25} 𝑠_{𝑘} er den karakteristiske
terrænværdi for snelast. I Danmark er denne last blevet bestemt til at være 0,9𝑘𝑁/𝑚^{2} på baggrund af må-

22

Kilde 1 side 230.

23

Kilde 7 side 168.

24

Kilde 8 side 65.

25

Kilde 8 side 65.

Side 15

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 15 af 30

                                   26
linger fra Danmark Meteorologiske Institut.

Vi har nu alt, hvad vi skal bruge til at bestemme snelasten på altanen, og vi husker at gange belastningsbredden på med det samme.

𝑠=0,8 ∗ 1,0 ∗ 1,0 ∗ 0,9𝑘𝑁/𝑚^{2} ∗ 0,9𝑚=0,65𝑘𝑁/𝑚

Vi kan dog ikke begynde at regne med disse laster endnu, for der er en ting mere, vi skal tage højde for, nemlig lastkombinationer.

Ser vi på figur 19 til højre, kan vi se, hvordan lasten kan blive fordelt i 3 tilfælde, læg mærke til at de har fået et indeks ’d’, som betyder

                                             27
regningsmæssig, hvor det før var ’k’ for karakteristisk. Det er nu

disse laster, vi skal til at regne ud, hvor de virker på samme tid. I

første tilfælde har vi 𝑔_{𝑑}, hvor egenlasten er dominerende, denne
udregnes som^{28} 𝑔_{𝑑} =1,2 ∗ 𝐾_{𝐹𝐼} ∗ 𝑔_{𝑘}. Vi mangler her en værdi for
𝐾_{𝐹𝐼}, som bestemmes ud fra, hvilken konsekvensklasse konstruktio-

nen ligger i. Dette kan være enten lav, middel eller høj konsekvensklasse. Det afhænger bl.a. af, hvor mange mennesker der kommer til at befinde sig i bygningen, hvor f.eks. en lager bygning vil være lav konsekvens-klasse, og et stadion ville være høj konsekvensklasse. Almindelige beboelses ejendomme vil befinde sig i

                                        29
middel konsekvensklasse, hvor 𝐾 sættes til 1,0. Vi får da 𝑔 til at være.
                           𝐹𝐼                     𝑑

𝑔_{𝑑} =1,2 ∗ 1,0 ∗ 4,56𝑘𝑁/𝑚=5,47𝑘𝑁/𝑚

I andet tilfælde har vi en last 𝑠
                        𝑑

, som vil være egenlast, snelast og nyttelast. Men da vi har to variable laster, nemlig snelast og nyttelast samtidig, bliver vi nødt til at se, hvilken en der giver den største regningsmæssig belastning, når den er dominerende. Hvis vi regner nyttelast som dominerende, regnes det på følgende

måde.^{30}
𝑠_{𝑑,𝑛𝑦𝑡.𝑑𝑜𝑚.} =1,0 ∗ 𝐾_{𝐹𝐼} ∗ 𝑔_{𝑘} + 1,5 ∗ 𝛼_{𝑛} ∗ 𝐾_{𝐹𝐼} ∗ 𝑞_{𝑘,𝑎𝑙𝑡𝑎𝑛} + 1,5 ∗ 0,3 ∗ 𝐾_{𝐹𝐼} ∗ 𝑠

                                                                  31
Vi mangler da at finde en værdi for 𝛼 . 𝛼 udregnes ved hjælp af følgende formel:
                              𝑛  𝑛

𝛼_{𝑛} =

1 + ( 𝑛 − 1) ∗ 𝜓_{0}

𝑛

𝜓_{0} er en formfaktor som bestemmes på baggrund af, hvilken nyttelast vi har, i vores tilfælde er det en last

til boligformål, så i tabellen i bilag 4 kan vi se, at den skal sættes til 0,5. ’n’ er antallet af etager over den

belastede bjælke, i dette tilfælde vil den være 1. vi kan da udregne 𝛼_{𝑛} og dernæst 𝑠_{𝑑} med nyttelast domi-

nerende.

26

Kilde 8 side 64.

27

Kilde 4 side 40.

28

Kilde 7 side 165.

29

Kilde 8 side 52.

30

Kilde 7 side 165.

31

Kilde 7 side 165.

Figur 19, belastningsfigurer.

Side 16

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 16 af 30

𝛼_{𝑛} = =1,0

1 + ( 1 − 1) ∗ 0,5

1

𝑠_{𝑑,𝑛𝑦𝑡.𝑑𝑜𝑚.} =1,0 ∗ 1,0 ∗ 4,56 + 1,5 ∗ 1,0 ∗ 1,0 ∗ 2,25𝑘𝑁/𝑚 + 1,5 ∗ 0,3 ∗ 1,0 ∗ 0,65𝑘𝑁/𝑚
𝑠_{𝑑,𝑛𝑦𝑡.𝑑𝑜𝑚.} =8,23𝑘𝑁/𝑚
Lader vi derimod snelast være dominerende skal det regnes på følgende måde.^{32}
𝑠_{𝑑,𝑠𝑛𝑒.𝑑𝑜𝑚.} =1,0 ∗ 𝐾_{𝐹𝐼} ∗ 𝑔_{𝑘} + 1,5 ∗ 𝜓_{0} ∗ 𝐾_{𝐹𝐼} ∗ 𝑞_{𝑘,𝑎𝑙𝑡𝑎𝑛} + 1,5 ∗ 𝐾_{𝐹𝐼} ∗ 𝑠
𝑠_{𝑑,𝑠𝑛𝑒.𝑑𝑜𝑚.} =1,0 ∗ 1,0 ∗ 4,56 + 1,5 ∗ 0,5∗ 1,0 ∗ 2,25 + 1,5 ∗ 1,0 ∗ 0,65
𝑠_{𝑑,𝑠𝑛𝑒.𝑑𝑜𝑚.} =7,22𝑘𝑁/𝑚

Det ses da, at den største last forekommer ved nyttelast som dominerende, og vi regner da med

𝑠_{𝑑} =8,23𝑘𝑁/𝑚.
I tredje og sidste tilfælde har vi kun egenlast og nyttelast, her regner man 𝑞_{𝑑} ud på samme måde, som vi

gjorde før med nyttelast dominerende, bare uden snelast samtidig.

𝑞_{𝑑} =1,0 ∗ 𝐾_{𝐹𝐼} ∗ 𝑔_{𝑘} + 1,5 ∗ 𝛼_{𝑛} ∗ 𝑞_{𝑘,𝑏𝑜𝑙𝑖𝑔}
𝑞_{𝑑} =1,0 ∗ 1,0 ∗ 4,56 + 1,5 ∗ 1,0 ∗ 1,35
𝑞_{𝑑} =6,59𝑘𝑁/𝑚

Reaktionsbestemmelse

Vi kan nu begynde at regne på konstruktionen. Jeg vil tage udgangs-punkt i lastkombination 3. Til højre på figur 20 ses en beregningsfigur for denne lastkombination. Meningen med sådan en beregningsfigur er simpelthen, at få et overblik over hvilke kræfter bjælken bliver udsat

for, og hvor de helt præcist angriber. 𝑔_{𝑑} og 𝑞_{𝑑} er som sagt linjelaster,

der fordeler sig ud over bjælken, og ville enlig være en masse kræfter, der reagere lodret ned, men for at vi kan regne på dem, bliver vi nødt til at omsætte dem til en enkelt kraft, som angriber bjælken ud fra midten af belastningen. Dette gør vi ved at gange belastningernes stør-relse med længden af det område, som lasten påvirker bjælken. Kræfterne er da symboliseret på bereg-

                                    33
ningsfiguren ved hjælp af de ”krøllede” pile. V og V er de kræfter, som væggene skal understøtte bjæl-
                                       A    B

ken med, og det er disse, vi kan finde ved hjælp af statikkens ligevægtsbetingelser. Vi regner først 𝑔 og 𝑞
                                                                                 𝑑    𝑑

kræfterne ud.

𝑔_{𝑑} =5,57𝑘𝑁/𝑚 ∗ 2𝑚=11,14𝑘𝑁
𝑞_{𝑑} =6,59𝑘𝑁/𝑚∗ 7𝑚=46,13𝑘𝑁

32

Kilde 7 side 165.

33

Kilde 1 side 71.

Figur 20, beregningsfigur.

Side 17

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 17 af 30

Bruger vi nu ligevægtsloven ∑ 𝑀=0 og regner positivt med uret i punktet A (der hvor V_{A} understøtter), vil
vi kunne få en ligning med en ubekendt, da V_{A} ikke bliver regnet med, fordi afstanden til punktet vi drejer

om vil være 0m. Ser vi på kræfterne vi møder fra venstre til højre, får vi følgende.

↻ ∑ 𝑀_{𝐴} =0: − 𝑔_{𝑑} ∗ 1𝑚 + 𝑞_{𝑑} ∗ 3,5𝑚 − 𝑉_{𝐵} ∗ 7𝑚=0
↻ ∑ 𝑀_{𝐴} =0: − 11,14𝑘𝑁 ∗ 1𝑚 + 46,13𝑘𝑁∗ 3,5𝑚 − 𝑉_{𝐵} ∗ 7𝑚=0
𝑉_{𝐵} =21,47𝑘𝑁
Vi kan nu bruge ligevægtsloven omkring de vertikale kræfter ∑ 𝑉=0 til at finde V_{A}. Først bestemmer vi, at
vi vil regne op af som positiv og viser dette ved at tegne en lodret pil ved siden af ∑ tegnet.
↑ ∑ 𝑉=0: − 𝑔_{𝑑} + 𝑉_{𝐴} − 𝑞_{𝑑} + 𝑉_{𝐵} =0
↑ ∑ 𝑉=0: − 11,14𝑘𝑁 + 𝑉_{𝐴} − 46,13𝑘𝑁+ 21,47𝑘𝑁=0
𝑉_{𝐴} =35,8𝑘𝑁

                                                                            34
Vi kan nu kontrollere disse beregninger grafisk ved hjælp af en tværkraftskurve (Q-kurve). En Q-kurve

tegnes ved, at vi ser på de kræfter, som vi møder i konstruktionen fra venstre mod højre. Når vi har laster, som fordeler sig ud over bjælken, tegner vi disse som en faldende linje, fordi vi regner positivt op af, og lasten vil virke ned af hele vejen. Udregninger for Q-kurven kan se ud som følgende.

𝑄_{2𝑚} =−5,57𝑘𝑁/𝑚∗ 2𝑚=−11,14𝑘𝑁
𝑄_{𝐴} =−11,14𝑘𝑁 + 35,8𝑘𝑁=24,66𝑘𝑁
𝑄_{9𝑚} =24,66𝑘𝑁 − 6,59𝑘𝑁/𝑚 ∗ 7𝑚=−21,47𝑘𝑁
𝑄_{𝐵} =−21,47𝑘𝑁+ 21,47𝑘𝑁=0𝑘𝑁

Vi skal nu også have undersøgt for bøjningsmomenter, som er momenter, der virker inde i bjælken. Bjælken skal kunne modstå disse momenter, når vi skal dimensionere den. Måden vi kan regne disse momenter ud, er ved hjælp af simpel areal regning, for det viser sig, at det sammenlagte areal der er under Q-kurven, til ven-

stre for det punkt vi ønsker at få momentet udregnet i, er lig med hinanden.^{35} Ser vi på figur 21, har vi en

masse trekanter, og det skulle da være muligt at udregne disses arealer. Måden vi tegner M-kurven op på, kan ses i bilag 5, det afhænger nemlig af, hvordan Q-kurven ser ud, og om den er positiv eller negativ. Det før-ste moment vi kan udregne er i punktet A. Arealet udreg-nes som en trekant (0,5 ∗ ℎ ∗ 𝑔)

𝑀_{𝐴} =0,5 ∗ −11,14𝑘𝑁 ∗ 2𝑚=−11,14𝑘𝑁𝑚

Næste punkt på kurven er lidt mere tricky, idet vi skal

34

Kilde 1 side 99.

35

Kilde 3 side 42.

Figur 21, Q-kurve.

Figur 22, M-kurve.

Side 18

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 18 af 30 finde ud af, hvor Q-kurven skærer 0-linjen, men da vi kender lasten, som fordeler sig over x antal meter, kan vi regne afstanden ud som følgende.

6,59𝑘𝑁/𝑚∗ 𝑥=24,66𝑘𝑁⟹𝑥 = =3,74𝑚

24,66𝑘𝑁

6,59𝑘𝑁/𝑚

Momentet i x kan nu udregnes og dernæst i B.

𝑀_{𝑥} =−11,14𝑘𝑁𝑚 + 0,5 ∗ 24,66𝑘𝑁∗ 3,74𝑚=34,97𝑘𝑁𝑚
𝑀_{𝐵} =34,97 − 0,5 ∗ 21,47 ∗ ( 7𝑚 − 3,74𝑚) =0𝑘𝑁𝑚

Reaktionsbestemmelser for de to andre lastkombinationer kan ses i bilag 6 og 7.

Dimensionering

                                                                                36
Når vi har en konstruktion, der er påvirket så den kan bøje, skal følgende styrkebetingelse opfyldes.

𝑀_{𝐸𝑑} ≤ ⟹𝑊 ≥

𝑊_{𝑛ø𝑑𝑣} ∗ 𝑓_{𝑦} 𝑀_{𝐸𝑑} ∗ 𝛾_{𝑀0}
𝛾_{𝑀0} 𝑓_{𝑦}

𝑛ø𝑑𝑣

𝑀_{𝐸𝑑} er det maksimale bøjningsmoment, som bjælken bliver udsat for i Nmm. 𝑊_{𝑛ø𝑑𝑣} er det nødvendige
modstandsmoment, som tværsnittet skal have, for at kunne opfylde betingelsen. 𝑓_{𝑦} er konstruktionsmate-

rialets flydespænding målt i MPa, som findes ud fra hvilken styrkeklasse, vi vælger, at stålet skal være lavet af. Da vi valgte at bruge konstruktionsstål S235, og vi skønner, at tykkelsen på materialet er under 16mm,

sættes 𝑓_{𝑦} til 235𝑀𝑃𝑎 på baggrund af tabellen i bilag 8. 𝛾_{𝑀0} er en partialkoefficient, som sættes til 1,10, når

                                                     37
der regnes på bæreevnen af et tværsnit ved normal kontrolklasse.

Måden vi nu kan dimensionere bjælken, er ved at finde et modstandsmoment, som kan klare betingelsen. I følgende tabel kan vi se de forskellige reaktioner, der blev udregnet. Vi kan se, at det maksimale bøjnings-moment er ved last kombination 3, og det er derfor dette vi skal regne med.

Last komb. 𝑽_{𝑨} 𝑽_{𝑩} 𝑴_{𝑨} 𝑴_{𝒙}
1 32,23𝑘𝑁 17,9𝑘𝑁 −11,14𝑘𝑁𝑚 28,83𝑘𝑁𝑚
2 38,31𝑘𝑁 17,14𝑘𝑁 −16,46𝑘𝑁𝑚 26,37𝑘𝑁𝑚
3 35,8𝑘𝑁 21,47𝑘𝑁 −11,14𝑘𝑁𝑚 34,97𝑘𝑁𝑚
34,97𝑘𝑁𝑚 vil være det samme som 34,97 ∗ 10^{3} ∗ 10^{3} 𝑁𝑚𝑚, idet der går 10^{3} 𝑁 på 1𝑘𝑁 og 10^{3} 𝑚𝑚 på 1𝑚.

Vi kan da udregne det nødvendige modstandsmoment.

𝑊_{𝑛ø𝑑𝑣} ≥ ⇒𝑊_{𝑛ø𝑑𝑣} ≥

𝑀_{𝐸𝑑} ∗ 𝛾_{𝑀0} 34,97 ∗ 10^{3} ∗ 10^{3} ∗ 1,10
𝑓_{𝑦} 235
𝑊_{𝑛ø𝑑𝑣} ≥163,67 ∗ 10^{3} 𝑚𝑚^{3}

ser vi på profiltabellen i bilag 1, kan vi aflæse, at en HE140B ville kunne opfylde denne betingelse.

36

Kilde 1 side 249.

37

Kilde 7 side 228.

Side 19

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 19 af 30

216 ∗ 10^{3} 𝑚𝑚^{3} ≥163,67∗ 10^{3} 𝑚𝑚^{3}

Nu er bjælken dimensioneret, så den opfylder styrkebetingelsen, og den kan dermed klare belastningen.

Dette er bare ikke altid nok, for det skal også se ordentlig ud, så vi bliver også nødt til at lave en nedbøj-ningsundersøgelse.

Nedbøjning

For en bjælke i en etagead-skillelse sættes den tilladelige

nedbøjning til 𝑙/400, hvor 𝑙 er

spændvidden af en simpelt understøttet bjælke og den dobbelte udkragningslængde ved en udkraget konstruktion

målt i mm.^{38} I dette tilfælde

vil vi kunne få nedbøjning på to måder, først inde i huset hvor bjælken vil være simpelt understøttet, og den anden mulighed hvor den udkragede ende vil være en form for indspændt bjælke. Vi skal da lave en nedbøjningsundersøgelse for begge muligheder, som kan ses på figur 23. Starter vi med den første mulighed, skal vi beregne den tillade-lige nedbøjning.

𝑢_{𝑡𝑖𝑙} = =17,5𝑚𝑚

7000𝑚𝑚

400

Vi har da følgende formel for den maksimale nedbøjning, som en simpelt understøttet bjælke må have.^{39}

𝑢_{𝑚𝑎𝑥} =

5 ∗ 𝑝 ∗ 𝐿^{4}

384 ∗ 𝐸∗ 𝐼

Hvor 𝑝 er summen af de karakteristiske variable belastninger, der er på bjælken målt i 𝑘𝑁/𝑚, 𝐿 er spænd-vidden målt i mm, 𝐸 er ståls elasticitetsmodul, som også kan ses på bilag 8 og 𝐼 er bjælkens inertimoment.

Denne formel kan vi omskrive lidt på, så der i stedet findes det nødvendige inertimoment, for at der over-holdes den tilladelige nedbøjning.

𝑢_{𝑡𝑖𝑙} ≥ ⇒𝐼_{𝑛ø𝑑𝑣} ≥

5 ∗ 𝑝 ∗ 𝐿^{4} 5 ∗ 𝑝 ∗ 𝐿^{4}
384 ∗ 𝐸∗ 𝐼_{𝑛ø𝑑𝑣} 384 ∗ 𝐸∗ 𝑢_{𝑡𝑖𝑙}

Den eneste karakteristiske variable belastning der er på bjælken, på dette stykke, er 𝑞
                                                                       𝑘,𝑏𝑜𝑙𝑖𝑔

, så vi kan ud-regne følgende nødvendige inertimoment.

38

Kilde 9 side 29.

39

Kilde 1 side 256.

Figur 23, nedbøjnings muligheder.

Side 20

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 20 af 30

𝐼_{𝑛ø𝑑𝑣} ≥

5 ∗ 1,35 ∗ 7000^{4}
384 ∗ 0,21 ∗ 10^{6} ∗ 17,5
𝐼_{𝑛ø𝑑𝑣} ≥11,48 ∗ 10^{6} 𝑚𝑚^{4}

Ved den anden mulighed vil den tilladelige nedbøjning være.

𝑢_{𝑡𝑖𝑙} = =10𝑚𝑚

2000𝑚𝑚 ∗ 2

400

For en bjælke med udkraget ende ser formlen for det nødvendige inertimoment lidt anderledes ud.^{40}

𝐼_{𝑛ø𝑑𝑣} ≥

𝑝 ∗ 𝐿^{4}
𝑢_{𝑡𝑖𝑙} ∗ 8 ∗ 𝐸
På den udkragede ende vil der være 2 karakteristiske variable laster nemlig sne og 𝑞_{𝑘,𝑎𝑙𝑡𝑎𝑛}. Sammenlagt
bliver 𝑝 lig med 0,65𝑘𝑁/𝑚 + 2,25𝑘𝑁/𝑚=2,9𝑘𝑁/𝑚, og 𝐼_{𝑛ø𝑑𝑣} kan udregnes.

𝐼_{𝑛ø𝑑𝑣} ≥

2,9 ∗ 2000^{4}
10 ∗ 8 ∗ 0,21 ∗ 10^{6}
𝐼_{𝑛ø𝑑𝑣} ≥2,76 ∗ 10^{6} 𝑚𝑚^{4}

Det ses da, at det største nødvendige inertimoment findes ved den første mulighed for nedbøjning. I profil-tabellen i bilag 1 kan vi se, at igen vil en HE140B overholde kravene til inertimomentet.

15,1 ∗ 10^{6} 𝑚𝑚^{4} ≥11,48 ∗ 10^{6} 𝑚𝑚^{4}

Vi kan dermed konkludere, at den ønskede bjælke skal være af typen HE140B.

Konklusion

Igennem denne opgave har vi fundet ud af, hvad kræfter er, hvordan en last kan omsættes til kræfter, og hvordan de påvirker en bjælke. Derudover er der også blevet belyst hvad et inerti- og modstandsmoment er, og hvordan det kan udregnes. De forskellige ligevægtslove er blevet taget i brug, til at bestemme reakti-onerne på bjælken, og bjælken er blevet dimensioneret til at være af typen HE140B, på baggrund af en styrke- og nedbøjningsundersøgelse.

Vurdering og perspektivering

Under skrivningen af denne opgave har jeg opdaget, at det er utrolig vigtigt at følge med i de gældende regler for bygningens beregninger. For det har vist sig, at de variable laster, formler og partialkoefficienter har ændret sig igennem årene. At kunne udregne en bjælkes bæreevne og dens nedbøjning, er en utrolig vigtig ting i bygningsingeniørens arbejde, for hvis det ikke holder, kan det få fatale følger og i værste fald koste menneskeliv. Det er også vigtigt at kunne se alle de lastkombinationer, som bjælken bliver udsat for, for det er ikke nødvendigvis kun en lastkombination, som vil give de største reaktioner. Det kan bl.a. ses i

40

Kilde 1 side 257.

Side 21

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 21 af 30

tabellen på side 18, at 𝑉_{𝐴} blev størst ved last kombination 2. Hvis man ikke havde fundet ud af dette, ville

det have skabt problemer, hvis f.eks. bjælken skulle understøttes af en søjle netop der. Det kræver derfor et godt og korrekt forarbejde, hvis en bygning skal stå til evig tid, så vores efterkommere kan se tilbage på vor tids konstruktioner.

Side 22

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 22 af 30

Litteraturliste

Bøger

Kilde 1. Madsen, Preben. Statik og styrkelære. 1. udgave. Nyt Teknisk Forlag, 2010.

Kilde 2. Holck, Per. m.fl. Orbit B. 1. udgave. Systime, 2008.

Kilde 3. Hansen, Mogens Dahl. Styrkeberegning Materialelære. 2. udgave. Creon, 1998.

Kilde 4. Madsen, Preben. Teknisk Styrkelære. 3.udgave. Erhvervsskolernes Forlag, 2007.

Kilde 5. Madsen, Preben. Teknisk matematik. 3. udgave. Erhvervsskolernes Forlag, 2005.

Kilde 6. Andersen, Jesper M. Statik en studiebog. 1. udgave. Erhvervsskolernes Forlag, 1993.

Kilde 7. Hansen, Svend Ole og Finn Olaf Precht Sørensen. Kap. Last og Sikkerhed i bogen Teknisk Ståbi. 21.

udgave. Nyt Teknisk Forlag, 2011.

Kilde 8. Jensen, Bjarne Chr. og Svend Ole Hansen. Bygningsberegninger. 1. udgave. Nyt Teknisk Forlag,

2010.

Kilde 9. Bonnerup, Bent. m.fl. Stålkonstruktioner. 1. udgave. Nyt Teknisk Forlag, 2009.

Internet

Kilde 10. Wikipedia.com, “Statik”, http://da.wikipedia.org/wiki/Statik (dato: )
Kilde 11. Cowi A/S. ”Statiske Beregninger”, http://userportal.iha.dk/~lc/stabilitet/LGH_huset/statik-

beregn2.doc (dato: )

Side 23

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 23 af 30

Bilag 1.

Kilde 7 side 240.

Side 24

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 24 af 30

Bilag 2.

Kilde 7 side 167.

Side 25

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 25 af 30

Bilag 3.

Kilde 7 side 168.

Side 26

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 26 af 30

Bilag 4.

Kilde 7 side 166.

Side 27

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 27 af 30

Bilag 5

Kilde 3 side 44.

Side 28

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 28 af 30

Bilag 6

𝑔_{𝑑} =5,57𝑘𝑁/𝑚∗ 9𝑚=50,13𝑘𝑁

↻ ∑ 𝑀_{𝐴} =0: 𝑔_{𝑑} ∗ 2,5𝑚 − 𝑉_{𝐵} ∗ 7𝑚=0
↻ ∑ 𝑀_{𝐵} =0: 50,13𝑘𝑁 ∗ 2,5𝑚 − 𝑉_{𝐵} ∗ 7=0
𝑉_{𝐵} =17,9𝑘𝑁

↑ ∑ 𝑉=0: 𝑉_{𝐴} − 𝑔_{𝑑} + 𝑉_{𝐵} =0
↑ ∑ 𝑉=0: 𝑉_{𝐴} − 50,13𝑘𝑁+ 17,9𝑘𝑁=0
𝑉_{𝐴} =32,23𝑘𝑁

𝑄_{2𝑚} =−5,57𝑘𝑁/𝑚∗ 2𝑚=−11,14𝑘𝑁
𝑄_{𝐴} =−11,14𝑘𝑁 + 32,23𝑁=21,09𝑘𝑁
𝑄_{9𝑚} =21,09𝑘𝑁 − 5,57𝑘𝑁/𝑚 ∗ 7𝑚=−17,9𝑘𝑁
𝑄_{𝐵} =−17,9𝑘𝑁+ 17,9𝑘𝑁=0𝑘𝑁

𝑀_{𝐴} =0,5 ∗ −11,14𝑘𝑁∗ 2𝑚=−11,14𝑘𝑁𝑚

5,57𝑘𝑁/𝑚∗ 𝑥=21,09𝑘𝑁⟹𝑥 =

21,09𝑘𝑁

5,57𝑘𝑁/𝑚

=3,79𝑚
𝑀_{𝑥} =−11,14𝑘𝑁𝑚 + 0,5 ∗ 21,09𝑘𝑁∗ 3,79𝑚
𝑀_{𝑥} =28,83𝑘𝑁𝑚
𝑀_{𝐵} =28,83 − 0,5 ∗ 17,9 ∗ ( 7𝑚 − 3,79𝑚) =0𝑘𝑁𝑚

Side 29

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 29 af 30

Bilag 7

𝑔_{𝑑} =5,57𝑘𝑁/𝑚∗ 7𝑚=38,99𝑘𝑁
𝑠_{𝑑} =8,23𝑘𝑁/𝑚∗ 2𝑚 =16,46𝑘𝑁

↻ ∑ 𝑀_{𝐴} =0: −𝑠_{𝑑} ∗ 1𝑚 + 𝑔_{𝑑} ∗ 3,5𝑚 − 𝑉_{𝐵} ∗ 7𝑚=0
↻ ∑ 𝑀_{A} =0: − 16,46𝑘𝑁 ∗ 1𝑚 + 38,99𝑘𝑁 ∗ 3,5𝑚 −
𝑉_{𝐵} ∗ 7𝑚=0
𝑉_{𝐵} =17,14𝑘𝑁

↑ ∑ 𝑉=0: − 𝑠_{𝑑} + 𝑉_{𝐴} − 𝑔_{𝑑} + 𝑉_{𝐵} =0
↑ ∑ 𝑉=0: −16,46𝑘𝑁 + 𝑉_{𝐴} − 38,99𝑘𝑁 + 17,14𝑘𝑁=0
𝑉_{𝐴} =38,31𝑘𝑁

𝑄_{2𝑚} =−8,23𝑘𝑁/𝑚∗ 2𝑚=−16,46𝑘𝑁
𝑄_{𝐴} =−16,46𝑘𝑁 + 38,31𝑁=21,85𝑘𝑁
𝑄_{9𝑚} =21,85𝑘𝑁 − 5,57𝑘𝑁/𝑚 ∗ 7𝑚=−17,14𝑘𝑁
𝑄_{𝐵} =−17,14𝑘𝑁+ 17,14𝑘𝑁=0𝑘𝑁

𝑀_{𝐴} =0,5 ∗ −16,46𝑘𝑁∗ 2𝑚=−16,46𝑘𝑁𝑚

5,57𝑘𝑁/𝑚∗ 𝑥=21,85𝑘𝑁⟹𝑥 = =3,92𝑚

21,85kN

5,57kN/m
𝑀_{𝑥} =−16,46𝑘𝑁𝑚 + 0,5 ∗ 21,85𝑘𝑁∗ 3,92𝑚
𝑀_{𝑥} =26,37𝑘𝑁𝑚
𝑀_{𝐵} =26,37 − 0,5 ∗ 17,14∗ ( 7𝑚 − 3,92𝑚) =0𝑘𝑁𝑚

Side 30

Studieretningsprojekt – Dimensionering af stålbjælker

Side | 30 af 30

Bilag 8

Kilde 1 side 231.