SRO om det matematiske pendul

Side 1

DET MATEMATISKE PENDUL

- Med fysik som hovedfag og matematik som bifag

SRO

STX 2.g

Side 2

2

Indholdsfortegnelse

FORMÅL ......................................................................................................................................................... 3 FORSØGSOPSTILLING ..................................................................................................................................... 4 UDFØRSEL ...................................................................................................................................................... 4 PROBLEMFORMULERING .............................................................................................................................. 3 OPGAVEFORMULERING ................................................................................................................................. 3 BETEGNELSER ................................................................................................................................................ 5 ABSTRACT ...................................................................................................................................................... 6 DIFFERENTIALLIGNINGER .............................................................................................................................. 6 DEN MATAMATISKE VÆRDIMÆNGDE OG DEN FYSISKE AMPLITUDE ........................................................... 9 PERIODICITET ............................................................................................................................................... 10 UDLEDNING AF g ......................................................................................................................................... 11 UDLEDNING AF FORMEL FOR SVINGNINGSTIDEN ....................................................................................... 13 UDLEDNING AF FORMEL FOR SVINGNINGSTIDEN PÅ BAGGRUND AF 2. GRADSLIGNINGER ...................... 16 HARMONISKE SVINGNINGER ....................................................................................................................... 18 UDLEDNING AF FUNKTION DER BESTEMMER VINKELACCELERATIONEN SOM FUNKTION AF TIDEN ......... 20 VARIATION AF SVINGNINGSTID(GRAF)........................................................................................................ 22 VARIATION AF MASSEN(GRAF) .................................................................................................................... 23 VARIATION AF SNORLÆNGDEN(GRAF) ........................................................................................................ 24 DISKUSSION ................................................................................................................................................. 25 KONKLUSION ............................................................................................................................................... 25 LITTERATURLISTE ......................................................................................................................................... 26

Side 3

3

FORMÅL

Formålet med denne rapport er at undersøge det matematiske pendul ved hjælp af differentialregning. Derefter at finde ud af hvilke faktorer der har indflydelse på svingningstiden.

PROBLEMFORMULERING

Vi vil undersøge hvilke faktorer der har indflydelse på svingningen af det matematiske pendul.

Vi vil prøve at undersøge om det er muligt at udlede en funktion for pendulets acceleration som funktion af tiden samt undersøge om det er muligt ved hjælp af vores forsøgsresultater at udlede tyngdeaccelerationen.

Vi vil undersøge om vores forsøgsresultater stemmer overens med vores teoretiske udregninger.

Vi vil undersøge 1. ordens differentialligninger samt 2. ordens differentialligninger og forsøge finde en sammenhæng i pendulets bevægelse ved hjælp af differentielligninger.

Vi vil undersøge harmoniske svingninger samt sammenhængen mellem den matematiske værdimængde og den fysiske amplitude.

OPGAVEFORMULERING

Det matematiske pendul – fysik som hovedfag

- Redegøre for de trigonometriske funktioner, dvs. hvordan man kan betragte cosinus og sinus som funktioner af en variabel. Her kan i komme ind på: o Brugen af radianer i stedet for grader o Periodicitet o Korrespondance mellem den matematiske værdimængde og den fysiske amplitude.

- Præsenterer begreberne differentialligning og 2. ordens differentialligning. Eftervis som

minimum at: f(x) = A sin(kx) og f(x) = A cos(kx) er løsninger til den 2. ordens

                       2
differentialligning f’’(x) = -k f(x).

o Du kan herunder inddrage nogle af opgaverne om differentialligninger hvis du finder det relevant.

Vi har valgt ikke at skrive noget ”teori”-afsnit, men i stedet at skrive teorien ind i de forskellige opgaver vi vil løse.

Side 4

4

FORSØGSOPSTILLING

Nedenfor ses en skitse af vores forsøgsopstilling. Vi Brugte en metalstang på fod(den lodrette), hvor vi satte endnu en metalstang på(den vandrette). På denne metalstang spænde vi en lille krog fast, hvorfra vores ophæng blev sat. Til at måle vinklen af svingningen brugte vi en laser og en vinkelmåler.

UDFØRSEL

Under alle vores forsøg satte vi loddet i gang og tog en mellemtid hver gang loddet kom tilbage til sin udgangsposition, altså når den havde lavet en svingning. Vi tog ca. 8 målinger hver gang vi satte loddet i gang, og ca. 4x8 målinger inden vi varierede noget. Vi forsøgte at vælge lodder med ca. lige stor volumen, men med forskellig masse, for at undgå fejl i vores data pga. luftmodstand.

Vi startede med at fastholde en snorlængde og en masse af loddet for at undersøge om vinklen af svingningen havde en indflydelse på svingningstiden. Dette gjorde vi ved at lade loddet falde fra forskellige vinkler. Dernæst undersøgte vi om loddets masse havde en indflydelse ved at fastholde en snorlængde og en vinkel. Til sidst undersøgte vi om snorlængden havde en indflydelse ved at fastholde en vinkel og en masse af loddet. Se vores forsøgsresultater i bilag 1.

Side 5

5

BETEGNELSER

Undervejs kommer vi til at bruge flere symboler samt formler, nedenfor ses et skema over de symboler vi har brugt med forklaring.

Nedenfor ses nogle af de formler vi har brugt i løbet af opgaven (da vi ikke kan udlede alle formlerne i denne opgave.)

Simpel formel for svingningstiden af et pendul,

hvor vi antager at sin(θ)=θ:

T == 2 sin^{L}_{g} ( )

π θ θ

Formel for den resulterende kræft på loddet: FF_{res t} =− sin( )

θ

Formel for afvigelse:

100

Tabelværdi Målteværdi −

Tabelværdi

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Præcis formel for svingningstiden af et pendul:

L 1 11_{24}

         00
g    16 3072

T = + + + 2 1 ...

π θ θ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

BOGSTAV

Masse(kg) | m
Snorlængde(m) | L

                      2
Tyngdeacceleration(m/sek .)   g

Vinkel(Rad) | θ

Vinkelhastighed(Rad/ sek.) ω

Hastighed(m/ sek.) v

Acceleration/ a/a

                      2
Tangentacceleration(m/sek .)

t

                      2
Vinkelacceleration(Rad/ sek .) α

Side 6

6

ABSTRACT

In this report we have examined the “simple pendulum” also knows as the “mathematical pendulum”. We have investigated which factors have an influence on the movement of the pendulum. Doing so we have used differential equations to help us find functions that describe this movement. Given that it is a simple pendulum we have ignored the influence of friction.

DIFFERENTIALLIGNINGER

I dette afsnit vil vi først komme inde på hvad forskellen mellem normale ligninger og differentialligninger er. Derefter vil vi se på hvilken type løsning der er til en differentialligning og kort hvordan man finde disse løsninger. Til sidst vil vi komme ind 2. ordens differentialligninger, hvor vi bl.a. ser på hvordan man tjekker om en løsningen til en differentialligning er korrekt.

Først betragter vi en differentialligninger. Her er der både en funktion og dens afledte, f.eks.:

'( ) ( )V x C V x=. Her er V’(x) den afledte og V(x) en funktion.
Nu betragter vi en ”normal” ligning. Her er der kun en funktion, f.eks.: ()V x C x=.

Forskellen er altså, at en differentialligning indeholder både en funktion og dens afledte, mens en ligning kun indeholder en funktion. Man kan ikke løse en differentialligning som en normal ligning, da en differentialligning indeholder to ukendte funktioner.

For at finde en løsning til en differentialligning er man ofte nødt til at forsøge sig frem, med kvalificerede bud, da der ikke findes nogen regneforskrift for hvordan man løser en differentialligning. Man skal altså få en god idé. I nogle tilfælde er det muligt at finde alle løsninger, i andre tilfælde kan det være svært, men kun samtlige løsninger udgøre den egentlige løsning. Hvis man har fundet en enkelt løsning, kaldes det en partikulær løsning, en sådan partikulær løsning kan i nogle tilfælde bruges til at stille uendelig mange løsninger op. Grafen over

EN LIGNING y f x = ()
ENDIFFERANTIALLIGNING AF ORDEN y f x y 1. ' ( , ) =
ENDIFFERANTIALLIGNING AF ORDEN y f x y y 2. '' ( , , ') =

Side 7

7 en løsning kaldes en løsningskurve. For at man kan sige, at den partikulære løsning man har ”gættet” på er korrekt, skal partikulær løsningen, når man sætter den ind, give 0. Ligningen skal være sand, altså der skal stå det samme på begge sider af lighedstegnet. Vi vel nu gennemgå hvordan man kan tjekke om den partikulær løsning man har brugt metoden ”få en god ide” til, er korrekt:

Den 1. ordnes differentialligning vi vil gennemgå en løsning til er:

               2
) '( ) ( )A f x f x=

Det forslag til en løsning vi vil se om passer er:

2

     2
( 3) x −

1

B f x) ( ) , =
3 − x

1

C f x) ( ) =

Først differentierer vi B):

( 3)^{2} x −

1

D f x) '( ) =

Vi kan nu sætte D) ind på f’(x) plads i A) og C) ind på f(x)^{2} ’s plads i A).

     22
( 3) ( 3)xx −−

11

=

Altså kan vi konkludere, at B) er en løsning til A).

2. ordens differentialligninger er, når den 2. afledede af den søgte funktion indgår – Og ikke højere afledede, men funktionen og den 1. afledede indgår ofte. Der er fordi der indgår den dobbelt differentierede funktion at det hedder en 2. ordens differentialligning. En 2. ordens differentialligning kan ved substitution føres til 1. ordens differentialligning. Substitutionen kunne se ud som følger:

Side 8

8

z y z y == ' Altså er ' ''

Så den 2. ordnes differentialligning: y '

y '' =

ville bliver substitueret til 1. ordnes differentialligningen:

z ' =

x z x

Derefter kan man løse ligningen efter samme princip som med en 1. ordens differentialligning.

Den funktion man søger som løsning til en 2. ordens differentialligning skal differentieres to gange for at man kan tjekke om løsningen er sand. Det er ofte svært at finde alle løsningerne til en

2.ordens differentialligning. Vi vil nu gennemgå to korrekt partikulære løsning på en 2. ordens differentialligning:

Den 2. ordens differentialligning vi vil eftervise to partikulære løsninger til er:

                2
1) ''( ) ( )f x k f x=−

Den første løsning vi vil gennemgå er:

For at tjekke om 2) er en løsning til 1) er vi nødt til at dobbeltdifferentiere 2):

4) ''( ) cos( ) f x A k kx^{2} =−

3) '(x)= sin( ) f A k kx −

Vi kan nu sætte 2) ind op f(x)’s plads i 1) og 4) ind på f’’(x)’s plads i 1):

              22
5) cos( ) cos( )A k kx k A kx− = −

Som tidligere nævnt, skal en partikulær løsning til en differentialligning for løsningen er korrekt, skal den, når man sætter løsningen ind, give 0. Ligningen skal være sand, altså der skal stå det samme på begge sider af lighedstegnet.

Vi kan altså konkludere at 2) er en partikulær løsning til 1), som vi nu har eftervist.

2) ( ) cos( )f x A kx=

Side 9

9

Nu vil vi gennemgå en anden løsning til den 2. ordens differentialligning 1). Den løsning vi vil gennemgå er:

6) ( ) sin( )f x A kx=

Vi følger samme princip som gennemgangen af første partikulære løsning – Altså skal vi dobbeltdifferentiere 6) for at tjekke om 6) er en løsning til 1):

                   2
8) ''( ) sin( ) f x A k kx=−

7) '(x)= cos( ) f A k kx

Vi kan nu sætte 6) ind op f(x)’s plads i 1) og 8) ind på f’’(x)’s plads i 1):

             22
9) sin( ) sin( )A k kx k A kx− = −

Vi kan altså konklurere at der står det samme på begge sider af lighedstegnet, altså har vi eftervist at

6) også er en løsning til 1).

Summen af vores to løsninger 2) og 6) vil give en tredje løsning. Hvilket gælder generelt, altså summen af to sande løsninger, de funktioners sum er en tredje løsning til differentialligninger. Dette har vi valgt ikke at bevise, men vi fandt det relevant at næve.

DEN MATAMATISKE VÆRDIMÆNGDE OG DEN FYSISKE

AMPLITUDE

En værdimængde er alle de y-værdier en funktion er i stand til at have. En amplitude er en kvart svingningstid, altså fra ligevægtsstillingen til det maksimale udsving. Nedenfor ses både den

Side 10

10 matematiske værdimængde og den fysiske amplitude på sinuskurven:

Mellem de to lilla prikker er den ene amplitude, +1. Mellem de to grønne prikker er den anden
amplitude, -1. Da sinuskurven f(x)=sin(x) kun er i stand til at have y-værdier der optræder i

enhedscirkelen er værdimængden Vm[-1;1], hvilket vi også han se på grafen mellem de to yderpunkter.

Vi kan altså konkludere at stykket på sinuskurven mellem de to yderpunkter både er værdimængden til sinus og amplituder.

PERIODICITET

Periodicitet kan beskrives som noget regelmæssigt tilbagevende. Når man snakker periodicitet i forhold til Det Matematiske Pendul kan man se på den tid det tager pendulet at gennemføre en periode, altså svingningstiden. En periode er tidsrummet mellem passage af to bølgetoppe på et bestemt sted, vi har skitseret dette nedenfor:

f(x)=sin(x)

Side 11

11

En periodisk funktion er en funktion der som sinuskurven periodisk gentager sig selv inden for det samme tidsrum.

UDLEDNING AF g

Vi vil ud fra den simple for sviningstiden prøve at udregne ”g”.

Først omskriver vi vores simple formel for sviningstiden: l 2

T T l = ⋅ ⇔ = ⋅ 2

g g π π

Vi kan her ud fra se, at tiden er proportional med kvadratroden af snorlængden.

Vi tager derfor kvadratroden af vores snorlængder, og laver en linær regression med tiden som

funktion af snorlængden. I denne linæreregression må det gælde at hældningen, a, er: a = samt

2 g π

at x er; xl=.

Grafen må gå gennem punktet (0,0) da der ikke er nogen b værdi.

De indsatte data og udregnet regression ser således ud:

Side 12

12

Her er L1(x-aksen) og L2 (y-aksen) svingningstiden. Begge er i SI enheder (meter og l sekunder). Grunden til, at b ikke er lig nul, skyldes usikkerheder i formlen, da den ikke tager højde for vinklen, samt usikkerheder i vores forsøgsresultater.

Vi kan ud fra regressionen se at

a=2,16.

Det betyder altså at:

2

g = 8,46_{2}

2

a == 2,16

⎛⎞ 2

2,16 g

= g

m s π π

⎜⎟

⎝⎠

Hvilket giver os en afvigelse fra tabelværdien på:

⎛⎞ 9,82 8,46 −

⋅= 100 13,85%

9,82

⎜⎟

⎝⎠

Side 13

13

UDLEDNING AF FORMEL FOR SVINGNINGSTIDEN

For at udlede en formel for svingningstiden ved hjælp af dimensions analyse. Normalt bruger man kun dimensions analyse til at eftervise en i forvejen kendt formel og vi vil derfor længere nede udlede den samme formel ved hjælp af differentiel regning og newtons love. Vi vil overveje hvilke ting der kunne have en indflydelse på svingningstiden. Her vil vi betragte følgende: massen (m), snorlængden (l) og gravitationsacceleration (g).

Vi vælger bevidst ikke at tage højde for luftmodstanden, samt andre gnidninger f.eks. gnidninger omkring den akse snoren, som holder pendulet, sidder på. Derudover vil vi regne med at svingnings amplitude bliver så lille, at vinklen ikke har en indflydelse på snorlængden. Altså, at

( ) sin θθ

=

For at vise dette har vi plottet: == sin samt ff i TI Interactive og sat

( ) ( ) ( ) θ θ θ θ

begrænsningerne − ≤ ≤ 11 (vinklen er i radianer).

θ

Grafen ser således ud:

Den ”lige” linje er f ( ) = og den linje der bøjer i enderne er ( ) ( ) = sinf.

θθ θθ

Side 14

14

På grafen kan man tydeligt se hvordan grafen for

( ) ( ) sin θ og grafen θ følges ad ved små vinkler.

Man må konkludere ud fra grafen, at man har lov til at antage, at sin = op til en vinkel på

( ) θθ cirka 0,5 radianer. Samt at forskellen først bliver betydelig stor omkring 0,7 radianer.

Vi vil nu prøve at finde det vi kalder den karakteristiske tid for én radian. Vi gætter på, at man skal gange faktorerne sammen og det kommer til at se således ud:

= ⋅ ⋅ l m g

α β γ τ

Alle faktorerne har en potens, som er den, vi prøver at finde for at komme frem til vores formel.

Men først vil vi prøve at omformulere g γ

. Det gøres ved at tage udgangspunkt i SI enheden for g:

            −− 22
[] g m s l t = = ⋅ = ⋅
      2

m s

Vi sætter det derefter inde i den anden formel og får:

2

t l m l t^{−} = ⋅ ⋅ ⋅

αβ

Da vi nu har brugt enheder i vores formel erstatter vi τ med t (for tid, svingningstiden).

Nu indsætter vi ml⋅^{00} på venstre side af lighedstegnet. Det må vi fordi man altid må gange med 1

og et tal i 0. potens er altid lig med 1. Det kommer så til at se sådan her ud.

0 0 2 −

m l t l m l t ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

α β γ γ

For at udtrykket kan være sandt, skal potenserne på hver side væres ens og vi får derfor:

= 0

β

Hvilket betyder at og at massen derfor ikke har en indflydelse.

= 1m

β

Det giver god mening, hvis tyngekraften er den eneste kraft der virker på et legeme, er den

                 res
resulterende kraft:       og ifølge newtons anden lov kan den resulterende kraft findes ved:

F m g=⋅

F m a=⋅
 res

Side 15

15

Altså må følgende gælde:

m gm⋅= a g a⋅ ⇒ =

Hvor det altså er tydeligt at massen ikke har betydning for faldets acceleration. Det gælder kun hvis der ikke er andre ting der påvirker legemet f.eks. luftmodstand.

”l” er både opløftet i alfa og gamma så derfor må det gælde at:

l l l ⋅=

α γ α γ

+

Da potensen skal give 0 betyder det:

+= 0

αγ

Vi kigger nu på potensen for t. på venstre side er den ”1” og på højre side er den.

− 2

γ

Vi kan derfor finde værdien for gamma:

1

12 = − ⇔ = −

2 γγ

Vi kan nu finde alpha da vi ved at:

+= 0

αγ

Alpha er ”0,5”

Da det er lettere at regne med end

g lt ⋅^{−}^{2}

γ γγ vil vi gerne have den ind i formlen igen hvilket vi gør.

Derved får vi at:

   ½½  −
t l g = ⋅ =

l g

Vi skal dog huske på, at vi kun har udledt sviningstiden for 1 radian. For at sviningstiden for en hel svingning må vi derfor gange med:

2 π

Side 16

16

Så formlen kommer til at se således ud:

t =⋅ 2

l g π

1

Det er altså en udledning på baggrund af enheder for formlen for sviningstiden.

UDLEDNING AF FORMEL FOR SVINGNINGSTIDEN PÅ BAGGRUND

AF 2. GRADSLIGNINGER

Dette afsnit er skrevet på baggrund af bogen ”Integralregning og differentialligninger”, men vi syntes det var vigtigt at have den med for at sammenligne en udledning ved hjælp af dimensionsanalyse og en ved hjælp af differentiel ligninger.

Først vil vi lave en lave en kraft analyse af pendulets svingning.

På nedenstående tegning er der 3 kraftpile: mg, F t1 res.

og F

. Reelt er den eneste nedadgående kraft der virker på pendulet kun tyngdekraften (mg) men den har vi valgt at dele op i 2 komposanter: F t1 og F.

res.

Kraft F bliver udlignet af en ligeså stor og modsat rettet snor kraft. Derfor er den resulterende F.

t1 res

Kraften ”mg” kan findes ved ”F =m*g” Kraften F kan findes ved formlen: F Cos m g = ⋅ ⋅ .
                                                             s

T t1 ( ) θ

Kraften F er den resulterende kraft på pendulet og er den kraft der får pendulet til at accelerere.

res

Den findes ved: F m g = − ⋅ ⋅ sin .
              res

( ) θ

1

Efter forklaring af Christian Bierlich

Side 17

17

”Newtons 2. lov”

Hvis den resulterende kraft på en genstand med masse m er F res vil genstanden bevæge sig med accelerationen a bestem ved ligningen:

          2
F m a=⋅
 res

”

Samtidig ved fi at

( ) ( ) ( ) ' ''a t v t s t==

Altså kan de resulterende kraft udtrykkes ved:

       2
      ds
F m m g = ⋅ = − ⋅ ⋅ sin ( )
 res
       2
      dt

θ

Vi dividere massen ud så der står a=a og antager at

sin ( ) =

θθ

Vi ved at s l θ

=

= − ⋅ g sin tilnærmet -g =-^{⋅} ( )

 2
d s g s

dt L^{2}

θθ

Løsningen hertil bliver:

         gg
s t k t k t ( ) = ⋅ + ⋅ ⋅ cos sin
       ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
     12
          ll

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

Da strækning må være nul ved t=0 altså s(0)=0 er løsningen:

        ⎛⎞
          g
S t k t ( ) = ⋅ ⋅ sin
        ⎜⎟
     2
        ⎜⎟
          l
        ⎝⎠

fordi 0 sat ind på t’s plads ikke giver nul i formlen med cosinus.

0 cos 0 1 ≠ ⋅ = ⋅ kk_{11}

g l

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

2

FysikAB bogen

3

Integralregning og differentielligninger

Side 18

18

       ⎛⎞
         g
s t k t ( ) =⋅ sin
       ⎜⎟
     1
       ⎜⎟
         l
       ⎝⎠

er en stedfunktion, men vi vil gerne have den formel der giver os sviningstiden.

Vi fjerner konstanten og sinus da det er der bestemmer sviningstiden.

g

⋅ t l

Vi har en tiden for en radian, men ønsker at få den for en hel svingning, vi ganger derfor med 2π og isolere T. Vores resultat bliver da:

T = 2

l

g^{4}

π

HARMONISKE SVINGNINGER

En harmonisk svingning er en bevægelse hvor en genstand (i vores tilfælde et pendul) svinger omkring en ligevægtsstilling. Pendulets udsving y(t) som er en sinusfunktion af formen:

( ) ( ) = ⋅ ⋅ siny t A t

ω

Hvor er vinkelfrekvensen givet ved: ω

2

T π ω

=

Det skyldes at en ”periode”(svingning) er fra bølge top til bølge top i en sinusfunktion, som er på

2π. Der divideres derefter med den tid som perioden har taget. Dvs. sviningsfrekvensen er antal svingninger per sekund.

A er amplituden, dvs. genstandens maksimale udsving fra ligevægtsstilligen. A kan findes på følgende måde:

Al =⋅ det må gælde fordi cirklens omkreds er givet ved:

θ

Ved at sætte vores vinkel ind i radianer og erstatte "r" med "l" vil vi kunne ( ) snorlængden

Or = ⋅ ⋅ 2

2 svare til 360 i en enhedscirkel og en hel cirkels i radianer. ⋅° finde den tilbagelagte afstand.

π π

4

Integralregning og differentielligninger (samme udledning i bogen)

Side 19

19

Vi vil prøve at vise en sinuskurve.

Først vælger vi en af vores svingninger. Den har følgende værdier:

7

l m radianer t s = = ° = = 0.545 63 1,58

20 π θ

Så udregner vi amplituden og vinkelfrekvensen:

7

20

2 rad

== 3,98

1,58 ss

Al =⋅

A m m = ⋅ =

θ π π ω

Vi sætter værdierne ind i funktion og får:

            rad
         ⎛⎞
y t m t ( ) =⋅ 0.599 3,98
         ⎜⎟
             s
         ⎝⎠

Sinuskurven kommer så til at se ud som følge:

Side 20

20

UDLEDNING AF FUNKTION DER BESTEMMER

VINKELACCELERATIONEN SOM FUNKTION AF TIDEN

Vi vil opstille vinklen som funktion af tiden og derefter differentier den så vi får pendulets acceleration som funktion af tiden. Vi starter med en funktion vi tidligere har brugt i en differentielligning nemlig:

( ) ( ) sinf x A kx=⋅

som vi omskriver til:

( ) ( ) =⋅ sins t A t

ω

             s
Vi ved at ⋅ = ⇔ = ls så vi omskriver s(t) til ( ) t .
             l                 l

θθ θ

Derudover må der gælde følgende for amplituden.

max max

A

⋅ = ⇔ = lA

l θθ

Side 21

21

Til sidst ved vi at =

g_{5}

l ω

Vi sætter derefter ind i formlen. Vi har nu en funktion der angiver vinklen som funktion af tiden.

⋅ l ( )^{l} t_{=}

θ l l

⋅ ⋅ ⋅_{max} sin t

g l θ

⇒ = ⋅ ⋅ ( )_{max} tt sin^{g}_{l}

θθ

Vi laver følgende omskrivning

Vi dobbeltdifferentierer ligesom vi gjorde tidligere i afsnittet om ”differentialligninger” under ”2.

ordens differentialligninger” og får:

( ) ( ) ( ) t t t t t = = − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ ⋅ '' sin '' sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

 2
g g g g

l l l l α θ θ θ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Vi har nu udledt en funktion der bestemmer vinkelaccelerationen som funktion af tiden.

Man kan finde accelerationen af pendulet ved hjælp af formlen: a

= ⇔ ⋅ = la

l αα

5

http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/node14.0.html

Side 22

22

VARIATION AF SVINGNINGSTID(GRAF)

På grafen ovenfor kan vi se at vores målte værdier(de små firkantede) passer ret godt på de teoretiske udregnede. Den store firkant er en teoretisk udregning der ikke tager højde for vinklen.

De trekantede er en teoretisk udregning der tager højde for viklen. Det er ud fra grafen ret tydeligt at den tilnærmede formel: T ≈ 2 ikke fungere til at udrenge svingningstiden når man varierer L g π vinklen til en vinkel over 0,7 radianer. Man skal derimod bruge formlen:

L 1 11_{24}

         00
g    16 3072

T = + + + 2 1 ...

π θ θ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

6

Det er den almindelige formel ganget med en såkaldt ”uendelige” serie, hvis udledning ligger uden for denne rapports rammer.

6

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pendl.html

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

Svinginings tid

[s]

Vinkel målt

Teoretisk 1

Teoretisk 2

Side 23

23

Her er der igen en graf med sviningstiden op af 2. aksen og vinklen i radianer ud af 1. aksen.

Man kan se at tiden som funktion af vinklen giver et Andensgradspolynomium dvs. en andengradsligning.

VARIATION AF MASSEN(GRAF)

-2.1

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

1.8

1.85

1.9

1.95

1.445

1.495

1.545

1.595

1.645

0 50 60

Svingningstid

[s]

Masse[g]

Vægt teoretisk

Quadratic Regression

f(x) = .102243x^2 + .044399x + 1.47655

Side 24

24

På grafen her kan vi se, at vi har ramt lidt over med hensyn til svingningstiden i forhold til massen.

Dette kan skyldes, at vi har været upræcise da vi målte svingningstiderne, luftmodstand og fejl på forsøgsopstillingen. Den store firkant er den teoretisk udregnet svingnings, mens de små firkantede er vores målinger. Derudover kan vi, ud fra vores resultater, konkludere at massen ikke har en umiddelbar indflydelse på sviningstiden idet at sviningstiden er stort set uændret selvom vi forøger massen med en faktor 10.

VARIATION AF SNORLÆNGDEN(GRAF)

På grafen kan vi se, at vi se at vores data passer rigtig godt med de teoretiske udregnede værdier. De små firkantede er vores målinger, de store firkantede er de teoretisk udregnede værdier. Ud fra

grafen kan vi altså konkludere at vi godt kan bruge formlen: T = 2 til at udregne

L g π sviningstiden så længde det kun er snorlængden vi varierer.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

Svingnings tid

[s]

Snorlængde [cm]

Målt

Teoretisk 1

Side 25

25

DISKUSSION

Vi kan se ud fra vores forsøgsresultater at den tilnærmede formel T ≈ 2 kun gælder for

L g π svingninger under 0,7 radianer. Ved større vinkler skal man bruge formlen:

L 1 11_{24}

         00
g    16 3072

T = + + + 2 1 ....

π θ θ

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Vi har en del afvigelse fra de teoretiske værdier hvilket kan ses på graferne ovenfor. Det kan skyldes tilnærmede formler samt fejl i vores forsøgsresultater. Dvs. fejlmålinger, antagelse af ingen luftmodstand samt antagelse af ingen gnidningsmodstand. Derudover var det almindeligt, at vores pendul begyndte at bevæge sig i ellipser og ikke i en 2-dimmensionel halvcirkel.

I forsøget hvor vi ville bestemme ”g” brugte vi en vinkel på 63grader dvs. 1,10 radianer. Da vi antager at formlen ( T ≈ 2) ikke kan regne præcist ved vinkler over 0,7 radianer må vi betragte L g π dette som en væsentlig fejlkilde.

KONKLUSION

På baggrund af vores afsnit ”Udledning af formel for svingningstiden” samt på baggrund af vores forsøgs resultater, kan vi konkludere at massen af loddet ikke har indflydelse på svingningstiden. Vi kan derudover konkludere, at sviningstiden er proportional med kvadratroden af snorlængden. Samt at man ud fra den simple formel for sviningstiden kan udlede tyngdeaccelerationen dog fik vi en lille afvigelse. Vi kan konkludere at vores forsøgsresultater stemmer overens med vores teoretiske udregninger på den måde vi havde forudset. Dvs. at den simple formel for sviningstiden viste sig utilstrækkelig ved større vinkler, men anvendelig ved variation af snorlængden samt massen. Vi kan konkludere at differentialligninger kan anvendes til udledning af en formel som beskriver acceleration i pendulet. Vi kan konkludere, at den matematiske værdimængde beskriver det samme som den fysiske amplitude.

Side 26

26

LITTERATURLISTE

1) Flemming Clausen, Poul Printz og Gert Schomacker: ”Integralregning og differentialligninger”, BB Grafik, 1993

2) Carstensen, Frandsen, Stundsgaard: ”Mat B til A”, Systime, 2008

3) Finn Elvekjær og Torben Benoni ”FysikABbogen”, Systime, 2007

4) http://www.myphysicslab.com/pendulum1.html
5) http://www.physicsforums.com/archive/index.php/t-158251.html
6) http://www.math.duke.edu/education/ccp/materials/diffeq/pendulum/pend1.html
7) http://www.real-world-physics-problems.com/pendulum-physics.html
8) http://www.splung.com/content/sid/2/page/shm
9) http://calculuslab.deltacollege.edu/ODE/7-A-2/7-A-2-h.html
10) http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pendl.html
11) http://www.exo.net/~pauld/activities/pendulums/pendulums.html
12) http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/Pendulum/Pendula.html

13) Egne noter fra undervisning.